39659105 Matematica Farmacia

Curso Técnico em Farmácia e Gestão Sistema Educacional Galileu

Matemática Instrumental

SUMÁRIO

UNIDADE 1. RAZÃO E PROPORÇÃO ................................................................................3 1.1. DEFINIÇÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA ..........................................................3 1.2 RAZÃO E PROPORÇÃO ..................................................................................................3 1.3. PROPORÇÕES..................................................................................................................4 1.4. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES:............................................4 UNIDADE 2 – PORCENTAGEM ...........................................................................................6 2.1. TAXAS SOBRE TAXAS ..................................................................................................6 2.2. ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS .........................................................................................7 2.3. MÉDIAS ............................................................................................................................7 UNIDADE 3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA .................................................9 3.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES............................................................................................9 3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA ......................................................................................9 UNIDADE 4 - SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO .............................................................11 4.1. CONCEITOS BÁSICOS: ................................................................................................11 4.2. JUROS SIMPLES (CAPITALIZAÇÃO SIMPLES).......................................................11 4.3. MONTANTE E VALOR ATUAL ..................................................................................12 UNIDADE 5 – TAXAS ..........................................................................................................14 5.1. TAXAS EFETIVA E NOMINAL ...................................................................................14 5.2. TAXAS EQUIVALENTES .............................................................................................14 UNIDADE 6 – DESCONTO SIMPLES.................................................................................16 6.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES ...........................................................................16 6.2. DESCONTO RACIONAL SIMPLES .............................................................................18 6.3. DESONTO COMERCIAL SIMPLES X DESC. RACIONAL SIMPLES....................20 UNIDADE 7 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.................................................................22 7.1. CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS, CAPITAL E MONTANTE..........................22 UNIDADE 8 – CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS.......................................25 8.1. TAXAS EQUIVALENTES .............................................................................................25 8.2. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA .........................................................................26 UNIDADE 9 – DESCONTO COMPOSTO ...........................................................................28 9.1. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO.....................................................................28 9.2. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO........................................................................28 9.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS ..................................................................................29 UNIDADE 10 – RENDAS, ANUIDADES OU SÉRIES FINANCEIRAS............................30 10.1. DEFINIÇÕES ................................................................................................................30 10.2. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES.......................................................................30 10.3. SÉRIES FINANCEIRAS...............................................................................................32 UNIDADE 11 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .............................................................37 10.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA)....................................................37 10.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – (SAC) ..........................................39 10.3. SISITEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM).......................................................41 UNIDADE 12 – TAXA REAL E TAXA APARENTE .........................................................44 12.1. TAXA REAL E TAXA APARENTE............................................................................44 UNIDADE 13 – ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO .........................46 13.1. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE.......................................................................46 13.2. MÉTODO DO VALOR ATUAL ..................................................................................46 13.3. MÉTODO DO CUSTO ANUAL...................................................................................47 13.4. MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO.......................................................48



UNIDADE 1. RAZÃO E PROPORÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA

A Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação do dinheiro bem como para pagamentos de empréstimos. Para tanto precisamos entender algumas relações fundamentais entre capital, tempo de aplicação (período), taxa de aplicação e o montante.

1.2 RAZÃO E PROPORÇÃO RAZÃO – é o quociente de dois números. Razão entre dois números racionais (sendo o segundo diferente de zero), é o quociente do primeiro pelo segundo.

Sendo assim, a razão entre os números 3 e 2 é 3/2 que se lê: razão de 3 para 2.

- O primeiro n° é chamado – antecedente

- O segundo n° é chamado - conseqüente

econsequenteantecedent

→→

23

Exemplo.1- Em uma classe mista, o numero de rapazes é 20 e o de moças é 16. Calculando-se o

quociente de 16 por 20 )54

2016ou 2016( =÷ estamos comparando o número de rapazes e de moças

dessa classe. Diz-se que o numero de moças está para o de rapazes na RAZÃO de 4 para 5 (a cada 4 moças correspondem 5 rapazes).

Mais exemplos:

a razão de 2 para 10 é 2/10, onde 2 é o antecedente e 10 é o conseqüente.

a razão de 10 para 2 é 10/2, onde 10 é o antecedente e 2, o conseqüente.

Exercícios: 1) No vestibular de 2000 da Unicamp concorreram, para 90 vagas da opção Medicina, 7.830 candidatos. Qual a relação candidato vaga para essa opção?

2) Tenho duas soluções de água e álcool. A primeira contém 279 litros de álcool e 1116 litros de água. A segunda contem 1.155 litros de álcool e 5.775 litros de água. Qual das duas soluções tem maior teor alcoólico?



1.3. PROPORÇÕES É a igualdade entre duas razões.

Ex.: 46

23=

Lê-se: 3 está para 2 assim como 6 está para 4.

3 e 4 são os extremos (primeiro e o último)

2 e 6 são os meios ( segundo e o terceiro)

1.4. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES:

Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Ex.: 46

23=

Produto dos Extremos: 3 x 4 = 12

Produto dos Meios: 2 x 6 = 12

Exercícios:

1) As razões 3/5 e 4/7, formam uma proporção?

2) Calcule “x” nas proporções:

a)106

5=

x

b) 2012

2 xx=

−

c) 104

20=

x

3) Se em cada calça são usados 4 botões e ainda disponho de 104 botões, quantas calças poderei aprontar? 4) Sejam a e b dois números reais positivos. Sabe-se que a razão de a para b é 1/3. quem é o maior, a ou b?

5) Numa cidade de 500.000 habitantes, foi feita uma pesquisa sobre o número de espectadores regulares de televisão e chegou-se aos dados abaixo:

N° de espectadores do canal 10: 75000



N° de espectadores do canal 6: 110.000

N° de pessoas que não assistem regularmente TV: 315.000

Qual a razão entre o número de espectadores regulares de televisão e o numero de habitantes dessa cidade?

6) Encontre em cada item, a razão do 1° para o 2° número.

a) 4 e 2 b) 2 e 9 c) 20 e 100.000



UNIDADE 2 – PORCENTAGEM É uma razão especial e de grande emprego na matemática. Quando se diz 12% (doze por cento)

isto significa 12 para 100, isto é. 10012 , ou ainda, em cada 100 tomamos 12. Diz-se, então que 12% é a

taxa percentual ou centesimal. Utilize, para resolver problemas sobre percentagem, seus conhecimentos de razão e proporção.

Exemplos: 1) Escreva em fração, a taxa centesimal 8%.

2) Qual a taxa unitária correspondente a 20%?

3) Qual a taxa percentual correspondente a taxa unitária 0,05?

Exercícios:

1) Numa escola 26% dos estudantes são meninas. Quantos estudantes tem a escola se o total de meninas é 182?

2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$ 2.100,00. Qual é o preço desse objeto?

3) O preço de um veículo passou de R$ 13.000,00 para R$ 18.200,00. Qual foi o percentual de aumento?

2.1. TAXAS SOBRE TAXAS Em muitas situações-problema, ocorrem casos em que uma taxa percentual refere-se a outra taxa percentual. Nesses casos, as taxas não devem ser adicionadas, e sim aplicadas uma sobre a outra.

Ex.: Uma turma tem 40 alunos. Destes, 60% são moças e 40% são rapazes. Em um determinado dia, comparecem às aulas 75% das moças e 50% dos rapazes. Quantos alunos foram às aulas nesse dia? Qual a porcentagem que compareceu às aulas nesse dia?



