37034470 Exer Resolv Calculo Financeiro

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Vinte problemas resolvidos de Juros Simples1 - Calcular os juros simples produzidos por $40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a. , durante 125 dias. SOLUO: Temos: j = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o perodo esto referidos mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: j = 40000.0,001.125 = $5000,00 2 - Um emprstimo de $8.000,00 rendeu juros de $2.520,00 ao final de 7 meses. Qual a taxa de juros do emprstimo? SOLUO: Temos: j = Pin ; 2520 = 8000.i.7; Da, vem imediatamente que i = 2520 / 8000.7 Ento, i = 0,045 a.m = 4,5% a.m. 3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende $3.500,00 de juros em 75 dias? SOLUO: Temos imediatamente: j = Pin ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o perodo n em relao mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Da, vem: P = 3500 / 0,030 = $116.666,67 4 - Por quanto tempo um capital de $11.500,00 foi aplicado para que rendesse $1.725,00 de juros simples, sabendo-se que a taxa de juros de mercado de 4,5% a.m.? SOLUO: j = Pin 1725 = 11500.(4,5/100).n 1725 = 11500.0,045.n = 3,3333... meses = 3 meses + 0,3333...de um ms = 3 meses + 1/3 de um ms = 3 meses e 10 dias. 5 - Que capital produziu um montante de $20.000,00, em 8 anos, a uma taxa de juros simples de 12% a.a.?

SOLUO: Temos: M = P(1 + in). 20000 = P.(1 + 0,12.8) = 1,96.P, de onde tiramos P = $10.204,08 6 - Calcule o montante resultante da aplicao a juros simples de $70.000,00 taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUO: M = P(1 + in) M = 70000[1 + (10,5/100).(145/360)] = $72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o perodo n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Da ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, j que um ano comercial possui 360 dias. 7 - A que taxa mensal o capital de $38.000,00 produzir o montante de $70.300,00 em 10 anos, num regime de capitalizao simples? SOLUO: M = P(1 + in) 70300 = 38000.(1 + i.10), de onde vem: 70300/38000 = 1 + 10.i 1,85 - 1 = 10.i, de onde vem: i = 0,85/10 = 0,085 a.a. = 8,5% a.a. Para achar a taxa mensal, basta dividir por 12 meses, ou seja: i = 0,085 / 12 = 0,007083 = 0,7083 % a.m. 8 - Um capital aplicado a juros simples de 5% ao semestre (5 % a.s.), durante 45 dias. Aps este prazo, foi gerado um montante de $886.265,55. Qual foi o capital aplicado? SOLUO: Lembrando que a taxa i e o perodo n tm de ser expressos relativo mesma unidade de tempo, vem: 886265,55 = P[1 + (5/100).(45/180)], de onde tiramos P = $875.324,00 Nota: Como a taxa i est relativa ao semestre, dividimos 45 dias por 180 dias, para expressar o perodo n tambm em semestre. Lembre-se que 180 dias = 1 semestre. 9 - Que capital aplicado num regime de capitalizao simples a 3% ao bimestre (3% a.b.), por um prazo de 75 dias, proporcionou um montante de $650.000,00? SOLUO: M = P(1+ in) 650000 = P[1 + (3/100).(75/60)] , de onde tiramos P = $626.506,02 Nota: observe que dividimos 75 dias por 60 dias, para express-lo em bimestres, j que 1 bimestre = 60 dias. 10 - Um capital de $5.380,00 aplicado por 3 meses e 18 dias, rendeu $1839,96 de juros ao final do perodo. Qual a taxa mensal de juros simples?

SOLUO: j = Pin 1839,96 = 5380.i.108, pois 3 meses e 18 dias = 3.30 + 18 = 108 dias. Logo, i = 1839,96 / 5380.108 = 0,003167 a.d. = 0,3167% a.d. Para obter a taxa mensal, basta multiplicar por 30 dias, ou seja: i= 0,3167% .30 = 9,5% a.m. 11 - Um capital P foi aplicado a juros simples de 15% ao bimestre (15% a.b.), por um prazo de 5 meses e 13 dias e, aps este perodo, o investidor recebeu $10.280,38. Qual o valor P do capital aplicado? SOLUO: M = P(1 + in) Temos: 15% a.b. = 0,15 a.b. = 0,15/60 = 0,0025 a.d. = 0,25% a.d. (a.d. = ao dia) 5 meses e 13 dias = 5.30 + 13 = 163 dias. Logo, como i e n esto referidos mesma unidade de tempo, podemos escrever: 10280,38 = P(1 + 0,0025.163), de onde tiramos P = $ 7.304,00 12 - Obteve-se um emprstimo de $10.000,00 , para ser liquidado por $14.675,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual simples cobrada nessa operao? SOLUO: 8 meses e meio = 8.30 + 15 = 255 dias. Teremos, ento: M = P(1 + in) 14675 = 10000(1 + i.255), de onde vem: 14675/10000 = 1 + 255.i 1,4675 = 1 + 255.i 0,4675 = 255.i i = 0,001833 a.d. = 0,1833% a.d. Multiplicando por 360, obteremos a taxa anual: i = 0,001833.360 = 0,66 a.a. Ou expressando em termos de porcentagem, i = 0,66.100 = 66% a.a. 13 - Em quanto tempo um capital aplicado a juros simples de 48% a.a. dobra o seu valor? SOLUO: M = P(1 + in) Fazendo M = 2P e substituindo os valores conhecidos, vem: 2P = P[1 + (48/100).n] Simplificando, fica: 2 = 1 + 0,48.n 1 = 0,48.n, de onde tiramos n = 2,088333... anos Para obter o perodo em meses, devemos multiplicar o valor acima por 12 ou seja: n = 2,088333... x 12 = 25 meses. 14 - Determinar o capital necessrio para produzir um montante de $798.000,00 no final de um ano e meio, aplicado a uma taxa de juros simples de 15% ao trimestre (15% a.t.).

