39 Aap 2em Rpm Professor

AvAliAo dA AprendizAgem em processo

COMENTRIOS E RECOMENDAES

PEDAGGICAS

Subsdios para o Professor de Matemtica

Prova de Matemtica 2 srie do Ensino Mdio

So Paulo1 Semestre de 2015

8 edio

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2 Comentrios e Recomendaes Pedaggicas / Prova de Matemtica 2 srie do Ensino Mdio

Avaliao da Aprendizagem em ProcessoAPRESENTAO

A Avaliao da Aprendizagem em Processo se caracteriza como ao desenvolvida de modo colaborativo entre a Coordenadoria de Informao, Monitoramento e Avaliao Educacional e a Coordenadoria de Gesto da Educao Bsica, que tambm contou com a contribuio de Professores do Ncleo Pedaggico de diferentes Diretorias de Ensino.

Aplicada desde 2011, abrangeu inicialmente o 6 ano do Ensino Fundamental e a 1 srie do Ensino Mdio. Gradativamente foi expandida para os demais anos/sries (do 6 ao 9 ano do Ensino Fundamental e 1 a 3 srie do Ensino Mdio) com aplicao no incio de cada semestre do ano letivo.

Essa ao, fundamentada no Currculo do Estado de So Paulo, tem como objetivo fornecer indicadores qualitativos do processo de aprendizagem do educando, a partir de habilidades prescritas no Currculo. Dialoga com as habilidades contidas no SARESP, SAEB, ENEM e tem se mostrado bem avaliada pelos educadores da rede estadual. Prope o acompanhamento da aprendizagem das turmas e do aluno de forma individualizada, por meio de um instrumento de carter diagnstico. Objetiva apoiar e subsidiar os professores de Lngua Portuguesa e de Matemtica que atuam nos Anos Finais do Ensino Fundamental e no Ensino Mdio da Rede Estadual de So Paulo, na elaborao de estratgias para reverter desempenhos insatisfatrios, inclusive em processos de recuperao.

Alm da formulao dos instrumentos de avaliao, na forma de cadernos de provas para os alunos, tambm foram elaborados documentos especficos de orientao para os professores Comentrios e Recomendaes Pedaggicas contendo o quadro de habilidades, gabaritos, itens, interpretao pedaggica das alternativas, sugestes de atividades subsequentes s anlises dos resultados e orientao para aplicao e correo das produes textuais.

Espera-se que, agregados aos registros que o professor j possui, sejam instrumentos para a definio de pautas individuais e coletivas que, organizadas em um plano de ao, mobilizem procedimentos, atitudes e conceitos necessrios para as atividades de sala de aula, sobretudo, aquelas relacionadas aos processos de recuperao da aprendizagem.

COORDENADORIA DE INFORMAO, MONITORAMENTOE AVALIAO

EDUCACIONAL

COORDENADORIA DE GESTO DA EDUCAO BSICA

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Comentrios e Recomendaes Pedaggicas / Prova de Matemtica 2 srie do Ensino Mdio 3

Avaliao da Aprendizagem em Processo Matemtica

As questes apresentadas nesta edio foram idealizadas partindo do pressuposto de uma avaliao formativa e processual, tendo como ponto principal o diagnstico do desenvolvimento de algumas habilidades primordiais na construo e encadeamento do processo de desenvolvimento do conhecimento matemtico.

Cada questo est relacionada a uma habilidade destacada no contedo curricular de Matemtica, sejam elas dos Anos Finais do Ensino Fundamental ou Mdio, que j foram desenvolvidas em determinados perodos da trajetria estudantil do educando, visando o estabelecimento de um processo avaliativo que apenas no proporcione a mensurao do conhecimento atravs de erros e acertos e sim a verificao do processo do desenvolvido de habilidades e competncias no ensino e aprendizagem dos conhecimentos matemticos.

Composio:

1. Sries/Anos participantes:Ensino Fundamental Anos Finais: 5/6, 6/7, 7/8 e 8/9. Ensino Mdio: 1 a 3 sries.

2. Composio das provas de Matemtica:Anos Finais do Ensino Fundamental: 10 questes objetivas e 01 questo aberta.Ensino Mdio: 10 questes objetivas e 01 questo aberta.

3. Matrizes de Referncia (habilidades) para a constituio de itens das provas objetivas: Currculo do Estado de So Paulo.

4. Banco de questes: Questes inditas e adaptadas, formalizadas a partir das habilidades prescritas no Currculo do Estado de So Paulo.

Equipe Curricular de Matemtica-CEFAF

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MATRIZ DE REFERNCIA PARA AVALIAO DE MATEMTICA2 srie do Ensino Mdio

Questo Habilidade

01 ObjetivaConhecer algumas relaes mtricas fundamentais em tringulos no retngulos, especialmente a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

02 ObjetivaUsar de modo sistemtico relaes trigonomtricas fundamentais entre os elementos de tringulos retngulos, em diferentes contextos.

03 ObjetivaAplicar as propriedades dos polgonos regulares no problema da pavimentao de superfcies.

04 ObjetivaResolver equaes e inequaes simples usando propriedades de potncias e logaritmos.

05 ObjetivaConhecer a funo exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento.

06 ObjetivaUtilizar em diferentes contextos as funes de 1 e de 2 graus explorando especialmente problemas de mximos e mnimos.