2.2. ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS

Se a um valor p for aplicada uma taxa de acréscimo i1, obteremos A1 . Se a esse valor for

aplicada uma taxa de acréscimo i2, obteremos t A2 ; e assim por diante. Estaremos então formando um

acréscimo sucessivo.

Onde:

A = valor total

p = principal

iiii n,...,,321

= taxas de porcentagem dadas

Exemplo: No mês de janeiro, Carlos ganhava de salário R$ 180,00. Nos meses de fevereiro, março e abril seu salário foi aumentado em 10%, 12% e 18% respectivamente. Qual o salário de Carlos referente ao mês de abril?

Exercícios: 1) O preço de um veículo sofreu, em um ano, três reajustes, sendo o primeiro de 2,5%, o segundo de 8% e o terceiro de 7%. Qual era o preço desse automóvel no ano passado, se hoje ele custa R$ 59.224,50?

2) Meu salário, em janeiro, era de R$ 150,00. nos meses de março, abril e maio, meu salário foi reajustado em 14%, 18% e 23%, respectivamente. Qual era o meu salário em maio?

2.3. MÉDIAS Média aritmética simples

Onde n é o número de elementos da sucessão.



Exemplo1: Encontrar a média aritmética simples de 2;3;4;11.

Média aritmética ponderada

Onde p são os pesos dos respectivos números.

Exemplo 2: Calcular a média aritmética ponderada dos números 4, 5 e 9, com pesos 1, 2 e 5, respectivamente.

Exercícios: 1) Encontre, em cada item, a média aritmética dos números dados.

a) 1; 3; 5; 7 c) 1; 2; 0

b) -2; 1; 9; 3; 1/3 d) 02; 0,3; 0,4; 0,6; 0,7;0,8

2) Calcule, em cada item, a média ponderada.

a) 5; 9; 8; com pesos 1, 3 e 5, respectivamente.

b) 3; 1; 2; com pesos 8, 7 e 10, respectivamente.

3) Um comerciante lucrou, durante os três primeiros meses do ano, as seguintes quantias: no 1° mês, R$ 20.000,00; no 2° mês, R$ 30.000,00; e, no 3° mês, R$ 25.000,00. Qual foi a média mensal de lucro nesses meses?

4) Um professor combinou com seus alunos que a nota de um determinado bimestre seria calculada através da média aritmética ponderada dos testes T1, T2 e T3, realizados durante o bimestre, com os respectivos pesos 3, 3 e 4. As notas do aluno Marcos forma T1 = 7, T2 = 5 e T3 = 9. Qual foi a nota de Marcos?



UNIDADE 3. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

3.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES Consiste em montarmos uma tabela, colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores da

mesma grandeza e, daí, obtermos uma equação. Essa equação terá a mesma forma da tabela quando as grandezas forem diretamente proporcionais. No caso de grandezas inversamente proporcionais, a montagem da equação será feita invertendo-se a razão de uma das grandezas.

Exemplo 1: Cinco metros de um tecido custam R$ 8,00. Quanto custam nove metros desse mesmo tecido?

3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA É realizada na resolução de problemas quando envolve grandezas compostas, da seguinte

maneira:

- Monta-se uma tabela, colocando em cada coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.

- Verifica-se se a grandeza que contém a incógnita é direta ou inversamente proporcional, em relação a cada uma das outras (quando supõem-se constantes as demais grandezas).

- Caso haja dependência inversa, inverte-se os elementos da respectiva coluna.

- Monta-se a equação, relacionando a grandeza que contém a variável com as demais grandezas.

Exemplo 2: Três operários, trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse mesmo tipo produzirão sete operários, trabalhando 9 dias?



Exercícios: 1) Três torneiras abertas enchem um tanque em 1h e 30min. Quantas torneiras de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 min?

2) Um ciclista percorre 120 km em 2 dias, dirigindo 3 horas por dia. Em quantos dias percorrerá 500 km, viajando 5 horas por dia?

3) A distância entre duas cidades é de 800 km. Um trem com velocidade constante percorreu em 3h os primeiros 120 km. Quanto tempo levará para percorrer os quilômetros restantes?

4) Uma placa de chumbo de 8cm de comprimento e 6cm de largura pesa 36 u.p (unidade de peso). Quanto pesará outra placa do mesmo material e da mesma espessura, só que quadrada, com 10 cm de lado?



UNIDADE 4 - SISTEMAS DE CAPITALIZAÇÃO

4.1. CONCEITOS BÁSICOS: uma Juro – é a remuneração de um capital em dado período.

Principal ou capital inicial – é qualquer valor expresso em unidade monetária e disponível numa determinada data.

Montante – é a acumulação do capital mais o juro auferido.

Taxa de juro – é a razão entre o juro recebido (ou pago) no final do período de aplicação e o capital principal.

Contagem de dias (prazo) – é a contagem de tempo desde o inicio da aplicação até o final dela. Temos então:

Prazo exato ano civil = 365 dias

Ano bissexto = 366 dias

Prazo comercial ano comercial = 360 dias ( mais utilizado)

4.2. JUROS SIMPLES (CAPITALIZAÇÃO SIMPLES)

Conceito: Temos um processo de capitalização simples ou juros simples quando a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quisermos converter a taxa diária em taxa mensal, basta multiplicarmos esta por 12, e assim por diante.

Seja então C o capital inicial, i a taxa unitária de juros e n o numero de períodos de aplicação do capital.

Se o capital ficar aplicado por n período iguais, os juros a cada um destes períodos também serão iguais;

J1=J2=J3=J4=...Jn = C i

E assim, os juros totais para os n períodos serão: nesta fórmula a taxa e o prazo devem referir-se à mesma unidade de tempo

•Exemplo 1: Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00, pelo prazo de 15 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3%a.m.?



Exemplo 2: Um capital de R$ 25.000,00 aplicado durante 10 meses, rende juros de R$ 5.000,00. Determinar a taxa correspondente.

Exercícios: 1) Uma aplicação de R$ 50.000,00 em letras de câmbio, pelo prazo de 180 dias, obteve um rendimento de R$ 8.250,00. A que taxa anual corresponde esta aplicação?

2) Sabe-se que os juros de RS 12.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 150.000,00, à taxa de 8% a.t. Determine o prazo que permaneceu aplicado.

3) Qual o capital que, à taxa de 2,5% a.m.., rende juros de R$ 3.000,00 em 3 anos?

4.3. MONTANTE E VALOR ATUAL O Montante ( ou Valor Futuro), que indicaremos por Fv é a soma do Capital Inicial com os

juros referentes ao período de aplicação. Assim, temos:

i FV=? Fv = Pv + J 0 1 2 3 ...... Fv = Pv + Pvin n então Pv

Exemplo 1: Determinar o montante da aplicação de 10.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3%a.m.

O Valor Atual (Valor Presente ou Capital Inicial), que indicaremos por Pv, é o valor do capital que aplicado à taxa i e a um prazo n, nos dá um montante conhecido Fv. Assim, como temos Fv = Pv(1+in), segue-se que:

i FV



0 1 2 3 ...... n Pv=? Exemplo 2: Sabendo-se que certo capital, aplicado durante 10 semestres, à taxa de 36% a.a. rende R$ 72.000,00 de juros, determinar o valor do capital e do montante ao final do prazo de aplicação.

Exercícios:

1) Se um capital de R$ 2.000,00 rendeu R$ 840,00 de juros em 2 anos, qual é a taxa de juros trimestral?

