3ª Lista de Revisão

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/ AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

3 Lista de reviso

1. PORCENTAGEM ............................................................................................................................... 1

2. JUROS SIMPLES ............................................................................................................................... 2

3. DESCONTO SIMPLES ........................................................................................................................ 9

4. JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................................... 17

5. DESCONTO COMPOSTO ................................................................................................................ 39

6. INFLAO ...................................................................................................................................... 46

7. EQUIVALNCIA DE CAPITAIS ......................................................................................................... 49

8. SRIES DE PAGAMENTOS .............................................................................................................. 60

9. AMORTIZAO ............................................................................................................................ 114

10. AVALIAO DE INVESTIMENTOS ............................................................................................ 118

11. QUESTES APRESENTADAS EM AULA..................................................................................... 126

12. GABARITO ............................................................................................................................... 160

13. TABELAS EXTRADAS DA PROVA DA ESAF ............................................................................... 162

1. PORCENTAGEM

Questo 1 ATRFB 2009 [ESAF]

Em um determinado perodo de tempo, o valor do dlar americano passou de R$ 2,50 no incio para R$ 2,00 no fim do perodo. Assim, com relao a esse perodo, pode-se afirmar que:

a) O dolar se desvalorizou 25% em relao ao real.

b) O real se valorizou 20% em relao ao dlar.

c) O real se valorizou 25% em relao ao dlar.

d) O real se desvalorizou 20% em relao ao dlar.

e) O real se desvalorizou 25% em relao ao dlar.

Resoluo:

O valor do dlar foi reduzido de 50 centavos, num total de R$ 2,50.

%2050,250,0

=

O dlar se desvalorizou 20% em relao ao real.

Agora vamos analisar qual a valorizao do real em relao ao dlar.




No incio do perodo, R$ 2,50 correspondiam a 1 dlar. Logo:

R$ 1,00 = 5,2

1dlares = 0,40 dlares

No incio do perodo 1 real corresponde a 40 centavos de dlar.

No final do perodo, 2 reais correspondem a 1 dlar. Logo:

R$ 1,00 = 21

dlares = 0,50 dlares.

Ou seja, no final do perodo, 1 real corresponde a 50 centavos de dlar.

Assim, o real se valorizou 10 centavos de dlar. Qual a valorizao, em relao ao seu valor inicial?

%2540,010,0

=

O real se valorizou 25% em relao ao dlar.

Gabarito: C

2. JUROS SIMPLES

Questo 2 AFRFB 2002 2 [ESAF]

Os capitais de R$ 7.000,00, R$ 6.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 4.000,00 so aplicados respectivamente s taxas de 6%, 3%, 4% e 2% ao ms, no regime de juros simples durante o mesmo prazo. Calcule a taxa mdia proporcional anual de aplicao destes capitais.

a) 4%

b) 8%

c) 12%

d) 24%

e) 48%

Resoluo:

A taxa mdia uma mdia ponderada das taxas individuais. Os pesos de ponderao so os produtos . Como os perodos so todos iguais, os pesos de ponderao acabam sendo apenas os capitais (C).

= 7.000 6% + 6.000 3% + 3.000 4% + 4.000 2%7.000 + 6.000 + 3.000 + 4.000

= 420 + 180 + 120 + 8020.000

=800

20.000= 4%

A taxa mdia de 4% ao ms.




O exerccio pediu a taxa anual. Basta multiplicar por 12 (pois um ano tem doze meses):

4% 12 = 48%

Gabarito: E

Questo 3 AFRF 2001 [ESAF]

Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao ms, 4% ao ms e 3,25% ao ms, respectivamente. Calcule a taxa mdia de aplicao desses capitais.

a) 4,83% ao ms

b) 4,859% ao ms

c) 4,4167% ao ms

d) 3,206% ao ms

e) 4% ao ms

Resoluo:

A taxa mdia uma mdia ponderada das taxas individuais. Os pesos de ponderao so os produtos . Como os perodos so todos iguais, os pesos de ponderao acabam sendo apenas os capitais (C).

= 3.000 6% + 5.000 4% + 8.000 3,25%3.000 + 5.000 + 8.000

= 180 + 200 + 26016.000

=640

16.000= 4%

Gabarito: E

Questo 4 AFPS 2002 [ESAF]

Uma pessoa fsica recebeu um emprstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de trs meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa s pode usar em proveito prprio 75% do emprstimo, porque, por fora do contrato, usou o restante para fazer uma aplicao no prprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos trs meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa fsica sobre a parte do emprstimo que utilizou em proveito prprio.

a) 12% ao trimestre

b) 14% ao trimestre

c) 15% ao trimestre

d) 16% ao trimestre

e) 18% ao trimestre




Resoluo:

Na data em que contratado o emprstimo, a pessoa recebe do banco a quantia de 75% de 10.000,00:

= 0,75 10.000 = 7.500 Ao final do emprstimo, a pessoa deve devolver ao banco 10.000, acrescidos de juros de 15% sobre 10.000,00.

15% 10.000 = 1500

Mas a pessoa pode abater os R$ 2.500 que deixou aplicados no banco, bem como o rendimento de R$ 150,00 da sua aplicao:

Assim, a pessoa ter que devolver:

= 10.000 + 1.500 2.500 150 = 8.850 Ou seja, o capital de 7.500,00 foi transformado em um montante de 8.850, no perodo de um trimestre. A taxa de juros trimestral i tal que:

= 1 + 8.850 = 7.500 1 +

1 + = 8.8507.500

= 1,18

= 18% Gabarito: E

Questo 5 CVM 2010 [ESAF]

Qual o valor mais prximo do montante que atinge uma dvida de R$ 2.000,00, quatro meses e meio depois, a uma taxa de juros simples de 1,5% ao ms?

a) R$ 2.115,00

b) R$ 2.092,00

c) R$ 2.090,00

d) R$ 2.105,00

e) R$ 2.120,00

Resoluo:

= 1 + = 2.000 1 + 4,5 0,015 = 2.135

Gabarito: Anulado

Questo 6 PREFEITURA DE FORTALEZA 2003 [ESAF]




Os capitais de 200, 300 e 100 unidades monetrias so aplicados a juros simples durante o mesmo prazo s taxas mensais de 4%, 2,5% e 5,5%, respectivamente. Calcule a taxa mensal mdia de aplicao destes capitais.

a) 2,5%

b) 3%

c) 3,5%

d) 4%

e) 4,5%

Resoluo:

A taxa mdia uma mdia ponderada das taxas individuais. Os pesos de ponderao so os capitais:

= 200 0,04 + 300 0,025 + 100 0,055200 + 300 + 100

= 3,5%

Gabarito: C

Questo 7 SEFAZ CE 2006 [ESAF]

Uma pessoa aplicou um capital a juro simples exato a uma taxa de 20% ao ano e ele cresceu 8% ao fim do prazo. Qual foi o prazo de aplicao do capital?

a) 144 dias

b) 146 dias

c) 150 dias

d) 153 dias

e) 155 dias

Resoluo:

No juro exato, o ano tem 365 dias. Logo:

365 dias ---- 20%

x dias --- 8%

20 = 365 8 = 365 8

20= 146

Gabarito: B

Questo 8 SEFAZ MS 2000 [ESAF]




Trs capitais so aplicados a juros simples pelo mesmo prazo. O capital de R$ 3.000,00 aplicado taxa de 3% ao ms, o capital de R$ 2.000,00 aplicado a 4% ao ms e o capital de R$ 5.000,00 aplicado a 2% ao ms. Obtenha a taxa mdia mensal de aplicao desses capitais.

a) 3%

b) 2,7%

c) 2,5%

d) 2,4%

e) 2%

Resoluo:

A taxa mdia uma mdia ponderada das taxas individuais. Os pesos de ponderao so os capitais (pois os prazos coincidem):

= 3.000 0,03 + 2.000 0,04 + 5.000 0,023.000 + 2.000 + 5.000

= 2,7%

Gabarito: B

Questo 9 SEFAZ PI 2001 [ESAF]

Durante o ms de maio, um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado no open market (sistema de juros simples) a uma taxa de 30% ao ms, tendo produzido um montante de R$ 2.240,00. O nmero de dias a que esse capital esteve aplicado foi de:

a) 8

b) 10

c) 12

d) 13

e) 15

Resoluo:

= 1 + 2.240 = 2.000 1 + 0,3

2.240

2000= 1 + 0,03

0,3 = 1,12 1 = 0,12

0,3= 0,4

O prazo foi de 0,4 meses.

Precisamos converter esse prazo em dias. Basta aplicar regra de trs:




30 dias --- 1 ms

x dias --- 0,4 meses

0,4 30 = = 12 O prazo de 12 dias.

Gabarito: C

Questo 10 SUSEP 2002 [ESAF]

Um capital aplicado a juros simples durante trs meses e dez dias a uma taxa de 3% ao ms. Calcule os juros em relao ao capital inicial.

a) 9%

b) 10%

c) 10,5%

d) 11%

e) 12%

Resoluo:

10 dias correspondem a 1/3 de ms. Assim, o capital foi aplicado por 3 ms + 1/3 de ms = 10/3 de ms.

3 +1

3=

10

3

Temos:

= = 10

3 0,03 = 0,1

Logo:

= 10%

Gabarito: B

Questo 11 CGU 2001 [ESAF]

Um capital aplicado a juros simples taxa de 4% ao ms por quarenta e cinco dias. Calcule os juros como porcentagem do capital aplicado.

a) 4%

b) 4,5%

c) 5%

d) 6%




e) 6,12%

Resoluo:

Quarenta e cinco dias correspondem a um ms e meio (=1,5 meses).