07 ObjetivaCompreender a construo do grfico de funes de 1 grau sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de variao.

08 Objetiva

Conhecer as caractersticas principais das progresses geomtricas expresso do termo geral, soma dos n primeiros termos, entre outras , sabendo aplic-las em diferentes contextos.

09 Objetiva

Conhecer as caractersticas principais das progresses aritmticas - expresso do termo geral, soma dos n primeiros termos, entre outras - sabendo aplic-las em diferentes contextos.

10 ObjetivaReconhecer padres e regularidades em sequncias numricas ou de imagens expressando-as matematicamente, quando possvel.

11 AbertaReconhecer padres e regularidades em sequncias numricas ou de imagens expressando-as matematicamente, quando possvel.

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Habilidade:

Conhecer algumas relaes mtricas fundamentais em tringulos no retngulos, especialmente a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

Questo 1 ObjetivaUma bomba dgua utilizada para transportar gua de um rio para outros dois locais: a casa e a caixa dgua, conforme figura abaixo.

a =sen

a2 = b 2+c 22 . b . c . cos

b =sen

c sen

a b

c

O proprietrio dessa casa pretende bombear a gua do rio diretamente para a casa. Ele ter que construir um encanamento de

(A) 30 metros.

(B) 50 metros.

(C) 70 metros.

(D) 130 metros.

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Comentrios e Recomendaes Pedaggicas

A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos representam mais uma ampliao do repertrio de resoluo de tringulos, duas relaes importantes entre os lados e os ngulos de um tringulo qualquer: uma relao de proporcionalidade envolvendo lados e ngulos ou, mais precisamente, os lados e os senos dos ngulos, conhecida como Lei dos Senos; e uma generalizao do teorema de Pitgoras, conhecida como Lei dos Cossenos. Naturalmente, tais relaes tambm so vlidas para tringulos retngulos e seu aprendizado constitui, portanto, uma ampliao do repertrio das relaes entre a Geometria e a Trigonometria.

Tal ampliao de horizontes pode ser destacada pelo professor, uma vez que ela contribui para a conscincia de que o conhecimento foi aprimorado, por meio da compreenso dessas novas relaes.

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Grade de Correo

Alternativa Observao

(A) 30 metros.

Resposta incorreta. O aluno possivelmente no interpreta corretamente o enunciado do problema, no reconhece a situao onde se utiliza o raciocnio da Lei dos Cossenos, observa os valores apresentados na figura e faz x = 80 - 50 = 30.

(B) 50 metros.

Resposta incorreta. O aluno no interpreta corretamente o enunciado do problema, consequentemente no reconhece a situao onde se utiliza o raciocnio da Lei dos Cossenos. Entretanto, observando o resultado soma os dois lados do tringulo: 50 + 80 = 130, calcula que faltam 50 para a soma dar 180.

(C) 70 metros.

Resposta correta. O aluno interpreta corretamente o enunciado do problema, reconhece a situao onde se utiliza o raciocnio da Lei dos Cossenos utilizando corretamente sua frmula.

(D) 130 metros.Resposta incorreta. O aluno interpreta que a medida do lado maior igual a soma dos lados menores (x = 50+80).

Algumas referncias:

O estudo da temtica em questo pode ser complementado ou retomado observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 2Situao de Aprendizagem 6 Dos tringulos circunferncia: vamos dar uma volta?Situao de Aprendizagem 8 A hora e a vez dos tringulos no retngulos.

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Habilidade

Usar de modo sistemtico relaes trigonomtricas fundamentais entre os elementos de tringulos retngulos em diferentes contextos.

Questo 2 ObjetivaUma escada de um carro de bombeiros pode se estender at um comprimento mximo de 30 m, quando levantada at formar um ngulo mximo de 70.

A base da escada est colocada sobre um caminho a uma altura de 2 m do solo, conforme indica a figura a seguir.

Qual a altura aproximada, em relao ao solo, que essa escada poder alcanar?

(A) 12 m.

(B) 28 m.

(C) 30 m.

(D) 32 m.

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O estudo das razes trigonomtricas tem um grande sentido didtico quando tal tem incio na fixao da medida do ngulo agudo do tringulo retngulo e da obteno dos valores de suas razes (seno, cosseno e tangente). Portanto, o foco central a medida do ngulo, destacando-se que as razes trigonomtricas so, prioritariamente, associadas ao ngulo e no s medidas dos lados do tringulo retngulo.

Lembrando que o estudo das razes trigonomtricas de fundamental importncia e que a construo conceitual esteja nesse momento, acoplada mais do que nunca a situaes do cotidiano dos alunos, evitando-se formalizaes excessivas.

Para resolver essa questo, o aluno precisa saber que para obter a altura (h), precisa estabelecer a razo trigonomtrica ideal para sua resoluo, desta forma, so apresentados o comprimento mximo da escada (30 m) e o ngulo de inclinao da escada com a base do caminho (70). A partir destes dados possvel estabelecer hipoteticamente um tringulo retngulo, representado na figura do enunciado. O ngulo reto determinado pela altura (h) em relao do solo com a extremidade da escada.

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Grade de Correo


(A) 12 m.

Resposta incorreta. O aluno possivelmente utiliza a razo seno corretamente, porm adota o valor do cosseno de 70 (0,34).

