38820604-Quine

Universidade Federal de Santa Maria Centro de Tecnologia Curso de Graduação em Eng. Elétrica Apostila de Circuitos Digitais “A” – ELC 415

Prof. Hélio Leães Hey

– CAPÍTULO IV –

MÉTODOS DE SIMPLIFICAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS

4.1 – INTRODUÇÃO A complexidade do circuito lógico e da expressão lógica que o circuito representa estão

diretamente ligadas. Embora a tabela da verdade que representa uma determinada função seja única, devido as diferentes possibilidades de simplificações a serem utilizadas, a expressão lógica resultante pode ser escrita de diferentes formas. A utilização da simplificação algébrica para minimização de funções lógicas não segue regras claras e seqüenciais para a correta manipulação algébrica, fazendo desta técnica um procedimento ineficiente e fortemente dependente da experiência do projetista.

Neste capítulo são apresentados dois métodos de simplificação de funções lógicas conhecidos como Método de Karnaugh e o Método de Quine-McCluskey. A utilização destes métodos segue regras claras e bem definidas que se forem empregadas corretamente, há a garantia de que a função resultante desta simplificação é a menor função lógica possível.

4.2 – MÉTODO DE KARNAUGH O método de Karnaugh é um método de representação gráfica que permite a percepção visual dos

termos fundamentais que compõe a função lógica, de modo a combiná-los para formar a função lógica simplificada. O requisito básico para a utilização do mapa de Karnaugh é que a função lógica a ser simplificada esteja representada na sua forma canônica de soma de produtos. No mapa de Karnaugh, há somente uma localização para a representação do valor característico de cada mintermo. Este método pode ser utilizado para simplificar expressões lógicas de até 6 variáveis de entrada. Entretanto, o nosso estudo se concentrará em mapas de Karnaugh de até 5 variáveis, devido a complexidade existente no mapa de 6 variáveis. Para simplificar funções lógicas com mais de 5 variáveis de entrada, o método de Quine-McCluskey é mais prático.

4.2.1 – Mapas de Karnaugh Para a montagem dos mapas de Karnaugh deve ser observado que entre duas células vizinhas, ou

dois mintermos consecutivos, somente uma variável pode alterar seu valor. Quando da utilização dos mapas de Karnaugh para simplificação de funções lógicas, cada uma das células receberá um valor lógico “0” ou “1”, de acordo com o valor correspondente na tabela da verdade. Cada célula que compõe o mapa de Karnaugh representa um mintermo, que é obtido pela interseção das variáveis presente na linha e na coluna correspondente.

- Mapa de Karnaugh para 2 variáveis (A,B) Seja a tabela da verdade para uma função de 2 variáveis, onde os termos mi correspondem aos

mintermos formados pela combinação das variáveis de entrada correspondentes.

A B S 0 0 m0 0 1 m1 1 0 m2 1 1 m3

O mapa de karnaugh correspondente é mostrado a seguir.



B B A m0 m1

A m2 m3

- Mapa de Karnaugh para 3 variáveis (A,B,C) Seja a tabela da verdade para uma função de 3 variáveis, onde os termos mi correspondem aos


A B C S 0 0 0 m0 0 0 1 m1 0 1 0 m2 0 1 1 m3 1 0 0 m4 1 0 1 m5 1 1 0 m6 1 1 1 m7

O mapa de Karnaugh correspondente é mostrado a seguir. Deve ser observado que os mintermos m2 e m3 e m6 e m7, destacados na tabela e no mapa, são introduzidos no mapa na ordem contrária daquela em que estão representados na tabela da verdade. Isto é devido ao fato de que para a correta montagem do mapa de Karnaugh, entre 2 células vizinhas somente uma variável pode alterar sua informação.

