1

MATRICES

Índice

1. Matrices: definición ................................................................................................... 1

2. Tipos de matrices...................................................................................................... 2

3. Operacións con matrices .......................................................................................... 4

3.1. Suma de matrices .............................................................................................. 4

3.2. Diferenza de matrices ........................................................................................ 4

3.3. Produto dun número por unha matriz ................................................................. 5

3.4. Produto de matrices ........................................................................................... 5

4. Produto de matrices cadradas .................................................................................. 8

5. Matriz trasposta ...................................................................................................... 10

6. Matriz inversa ......................................................................................................... 10

6.1. Cálculo da matriz inversa a partir da definición ................................................ 10

6.2. Cálculo da matriz inversa polo método de Gauss............................................. 11

6.3. Aplicacións da matriz inversa ........................................................................... 11

7. As matrices na resolución de problemas ................................................................. 13

7.1. Organización matricial da información .............................................................. 13

7.2. Operacións con matrices. Aplicacións .............................................................. 13

7.3. Operacións con matrices asociadas a un grafo ................................................ 14

1. Matrices: definición

Chámase matriz de orde m x n a unha disposición en táboa rectangular de m x n números reais dispostos en m filas e n columnas.

A =

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

= (aij)

Aos números reais aij chámaselles elementos da matriz. O primeiro subíndice i indica a fila e o segundo j a columna na que se atopa o elemento aij.

Por exemplo, o elemento a32 atópase na terceira fila e segunda columna.

O número de filas e de columnas é a dimensión da matriz e desígnase así: m x n. Se m = n, filas igual a columnas, trátase dunha matriz cadrada de orde n.

As matrices represéntanse así: A = (aij), B= (bij), etc.

2

Por exemplo, a matriz A = (aij) =

8024

6231

054

32

é unha matriz de dimensión

3 x 4 (tres filas e catro columnas) e a13 = 5, a23 = 2 , etc.

Igualdade de matrices

Dúas matrices A e B son iguais se teñen a mesma dimensión (ou a mesma orde, se son cadradas) e ademais son iguais todos os elementos que ocupan o mesmo lugar.

Por exemplo, as matrices A =

ba 0

592 e B =

62

33

6

d

c serán iguais se a = 2,

b = 6, c = –5 e d = 0.

2. Tipos de matrices

Matriz rectangular é aquela matriz na que o número de filas é distinto ao de columnas m ≠ n.

Exemplo de matriz rectangular: A =

954

130

Matriz cadrada é aquela en a que o número de filas é igual ao de columnas m = n.

Exemplo de matriz cadrada: A =

857

634

012

Nunha matriz cadrada chámase diagonal principal ao conxunto dos elementos da forma aii. Na matriz A, a diagonal principal fórmana os elementos –2, 3, –8.

Nunha matriz cadrada chámase diagonal secundaria ao conxunto dos elementos aij con i + j = n + 1. Na matriz A, a diagonal secundaria fórmana os elementos 7, 3, 0; os seus subíndices suman 4.

Matriz fila é unha matriz que ten unha fila; polo tanto, de dimensión 1 x n.

Por exemplo, A = (–1 4 5 0) é unha matriz fila de dimensión 1 x 4.

Matriz columna é unha matriz que ten unha columna; polo tanto, de dimensión m x 1.

Por exemplo, A =

7

2

5

é unha matriz columna de dimensión 3 x 1.

Matriz oposta dunha matriz A é aquela que ten por elementos os opostos de A. Represéntase por –A.

Por exemplo, a oposta da matriz A =

571

204 é a matriz –A =

571

204.

3

Matriz simétrica é unha matriz cadrada que ten os elementos simétricos á diagonal principal iguais; isto é, aij = aji.

Por exemplo, A =

45

52 e B =

943

462

321

son matrices simétricas.

Matriz antisimétrica é unha matriz cadrada que ten opostos os elementos simétricos á diagonal principal; isto é, aij = –aji.

Por exemplo, A =

03

30 e B =

047

403

730

son matrices antisimétricas.

Os elementos da diagonal principal dunha matriz antisimétrica cumpren aii = –aii; é dicir, son números que coinciden cos seus opostos, polo tanto nulos.

Matriz nula é a que ten todos os seus elementos nulos. Denotarase por O = (0).

Por exemplo, as seguintes matrices son nulas: O2 =

00

00 e O2x3 =

000

000.

Matriz diagonal é unha matriz cadrada que ten nulos todos os elementos que non pertencen á diagonal principal.