Somando os 2 metros que a distncia do cho at a base da escada no cami-nho, temos que a altura total de aproximadamente 12 metros.

(B) 28 m.

Resposta incorreta. O aluno aplica corretamente a razo trigonomtrica rela-tiva ao clculo do seno de 70, porm no adiciona a distncia do cho base do caminho.

(C) 30 m.

Resposta correta. O aluno mostra que compreendeu o enunciado do pro-blema, associou corretamente os dados do enunciado e estabeleceu a li-gao dos dados com a razo trigonomtrica que satisfaz a resoluo da seguinte maneira.

Adicionando-se 2m referente distncia do cho at a base da escada no caminho, temos que a altura total de aproximadamente 30 metros.

(D) 32 m.Resposta incorreta. O aluno possivelmente no compreende o enunciado do problema e soma o comprimento da escada (30m) com a distncia do cho at a base da escada no caminho (2m).

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica- Ensino Fundamental- 9 Ano, Volume 2; Situao de Aprendizagem 4- Razes Trigonomtricas dos ngulos agudos; SEE/SP.

2. Aula 16 - Matemtica - Ens. Mdio- Telecurso, disponvel em http://www.telecurso.org.br/matematica/. Acesso em 17/09/2014.

3. Aula 40 - Matemtica - Ens. Mdio Telecurso, disponvel em http://www.telecurso.org.br/matematica/ acesso em 17/09/2014.

4. Aula 44 - Matemtica - Ens. Mdio- Telecurso, disponvel em http://www.telecurso.org.br/matematica/ acesso em 17/09/2014

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Habilidade

Aplicar as propriedades dos polgonos regulares no problema da pavimentao de superfcies

Questo 3 ObjetivaO nmero total de pentgonos regulares necessrios para formar a roda

Dica:

Em um polgono de n lados a soma dos ngulos internos dada por Si = (n 2) . 180

(A) 4.

(B) 6.

(C) 8.

(D) 10.

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Problemas de pavimentao de superfcie por meio de polgonos regulares costumam exigir o conhecimento dos ngulos internos desse tipo de polgono. Em princpio, necessrio saber que num polgono de n lados, a soma dos ngulos internos dada por Si = (n 2)180 e que, portanto,

a medida i um ngulo interno desse polgono dada por

n

180)2n(i

=

Nesta questo, conclui-se, com isso, que cada ngulo interno do pentgono regular tem 108. Assim, vejamos o que acontece num dos vrtices internos roda:

Assim, x + 108 + 108 = 360, donde se conclui que x = 144. Usando a mesma frmula, podemos agora descobrir qual o polgono regular interno roda:

Portanto, o polgono regular interno roda um decgono e isso significa que so necessrios 10 pentgonos regulares para formar a roda.

Porm, h outras abordagens possveis. O aluno pode estimar o nmero de pentgonos visualmente por simetria. Se ele percebe o alinhamento entre os lados do segundo e do ltimo pentgono da figura, pode-se concluir diretamente que so necessrios 10 pentgonos para formar a roda.

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Grade de Correo


(A) 4.Resposta incorreta. O aluno possivelmente tenha interpretado errado o enunciado. 4 o nmero de pentgonos que faltam para completar a roda.

(B) 6.

Resposta incorreta. Esta alternativa pode indicar um erro de interpretao similar ao da alternativa a, com o adicional de um erro de visualizao da simetria. Como aparecem 6 pentgonos desenhados e a parte j formada da figura est prxima da metade, o aluno pode ter suposto que faltavam mais 6.

(C) 8.Resposta incorreta. Convm investigar se houve alguma hiptese equivocada ou se o aluno assinalou aleatoriamente.

(D) 10.Resposta correta. O aluno aplica corretamente o teorema da soma das medias dos ngulos internos de um polgono.

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 2Situao de Aprendizagem 7 Polgonos e circunferncias: regularidades na inscrio e circunscrio

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Habilidade

Resolver equaes e inequaes simples usando propriedades de potncias e logaritmos.

Questo 04 Objetiva

Se 4x = 1 32 , ento x um nmero

(A) negativo e inteiro.

(B) positivo e inteiro.

(C) negativo e no inteiro.

(D) positivo e no inteiro.

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Esta questo predominantemente procedimental e o objetivo diagnosticar se o aluno consegue utilizar as definies e propriedades de potncia para resolver equaes exponenciais simples, cujos membros podem ser reduzidos a potncias de mesma base. Por esse motivo, as alternativas no explicitam nmeros, evitando, assim, que o aluno teste as razes.

O trabalho com as definies e propriedades de potncia muitas vezes fica calcado na mera memorizao e, se for esse o caso, importante buscar uma reparao. A compreenso das propriedades bem como a justificativa das definies permitem que o aluno possa apoiar-se em pequenas dedues, em vez de apoiar-se unicamente na memorizao de regras que podem lhe parecer arbitrrias. Por exemplo, a definio de potncia de expoente negativo no arbitrria, mas construda para que possam ser mantidas as boas propriedades que j valiam para expoentes naturais. Vejamos:

Para manter a propriedade

yxy

xb

bb = , devemos ter

yy

0y0

b1

bbbyb ===

Outro modo de justificar essa mesma definio por meio da regularidade que se deseja manter:

H duas dificuldades bsicas a serem transpostas na resoluo da equao proposta aqui. A primeira a frao que aparece no segundo membro. preciso que o aluno saiba que essa frao pode ser escrita como uma potncia de expoente negativo. A segunda que, ainda que o aluno escreva corretamente a potncia 25, no outro membro no aparece imediatamente uma potncia de 2. Assim, o aluno ter de fazer a seguinte transformao: 4x = (22)x = 22x.