SOLUO: M = P(1 + in) Temos: n = 1 ano e meio = 18 meses = 18/3 = 6 trimestres. Portanto: 798000 = P[1 + (15/100) . 6], de onde tiramos P = $420.000,00 15 - Determinar o montante correspondente a uma aplicao de $450.000,00 por 225 dias, taxa de juros simples de 5,6% ao ms (5,6% a.m.). SOLUO: M = P(1 + in) 225 dias = 225/30 = 7,5 meses Logo, M = 450000[1 + (5,6/100).7,5] = $639.000,00 16 - Se possuo um ttulo com valor nominal de $15.000,00 com vencimento daqui a 2 anos e a taxa de juros simples corrente de 28% a.a. , qual o valor atual deste ttulo nas seguintes datas: a) hoje b) daqui a um ano c) 4 meses antes do vencimento. SOLUO: Vale aqui, definir valor atual , valor nominal e valor futuro do dinheiro. Valor nominal = quanto vale um compromisso na sua data de vencimento. Valor atual = o valor que um compromisso possui em uma data que antecede ao seu vencimento. Valor futuro = o valor que um compromisso possui em uma data posterior ao seu vencimento. a) valor atual do ttulo hoje: M = P(1 + in) 15000 = P(1 + 0,28.2), de onde tiramos P = $9.615,38 b) valor atual do ttulo daqui a um ano: n = 1 ano (faltam 2 - 1 = 1 ano para o vencimento). 15000 = P(1 + 0,28.1), de onde tiramos P = $11.718,75 c) valor atual do ttulo 4 meses antes do vencimento: n = 4meses e i = 0,28/12 = 0,02333 a. m. 15000 = P(1 + 4.0,02333), de onde tiramos P = $13.719,51 17 - Joo tomou emprestado $20.000,00 de Carlos para pag-lo aps 2 anos. A taxa acertada de juros simples foi de 30% a.a. . Quanto Carlos poderia aceitar, se 6 meses antes do vencimento da dvida, Joo quisesse resgat-la e se nesta poca o dinheiro valesse 25% a.a. ?

SOLUO: M = P(1 + in) M = 20000(1 + 0,30.2) = $32.000,00 - este seria o valor a ser pago a Carlos, no final dos dois anos. Para resgatar a dvida 6 meses antes, a uma taxa de juros de 25% a.a. , que equivalente a 0,25/12 = 0,020833 a.m. , teramos: 32000 = P(1 + 0,020833.6), de onde tiramos P = $ 28.444,44 18 - Joo tomou emprestado certa quantia de Carlos taxa de juros simples de 28,8% a.a.. Sabendo-se que Joo pagou $2.061,42 para Carlos, saldando a dvida 2 meses antes do seu vencimento e que nesta poca a taxa corrente de mercado era de 25,2% a.a., quanto Joo tomou emprestado e qual era o prazo inicial se os juros previstos eram de $648,00? SOLUO: Se Joo quitou a dvida dois meses antes do vencimento, com o pagamento da quantia de $2.061,42 a uma taxa de juros vigente de 25,2% a.a., poderemos escrever: M = 2061,42[1 + (0,252/12).2] = $2.148,00 - este seria o valor do pagamento no final do perodo total. Como dito que os juros previstos inicialmente eram iguais a $648,00, conclumos que o valor P inicial emprestado era igual a $2148 - $648,00 = $1.500,00, o que responde primeira parte do problema. Para calcular o perodo total n, teremos: 2148 = 1500[1 + (0,288/12).n] 2148/1500 = 1 + 0,024.n 1,432 - 1 = 0,024.n 0,432 = 0,024.n n = 18 meses Nota: observe que a taxa 0,288 a.a. ao ser dividida por 12, transforma-se numa taxa mensal. Da, o perodo n encontrado, ser expresso em meses. 19 - Joo aplicou $10.000,00 taxa de 30% a.a. pelo prazo de 9 meses. Dois meses antes da data de vencimento, Joo props a transferncia da aplicao para Paulo. Quanto Paulo dever pagar pelo ttulo, se a taxa de juros simples do mercado for de 35% a.a. ? SOLUO: O valor nominal do ttulo no seu vencimento ser: M = P(1 + in) M = 10000[1 + (0,30/12).9] = $12.250,00 Como o ttulo ser negociado 2 meses antes do vencimento, quando a taxa de juros do mercado de 35% a.a. ou seja, 0,35/12 = 0,0292 a.m., vem: 12250 = P(1 + 0,0292.2), de onde tiramos P = $11.574,80 Portanto, o valor justo que Paulo dever pagar pelo ttulo $11.574,80. 20 - Quanto tempo dever permanecer aplicado um capital para que o juro seja igual a duas vezes o capital, se a taxa de juros simples for igual a 10% a.a.?

SOLUO: Temos: j = 2P j = Pin 2P = P.0,10.n , de onde tiramos n = 20 anos.

Um problema bem simples3/5 de um capital foi aplicado por 8 meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano e, o restante a 15% ao ano, pelo mesmo perodo. Sabendo-se que estas aplicaes renderam R$ 168,00 de juros no perodo, podemos afirmar que o capital aplicado foi igual a: A) R$ 1200,00 B) R$ 1300,00 C) R$ 1400,00 D) R$ 1500,00 E) R$ 1600,00 Soluo: J sabemos que um capital P aplicado a uma taxa de juros simples i durante n perodos, produz juros j = Pin. O grande detalhe a ser considerado na frmula acima que a taxa i e o perodo n tm necessariamente de serem expressos em relao mesma unidade de tempo. Assim que se i estiver expresso em % ao ms, o perodo n deve tambm ser expresso em meses; se a taxa i estiver expressa em % ao ano, o perodo n deve tambm ser expresso em anos e assim sucessivamente. No nosso caso, vamos considerar que seja C o capital total aplicado. Teremos ento: a) Seja J1 o juro produzido pelos 3/5 do capital C aplicado a 18% ao ano durante 8 meses. Podemos escrever: J1 = (3/5)C.(0,18).(8/12) Observe que 18% = 18/100 = 0,18 e 8 meses = (8/12) anos. Lembre-se que a taxa e o perodo devem ser expressos em relao mesma unidade de tempo, no caso, em anos. Poderia tambm ser em meses, o que no alteraria a soluo, pois neste caso teramos: J1 = (3/5)C.(0,18/12).8, ou seja a taxa mensal de juros seria 0,18/12 e o perodo 8 meses. Veja que d no mesmo.