Por exemplo, as seguintes matrices son diagonais: A =

30

06 e B =

500

040

003

.

Matriz escalar é unha matriz diagonal na que todos os elementos da diagonal son iguais.

Por exemplo, as seguintes matrices son escalares: A =

60

06 e B =

400

040

004

.

Matriz unidade ou identidade é unha matriz escalar na que os elementos da diagonal principal son uns.

Por exemplo, as matrices I2 =

10

01 e I3 =

100

010

001

son matrices identidade de

orde dúas e tres respectivamente.

Matriz triangular é unha matriz cadrada na que todos os elementos situados por debaixo (ou por enriba) da diagonal principal son cero.

Por exemplo, as matrices A =

100

730

432

e B =

861

025

003

son matrices

triangulares.

4

3. Operacións con matrices

3.1. Suma de matrices

Ao conxunto de todas as matrices de dimensión m x n desígnaselle por Mmxn. Nas matrices deste conxunto definense as operacións de sumar e restar. Dadas dúas matrices de Mmxn A= (aij) e B = (bij), chámase suma de ambas á matriz C = (cij) da mesma dimensión cuxo termo xenérico é cij = aij + bij.

A suma de matrices desígnase A + B = (aij + bij). Exemplo:

Dadas as matrices A =

745

213 e B =

053

102 de orde 2x3, calcular A + B.

A + B =

745

213 +

053

102 =

075435

120123 =

718

315

A suma de matrices (aij + bij) obtense ao sumar os elementos que ocupan o mesmo lugar nunha e noutra matriz.

Propiedades da suma

Asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B e C de Mmxn cúmprese a igualdade (A + B) + C = A + (B + C)

Existencia da matriz nula en Mmxn. A matriz O = (0) é tal que A + O = A.

Existencia da matriz oposta. Dada a matriz A de Mmxn existe a matriz oposta –A da mesma orde, de modo que A + (–A) = O.

Conmutativa. Para todo par de matrices A e B de Mmxn cúmprese a igualdade A + B = B + A.

3.2. Diferenza de matrices

A diferenza de matrices A e B do conxunto Mmxn represéntase por A – B e obtense sumando ao minuendo o oposto do subtraendo; é dicir, A – B = A + (–B). Exemplo:

Dadas as matrices A =

745

213 e B =

053

102 de orde 2 x 3, calcular A – B.

A – B =

745

213 –

053

102 =

075435

120123 =

792

111

A diferenza de matrices (aij) – (bij) = (aij – bij) obtense ao restar elementos que ocupan o mesmo lugar nunha e noutra matriz.

5

3.3. Produto dun número por unha matriz

Calquera que sexan o número real k e a matriz A = (aij) do conxunto Mmxn, chámase produto de k por A, á matriz B = (bij) da mesma dimensión que A e cuxo termo xenérico é bij = k·aij.

O produto dun número por unha matriz k(aij) obtense ao multiplicar por k cada elemento de A= (aij). Exemplo:

Dada a matriz A =

534

102 de orde 2 x 3, calcular k·A.

k·A = 5·

534

102 =

553545

150525 =

251520

5010

Propiedades do produto dun número por unha matriz

Calquera que sexan as matrices A e B do conxunto Mmxn e os números reais λ e μ, verifícase:

Distributiva respecto da suma de matrices: λ(A + B) = λA + λB

Distributiva respecto da suma de escalares: (λ + μ)A = λA + μA

Asociativa respecto dos escalares: λ(μA) = (λμ)A

Elemento unidade: 1·A = A

3.4. Produto de matrices

Para multiplicar matrices, os matrices factores deben reunir algúns requisitos que se describirán neste apartado.

a) Produto dunha matriz fila por unha matriz columna

Sexan A unha matriz cunha fila e n columnas e B unha matriz con n filas e unha columna:

A = naaa ...21 e B =

nb

b

b

...

2

1

O produto da matriz fila A con n columnas pola matriz columna B con n filas é a matriz C = A·B cunha fila e unha columna; é dicir, un número c = a1·b1 + a2·b2 + ... + an·bn.

Polo tanto, A·B = C = (c) =

n

i

ii ba1

.

Hai que facer notar que, para poder multiplicar A e B, o número de columnas do primeiro factor A debe ser igual ao número de filas do segundo factor B.

6

Exemplo:

Sexan A = 412 unha matriz con unha fila e 3 columnas e B =

1

2

4

unha matriz

con 3 filas e unha columna. Achar a matriz produto.

