Simulado Discursivo III - ITA 1. Dados dois conjuntos A e B, define-se

A B = (A B) (B A)

Prove que dados trs conjuntos arbitrrios X, Y e Z

X (Y Z) = (X Y) (X Z) 2. Seja f uma funo bijetora de uma varivel real e a relao h, definida por

h : IR2 IR2 (x, y) (x3, x f (y))

Verifique se h bijetora e calcule uma relao g, tal que

g o h (x, y) = (x, y) h o g (x, y) = (x, y), x, y IR 3. Considere os seguintes conjuntos de nmeros complexos: A = {z C z = 1, Im (z) > 0} B = {z C Re (z) = 1 , Im (z) > 0} onde Re (z) e Im (z) so as partes real e imaginria do nmero complexo z, respectivamente.

a) Mostre que para cada z A, o nmero 1z

z2+ pertence a B.

b) Mostre que cada B pode ser escrito da forma 1z

z2+ para algum z A.

4. Demonstre a identidade

tg2x + ctg2x = 2

+

x4cos1x4cos3 .

5. Seja Mn(R) o conjunto de matrizes quadradas de ordem n, de coeficientes reais. Define-se a funo, : Mn(R) x Mn(R) Mn(R) (A,B) = AB BA Calcule:

((A,B);C) + ((B,C),A) + ((C,A),B) 6. a) Obtenha a expresso para tg 3 em funo de tg = x. b) Utilize o item anterior para determinar as solues da equao

x3 3mx2 3x + m = 0 onde m um nmero real dado. 7. Calcule o coeficiente do termo em x3, no desenvolvimento de:

(2x 3)4(x + 2)5: 8. Determine a equao e o raio do crculo de menor dimetro, que possue com o crculo x2 + y2 8x 25 = 0 eixo radical y 2x 5 = 0.

9. Demonstre que, num tringulo ABC

cotg 2A =

CcosBcosCsenBsen

++

10. Secciona-se um cubo de aresta a por planos passando pelos pontos mdios das arestas concorrentes em cada vrtice. Considere o slido formado ao retirar-se as oito pirmides obtidas. Calcule a soma das arestas, a rea e o volume deste slido. Gabarito: 1. 2.

))yx(f,x()y,x(g)y,x(

IRIR:g313

22

=

a

3. 4. 5. n0 6.

==

marctg31tgx)b

tg31tgtg3)3(tg)a 2

3

7. 168

8. 5

365

13y56x

22=

+

+

9. 10.

3

2

a65V

)33(aS

2a12p2

=+=

=