b) Seja J2 o juro produzido pelo capital restante, aplicado a 15% ao ano durante o mesmo perodo, ou seja, 8 meses. Se foram aplicados inicialmente (3/5)C, o restante ser (2/5)C pois (3/5)C + (2/5)C = (5/5)C = C. Ento, poderemos escrever, analogamente: J2 = (2/5)C.(0,15).(8/12) Sabemos que o total de juros produzidos igual a R$ 168,00. Logo, J1 + J2 = 168 Substituindo os valores de J1 e J2 acima, vem que: (3/5)C.(0,18).(8/12) + (2/5)C.(0,15).(8/12) = 168 Basta resolver a equao acima para obter o valor de C. Lembrando que 3/5 = 0,6 e 2/5 = 0,4, vem: (0,6).(0,18).(8/12).C + (0,4).(0,15).(8/12).C = 168 (0,108).(8/12).C + (0,060).(8/12)C = 168 Colocando o termo comum (8/12)C em evidencia, fica: (8/12)C(0,108 + 0,060) = 168 (8/12).C.(0,168) = 168 (8/12).C = 168/0,168 = 1000 (8/12).C = 1000 C = 1000 / (8/12) = 1000.(12/8) = 12000/8 = 1500. Portanto, o capital aplicado foi igual a R$1500,00, o que nos leva tranqilamente alternativa D.

Noes de Matemtica Financeira IVJUROS COMPOSTOS O capital inicial (principal) pode crescer, como j sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber: Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros. Juros compostos - aps cada perodo, os juros so incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. tambm conhecido como "juros sobre juros". Vamos ilustrar a diferena entre os crescimentos de um capital atravs juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que R$100,00 so empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos exponencial, e portanto tem um crescimento muito mais "rpido". Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prtica, as empresas, rgos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicaes financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples no se justifica em estudos econmicos. Frmula para o clculo de Juros compostos Considere o capital inicial (principal P) R$1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), ms a ms:

Aps o 1 ms, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1) Aps o 2 ms, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2 Aps o 3 ms, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 ..................................................................................................... Aps o n (ensimo) ms, sendo S o montante, teremos evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n De uma forma genrica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o perodo n : S = P (1 + i)n onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = nmero de perodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. NOTA: Na frmula acima, as unidades de tempo referentes taxa de juros (i) e do perodo ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este um detalhe importantssimo, que no pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao ms e o perodo 3 anos, deveremos considerar 2% ao ms durante 3x12=36 meses.

Exerccios Resolvidos:1 Expresse o nmero de perodos n de uma aplicao, em funo do montante S e da taxa de aplicao i por perodo. Soluo: Temos S = P(1+i)n Logo, S/P = (1+i)n Pelo que j conhecemos de logaritmos, poderemos escrever: n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem:

Temos tambm da expresso acima que: n.log(1 + i) = logS logP Deste exemplo, d para perceber que o estudo dos juros compostos uma aplicao prtica do estudo dos logaritmos. 2 Um capital aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estar duplicado?

Soluo: Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que uma equao exponencial simples. Teremos ento: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em mquinas calculadoras cientficas. Caso uma questo assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessrios, ou ento permitir o uso de calculadora na prova, o que no comum no Brasil. Portanto, o capital estaria duplicado aps 35 meses (observe que a taxa de juros do problema mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. Resposta: 2 anos e 11 meses. Exerccios propostos: 1 Um capital de R$200000,00 aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante aps 4 anos. Resposta: R$292820,00 2 Um certo capital aplicado em regime de juros compostos uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estar triplicado? Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses. Observe que 9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.

1 UFRB 2006 - Dois investimentos a uma mesma taxa mensal de juros compostos, porm com capitais iniciais e prazos distintos, resultaram em um mesmo montante. Sabendo que o capital inicial de um dos investimentos 21 % maior que o outro e que foi aplicado a um prazo de dois meses menor, em termos percentuais, a taxa mensal de juros do investimento igual a: a) 5% b) 8% c) 10% d) 20%

e) 9% Notas: I - UFRB Universidade Federal do Recncavo Baiano II Recncavo conhecida desde o sculo XVI como sendo a faixa de terra formada por mangues, baixios e tabuleiros que contornam a Baa de Todos os Santos na BAHIA. SOLUO: Recomendamos enfaticamente que voc revise Juros Compostos. Sejam C0 e P0 os capitais iniciais, aplicados a uma mesma taxa de juros i , por m e n perodos, respectivamente. Supondo que o investimento C0 o maior, ou seja: C0 > P0 , poderemos escrever de acordo com o enunciado: C0 = P0 + 21% . P0 = P0 + (21/100). P0 = P0 + 0,21. P0 = 1,21. P0 Ainda segundo o enunciado, C0 foi aplicado por um prazo m de dois meses menor, ou seja: m = n 2. J sabemos que um capital M0 aplicado por t perodos a uma taxa de juros compostos i, ir gerar o montante M dado por: M = M0. (1 + i)t. No nosso caso presente, poderemos ento escrever: C = C0. (1 + i)m = 1,21. P0. (1 + i)n 2 P = P0. (1 + i)n Como dito no enunciado que os montantes resultaram iguais, ento C = P. Igualando as expresses anteriores, vem: 1,21. P0. (1 + i)n 2 = P0.(1 + i)n Cancelando o fator P0 que comum a ambos os membros da igualdade, fica: 1,21.(1 + i)n 2 = (1 + i)n Dividindo ambos os membros da igualdade por (1 + i)n 2 , fica: 1,21 = (1 + i)2 Apenas para facilitar as contas, vou multiplicar ambos os membros por 100. 1,21.100 = 100.(1 + i)2 121 = 100. (1 + i)2 Considerando que 112 = 121 e que 102 = 100, vem: 112 = 102. (1 + i)2 Lembrando que para x u 0, raiz quadrada de(x2) = x, vem imediatamente que: 11 = 10(1 + i) Dividindo ambos os membros por 10, fica: 1,1 = 1 + i @ i = 1,1 1 = 0,1 Portanto, i = 0,1. Como o enunciado pede o valor de i em porcentagem, teremos que multiplicar por 100 ou seja: i = 0,1.100 = 10% que a resposta da questo, o que nos