= = 1,5 0,04 = 0,06

= 6%

Gabarito: D


Qual o capital que aplicado a juros simples taxa de 2,4% ao ms rende R$ 1 608,00 em 100 dias?

a) R$ 20 000,00.

b) R$ 20 100,00.

c) R$ 20 420,00.

d) R$ 22 000,00.

e) R$ 21 400,00.

Resoluo:

Sabemos que a taxa de 2,4% ao ms, o juro de R$ 1.608,00 e o prazo de 100 dias.

Observem que a taxa est ao ms e o prazo est em dias. Quando isso ocorre, no podemos aplicar a frmula dos juros simples. Primeiro, temos que uniformizar as unidades. Vamos passar o prazo para meses.

Fazendo a regra de trs:

30 dias equivalem a 1 ms

100 dias equivalem a X.

30 ----- 1

100 ----- X

310

30100110030 === XX

Pronto, agora o nosso prazo, em meses, de 10/3.

Aplicando a frmula, temos:

CinJ =




C= %4,23

101608

C= 024,03

101608

C= 008,0101608

100.2008,0

160808,01608 === CC

Gabarito: B.

3. DESCONTO SIMPLES

Questo 13 AFRFB 2001 [ESAF]

O desconto racional simples de uma nota promissria, cinco meses antes do vencimento, de R$800,00, a uma taxa de 4% ao ms. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto , considerando o mesmo ttulo, a mesma taxa e o mesmo prazo.

a) R$ 640,00

b) R$ 960,00

c) R$ 973,32

d) R$ 666,67

e) R$ 800,00

Resoluo:

=

1 +

= 800 1 + 5 0,04 = 800 1,2 = 960 Gabarito: B


Um ttulo no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 trs meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.

a) R$ 890,00

b) R$ 900,00

c) R$ 924,96

d) R$ 981,00

e) R$ 1.090,00




Resoluo:

Primeiro calculamos a taxa:

= 981 = 10.900 3 = 981

10.900 3= 3%

Agora calculamos o desconto racional:

=

1 + 981 =

1 + 3 0,03

=

981

1,09= 900

Gabarito: B

Questo 15 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Um cheque pr-datado adquirido com um desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operao considerando um desconto simples por dentro.

a) 6,25%.

b) 6%.

c) 4%.

d) 5%.

e) 5,5%

Resoluo:

A questo quis dizer que o desconto de 20% foi comercial simples. E ela pede a taxa de desconto racional simples.

Vamos supor que o valor nominal de 100,00. Assim, o desconto comercial foi de R$ 20,00 (=20% de 100,00). E o valor atual seria de R$ 80,00.

Se a operao fosse de desconto racional, qual seria o valor da taxa de desconto mensal?

Temos:

=

1 +

80 =100

1 + 4

1 + 4 = 10080




1 + 4 = 1,25 4 = 0,25 = 6,25%

Gabarito preliminar: A

Gabarito definitivo: Anulado

Creio que a questo foi anulada porque no ficou claro, no enunciado, que o desconto de 20% ali indicado era comercial.


Um banco deseja operar a uma taxa efetiva de juros simples de 24% ao trimestre para operaes de cinco meses. Deste modo, o valor mais prximo da taxa de desconto comercial trimestral que o banco dever cobrar em suas operaes de cinco meses dever ser igual a:

a) 19 %

b) 18,24 %

c) 17,14 %

d) 22 %

e) 24 %

Resoluo:

As operaes so todas de cinco meses. Ou seja, o perodo considerado est em meses (5 meses).

A taxa fornecida de 24% ao trimestre. Vamos passar o perodo para trimestre tambm. Para tanto, usamos regra de trs.

Um trimestre corresponde a trs meses.

X trimestres correspondem a cinco meses.

1 trimestre ----- 3 meses

X trimestres ---- 5 meses

Multiplicando cruzado:

X35 =

35

=X

O prazo , ento, de cinco teros de trimestre.

Pronto. Ento temos que, numa operao que dure 5/3 de trimestre (=cinco meses), o banco opera a uma taxa de juros simples de 24% ao trimestre.

Vamos jogar valores para entender melhor o que se passa.




Se Jos fizer uma aplicao de R$ 100,00 neste banco, nestas condies, ao final de cinco meses ter um montante de:

)1( inCM +=

( ) 1404,01100)24,0351(100 =+=+=M

Ao final de 5/3 de trimestre, Jos poder resgatar sua aplicao, obtendo R$ 140,00.

Vamos imaginar agora o problema inverso (de desconto). Jos fez uma aplicao neste banco. Poder resgatar seu investimento dentro de cinco meses, obtendo R$ 140,00.

Contudo, Jos acaba precisando do dinheiro agora, cinco meses antes do prazo estabelecido. Deste modo, s poder resgatar uma quantia menor.

Ns vimos que o desconto racional corresponde aos juros simples.

Portanto, se Jos resgatar a aplicao, com valor nominal de R$ 140,00, com 5/3 de trimestre de antecedncia, havendo uma taxa de desconto racional simples de 24% ao trimestre, o valor atual de sua aplicao ser:

)1( niNA

+=

1004,1

140

3524,01

140==

+

=A

E voltamos aos 100,00. Ou seja, a taxa de desconto simples racional corresponde taxa de juros simples. Por isso ela chamada de taxa efetiva.

E se considerarmos um desconto comercial? Qual seria a taxa de desconto?

Basta aplicar a frmula.

Queremos saber qual a taxa que, a partir de um valor nominal de R$ 140,00, resulta num valor nominal de R$ 100,00, quando temos 5/3 de trimestre de antecipao.

J vimos que, caso o desconto seja racional, esta taxa de 24% ao trimestre. a taxa que coincide com a taxa de juros simples (=taxa efetiva).

Mas se o desconto for comercial, ficamos com:

)1( inNA =

)351(140100 i=

714,0351 = i

286,035

=

i

%1,17171,0 ==i

Gabarito: C




Questo 17 PREFEITURA DE FORTALEZA 2003 [ESAF]

Um ttulo no valor nominal de R$ 20.000,00 sofre um desconto comercial simples de R$ 1.800,00 trs meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada.

a) 6%

b) 5%

c) 4%

d) 3,3%

e) 3%

Resoluo:

= 1.800 = 20.000 3

= 1.80060.000

= 3%

Gabarito: E


Uma dvida no valor de R$ 20.000,00 vence dentro de quatro meses. Calcule a reduo da dvida se ela for paga hoje com um desconto comercial simples a uma taxa de 2,5% ao ms.

a) R$ 2 400,00

b) R$ 2 300,00

c) R$ 2 200,00

d) R$ 2 100,00

e) R$ 2 000,00

Resoluo:

= = 20.000 0,025 4 = 2.000

Gabarito: E





Uma nota promissria no valor nominal de R$5.000,00 sofre um desconto comercial simples a uma taxa de desconto de 4% ao ms. Qual o valor do desconto, dado que a nota foi resgatada trs meses antes do seu vencimento?

a) R$ 416,70

b) R$ 524,32

c) R$ 535,71

d) R$ 555,00

e) R$ 600,00

Resoluo:

= = 5.000 0,04 3 = 600

Gabarito: E

Questo 20 STN 2005 [ESAF]

Considere trs ttulos de valores nominais iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$ 2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancrio simples so, respectivamente, trs meses a 6 % ao ms, quatro meses a 9 % ao ms e dois meses a 60 % ao ano. Desse modo, o valor mais prximo da taxa mdia mensal de desconto igual a:

a) 7 %

b) 6 %

c) 6,67 %

d) 7,5 %

e) 8 %

Resoluo:

Na aula terica, vimos vrios exerccios de taxa mdia. Todos eles muito parecidos.

Este a de cima foi uma exceo. Foi uma inovao da ESAF. Esta a nica questo que trouxe clculo de taxa mdia numa situao bem diferente.

Primeiro porque os exerccios de taxa mdia usuais so cobrados em juros simples. Aqui temos desconto simples.

Em segundo lugar porque os prazos no foram todos iguais. Cada operao tem um prazo diferente.

Vamos comear a resolver a questo.




Desconto bancrio quase a mesma coisa que desconto comercial. um desconto comercial em que esto includas todas as taxas administrativas que o banco cobra para executar a operao. Mas o clculo o mesmo do desconto comercial.

Vamos para a primeira operao.

O valor nominal de R$ 5.000,00, o prazo de 3 meses e a taxa de 6% ao ms.

O valor atual fica:

)1( 1111 inNA = (coloquei o ndice 1 para indicar que estamos na primeira operao). 100.482,0000.5)06,031(000.51 ===A

Vamos para a segunda operao. O valor nominal R$ 3.000,00, o prazo de 4 meses e a taxa de 9% ao ms.

)1( 2222 inNA = )09,041(000.32 =A

920.164,0000.32 ==A

Vamos agora para a terceira operao. O valor nominal de R$ 2.000,00, a taxa de 60% ao ano e o prazo de dois meses.

Ainda no podemos aplicar a frmula porque o prazo est em meses e a taxa anual. Podemos passar a taxa anual para taxa mensal. No regime simples, para encontramos taxas equivalentes, fazemos a regra de trs.

60% corresponde a 12 meses (=1 ano)

i corresponde a 1 ms

60% ---- 12

i ---- 1


%51121%60 == i A taxa de 5% ao ms equivalente taxa de 60% ao ano.

E agora podemos aplicar a frmula:

)1( 3333 inNA = 800.1)05,021(000.23 ==A

O valor nominal total foi:

000.10000.2000.3000.5321 =++=++= NNNN

E o valor atual total foi:

820.7800.1920.1100.4321 =++=++= AAAA

Em todas as operaes, vamos substituir todas as taxas por uma taxa i de tal forma que o valor atual obtido seja, tambm, de R$ 7.820. Esta taxa, que substitui todas as outras, produzindo o mesmo valor atual total, a taxa mdia.