CB CB BC CB A m0 m1 m3 m2

A m4 m5 m7 m6

- Mapa de Karnaugh para 4 variáveis (A,B,C,D) Seja a tabela da verdade para uma função de 4 variáveis, onde os termos mi correspondem aos


A B C D S 0 0 0 0 m0 0 0 0 1 m1 0 0 1 0 m2 0 0 1 1 m3 0 1 0 0 m4 0 1 0 1 m5 0 1 1 0 m6 0 1 1 1 m7 1 0 0 0 m8 1 0 0 1 m9 1 0 1 0 m10 1 0 1 1 m11 1 1 0 0 m12 1 1 0 1 m13 1 1 1 0 m14 1 1 1 1 m15



O mapa de karnaugh correspondente é mostrado a seguir. Os comentários feitos para o mapa de 3 variáveis também são validos para os mapas de 4 e 5 variáveis.

DC DC CD DC BA m0 m1 m3 m2

BA m4 m5 m7 m6

BA m12 m13 m15 m14

AB m8 m9 m11 m10

- Mapa de Karnaugh para 5 variáveis (A,B,C,D,E) Seja a tabela da verdade para uma função de 4 variáveis, onde os termos mi correspondem aos


E A B C D S E A B C D S 0 0 0 0 0 m0 1 0 0 0 0 m16 0 0 0 0 1 m1 1 0 0 0 1 m17 0 0 0 1 0 m2 1 0 0 1 0 m18 0 0 0 1 1 m3 1 0 0 1 1 m19 0 0 1 0 0 m4 1 0 1 0 0 m20 0 0 1 0 1 m5 1 0 1 0 1 m21 0 0 1 1 0 m6 1 0 1 1 0 m22 0 0 1 1 1 m7 1 0 1 1 1 m23 0 1 0 0 0 m8 1 1 0 0 0 m24 0 1 0 0 1 m9 1 1 0 0 1 m25 0 1 0 1 0 m10 1 1 0 1 0 m26 0 1 0 1 1 m11 1 1 0 1 1 m27 0 1 1 0 0 m12 1 1 1 0 0 m28 0 1 1 0 1 m13 1 1 1 0 1 m29 0 1 1 1 0 m14 1 1 1 1 0 m30 0 1 1 1 1 m15 1 1 1 1 1 m31

Para o caso do mapa de 5 variáveis a montagem segue o mesmo procedimento adotado para o

mapa de 4 variáveis. A diferença existente é que para o caso de 5 variáveis teremos dois mapas de 4 variáveis, onde a quinta variável vale “0”’para o primeiro mapa e vale “1” para o segundo mapa.

E E

! ! DC DC CD DC DC DC CD DC

BA m0 m1 m3 m2 BA m16 m17 m19 m18

BA m4 m5 m7 m6 BA m20 m21 m23 m22

BA m12 m13 m15 m14 BA m28 m29 m31 m30

AB m8 m9 m11 m10 AB m24 m25 m27 m26



4.2.2 – Técnicas de Simplificação através dos Mapas de Karnaugh Conforme já foi visto, para a correta utilização do Mapa de Karnaugh deve-se montar a tabela da

verdade da função a ser simplificada e transpor para o diagrama de Karnaugh os valores correspondentes a cada mintermo. A partir daí, aplica-se então as regra de minimização.

4.2.2.1– Para Duas (2) Variáveis Exemplo 1: Seja a seguinte tabela da verdade:

A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por:

ABBABAS ++= Transpondo os valores de “S” da tabela da verdade para o diagrama de Karnaugh e utilizando-se as

regras listadas abaixo para simplificação de funções de 2 variáveis, resulta no mapa mostrado a seguir.

- Regras Para Minimização de Mapas com 2 Variáveis

• Tenta-se agrupar as regiões onde “S” é igual a “1” no menor número de pares(2) possíveis; • As regiões onde “S” é “1” que não puderem ser agrupadas em pares são consideradas isoladamente; • As variáveis cujo valor não variar dentro do par, são a simplificação para o par.

A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada.

