37-O Circuito RLC Série Em CA

7/23/2019 37-O Circuito RLC Série Em CA

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Série de Eletrônica

Sumário

Introdução 5

O circuito RLC série em corrente alternada 6

As tensões no circuito RLC série 9

Impedância do circuito RLC série 13

A corrente no circuito RLC série 15

Ressonância 1

Circuito RLC série na ressonância !!

Lar"ura da #ai$a !5

Ap%ndice !

&uestion'rio !

(i)lio"ra*a !

3

SENAI



Espaço SENAI

Missão do Sistema SENAI

Contribuir para o fortalecimento da indústria e o desenvolvimento

pleno e sustentável do País, promovendo a educação para o trabalo e a

cidadania, a assist!ncia t"cnica e tecnol#$ica, a produção e disseminação

de informação e a ade%uação, $eração e difusão de tecnolo$ia&

Integração ' (ortalecer o trabalo em e%uipe " essencial para a

consecução dos ob)etivos e satisfação dos clientes e*ternos e internos&




Introdução

+s aparelos de som produidos atualmente disp-em de muitos recursos e

são li$ados a cai*as de som de alta %ualidade, de forma %ue os sons $raves são

reproduidos em um alto.falante e os a$udos em outro&

Como " %ue esta separação entre $raves e a$udos acontece/ Certamente

esta per$unta )á foi feita inúmeras vees&

A resposta a essa per$unta está nos circuitos compostos por resistores,

capacitores e indutores, denominados de circuitos 01C&

Este fascículo tratará do circuito 01C s"rie e suas características, visando

a fornecer os fundamentos indispensáveis para %ue se)a possível compreender

fen2menos como a 3separação de $raves e a$udos4&

Para ter sucesso no desenvolvimento do conteúdo e atividades

deste fascículo, o leitor já deverá ter conhecimentos relativos a:

• Indutores&

• Capacitores&

• 0epresentação fasorial de par5metros el"tricos&

5



Circuito RLC série em corrente alternada

O circuito RLC sérieem correntealternada

6m capacitor li$ado em corrente alternada provoca a defasa$em entre a

corrente e a tensão& A tensão " atrasada 789 em relação : corrente, como

ilustrado na ig!"&

o

o

V c

V cc

c

78

78

ig!" ;efasa$em entre corrente e tensão provocada por um capacitor&

6m indutor li$ado em CA tamb"m provoca uma defasa$em entre tensão ecorrente& A tensão " adiantada 789 em relação a corrente, como mostrado na

ig!#&

oo78

V 1 V 1 I

I 178t

$

ig!# ;efasa$em entre corrente e tensão provocada por um indutor&

Comparando os $ráficos fasoriais do capacitor e do indutor, verifica.se

%ue os efeitos são sim"tricos entre si& Em relação : corrente, o capacitor atrasa a

tensão e o indutor adianta&

Esta oposição entre os efeitos fa com %ue os circuitos formados por um

resistor, um indutor e um capacitor li$ados em s"rie tenam um comportamento

particular em CA&

Este comportamento pode ser estudado tomando.se como refer!ncia o

circuito 01C s"rie mostrado na ig!3&

0

C~

1

ig!3 Circuito 01C s"rie&

Como o circuito " s"rie, a corrente el"trica " tomada como refer!ncia, por

ser única em todo o circuito&

A corrente circulante provoca uma %ueda de tensão no resistor <V 0 = I × R>

%ue está em fase com a corrente, como ilustrado na ig!%&

L

R

C ~

RV = I × R

?0

t

I

?0 I

&

ig!% @ueda de tensão em 0&

A corrente provoca tamb"m uma %ueda de tensão no indutor <V 1 = I × X 1>& A

%ueda de tensão no indutor está 789 adiantada em relação : corrente, como

ilustrado na ig!5&

L

R

C ~

1V = I x X 1

I

ig!5 @ueda de tensão no indutor&

;a mesma forma, ocorre uma %ueda de tensão no capacitor < V C = I × X C>&

A %ueda de tensão no capacitor está 789 atrasada em relação : corrente, como pode ser visto na ig!$&

L

R

C '