O valor atual total fica:

)31(000.5 iA = )41(000.3 i+ 820.7)21(000.2 =+ i Desenvolvendo as multiplicaes temos:

i 000.15000.5 i+ 000.12000.3 820.7000.4000.2 =+ i 820.7000.31000.10 = i

i= 000.31820.7000.10 i= 000.31180.2

%03,70703,0 =i

Gabarito: A

Questo 21 CGU 2001 [ESAF]

Um indivduo obteve um desconto de 10% sobre o valor de face de um ttulo ao resgat-lo um ms antes do seu vencimento em um banco. Como esta operao representou um emprstimo realizado pelo banco, obtenha a taxa de juros simples em que o banco aplicou os seus recursos nessa operao.

a) 9% ao ms

b) 10% ao ms

c) 11,11% ao ms

d) 12,12% ao ms

e) 15% ao ms

Resoluo:

= 10% = = 0,1 = 0,9

A taxa efetiva aquela praticada no desconto racional simples (caso o regime seja simples), ou no desconto racional composto (se o regime for composto). Como o perodo de um ms (n = 1), ambos os regimes daro o mesmo resultado.

=

1 +

0,9 =

1 +

0,9

=

1

1 +

0,9 =1

1 + 1 + =1

0,9

1 + = 1,111 = 11,1%




Gabarito: C

4. JUROS COMPOSTOS

Questo 22 AFRFB 2002-1 [ESAF]

Um capital aplicado a juros compostos taxa de 20% ao perodo durante quatro perodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a conveno linear para clculo do montante.

Considere ainda que

1,204 =2,0736;

1,204,5 =2,271515 e

1,205 =2,48832.

a) 107,36%

b) 127,1515%

c) 128,096%

d) 130%

e) 148,832%

Resoluo:

Considere que o capital de 100,00. O montante ser igual a:

= 1 + 1 + Onde z a parte inteira do prazo e q a parte fracionria.

= 100 1,2 1 + 0,5 0,2 = 100 2,0736 1,1 = 228,096

= = 228,096 100 = 128,096 =

128,096

100= 128,096%

Gabarito: C


Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a conveno linear para clculo do montante.

a) 22,5%

b) 24%




c) 25%

d) 26,906%

e) 27,05%

Resoluo:

Quinze meses correspondem a 2,5 semestres.

Considere que o capital de 100,00. O montante ser igual a:

= 1 + 1 + Onde z a parte inteira do prazo e q a parte fracionria.

= 100 1,1 1 + 0,5 0,1 = 100 1,21 1,05 = 127,05

= = 127,05 100 = 27,05 = 27,5%

Gabarito: E


Indique a taxa de juros anual equivalente taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalizao mensal.

a) 12,3600%

b) 12,5508%

c) 12,6825%

d) 12,6162%

e) 12,4864%

Resoluo:

A taxa de 12% ao ano. O perodo de capitalizao mensal. Este perodo no corresponde ao perodo da taxa. Assim, a taxa de 12% apenas nominal, mas no efetiva. Neste caso, a taxa nominal s serve para aplicarmos a regra de trs e encontramos a taxa efetiva.

Vamos fazer a regra de trs.

12% corresponde a 12 meses (=um ano)

i corresponde a 1 ms.

12% ---- 12

i ----- 1

%1121%12 == ii




A taxa efetiva de 1% ao ms.

Precisamos achar a taxa efetiva anual, que equivalente taxa de 1% ao ms.

Para tanto, vamos criar dois investimentos equivalentes.

Primeiro investimento: aplicamos 100,00 a uma taxa de 1% ao ms durante 12 meses. Qual o montante obtido?

niCM )1( += 12)01,01(100 +=M

Consultando a tabela I:

68,1121268,1100 ==M

Segundo investimento: aplicamos 100,00 a uma taxa anual k durante 1 ano, obtendo o montante de 112,68.

niCM )1( += %68,12)1(10068,112 1 =+= kk

A taxa efetiva anual de 12,68%

Gabarito: C


Um capital aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao ms. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a conveno linear?

a) 46,11%

b) 50,36%

c) 41,85%

d) 48,00%

e) 44,69%

Resoluo:

O prazo de seis meses e dez dias. A taxa est em meses. Vamos passar estes dez dias para meses.

Basta aplicar a regra de trs.

1 ms corresponde a 30 dias.

X meses correspondem a 10 dias.

1 ---- 30

X ---- 10





33,03/11030 === XX

Ou seja, 10 dias correspondem a um tero de ms.

Portanto, o prazo de seis meses mais um tero de ms.

niCM )1( += 33,6)06,01( += CM

E temos o problema de expoente fracionrio.

Usando a conveno linear:

)1()1( iqiCM z ++=

)06,0311()06,01( 6 ++= CM

)02,01()06,01( 6 ++= CM Consultando a tabela I:

CCM == 44687,102,14185,1

J temos o montante. Podemos achar os juros.

JCM +=

JCC +=44687,1

CJ 44687,0=

Vamos achar os juros como percentual do capital:

%687,444687,044687,0 ===C

CCJ

Gabarito: E


Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um capital unitrio aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalizao mensal.

a) 1,54

b) 1,7024

c) 2,7024

d) 54%

e) 70,24%




Resoluo:

A taxa de juros nominal de 36% ao ano, com capitalizao mensal. Logo, a taxa efetiva mensal de:

36%

12= 3%

Agora calculamos o montante ao final de 18 meses:

= 1 + = 1 1,03 = 1,7024

Gabarito: B

Questo 27 AFRFB 2009 [ESAF]

No sistema de juros compostos um capital PV aplicado durante um ano taxa de 10 % ao ano com capitalizao semestral resulta no valor final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre taxa de it% ao trimestre resultar no mesmo valor fi nal FV, se a taxa de aplicao trimestral for igual a:

a) 26,25 %

b) 40 %

c) 13,12 %

d) 10,25 %

e) 20 %

Resoluo:

Um capital PV aplicado durante um ano taxa de 10% ao ano, com capitalizao semestral.

O que isto significa?

Bom, se a capitalizao semestral, isto porque, ao final de cada semestre, os juros se incorporam ao capital, servindo de base de clculo para a incidncia dos prximos juros.

Mas a taxa fornecida foi anual? E agora?

Quando o prazo da taxa no coincide com o perodo de capitalizao, ns temos um problema. Esta taxa de 10% ao ano intil! Ok? Ela nunca pode ser usada em frmula alguma, pois a capitalizao semestral. Portanto, em qualquer frmula que utilizemos, s pode entrar uma taxa que seja semestral.

Esta taxa de 10% dita taxa nominal. a taxa que pode aparecer em contratos de financiamento, em ttulos, em documentos em geral. Sempre que o perodo da taxa nominal no coincidir com o perodo de capitalizao, ento a taxa nominal ser intil. Ela no ser uma taxa efetiva, pois no pode ser usada em qualquer frmula.




Para no sermos injustos com a taxa nominal, vou mudar o discurso: ela quase intil. Ela s serve para uma nica coisa: com ela, podemos achar a taxa efetiva, a taxa para valer, a taxa que poder ser usada nas frmulas.

Para achar a taxa efetiva a partir da taxa nominal, basta fazer regra de trs:

Taxa Semestres

10% 2 semestres (=1 ano)

x 1 semestre

10%

=2

1

%5%102 == xx (ao semestre)

A taxa de 5% ao semestre efetiva, pois tem um perodo que coincide com o perodo de capitalizao. uma taxa semestral, e o perodo de capitalizao tambm semestral. Esta taxa sim pode ser utilizada nas frmulas.

Com isso, temos:

niCM )1( += O capital PV, o montante FV, a taxa de 5% ao semestre e o perodo de 2 semestres.

2)05,01( += PVFV (equao I) Caso o perodo de aplicao seja de 1 trimestre e a taxa seja it, o montante obtido ser o mesmo.

niCM )1( += 1)1( tiPVFV += (equao II)

Das equaes I e II, temos:

)1()05,1( 2 tiPVPV += )1()05,1( 2 ti+=

ti = =105,1 2 10,25%

Gabarito: D

Questo 28 BACEN 2001 [ESAF]

Calcule o juro final como porcentagem do capital inicial aplicado a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano, com capitalizao mensal em um prazo de dezoito meses.

a) 36,00%

b) 38,12%

c) 40,00%

d) 42,82%

e) 44,75%




Resoluo:

Se a taxa de 24% ao ano, com capitalizao mensal, ento a taxa efetiva mensal de:

24%

12= 2%

Sabendo disso, podemos calcular o montante:

= 1 + = 1,02 = 1,428246

= = 1,428246 = 0,428246

= 0,428246 = 42,8246%

Gabarito: D

Questo 29 BACEN 2001 [ESAF]

Uma instituio financeira oferece pagar, na sua captao de recursos, juros simples de 0,5% ao ms mais uma taxa bsica de juros varivel por trimestre, pagando os juros devidos ao fim do trimestre. Por sua vez, esta instituio cobra juros dos financiamentos concedidos de 3% ao ms, juros compostos, mais a mesma taxa de juros bsica varivel por trimestre, recebendo os juros devidos ao fim de cada trimestre. Calcule a diferena, em pontos percentuais, entre os juros recebidos e pagos ao fim do trimestre por R$ 1,00 emprestado e captado pela instituio no incio do trimestre, considerando que a taxa de juros varivel comum no trimestre foi de 4,5% e que os juros variveis incidem sobre o capital inicial no caso do rendimento pago pela instituio e incidem sobre o montante no caso de rendimento recebido pela instituio.

a) 8,19 pontos percentuais

b) 7,77 pontos percentuais

c) 7,50 pontos percentuais

d) 6,75 pontos percentuais

e) 6,55 pontos percentuais

Resoluo:

Vamos primeiro para a captao de recursos. O banco pega dinheiro emprestado.