leva tranquilamente alternativa C. 2 - No ano de 1970, quando o Brasil conquistou o TRI CAMPEONATO MUNDIAL no ms de junho, a nossa populao era igual a 90 milhes de habitantes. Neste ano 2006, em junho, ms do provvel HEXA CAMPEONATO MUNDIAL, a populao segundo dados do IBGE igual a 190 milhes de habitantes. Nestas condies, pede-se determinar a taxa mdia de crescimento mensal da populao brasileira no perodo. SOLUO: Ora, de junho 1970 a junho 2006, transcorreram 2006 1970 = 36 anos, ou seja: 36.12 = 432 meses Considerando que P = P0 . (1 + i)n , onde i a taxa de crescimento por perodo nos n perodos, poderemos escrever: 190000000 = 90000000 . (1 + i)432 onde i a taxa de crescimento procurada. 19 = 9 (1 + i)432 19/9 = (1 + i)432 2,11 = (1 + i)432 Para fazer a conta acima, temos trs alternativas: I usar logaritmo decimal II usar uma calculadora cientfica (a do Windows serve) III usar uma calculadora financeira ( a HP 12C, por exemplo) Vamos utilizar a opo III, considerando-se que este arquivo destina-se seo Matemtica Financeira do site. Observe que a igualdade acima pode ser escrita como 2,11 = 1. (1 + i)432. Tudo funciona como se tivssemos P0 = 1 e P = 2,11, ou seja: P0 = Valor Presente = PV (Present Value) = 1 P = Valor Futuro = FV (Future Value) = 2,11 Os comandos na HP 12C sero: 2,11 FV 1 CHS PV 432 n i ENTER A calculadora vai apresentar a mensagem RUNNING no visor e apresentar aps alguns segundos o resultado procurado: 0,17 Ou seja, a taxa de crescimento mensal da populao brasileira no perodo igual a 0,17% a.m (0,17% ao ms).

DIVERSOS EXERCICIOS1- Duas pessoas fizeram uma aplicao financeira. A pessoa A aplicou R$ 100.000,00, taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa B aplicou R$ 50.000,00, taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as capitalizaes so mensais e os juros sero pagos junto com o principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que: a) O juro recebido pela pessoa A maior do que o juro recebido pela pessoa B. b) No h proporcionalidade entre juros de A e B. c) A taxa efetiva de juros de A maior do que a taxa efetiva de B. d) A taxa nominal de B maior do que a taxa nominal de A. e) Os montantes finais so iguais.

ResoluoToda vez que o exerccio trouxer uma taxa de juros em uma unidade de tempo (ex: semestral ou anual) e disser que a capitalizao para essa taxa em outra unidade de tempo (ex: ms ou bimestre), no podemos usar os valores dados sem antes transform-los. Isso porque existe diferena entre Taxa Nominal e Taxa Efetiva. Veja: I Taxas nominais so aquelas que esto definidas em um perodo de tempo diferente do perodo de capitalizao (s serve para informar que o regime de capitalizao a juros compostos). Nas frmulas de matemtica financeira sempre devemos usar a Taxa Efetiva, e no a Nominal. Por isso vamos aprender a transformar uma taxa nominal em efetiva. Pode ser transformada em taxa efetiva por meio do conceito de taxas proporcionais. muito simples transform-la: usa-se uma Regra de Trs Simples (diretamente proporcional): Exemplo: Taxa nominal = 14% ao ano, com capitalizao semestral Como 1 ano tem 2 semestres. A Regra de trs fica: 14% 1 ano 14% 2 semestres X 1 semestres (que o tempo de capitalizao dada) Resolvendo: 2.X = 14x1 X = 14/2 Taxa Efetiva = 7% ao semestre

II Taxas equivalentes so aquelas referidas a perodos de tempo diferentes, mas que, quando aplicadas a um mesmo capital, pelo mesmo prazo, geram o mesmo montante. Exemplo Juros Simples [Frmula do Juro Simples: M = C (1 + in), onde: M = Montante, C = Capital, i = taxa de juros efetiva, n = perodo de tempo]: i1 = 12% ao ano i2 = 1% ao ms Se aplicadas a um capital de R$ 10.000,00 por seis meses, o resultado ser o mesmo montante, veja: M = C (1 + in) M1 = 10.000 x (1 + 0,12 x ) = 10.600 M2 = 10.000 x (1 + 0,01 x 6) = 10.600 Ou seja, as taxas i1 = 12% ao ano e i2 = 1% ao ms so equivalentes, pois geram um mesmo montante ao final de um mesmo perodo. Agora vamos ver isso com Juros Compostos:Exemplo Juros Compostos: Uma empresa aplica R$ 300,00 taxa de juros composto de 4% ao ms por 10 meses. Frmula do Juro Composto M= C x (1+i)n M = 300 x (1+0,04)10 M = 444,0733 Taxa proporcional uma taxa linear, logo voc tem que encontrar a taxa equivalente para 10 meses.