Finalmente, como a funo exponencial bijetora, 22x = 25 implica 2x = 5. Ento, x = 2,5.

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Grade de Correo


(A) negativo e inteiro.Resposta incorreta. O aluno possivelmente calcula: 4x = 2-5 e conclui que x = -5. Demonstra no ter conhecimento das propriedades de potncia.

(B) positivo e inteiroResposta incorreta. O aluno possivelmente calcula 4x = 25 e conclui que x = 5. Demonstra no ter conhecimento das propriedades de potncia.

(C)negativo e no inteiro.

Resposta correta. O aluno resolveu a equao corretamente aplicando as propriedades e definies de potncia.

(D)positivo e no inteiro.

Resposta incorreta. O aluno possivelmente desconhece que para uma potncia de 4 igualar-se a uma frao prpria, o expoente necessariamente ter de ser negativo.

Algumas referncias:

O estudo da temtica em questo pode ser complementado ou retomado, observando as propostas apresentadas nos seguintes materiais:

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 2Situao de Aprendizagem 1 As potncias e o crescimento/decrescimento exponencial: a funo exponencial

Situao de Aprendizagem 2 Quando o expoente a questo, o logaritmo a soluo, a fora da ideia do logaritmo.

Situao de Aprendizagem 3 As funes com varivel no expoente: a exponencial e sua inversa, a logartmica.

Situao de Aprendizagem 4 As mltiplas faces das potncias e dos logaritmos: problemas envolvendo equaes e inequaes em diferentes contextos.

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Habilidade

Conhecer a funo exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento.

Questo 5 Objetiva

Leia as situaes descritas abaixo.

I. Um imvel valoriza-se 20% a cada ano.

II. Uma colnia de bactrias duplica o nmero de bactrias a cada hora.

correto afirmar que

(A) ambas as situaes se referem a grandezas que crescem exponencial-mente.

(B) apenas a situao I se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

(C) apenas a situao II se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

(D) nenhuma das situaes se refere a grandezas que crescem exponencialmente.

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O que caracteriza uma funo exponencial o fator de crescimento constante. Num domnio discreto, isso equivale a observar uma PG, em que cada novo termo o anterior multiplicado pela razo constante, que seria esse tal fator de crescimento.

De modo geral, o domnio de uma funo exponencial pode ser todo o conjunto dos nmeros reais, ento possvel descrever esse fator de crescimento constante pela razo

)x(f)1x(f + , obtida a partir de qualquer valor de x.

Nesta questo, ainda que o aluno desconhea a nomenclatura fator de crescimento, o que se espera que ele tenha internalizado a noo de que, se possvel obter f(x+1) multiplicando f(x) por uma constante, ento, produz-se uma potncia e, por esse motivo, tem-se uma funo exponencial:

f(x+1) = a f(x)

f(x+2) = a f(x+1) = a2 f(x)

f(x+3) = a f(x+2) = a3 f(x)

...

f(x+n)= a f(x+n 1) = an f(x)

Nesta questo, a situao II apresenta um fator de crescimento constante bastante evidente, j que a cada hora, o nmero de bactrias fica multiplicado por 2. A funo ser f(x) = n 2x, onde n a quantidade inicial de bactrias, que no foi explicitada, e x o tempo em horas.

A situao I demanda um pouco mais de elaborao. Se a cada ano o valor do imvel aumenta 20%, ento, a cada ano seu valor anterior deve ser multiplicado por 1,2 (100% mais 20%). Assim, o fator de crescimento da funo constante e possvel escrever g(x) = v 1,2x, onde v o valor inicial do imvel, que no foi explicitado, e x o tempo em anos.

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Grade de Correo


(A)

ambas as situaes se referem a grandezas que crescem exponencialmente.

Resposta correta. O aluno identifica corretamente o tipo de crescimento envolvido nas duas situaes.

(B)apenas a situao I se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

Resposta incorreta. Numa situao de entendimento parcial das funes exponenciais, pouco esperado que o aluno tenha identificado corretamente a situao I como de crescimento exponencial, mas no a situao II, que tem suas caractersticas muito mais evidentes.

(C)apenas a situao II se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

Resposta incorreta: Esse um erro relativa-mente esperado, uma vez que a situao II constitui o tipo bsico de exemplo usado para abordar as funes exponenciais e traz suas caractersticas muito mais evidenciadas.

(D)

nenhuma das situaes se refere a grandezas que crescem exponencialmente.

Resposta incorreta. O aluno demonstra falta de familiaridade com os exemplos mais corriqueiros de funo exponencial

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 2Situao de Aprendizagem 1 As potncias e o crescimento/decrescimento exponencial: a funo exponencial.

Situao de Aprendizagem 3 As funes com variveis no expoente: a exponencial e sua inversa, a logartmica.

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Habilidade

Utilizar em diferentes contextos as funes de 1 e de 2 graus explorando especialmente problemas de mximos e mnimos.

