IFCE ENGENHARIA DE MECATRÔNICA/TELECOMUNICAÇÕES – 2013-2

CÁLCULO II

COORDENADAS POLARES Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P = (a,b) onde a é a projeção de P no eixo x e b, a projeção no eixo y. Podemos também descrever a localização de P a partir da distância de P à origem O do sistema e do ângulo formado pelo eixo x e o segmento OP, caso P ≠ O. Denotamos P = (r,θ) onde r é a distância de P a O e θ o ângulo tomado no sentido anti–horário, da parte positiva do eixo Ox ao segmento OP, caso P ≠ O. Se P = O, denotamos P = (0,θ), para qualquer θ. No sistema de coordenadas polares, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semi-reta fixa. A Figura a seguir ilustra um ponto P num sistema de coordenadas polares.

O ponto fixo, denotado por O, é chamado pólo ou origem.

O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r,), onde r representa a distância entre a

origem e o ponto P, e representa a medida, em radianos do ângulo orientado AÔP.

OBS: (i) > 0 o ângulo AÔP está descrito no sentido anti-horário.

(ii) < 0 o ângulo AÔP está descrito no sentido horário.

(iii) (0, ), , representa o pólo ou origem.

As coordenadas polares (r,) estabelecem a posição do ponto P em relação a uma grade formada por círculos concêntricos com centro em O e semi-retas partindo de O:

Denotamos um ponto P por (r,– θ), para r e θ positivos, se θ é tomado no sentido horário. Assim, (r,– θ) = (r, 2π–θ) e (r,– θ) é o simétrico de (r,θ) em relação à reta suporte do eixo polar. Ex. (1, -π/4) = (1, 7π/4)

Denotamos P por (-r, θ), para r positivo, se P=(r, π+θ), ou seja, consideramos (-r, θ) = (r, π+θ). Assim, (-r, θ) é o simétrico de (r, θ) em relação ao polo.

Ex. (3, π/2) = (-3, 3π/2)

Mudança de coordenadas: x = rcosθ , y = rsenθ x

2 + y

2 = r

2 tgθ = y/x

1.Dada a equação cartesiana, determine a equação polar:

a) 12 yx b) 23 3yx c)

1

22

x

xy d) x 0333 axyyx

2. Dada a equação polar, encontre a equação cartesiana:

a) 2sen22 r b) 2r c) sen32

6

r d) 226 cosrr

3.Seja r a reta de equação polar rcos(θ–π/3)=2. Determine a equação correspondente no sistema cartesiano 4. Seja a > 0. Determine os pontos do plano que satisfazem a equação r = 2 a cos θ. Gráficos em coordenadas polares O uso de coordenadas polares simplifica, em alguns casos, equações de curvas. Ex1. r = c, c=constante > 0, representa os pontos do plano, cuja distância ao polo é igual a c, isto é, uma

circunferência de raio c e centro no polo. Observe que r = -c representa a mesma circunferência. Ex 2. Θ = θo onde θo ≥ 0. Esta equação representa os pontos P = (r, θo) onde r é um número real qualquer. Logo, θ

=θo representa uma reta passando pelo polo e que forma um ângulo de θo com o eixo polar. Ex3. r = θ, θ ≥ 0. Representa os pontos P = (r, r) onde r ≥ 0, ou seja, os pontos P tais que a distância de P ao polo é

igual ao ângulo, em radianos, entre o eixo polar e o segmento OP. A equação geral da espiral é dada por r = aθ, considerando θ ≥ 0. Abaixo temos os gráficos de r = θ e r = –θ, para 0 ≤ θ ≤4π.

Procedimentos para traçar gráficos 1) Simetrias. Se a equação não se altera ao trocar:

a) θ por –θ: temos simetria em relação à reta θ = 0 (eixo x) b) θ por (π – θ): temos simetria em relação à reta θ = π/2 (eixo y) c) θ por (π + θ): temos simetria em relação ao polo. É equivalente a trocar r por −r, pois

(−r, θ) = (r, θ+π). Logo (r, θ) = (−r, θ) ⇔ (r, θ) = (r, θ+π). 2) Verificar se a curva passa pelo polo (r = 0) 3) Determinar os pontos da curva variando θ a partir de θ = 0 4) Verificar a existência de pontos críticos (máximos e mínimos) 5) Verificar se r não se altera ao trocar θ por θ+2π. Caso não haja alteração, basta variar θ entre 0 e 2π. A tabela seguinte mostra algumas substituições que acarretam a simetria indicada.

Substituições Simetria

(r, ) por (r, - ) Eixo - x

(r, ) por (- r, ) Origem

(r, ) por (r, - ) Eixo - y

As seguintes relações trigonométricas serão úteis aqui:

• cosθ = cos(–θ), cosθ = –cos(π–θ) e cosθ = cos(θ+2π) • senθ = –sen(–θ), senθ = sen(π–θ) e senθ = sen(θ+2π) Ex 4. r = cos 2θ Temos cos2θ = cos(–2θ); cos2(π–θ) = cos(2π–2θ) = cos(–2θ) = cos2θ e cos 2(π+θ) = cos (2π+2θ) = cos 2θ. Logo, existem simetrias em relação ao polo e em relação aos eixos x e y. Derivando r em relação a θ, temos dr/dθ = -2sen(2θ), logo, θ = kπ/2, k inteiro, são pontos críticos. Quando θ = 0, π, 2π, 3π, ... temos pontos de máximo e para θ=π/2, 3π/2, 5π/2, ... temos pontos de mínimo. Para θ = π/4, r = 0, ou seja, a curva passa pelo polo quando θ = π/4. Também r não se altera ao trocar θ por θ + 2π. Assim, basta fazer o gráfico para 0≤θ≤π/2 e completá-lo, a partir das simetrias.