A·B = 412 ·

1

2

4

= (2·4 + 1·2 + 4·(–1)) = 6

O resultado é unha matriz de orde 1 x 1; polo tanto, un número.

Regra: Obsérvase que para realizar o produto déixase caer a matriz fila A na matriz columna B; multiplícanse os elementos enfrontados e súmanse os resultados. b) Produto de dúas matrices calquera

Sexan A unha matriz do conxunto Mmxn, e B unha matriz do conxunto Mnxp; as columnas de A coinciden coas filas de B (neste caso n).

O produto de matrices A do conxunto Mmxn e B do conxunto Mnxp é outra matriz C do conxunto Mmxp con m filas (as do primeiro factor A) e p columnas (as do segundo factor B), cuxos elementos se calculan así:

O elemento cij da matriz produto C é o resultado de multiplicar a fila i da matriz A pola columna j da matriz B consideradas ambas como matrices fila e columna respectivamente.

A expresión do elemento cij da matriz produto C será:

cij = inii aaa ...21 ·

nj

j

j

b

b

b

...

2

1

= (ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj) =

nk

k

kjik ba1

Exemplo:

Dadas as matrices A =

314

012 e B =

51

24

32

:

a) Indicar a dimensión da matriz produto. b) Calcular A·B. a) A dimensión de A é 2 x 3. A dimensión de B é 3 x 2. Como o número de columnas de A, tres, coincide co de filas de B, as matrices pódense multiplicar e ademais a dimensión da matriz produto é 2 x 2; isto é, número de filas do primeiro factor e número de columnas do segundo factor.

b) As notacións que se empregaron no desenvolvemento do produto de matrices pódense simplificar, mediante a seguinte regra.

7

Regra: Os elementos da matriz produto obtéñense ao deixar caer os elementos das filas da matriz primeiro factor sobre as columnas da matriz segundo factor; multiplicar os elementos que quedaron enfrontados e finalmente sumalos.

A·B =

314

012·

51

24

32

=

532134134124

502132104122 =

2515

48

Propiedades do produto de matrices

O produto de matrices ten as propiedades seguintes:

Propiedade asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B, C nos casos que se poidan multiplicar as tres matrices. É dicir, se A é do conxunto Mmxn, ou de dimensión m x n, B é do conxunto Mnxp, ou de dimensión n x p e C é do conxunto Mpxq, ou de dimensión p x q, entón:

(A·B)·C = A·(B·C)

Propiedade distributiva. Dadas as matrices A do conxunto Mmxn, ou de dimensión m x n; B e C do conxunto Mnxp, ou de dimensión n x p cúmprese:

A·(B + C) = A·B + A·C

O produto de matrices non é en xeral conmutativo; é dicir, A·B ≠ B·A.

a) Hai casos nos cales é posible efectuar A·B, e non B·A.

Por exemplo, se A2x3 =

130

321 e B3x1 =

0

1

2

, entón tense:

A2x3·B3x1 =

130

321·

0

1

2

=

011320

031221 =

3

0

Non é posible efectuar B3x1·A2x3; B ten unha columna e A ten dúas filas; ambos os números non coinciden.

b) Nos casos en que é posible efectuar A·B e B·A, non sempre dan o mesmo resultado. Ás veces nin sequera son da mesma dimensión.

Por exemplo, se A2x3 =

420

231 e B3x2 =

51

42

01

, entón tense:

A2x3·B3x2 =

420

231·

51

42

01

=

544200142210

524301122311 =

280

225

B3x2·A2x3 =

51

42

01

·

420

231 =

452125310511

442224320412

402120310011

=

8

=

1871

20142

231

4. Produto de matrices cadradas

O produto de matrices cadradas merece atención especial posto que as matrices cadradas do conxunto Mnxn, ou de orde n, multiplícanse entre si e o resultado é unha matriz do conxunto Mnxn, ou de orde n.

Por exemplo, o produto de dúas matrices de orde dúas é outra matriz de orde dúas, como se indica a continuación:

04

12·

20

13 =

412

46

En canto ás propiedades é evidente que seguen conservando as propiedades asociativa do produto e distributiva do produto respecto da suma, pero débense destacar outras propiedades.

En canto á propiedade conmutativa sempre é posible o dobre produto A·B e B·A, pero en xeral o resultado será diferente, como se indica no exemplo seguinte:

Se A =

20

04 e B =

31

21, entón A·B =

62

84 e B·A =

64

44; obsérvase

que A·B ≠ B·A.