2) Uma pessoa aplicou R$ 1.500,00 no mercado financeiro e após 5 anos recebeu o montante de R$ 3.000,00. Que taxa equivalente semestral recebeu? 3) Calcule o juro simples e o montante de: R$ 500,00, a 25% a.a. por 8 meses.

4) Calcular os juros simples que um capital de R$ 10.000,00 rende em um ano e meio aplicado à taxa de 6%a.a.possível identificar três tipos de rendimentos de escala:



UNIDADE 5 – TAXAS 5.1. TAXAS EFETIVA E NOMINAL

Nas aplicações, às vezes, realizadas em períodos de capitalização mensal, bimestral, semestral, etc. em que o juro é expresso em um período de capitalização não coincidente com o período de tempo ao qual se refere, é necessário fazer-se distinção entre taxa efetiva e taxa nominal.

Taxa efetiva – é aquela que, efetivamente verifica uma operação financeira.

Taxa nominal – é uma taxa aparente que só pode ser definida quando a unidade à qual a taxa se refere não coincide com a unidade do período de capitalização, e a conversão é feita calculando-se a taxa proporcional.

Observe que a relação entre a taxa efetiva e nominal é inadequada, pois obtida com base na proporcionalidade de taxas, contrariando assim os princípios do sistema de capitalização composta. Entretanto, na prática, a taxa nominal é amplamente utilizada no mundo financeiro.

Toda vez que a unidade (período) à qual a taxa se refere coincidir com o período de capitalização, estamos nos referindo a taxa efetiva.

Ex.: 5% a.m., capitalizado mensalmente; 10% a.b., capitalizado bimestralmente, nesses exemplos, escrevemos somente: 5% am e 10% ab.

Toda vez que o período à qual a taxa se refere não coincidir com o período de capitalização, estamos diante de uma taxa nominal.

Ex.: 10% a.a., capitalizado bimestralmente; 6% a.m., capitalizado diariamente.

Exemplo 1:Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente?

5.2. TAXAS EQUIVALENTES Duas (ou mais) taxas de juro são ditas equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, por

tempos iguais produzirem montantes iguais.

No JS duas taxas equivalentes são também proporcionais.

Exemplo 1: Em regime de JS, qual a taxa mensal equivalente a 9% a.t.?

Exemplo 2: Em JS, qual a taxa anual equivalente a 1% a.m.?



No JC duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si.

Podemos usar a seguinte relação:

Exemplo 3: Encontrar a taxa anual de JC, equivalente a 10% a.s.?



UNIDADE 6 – DESCONTO SIMPLES Ao contrair uma dívida, o mutuário fornece ao mutuante um documento, chamado título,

através do qual o mutuante pode provar publicamente ser credor da quantia nele especificada.

O titulo é usado para formalizar uma dívida que não pode ser paga imediatamente, mas que deverá ser paga dentro de um prazo previamente estipulado.

Há três tipos de títulos mais usados: A nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.

A financeira funciona como um órgão intermediário, que capta recursos do mercado para aplicar no próprio mercado. É claro que a taxa de juros cobrada nas notas promissórias é maior do que as taxas pagas nas letras, sendo a diferença entre elas o lucro bruto da financeira.

Quando o portador de um título de crédito precisa de dinheiro, pode resgata-lo em data anterior ao seu vencimento, mediante endosso, numa corretora de valores ou bando que procede à operação de desconto. Quando do resgate do título antes do vencimento, o portador não recebe o valor total declarado no título, que é o Valor Nominal do título. O valor recebido, que é o valor nominal (N) do título, sofre um desconto (d) que será tanto maior quanto maior for o prazo de antecipação do pagamento em relação à data do vencimento.

O valor que o portador recebe se diz Valor Atual (A) do título e representa a diferença entre o valor nominal (N) e o desconto (d) feito. Assim, o valor atual é dado por:

Assim, o desconto corresponde aos juros cobrados pelo banco pela antecipação do pagamento

de um título. O desconto simples é aquele obtido em função de cálculos lineares. São conhecidos dois

tipos de desconto simples: Desconto Comercial e Desconto Racional. F, CV e CT, respectivamente. Desta forma, a menor inclinação dos raios corresponde

aos pontos de mínimos das respectivas curvas; • A Curva de CMg pode ser deduzida pela inclinação da tangente da Curva de CT.

6.1 DESCONTO COMERCIAL SIMPLES O desconto comercial simples, também chamado de “desconto por fora” ou desconto bancário é calculado sobre o Valor Nominal do título. O desconto comercial corresponde ao juro simples sobre o valor nominal do título. Onde:



n – representa o prazo de antecipação do resgate i – representa a taxa unitária de desconto Uma vez descontado comercialmente um título pode-se determinar Ac , que é o valor atual do título quando aplicado o desconto comercial.

dA cc N −= ou

NinNAc −= ou, ainda

Exemplo 1: O portador de uma NP de R$ 60.000,00, necessitando de dinheiro, procurou uma instituição financeira, 60 dias antes do vencimento do título, afim de resgata-lo. O banco fez o desconto comercial á taxa de 10% a.m. a) Calcule o desconto feito pelo banco; b) Determine a quantia recebida pelo portador do título.

OBS: O desconto comercial simples é que se utiliza nas instituições comerciais e financeiras, como o próprio nome indica. É necessário que se observe que pode-se descontar títulos cujo prazo de vencimento é curto, pois prazos muitos longos podem levar a situações onde o valor a receber é menor que o próprio valor investido e até a situações onde o desconto é superior ao valor do próprio título.

Assim, o prazo n de antecipação para que seja possível o desconto comercial é aquele em que o desconto comercial não é superior ao valor nominal do título.

Então:

Nd c <

NNin < , donde teremos:

in 1<



Exemplo 2: Determine o máximo prazo para ser possível uma operação de desconto comercial à taxa de 20% a.m. Exemplo 3: Uma empresa tem como norma descontar títulos de maneira que receba de cada um deles pelo menos 80% de seu valor nominal. Quais os títulos que deve escolher de maneira a atender esta solicitação? 6.2. DESCONTO RACIONAL SIMPLES

O desconto racional, também chamado desconto real, desconto verdadeiro ou desconto por dentro, é o desconto calculado sobre o valor atual do título.

Na prática, o valor atual do título é sempre uma incógnita, sendo normalmente conhecido o seu valor nominal, o prazo e a taxa de desconto. Assim, deduziremos uma fórmula que dê o valor do desconto em função das variáveis conhecidas.

Considerando que faltam n períodos de tempo para o vencimento do título de valor nominal N e que a instituição financeira que vai desconta-lo se utiliza da taxa i de desconto racional e que o valor atual é Ar na data do desconto tem-se:

inAd rr = como inN dd rr )( −= resultando, então

sendo este o desconto racional, podemos determinar o valor atual Ar da seguinte forma:

dA rr N += Fazendo-se as substituições adequadas chegaremos à fórmula:



Como podemos ver a operação de desconto racional simples pode ser considerada como a operação inversa da capitalização simples, o que se pode verificar comparando as expressões:

e

Assim podemos dizer que um Valor Futuro de uma dívida (Fv) é igual ao Valor Nominal (N) do título que a representa. O Valor Presente de uma dívida é igual ao Valor Atual Ar do título que a representa. Na verdade, isto significa que, se alguém investir certo capital em um título que vai proporcionar juros à taxa i, durante um certo número de períodos n, e se este título for descontado racionalmente n períodos antes do vencimento a mesma taxa i, seu portador vai receber como valor atual, exatamente o mesmo capital aplicado. Por esta razão são comuns as expressões descontar com taxa de desconto e descontar com taxa de juros para exprimir as operações de desconto comercial e desconto racional, respectivamente. Exemplo 1: Determinar o valor do desconto racional de uma nota promissória de R$ 250.000,00 para daqui a três meses, à taxa de 12% a.m. Qual o seu valor atual? Exemplo 2: Um título de R$ 300.000,00 foi resgatado 60 dias antes do vencimento com taxa de 10% a.m. de desconto racional?