Questo 6 ObjetivaO preo, em reais, de uma pedra preciosa dado pelo quadrado de sua massa, em gramas. Assim, uma pedra de 7 gramas custa R$ 49,00. Se essa pedra se par-tisse em dois pedaos de, por exemplo, 1 grama e 6 gramas, haveria um prejuzo de R$12,00, pois o preo que se poderia obter pelos dois pedaos juntos seria calculado assim: 12 + 62 = 37.

Desse modo, se a pedra de fato se partir em dois pedaos, o prejuzo mximo que se pode obter de

(A) R$ 20,00.

(B) R$ 24,00.

(C) R$ 24,50.

(D) R$ 29,50.

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Os problemas de mximos e mnimos so de fundamental importncia em diversas aplicaes da Matemtica, tais como engenharia ou economia. A funo quadrtica um modelo que se ajusta bem a muitas dessas aplicaes, considerado o domnio adequado.

Nesta questo, a aplicao do modelo pode ser feita traduzindo a situao para a linguagem algbrica:

Massa do pedao 1: x gramas Preo: x2 reaisMassa do pedao 2: (7 x) gramas Preo: (7 x)2 = 49 14x + x2 reais

Essa uma resoluo usual, do tipo que consta na maior parte dos materiais didticos, mas h muitas variaes possveis. O aluno pode, por exemplo, calcular diretamente a ordenada do vrtice ou, ao contrrio, pode escolher um caminho indireto, calculando as coordenadas do vrtice por meio da mdia das razes da funo (0 e 7). Ou ainda, o aluno pode resolver o problema sem fazer uso da lgebra, mas analisando a variao numericamente:

A partir da, se a anlise continuar se concentrando em nmeros inteiros, ento, a tabela comear a repetir os valores de prejuzo. Isso pode fazer com que o aluno perceba uma tendncia, que : o prejuzo aumenta medida que as massas dos dois pedaos se aproximam. Como a massa no necessariamente um nmero inteiro, o equilbrio total se dar quando cada novo pedao tiver 3,5 gramas.

Estratgias como essas devem ser valorizadas e recomendvel que o professor mostre sua relao com a abordagem usual, seu alcance e suas limitaes.

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Grade de Correo


(A) R$ 20,00.

Resposta incorreta. O aluno possivelmente utiliza um nico par de valores para os novos pedao de pedra, tais como 2 e 5 gramas, de fato, o prejuzo de 20 reais. No percebe que as massas dos dois pedaos de pedra so desconhecidos e, portanto, deve analisar outras possibilidades.

(B) R$ 24,00.

Resposta incorreta. O aluno possivelmente utiliza a estratgia exposta nos comentrios, porm sem se atentar para o fato de que a massa no uma gran-deza discreta, de modo que no se pode limitar a anlise aos inteiros.

(C) R$ 24,50.Resposta correta. O aluno interpreta correta-mente a situao problema, quer a estratgia usual, quer uma estratgia pessoal diferente.

(D) R$ 29,50.Resposta incorreta. O aluno possivelmente asso-cia o maior valor absoluto indicado nas alternativas com a solicitao do prejuzo mximo.

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 1Situao de Aprendizagem 6 Funes polinomiais de 2 grau.Situao de Aprendizagem 7 Mximos e Mnimos.Situao de Aprendizagem 8 Situaes-problema: Modelos Matemticos.

2. Novo Telecurso- Ensino Mdio- Matemtica:Teleaula 32: mximos e mnimos. (durao 1146)

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Habilidade

Compreender a construo do grfico de funes de 1 grau sabendo caracterizar o crescimento, o decrescimento e a taxa de variao.

Questo 7 ObjetivaO CD (compact disc) foi inventado em 1979, comeou a ser comercializado em 1982 e rapidamente tornou-se muito popular. Para se ter uma ideia, em 1986 o nmero de vendas chegou a 53 milhes e, a partir da, foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano at 1992.

O grfico que melhor representa a venda de CD entre os anos de 1986 e 1992

(A)

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O estudo das funes um dos assuntos da Matemtica que fica mais evidente a necessidade de trabalhar, simultaneamente, com diversos tipos de representao: verbal, numrica, grfica, algbrica. A verdadeira apreenso do conceito s pode se dar quando ele cercado por esses diversos tipos de representao.

Uma das mais importantes caractersticas de uma funo afim seu crescimento uniforme. O que caracteriza com exatido essa propriedade a taxa mdia de variao constante:

Graficamente, isso se expressa por um acrscimo (ou decrscimo) constante em y, a cada unidade que se avana em x. A menos que o grfico seja uma reta, isso no acontece.

Na situao-problema apresentada, a expresso verbal da taxa mdia de variao constante a frase foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano.

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Grade de Correo


(A)

Resposta correta. O aluno associou corretamente uma funo afim crescente, cujo grfico uma reta, taxa mdia de variao constante expressa pela frase foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano.

(B)

Resposta incorreta: O aluno compreendeu corretamente o carter crescente de funo que associa o nmero de vendas de CD ao tempo, expresso em anos. Porm, a informao foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano no foi significativa para ele, a ponto de que associasse esse tipo de crescimento a uma funo afim expressa graficamente por uma reta.

(C)

Resposta incorreta: Nesta alternativa, pode-se observar o mesmo que na alternativa anterior. Mas ainda h um equ-voco adicional de interpretao ao associar os 53 milhes de CD vendidos ao ano de 1982.