BAS += Exemplo 2: Seja a seguinte tabela da verdade: A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por:

BABABAS ++=

Transpondo os valores de “S” para o diagrama de Karnaugh e utilizando-se as regras listadas

abaixo para simplificação de funções de 2 variáveis, resulta no mapa mostrado a seguir.




BAS += ou BAS .=

4.2.2.2– Para Três (3) Variáveis Exemplo 1: Seja a seguinte tabela da verdade: A B C S 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por: CABCBABCACBACBAS ++++=

Transpondo os valores de “S” para o diagrama de karnaugh resulta:


• Tenta-se agrupar em quadros as regiões onde “S” é igual a “1” e são adjacentes; • As regiões que não puderem ser agrupadas em quadras, se possível, devem ser agrupadas em pares, e as

onde “S” é igual a “1” que não puderem ser agrupados, devem se considerados isoladamente; • As variáveis cujo valor não variar dentro dos quadros ou pares, são as simplificações obtidas.


BACS +=



Exemplo 2: Seja a seguinte tabela da verdade A B C S 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0

A forma canônica da soma de produtos da função “S” é dada por: CABCBACBABCACBAS ++++=


CACBCAS ++=

4.2.2.3– Para Quatro (4) Variáveis

Seja a seguinte tabela verdade:

A B C D S 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1



Transpondo os valores de “S” para o diagrama de Karnaugh resulta:


• Inicialmente deve-se agrupar em oitavas as regiões onde “S” é igual a “1” e são adjacentes; • As regiões que não puderem ser agrupadas em oitavas devem ser agrupadas em quadros e pares

sucessivamente; • As regiões onde “S” é “1”, que não puderem ser agrupadas, devem ser consideradas isoladamente; • As variáveis cujo valor não variar dentro das oitavas, quadros e pares, são as simplificações.


CBACADS ... ++= Exemplo 2: Dada a expressão lógica abaixo na forma canônica, obtenha a expressão mínima.

ABCDDCBABCDADBCADCBADCBACDBADCBAS +++++++= Transpondo os valores da expressão lógica acima, para o diagrama de Karnaugh abaixo, resulta:

DCBABCDDABAS +++=



4.2.2.3– Para Cinco (5) Variáveis Seja a seguinte tabela verdade:

E A B C D S E A B C D S 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

Transpondo os valores de “S” para o diagrama de Karnaugh resulta:

E E

! ! DC DC CD DC DC DC CD DC

BA 0 1 0 0 BA 0 1 0 0 BA 1 1 0 0 BA 0 1 1 0

AB 1 1 0 0 AB 0 1 0 0 BA 0 1 1 1 BA 0 1 1 1

Oitava Quadra


A simplificação de mapas de cinco variáveis segue os mesmos princípios que o de 4 variáveis. A diferença fundamental é que células que ocupam a mesma posição nos dois mapas são adjacentes. Isto significa, por exemplo, que se tivermos em cada um dos mapas ( E e E ) um quadra ocupando as mesmas posições, estas quadras formam na realidade uma oitava.

• Considere os mapas individualmente para simplificação; • Inicialmente deve-se agrupar em oitavas as regiões onde “S” é igual a “1” e são adjacentes; • As regiões que não puderem ser agrupadas em oitavas devem ser agrupadas em quadros e pares

sucessivamente;



• As regiões onde “S” é “1”, que não puderem ser agrupadas, devem ser consideradas isoladamente; • Sobreponha os mapas e verifique se há oitavas, quadras e duplas que estejam nas mesmas posições nos

dois mapas. Caso haja, a quinta variável deve ser excluída do termo resultante visto que esta variável altera seu valor.

As variáveis cujo valor não variar dentro das oitavas, quadros e pares, são as simplificações. A expressão S mostrada abaixo é resultante da simplificação utilizada.

