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UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL

APONTAMENTOS DE

COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

(REVISÕES SOBRE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL)


Revisões sobre funções reais de variável real

APONTAMENTOS DE COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

1/15

Sumário: Revisões sobre funções reais de variável real

i) Domínios; ii) Noções topológicas; iii) Limites e continuidade; iv) Derivadas, diferenciabilidade e diferencial; v) Gráficos; vi) Função composta; vii) Integrais; viii) Equações diferenciais.

As funções reais de variável real (f.r.v.r.), podem descrever o comportamento de uma determinada

grandeza que apenas depende de um factor. E podem ser definidas por

:

( )ff D

x y f x

⊆ →

→ =

� �.

Na disciplina de Complementos de Matemática, estudam-se funções mais gerais. Estas contemplam

o caso de grandezas que dependem de mais do que um factor. As funções vectoriais de variável

vectorial, ou campos vectoriais, e as funções reais de variável vectorial, ou campos escalares

(funções com várias variáveis).

Antes de se passar ao estudo das funções com várias variáveis, faz-se uma breve revisão sobre as

f.r.v.r., nomeadamente no que diz respeito a, domínios, noções topológicas, limites, continuidade,

derivadas, diferenciabilidade, diferencial, função composta, integrais e equações diferenciais.

Esta revisão vai ter por base a seguinte função

2

1

2, 0

( ) 1, 0x

x xx

f x xe x+

� − ≥�= −�� <�

. (0.1)

Trata-se de uma função definida por ramos, onde existe uma variável dependente ( ( )y f x= ) e uma

variável independente (x). Portanto, uma f.r.v.r..

1º ramo: para 0x ≥ a função está definida por 2 2

( )1

x xy f x

x−= =−

;

2º ramo: para 0x < a função está definida por 1( ) xy f x e += = .




2/15

i) Domínios

Definição 0.1: O domínio, fD ⊆ � , de uma f.r.v.r., :f →� � , é o conjunto de valores da

variável independente para os quais a função está definida, ou seja,

{ }: ( )fD x f x= ∈ ∈� � .

Definição 0.2: O contradomínio, fCD ⊆ � , de uma f.r.v.r, ( )y f x= , é o conjunto de valores de y obtidos quando x percorre o domínio da função { }( ) :f fCD y f x x D= = ∈ ∈� .

Exemplo 0.1: A função (0.1) está definida por ramos, portanto, para se calcular o seu domínio,

deve estudar-se o domínio das funções definidas nos seus ramos:

• 1º ramo: Apesar de se indicar que neste ramo a função é válida para 0x ≥ , a função deste ramo

está definida para { :1 0} \{1}D x x= ∈ − ≠ =� � , assim o domínio deste ramo é

[ [ [ [1 0 0\{1} \{1} 0,1fD + += = = ∞� � �� ;

• 2º ramo: Nesse ramo a função está definida para 0x < , uma vez que, o domínio da função

deste ramo é � , então ] [2

,0fD −= = −∞� �� .

Portanto, fazendo a reunião dos domínios dos ramos, vem

] [ [ [ [ [ ] [ ] [1 2

,0 0,1 ,1 \{1}f f fD D D= = −∞ ∞ = −∞ ∞ =� �� .�

ii) Noções topológica

Definição 0.3: Seja X ⊆ � , 0r > e ] [( , ) { :| | } ,d a r x x a r a r a r= ∈ − < = − +� uma vizinhança

de a ∈� ,

• int( ) ( , )a X d a r X∈ ⇔ ⊂ . Repare-se que, int( )X X⊆ .

• ext( ) ( , ) \ ca X d a r X X∈ ⇔ ⊂ =� (complementar de X , cX X �� ).

• front( ) ( , )a X d a r X⇔� � � e ( , ) cd a r X� � (sse não for nem interior nem exterior a

X).




3/15

Estes conjuntos são disjuntos dois a dois, isto é, int( ) ext( )X X� �, int( ) front( )X X� � e

ext( ) front( )X X� �, e a sua união é o universo considerado, isto é,

int( ) ext( ) front( )f f fD D D = �� .