Para cada R$ 1,00 que pega emprestado, o banco vai pagar juros de 0,5% ao ms (juros simples).




Ao final de trs meses, o banco pagar de juros:

CinJ = 015,01005,03 ==J

Alm de 0,5% ao ms, o banco paga uma remunerao trimestral. Num dado trimestre, esta remunerao foi de 4,5% ao trimestre. Este percentual incide, no caso da captao de recursos, sobre o capital (sobre R$ 1,00).

Assim, no fim do trimestre, o banco pagar juros adicionais de:

045,01%5,4 =

Concluindo: para cada R$ 1,00 que pega emprestado, ao final do trimestre o banco paga juros de R$ 0,060 (=0,015 + 0,045).

Vamos agora para os financiamentos concedidos. O banco cobra juros de 3% ao ms (juros compostos). Para cada R$ 1,00 emprestado, ao final de trs meses o banco receber o seguinte montante:

niCM )1( += 092727,1)03,01(1 3 =+=M

Ou seja, de juros o banco cobra:

CMJ = 092727,01092727,1 ==J

Alm disso, o banco ainda cobra juros adicionais. Num dado trimestre, esta cobrana foi de 4,5%. No caso de financiamentos concedidos, este percentual no incide sobre o capital de R$ 1,00. Incide sobre o montante (=R$ 1,092727).

Ou seja, o banco cobra uma remunerao extra de:

049,0092727,1%5,4

Concluindo, para cada R$ 1,00 que empresta, ao final do trimestre o banco cobra de juros R$ 0,142 (=0,049+0,093).

Para cada R$ 1,00 que capta e empresta, o banco lucra:

%2,8082,006,0142,0 ==

A diferena de aproximadamente 8,2%.

Gabarito: A.

Questo 30 SEFAZ/MG 2005 [ESAF]

Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 8% ao trimestre aumenta 100%.

a) 12,5




b) 12

c) 10

d) 9

e) 8

Resoluo:

= 1 + Suponha que o capital seja de R$ 1,00 e o montante seja 100% maior. Logo, o montante ser de R$ 2,00.

2 = 1 1,08 Consultando a tabela I, temos:

1,08 = 1,999 2

= 9 Gabarito: D


Qual o valor mais prximo da taxa equivalente taxa nominal de 24% ao ano com capitalizao mensal?

a) 12,616% ao semestre.

b) 24% ao ano.

c) 12% ao semestre.

d) 4,803% ao bimestre.

e) 5,75% ao trimestre.

Resoluo:

Primeiro calculamos a taxa efetiva mensal, usando a regra de trs:

24% --- 12 meses

i --- 1 ms

12 = 24 = 2% A taxa efetiva de 2% ao ms.

Agora precisamos calcular a taxa efetiva em outras periodicidades.

Vamos testar a letra A (taxa semestral).

Vamos criar dois investimentos equivalentes.

1 investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa de 2% a.m., durante seis meses.




2 investimento: aplicamos R$ 1,00 a uma taxa is, semestral, durante seis meses.

Temos:

1,02 = 1 + 1 + = 1,126162 = 12,6262%

Achamos a alternativa correta.

Gabarito: A


Um financiamento no valor de R$ 100.000,00 possui uma carncia de 18 meses, incidindo sobre o valor financiado, nesse prazo, uma taxa de juros compostos de 1% ao ms. Calcule o valor mais prximo do saldo devedor ao fim do prazo de carncia.

a) R$ 100.000,00

b) R$ 112.000,00

c) R$ 112.683,00

d) R$ 119.615,00

e) R$ 118.000,00

Resoluo:

Aplicao direta da frmula de montante para o regime composto:

= 1 + = 100.000 1,01 = 100.000 1,196147 = 119.614,70

Gabarito: D


Um capital aplicado taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalizao mensal. Qual a taxa anual efetiva de aplicao desse capital, em porcentagem, aproximada at centsimos?

a) 26,82%

b) 26,53%

c) 26,25%

d) 25,97%

e) 25,44%

Resoluo:

Para converter uma taxa nominal em efetiva, usamos regra de trs.




24% ---- 12 meses

im ---- 1 ms

24% = 12 = 2% Tendo a taxa efetiva mensal (im), podemos calcular a taxa efetiva anual (ia). Basta criarmos dois investimentos equivalentes:

1 + = 1 + = 1,02 = 1,268242

= 26,82% Gabarito: A

Questo 34 SEFAZ PA 2002[ESAF]

A taxa nominal de 12% ao semestre com capitalizao mensal equivalente taxa de

a) 6% ao trimestre.

b) 26,82% ao ano.

c) 6,4% ao trimestre.

d) 11,8% ao semestre.

e) 30% ao ano.

Resoluo:

Exerccio idntico ao anterior. A taxa efetiva mensal ser, novamente, igual a 2%. A taxa anual ser de 26,82%.

Gabarito: B

Questo 35 SEFAZ SP 2009 [ESAF]

Suponha que um carro perde por ano 20% de seu valor em relao ao ano anterior, uma moto perde por ano 30% de seu valor em relao ao ano anterior e uma bicicleta perde por ano 10% de seu valor em relao ao ano anterior. Alm disso, suponha que o carro custa o dobro de uma moto e uma moto o dobro de uma bicicleta. Sendo assim, ao final de 5 anos:

a) nenhum dos 3 valer nada.

b) o carro valer mais que a moto e a moto valer mais que a bicicleta.

c) apenas a bicicleta valer algo.

d) a bicicleta valer mais que o carro.

e) a bicicleta valer mais que a moto.

Resoluo:




O exerccio nem propriamente de juros, mas vejam como podemos aproveitar o que aprendemos em matemtica financeira, para facilitar as contas:

Vamos jogar valores. O carro vale 400,00, a moto vale 200,00 e a bicicleta vale 100,00.

O carro vai perdendo 20% de seu valor por ano, em relao ao ano anterior.

Assim, ao final do primeiro ano ele vale 8,0400 . Ao final do segundo ano ele vale 28,0400 . E assim por diante. Ao final do quinto ano ele vale:

58,0400

De forma anloga, a moto valer, ao final de 5 anos, o equivalente a:

57,0200

Do mesmo modo, a bicicleta valer, ao final de cinco anos:

59,0100

Algumas alternativas podem ser riscadas de imediato. Notem que os trs valores acima so diferentes de zero. Assim, a letra A est errada, pois afirma que os trs valores so nulos.






A alternativa C tambm est errada, pois afirma que o carro e a moto no valero nada, o que falso.






Comparando o carro com a moto, com certeza o carro valer mais que a moto. Isso porque ele tem um preo de partida maior (400 maior que 200). Em segundo lugar, ele se desvaloriza menos que a moto.

Assim, ao final dos cinco anos, teremos:

valor do carro > valor da moto

Agora precisamos saber da bicicleta. A bicicleta tem um valor de partida menor que os outros dois veculos. Ela vale, inicialmente, apenas 100,00. Acontece que ela se desvaloriza bem menos. Ela se desvaloriza apenas 10% ao ano. Assim, pode ser que, ao final de cinco anos, ela tenha um valor maior que o do carro ou da moto.




Caso, ao final de cinco anos, a bicicleta valha mais que o carro (e, consequentemente, mais que a moto), ento as letras D e E estariam corretas. Mas isso no possvel, pois s h uma alternativa correta. Assim, a bicicleta no vale mais que o carro.

valor do carro > valor da bicicleta

Com isso, descartamos a letra D.






Ficamos entre as alternativas B e E. Para saber qual delas a correta, falta comparar a bicicleta com a moto.

=

= 5

5

7,02009,0100

_

_

motovalorbicicletavalor

= 5

795,0

= 528,15,0

E agora usamos a matemtica financeira para facilitar as contas.

No clculo de 1,285, como se tivssemos um capital de R$ 1,00, aplicado a uma taxa de 28% ao perodo, durante 5 perodos, fornecendo um montante de 1,285.

Se o regime fosse de juros simples, teramos (1 + 0,28 x 5), e o resultado seria menor, pois o montante para juros simples menor que o montante para juros compostos.

Logo:

528,15,0 > )528,01(5,0 + = 1,2 Trocamos uma potncia por uma multiplicao, que bem mais rpida.

A relao entre o valor da bicicleta e o valor da moto maior que 1. Logo, a bicicleta vale mais que a moto.

valor do carro > valor da bicicleta > valor da moto

Gabarito: E


Um capital C aplicado taxa de juros compostos de 2% ao ms. Qual o valor mais prximo do montante ao fim de um ano e meio?

a) 1,27C




b) 1,43C

c) 1,37C

d) 1,40C

e) 1,32C

Resoluo:

= 1 + Em um ano e meio temos 18 meses:

= 1,02 = 1,428 1,43 Gabarito: C


Sendo C o valor aplicado, i a taxa efetiva anual de juros, t o nmero de meses ao final do qual ser sacada tanto a aplicao, quanto o seu rendimento, podemos afirmar que este montante dado (calculado) pela seguinte formulao:

a) = Cit / 100.

b) = C x (1 + i)t , se a capitalizao dos juros for mensal.

c) = C x (1 + i) x t, se a capitalizao dos juros for mensal.

d) = C x (1 + i)t 1) / ((1 + i)t x i), se a capitalizao for mensal e no incio de cada ms.

e) = C x (1 + i)t 1) / ((1 + i)t-1 x i), se a capitalizao for mensal e no final de cada ms.