Usando a frmula dos Juros: J = M - C = C x (1+i)n - CTaxa equivalente = [(1+0,04)10 - 1)] x 100 Taxa equivalente = 48,02% para 10 meses (equivalente a 4% ao ms)

J = C [(1+i)n - 1]

y Leilane Priscila Diz:maio 3rd, 2009 em 13:45

Me ajude aresolver este exerccio por favor A taxa de inflao acumulada em 1999 medida pela IGP-M foi de 20,10.Um investidor afirma ter aferido , em uma aplicao financeira , um rendimento real de 12% ao longo de 1999, usando o IGP-m como ndice de inflao.Sua taxa de juros auferida em 1999 foi de aproximadamente: Um abrao Leilane

y

Mauro Diz:

maio 29th, 2009 em 20:29

A taxa de inflao acumulada em 1999 medida pela IGP-M foi de 20,10.Um investidor afirma ter aferido , em uma aplicao financeira , um rendimento real de 12% ao longo de 1999, usando o IGP-m como ndice de inflao.Sua taxa de juros auferida em 1999 foi de aproximadamente: (1+taxa de juros nominal) = (1+inflao)*(1+taxa real de juros) (1+in) = (1+0.2010)*(1+0.12) 1+in = 1,34512 in = 0,34512 = 34,512%

y

Dione Diz:

junho 10th, 2009 em 18:26

AJUUUUUUUUUUUDA PLZ UMA PESSOA APLICOU R$ 90.000 NO MERCADO FINANCEIRO E, APS 5 ANOS, RECEBEU UM MONTANTE DE 180,000. QUAL FOI A TAXA ANUAL?

y

Mauro Diz:

junho 10th, 2009 em 23:21

UMA PESSOA APLICOU R$ 90.000 NO MERCADO FINANCEIRO E, APS 5 ANOS, RECEBEU UM MONTANTE DE 180,000. QUAL FOI A TAXA ANUAL?

juros simples M = C (1 + in) 180000 = 90000 (1+i5) 2 - 1 = i5 1/5 = i = 0,20 = 20% ao ano. No clculo de juros compostos vc vai precisar de uma calculadora HP. Mesmo com a tabela de fator de acumulao de capital vc no achar o valor, pq a tx de juros vai dar um valor quebrado (14,8698%).

y

shirley Diz:

novembro 22nd, 2009 em 16:48

Que capital taxa de juro composto de 15%a.a, durante 8 anos ,produz juro de R$13500,00?

y

Daniele Diz:

novembro 22nd, 2009 em 19:14

O financiamento de 10.000,00 realizado pelo prazo de 63 dias foi fechado com a taxa de juro de 4,75% aos 63 dias. Qual a taxa equivalente com o periodo de 30 dias ?

y

Pedro B de Amorim Diz:

novembro 30th, 2009 em 18:30

Quem poderia resolver este problema ? Qual a taxa efetiva trimestral corresp a juros de 30% ao trimestre com Capitalizao mensal ?

y

Felipe Diz:

janeiro 19th, 2010 em 11:59

Na HP 30, Enter 3, n, : (dividir), i 100 CHS, Enter PV, FV, + Resultado: 33,1% a taxa efetiva da tava nominal 30% capitalizada mensalmente.

y

Luiz Diz:

fevereiro 20th, 2010 em 20:28

preciso resolver um exercicio de matematica financeira por favor quem souber me ajude Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples de 1,9% ao ms?

y

Luiz Diz:

fevereiro 20th, 2010 em 20:29

preciso resolver um exercicio de matematica financeira por favor quem souber me ajude Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples de 1,9% ao ms?

y

Andre Diz:

maro 5th, 2010 em 21:09

a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 33% ao ano,capitalizada mensalmente ser de : Resposta :8,48% No consegui chegar nesta resposta, se algum puder resolver valeu

y

Mauro Diz:

maro 7th, 2010 em 23:16

Que capital taxa de juro composto de 15%a.a, durante 8 anos ,produz juro de R$13500,00? M = C (1+i)^n 13500 = C (1+0.15)^8 13500 = C 3,0590 C = 4413,17

y

Mauro Diz:

maro 7th, 2010 em 23:27

O financiamento de 10.000,00 realizado pelo prazo de 63 dias foi fechado com a taxa de juro de 4,75% aos 63 dias. Qual a taxa equivalente com o periodo de 30 dias ? Taxa de juros = 0,0475 a 63 dias Em 63 dias cabe aproximadamente 2 vezes 30 dias 1+0,0475 = (1+i)^2 1,0475^1/2 = 1+i 1,0234 = 1+i i = 0,0234 = 2,34% (valores aproximados)

y

Mauro Diz:

maro 7th, 2010 em 23:32

a taxa efetiva trimestral equivalente a uma taxa nominal de 33% ao ano,capitalizada mensalmente ser de : Taxa nominal = 33% aa -> Taxa efetiva = 0,33/12 = 0,0275 ao ms Em um trimestre cabem 3 meses, portanto n = 3 (1+I ao trimestre) = (1+i ao ms)^3 (1+I) = (1+0,0275)^3 1+I = 1,08479 I = 0,08479 = 8,479% ao trimestre

y

Mauro Diz:

maro 7th, 2010 em 23:37

Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples de 1,9% ao ms? 140000/(100 + 2 * 1,9) = V / 100 134.874,75 = Valor resgatado

y

Mauro Diz:

maro 7th, 2010 em 23:41

Qual a taxa efetiva trimestral corresp a juros de 30% ao trimestre com Capitalizao mensal ?