Exercícios 1) Qual o valor do desconto comercial de um título de R$ 20.000,00, com vencimento para 60 dias, à taxa de 25% a.m.? 2) Uma NP, no valor de R$ 10.000,00 em seu vencimento, foi descontada 15 dias antes de vencer. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial era de 36% a.m., qual foi o desconto e qual foi o valor atual comercial? 3) Qual o Valor Atual de uma NP de R$ 7.500,00, paga 4 meses antes do vencimento, à taxa de 60% a.a., descontada sob regime de desconto racional simples? 4) Uma NP, resgatada 90 dias antes do vencimento, foi negociada por R$ 53.409,00, à taxa de desconto racional de 84% a.a. Qual seu valor nominal?

6.3. DESONTO COMERCIAL SIMPLES X DESC. RACIONAL SIMPLES

Como já vimos o desconto comercial é maior que o desconto racional.

Temos que:

Nindc = e inNind r +

=1

Assim, chegaremos a

e

Exemplo: Um título foi descontado racionalmente à taxa de 140% a.a., 3 meses antes do vencimento resultando num desconto de R$ 40.000,00. Determine o valor do desconto comercial e qual o valor do título.



UNIDADE 7 – CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA No regime de juros compostos os juros produzidos a cada período financeiro passam a compor

o capital para cálculo dos juros no período seguinte, mudando a base de cálculo. Quando é este o processo de capitalização tais juros são chamados de Juros Compostos, Juros Acumulados ou Juros Capitalizados.

No sistema de juros compostos, os juros produzidos a cada período financeiro são crescentes.

Os Juros Compostos são de relevante importância, pois a capitalização composta é a que melhor retrata a realidade. As compras a prazo, a Caderneta de Poupança, o financiamento da casa própria são alguns exemplos onde a capitalização é composta.

Sejam:

PV = Valor Presente (Present Value), Capital ou Valor Atual (C ou P)

J = juros produzidos

n = prazo de aplicação

i = taxa unitária de juros compostos

FV = Valor Futuro (Future Value), Montante ou Valor Final (M ou S)

7.1. CÁLCULO DOS JUROS COMPOSTOS, CAPITAL E MONTANTE

Seja um capital PV aplicado à taxa i de juros compostos por n períodos, teremos para FV:

1° Período: FV(1) = PV(1+i)

2° Período: FV (2) = FV (1) (1+i) = PV(1+i)(1+i) = PV(1+i)²

3° Período: FV(3) = FV (2)(1+i) = PV(1+i)²(1+i) = PV(1+i)³

...............................................................................................................

n° Período: FV(n) = FV(n-1)(1+i) = niPV )1( +

denominando ni)1( + de Fator de Acumulação de Capital para Pagamento Simples ou único teremos,



O valor presente será determinado por:

como ni)1(1+

é denominado Fator de Valor Atual para pagamentos Simples termos:

Para determinarmos o valor de n usamos a fórmula

e para determinarmos o valor da taxa i usamos a fórmula

OBSERVAÇÃO: Os fatores FVAs e FACs encontram-se tabelados para algumas taxas.

Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestado a juros de 7% a.m. R$ 80.000,00 pelo prazo de 10 meses. Qual o montante a ser devolvido?



Exemplo 2: Qual o capital que, aplicado a 8,2% a.m., durante 6 meses, rende juros compostos de R$ 75.573,51?

Exemplo 3: Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em títulos que, lhe proporcionarão um resgate de R$ 337.004,00 após 90 dias de aplicação. A que taxa mensal de juros compostos está aplicado o seu capital?

Exercícios 1) Um capital de R$ 560.000,00 ficou aplicado durante um ano e três meses à taxa de 15% a.m. de juros compostos. Qual o montante final?

2) Qual capital que em 2 anos produz R$ 1.906,00 de juros composto a 12,5% a.m.?

3) A que taxa mensal deve ser colocado um capital de R$ 480.000,00 para que renda de juros compostos R$ 573.586,86 em 6 meses?

4) Calcule juros e montante correspondente a um capital de R$ 100.000,00 empregado, no regime de juros compostos, durante um ano dada uma das seguintes taxas:

a) 240% a.a.

b) 120% a.s.

c) 60% a.t.

d) 20% a.m.



UNIDADE 8 – CONSIDERAÇÕES SOBRE TAXAS DE JUROS

8.1. TAXAS EQUIVALENTES Dizemos que duas taxas são equivalentes se, considerados o mesmo prazo de aplicação e o

mesmo capital, for indiferente aplicar a uma ou outra taxa. De outro modo, considerando-se o mesmo capital aplicado por um mesmo intervalo de tempo a cada uma das taxas, ambas as taxas produzirão um mesmo montante se forem equivalentes.

Considerando i a taxa unitária referente a um período e,

ik a taxa unitária referente a um intervalo de tempo 1/k do período

anterior

Assim, k é o número de vezes que o período menor está contido no maior.

Para um capital Pv aplicado às taxas, teremos:

Aplicando por 1 período às taxas , teremos:

)1()1()( 1 iPviPviFv +=+=

Aplicando por k períodos à taxa ik :

kkk ii PvFv )1()( +=

da definição: )()( ikFviFv =

kkiPviFv )1()1( +=+

kkii )1(1 +=+ , resultando que:

fornece a taxa no período maior, conhecida a taxa do

período menor

fornece a taxa no período menor conhecida a taxa do

período maior.



Exemplo1: Se a taxa mensal de inflação se mantivesse sempre em 12%, qual seria a taxa anual de inflação?

Exercícios: 1) Qual é a taxa equivalente anual nas seguintes hipóteses abaixo?

a) 10% a.m. b) 20% a.b. c) 5% a.b. d) 7.9% a.m.

2) Nos 3 primeiros meses do 2° semestre/95 a Caderneta de Poupança rendeu 2,46%, 3,84%, 2,62%, respectivamente. Determine:

a) A taxa acumulada de rendimentos de 3 meses

b) Qual o rendimento médio mensal?

4) Determine as taxas equivalentes a 55% a.a., se os prazos respectivos forem:

a) 6 meses b) 1 mês

5) Qual a taxa bimestral equivalente a uma inflação de 7,5% a.m.?

8.2. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA O que se falou sobre taxa nominal e taxa efetiva no regime de juros simples também vale pro

sistema de juros compostos.

No regime de juros compostos os impostos, comissões e taxas fazem com que as taxas nominal e efetiva sejam diferentes. Os artifícios como a cobrança de juros antecipados e formas de cálculo fazem com que as taxas efetiva e nominal difiram.

Constitui-se numa pratica comum indicar a taxa de juros com período de capitalização diferente do período a que se refere a taxa. Assim, é comum falar-se em taxa de 12% a.a, capitalizados mensalmente ou 100% a.a.com capitalização trimestral. Tal maneira de expressar a taxa é de uso corrente no mercado financeiro e é responsável também por diferirem as taxas de juros nominal e efetiva.