Resoluo:

Letra A: errada. A frmula apresentada fornece o juro, no caso de regime simples.

Letra B: errada. A taxa est ao ano e o perodo est em meses. Ento no podemos aplicar a frmula desse jeito. No gabarito preliminar, foi indicada a letra B. No sei se a questo foi anulada.

Gabarito: B

Letra C: errada. No regime simples, o montante fica:

= 1 + O nmero de anos (n) dado pelo nmero de meses (t), dividido por 12:

= 1 + 12

Letra D: errada. Se a capitalizao for mensal, o montante fica:

= 1 + Letra E: errada, vimos que o montante dado por:




= 1 +


Um cliente tomou um emprstimo de R$ 1.000.000,00, com juros anuais de 12% a. a. e prazo de 15 anos para liquidar a dvida. Podemos afirmar que:

a) se os juros forem de capitalizao composta, o saldo devedor ser crescente.

b) se os juros forem de capitalizao simples, o saldo devedor ser crescente.

c) o montante amortizado ser maior nos primeiros anos, se os juros forem de capitalizao simples.

d) o saldo devedor sempre maior que o valor amortizado.

e) se a capitalizao for anual, assim como a correo monetria e o reajuste das parcelas, o saldo devedor decrescente.

Resoluo:

Na minha opinio, desde que no sabemos como so calculadas as prestaes, no temos como afirmar o que ocorrer com o saldo devedor, nem com a amortizao, nem com os juros. Assim, no poderamos assinalar qualquer alternativa.

Mas vamos l, vamos tentar marcar alguma coisa.

Nos sistemas de amortizao mais conhecidos (Price, SAC, Sacre), de fato, o saldo devedor decrescente. Assim, estaria correta a letra E.

Gabarito: E

Mas ainda acho que caberia a anulao. Poderamos muito bem criar um sistema de amortizao em que o saldo devedor aumentasse, inicialmente, e depois fosse reduzido.

Ou ento, lembremos do sistema americano, onde o saldo devedor aumenta, de incio. Depois, nos dias em que temos os pagamentos das prestaes, so pagos os juros, e o saldo devedor volta ao seu valor inicial. E, quando da ltima prestao, pagamos novamente uma parcela de juros, somada com a amortizao integral da dvida.


A taxa equivalente taxa nominal de 18% ao semestre com capitalizao mensal de

a) 26,82% ao ano.

b) 36% ao ano.

c) 9% ao trimestre.

d) 18% ao semestre.

e) 9,2727% ao trimestre.




Resoluo:

A taxa de 18% a.s. nominal. Para converter na taxa efetiva mensal, usamos regra de trs:

18%

6= 3%

A taxa efetiva de 3% a.m.

Agora vamos testar as alternativas.

Letra A: se estivssemos no regime simples, a taxa anual seria de 3% 12 = 36%

No regime composto, h juros sobre juros. Logo, a taxa efetiva anual seria ainda maior. Logo, no pode ser 26,82%

Letra B: J vimos que no regime composto a taxa seria maior que 36% ao ano. Alternativa errada.

Letra C: Se estivssemos no regime simples, a taxa trimestral seria de: 3% 3 = 9%

No regime composto, h juros sobre juros. Logo, a taxa efetiva trimestral seria ainda maior. Logo, no pode ser 9%

Letra D: Se estivssemos no regime simples, a taxa semestral seria de: 3% 6 = 18%

No regime composto, h juros sobre juros. Logo, a taxa efetiva trimestral seria ainda maior. Logo, no pode ser 18%

Por excluso, assinalamos a alternativa E.

Gabarito: E

A taxa efetiva trimestral (it) tal que:

1 + = 1,03 = 1,092727 = 9,2727%


Um capital aplicado a juros compostos durante trs perodos e meio a uma taxa de 10% ao perodo. Obtenha o montante em relao ao capital aplicado considerando a conveno linear.

a) 135%

b) 136,825%

c) 137,425%

d) 139,755%

e) 142%

Resoluo:

Na conveno linear, consideramos juros compostos na parte inteira do prazo e juros simples na parte fracionria:




= 1 + 1 + = 1,1 1 + 0,5 0,1

= 1,331 1,05 = 1,39755 = 139,755%

Gabarito: D


No sistema de juros compostos, o Banco X oferece uma linha de crdito ao custo de 80 % ao ano com capitalizao trimestral. Tambm no sistema de juros compostos, o Banco Y oferece a mesma linha de crdito ao custo dado pela taxa semestral equivalente taxa cobrada pelo Banco X. Maria obteve 100 unidades monetrias junto ao Banco X, para serem pagas ao final de um ano. Mrio, por sua vez, obteve 100 unidades monetrias junto ao Banco Y para serem pagas ao final de um semestre. Sabendo-se que Maria e Mrio honraram seus compromissos nos respectivos perodos contratados, ento os custos percentuais efetivos pagos por Maria e Mrio, foram, respectivamente, iguais a:

a) 320 % ao ano e 160 % ao semestre.

b) 120 % ao ano e 60 % ao semestre.

c) 72,80 % ao ano e 145,60 % ao semestre.

d) 240 % ao ano e 88 % ao ano.

e) 107,36 % ao ano e 44 % ao semestre.

Resoluo:

No investimento de Maria a taxa nominal de 80% ao ano. Esta taxa no efetiva, pois seu perodo no coincide com o perodo de capitalizao, que trimestral. Fazendo a regra de trs, temos que a taxa trimestral efetiva de 20%.

O exerccio pergunta qual a taxa efetiva paga por Maria. Como vimos acima, esta taxa efetiva de 20% ao trimestre.

Olhando para as alternativas, todas elas trazem taxas anuais.

E agora?

Precisamos passar a taxa de 20% ao trimestre, efetiva, para uma taxa anual, tambm efetiva.

Como fazer?

Regra de trs?

No, nunca faa isso! A regra de trs s pode ser usada em juros compostos para convertemos uma taxa efetiva em nominal (e vice-versa).




Para convertemos uma taxa efetiva em outra tambm efetiva a regra de trs no funciona, pois, em juros compostos, o montante no proporcional ao nmero de perodos (esta relao, na verdade, exponencial).

Vamos ento construir dois investimentos equivalentes.

No primeiro, investimos R$ 1,00, durante 4 trimestres (= 1 ano), a uma taxa de 20% ao trimestre. O montante obtido ser:

42,11=M

No segundo, investimos tambm R$ 1,00, durante 1 ano, a uma taxa k ao ano.

1)1(1 kM += Se os dois montantes forem os mesmos, teremos investimentos equivalentes. Em ambos, partindo de R$ 1,00, aplicado durante um ano (=4 trimestres), obtivemos o mesmo montante. Se isso ocorrer, dizemos que a taxa anual k equivalente taxa de 20% ao trimestre. Ambas so efetivas, pois ambas podem entrar na frmula do montante (a primeira entra quando o prazo estiver em anos; a segunda, quando o prazo estiver em trimestres).

Logo:

%36,1070736,110736,212,12,11 44 =====+ kkk

Com isso, j conseguimos marcar a letra E.

Apenas para praticarmos, vamos calcular a taxa efetiva de Mrio.

Como Mrio paga uma taxa equivalente de Maria, ento tambm igual a 20% ao trimestre. Vamos achar a taxa semestral, que equivalente a 20% ao trimestre.

Para tanto, basta criarmos dois investimentos equivalentes. No primeiro, aplicamos R$ 1,00, durante 2 trimestres (=1 semestre), a uma taxa de 20% ao trimestre. No segundo, aplicamos R$ 1,00, a uma taxa i ao semestre, durante 1 semestre. Em seguida, igualamos os montantes:

%44144,1)1(2,1 12 =+=+= iii (ao semestre) Gabarito: E


Metade de um capital foi aplicada a juros compostos taxa de 3% ao ms por um prazo de doze meses enquanto a outra metade foi aplicada taxa de 3,5% ao ms, juros simples, no mesmo prazo de doze meses. Calcule o valor mais prximo deste capital, dado que as duas aplicaes juntas renderam um juro de R$ 21 144,02 ao fim do prazo.

a) R$ 25 000,00.

b) R$ 39 000,00.

c) R$ 31 000,00.

d) R$ 48 000,00.




e) R$ 50 000,00.

Resoluo:

Vamos separar os capitais. O capital investido a juros compostos C1. E o capital investido a juros simples C2. O montante obtido a partir do capital C1 M1. E o montante obtido a partir do capital C2 M2.

O primeiro capital foi obtido por meio de um investimento em que a taxa de juros de 3% ao ms. Portanto, ao final de 12 meses, o montante fica:

( )niCM += 111 ( )1211 03,01+= CM

Usando a tabela I fornecida ao final da aula, temos:

43,1425760887,1)03,01( 12 =+ Portanto:

43,111 = CM

O segundo capital foi investido a juros simples. O montante obtido ao final de 12 meses :

)1(22 niCM += 42,1)12035,01( 222 =+= CCM

Seja C o capital total investido.

21 CCC +=

Sabemos que C1 corresponde a 50% do capital investido. Logo:

CC = 5,01

Sabemos que C2 corresponde a 50% do capital investido. Portanto:

CC = 5,02

O montante total obtido ao final de doze meses de:

21 MMM +=

Substituindo os valores dos montantes:

=M + 43,11C 42,12 C

Substituindo os valores dos capitais:

=M + 43,15,0 C 42,15,0 C

=M C 5,085,2

CM = 425,1

Mas o exerccio informou os juros.