Definição 0.4: O conjunto X ⊆ � diz-se:

• aberto sse coincide com o seu interior.

• fechado sse coincide com a sua aderência, ad( ) int( ) front( )X X X X� � � , ou seja, sse o seu

complementar for aberto. Repare-se que, ext( ) \X X�� .

• limitado sse existir uma vizinhança de � que o contenha.

• compacto sse for limitado e fechado.

Estas noções são importantes, porque, por exemplo, só se poderá definir derivada de uma função

num ponto interior do domínio.

Exemplo 0.2: Classificação topológica do domínio da função (0.1).

Como foi visto, \{1}fD = � , vindo:

• int( ) \{1}f fD D= =� , fD é aberto;

• ext( )fD = ∅ ;

• { }front( ) 1fD = .

• { }ad( ) int( ) front( ) \{1} 1f f f f fD D D D D= = = = ≠� �� , logo, fD não é fechado.

O conjunto fD não é limitado (pois não existe uma vizinhança de � que o contenha) e não é

fechado, logo não é compacto. �

iii) Limites e continuidade

Definição 0.5: Uma função f diz-se contínua num ponto a sse lim ( ) ( )x a

f x f a→

= . Por outro lado, caso

a função não seja contínua nem prolongável por continuidade ao ponto a, diz-se descontínua nesse

ponto.




4/15

Exemplo 0.3: A continuidade da função (0.1), deve ser estudada nos dois ramos e no ponto de

mudança de ramo, 0x = .

• Para 0x ≥ (1º ramo), a função é contínua para [ [ ] [( )0,1 1,x∀ ∈ +∞� , por se tratar de uma

função racional.

• Para 0x < (2º ramo), a função é contínua, pois trata-se de uma função exponencial, que é

contínua em � .

• Para 0x = , (0) 0f = , 2

0 0

2lim ( ) lim 0

1x x

x xf x

x+ +→ →

−= =−

e 1

00lim ( ) lim x

xxf x e e

−

+

→→= = . Portanto

∃0

lim ( )x

f x→

, uma vez que, 0 0

lim ( ) lim ( )x x

f x f x+ −→ →

≠ , logo a função não é contínua neste ponto.

Pode concluir-se que a função é contínua em \ {0,1}� .�

iv) Derivadas, diferenciabilidade e diferencial Em geral, quando uma grandeza y está expressa em função de outra x, ou seja, ( )y f x= , observa-se

que, para uma dada variação x h∆ = de x, ocorre, em correspondência, uma variação y f∆ = ∆ de y,

desde que y não seja uma função constante.

Considerando a recta r que passa nos pontos 0 0( , ( ))x f x e 0 0( , ( ))x x f x x+ ∆ + ∆ , portanto, secante à

curva ( )y f x= , o declive desta recta é dado por

0 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( )r

f x x f x f x x f xm

x x x x+ ∆ − + ∆ −= =+ ∆ − ∆

,

que pode ser encarado como uma medida da «taxa média de variação» de f, por unidade de

comprimento, entre os pontos 0x e 0x x+ ∆ (variação de y para cada variação unitária em x,

velocidade média de crescimento da função). Conforme x∆ se aproxima de zero, o ponto




5/15

0 0( , ( ))x x f x x+ ∆ + ∆ aproxima-se do ponto 0 0( , ( ))x f x , e a recta continua secante ao gráfico, sendo

determinada por dois pontos cada vez mais próximos. Na posição limite, quando 0x∆ → , esta

recta passa a ser tangente, tr , ao gráfico da função no ponto 0 0( , ( ))x f x , com declive

0 0

0

( ) ( )lim

tr x

f x x f xm

x∆ →

+ ∆ −=∆

.

A derivada de uma função de equação ( )y f x= é uma função de x, que por definição é dada pela

expressão

0

( ) ( ) ( )( ) lim

x

dy df x f x x f xf x

dx dx x∆ →

+ ∆ −′= = =∆

.