O produto de matrices cadradas posúe elemento unidade e é a matriz identidade In; se A é unha matriz cadrada de orde n, tense:

In·A = A·In

A matriz unidade de orde dúas será: I2 =

10

01.

Potencias de matrices cadradas

Como se viu, o produto de dúas matrices cadradas é outra do mesma orde; isto fai que unha matriz póidase repetir como factor cantas veces precísese, dando lugar ás potencias de matrices, así:

A·A = A2, A·A·A = A3, ..., A·A... n veces ...·A = An A expresión da potencia n-sima dunha matriz débese xustificar para o que se aplica o chamado principio de indución.

Este método emprégase para probar que unha proposición P(n) é certa para todos os números naturais. Procédese en dúas etapas: 1) Verifícase que a proposición que se quere probar é certa para o primeiro número natural. 2) (Fase de indución). Supoñendo que a proposición P(n) é certa para un número natural calquera, demostrarase que tamén o é para o seguinte.

9

Exemplo:

Dada a matriz A =

101

011

001

, determinar e xustificar a expresión de An. A partir da

potencia n-sima calcular A100. Comézase por calcular as primeiras potencias da matriz A.

A2 = A·A =

101

011

001

·

101

011

001

=

102

012

001

A3 = A·A2 =

101

011

001

·

102

012

001

=

103

013

001

Nestas potencias os elementos a21 e a31 coinciden co valor do expoñente da potencia respectiva, polo que enunciase a seguinte regra que dá forma ás potencias deste exemplo:

“Os valores dos elementos a21 e a31 das potencias da matriz A =

101

011

001

coinciden

co valor do expoñente da potencia.”

Regra que se formula: An =

10

01

001

n

n .

Demostración da regra:

A regra cúmprese para n = 1: A1 = A =

101

011

001

.

Supóñase que se cumpre para n = p: Ap =

10

01

001

p

p .

Véxase que se cumpre para o seguinte a p que é p + 1:

Ap+1 = Ap·A =

10

01

001

p

p .

101

011

001

=

101

011

001

p

p

A regra cúmprese, logo a súa formulación foi correcta.

Aplicación: Para n = 100, A100 =

10100

01100

001

.

10

5. Matriz trasposta

Dada unha matriz A do conxunto Mmxn, chámase matriz trasposta de A, e represéntase At, á matriz que resulta de cambiar as filas polas columnas na matriz A.

Da definición dedúcese que se A pertence ao conxunto Mmxn, a súa trasposta At pertence ao conxunto Mnxm.

Por exemplo, a trasposta de A =

842

013 é At =

80

41

23

.

A dimensión de A é 2 x 3 e a dimensión de At é 3 x 2. Propiedades da transposición:

a) A trasposta da trasposta é a matriz inicial: (At)t = A.

b) A matriz trasposta dunha suma é igual á suma das traspostas dos sumandos: (A + B)t = At + Bt

c) Se λ é un número real, entón (λ·A)t = λ·At.

d) A trasposta do produto é igual á trasposta do segundo factor pola trasposta do primeiro factor: (A·B)t = Bt·At.

e) Se A = (aij) é unha matriz simétrica At = A. En efecto, se A é simétrica, cúmprese aij = aji, polo tanto, cámbiase de notación e resulta At = A.

6. Matriz inversa

Dada unha matriz cadrada A de orde n, non sempre existe outra matriz B chamada matriz inversa de A, tal que A·B = B·A= In.

Cando existe a matriz B, dise que é a matriz inversa de A e represéntase A–1; é dicir, A·A–1 = A–1·A = In. As matrices cadradas que teñen inversa chamáselles matrices regulares. As matrices cadradas que non teñen inversa chámanse matrices singulares.

6.1. Cálculo da matriz inversa a partir da definición

Dada a matriz cadrada de orde dúas A =

21

74, vaise calcular a súa inversa.

Trátase de calcular unha matriz

uz

yx que cumpra:

21

74·

uz

yx =

10

01.

Efectúase o produto:

uyzx

uyzx

22

7474 =

10

01.

A igualdade dos dous termos dá lugar aos sistemas:

02

174

zx

zx e

12

074

uy

uy.

As solucións dos sistemas son: x = 2, z = –1, y = –7, u = 4.

A matriz inversa será A–1 =

41

72.

11

6.2. Cálculo da matriz inversa polo método de Gauss

No método de Gauss para o cálculo da matriz inversa de A, cando exista, pártese da matriz (A I In) e mediante as transformacións que se indican a continuación chégase á matriz (In I B); entón a matriz B = A–1 é a inversa de A.