JCM += Substituindo os valores:

02,144.21425,1 += CC

02,144.21425,0 = C

750.49C A questo pediu para que marcssemos o valor mais prximo do capital. O valor mais prximo o da letra E.

Gabarito: E.


Qual o valor mais prximo da taxa equivalente taxa nominal de 48% ao ano com capitalizao mensal?

a) 3,321% ao ms.

b) 24% ao semestre.

c) 26,532% ao semestre.

d) 10,773% ao trimestre.

e) 8,825% ao bimestre.

Resoluo:

Aplicando a regra de trs.

48% corresponde a 12 meses (=1 ano)

i corresponde a 1 ms

48% ---- 12

i ----- 1


%4121%48 == ii A taxa efetiva de 4% ao ms. Esta a taxa real, efetiva, pra valer. a taxa de juros compostos que usada para calcular a dvida.

Dizemos que a taxa efetiva de 4% ao ms, com capitalizao mensal. Agora sim: observem como o perodo da taxa coincide com o perodo de capitalizao.

Mas tem um probleminha. No h alternativa que contemple esta resposta. A nica alternativa que contm uma taxa mensal a letra A. E o valor nela indicado bem diferente de 4% ao ms. Descartamos a letra A.

As demais alternativas tm outros perodos de taxa.




Vamos calcular a taxa semestral que equivale taxa de 4% ao ms. Esta taxa semestral tambm ser efetiva.

Para tanto, vamos criar dois emprstimos equivalentes.

Primeiro emprstimo: tomamos emprestado R$ 100,00. A taxa de 4% ao ms (juros compostos). Qual a dvida ao final de seis meses?

niCM )1( += 6)04,01(100 +=M


53,1262653,1100 ==M

Segundo emprstimo: tomamos emprestado R$ 100,00. A taxa de k ao semestre. Ao final de seis meses a dvida de R$ 126,53. Este segundo emprstimo equivalente ao primeiro. Ambos, a partir de R$ 100,00, aps o mesmo prazo de seis meses, resultam numa dvida de R$ 126,53.

niCM )1( += 1)1(10053,126 k+=

)1(2653,1 k+= %53,262653,0 ==k

A taxa de 26,53% ao semestre equivalente taxa de 4% ao ms. As duas so taxas efetivas. Podem ser utilizadas para clculo da dvida.

Este valor est indicado na letra C.

Gabarito: C.

Questo 44 SEFAZ PA 2002 [ESAF]

Um capital aplicado a juros compostos durante dois perodos e meio a uma taxa de 20% ao perodo. Calcule o montante em relao ao capital inicial, considerando a conveno linear para clculo do montante.

a) 150%

b) 157,74%

c) 158,4%

d) 160%

e) 162%

Resoluo:

niCM )1( += 5,2)2,01( += CM




Temos um expoente com valor que no inteiro. O exerccio pediu para usarmos a conveno linear. Ou seja, vamos usar uma frmula que mistura juros simples e juros compostos.

)1()1( iqiCM z ++= O prazo igual a 2,5. A parte inteira de 2 (z = 2). E a parte fracionria igual a 0,5 (q = 0,5).

)2,05,01()2,01( 2 ++= CM CCM == 584,11,144,1

S que o exerccio no pediu o valor do montante. Pediu o montante em relao ao capital inicial.

Relao tem a ver com diviso. Ou seja, o exerccio pediu a diviso entre o montante e o capital inicial.

%4,158584,1584,1 ===C

CCM

Gabarito: C.

Questo 45 PREFEITURA DE NATAL 2008 [ESAF]

Duas pessoas fizeram uma aplicao financeira. A pessoa A aplicou R$ 100.000,00, taxa efetiva de juros de 0,5% a. m. e a pessoa B aplicou R$ 50.000,00, taxa nominal de 6% a. a. Em ambos os casos as capitalizaes so mensais e os juros sero pagos junto com o principal. Ao final de 1 (um) ano podemos afirmar que:

a) O juro recebido pela pessoa A maior do que o juro recebido pela pessoa B.

b) No h proporcionalidade entre juros de A e B.

c) A taxa efetiva de juros de A maior do que a taxa efetiva de B.

d) A taxa nominal de B maior do que a taxa nominal de A.

e) Os montantes finais so iguais.

Resoluo:

A taxa para a pessoa A de 0,5% ao ms.

A taxa para a pessoa B de:

6%

12= 0,5%

As duas taxas coincidem.

Assim, receber maior juro a pessoa que aplicar o maior capital. Logo, A recebe mais juros.

Gabarito: A




5. DESCONTO COMPOSTO


Um ttulo sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais prximo do valor descontado do ttulo, considerando que a taxa de desconto de 5% ao ms.

a) R$ 25.860,72

b) R$ 28.388,72

c) R$ 30.000,00

d) R$ 32.325,90

e) R$ 36.465,18

Resoluo:

O valor do desconto de R$ 6.465,18.

AND =

DAN +=

18,465.6+= AN (equao I)

Lembrando que:

( )niNA+

=

1

Podemos isolar N:

( )niAN += 1 (equao II) Substituindo a equao II na equao I:

( ) 18,465.61 +=+ AiA n ( ) 18,465.605,01 4 +=+ AA


18,465.62155,1 += AA

18,465.62155,0 =A

000.30=A

Gabarito: C.





Um ttulo foi descontado por R$840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao ms.

a) R$ 105,43

b) R$ 104,89

c) R$ 140,00

d) R$ 93,67

e) R$ 168,00

Resoluo:

O valor atual de R$ 840,00. O perodo de antecipao de 4 meses. A taxa de 3% ao ms. Com estes dados, podemos calcular o valor nominal.

( )niNA+

=

1

( )43,01840 +=N


1255,1840 N=

42,945=N

O desconto obtido foi de:

42,10584042,945 === AND

Gabarito: A.

Questo 48 SEFAZ/MG 2005 [ESAF]

Um ttulo no valor nominal de R$ 13.400,00 resgatado seis meses antes de seu vencimento, sofrendo um desconto de R$ 3.400,00 sobre o seu valor nominal. Calcule a taxa de desconto mensal, considerando um desconto composto por dentro.

a) 4,2%

b) 4,5%

c) 5%

d) 5,5%

e) 5,67%

Resoluo:

= = 13.400 3.400 = 10.000




No desconto por dentro, temos:

=

1 +

10.000 =13.400

1 +

1 + =13.400

10.000= 1,34


1,05 = 1,34

Logo:

= 5%

Gabarito: C

Questo 49 MDIC 2002 [ESAF]

Um ttulo deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociao levou a troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de 3% ao ms.

a) R$ 600,00

b) R$ 620,15

c) R$ 624,47

d) R$ 643,32

e) R$ 672,00

Resoluo:

No desconto comercial simples, temos:

=

672 = 4 0,03

=672

4 0,03=

672

0,12= 5.600

No desconto racional composto, temos:

=

1 +

=5.600

1,03

Para evitar fazer essa diviso, vamos fazer o seguinte. Estamos querendo transportar um valor de 5.600, quatro meses para o passado. Podemos criar mais trs pagamentos de




5.600, e aplicar o fator de valor atual. Em seguida, retiramos os trs pagamentos criados. Assim:

= 5.600 % %

= 5.600 3,717098 2,828611

= 5.600 0,888487 4.975

= = 5.600 4.975 = 625

Gabarito: C


Um ttulo descontado por R$ 4.400,00 quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do ttulo considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao ms. (Despreze os centavos, se houver).

a) R$ 4.400,00

b) R$ 4.725,00

c) R$ 4.928,00

d) R$ 4.952,00

e) R$ 5.000,00

Resoluo:

=

1 +

4.400 =

1,03

= 4.400 1,03 = 4.400 1,125508 = 4.952

Gabarito: D

Questo 51 SEFAZ PI 2001 [ESAF]

O valor de uma mquina, a cada ano que passa, diminui 10 % em relao ao valor do ano anterior. Se o valor dessa mquina , hoje, igual a R$ 20.000,00, ento, daqui a trs anos a percentagem equivalente desvalorizao total no perodo desses trs anos ser igual a

a) 10,42%

b) 27,10%

c) 30%

d) 32,20%

e) 40%




Resoluo:

Diminuir algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1 0,1 = 0,9.

Assim, no primeiro ano a mquina passa a valer:

20.000 1 0,1

No segundo ano, seu valor novamente multiplicado por 1 0,1:

20.000 1 0,1

No terceiro ano, seu valor novamente multiplicado por 1 0,1:

20.000 1 0,1

Ou seja, tivemos uma operao de desconto comercial composto.

Continuando:

20.000 0,9 = 14.580

A desvalorizao (ou o desconto) foi de:

= 20.000 14.580 = 5.420

Dividindo a desvalorizao (desconto) pelo valor original (valor nominal), temos o percentual de desvalorizao:

5.420

20.000= 27,1%

Gabarito: B


Um ttulo no valor de face de R$ 1.000,00 deve ser descontado trs meses antes do seu vencimento. Calcule o valor mais prximo do desconto racional composto taxa de desconto de 3% ao ms.

a) R$ 84,86

b) R$ 90,00

c) R$ 87,33

d) R$ 92,73

e) R$ 82,57

Resoluo:

=

1 +

=1.000

1,03

Queremos voltar o valor de 1.000 trs meses no tempo. Para evitar a diviso, criamos mais dois pagamentos e depois exclumos:




= 1.000 % 1.000 %

= 1.000 2,828611 1,913469 = 915,14

O desconto fica:

= = 1.000 915,14 = 84,86

Gabarito: A


Em uma loja de departamentos est sendo oferecida a seguinte promoo: nas compras acima de R$ 5.000,00, o valor parcelado em 5 parcelas mensais, iguais e sucessivas, sendo a primeira em 90 dias. Com base nessa condio e sabendo que a taxa aplicada ao mercado de 2,5% a. m., podemos afirmar financeiramente que:

a) as compras com valores de at R$ 5.000,00, quando parceladas, compensam financeiramente as compras de valores superiores a este valor, indicadas pela promoo.

b) a loja deve fazer mais vezes esta promoo, especialmente em pocas festivas tipo Natal, pois trar um maior volume de vendas e de ganho nas operaes.

c) 10% um desconto possvel para o pagamento a vista.

d) o valor a vista no pode ter desconto, pois no propicia o retorno dos clientes, implicando em prejuzos operao.

e) a loja deve evitar fazer esta promoo, pois, por ter custo financeiro, descapitaliza a empresa, visto que reduz financeiramente seu capital de giro.