A derivada é, portanto, um operador matemático que transforma uma função noutra função. Num

determinado ponto dá a taxa de variação pontual ou instantânea da função nesse ponto,

geometricamente corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico da função ( )y f x= nesse

ponto e trigonometricamente corresponde à tangente que essa recta faz com o eixo das abcissas (ou

seja ( ) tgf x α′ = , onde α é o ângulo que a recta tangente forma com o eixo horizontal, medido no

sentido anti-horário).

Em particular, quando ( )y f t= descreve a posição de um objecto no instante t quando este se move

numa linha recta, ( )f t′ descreve a velocidade (instantânea) do objecto no instante t.

O cálculo das derivadas pode ser efectuado através da definição ou pelas regras de derivação.

Definição 0.6: Uma função f diz-se diferenciável no ponto a, se for possível aproximar a função,

em a, por uma aplicação linear.

Geometricamente este facto traduz-se em � pela existência de uma recta tangente ao gráfico de f

em a. Quer dizer, se uma função tiver derivada finita num ponto então é diferenciável nesse ponto.

Portanto, para f.r.v.r. ser diferenciável é equivalente a ser derivável.

Teorema 0.1: Se uma função : ff D ⊆ →� � é diferenciável num ponto int( )fa D∈ , então é

contínua nesse ponto.

( )f x diferenciável� ( )f x é contínua

( )f x contínua � ( )f x diferenciável

( )f x não contínua � ( )f x não diferenciável




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Exemplo 0.4: A diferenciabilidade da função (0.1), deve ser estudada nos dois ramos e no ponto de

mudança de ramo, 0x = .

• Para 0x < (1º ramo), a função é diferenciável [ [ ] [( )0,1 1,x∀ ∈ +∞� , uma vez que admite

derivada finita nestes pontos. Para 1x = a função não é diferenciável por não ser contínua.

• Para 0x > (2º ramo), a função é diferenciável, uma vez que a função definida neste ramo

admite derivadas finitas x∀ ∈� , por se tratar de uma função exponencial.

• Para 0x = , a função não é diferenciável uma vez que não é contínua nesse ponto. Note-se que,

(0 ) 2 (0 )f f e+ −′ ′= − ≠ = , logo não existe (0)f ′ e consequentemente, também não é

diferenciável nesse ponto.

Pode concluir-se que a função é diferenciável em \ {0,1}� .�

Definição 0.7: O diferencial da função ( )y f x= é dado por ( )dy

dy dx f x dxdx

′= = .

Para f.r.v.r, ( )y f x= , pode calcular-se aproximadamente a variação de y, ou seja, y∆ , para uma

variação, x∆ , em x, em torno de um ponto x a= utilizando diferenciais: ( )y dy f a dx′∆ ≈ = . Isto

representa, na realidade, que se está a aproximar a curva ( )f x em torno de x a= , por uma recta

tangente que passa por a, dada por, ( )( ) ( )'y f a x a f a= − + .

Por definição, dx x= ∆ . No entanto, costuma-se usar dx quando se trata de quantidades pequenas

(infinitesimais) e x∆ quando se trata de quantidades finitas usadas na prática.

v) Gráficos Muitas vezes é importante conseguir uma visualização gráfica duma função, isto é, estabelecer uma

associação geométrica entre cada ponto do seu domínio e respectiva imagem, os valores do

contradomínio.

Definição 0.8: Define-se gráfico, fG , de uma função : ff D ⊆ →� � ao lugar geométrico dado

por { }( , ) : , ( )f fG x y x D y f x= ∈ = .

A representação gráfica de uma f.r.v.r. faz-se num espaço bidimensional, 2

fG ⊂ � .




7/15

Exemplo 0.5: Representação gráfica da função (0.1). Para se construir o gráfico de uma função, é

útil estudar analiticamente o comportamento da mesma, em particular, o domínio, as intersecções

com os eixos, as assíntotas, a monotonia e a concavidade, aplicando os conceitos até aqui

apresentados.

1) Domínio: Como foi visto, \{1}fD = � .