OBS: é convenção que quando o período mencionado na taxa não corresponde ao período de capitalização, prevalece o último, devendo-se tomar a taxa proporcional como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal.

Exemplo1: A Caderneta de Poupança, além da correção monetária, paga juros de 6% a.a. Como sabemos a capitalização dos juros na Caderneta de Poupança é mensal. Portanto, temos a taxa de 6% a.a capitalizados mensalmente. Pede-se:

a) Qual a taxa efetiva mensal?



b) Qual é a taxa efetiva anual?

Exercícios: 1) Qual a taxa efetiva anual nas seguintes hipóteses? a) 240% a.a. com capitalização mensal b) 87% a.a com capitalização anual c) 230% a.a. com capitalização trimestral d) 125% a.a com capitalização quadrimestral. 2) Dada a taxa nominal de 12% a.a com capitalização mensal determine: a) A taxa efetiva mensal correspondente. b) A taxa efetiva anual correspondente.



UNIDADE 9 – DESCONTO COMPOSTO Da mesma forma que os juros podem ser considerados como uma sucessão de juros simples,

calculados a cada período, o desconto composto também pode ser entendido como uma sucessão de descontos simples, calculados período por período.

No sistema de capitalização composta temos definidos dois tipos de desconto que são o desconto comercial composto e o desconto racional composto.

Do ponto de vista prático o desconto composto tem pouca aplicação. O desconto racional é utilizado na equivalência de capitais e o desconto comercial numa técnica de depreciação.

9.1. DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO Para determinarmos o valor atual pelo desconto comercial usaremos a fórmula

9.2. DESCONTO RACIONAL COMPOSTO O desconto racional, real ou por dentro é calculado sobre o valor atual do título.

Assim,

ou valor atual do título

e,

valor nominal do título

Exemplo 1: Qual o valor atual de um título de R$ 200.000,00, 60 dias antes do vencimento a uma taxa de 12% a.m., pelo desconto racional composto?



9.3. EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS No regime de juros compostos, dois ou mais capitais são equivalentes, a uma taxa dada, se seus

valores calculados em qualquer data, a essa taxa, forem igual.

Dois ou mais capitais, com datas de vencimento diferentes, são ditos capitais equivalentes quando transportados para uma mesma data (chamada data focal), à mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

1° CASO: o capital está localizado em data posterior à data focal.

Nesse caso, devemos encontrar o valor atual (VA) do capital na data focal, fazendo uso da fórmula do VA (racional ou comercial, conforme o caso)

2° CASO: o capital está localizado em data anterior à data focal.

Exemplo 1: Verifique se os capitais R$ 6.400,00, com vencimento para 3 meses, R$ 10.000,00, com vencimento para 7 meses, são ou não equivalentes pelo critério da taxa comercial simples a 10% a.m., na data focal 5.

Exercício 1) Gabriel trocou um título de R$ 159.500,00, com vencimento para 45 dias, por outro a ele equivalente, a uma determinada taxa de desconto racional, com vencimento para 10 dias e valor nominal R$ 121.000,00. qual o valor dessa taxa racional, considerando-se a data focal zero?



UNIDADE 10 – RENDAS, ANUIDADES OU SÉRIES FINANCEIRAS Nas aplicações financeiras o capital pode ser pago ou recebido de uma só vez ou através de

uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos.

Rendas são um conjunto de pagamentos periódicos destinados a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Quando o objetivo é construir-se um capital em uma data futura, tem-se um processo de capitalização. Caso contrário, quando se quer pagar uma dívida, tem-se um processo de amortização.

Pode ocorrer também o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que haja amortização, que é o caso dos aluguéis.

Podemos classificar as Rendas em dois tipos:

a) Rendas certas ou determinísticas: são aquelas cuja duração e os pagamentos são pré-determinados, não dependendo de condições externas. Os diversos parâmetros, como valor dos termos, prazo de duração, taxa de juros, etc. são fixos e imutáveis.

Tais Rendas são estudadas em Matemática Financeira.

b) Rendas aleatórias ou probabilísticas: os valores e/ou as datas de pagamentos ou de recebimentos podem ser aleatórias. É o que ocorre por exemplo, com os seguros de vida: os valores de pagamento (mensalidades) são certos, sendo aleatórios o valor do seguro a receber e a data do recebimento.

Rendas com essas características são estudadas pela Matemática Atuarial. 10.1. DEFINIÇÕES

Os valores que constituem a renda são os termos da mesma (R). O intervalo de tempo entre dois termos chama-se período e a soma dos períodos define a duração da renda.

O valor atual ou valor presente (P) de uma renda é a soma dos valores presentes dos seus termos, soma esta feita para uma mesma data focal e à mesma taxa de juros. De modo análogo, o montante (S) de uma renda é a soma dos montantes de seus termos, considerada uma taxa de juros e uma data focal.

10.2. CLASSIFICAÇÃO DAS ANUIDADES

Quanto ao prazo a) Temporárias: quando a duração for limitada. b) Perpétuas: quando a duração for ilimitada os gastos governamentais.

Quanto ao valor dos termos

a) Constante: se todos os termos são iguais. b) Variável: se os termos não são todos iguais entre si.

Quanto à forma de pagamento ou de recebimento



a) Imediatas: quando os termos são exigíveis a partir do primeiro período. b) Diferidas: se os termos forem exigíveis a partir de uma data que não seja o primeiro período.

Elas pode ser: 1) Postecipadas ou vencidas: se os termos são exigíveis no fim dos períodos. 2) Antecipadas: se os termos são exigíveis no início dos períodos.

Quanto à periodicidade

a) Periódicas: se todos os períodos são iguais. b) Não Periódicas: se os períodos não são iguais entre si.

MODELO BÁSICO DE RENDA OU ANUIDADE Por modelo básico entendemos Rendas que são simultaneamente:

certas

periódicas

temporárias

constantes

imediatas

postecipadas

Para melhor compreensão do modelo básico de renda suponhamos um exemplo:

“João compra um carro, que irá pagar em 4 prestações mensais de R$ 2.626,24, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% a.m. Pergunta-se o preço do carro a vista.”

Resolução: O preço do carro a vista corresponde à soma dos valores presentes das prestações na data focal zero, calculados à taxa de 2% a.m. P=? 0 1 2 3 4 meses R R R R

A soma dos valores presentes (P) é dada por:

4321 )02,1()02,1()02,1()02,1(RRRRP +++=

tem-se:



+++= 4321 )02,1(

1)02,1(

1)02,1(

1)02,1(

1.RP

P= R.(0,980392 + 0,961169 + 0,942322 + 0,923845) P= R.(3,807728) Como R = 2.626,24, tem-se: P = 2.626,24 x 3,807728 ≅ R$ 10.000,00

Concluímos que o preço do carro a vista é de R$ 10.000,00. Observe-se que este valor foi obtido multiplicando-se a prestação dada por uma constante numérica que depende do numero de preiodos e da taxa de juros adotada.

De modo inverso, se tivéssemos o preço do carro a vista, calculando-se esta constante, poderemos obter o valor da prestação. Para tanto, bastará fazer-se a divisão do valor a vista pelo valor da constante.

10.3. SÉRIES FINANCEIRAS As series financeiras são sucessões de pagamentos ou recebimentos iguais e constantes, ou

crescentes aritmética ou geometricamente, dos quais queremos determinar seus valores futuros ou valores presentes ou sua equivalência.