EDBACBAECBDCS ........ +++=

4.2.3 – Condições Irrelevantes Existem algumas funções lógicas em que certas condições de variáveis de entradas nunca deverão

ocorrer. Para estas condições, conhecidas como condições irrelevantes ou don’t-care conditions, não há nenhum valor definido a ser especificado para a variável de saída (0 ou 1). A condição irrelevante significa que para uma dada combinação de variáveis de entrada, a saída poderá assumir tanto o nível lógico “1” como o nível lógico “0”. O valor a ser escolhido para condição irrelevante será aquela que permitir uma maior simplificação para a expressão lógica. Em uma mesma função lógica, pode haver mais de uma condição irrelevante não sendo necessário que todas tenham que assumir o mesmo valor, isto é, 0 ou 1. As condições irrelevantes são definidas com a letra “X” na tabela da verdade.

Exemplo: Seja uma função lógica de 3 variáveis de entrada A, B e C e uma variável de saída F a qual deve

obedecer a seguinte regra: - Sempre que A=B e B≠C ou A≠B e B=C , a saída F deve ser igual a 1. É sabido que a

condição A=C=0 nunca deverá ocorrer. O mapa de Karnaugh que define a função lógica F é mostrado abaixo, onde as condições onde

A=C=0 são representadas com “X” indicando que estas condições são irrelevantes.

Transpondo os valores de “F” para o diagrama de Karnaugh resulta:

CB. CB. CB. CB A x 1 1 x A 1 0 0 1


CAS +=

A B C F 0 0 0 X 0 0 1 1 0 1 0 X 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0



Para obter a máxima simplificação, as duas condições irrelevantes foram consideradas como sendo valor lógico “1”. Entretanto, como já mencionado, não há a obrigatoriedade de que todas as condições irrelevantes assumam valores idênticos.

Seja agora o seguinte mapa de karnaugh para uma função de 4 variáveis de entrada. DC DC CD DC

BA 0 1 0 0 BA x x 0 x

AB 0 1 x 0 BA 0 1 1 0


DADCS .. += Neste caso, para obter a máxima simplificação, duas condições irrelevantes foram consideradas

como valor lógico “1” e as outras duas como “0”.

4.2.4 – Observações sobre o uso do Método de karnaugh Existem casos em que após seguir os passos recomendados para a correta simplificação do mapa de

karnaugh, algumas das simplificações utilizadas podem tornar-se redundantes. Este é o caso da simplificação do mapa mostrado abaixo. Inicialmente foram agrupados os termos que geraram a quadra existente. Após, para a simplificação dos demais termos, todos os termos que compõe a quadra foram usados para formar os pares mostrados.

Com isto, a quadra passou a ser redundante visto que todos os seus termos tiveram de ser usados

nas duplas. Desta forma, para obtenção da função mínima a quadra deve ser eliminada. A simplificação correta é então mostrada abaixo:

DC DC CD DC BA 0 0 1 0 BA 1 1 1 0

AB 0 1 1 1 BA 0 1 0 0


DCADCACBACBAS ........ +++=



4.3 – Método de Quine-McCluskey O método de Karnaugh visto na seção anterior é um método gráfico de tentativa e erro, sendo

bastante dependente da habilidade e da percepção visual do projetista para o reconhecimento das melhores formas de se agrupar os mintermos. Para funções com mais de cinco variáveis de entrada, é bastante difícil garantir a simplificação máxima.

Para minimizar estas dificuldades é apresentado o método de Quine-McCluskey, que é um método tabular. Este método, diferentemente do método de Karnaugh, segue regras claras e bem definidas para a obtenção da função simplificada, podendo ser facilmente implementado em forma de um software para uso em microcomputadores.

Este método foi inicialmente proposto por Quine em 1952 e posteriormente aperfeiçoado por McCluskey em 1956.

O método consiste de 2 tarefas básicas que são: a) A geração de todos os mintermos (primos implicantes) que são candidatos a estarem presentes na função simplificada; b) a escolha do menor subconjunto de primos implicantes que representam a função original. Primo implicante e um termo que não pode ser combinado com qualquer outro termo.