2) Intersecções com os eixos:

• Para 0x ≥ ,

Eixo das abcissas: 2

22( ) 0 0 2 0 1 0 0 2

1x x

f x x x x x xx

−= ⇔ = ⇔ − = − ≠ ⇔ = =−

� . Estes

valores são os zeros da função, que estão definidos quer no domínio deste ramo, quer no domínio da

função.

Eixo das ordenadas: (0) 0f = . • Para 0x < ,

Eixo das abcissas: 1( ) 0 0xf x e += ⇔ = , esta equação não tem solução. Quando 0x < a função não

intersecta o eixo das abcissas.

Eixo das ordenadas: (0) 0f e= > . Apesar de fe D∈ , este valor não pertence ao domínio do 2º ramo

da função. Quando 0x < a função não intersecta o eixo das ordenadas.

3) Assíntotas Verticais (A.V.):

Como a função apresenta dois pontos de descontinuidade para 0x = e 1x = , é possível ter

assíntotas verticais nestes pontos.

• Para 0x = ,

1

0 0

2

0 0

lim ( ) lim

02lim ( ) lim 0

1

x

x x

x x

f x e e

xx xf x

x

− −

+ +

+

→ →

→ →

�= =�� =�−= = �

− �

não é uma A.V.

• Para 1x = ,

2

1 1

2

1 1

2 1lim ( ) lim

1 0 12 1

lim ( ) lim1 0

x x

x x

x xf x

x xx x

f xx

− −

+ −

+→ →

−→ →

�− −= = = −∞��−� =�

− − �= = = +∞�− �

é uma A.V. bilateral.




8/15

4) Assíntotas não Verticais (A.V.) ( y mx b= + ):

• Para 0x > , sendo 2 2

( ) 21lim lim lim 11x x x

x xf x xxm

x x x→+∞ →+∞ →+∞

−−−= = = = −−

e

2 2lim [ ( ) ] lim lim 1

1 1x x x

x x xb f x mx x

x x→+∞ →+∞ →+∞

− −= − = + = =� �− − �,

conclui-se que 1y x= − + , é uma assíntota oblíqua quando x → +∞ . • Para 0x < , sendo

1( )lim lim 0

x

x x

f x em

x x

+

→−∞ →−∞= = = (há uma assíntota horizontal)

e 1lim [ ( ) ] lim 0 0x

x xb f x mx e +

→−∞ →−∞ = − = − = � ,

conclui-se que 0y = , é uma assíntota horizontal quando x → −∞ .

5) Extremos e monotonia:

• Para 0x ≥ : 2 2

22

2 2 2( ) 0 0 0 2 2 0 1 0

1 (1 )x x x x

f x x x xx x

′� �− − + −′ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + − = − ≠� �− −� � , esta

equação é impossível, portanto, ( )f x′ não tem zeros no 1º ramo (não tem extremos) e como

2 2 2 0x x− + − < 1 e 2(1 ) 0x− ≥ , tem-se ( ) 0f x′ < . Assim, ( )f x é decrescente para 0x ≥ .

• Para 0x < , 1 1( ) 0 ( ) 0 0x xf x e e+ +′ ′= ⇔ = ⇔ = , equação impossível, logo ( )f x′ não tem zeros

no 2º ramo (não tem extremos) e como ( ) 0f x′ > , 0x∀ < , ( )f x é crescente para 0x < .

6) Pontos de inflexão e Concavidade:

• Para 0x ≥ : 2

3

2 2( ) 0 0 0

1 (1 )x x

f xx x

′′� �− −′′ = ⇔ = ⇔ =� �− −� �, é uma condição impossível, x∀ ∈� ,

logo ( )f x′′ não tem zeros no 1º ramo (não tem pontos de inflexão). Mas, como ( ) 0f x′′ < ,

quando 0 1x≤ < , ( )f x tem a concavidade virada para baixo para 0 1x≤ < e, como ( ) 0f x′′ > ,

quando 1x > , ( )f x tem a concavidade virada para cima para 1x > .