(D)

Resposta incorreta: Neste caso, o aluno no identificou o carter crescente da funo que modela a situao pro-posta ou, se identificou, no sabe qual a expresso grfica desse crescimento.

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 1Situao de Aprendizagem 6 Funes polinomiais de 1 grau: representao grfica, proporcionalidade, crescimento e decrescimento.

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Habilidade

Conhecer as caractersticas principais das progresses geomtricas expresso do termo geral, soma dos n primeiros termos, entre outras , sabendo aplic-las em diferentes contextos.

Questo 8 ObjetivaO xadrez jogado num tabuleiro quadriculado que possui 64 casas conforme mostra a figura

Malba Tahan narra a histria de um rei que queria presentear seu vizir pelos ex-celentes servios prestados. O vizir pediu-lhe que o rei o pagasse com gros de trigo da seguinte forma: Ele queria receber um gro de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois gros pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta e assim por diante. Sendo assim, at a dcima casa o vizir receberia um total de:

(A) 231 gros.

(B) 512 gros.

(C) 640 gros.

(D) 1023 gros.


Ao resolver a questo, espera-se que o aluno seja capaz de reconhecer as regularidades numricas de uma determinada sequncia e suas propriedades, em especial com relao soma dos termos de uma progresso geomtrica, sendo capaz de prever resultados para uma dada situao, utilizando a formalizao matemtica ou outra estratgia qualquer. importante verificar, atravs das possibilidades indicadas nas alternativas, o nvel de compreenso em que o aluno se encontra realizando intervenes a fim de que ele adquira as habilidades/competncias necessrias ao entendimento deste contedo.

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Grade de Correo


(A) 231 gros

Resposta incorreta. O aluno possivelmente registra o oito a cada casa a partir da quarta, de acordo com a consigna do problema, somando todos os gros de cada casa, dessa forma respondendo incorretamente.

(B) 512 gros Resposta incorreta. O aluno possivelmente registra o nmero de gros que o vizir receberia pela dcima casa.

(C) 640 gros

Resposta incorreta. O aluno responde incorretamente, pois possivelmente multiplica o nmero de casas do ta-buleiro pelo nmero dez, da dcima casa como citado no problema.

(D) 1023 gros

Resposta correta. O aluno responde corretamente utilizando a equao da soma dos termos de uma P.G. de razo 2 e/ou utiliza outra estratgia, como a de re-gistrar o nmero de gros em cada casa do tabuleiro at chegar na dcima casa e depois soma tudo ou cal-cula a quantidade de gros da 11 casa (1024) sub-traindo o gro correspondente a esta e encontrando 1023 gros.

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica - Ensino Mdio 1 srie Volume 1 Edio 2014:Situao de Aprendizagem 1: conjuntos numricos: regularidades numricas e geomtricas.

Situao de Aprendizagem 2: progresses aritmticas e progresses geomtricas.

2. Caderno do Professor: Matemtica - 7Srie/8Ano - Ensino Fundamental Volume 1 - Edio 2014:Situao de Aprendizagem 5: aritmtica com lgebra: as letras como nmeros.

Situao de Aprendizagem 8: aritmtica e geometria: expresses Algbricas de algumas ideias fundamentais.

3. Novo Telecurso Ensino Fundamental - Matemtica: Teleaula 33, 35 e 36

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Habilidade

Conhecer as caractersticas principais das progresses aritmticas- expresso do termo geral, soma dos n primeiros termos, entre outras sabendo aplic-las em diferentes contextos.

Questo 9 ObjetivaNa figura abaixo, cada quadradinho formado por quatro palitos de comprimentos iguais.

A sequncia formada pelas quantidades de palitos necessrios para a construo das figuras resulta em uma PA. A alternativa que contempla a frmula que expressa a quantidade de palitos da figura que ocupa a posio n nessa sequncia :

(A) an = 1 + (n 1) . 6.

(B) an = 2 + (n 1) . 6.

(C) an = 3 + (n 1) . 6.

(D) an = 4 + (n 1) . 6.

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Destacamos, novamente, a importncia de valorizar o raciocnio dos alunos na obteno do termo geral de uma PA, em detrimento de restringir a resoluo dos problemas utilizao das frmulas obtidas. O professor dever estar atento e observar quais estratgias de resolues os alunos esto utilizando a fim de distinguir aqueles que utilizam frmulas prontas como um mero atalho para a aplicao do conceito que j dominam e, portanto, podem ser estimulados nesse sentido daqueles alunos que, sem terem atingido a compreenso desejada buscam adaptar as condies dos problemas s frmulas, como se eles se questionassem constantemente sobre qual frmula devem utilizar. Casos dessa natureza certamente merecero maior ateno do professor.

A sequncia formada pelas quantidades de palitos uma PA, pois cada figura tem seis palitos a mais que a precedente: 4, 10, 16, 22, 28, ...

Portanto, a frmula que expresse a quantidade de palitos da figura que ocupa a posio n nessa sequncia

6)1n(4an += .

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Grade de Correo


(A) an = 1 + (n 1) . 6.

Resposta incorreta. O aluno provavelmente no interpreta corretamente a proposta e anota esta alternativa observando a ordem numrica que aparece nas figuras indicando como sendo a figura 1.