Resoluo:

Letra A: as opes vista e a prazo devem ser correspondentes, considerando uma dada taxa de juros. Escolher entre uma e outra depende do perfil do cliente (fatores como: o dinheiro que tem disponvel para pagamento vista, rendimentos que conseguiria numa dada aplicao financeira, etc). Como, em geral, os juros cobrados no mercado so bem mais altos que aqueles conseguidos por aplicaes financeiras mais seguras (como a poupana), prefervel comprar vista.

Letra B: no temos elementos para dizer que esta alternativa correta (ou errada). Fatores como aumento no volume de vendas no so analisados pela matemtica financeira.

Letra C: o pagamento vista deve ter sim um desconto, por conta dos juros que deveriam deixar de cobrar.

Agora nos resta ver se a ordem de grandeza do desconto proposto razovel (10%).

Para facilitar as contas, vamos considerar um desconto comercial simples. Vamos considerar tambm que todos os pagamentos esto no ponto mdio do perodo considerado.

A data zero vai ser a data da compra. O primeiro pagamento ocorre na data 3. Os demais ocorrero nas datas 4, 5, 6 e 7.

O ponto mdio do perodo na data 5.




Com isso, teramos um valor de R$ 5.000,00, referente data 5. Se voltarmos 5 meses no tempo, teremos um desconto:

%5,12000.55%5,2000.5 ==D

O desconto seria de 12,5% sobre o valor da compra (desconto por fora). Com isso, conclumos que um desconto da ordem de 10% possvel.

Letra D: analisando apenas sob o ponto de vista da matemtica financeira, a compra vista sempre deve ter desconto, pois o cliente no pagaria juros.

Letra E: os custos financeiros (=juros) so, evidentemente, repassados ao cliente que, em geral, faz o financiamento junto a uma financeira que tem parceria com a loja.

Gabarito: C


Um ttulo sofre um desconto racional composto dois meses antes do seu vencimento a uma taxa de 5% ao ms. Dado que o valor do desconto R$ 10 000,00, qual o valor mais prximo do valor nominal do ttulo?

a) R$ 100 000,00.

b) R$ 107 561,00.

c) R$ 102 564,00.

d) R$ 97 561,00.

e) R$ 110 000,00.

Resoluo:

AND =

niNN )1(000.10 +=

205,1000.10 NN =

Agora o trabalho braal.

NN = 22 05,105,1000.10

Consultando a tabela I, temos o valor de 1,052.

NN = 1025,11025,1000.10

1025,0025.11 = N

Agora, precisaramos passar o fator 0,1025 dividindo, para acharmos a resposta.

Mas, em geral, multiplicar mais fcil que dividir. Com esta idia, vamos analisar as alternativas.




Precisamos achar um valor de N que, multiplicado por 0,1025, seja igual a 11.205.

Se N fosse 10.000, o produto seria 10.250. Precisamos aumentar um pouco este produto. Portanto, N deve ser um pouquinho maior que 100.000. J descartamos as alternativas A e D.

Nas alternativas restantes, temos as seguintes opes: 107.561,00; 102 564,00; 110 000,00.

Vamos pegar o valor do meio para testar (107.561). Se o produto der igual a 11.205, ns achamos a resposta. Se der menor, ns precisamos aumentar N. Logo, a resposta ser 110.000.

Do contrrio, se der maior, a resposta ser 102.564.

Testando:

= 1025,0561.107 11.025,00

Achamos a resposta. O gabarito letra B.

Gabarito: B

6. INFLAO


A inflao de uma economia, em um perodo de tempo t, medida por um ndice geral de preos, foi de 30%. Assinale a opo que d a desvalorizao da moeda dessa economia no mesmo perodo.

a) 30,00%

b) 23,08%

c) 40,10%

d) 35,30%

e) 25,00%

Resoluo:

Considere que, no incio do perodo, 1 kg de carne custava R$ 10,00. Ao final do perodo, os preos aumentaram 30%. O kg de carne foi para R$ 13,00.

Com uma nota de R$ 10,00, no incio do perodo, comprvamos 1 kg de carne.

Com a mesma nota de R$ 10,00, no final do perodo, compramos:

10

13 0,769

Estamos comprando 231 gramas a menos. Ou ainda, estamos comprando 23,1% menos carne, com a mesma quantidade de dinheiro. Logo, o poder de compra caiu 23,1%.




Gabarito: B


O ndice de inflao no ms de junho foi de 10% e se manteve constante nesse nvel em julho e agosto. Assinale a opo que mais se aproxima da desvalorizao da moeda nesse perodo.

a) 33%

b) 30%

c) 25%

d) 20%

e) 10%

Resoluo:

Considere que, no incio do perodo, 1 kg de carne custava R$ 10,00. Ao final de junho, os preos aumentaram 10%, e foram para 11,00.

No final de julho, outro aumento de 10%:

11 1,1 = 12,10

No final de agosto, outro aumento de 10%:

12,10 1,1 = 13,31

O kg de carne foi para R$ 13,31, no final do perodo.



10

13,31 0,751

Estamos comprando 249 gramas a menos. Ou ainda, estamos comprando 24,9% menos carne, com a mesma quantidade de dinheiro. Logo, o poder de compra caiu 24,9%.

Gabarito: C


O ndice de preos ao consumidor de famlias de classe de renda baixa sofreu um aumento de 11,61% em um semestre e 12% no semestre seguinte. Calcule a perda do poder aquisitivo da renda dessas famlias no ano em questo.

a) 11,61%

b) 12%




c) 20%

d) 23,61%

e) 25%

Resoluo:

Considere que, no incio do perodo, 1 kg de carne custava R$ 10,00.

Ao final do primeiro semestre, os preos aumentaram 11,61%:

10 1,1161 = 11,161

No final do segundo semestre, tivemos aumento de 12%

11,161 1,12 12,50

O kg de carne foi para R$ 12,50, no final do perodo.



10

12,50 0,8

Estamos comprando 200 gramas a menos. Ou ainda, estamos comprando 20% menos carne, com a mesma quantidade de dinheiro. Logo, o poder de compra caiu 20%.

Gabarito: C


Um investidor fez uma aplicao em um ttulo com rentabilidade ps-fixada por um prazo de trs meses a uma taxa de juros simples de 18% ao ano. O ndice de correo a ser aplicado ao montante passou de 80, no incio, a 83,2, no fim do prazo. Qual o valor mais prximo da rentabilidade total do ttulo nesse prazo?

a) 8,5%

b) 7,7%

c) 8%

d) 7,844%

e) 8,68%

Resoluo:

A taxa real foi de 18% ao ano. Vamos passar essa taxa para ao trimestre. Lembrando que um ano corresponde a 4 trimestres.

4 trimestres --- 18%




1 trimestre --- r

4 = 0,18 =0,18

4= 4,5%

A taxa de inflao foi tal que converte um valor de R$ 80,00 em R$ 83,20. Assim:

1 + =83,20

80= 1,04

Logo:

1 + = 1 + 1 +

1 + = 1,04 1,045 = 1,0868

= 8,68%

Gabarito: E

7. EQUIVALNCIA DE CAPITAIS

Questo 59 AFRFB 2002 1 [ESAF]

A quantia de R$ 500.000,00 devida hoje e a quantia de R$ 600.000,00 devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos no poderiam ser honrados, uma negociao com o credor levou ao acerto de um pagamento equivalente nico ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a conveno exponencial para clculo do montante (despreze os centavos).

a) R$ 1.440.000,00

b) R$ 1.577.440,00

c) R$ 1.584.000,00

d) R$ 1.728.000,00

e) R$ 1.733.457,00

Resoluo:

Precisamos transportar o valor de R$ 500.000,00, 2,5 anos para o futuro. Teremos:




= 1 +

= 500.000 1,2,

O exerccio no nos disse quanto vale 1,22,5.

Infelizmente, o candidato ento precisaria de um pouco de criatividade, ou jogo de cintura.

Vejamos:

500.000 1,2, = 500.000 1,2 1,2,

Elevar algo a 0,5 o mesmo que extrair a raiz quadrada.

Mas tirar a raiz quadrada chato, demorado. Seria timo se 1,2 fosse um quadrado perfeito.

Bom, infelizmente, 1,2 no quadrado perfeito. Mas ele muito prximo de 1,21, que sim quadrado perfeito. Ento podemos aproximar:

500.000 1,2 1,2, 500.000 1,2 1,21,

= 500.000 1,44 1,1 = 792.000

A quantia de 600.000,00 est no final do primeiro ano. Ela precisa ser transportada para a data 2,5. Estamos avanando 1,5 anos no tempo:

= 1 +

= 600.000 1,2,

= 600.000 1,2 1,2,

600.000 1,2 1,21,

= 600.000 1,2 1,1 = 792.000

Levando todos os pagamentos para a data 5 (dentro de 2 anos e meio), o valor total da dvida seria de:

792.000 + 792.000 = 1.584.000

Os valores esto aproximados. Quando trocamos 1,2 por 1,21, ns aumentamos indevidamente os valores dos montantes.