Taxa nominal = 30% ao trimestre com capitalizao mensal -> Taxa efetiva = 10% ao ms No trimestre cabem 3 meses, ento n = 3 (1+I) = (1+0,1)^3 1+I = 1,331 I = 0,331 = 33,1%

y

Mauro Diz:

maro 7th, 2010 em 23:45

Que capital taxa de juro composto de 15%a.a, durante 8 anos ,produz juro de R$13500,00? Respondi anteriormente, mas vi que respondi errado pq no li direito a questo =/, ele quer saber os juros produzidos Montante = C + juros = (C + 13500) C + 13500 = C (1,15)^8 13500 = 3,059023 C - C 13500 = 2,059023 C C = 6.556,5076

y

Carol Diz:

maro 15th, 2010 em 13:00

Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples de 1,9% ao ms? Alguem ajude a resolver

maro 15th, 2010 em 22:56

y

Mauro Diz:

Uma nota promissoria de valor nominal de $ 140000,00 resgatada dois (2) meses antes do seu vencimento.Qual o valor pago no resgate, sabendo-se que a taxa de juros simples de 1,9% ao ms? O enunciado indica desconto racional, taxa de juros simples. Assim, 140.000 / (100 + 2* 1,9) = A / 100

140.000/103,8 = A/100 14.000.000/103,8 = A A = 134.874,75

y

Junior Diz:

maro 18th, 2010 em 17:36

Por favor se alguem sabe a resposta !!!!! me diga!!! Uma aplicao foi realizada tendo 20% ao ms de juros compostos. A durao foi de trs meses. No mesmo periodo a inflao foi de 10% em cada um dos trs meses qual a taxa de ganho no periodo???

abril 1st, 2010 em 23:25

y

Heloana Diz:

Determinar a taxa semestral de juros paga por um muturio que tomou um financiamento de R$ 20.000,00 por um prazo de 15 meses e pagou R$ 5.000,00 de juros

y

Antonio Junior Diz:

maio 18th, 2010 em 16:52

Junior, Uma aplicao foi realizada tendo 20% ao ms de juros compostos. A durao foi de trs meses. No mesmo periodo a inflao foi de 10% em cada um dos trs meses qual a taxa de ganho no periodo???Uma aplicao foi realizada tendo 20% ao ms de juros compostos. A durao foi de trs meses. No mesmo periodo a inflao foi de 10% em cada um dos trs meses qual a taxa de ganho no periodo??? Resposta: Repare que se vc por mes ganha 20% rendimento e perde 10% INFLAO, LOGO SEU RENDIMENTO LIQuido S DE 10%, Faa uma analogia com capital por 100, ok =(100 * (1,1)^3)-100 = 33,1% rend liquido ABS fui

y

bruna Diz:

junho 4th, 2010 em 17:02

5) Quanto devo pagar por um ttulo que vence daqui a 729 dias, com valor nominal de R$ 90.000,00 se quero taxa de 130% ao semestre? (Valor nominal o valor de face, ou seja, o montante).

y

bruna Diz:

junho 4th, 2010 em 17:04

por favor se souber a resposta, me ajude!!!! 7) Uma taxa de 18% ao ano equivale a que taxa mensal? E ao semestre?

y

bruna Diz:

junho 4th, 2010 em 17:05

9) A taxa anual de juros cobrada por uma loja de 45 %a.a.Determinar a taxa real de juros , se a taxa de inflao resultar em 8 % no mesmo perodo ?

junho 6th, 2010 em 11:44

y

bruna Diz:

preciso das respostas feitas na hp-12c

y

Mauro Diz:

junho 9th, 2010 em 15:05

Preciso de uma resposta para seguinte questo (VALOR PRESENTE LIGUIDO). Um apartamento foi colocado a venda pelo valor de R$ 3 milhes a vista, ou em dois anos de prazo, com R$ 800.000,00 de entrada, mais 12 prestaes mensais de R$ 180.000,00 e mais 12 de R$ 281.860,00. Admitindo-se que voc esteja interessado em adquiri-lo e que tenha recursos para compr-lo at mesmo a vista, qual seria a sua deciso, se voc tivesse tambm a opo de aplicar seus recursos em um Fundo de Renda Fixa, ou Caderneta de Poupana, a uma taxa de 6% ao ms? Verifique tambm a sua deciso para taxas de 8% e 10% ao ms?

y

Ivanilson Diz:

junho 14th, 2010 em 23:11

Estou precisando de resposta para esta questo. Algum sabe como resolv-la? Um projeto de investimento apresenta o seguinte fluxo de caixa: 0 1 2 + + + (4000) 2000 4000 a) Determinar seu VPL, considerando uma taxa de desconto de 10% b) Determinar o seu VPL para taxas de desconto variando entre 0% e 40% c) Trace o grfico da Curva VP X Taxa de Desconto.

y

Ivanilson Diz:

junho 14th, 2010 em 23:14

espero auxilio

y

paula Diz:

junho 19th, 2010 em 21:29

hola necesito que me ayuden con el siguiente ejercicio: suponga que ud durante 8 aos y al principio de cada ao , ha estado depositando u$ 900 en una cta de ahorro de un bco de la plaza el cual abona el 2% de interes anual para este tipo de cta. ud desea conocer el saldo de dicha cta de 5 aos despues de haber hecho el ultimo deposito

y

Claudio Fileapa Diz:

junho 21st, 2010 em 15:42

como transformo meses para ano? tambm pode ser ao contrario.

y

lucini Diz:

junho 28th, 2010 em 15:34

ola pessoal preciso de soluao ,Uma pessoa deposita ?$600,00 no inicio de cada trimestre a 32% aa capitalizados trimestralmente.qual sera o montante passados 3 anos? como eu monto essa conta ,que o resultado e $12.297,18

Ao solicitar um emprstimo em uma financeira, voc estar obrigado a pagar um valor maior que o valor que voc recebeu emprestado. Este valor pago a mais chama-se juro. O juro uma forma de produo de renda, atravs de um certo capital, sem a interveno de trabalho. Pode-se dizer tambm, que juro o preo do risco que o credor corre na operao. Normalmente quanto maior o risco de inadimplncia, maior ser a taxa de juros cobrada. Obviamente, para uma determinada taxa de juros, quanto maior o tempo de emprstimo, maior ser o juro cobrado. Ao trabalhamos com juros, consideramos as seguintes variveis:y y y y y

C: Capital ou principal, quantia aplicada ou tomada emprestada. n: o perodo de tempo em que o capital ser aplicado. j: o juro resultante da operao. i: a taxa percentual aplicada ao capital para a apurao do juro. M: O montante a soma do capital com o juro produzido em todo o perodo.