(B) an = 2 + (n 1) . 6.Resposta incorreta. O aluno provavelmente observa que cada figura acrescenta dois quadradinhos, logo anota esta alternativa.

(C) an = 3 + (n 1) . 6.

Resposta incorreta. O aluno provavelmente no interpreta corretamente a solicitao do problema, indica esta alternativa associada a an= 3 ao n 3 indicado na figura.

(D) an = 4 + (n 1) . 6.

Resposta correta. O aluno interpreta corretamente a proposta do problema identificando a sequncia e relacionando-a com a frmula solicitada.

Algumas referncias:


1- Caderno do Professor: Matemtica - Ensino Mdio 1 srie Volume 1 Edio 2014:Situao de Aprendizagem 1: conjuntos numricos: regularidades numricas e geomtricas.

Situao de Aprendizagem 2: progresses aritmticas e progresses geomtricas.

2. Caderno do Professor: Matemtica - 7Srie/8Ano - Ensino Fundamental Volume 1 - Edio 2014:Situao de Aprendizagem 5: aritmtica com lgebra: as letras como nmeros.

Situao de Aprendizagem 8: aritmtica e geometria: expresses Algbricas de algumas ideias fundamentais.

Disponvel em: http://www.nilsonjosemachado.net/sema20091124.pdf, Acesso em: 19/03/2014

3. Novo Telecurso Ensino Fundamental - Matemtica: Teleaula 33

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Habilidade

Reconhecer padres e regularidades em sequncias numricas ou de imagens expressando-a matematicamente, quando possvel.

Questo 10 ObjetivaAs figuras mostradas abaixo esto organizadas dentro de um padro que se repete. Mantendo essa disposio, qual expresso algbrica representa o nmero de pontos da figura de ordem n (n = 1, 2,...)?

(Site:http://download.inep.gov.br/educacao_basica/prova_brasil_saeb/menu_do_gestor/exemplos_questoes/M08_Saeb_site_FP.pdf) acesso 19/09/2014 11:59:09

(A) n + 1.

(B) 5n + 1.

(C) - 2n - 2.

(D) n + 1.

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O reconhecimento de regularidades uma das habilidades mais importantes da matemtica e do pensamento humano em geral. esse reconhecimento que possibilita que faamos generalizaes, que possamos categorizar objetos e nome-los, etc. Por isso, desejvel que questes de observao de padres e regularidades sejam trabalhadas sempre que possvel.

Para que esse reconhecimento de regularidades acontea e seja expresso, necessrio dominar e utilizar alguma forma de linguagem. No caso dessa questo, o reconhecimento do padro e sua expresso algbrica precisam se conjugar para a correta resoluo.

Vamos organizar informaes por meio de uma tabela para ter um panorama das vrias relaes que os alunos podem vir a observar na sequncia de figuras.

Figura Quantidade de bolinhas

1 22 53 104 175 266 37

....

....

n n2+1

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Grade de Correo


(A) n + 1Resposta incorreta: possvel que o aluno no tenha compreendido o que foi proposto pela questo.

(B) 5n + 1

Resposta incorreta: Esta alternativa se adqua perfeitamente quinta figura da sequncia, mas no se ajusta s demais. Eventualmente, tendo percebido essa relao especfica, o aluno pode ter se precipitado na generalizao.

(C) -2n - 2Resposta incorreta: Esta alternativa pode indicar uma interpretao equivocada do problema proposto, pois a sequncia progressiva.

(D) n2 + 1

Resposta correta: O aluno percebe o padro e sabe escrev-lo algebricamente. Ou, o que tambm satisfatrio, sabe testar qual das alternativas se encaixa em todas as figuras da sequncia.

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Fundamental 7 Srie/ 8 Ano, Volume 1Situao de Aprendizagem 5 Aritmtica com lgebra: As Letras como nmeros.

2. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 1Situao de Aprendizagem 1 Conjuntos numricos; regularidades numricas e geomtricas

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Habilidade

Reconhecer padres e regularidades em sequncias numricas ou de imagens expressando-a matematicamente, quando possvel.

Questo 11 AbertaSuponha que a sequncia de figuras abaixo continue seguindo sempre o mesmo padro.

De acordo com as figuras apresentadas, determine a expresso que permite o clculo da quantidade de quadradinhos brancos (b) da ensima figura (Figura n).

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O reconhecimento de regularidades uma das habilidades mais importantes da matemtica e do pensamento humano em geral. esse reconhecimento que possibilita que faamos generalizaes, que possamos categorizar objetos e nome-los etc. Por isso, desejvel que questes de observao de padres e regularidades sejam trabalhadas sempre que possvel.

Para que esse reconhecimento de regularidades acontea e seja expressivo, necessrio dominar e utilizar alguma forma de linguagem. No caso dessa questo, o reconhecimento do padro e sua expresso algbrica precisam se conjugar para a correta resoluo.

A sequncia s est representada at a quarta figura, mas natural que se avance mais um pouco para averiguar a compreenso global da regularidade. Esse um processo no guiado explicitamente pela questo, mas que o professor deve estimular em sala de aula quando trabalhar com questes desse tipo.

Vamos organizar informaes por meio de uma tabela para ter um panorama das vrias relaes que os alunos podem vir a observar na sequncia de figuras.