Séries Financeiras Uniformes Para cálculo usaremos os seguintes fatores: 1. Fator de Valor Atual: FVA (i,n) “Dado R achar P” 2. Fator de Recuperação de Capital: FRC (i,n)

“Dado P achar R” 3. Fator de Formação de Capital: FFC(i,n)

“Dado S achar o R” 4. Fator de Acumulação de Capital: FAC(i,n)

“Dado R achar S” Seja o seguinte fluxo de caixa:

Apresentamos agora quatro problemas básicos envolvendo esses fatores. Problema 1: Determinar o valor P que deve ser aplicado hoje a uma taxa i para que se possa retirar R em cada um dos períodos subseqüentes. Dado R achar P Usaremos a fórmula: ou



Exemplo 1: Um empresário pretende um investimento que lhe renderá R$ 100.000,00 por ano, nos próximos 10 anos. Qual o valor do investimento inicial, sabendo-se que o empresário trabalha com taxas de 6% a.a.?

Exemplo 2: Uma loja está vendendo eletrodoméstico em 6 prestações mensais de R$ 100,00. Qual é o valor à vista do referido bem se a taxa de mercado é de 7% a.m.?

Exemplo 3: Uma loja está vendendo um eletrodoméstico em 6 prestações mensais de R$ 100,00, sendo a primeira no ato da compra. Qual é o valor à vista do referido bem se a taxa de mercado é de 7% a.m.?

Exemplo 4- Uma loja está vendendo um eletrodoméstico em 6 prestações mensais de R$ 100,00, vencendo a primeira em 3 meses após a compra, e as demais nos meses subseqüentes. Qual é o valor à vista do referido bem se a taxa de mercado é de 7% a.m.?



Exemplo 5: Uma loja está vendendo um eletrodoméstico com uma entrada de R$ 140,00 e mais 6 prestações mensais de R$ 100,00. Qual é o valor à vista do referido bem se a taxa de mercado é de 7% a.m.?

Problema 2: Determinar a série uniforme R resultante da aplicação do principal P a uma dada taxa i, ou seja, a quantia que tem de ser retirada em cada período para que se recupere o investimento P.

Dado P achar R Usaremos a fórmula: ou

Exemplo 6: Uma dívida de R$ 20.000,00 deve ser paga em 12 parcelas mensais, a juros de 3% a.m. Qual o valor da mensalidade? Exemplo 7: Uma loja vende uma máquina por R$ 12.000,00 ou em 4 vezes, senso a primeira de entrada, a juros de 8% a.m. Determine o valor de cada prestação.



Problema 3: Determinar a série uniforme R capaz de formar um montante S a uma dada taxa de juros i ao final de n períodos de aplicação.

Dado S achar R Usaremos a fórmula: ou

Exemplo 8: Quando devemos depositar mensalmente numa conta a prazo fixo, que paga juros de 4% a.m. para daqui a 7 meses obtermos R$ 5.000,00? Exemplo 9: Fiz um depósito hoje de R$ 2.000,00. Quanto devo depositar mensalmente na mesma conta; para daqui a 2 anos acumular R$ 12.000,00 sendo a taxa da aplicação de 2% ao mês?



Problema 4: Determinar o montante S acumulado a partir de uma série uniforme R a uma taxa i após n períodos de aplicação.

Dado R achar S Usaremos a fórmula:

ou

Exemplo 10: Se aplicarmos mensalmente R$ 4.000,00 a juros de 3% a.m. por 8 meses, qual o valor acumulado quando do último depósito?

Exemplo 11: Uma loja está oferecendo um televisor por R$ 400,00 à vista ou por 4 pagamentos mensais, sem entrada. Um comprador faz uma oferta de um único pagamento ao final de 4 meses. Sabendo que a empresa trabalha com taxa de 6% a.m., determine o valor dos quatro pagamentos e do pagamento único ao final. Exercícios: 1) Uma loja vende uma máquina por R$ 12.000,00 ou em 4 vezes sem entrada a juros de 8% a.m.. Determinar o valor de cada prestação. 2) Uma loja vende uma máquina por R$ 12.000,00 ou em 4 vezes sem entrada, sendo a primeira 3 meses após a compra e as demais nos meses subseqüentes, a juros de 8% a.m. Determine o valor de cada prestação. 3) Uma loja vende uma máquina por R$ 12.000, ou com entrada de 30% do valor à vista mais 4 pagamentos mensais iguais e consecutivos a juros de 8% a.m. Determine o valor de cada prestação. 4) Um apartamento está a venda por R$ 55.000,00 à vista. Como opção de compra existe a possibilidade de financiamento de 80% deste valor, em prestações mensais, a juros nominais de 24% a.a. Determinar o valor da entrada e o valor das prestações mensais para 15 anos de financiamento.



UNIDADE 11 – SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO A falta de recursos obriga àqueles que pretendem investir a tomarem empréstimos e assumirem dividas que deverão ser pagas com juros e de formas definidas por contratos estabelecidos entre as partes envolvidas. As formas de pagamento dos empréstimos são chamadas de Sistemas de Amortização. Para atender às necessidades particulares das empresas e das pessoas físicas, as instituições financeiras podem elaborar sistemas de amortização específicos, não convencionais, que devem ser definidos através da equivalência de capitais. Os Sistemas de Amortização são utilizados mais usualmente nas seguintes situações: - ao se tomar um capital por empréstimo; - ao se financiar a aquisição de um bem ou a contratação de um serviço; - ao se contratar um arrendamento mercantil. Existem vários Sistemas de Amortização, e alguns prevendo pagamento único e outros possibilitando pagamentos parcelados. Ao se parcelar uma divida existe o interesse de ambas as partes, credor e devedor, em identificar a cada período de tempo o estado da divida, ou seja, conhecer o total pago e o saldo devedor. Por isso, é comum a elaboração de demonstrativos que acompanham cada pagamento do empréstimo. Não existe um modelo único de demonstrativo, mas todos eles devem constar o valor de cada pagamento e o saldo devedor, devendo ainda, o valor de cada pagamento ser subdividido em juros e amortização.

Alguns desses sistemas de amortização são mais comuns e têm até denominações próprias, como o sistema PRICE, usado para amortizar empréstimos habitacionais ou o sistema Americano, usado nos empréstimos internacionais. Outros não têm denominações próprias e, quando utilizados são descritos pormenorizadamente nos contratos de empréstimo. A seguir, são descritos alguns sistemas de amortização, seguidos de exemplos, para os quais são calculados os valores dos pagamentos e, nos casos de parcelamento, são elaborados demonstrativos. 10.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (SFA) O sistema Francês, também denominado Sistema Price, apresenta as seguintes características:

• O valor da prestação R é constante e periódico, podendo ser obtido pela fórmula abaixo, onde P é o valor financiado (principal). • O juro pago em uma dada prestação é sempre calculado sobre o saldo devedor do período imediatamente anterior, sendo menor a cada nova prestação. • A cota de amortização, em uma dada prestação, é sempre igual à diferença entre o valor da prestação e o juro pago na mesma, sendo maior a cada nova prestação.



• Os valores da tabela Price admitem sempre que as prestações são postecipadas (pagas ao fim de cada período). EXEMPLOS 1. Um televisor que custa R$ 600,00 deve ser financiado em 6 pagamentos mensais e iguais, à taxa composta de 8% ao mês, com a primeira parcela vencendo somente um mês após a compra. Qual será o valor da prestação deste financiamento?