- Regras para Aplicação do Método de Quine-McCluskey

O método de Quine-McCluskey consiste de 7 passos, os quais são descritos a seguir:

1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função, na sua representação binária; 2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui; 3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte. Se os termos comparados

são adjacentes (possuem apenas uma variável com valor diferente), eles formam um novo termo. Este novo termo é representado por um traço no lugar da variável que alterou a sua informação. Os termos que não puderem ser agrupados são os primos implicantes;

4º passo: Repetir o passo acima, porém em relação aos grupos obtidos no 3º passo; 5º passo: Repetir o 3º passo, porém em relação aos grupos obtidos no 4º passo; 6º passo: Após não haver mais termos a serem agrupados, os termos primos implicantes gerados nos

passos anteriores devem ser tabulados. 7º passo: Selecione o menor conjunto de primos implicantes que cobrem todos os mintermos da função

original. Para facilitar o entendimento deste método, a seguir são apresentados alguns exemplos.

Exemplo 1: Minimize a função F(A,B,C, D)=∑m(3, 5, 7, 11, 12, 13, 14, 15)

1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função, na sua representação binária;

m A B C D 3 0 0 1 1 5 0 1 0 1 7 0 1 1 1 11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 15 1 1 1 1



2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui; Grupo m A B C D P.I.

2 3 0 0 1 1 " 5 0 1 0 1 " 12 1 1 0 0 " 3 7 0 1 1 1 " 11 1 0 1 1 " 13 1 1 0 1 " 14 1 1 1 0 " 4 15 1 1 1 1 "

3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte. Se os termos comparados


Grupo m A B C D P.I. 2,3 3,7 0 ! 1 1 "

3,11 ! 0 1 1 " 5,7 0 1 ! 1 " 5,13 ! 1 0 1 " 12,13 1 1 0 ! " 12,14 1 1 ! 0 "

3,4 7,15 ! 1 1 1 " 11,15 1 ! 1 1 " 13,15 1 1 ! 1 " 14,15 1 1 1 ! "

4º passo: Repetir o passo acima, porém em relação aos grupos obtidos no 3 passo;

Grupo m A B C D P.I. 2,3/3,4 3,7/11,15 ! ! 1 1 P.I.1

3,11/7,15 ! ! 1 1 5,7/13,15 ! 1 ! 1 P.I.2 5,13/7,15 ! 1 ! 1 12,13/14,15 1 1 ! ! P.I.3 12,14/13,15 1 1 ! !

Como não ha mais termos a serem agrupados, visto que na tabela acima todos os temos são primos

implicantes, passa-se direto para o 7º passo. O primo implicante P.I.1e igual a C.D, o P.I.2 e igual a B.D e o P.I.3 e igual a A.B.

7º passo: Selecione o menor conjunto de primo implicantes que cobrem todos os mintermos da função

original. P.I.’s 3 5 7 11 12 13 14 15 P.I.1 # # # # P.I.2 # # # # P.I.3 # # # #

P.I.1+ P.I.2+ P.I.3 # # # # # # # #

De acordo com a tabela acima, a função simplificada deverá ser formada por todos os termos primos implicantes. Isto se deve ao fato de que os mintermos 3 e 11 são cobertos apenas pelo primo



implicante 1, o mintermos 5 e coberto apenas pelo primo implicante 2 e os mintermos 12 e 14 são cobertos apenas pelo primo implicante 3. Desta forma todos os primos implicantes são primos implicantes essenciais e devem fazer parte da função simplificada.

Desta forma a função simplificada resultante é mostrada abaixo.

DBDCBADCBAF ...),,,( ++=

Exemplo 2: Minimize a função F(A, B, C, D, E)=∑m(0, 1, 2, 9, 11, 12, 13, 27, 28, 29).

1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função, na sua representação binária; m A B C D E 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 9 0 1 0 0 1

11 0 1 0 1 1 12 0 1 1 0 0 13 0 1 1 0 1 27 1 1 0 1 1 28 1 1 1 0 0 29 1 1 1 0 1

2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui; Grupo m A B C D E P.I.