CV =I.XC

I

ig!$ @ueda de tensão no capacitor&

(

As tensões no circuitoRLC série

No circuito 01C s"rie e*iste uma única corrente e tr!s tens-es

envolvidas <V 0 , V 1 e V C>, conforme mostram os $ráficos senoidal e fasorial daig!&&

ig!& ráficos senoidal e fasorial dos circuitos 01C s"rie&

;esses $ráficos, observa.se %ue a tensão no indutor e no capacitor estão

em oposição de fases&

0etirando dos $ráficos a corrente e a %ueda de tensão no resistor, pode.se

ver claramente na ig!( %ue V 1 e V C estão em oposição de fases&

)

ig!( @ueda de tensão no indutor e %ueda de tensão no capacitor em oposição

de fases&

As tens-es V 1 e V C em oposição de fase atuam uma contra a outra,subtraindo.se& Esta subtração entre V 1 e V C pode ser observada na prática,

medindo.se os valores de V C e V 1 isoladamente e depois medindo.se o

valor V C ' V 1, como ilustrado na ig!)&

L

R

C

LVCV -

L

R

C

~ L

C

V

V

B?

DE?

43V

ig!) Fensão resultante ?C . ?1

Na ig!)* a tensão resultante entre 1 e C " capacitiva por%ue a tensão V C "

maior %ue a tensão V 1&

Com base na subtração entre V 1 e V C, o sistema de tr!s fasores <V 0 , V 1 e

V C> pode ser reduido para dois fasores G <?C ' ?1> e ?0 ou <?1 ' ?C> e ?0 & Esse

comportamento pode ser visto nas ig!"+&

"+

,a-

,.-

ig!"+ <a> Circuito 01C onde o efeito capacitivo " maior %ue o indutivo e

 circuito 01C onde o efeito indutivo " maior %ue o capacitivo&

A partir do sistema de dois fasores defasados entre si de 789, a tensão total

?F pode ser determinada pelo Feorema de Pitá$oras&

BC1

B0

BF >?<??? −+=

BC1

B0 F >?<??? −+= <>

Note %ue nesta e%uação, os termos V 1 e V C devem ser colocados sempre

na ordemG maior menos o menor <V 1 ' V C ou V C ' V 1>, de acordo com a situação&

Isto " importante no momento em %ue for necessário isolar um dos termos <V 1ou V C> na e%uação&

""

A se$uir são mostrados dois e*emplos de utiliação da e%uação de tensão

total&

E/emplo "0

;eterminar a tensão total aplicada ao circuito da fi$ura abai*o&

Solução0

BBF

BC1

B0

BF

H8><8J8 −+=

−+=

V

)V (V V V

V F = D?

E/emplo #0

;eterminar o valor da %ueda de tensão no resistor&

"#

1 1

C

0

C

0

?

?

? = J8 ?

= 8 ?

= H8 ?

Solução0

BC1

BF0

B0

BC1

BF

BC1

B0

BF

><

><

><

V V V V

V V V V

V V V V

−−=

=−−

−+=

BB0 B8J8 −=V

V 0 = J,K?

+bserve %ue <V 1 − V C> foi tratado com um único termo para o

dimensionamento da e%uação&

Impedância docircuito RLC série

A e%uação para determinar a imped5ncia de um circuito 01C s"rie pode

ser encontrada a partir de um estudo do seu dia$rama fasorial&

;ividindo.se cada um dos fasores V 1 , V 0 e V C pela corrente I, tem.se G

"3

1

CC

0

?

?

J8 ?

= D8 ?

= K8 ?

I

V X 1

1 = I

V R 0 =

I

V X C

C =

+s valores X 1, R e X C dão ori$em a um novo $ráfico fasorial ilustrado naig! ""&

d i v i d i d o p o r I

V = I X *1 1

R

X C

X 1

V = I X *C C

V = I X *0 0

ig!"" ;ia$rama fasorial de L1, 0 e LC

Pelo novo $ráfico fasorial, observa.se %ue X 1 e X C estão em oposição defase&

Com base nesta observação, o sistema de tr!s fasores < X 1, R e X c> pode ser

reduido apenas para dois, conforme ilustrado na ig!"#&

X 1

< . > X X1 C

R

X C

,a-

"%

X 1

< . > X X1C

R R

X C

,.-

ig!"# <a> Circuito 01C onde X 1 M X C e X C M X 1

A partir do sistema de dois fasores defasados entre si de 789, a resultante

pode ser determinada pelo Feorema de Pitá$oras G

( ) BC1

B X X R Z −+= 

Nesta e%uação, os termos X 1 e X C devem ser colocados na ordem, maior menos o menor, conforme a situação < X 1 ' X C ou X C ' X 1>&