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A linha correspondente figura n, claro, o objetivo da questo. Mas, para chegar l, h observaes anteriores. Uma primeira constatao que n, alm de indicar a prpria posio da figura na sequncia, indica tambm a quantidade de quadradinhos que forma o lado das figuras.

Depois, h que se perceber que a quantidade total de quadradinhos da figura o lado n ao quadrado. E, por fim, algo que pode ser percebido numrica ou visualmente que a quantidade de quadradinhos cinzas igual a n.

A partir da, possvel concluir que b = n2 n.

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Grade de Correo

Respostas Corretas

O aluno reconhece o padro e sabe escrev-lo algebricamente b = n2 n

Respostas parcialmente corretas

O aluno, ao observar a terceira figura, possivelmente identifica a sequncia b = 2n, mas no se ajusta s demais. Eventualmente, tendo percebido essa relao especfica, o aluno pode ter se precipitado na generalizao. Expressa b como sendo a quantidade total de quadradinhos da figura e escreve algebricamente que b = n2 .

Resposta incorreta

O aluno possivelmente no compreende o que foi proposto pelo problema. Escreve que b = n, utiliza b para representar a quantidade de quadradinhos cinzas.

Algumas referncias:


1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, Volume 1Situao de Aprendizagem A Sequncias: padres e regularidades

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Avaliao da Aprendizagem em ProcessoComentrios e Recomendaes Pedaggicas Matemtica

Coordenadoria de Informao, Monitoramento e Avaliao Educacional

Coordenadora: Ione Cristina Ribeiro de Assuno

Departamento de Avaliao Educacional

Diretor: William Massei

Assistente Tcnica: Maria Julia Filgueira Ferreira

Centro de Aplicao de Avaliaes

Diretora: Diana Yatiyo Mizoguchi

Equipe Tcnica DAVED participante da AAP

Ademilde Ferreira de Souza, Cristiane Dias Mirasola, Eliezer Pedroso da Rocha, Isabelle Regina de

Amorim Mesquita, Juvenal de Gouveia, Patricia de Barros Monteiro, Silvio Santos de Almeida, Soraia

Calderoni Statonato

Coordenadoria de Gesto da Educao Bsica

Coordenadora: Maria Elizabete da Costa

Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gesto da Educao Bsica

Diretor: Joo Freitas da Silva

Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Mdio e Educao Profissional

Diretora: Valria Tarantello de Georgel

Equipe Curricular CGEB de Matemtica

Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro Magni, Sandra Maira

Zen Zacarias, Vanderley Aparecido Cornatione

Elaborao do material de Matemtica

Equipe Curricular de Matemtica CGEB/ CEFAF e PCNP colaboradores: Ana Lucia Nunes Urtado Silva,

Anderson Cangane Pinheiro, Carlos Tadeu da Graa Barros,Cibele Zucareli dos Santos, Claudio Galeote

Rentas , Daniela Luporini , Dimas Tadeu Celestino dos Santos, Edson Basilio Amorim Filho, Eduardo

Granado Garcia, Emerson de Souza Silva, Everaldo Jos Machado de Lima, Fbio Jos Paganotti,

Fernanda Fornitani Marques, Geverson Ribeiro Machi, Gisley Noemi Barolobre Manoel, Glaucia Roque

Rocha Pio, Graziele Cristina Mantovani Pereira, Juliana Leite Boranelli, Leandro Geronazzo, Lilian Ferolla

de Abreu, Lilian Fortuna Clara Fabiani, Luciana Moraes Funada, Maria Dolores Cereijido Bersani, Maria

Edite de Camargo Dmitrasinovic, Maria Emilia Pivovar de Azevedo, Maria Helena Silveira, Maria Joslia

Silva Bergamo Almeida, Mario Jos Pagotto, Mariza Antonia Machado de Lima, Mary Silvia Leme Starnini,

Meiriele Cristina Calvo, Osvaldo Joaquim dos Santos, Paula Cristina de Faria Veronese, Paula Pereira

Guanais, Paulo Henrique Lisboa Zioli, Renata Leandro Terrengue, Renata Serrano Rodrigues Shiratsu,

Rita de Cssia Toffanelli Prates, Rodrigo Soares de S Roseli Soares Jacomini, Samara Valdo de Oliveira,

Samira Camargo Clemente, Sueli Aparecida Gobbo Araujo , Susi Passarete Cardoso , Vitria Raquila

Papadopoulos Koki .

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Validao, Leitura Crtica

Professores Coordenadores dos Ncleos Pedaggicos das Diretorias de Ensino: Antonia Zumira da Silva,

Claudia Xavier da Silva Cavalcante, Cleonice da Silva Menegatto, Cristina Aparecida da Silva, Edson

Basilio Amorim Filho, Givanildo Farias da Silva, Lucio Mauro Carnaba, Marcia Cristine Ayaco Yassuhara

Kagaochi, Maria Denes Tavares das Silva, Paula Pereira Guanais, Rebeca Meirelles das Chagas Plibersek,

Rosemeire Lepinski, Sandra Regina Soares Clemente, Srgio Antunes.

Leitura Crtica e Reviso

Equipe Curricular de Matemtica CGEB

Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rosana Jorge Monteiro Magni, Sandra Maira

Zen Zacarias, Vanderley Aparecido Cornatione

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39 Aap 2em Rpm Professor

Documents

Transcript of 39 Aap 2em Rpm Professor