0 0 0 0 0 0 0 " 1 1 0 0 0 0 1 " 2 0 0 0 1 0 "

2 9 0 1 0 0 1 " 12 0 1 1 0 0 "

3 11 0 1 0 1 1 " 13 0 1 1 0 1 " 28 1 1 1 0 0 "

4 27 1 1 0 1 1 " 29 1 1 1 0 1 "

3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte. Se os termos

comparados são adjacentes (possuem apenas uma variável com valor diferente), eles formam um novo termo. Este novo termo é representado por um traço no lugar da variável que alterou a sua informação. Os termos que não puderem ser agrupados são os primos implicantes;

Grupo m A B C D E P.I. 0,1 0,1 0 0 0 0 ! P.I.1

0,2 0 0 0 ! 0 P.I.2 1,2 1,9 0 ! 0 0 1 P.I.3 2,3 9,11 0 1 0 ! 1 P.I.4

9,13 0 1 ! 0 1 P.I.5 12,13 0 1 1 0 ! " 12,28 ! 1 1 0 0 "

3,4 11,27 ! 1 0 1 1 P.I.6 13,29 ! 1 1 0 1 " 28,29 1 1 1 0 ! "



4º passo: Repetir o passo acima, porém em relação aos grupos obtidos no 3º passo; Grupo m A B C D E P.I. 2,3/3,4 12,13/28,29 ! 1 1 0 ! P.I.7

12,28/13,29 ! 1 1 0 !

Como não há mais termos a serem agrupados, visto que na tabela acima todos os temos são primos implicantes, passa-se direto para o 7º passo.


original. P.I.’s 0 1 2 9 11 12 13 27 28 29 P.I.1 # # P.I.2 # # P.I.3 # # P.I.4 # # P.I.5 # # P.I.6 # # P.I.7 # # # #

P.I.2+ P.I.6+ P.I.7+P.I.3 # # # # # # # # # # De acordo com a tabela acima, os primos implicantes P.I.2, P.I.6 e P.I.7 são primos implicantes

essenciais e devem obrigatoriamente serem incluídos na função simplificada. Estes primos implicantes cobrem os seguintes mintermos: 0, 2, 11, 12, 13, 27, 28 e 29. Deve-se ainda selecionar os primos implicantes que cubram os mintermos 1 e 9. Neste caso o primo implicante a ser selecionado é o P.I.3.

Desta forma a função simplificada resultante é mostrada abaixo.

EDCAECBAEDCBDCBDCBAF ...........),,,( +++=

- Aplicação do Método de Quine-McCluskey em Funções com Condições Irrelevantes O procedimento a ser adotado nos casos de funções que apresentam condições irrelevantes é

idêntico ao apresentado até o 7º passo, onde são definidos os primos implicantes que deverão fazer parte da função simplificada final. Os mintermos considerados como condições irrelevantes são tabulados juntamente com os demais mintermos que formam a função original. Porém, no 7º passo, na escolha do menor subconjunto de primos implicantes, as condições irrelevantes não são incluídas no processo de seleção.

Para facilitar o entendimento deste método, a seguir é apresentado um exercício exemplo. Exemplo 1: Minimize a função F(A,B,C,D)=∑m(3,7,9,14) + ∑d(1,4,6,11) 1º passo: Tabular todos os mintermos que compõe a função, na sua representação binária;

m A B C D 1 0 0 0 1 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 9 1 0 0 1

11 1 0 1 1 14 1 1 1 0



2º passo: Agrupar em ordem crescente os mintermos de acordo com o numero de “1” que possui; Grupo m A B C D P.I.

1 1 0 0 0 1 " 4 0 1 0 0 "

2 3 0 0 1 1 " 6 0 1 1 0 " 9 1 0 0 1 "

3 7 0 1 1 1 " 11 1 0 1 1 " 14 1 1 1 0 "

3º passo: Compare cada termo de um grupo com cada termo do grupo seguinte. Se os termos comparados


Grupo m A B C D P.I.