A CORRENTE NO CIRCITO RLC S!RIE

A corrente no circuito 01C s"rie depende da tensão aplicada e da

imped5ncia do circuito, conforme estabelece a 1ei de +m para circuitos de

corrente alternadaG

Z

V I F=

<H>

A se$uir são mostrados dois e*emplos %ue ilustram a utiliação das

e%uaç-es da tensão total e da corrente no circuito 01C s"rie&

E/emplo 30

;eterminar Z, I, V 0 , V 1 e V F no circuito da fi$ura abai*o&

Solução0

"5

X 1 = Bπ × f × L X 1 = D,BK×D8×B X 1 = JΩ

C f X

××π=B

C Ω= HB&C X

B1C

B ) X (X R Z −+=

BB IJE><&HBI&888 −+= Z

Z = &JH Ω

Z

V I F=

JH

B8

. I = I = 8,8A

V 0 = I × R V 0 = 8,8 × &888 V 0 = 8?

V 1 = I ×

X L V L = 8,8×

J V 1 = K?

V C = I × X C V C = 8,8 × &HB V C = HK?

+s resultados podem ser conferidos aplicando.se os valores de V 0 , V 1 e V Fna E1!,"- da tensão total G

BBB1C

B0 F K><HK8E>< −+=−+= V V V V

V F = B8,8?

"$

L

C

R

B8 ?D8 N

B (µ

B N

O Ω

+ resultado confere com o valor da tensão aplicada, comprovando %ue os

valores de V 0 , V 1 e V C estão corretos& A pe%uena diferença <8,8?> se deve aos

arredondamentos realiados nos cálculos&

E/emplo %0

;eterminar Z, I, V 0 , V 1 e V C no circuito da fi$ura abai*o&

Solução0

Ω=××π

= &J7BB

C

C f X

X 1 = Bπ × f × L = B&JBΩ

BC1

B >< X X R Z −+=

BB C&J7B><B&JCBC&B88 −+= Z

Z = &JBΩ

Z V I F= &JB

J8= I I = 8,8HHA

V 0 = I × R V 0 = 8,8HH × &B88 V 0 = H7,?

V 1 = I × X 1 V 1 = 8,8HH × B&JB V 1 = KH,?

V C = I × X C V C = 8,8HH × &J7B V C = JB,?

+s resultados podem ser comprovados solicitando.se os valores de V 0 , V 1e V F na E1!,"- da tensão total&

"&

L

C

R ,B O Ω

J8 ? ON

88 n(

8,E N

Ressonância

A reat5ncia de um indutor cresce : medida %ue a fre%!ncia da rede CA

aumenta& Por e*emplo, para um indutor de conectado a um $erador de sinais,

tem.se a relação apresentada na 2a.ela "&

2a.ela " 0elação entre fre%!ncia do $erador e reat5ncia de um indutor de &re14ncia do gerador Reatncia do indutor

J88 H&8Ω

888 D&BK8Ω

J88 7&B8Ω

B888 B&JD8Ω

Colocando.se os dados em um $ráfico, observa.se %ue a reat5ncia de um

indutor cresce linearmente com o aumento da fre%!ncia, como ilustrado naig!"3&

8,J B

J

8

<O>,J

<O Ω>1

ig!"3 0eat5ncia indutiva versus fre%!ncia do $erador&

"(

A reat5ncia de um capacitor decresce com o aumento da fre%!ncia do

$erador de CA&

Por e*emplo, para um capacitor de 8,8Bµ( conectado a um $erador de

sinais, tem.se a relação apresentada na 2a.ela #&

2a.ela # 0elação entre a fre%!ncia do $erador e reat5ncia de um capacitor de

8,8Bµ(&

re14ncia do gerador Reatncia do capacitor

J88 J&7BHΩ

&888 &7DΩ

&J88 J&H8Ω

B&888 H&7K8Ω

A colocação dos valores num $ráfico mostra a %ueda da reat5ncia

capacitiva com o aumento da fre%!ncia, como ilustrado na ig!"%&

8,J B

J

8

J

<ON>,J

<O >ΩC

ig!"% 0eat5ncia capacitiva versus fre%!ncia do $erador&

")