1 Parábola com concavidade virada para baixo.




9/15

• Para 0x < : 1 1( ) 0 ( ) 0 0x xf x e e+ +′′ ′′= ⇔ = ⇔ = é uma condição impossível, x∀ ∈� (não tem

pontos de inflexão), em particular para 0x∀ < , onde ( ) 0f x′′ > , assim, ( )f x tem a

concavidade virada para cima para 0x < .

7) Quadro resumo:

x −∞ 0 1 + ∞ ( )f x′ + − − ( )f x′′ + − + ( )f x � � � � � �

A figura seguinte ilustra a representação gráfica da função.

O gráfico mostra que a função não é contínua na origem, e que a função não admite extremos, em

particular, que 0x = não é um ponto de máximo da função. �

vi) Função composta

Definição 0.9: Sejam : ff D ⊆ →� � e : gg D ⊆ →� � duas f.r.v.r, a composta de f e g,

designada por fog , é definida do seguinte modo:

i) O domínio de fog é o conjunto fogD formado pelos objectos gx D∈ que verificam a condição

( ) fg x D∈ , i.e, { : ( ) }fog g fD x D g x D= ∈ ∈ ;

ii) Para cada fogx D∈ , ( )( ) [ ( )]fog x f g x= .

Se ( )g fg D D⊂ , tem-se fog gD D= ; se ( )g fg D D = ∅� , fog é a função vazia.




10/15

Exemplo 0.6: Supondo 2 2

( )1

x xf x

x−=−

e 1( ) xg x e += , então

( 1) 11

1

( 2)( )( ) [ ( )]

1

x xx

x

e efog x f g x f e

e

+ ++

+

− = = = � −

e 2 2 22 2 1 3 12 11 1 12

( )( ) [ ( )]1

x x x x x x xx x xx x

gof x g f x g e e ex

− − + − − ++− − − −= = = = =� �− �

.

Verifica-se que ( )( ) ( )( )gof x fog x≠ .�

Definição 0.10: As funções : ff D ⊆ →� � e 1

1 :f

f D −− ⊆ →� � dizem-se inversas se

satisfazem as duas seguintes condições:

i) 1( )( )f of x x− = (função identidade), fx D∀ ∈ ;

ii) 1( )( )fof x x− = , 1fx D −∀ ∈ .

O símbolo 1f − deve ser sempre interpretado como a inversa de f e não como 1f

, o inverso de f.

Exemplo 0.7: Cálculo da inversa da função 1( ) xg x e += . Igualando a função a y e resolvendo-a em

ordem a x, vem,

1 ln 1 ln( ) 1xy e y x x y+= ⇔ = + ⇔ = − , portanto 1( ) ln( ) 1g x x− = − .

Verifique-se, agora, que as funções ( )g x e 1( )g x− , são inversas:

i) 1 ln( ) 1 1( )( ) (ln( ) 1) xgog x g x e x− − += − = = ;

ii) 1 1 1 1( )( ) ( ) ln( ) 1x xg og x g e e x− − − −= = − = . c.q.d.�

O resultado que segue, expressa a derivada da composição fog em termos das derivadas de f e g,

permitindo derivar funções complicadas utilizando derivadas de funções mais simples.

Teorema 2 (Regra da cadeia): Se g é diferenciável em x e f é diferenciável em ( )g x , então a

função composta fog é diferenciável em x. Para além disso ( ) ( ) ( ( )) ( )fog x f g x g x′ ′ ′= .

Alternativamente, se ( ( ))y f g x= e ( )u g x= , então ( )y f u= e dy dy dudx du dx

= .




11/15

Exemplo 0.8: Cálculo da derivada de y gof= , onde f e g são dadas no exemplo 6.

Do exemplo 6, 2 3 11[ ( )]

x xxy g f x e

− +−= = , pretende-se calcular ( ) ( )y gof x′ ′= .

Seja 2 21

x xu

x−=−

e 1( ) ( ( ))uy g u e g f x+= = = , como 1udye

du+= e

2

2

2 2( 1)

du x xdx x

− += −−

vem

2 3 12 21 1

2 2

2 2 2 2( 1) ( 1)

x xu xdy dy du x x x x

e edx du dx x x

− ++ −− + − += = − = −

− −.