Equações da forma r = asen(nθ) ou r = acos(nθ) para n inteiro positivo representam rosáceas. Exemplo 5. r = 1+cos θ. Temos 1+cos θ = 1+cos(–θ) ≠ 1+cos(π–θ). Também,1+cos θ ≠ 1+cos (π+θ). Logo, o gráfico é simétrico em relação ao eixo x mas não é simétrico em relação ao eixo y e nem em relação ao polo. Também r não se altera ao trocar θ por θ+2π. Como dr/dθ =−sen, temos pontos críticos para θ=0 e θ=π. Para θ=0 temos um ponto de máximo (2,0) e para θ=π temos um ponto de mínimo (0,π).

Equações da forma r = a(1±sen θ) ou r = a(1±cos θ) representam uma categoria de curvas chamadas cardióides, por terem a forma de coração. Lemniscatas: r

2 = ± acos(2θ) ou r

2 = ± asen(2θ)

1.Dada a equação cartesiana, determine a equação polar:

a) 12 yx b) 23 3yx c)

1

22

x

xy d) x 0333 axyyx

2. Dada a equação polar, encontre a equação cartesiana:

a) 2sen22 r b) 2r c) sen32

6

r d) 226 cosrr

3. Esboce os gráficos de:

a) r = 1 b) 4

c) r = θ d) r = sen θ e) r = cos 2 θ r = α(1 - cos θ)

01) Calcular a área limitada pela curva dada:

a) 2sen92 r b) 3cosr c) cos2r d) 2cos162 r

e) 2sen3r f) cos23r g) )cos1(4 r h) )cos1(4 r

02) Encontrar a área da intersecção entre 2asenr e cos2 ar .

03) Encontrar a área interior ao círculo cos6 r e exterior a )cos1(2 r .

04) Encontrar a área interior ao círculo 4r e exterior à cardióide )cos1(4 r .

05) Encontrar a área da região delimitada pelo laço interior da limaçon sen21r .

06) Encontrar a área da região interior ao círculo 10r e à direita da reta 6cos r .

07) Calcular a área da região entre as curvas: a) 3senr e 32 r b) cos1r e 32 r

Áreas em Coordenadas Polares

Queremos encontrar a área A, da Figura delimitada pelas retas = e = e ela curva r = f (), que é dada

por

df.2

1A

2

1) Encontre a área da região limitada pela cardióide r = 2 + 2 cos. (Resp. A = 6 u.a.)

2) Encontre a área de uma pétala da rosácea dada por r = 3.cos3. (Resp. A 3 /4 u.a.)

3) Encontrar a área da região entre os laços interno e externo da limaçon r = 1 - 2.sen. (Resp. A 8,34 u.a.)

4) Encontre a área da região comum limitadas pelo círculo r = - 6.cos e pela cardióide r = 2- 2.cos.

(Resp. A = 5 u.a.) Com curvas parametrizadas:

Sabemos que a área sob uma curva y = F(x) de a até b é A = b

aF(x)dx, F(x) 0 . Se a curva for dada por equações

paraméticas x = f(t) e y = g(t) ( t ) então podemos deduzir uma fórmula da área pelo uso da regra da

substituição para integrais definidas como a seguir:

Área da Superfície: b

aF(x)dx g(t)f (́t)dt

Ex: Encontre a área sob um arco da cicloide: x = r(θ – senθ) e y = r(1 –cosθ) 4. Encontre a área da região no plano delimitada pela cardioide r = 2(1 + cosθ) R. 6π 5. Encontre a área da região que está dentro do círculo r = 1 e fora da cardioide r = 1 - cos θ R. 2 – π/4 6. Encontre o comprimento da cardioide r = 1 - cos θ R. 8 7. Encontre as áreas das regiões apresentadas nas figuras abaixo: A) dentro de uma folha da rosa de três pétalas r = cos θ B) delimitada pelo círculo r = 2 sen θ para π/4 ≤ θ ≤ π/2 C) delimitada pela espiral r = θ para 0 ≤ θ ≤ π A B C

05) Calcular da área da região entre as curvas

ty

tx

sen2

cos4 e

ty

tx

sen

cos .

Comprimento de arco em coordenadas polares

O comprimento de arco da curva por r = f () entre = e = é dado por

df)('fL22

desde que f ’ exista e seja contínua no intervalo [,].

1) Encontre o comprimento de arco de = 0 a = da cardióide r = 2.(1 - cos ). (Resp. L = 16 u.c.)

2) Determine o comprimento da espiral de equação r = e/2, de = 1 a = 2. (Resp. L 2,4 u.c.)