Sobrepondo.se os $ráficos da reat5ncia capacitiva e reat5ncia indutiva,

verifica.se %ue e*iste uma determinada fre%!ncia na %ual X 1 e X C são i$uais,

como mostrado na ig!"5&

8,J B

J

8

J

<O>,J

<O >Ω

C

1

ig!"5 (re%!ncia para %ual X 1 e X C são i$uais&

Esta fre%!ncia onde X 1 = X C, " determinada de 6re14ncia de

ressonncia, representada pela notação f 0 &

Freq!ncia de resson"ncia #f R $ % aquela em que & C e & L s'oi(uais)

@ual%uer circuito %ue contena um capacitor e um indutor tem uma fre%!ncia de resson5ncia&

A e%uação para a determinação da fre%!ncia de resson5ncia de um

circuito 1C pode ser deduida a partir do fato de %ue X 1 = X C , ou se)a G

C f L f

××π=××π

0 0

BB

;esenvolvendo.se a proporção, tem.se %ueG

C L f

××π=

B0 E

C L

f ×π

=B

0 <>

onde

#+




f 0 = fre%!ncia de resson5ncia em ert

L = indut5ncia em enrQ

C = capacit5ncia em farad&

Note %ue se a capacit5ncia for dada em µ(, a fre%!ncia de resson5nciaem será calculada pela se$uinte e%uaçãoG

C L f

×π=

B

888&0

A se$uir são apresentados dois e*emplos de cálculo da fre%!ncia de

resson5ncia&

E/emplo 50

;eterminar a fre%!ncia de resson5ncia do circuito da fi$ura abai*o&

Solução0

J,8BK,D

888&

B

888&0

×=

×π=

C L f

f 0 = BBJ,BB

Pode.se conferir o resultado calculando.se os valores de X 1 e X C em

BBJ,BB&

µ( em BBJ,BB LC = 8,8BΩ

8,J em BBJ,BB L1 = 8,7Ω

#"

L

C µ(

8,J N




A pe%uena diferença se deve aos arredondamentos realiados nos

cálculos&

E/emplo $0

;eterminar a fre%!ncia de resson5ncia do circuito da fi$ura abai*o&

Solução0

C L f

×π=

B

888&0

8EI,88,8BK,D

888&0

×= f

f 0 = &H,J

##

L 8 mNC

E n(

Circuito RLC série naressonância

+ comportamento de um circuito 0C1 s"rie na fre%!ncia de resson5ncia

pode ser estudado tomando.se como base um circuito 01C s"rie %ual%uer li$ado

a uma fonte de CA& A ig!"$ mostra um circuito 01C s"rie&

L

C

ig!"$ Circuito 01C s"rie&

A imped5ncia do circuito 01C s"rie " dada pela E1!,#- G

BC1

B >< X X R Z −+=

Se o $erador fornece uma CA na fre%!ncia da resson5ncia, tem.seG

#3

X 1 = X C

BBC1

B >< R X X R Z =−+=

Portanto, em circuito 01C na fre%!ncia de resson5ncia, R = 0&

A ig!"& mostra o $ráfico do comportamento da imped5ncia de um

circuito 01C s"rie em CA&

<N>88 88

B88

E88

D88

K88

888

H88 E88 J88

R<Ω>

f = BJ N

R = E8 Ω

0

J8 ?

R

C

L

E8 Ω

µ(

8,E N

ig!"& Imped5ncia versus fre%!ncia em circuito 01C s"rie em CA&

+ %ue se verifica " %ue na fre%!ncia de resson5ncia, capacitor e indutor

se anulam mutuamente, faendo com %ue a imped5ncia se)a mínima e i$ual aovalor do resistor&

*m circuito +- s%rie tem a im.ed"ncia mínima na

freq!ncia de resson"ncia&

Isto si$nifica %ue na resson5ncia circula a corrente má*ima em um

circuito 01C s"rie, conforme mostra o $ráfico da ig!"(&

L

C

R E8 Ω

J8?