Como ns aumentamos os dois valores de montante, o total da dvida na data 5 um pouco menor que 1.584.000.

E aqui vem o problema. Temos uma alternativa que vale exatamente 1.584.000,00 e outra, muito prxima, que vale 1.577.440,00.

S que o que o exerccio pediu foi para calcular o valor com exatido e, ao final, desprezar os centavos. Desta forma, com certeza a resposta no pode ser a letra C. Se o total da dvida, na data 5, um pouco menor que 1.584.000, ento, desprezando-se os centavos, no temo como dar 1.584.000.

Concluso: a resposta a letra B.




Gabarito: B


Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu h vinte dias, taxa de juros simples de 0,1% ao dia.

a) R$ 10.940,00

b) R$ 11.080,00

c) R$ 12.080,00

d) R$ 12.640,00

e) R$ 12.820,00

Resoluo:

Segue o diagrama de fluxo de caixa:

A data zero representa a data de hoje. A unidade de temo est em dias. O exerccio pede o valor da dvida na data de hoje. Portanto, vamos transportar todos os valores para a data zero.

Comecemos pelo valor de R$ 4.000,00. Ele ser transportado para a direita (avanando a linha do tempo em 20 dias), o que implica em juros. Juros simples, conforme determinado no exerccio.

)1( inCM += O capital de R$ 4.000,00, a taxa de 0,1% ao dia e o prazo de 20 dias.

)001,0201(000.4 +=M 080.4)02,01(000.4 =+=M

Dizemos que R$ 4.080,00 referente data zero corresponde a R$ 4.000,00 referente data -20.

Vamos agora para o valor de R$ 4.620,00. Vamos transport-lo da data 50 para a data zero. Estamos recuando no tempo 50 dias, o que implica desconto. Qual desconto? Desconto racional simples, que o desconto correspondente ao juro simples.




)1( inNA

+=

)001,0501(620.4+

=A

400.4)05,1(620.4

==A

Dizemos que R$ 4.400,00, referente data zero, corresponde a R$ 4.620, referente data 50 (isto considerando uma taxa de juros simples de 0,1% ao dia).

Finalmente, vamos transportar o valor de R$ 3.960 da data 100 para a data zero, voltando no tempo 100 dias, o que implica em desconto.

)1( inNA

+=

600.31,1

960.3)001,01001(

960.3==

+=A

Dizemos que R$ 3.600,00, referente data zero, corresponde a R$ 3.960,00, referente data 100 (isto considerando uma taxa de juros simples de 0,1% ao dia).

Pronto. Transportamos todos os valores para a data zero. Ficamos com:

080.12600.3400.4080.4 =++

Dizemos que o valor de R$ 12.080,00, referente data de hoje (data zero) corresponde a todo o fluxo de caixa inicial (considerando uma taxa de juros simples de 0,1% ao dia ).

Gabarito: C


Uma empresa deve pagar R$20.000,00 hoje, R$10.000,00 ao fim de trinta dias e R$31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela s espera contar com os recursos necessrios dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento nico ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dvida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao ms.

a) R$ 62.200,00

b) R$ 64.000,00

c) R$ 63.232,00

d) R$ 62.032,00

e) R$ 64.513,28

Resoluo:




Segue o diagrama de fluxo de caixa:

A empresa quer substituir todos estes valores por um pagamento na data 2 (ao final de sessenta dias). Vamos transportar todos estes pagamentos para esta data.

Comecemos pelo valor de R$ 20.000,00. Ele est na data zero. Vamos lev-lo para a data 2. Haver incidncia de juros. Que juros? O exerccio disse que so juros compostos.

niCM )1( += 2)04,01(000.20 +=M


00,632.210816,1000.20 ==M

Vamos agora transportar o valor de R$ 10.000,00 da data 1 para a data 2. Estamos avanando no tempo. Haver incidncia de juros, durante 1 ms.

niCM )1( += 00,400.10)04,01(000.10 1 =+=M

Vamos trazer o valor de R$ 31.200,00 da data 3 para a data 2. Estamos transportando um valor para a esquerda (voltando na linha do tempo). Haver desconto. Que desconto? Um desconto composto racional, que o desconto que corresponde ao juro composto.

niAN )1( +=

1)04,01(200.31

+=N

000.30=N

Pronto. J trouxemos todos os valores para a data 2. O valor total da dvida da empresa, referente data 2, :

032.62000.30400.10632.21 =++

Gabarito: D





Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ 100.000,00 pagando 30% a vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for efetuado at seis meses a taxa de juros compostos ser de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado aps seis meses, a taxa de juros compostos ser de 4% ao ms. A empresa resolveu pagar a dvida em duas parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00 no final do quinto ms e a segunda parcela dois meses aps o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, dever ser igual a:

a) R$ 62.065,00

b) R$ 59.065,00

c) R$ 61.410,00

d) R$ 60.120,00

e) R$ 58.065,00

Resoluo:

Antes de comearmos a resolver o exerccio, vamos passar a taxa de 9,2727% ao trimestre para uma taxa mensal.

Para tanto, vamos construir dois investimentos equivalentes.

Primeiro investimento: aplicamos R$ 100,00 a uma taxa de 9,2727% ao trimestre, durante 1 trimestre. Qual o montante obtido?

O montante fica:

niCM )1( += 1)092727,01(100 +=M

2727,109=M

Segundo investimento: aplicamos R$ 100,00 a uma taxa mensal k, durante trs meses, obtendo um montante de R$ 109,2727. Dizemos que esta taxa mensal k equivalente taxa trimestral de 9,2727%.

niCM )1( += 3)1(1002727,109 k+=

092727,1)1( 3 =+ k Vamos consultar a tabela I, fornecida ao final da aula. Precisamos achar um valor de taxa tal que (1+i)3 seja igual a 1,092727. Este valor de taxa de 3%.

Portanto, a taxa de 3% ao ms equivalente taxa de 9,2727% ao trimestre.




Agora podemos continuar resolvendo o exerccio.

O valor financiado foi de R$ 70.000,00. Este valor foi pago em duas prestaes.

Vamos levar todos estes valores para a data zero.

Vamos transportar a primeira parcela da data cinco para a data zero. A operao envolvida de desconto, a taxa de 3% ao ms.

niNA )1( +=

5)03,01(000.30

+=A

Consultando a tabela IV, temos:

5)03,01(000.30

+=A

5%)31(1000.30

+=A

30,878.2586261,0000.30 ==A

Vamos agora transportar o valor X da data 7 para a data zero. Neste ponto, eu tenho algumas crticas questo. Na minha opinio, o enunciado dava margem a uma interpretao bem diferente. Eu no fiz este concurso da Receita. Mas, se fizesse, erraria a questo, por entender que a considerao necessria para resolver a questo no razovel.

A interpretao que leva resposta pretendida pela banca a seguinte: para transportar o valor X da data 7 para a data zero, consideramos que a taxa de desconto de 4%, em todos estes sete meses em que antecipamos o valor da parcela. Isto porque, para qualquer pagamento feito aps seis meses, a taxa de 4% ao ms. Ficaria assim:

niNA )1( +=

7)04,01( +=XA

Pronto. J transportarmos todos os valores para a data zero. A soma destes valores, j tendo como referncia a data zero, tem que ser igual ao valor financiado (=R$ 70.000,00).




000.70878.25)04,01( 7 =++X

=

+ 7)04,01(X

44.122,00


=

31,1X

44.122

=X 57.799,82

Nossos valores esto aproximados. Mas j d para marcar a resposta.

Gabarito: E.

Na minha opinio, a interpretao mais razovel seria outra. Para transportar o valor X, da data 7 para a data zero, deveramos separar em duas partes. Primeiro transportaramos para a data 6, usando uma taxa de 4%. Depois, transportaramos da data 6 para a data zero usando uma taxa de 3%.

Ficaria assim:

603,104,1 X

Usando este procedimento, chegaramos a um resultado que no corresponde a nenhuma das alternativas.


Uma pessoa contraiu uma dvida no regime de juros compostos que dever ser quitada em trs parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencvel no final do terceiro ms; outra de R$ 1.000,00 vencvel no final do oitavo ms e a ltima, de R$ 600,00 vencvel no final do dcimo segundo ms. A taxa de juros cobrada pelo credor de 5% ao ms. No final do sexto ms o cliente decidiu pagar a dvida em uma nica parcela. Assim, desconsiderando os centavos, o valor equivalente a ser pago ser igual a:

a) R$ 2.535,00

b) R$ 2.100,00

c) R$ 2.153,00

d) R$ 1.957,00

e) R$ 1.933,00

Resoluo:

O diagrama de fluxo de caixa :




O enunciado pode ser resumido a: qual o valor do fluxo de caixa na data 6?

Vamos transportar todos os valores para a data 6.

Vamos comear pelos R$ 500,00, que esto na data 3. Vamos transport-los para a direita, avanando trs meses no tempo. Haver juros.

niCM )1( += 3)05,01(500 +=M

Consultando a tabela I para n=3 e i=5% temos: 1,157625.

81,578157625,1500 ==M

Vamos agora transportar a parcela de R$ 1.000,00 da data 8 para a data 6. Estamos voltando dois meses no tempo. Haver um desconto.

niNA )1( +=

2)05,01(000.1

+=A

Consultando a tabela IV para i=5% e n=2 temos: 0,90703

03,90790703,0000.1)05,01(000.1

3ª Lista de Revisão

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