EXERCÍCIO: 1. Um conjunto de móveis para sala de jantar está sendo vendido numa loja por R$ 3.000,00 à vista ou em 12 prestações mensais de R$ 440,28, sem entrada. Qual é a taxa mensal de juros que está sendo praticada neste financiamento?



10.2. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – (SAC) No sistema de amortização constante, a cota de amortização é constante em todas as prestações e o juro pago em cada uma das prestações corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Como o saldo devedor decresce a cada período, o valor do juro vai ficando menor a cada prestação. Assim, apresentará valores decrescentes. Admitiremos em nosso estudo somente o caso de prestações postecipadas, ou seja, com pagamentos ao final de cada período a partir do primeiro.

Cálculo da Cota de Amortização

Como a cota de amortização é constante, podemos obtê-la dividindo o valor financiado P pelo número de prestações do financiamento n:

Cota de Amortização:

Cálculo do Saldo Devedor

Ao pagarmos k prestações pelo SAC, teremos amortizado k cotas de amortização, restando então n - k cotas de saldo. Desta forma, o saldo devedor imediatamente após o pagamento da prestação de número k será: Cálculo do Juro Como já afirmamos anteriormente, a componente de juro em cada uma das prestações corresponde ao total do juro calculado sobre o saldo devedor do período anterior . Assim, o valor J k do juro pago na prestação de número k será calculado sobre o saldo devedor imediatamente após o pagamento da prestação de número k - 1 . Sendo i a taxa de juro ao período, teremos: Desenvolvendo a expressão do saldo devedor SD k-1, obteremos a expressão:

Obs.: n - k +1 é o número de prestações a partir de k ou ainda: .



EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1. Um empréstimo de R$ 5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações mensais e consecutivas, vencendo a primeira 30 dias após a liberação do dinheiro. Considerando que o financiamento seja feito pelo Sistema de Amortização Constante a uma taxa mensal de 5%, pede-se: a) o valor da cota de amortização; b) o valor do juro pago na primeira prestação; c) o valor da primeira parcela.

Solução:

a) Cálculo da cota de amortização: Temos P = 5.000 e n = 10

Cota de amortização: b) Juro pago na 1ª prestação: Como não há qualquer parcela paga, o saldo devedor é igual ao valor do empréstimo que é de R$ 5.000,00. Portanto, o juro pago na primeira parcela será: c) Valor da primeira parcela: 2. Um financiamento de R$ 5.000,00 pelo SAC deverá ser pago em 10 prestações mensais e consecutivas, sem carência, coro juros de 5% a.m. Determine: a) o valor do juro pago na sétima prestação; b) o total dos juros pagos durante o financiamento.

Solução: a) Juro pago na 7ª prestação:



b) Total dos juros pagos

10.3. SISITEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM) Nesse sistema, as prestações são periódicas e de valor igual à média aritmética das prestações

calculadas pelo Sistema Francês e SAC, a cada período. Características: Juros decrescentes Amortizações crescentes Prestações decrescentes

O juro pago em cada prestação corresponde ao total do juro sobre o saldo devedor do período anterior. Em conseqüência, tanto a componente do juro quanto a da cota de amortização de uma dada parcela serão também as médias aritméticas dos valores correspondentes pelos sistemas Francês e SAC.

EXERCÍCIO RESOLVIDO

1. Um empréstimo de R$ 5.000,00 deverá ser pago em 10 prestações pelo SAM, com juros de 5% a.m. Qual será o valor a 7°prestação? Solução: 1°) Cálculo da 7ª prestação no Sistema Francês 2°) Cálculo da 7ª prestação pelo SAC Cada prestação é composta de uma cota de amortização (que é constante no SAC) mais o juro sobre o saldo devedor do período anterior. Cota de amortização:



Valor do juro na 7ª parcela: Valor da 7ª prestação pelo SAC: 3°) Cálculo da 7ª prestação peloSAM Exemplo 10: Seja um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser amortizado pelo sistema Misto em 4 prestações sem carência, a uma taxa de juros de 4% a.m. Solução: É a média aritmética entre as prestações correspondentes pelos sistemas Francês e SAC:



Exercícios:

1) Uma financeira faz um empréstimo de R$ 100.000,00 para ser pago pelo SFA em 4 prestações anuais à taxa de 15% a.a. Calcule o valor da prestação.

2) Uma divida de R$ 50.000,00 vai ser amortizada, através do SFA, em 8 prestações anuais à taxa de juros de 20% a.a.Calcule o saldo devedor após ter sido paga a 3ª prestação.

3) Uma divida de R$ 600.000,00 vai ser amortizada, através do SAC, em 12 prestações anuais, à taxa de 20% a.a. Calcule o saldo devedor após ter sido paga a 8ª prestação.

5) Um apartamento é oferecido à vista por R$ 100.000,00 ou em 2 anos para pagar com prestações mensais postecipadas com juros nominais de 12% a.a. Determine o valor das prestações



UNIDADE 12 – TAXA REAL E TAXA APARENTE 12.1. TAXA REAL E TAXA APARENTE

Numa época de inflação, é preciso muito cuidado para analisar taxas de juros nas operações financeiras ou taxas de crescimento de vendas ou de lucro nas operações comerciais ou mesmo taxas de variação de preços ou salários.

Muitas vezes uma taxa aparentemente alta torna-se muito baixa, e até mesmo negativa quando levarmos em conta a inflação do período considerado. Tem-se, assim, uma taxa aparente e uma taxa real. Assim, taxa aparente é aquele que se obtém sem que seja levada em conta a inflação do período e a taxa real é aquela que se obtém depois de excluída a inflação do período.

Portanto, quando tivermos um regime inflacionário devemos distinguir, na taxa aparente duas

componentes: uma delas deve-se à inflação e a outra refere-se aos juros realmente pagos ou recebidos. Consideremos as definições seguintes: P = Capital inicial

=ii Taxa de inflação

=ai Taxa aparente

=ri Taxa real de juros Não sendo considerada a inflação a taxa de ganho do investidor é a taxa aparente. Assim, teremos:

Se for considerada a inflação do período o valor de S será obtido pela atualização monetária acrescida sucessivamente da taxa de juros. Obtendo-se assim as seguintes fórmulas: fornece a taxa aparente conhecidas a taxa de

inflação e a taxa real fornece a taxa real conhecidas a taxa aparente e a taxa

de inflação do período.



Exemplo 2: O salário de um funcionário de uma empresa aumentou de R$ 500,00 para 635,00. Pede-se:

a) Qual é a taxa aparente e qual a taxa real de aumento deste funcionário se a inflação do período for de 21,50%?

b) E se a inflação do período for de 28,20%? Exercícios: 1) Calcular a taxa aparente anual que deve cobrar uma financeira para que ganhe 8% a.a de juros reais nas seguintes hipóteses de inflação: a) 5% a.a. b) 20% a.a. c) 40% a.a.