µ(

8,E N

f <N>

f

I = 8D mA0

á*

88 B88

B8

E8

D8

K8

88

H88 E88 J88

I <mA>

#%

ig!"( Corrente má*ima no circuito 01C s"rie na resson5ncia&

A se$uir " mostrado um e*emplo de cálculo de circuito 01C s"rie na

resson5ncia&

E/emplo &0

;eterminar a corrente má*ima %ue

pode circular no circuito da fi$ura abai*o

se a fre%!ncia do $erador for variável&

;eterminar tamb"m as tens-es V A,

V C e V AC na resson5ncia& Considere &HJ

como sendo a fre%u!ncia deresson5ncia&

Solução0

A corrente má*ima do circuito 01C

s"rie ocorre na resson5ncia, ou se)a, onde

Z = R& PortantoG

Z

V

I F

=

Como na resson5ncia Z = R, tem.se %ueG

BB8

8má* = I I má* = J,JmA

V A = V 1 = I × X 1 X 1 = Bπ × f × 1 = D,BK × &HJ × 8,8 = B&D7 Ω

V 1= 8,8JJ × B&D7 = 7K,JK?

V C = V C = I × X C X C =B&D7 Ω <i$ual a X 1>

V C = 8,8JJ * B&D7 = 7K,JK?

V AC = V 1 . V C = 7K,JK . 7K,JK = 8

Conclui.se %ue a tensão fornecida pela fonte está aplicada sobre o resistor&

#5

1

C

0

8 ?

BB8 Ω

8 n(

8,8E N

S

C

A

V 0 = I × R V 0 = 8,8JJ × BB8 V 0 = 8?&

LAR"RA #A $AI%AA lar$ura de fai*a, denominada em in$l!s de .and7idt8, " definida como

a fai*a de fre%!ncia em %ue a corrente do circuito 01C s"rie se mant"m em um

valor maior %ue 8,T da corrente má*ima &

A determinação da lar$ura de fai*a no $ráfico típico de corrente do

circuito 01C s"rie aparece na ig!")&

0

8,8 I

lar$urada fai*a

má*

má*

ig!") 1ar$ura de fai*a&

A lar$ura de fai*a depende da capacit5ncia do capacitor e da indut5ncia do

indutor&

;e acordo com os valores utiliados, " possível estender ou comprimir a

lar$ura de fai*a de um circuito 01C, como mostrado na ig!#+&

#$

f f f

f

0

0

I I

1 a r $ u r ad a f a i * a

1 a r $ u r ad a f a i * a

ig!#+ ?ariação da lar$ura de fai*a&

Esta característica " aproveitada para realiar a seleção de fre%!ncias&

A ig!#" mostra como " possível obter um circuito seletor de fre%!ncia&

L

C

entrada

saída

ig!#" Circuito seletor de fre%!ncia&

Nesse circuito, a tensão de saída <V 0 > atin$e o seu valor má*imo na

fre%!ncia de resson5ncia, decrescendo : medida %ue a fre%!ncia aplicada a

entrada se afasta da fre%!ncia de resson5ncia& Este principio " aproveitado em

filtros para cai*as de som&

#&




Ap&ndice

'ESTION(RIO

& Esboce os $ráficos senoidal e fasorial das tens-es e das correntes de um

circuito 01C s"rie em corrente alternada&

B& Como se determina a imped5ncia de um circuito 01C s"rie /

H& + %ue se entende por fre%u!ncia de resson5ncia /

& Para %ue fre%u!ncia ocorre a imped5ncia mínima em um circuito 01C s"rie /

)I)LIO"RA$IA;AUES, CESFE0 1& Curso de EletrônicaV Corrente Alternada& A course

in electrical en$ineerin$ Frad& de Woão Protásio Pereira da Costa& Ka& ed&,

Porto Ale$re, 1obo, 77, vol&&

?AN ?A1XEN60, N++E0 Y NE?I11E& Eletricidade 9:sica& Ja& ed&,

0io de Waneiro, (reitas astos, 7D8, vol& ilust&

#(

37-O Circuito RLC Série Em CA

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