1,2 1,3 0 0 ! 1 " 1,9 ! 0 0 1 " 4,6 0 1 ! 0 P.I.1

2,3 3,7 0 ! 1 1 P.I.2 3,11 ! 0 1 1 " 6,7 0 1 1 ! P.I.3 6,14 ! 1 1 0 P.I.4 9,11 1 0 ! 1 "

4º passo: Repetir o passo acima, porém em relação aos grupos obtidos no 3 passo;

Grupo m A B C D P.I. 1,2/2,3 1,3/9,11 ! 0 ! 1 P.I.5

1,9/3,11 ! 0 ! 1

Como não ha mais termos a serem agrupados, visto que na tabela acima todos os temos são primos implicantes, passa-se direto para o 7 passo.


original. Os mintermos considerados como condições irrelevantes não são incluídos na tabela. P.I.’s 3 7 9 14 P.I.2 # # P.I.3 # P.I.4 # P.I.5 # #

P.I.4+ P.I.5+ P.I.2 # # # #

De acordo com a tabela acima, os primos implicantes P.I.4 e P.I.5 são primos implicantes essenciais e devem obrigatoriamente serem incluídos na função simplificada. Estes primos implicantes cobrem os seguintes mintermos: 3, 9 e 14. Deve-se ainda selecionar um primo implicante que cubra o mintermo 7. Neste caso foi selecionado o primo implicante P.I. 2.

Desta forma a função simplificada resultante e mostrada abaixo.

DCBDCADBDCBAF .....),,,( ++=



EXERCÍCIOS – CAPÍTULO 2

1)Minimize as funções abaixo, utilizando o método de Karnaugh. a) F(A,B,C,D)=∑m(1,3,4,6,9,11,13,15) b) F(A,B,C,D,E)=∑m(4,8,10,15,17,20,22,26) + ∑d(2,3,12,21,27) c) F(A,B,C,D)=∑m(0,1,3,7,8,12) + ∑d(5,10,13,14) d) F(A,B,C,D,E)=∑m(0,2,3,4,5,6,7,11,15,16,18,19,23,27,31) e) F(A,B,C,D,E)=∑m(0,1,4,21,25,29) + ∑d(3,5,10,11,16,17,27)

2)Minimize as funções abaixo, utilizando o método de Quine-McCluskey.

a) F(A,B,C,D,E)=∑m(0,2,3,4,5,6,7,11,15,16,18,19,23,27,31) b) F(A,B,C,D)=∑m(2,3,12,13,15) c) F(A,B,C,D,E)=∑m(4,8,10,15,17,20,22,26) + ∑d(2,3,12,21,27) d) F(A,B,C,D)=∑m(0,1,4,7,15) + ∑d(2,5,11,13) e) F(A,B,C,D,E)=∑m(0,1,4,21,25,29) + ∑d(3,5,10,11,16,17,27) f) F(A,B,C,D,E,F)=∑m(6,9,13,18,19,25,27,29,41,45,57,61) g) F(A,B,C,D,E,F,G)=∑m(20,28,38,39,52,60,102,103,127)

3) Abaixo são mostradas as tabelas de primos implicantes de funções booleanas. Obtenha a expressão simplificada destas funções na forma de soma de produtos.

a) P.I.’s 0 4 5 6 11 13 15

P.I.1 ca. # # # P.I.2 dc. # # P.I.3 db .

# P.I.4 da. # # # P.I.5 dba ..

# #

b) P.I.’s 0 1 4 5 6 7 9 11 15

P.I.1 ca. # # # # P.I.2 ba. # # # # P.I.3 ca. # # P.I.4 cb. # # # P.I.5 dba ..

# #

c) P.I.’s 1 2 3 4 5 6

P.I.1 ca. # # P.I.2 cb .

# # P.I.3 ba. # # P.I.4 cb. # # P.I.5 ba.

# # P.I.6 ca. # #

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