UNIDADE 13 – ANÁLISE DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO Os critérios de análise de investimentos levam em consideração fatores econômicos e o que se busca é a escolha da alternativa, ou alternativas de maior rentabilidade. Nem sempre o resultado puramente econômico dever ser o único a ser considerado, pois as dificuldades de obtenção de financiamento fazem com que nem sempre a alternativa economicamente mais viável seja a escolhida. As varias alternativas, num estudo econômico, devem ser representadas por fluxos de caixa. Como no fluxo econômico os valores futuros são estimados, e portanto estes valores não evoluirão exatamente como previsto, sendo necessário, sempre que isto for constatado, alterar o fluxo de caixa correspondente. Na verdade, sempre que se está diante de várias opções de investimento, se estará procurando determinar aquela que melhor remunera o capital. Assim, se um investidor dispõe de uma proposta que lhe assegura um rendimento de, por exemplo, 3% ao mês, ele irá comparar as opções de que dispõe para verificar se alguma delas oferece uma taxa de rentabilidade maior que os 3% ao mês. 13.1. TAXA MÍNIMA DE ATRATIVIDADE Quando um investidor se propõe a aplicar seus recursos em determinado projeto almeja obter uma remuneração mínima. A quantificação desta taxa não decorre unicamente de sua vontade, mas sim da prática do mercado. Desta forma, ele estará disposto a investir somente se a remuneração proporcionada pelo projeto em estudo for no mínimo igual àquela que o mercado já lhe garante. Por exemplo, para uma determinada pessoa física a taxa mínima atrativa poderá ser de 0,5% ao mês, remuneração paga pela caderneta de poupança. Por outro lado, um grande financista atrelará suas expectativas às taxas praticadas no mercado interbancário que, por operar com valores monetários elevados, propicia rendimentos reais maiores. Portanto, sua taxa mínima de atratividade não será a da caderneta de poupança; será uma taxa superior. Percebe-se, então, que a taxa mínima de atratividade incorpora um certo grau de subjetividade, mas representa o mínimo que se está disposto a ganhar, baseado em critérios econômicos. No entanto, não basta ao investidor definir unilateralmente a taxa que pretende como mínima atrativa: é necessário que ele tenha a possibilidade real de praticá-la. 13.1.1. ALTERNATIVAS A CONSIDERAR Um estudo de viabilidade apontará a melhor decisão a tomar, que pode ser: - não fazer nada; - abandonar o projeto em andamento; - investir em novos projetos. 13.1.2. MÉTODOS DE ANÁLISE Existem vários métodos utilizados para avaliar investimentos. Os mais comuns são Método do Valor Atual, Método da Taxa Interna de Retorno e o Método do Custo Anual. 13.2. MÉTODO DO VALOR ATUAL Esse método é também conhecido por Método do Valor Presente Líquido e consiste em calcular o valor atual do fluxo de caixa representativo de cada proposta usando para isto a taxa mínima atrativa.

Se o valor atual for positivo o projeto é economicamente interessante e se torna tanto mais atrativo quanto maior for seu valor atual.

Um valor atual negativo indica que o projeto deve ser rejeitado, pois os benefícios financeiros não são suficientes para assegurar sequer a remuneração da taxa mínima atrativa.



Normalmente, o fluxo de caixa de uma alternativa de investimento é composto de receitas, despesas, investimentos e valores residuais.

Considerações: 1. As receitas e despesas são consideradas ao final dos períodos; 2. Ao compararmos investimentos as vidas econômicas devem ser iguais; 3. O valor residual é o valor estimado no final do período considerado; 4. Para investimentos com vidas econômicas diferentes, devemos adaptá-los usando o M.M.C.

entre elas; 5. A escolha recairá na alternativa de maior valor atual.

Exemplo 1: Numa análise realizada em determinada empresa foram detectados custos operacionais excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de equipamentos obsoletos. Os engenheiros responsáveis propuseram à gerência duas soluções alternativas.

Primeira: executar uma reforma geral da linha, que exigirá investimentos estimados de R$ 10 milhões, cujo resultado será uma redução de custos anuais de R$ 2 milhões, durante 10 anos, após os quais os equipamentos seriam sucateados, sem valor residual. Segunda: aquisição de uma nova linha de produção, no valor de R$ 35 milhões, em substituição aos equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado em R$ 5 milhões. Esta alternativa deverá proporcionar ganhos anuais de R$ 4 milhões, sendo o valor residual de R$ 10 milhões. Considerando uma taxa mínima atrativa de 8% a.a., qual deve ser a alternativa preferida pela gerência? 13.3. MÉTODO DO CUSTO ANUAL É um método bastante utilizado para avaliar alternativas de substituição de equipamentos. Este método consiste na conversão dos custos de cada alternativa em uma série uniforme equivalente, usando a taxa mínima atrativa.



Determinam-se os custos por período para cada alternativa e faz-se a comparação desses valores. No tocante ao interesse econômico do projeto são válidas as considerações feitas para o método do valor atual. Assim, um projeto será atrativo se a série uniforme for positiva e entre vários projetos aquele de maior benefício líquido positivo será o mais interessante. Se as vidas forem diferentes, não há necessidade do M.M.C. Exemplo 2: A gerência de marketing de uma indústria está estudando três possibilidades para localização de uma central de distribuição de seus produtos. Cada alternativa exige diferentes investimentos devido ao custo do terreno, custo da edificação e tamanho do depósito. Também são considerados os valores residuais e reduções anuais dos custos de distribuição. Por um período de 10 anos, as alternativas são assim representadas.

LOCALIZAÇÃO

INVESTIMENTO NECESSÁRIO

R$ MIL

REDUÇÃO ANUAL DE CUSTOS

R$ MIL

VALOR REIDUAL R$ MIL

A 30 5 10 B 40 6 15 C 50 10 10

Qual a localização mais adequada considerando uma taxa de 4% ao ano? 13.4. MÉTODO DA TAXA INTERNA DE RETORNO Por definição, a taxa interna de retorno de um projeto é a taxa de juros para a qual o valor presente das receitas torna-se igual ao valor presente dos desembolsos. Isto significa dizer que a taxa interna de retorno é aquela que torna o valor dos lucros futuros equivalente aos gastos realizados com o projeto. Para que o projeto seja passível de aceitação a taxa interna de retorno deve ser maior que a taxa mínima de atratividade. Caso contrário, o investimento não é atrativo, sendo mais vantajoso aplicar os recursos à taxa atrativa, em outra operação. Naturalmente, na comparação direta entre dois projetos distintos, será mais viável aquele que propiciar maior taxa interna de retorno (TIR).



Exemplo 3: Calcular a taxa de retorno que proporciona o investimento abaixo: - investimento: R$ 70.000,00 - período: 4 anos - valor residual: zero - receitas anuais: R$ 50.000,00 - despesas anuais: R$ 29.000,00 Exercício: 1) Um investidor que trabalha com uma taxa mínima de atratividade de 5% a.a. possui duas propostas para aplicação de seus recursos:

Proposta A Proposta B Investimento inicial 120.000 120.000

Vida útil 4 anos 6 anos Valor residual 0 10.000 Receitas anuais 59.631 55.000 Despesas anuais 25.000 30.000

Pergunta-se: pelo método da taxa interna de retorno, qual a proposta que deve ser aceita?



Base Bibliográfica: - ARAÚJO, Carlos R. V. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 1993. - MERCHEDE, Alberto. Matemática Financeira para concursos. São Paulo: Atlas, 2003. - OLIVEIRA, José A. N. Engenharia Econômica: uma abordagem às decisões de

investimento. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1982. - PARENTE, Eduardo; CARIBÉ, Roberto. Matemática Comercial e Financeira. São Paulo:

FDT SA. - VIEIRA SOBRINHO, José D. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.

39659105 Matematica Farmacia

Documents

Transcript of 39659105 Matematica Farmacia