Na modalidade de juros simples o clculo do juro de cada perodo sempre calculado com base no capital inicial.

Clculo de juros simplesImagine que voc tome emprestado, a juro simples, a importncia de R$ 5.000,00, pelo prazo de 3 meses, taxa de 5% ao ms. Qual ser o valor que voc dever pagar como juro, decorrido este perodo de tempo? Qual o montante a ser pago? Embora voc possa se utilizar de frmulas para a resoluo deste problema, o ideal que voc consiga abstrair a ideia por trs do mesmo. Ora, se no clculo de juros simples, o juro de cada perodo sempre calculado sobre o valor principal, ento basta a ns aplicarmos a taxa percentual ao valor principal para sabermos o valor do juro em cada perodo e em se tendo este valor, multiplic-lo pelo nmero de perodos, para obtermos o valor do juro total. Viu como simples?

Alm disto, o montante ser o valor do juro total acrescentado do valor principal. Vamos aos clculos: O valor do juro em cada perodo ser:

Ou seja ao final de cada perodo, alm dos cinco mil reais emprestados, voc estar devendo mais R$ 250,00 correspondente ao juro do perodo em questo. Compreendida a esquemtica por trs do clculo dos juros, do explicado acima, podemos deduzir vrias frmulas. Quando tivermos o valor do capital, a taxa de juros e o tempo da aplicao, para a obteno do juro iremos utilizar a frmula:

Quando tivermos o valor do juro, a taxa de juros e o tempo da aplicao, para a obteno do valor do capital utilizaremos a frmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e o tempo da aplicao, para a obteno da taxa de juros utilizaremos a frmula:

Quando tivermos o valor do juro, o valor do capital e a taxa de juros, para a obteno do tempo da aplicao iremos utilizar a frmula:

Para o clculo do montante utilizaremos a frmula:

As suas variantes so:

e

Utilizando-se destas frmulas, o problema acima pode ser resolvido da seguinte forma: Identificando-se as variveis disponveis, temos:

A calcular temos:y y

j: O valor do juro. M: O valor do montante.

Inicialmente utilizaremos a frmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Logo:

Para o clculo do montante utilizaremos a frmula:

Substituindo o valor dos termos temos:

Portanto:

Ou seja, uma importncia de R$ 5.000,00 emprestada a juros simples, pelo prazo de 3 meses, taxa de 5% a.m. resultaria em juros totais de R$ 750,00 e em um montante de R$ 5.750,00 como j havamos apurado anteriormente.

MATEMTICA FINANCEIRAConceitos bsicosA Matemtica Financeira uma ferramenta til na anlise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemticos para simplificar a operao financeira a um Fluxo de Caixa.

CapitalO Capital o valor aplicado atravs de alguma operao financeira. Tambm conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em ingls usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

JurosJuros representam a remunerao do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo calculado a partir do saldo no incio de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo incorporado ao capital inicial e passa a render juros tambm.

O juro a remunerao pelo emprstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e est disposta a pagar um preo por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar at possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste nterim estiver disposta a emprestar esta quantia a algum, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinncia na proporo do tempo e risco, que a operao envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponvel no mercado para emprstimos definem qual dever ser a remunerao, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?A maioria das operaes envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Esto includas: compras a mdio e longo prazo, compras com carto de crdito, emprstimos bancrios, as aplicaes financeiras usuais como Caderneta de Poupana e aplicaes em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: o caso das operaes de curtssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remunerao ser paga ao dinheiro emprestado, para um determinado perodo. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificao do perodo de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). Outra forma de apresentao da taxa de juros a unitria, que igual a taxa percentual dividida por 100, sem o smbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao ms). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

JUROS SIMPLESO regime de juros ser simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada perodo no incidiro novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em frmula temos:

J=P.i.n

Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = nmero de perodos

Exemplo: Temos uma dvida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pag-la em 2 meses. Os juros que pagarei sero: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Nmero de perodos )

M=P.(1+(i.n))

Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicao de R$70.000,00 taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o perodo n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Da ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, j que um ano comercial possui 360 dias.

Exerccios sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. 0.13 / 6 = 0.02167 logo, 4m15d = 0.02167 x 9 = 0.195 j = 1200 x 0.195 = 234

2 - Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o perodo esto referidos mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = 40000.0,001.125 = R$5000,00

3 - Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o perodo n em relao mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo, 3500 = P. 0,012 . 2,5 = P . 0,030; Da, vem: P = 3500 / 0,030 = R$116.666,67

4 - Se a taxa de uma aplicao de 150% ao ano, quantos meses sero necessrios para dobrar um capital aplicado atravs de capitalizao simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Frmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses

JUROS COMPOSTOSO regime de juros compostos o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais til para clculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada perodo so incorporados ao principal para o clculo dos juros do perodo seguinte.

Chamamos de capitalizao o momento em que os juros so incorporados ao principal.

Aps trs meses de capitalizao, temos:

1 ms: M =P.(1 + i) 2 ms: o principal igual ao montante do ms anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3 ms: o principal igual ao montante do ms anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)Simplificando, obtemos a frmula:

M = P . (1 + i)n

Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao ms para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do perodo:

J=M-P

Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, taxa de 3,5% ao ms. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resoluo: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M=?

