3ª Lista de Exercícios – Cálculo de Probabilidade I

01. O número médio mensal de acidentes aéreos envolvendo aviões comerciais em todo o mundo é igual a

3,5. Qual é a probabilidade de que:

a) ocorram pelo menos 2 acidentes desse tipo no próximo mês?

b) ocorra no máximo 1 acidente no próximo mês?

Explique o seu raciocínio.

02. Suponha que o número médio de carros abandonados semanalmente em certa autoestrada seja igual a 2,2.

Obtenha uma aproximação para a probabilidade de que:

a) nenhum carro seja abandonado na semana que vem.

b) pelo menos 2 carros sejam abandonados na semana que vem.

03. Certa agência de digitação emprega dois digitadores. O número médio de erros por artigo é de 3 quando

este é digitado pelo primeiro digitador e 4,2 quando digitado pelo segundo. Se o seu artigo tem a mesma

probabilidade de ser digitado por qualquer um dos digitadores, obtenha uma aproximação para a

probabilidade de que ele não tenha erros.

04. O tempo de vida, medido em horas, de uma válvula eletrônica é uma variável aleatória com função

densidade de probabilidade dada por

f(x) = xe-x x ≥ 0

Calcule o tempo de vida esperado dessa válvula.

05. Suponha que a altura de um homem de 25 anos de idade, em cm, seja uma variável aleatória normal com

parâmetros µ = 180 e σ2 = 16. Que percentual de homens de 25 anos de idade tem mais de 1,88 m de altura?

Que percentual de homens em um time de 6 jogadores tem mais de 1,96 m de altura?

06. A espessura de uma forja de duralumínio (em mm) é normalmente distribuída com µ=22,86 e σ = 0,0762.

Os limites de especificação foram dados como 22,86 ± 0,127 mm.

a) Que percentual de forjas será defeituoso?

b) Qual é o valor máximo permissível de σ que permitirá que não exista mais de 1 forja defeituosa em

100 se as espessuras forem de µ = 22,86 e σ?

07. Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro β, e se P(X = 0) = 0,2, calcular P(X > 2).

08. Admita-se que X tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ. Determine aquele valor de k para o qual

P(X = k) seja máxima. [Sugestão: Compare P(X = k) com P(X = k - 1)].

09. Suponha que a probabilidade de que uma peça, produzida por determinada máquina, seja defeituosa é

0,2. Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de que não

mais de uma defeituosa seja encontrada? Empregue as distribuições binomial e de Poisson e compare as

respostas.

10. O número de navios petroleiros, digamos N, que chegam a determinada refinaria, cada dia, tem

distribuição de Poisson, com parâmetro λ = 2. As atuais instalações do porto podem atender a três petroleiros

por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a três deverão seguir para outro porto.

a) Em um dia, qual é a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto?

b) De quanto deverão as atuais instalações ser aumentadas para permitir manobrar todos os petroleiros,

em aproximadamente 90% dos dias?

c) Qual é o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?

d) Qual é o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?

e) Qual é o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?

f) Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão a outros portos diariamente?

11. Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1% da população está incluída em certo

tipo de acidente cada ano. Se seus 10.000 segurados são escolhidos, ao acaso, na população, qual é a

probabilidade de que não mais do que 5 de seus clientes venham a estar incluídos em tal acidente no próximo

ano?

12. Suponha que X tenha uma distribuição de Poisson. Se P(X = 2) = 2/3 P(X = 1), calcular P(X = 0) e

P(X = 3).

13. Quatro componentes são reunidos em um único aparelho. Os componentes são originários de fontes

independentes e pi = P(i- ésimo componente seja defeituoso), i = 1, 2, 3, 4.

a) Estabeleça uma expressão para a probabilidade de que o aparelho completo venha a funcionar.

b) Estabeleça uma expressão para a probabilidade de que ao menos 3 componentes venham a funcionar.

c) Se p1 = p2 = 0,1 e p3 = p4 = 0,2, calcule a probabilidade de que exatamente 2 componentes venham a

funcionar.

14. Suponha que X tenha a distribuição N(2, 0,16). Empregando a tabua da distribuição normal, calcule as

seguintes probabilidades:

a) P(X ≥ 2,3)

b) P(1,8 ≤ X ≤2,1)

15. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com media 0,8 e variância 0,0004. Qual é a

probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81?

16. Sabe-se que os erros, em certo dispositivo para medir comprimentos, são normalmente distribuídos com

valor esperado zero e desvio padrão 1 unidade. Qual é a probabilidade de que o erro na medida seja maior do

que 1 unidade? 2 unidades? 3 unidades?

17. Suponha que a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2, tenham distribuições N(40, 36)

e N(45, 9), respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de ser usado por um período de 45 horas, qual

dos dispositivos deve ser preferido?

18. Suponha que X tenha distribuição N(µ, σ2). Determine c (como uma função de µ e σ), tal que

P(X ≤ c) = 2P(X > c).

19. Suponha que a temperatura (medida em graus centígrados) seja normalmente distribuída, com

expectância 50° e variância 4. Qual é a probabilidade de que a temperatura T esteja entre 48° e 50°

centígrados?

20. O diâmetro exterior de um eixo, D, é especificado igual a 4 polegadas. Considere D como uma variável

aleatória normalmente distribuída com media 4 polegadas e variância. 0,01 (polegadas)2. Se o diâmetro real

diferir do valor especificado por mai de 0,05 polegada e menos de 0,8 polegada, o prejuízo do fabricante será

R$ 0,50. Se o diâmetro real diferir do diâmetro especificado por mais de 0,08 polegada, o prejuízo será de R$

1,00. O prejuízo L pode ser considerado uma variável aleatória. Estabeleça a distribuição de probabilidade de

L e calcule E(L).

21. Suponha que X seja uma variável aleatória para a qual E(X) = µ e V(X) = σ2. Suponha que Y seja

uniformemente distribuída sobre o intervalo (a, b). Determine a e b de modo que E(X) = E(Y) e V(X) = V(Y).

22. Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg), tenha distribuição N(100, 16). Cada rolo de 100

metros de cabo dá um lucro de R$ 25, desde que X > 95. Se X ≤ 95, o cabo poderá ser utilizado para uma

finalidade diferente e um lucro de R$ 10 por rolo será obtido. Determinar o lucro esperado por rolo.

23. Suponha que V, a velocidade (cm/seg) de um objeto que tenha massa de 1 kg, seja uma variável aleatória

com distribuição N(0,25). Admita-se que K = 1.000 V2/2 = 500 V2 represente a energia cinética (EC) do

objeto. Calcular P(K < 200), P(K > 800).

24. Suponha que X, o comprimento de uma barra, tenha distribuição N(10, 2). Em vez de se medir o valor de

X, somente são especificadas certas exigências que devem ser atendidas. Especificamente, cada barra

fabricada será classificada como segue: X < 8, 8 ≤ X < 12 e X ≥ 12. Se 15 dessas barras forem fabricadas,

qual e a probabilidade de que um igual número de barras caia em cada uma da categorias acima?

25. Sabe-se que a precipitação anual de chuva, em certa localidade, é uma variável aleatória normalmente

distribuída, com média igual a 29,5 cm e desvio-padrão 2,5 cm. Quantos centímetros de chuva (anualmente)

são ultrapassados em cerca de 5% do tempo?