Obviamente 2 2 23 1 3 1 3 12 21 1 1

2

3 1 2 21 ( 1)

x x x x x xx x xx x x x

y e e ex x

− + − + − +− − −

′ ′� � � �− + − +′ = = = −� � � �� − −� �� .�

vii) Integrais O cálculo de integrais definidos é de importância fundamental devido às suas variadas aplicações

nas diferentes áreas. Consideramos primitivas quando não existem extremos de integração e

integrais quando existem.

Primitivar pode ser considerado como a operação “inversa” de derivar. Por exemplo, uma vez que

1 1( )x xe C e+ +′+ = , então 1 1x xe dx e C+ += +� (sendo C uma constante). Esta última é considerada uma

primitiva imediata, a forma mais fácil de primitivar. Pode-se ver que uma função tem infinitas

primitivas que diferem entre si de uma constante.

Caso as primitivas não sejam imediatas, dois métodos usuais de cálculo são:

• Primitivação por partes: Seja ( )u u x= e ( )v v x= , então pela derivada do produto

( )uv u v v u′ ′ ′= + primitivando ambos os membros desta igualdade resulta

( ) ( )P uv P u v v u uv Pu v Pv u Pu v uv Pv u′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + ⇔ = + ⇔ = − .

Exemplo 0.9: Cálculo da primitiva 1xxe dx+� , utilizando o método de primitivação por partes.

1 1

1

x xu e u e

v x v

+ +′� = � =� ′= � =�

donde �� 1 1 1 11 ( 1)x x x x

vv u v u u

x e dx x e e dx x e C+ + + +

′′= − × = − +� � .�




12/15

• Primitivação por substituição: Para a qual se dá um exemplo.

Exemplo 0.10: Cálculo da primitiva 1xe dx+� , utilizando o método de primitivação por

substituição.

Fazendo 1

( )

1 1ln( ) 1x

x x u

dxe u x u dx du

du u u+

== � = − � = � = , substituindo na expressão original a nova

variável, 1 1xe dx u du du u Cu

+ = × = = +� � � , voltando à variável original

1

1 1x

x x

u ee dx u C e C

+

+ +

== + = +� , como seria de esperar. �

Uma das aplicações dos integrais é no cálculo de áreas. Exemplo 0.11: Cálculo da área delimitada pelas condições 0y > , 1xy e += e 0x < .

Tendo em conta o gráfico da função (0.1), através de integrais simples:

0 01 1 1 0 0 1 1 0 1 1( 0) lim lim [ ] lim [ ] lim 0x x x A A

AAA A A Ae dx e dx e e e e e e+ + + + + + +

−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞− = = = − = − = >� �

Apesar de se tratar de um integral impróprio, é possível calcular esta área.

Ou através de integrais duplos: 10

0

xedydx e

+

−∞=� � .�

Exemplo 0.12: Cálculo da área delimitada pelas condições, 2 21

x xy

x−=−

e 120 x< < .

A área pedida pode ser obtida através do cálculo 1 12 22 2

0 0

2 20

1 1x x x x

dx dxx x

� �− −− =� �− −� �� .

Como 2 21

x xx

−−

é uma função racional imprópria (grau do numerador maior que o do

denominador), fazendo a divisão de polinómios, vem 2 2 1

11 1

x xx

x x− = − −− −

.

Donde

( )1

1 12 2 21 1 12 28 2 20 0

0

2 11 ln(1 ) ln 0 0,31815 0

1 1 2x x x

dx x dx x xx x

− � �− = − − = − − − = − − − >� � � �− −� � �� .�




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viii) Equações diferenciais As equações diferenciais surgem em vários ramos da engenharia. Podem ser modelados por este

tipo de equações, fenómenos ligados com, análise de circuitos, e de sinais, mecânica de fluidos,

comportamento estático e dinâmico de estruturas, propagação de ondas, entre outros.

Definição 0.11: Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação entre

uma função desconhecida, as suas variáveis independentes e as derivadas dessa função em ordem a

uma ou a mais das variáveis independentes.