Usando a frmula M=P.(1+i)n, obtemos: M = 6000.(1+0,035)12 = 6000. (1,035)12 Fazendo x = 1,03512 e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1,03512 => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509

Ento M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante R$9.054,00

Relao entre juros e progressesNo regime de juros simples: M( n ) = P + n r P No regime de juros compostos: M( n ) = P . ( 1 + r ) n Portanto: y num regime de capitalizao a juros simples o saldo cresce em progresso aritmtica

y

num regime de capitalizao a juros compostos o saldo cresce em progresso geomtrica

TAXAS EQUIVALENTESDuas taxas i1 e i2 so equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo perodo de tempo, atravs de diferentes perodos de capitalizao, produzem o mesmo montante final. y y y y Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia . O montante M ao final do perodo de 1 ano ser igual a M = P(1 + i a ) Consideremos agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im . O montante M ao final do perodo de 12 meses ser igual a M = P(1 + im)12 .

Pela definio de taxas equivalentes vista acima, deveremos ter M = M. Portanto, P(1 + ia) = P(1 + im)12 Da conclumos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta frmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida. Exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 8% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, ento teremos: 1 + ia = (1 + is) 1 + ia = 1,082 ia = 0,1664 = 16,64% a.a.2

2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,5% ao ms? 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,005)12 ia = 0,0617 = 6,17% a.a.

TAXAS NOMINAISA taxa nominal quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital no coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos: - 340% ao semestre com capitalizao mensal. - 1150% ao ano com capitalizao mensal. - 300% ao ano com capitalizao trimestral. Exemplo: Uma taxa de 15 % a.a., capitalizao mensal, ter 16.08 % a.a. como taxa efetiva:

15/12 = 1,25

1,2512 = 1,1608

TAXAS EFETIVASA taxa Efetiva quando o perodo de formao e incorporao dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa est referida. Alguns exemplos: - 140% ao ms com capitalizao mensal. - 250% ao semestre com capitalizao semestral. - 1250% ao ano com capitalizao anual. Taxa Real: a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionria do perodo da operao.

Quando uma determinada soma de dinheiro est aplicada a juros simples, os juros so sempre calculados sempre sobre o montante inicial. quando uma soma est aplicada a juros compostos, os juros so calculados no apenas sobre o capital inicial, mas sobre este capital acrescido dos juros j vencidos. Capitalizao composta aquela em que a taxa de juros incide sobre o principal acrescido dos juros acumulados at o perodo anterior. Neste regime de capitalizao a taxa varia exponencialmente em funo do tempo. O conceito de montante o mesmo definido para capitalizao simples, ou seja, a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicao ou da divida. A simbologia a mesma j conhecida, ou seja, M, o montante, C, o capital inicial, n, o perodo e i, a taxa. A deduo da frmula do montante para um nico pagamento pouco mais complexa que aquela j vista para a capitalizao simples e para facilitar o entendimento, vamos admitir que defrontamos com o seguinte problema: Calcular o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado taxa de 4% ao ms, durante 5 meses. Dados: C = 1.000,00 n = 5 meses i = 4% ao ms M=?

O quadro a seguir permite que visualizemos claramente o clculo do montante, ms a ms. Ms (t) 1 2 3 4 5 capital inicio ms (Pt) 1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 juros cor. ms (Jt) x 0,04 = 40,00 x 0,04 = 41,60 x 0,04 = 43,26 x 0,04 = 45,00 x 0,04 = 46,79 montante final ms (mt) 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86 1.216,65

1.000,00 1.040,00 1.081,60 1.124,86 1.169,86

O valor do montante no final do quinto ms de R$ 1.216,65. O montante final de cada ms o valor do capital inicial do ms seguinte. Entretanto, essa forma de clculo bastante trabalhosa e demorada. Vamos deduzir uma frmula que permita um clculo mais fcil e rpido, partindo do desenvolvimento anterior, sem no entanto efetuar os clculos ali demonstrados. M0 = 1.000,00 M1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00(1 + 0,04) = 1.000,00 (1.04)1 M2 = 1.000,00(1,04) + 0,04 x 1.000,00 x (1,04) = 1.000,00 (1,04)(1+0,04) = 1.000,00(1,04)2 .......... M5 = 1.000,00(1,04)4 + 0,04 x 1.000,00(1,04)4 = 1.000,00(1,04)4(1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04)5 O valor do montante no final do quinto ms dado pela expresso: M5 = 1.000,00 (1,04)5. Como (1,04)5 = 1,21656 m = 1.000,00 x 1,21656 = 1.216,65, que confere com o valor determinado anteriormente. Substituindo cada n da expresso M5 = 1.000,00(1,04)5 pelo seu smbolo correspondente, temos M = C ( 1 + i)n, em que a expresso (1 + i)n chamada de fator de capitalizao ou fator de acumulao de capital para pagamento simples ou nico. Na calculadora HP12C a simbologia a seguinte: PV = capital inicial FV = montante i = taxa n = prazo/tempo/perodo HP12C = 1.000,00 CHS PV 4 i 5 n FV = 1.216,65. 1 - Qual o montante de uma aplicao de R$ 15.000,00, pelo prazo de 9 meses, taxa de 2% ao ms. Dados: C = 15.000,00 n = 9 meses

i = 2% ao ms M=? Soluo: M = C(1 + i)n M = 15.000,00 (1 + 0,02)9 M = 15.000,00 x 1,19509 = 17.926,35 O valor atual (ou valor presente) de um pagamento simples, ou nico, cuja conceituao a mesma j definida para capitalizao simples, tem sua frmula de clculo deduzida da frmula, como segue.

em que a expresso nico)

chamada Fator de valor atual para pagamento simples (ou

2 - A loja Topa Tudo financia um bem de consumo de uso durvel no valor de R$ 16.000,00, sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 52.512,15 no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: M = 52.512,15 C =16.000,00 n = 27 meses i=? Soluo: M = C (1 + i)n 52.512,15 = 16.000,00(1 + i )27 52.512,15 / 16.000,00 = (1 + i)27 3,28201 = (1 + i)27 i = 3,282011/27 i = 1,045 = 1,045 - 1 x 100 = 4,5% ao ms. HP12C = 52.512,15 FV 16.000,00 CHS PV 27 n i = 4,5% ao ms.