Se uma equação diferencial tiver uma única variável independente, diz-se ordinária (EDO); tendo

mais do que uma variável independente, a equação diz-se uma equação diferencial com derivadas

parciais (equação diferencial parcial, EDP).

A ordem de uma equação diferencial é igual à ordem da maior derivada que nela se encontra. De

uma maneira geral, as EDO mais estudadas são as de primeira ordem: com variáveis separadas;

homogéneas; exactas; lineares e de Bernoulli.

Definição 0.12: Chama-se solução ou integral de uma equação diferencial a toda a função ( )y f x=

que a verifique.

A solução geral de uma equação diferencial envolve um número de constantes igual à ordem da

equação, representando por isso uma família de linhas. Uma solução particular, satisfaz uma

condição inicial.

Exemplo 0.13: Considere-se um fenómeno que pode ser descrito por uma equação diferencial

ordinária. A velocidade de um corpo é definida como o espaço percorrido por unidade de tempo, ou

seja, é a razão entre a variação da posição espacial do corpo ( x∆ ) e o intervalo de tempo

correspondente ( t∆ ), portantox

vt

∆ =∆

. Contudo, a velocidade pode não ser constante, ou seja, pode

variar ao longo do tempo. Logo, por forma a obter uma correcta descrição da velocidade num

determinado instante, deve-se efectuar medições em intervalos de tempo curtos. Falámos assim de

uma velocidade instantânea ( 0t∆ → ), dada por ( ) ( )dx

x t v tdt

′ = = (A derivada dá a taxa de variação

instantânea). Obtendo-se uma equação diferencial ordinária, a qual diz que a velocidade é, em cada

instante, dada pela primeira derivada de x em ordem a t. Essa derivada, dx/dt, representa a taxa de

variação do espaço percorrido pelo corpo ao longo do tempo. �




14/15

Exemplo 0.14: Foi observado que a velocidade de um automóvel varia ao longo do tempo de

acordo com a seguinte equação: ( )2100 1 tv e−= − , com t em h (horas) e v em km/h. Sabe-se ainda

que ao fim de 1h o automóvel percorreu 50 km. Obtenha uma equação que descreva a variação da

distância percorrida com o tempo.

Do exemplo 0.13, sabe-se que a taxa de variação do espaço percorrido por um corpo ao longo do

tempo, é dada pela EDO, ( )dx

v tdt

= , neste exemplo, ( )2( ) 100 1 tdxv t e

dt−= = − .

A resolução desta equação resulta de integrar ambos os membros da equação

( ) ( ) ( )2 2 2

22

100 1 100 1 100 1

100 100 50 ,2

t t t

tt

dxe dx e dt dx e dt C

dte

x t C t e C

− − −

−−

= − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔

� �⇔ = + + = + +� �

� �

� �

Como o espaço percorrido depende do tempo, a solução geral da EDO é 2( ) 100 50 tx t t e C−= + + . A

verificação desta solução é feita através da substituição desta expressão na equação diferencial

original. Neste exemplo,

2

2 2( ) (100 50 )100 100 100(1 ) ( )

tt tdx dx t d t e C

e e v tdt dt dt

−− −+ += = = − = − = .

Aplicando a condição inicial 1 50t h x km= � = , vem 250 100 50 56,77te C C−= + + ⇔ = − . Assim, a solução particular que verifica a condição inicial imposta pelo enunciado do

problema é: 2100 50 56.77tx e−= + − . Este exemplo ilustra outra aplicação do cálculo integral. �

Exemplo 0.15: Considere-se um fenómeno que pode ser descrito por uma equação diferencial

parcial. O movimento de uma viga que pode vibrar longitudinalmente (i.e. na direcção do eixo das

abcissas) supondo-se pequenas vibrações, pode descrito pela equação 2 2

22 2

u uc

t x∂ ∂=∂ ∂

. A variável

( , )u x t é o deslocamento longitudinal em relação à posição de equilíbrio da secção transversal no

ponto x. A constante 2c E µ= , onde E é o módulo de elasticidade (esforço dividido pela tensão) e

depende das propriedades da viga, µ é a densidade (massa por unidade de volume). �

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