As transformacións que se poden aplicar son as seguintes:

Cambiar as filas de lugar.

Multiplicar unha fila por un número distinto de cero.

Sumar a unha fila outra multiplicada por un número. Exemplo:

Achar a inversa da matriz M =

21

53 e comprobar o resultado.

Engádeselle á matriz M a matriz unidade, así:

(M I I) =

10

01

21

53

FF ª2ª1

01

10

53

21

FF ª13ª2

31

10

10

21

Fª21

31

10

10

21 FF ª22ª1

31

52

10

01

A matriz inversa é M–1 =

31

52.

Comprobación:

21

53·

31

52 =

31

52·

21

53 =

10

01.

6.3. Aplicacións da matriz inversa

As operacións con matrices e en particular o cálculo da matriz inversa permiten resolver situacións problemáticas nas que aparecen matrices.

A continuación desenvolveranse algunhas situacións para cuxa resolución se precisa realizar operacións (calcular a matriz inversa, multiplicar...) das estudadas. Estas situacións chámanse ecuacións matriciais; resólvense cos mesmos principios que as ecuacións con coeficientes e variables de números reais, tendo en conta algunhas das seguintes consideracións:

Algunhas matrices non teñen inversa.

O produto de matrices non é conmutativo; polo que á hora de multiplicar os dous membros dunha igualdade débese ter en conta que a multiplicación se fai ben pola esquerda ou ben pola dereita en ambos os membros da igualdade.

No caso de ecuacións matriciais que se reducen á forma A·X = B ou X·A = B e A ten inversa; a incógnita X calcúlase respectivamente multiplicando pola esquerda ou pola dereita por A–1 os dous membros da igualdade.

Na ecuación A·X = B, multiplícanse pola esquerda os dous membros por A–1:

A–1·(A·X) = A–1·B ⟹ (A–1·A)·X = A–1·B ⟹ I·X = A–1·B ⟹ X = A–1·B

Na ecuación X·A = B, multiplícanse pola dereita os dous membros por A–1:

(X·A)·A–1 = B·A–1 ⟹ X·(A·A–1) = B·A–1 ⟹ X·I = B·A–1 ⟹ X = B·A–1

12

Exemplo:

Resolver a ecuación matricial A·X + B = C onde A =

62

41, B =

13

20 e

C =

52

64.

A·X + B = C ⟹ A·X = C – B ⟹ A–1·(A·X) = A–1·(C – B) ⟹ X = A–1·(C – B)

Calcúlase a inversa de A polo método de Gauss:

10

01

62

41 FF ª12ª2

12

01

20

41 )2(:ª2 F

2

11

01

10

41 FF ª24ª1

2

11

23

10

01

Logo A–1 =

2

11

23 ou A–1 =

2

1

12

46.

Substitúense as variables polos seus valores e opérase:

X =

2

11

23·

13

20

52

64 =

2

11

23·

45

44 =

62

132022

Ás veces o problema consiste en determinar algúns elementos dunha ou varias matrices que figuran nunha ecuación matricial. Exemplo:

Dada a matriz A =

zy

x1, determinar os valores de x, y e z para que se verifique a

igualdade: At·A =

zx

y1·

zy

x1 =

100

010.

Multiplícanse as matrices e iguálanse as matrices dos dous membros:

zx

y1·

zy

x1 =

22

21

zxyzx

yzxy =

100

010

10

0

0

101

22

2

zx

yzx

yzx

y

⟹

10

0

9

22

2

zx

yzx

y

⟹ Da primeira ecuación y = ±3.

Se y = 3 o sistema

10

03

22 zx

zx ten como solucións z = 1, x = –3 e z = –1, x = 3.

Se y = –3 o sistema

10

03

22 zx

zx ten como solucións z = 1, x = 3 e z = –1, x = –3.

13

As ternas (x, y, z) que verifican a ecuación matricial son: (–3, 3, 1), (3, 3, –1), (3, –3, 1) e (–3, –3, –1).

7. As matrices na resolución de problemas

As matrices aparecen con frecuencia nas ciencias que traballan con datos ordenados, como é o caso das Ciencias Físicas, Económicas e Sociais. A continuación preséntanse algunhas situacións nas que as matrices son de utilidade.

7.1. Organización matricial da información

As matrices de información permiten resumir informacións diversas; entre outras poden estar ligadas a grafos. Exemplo:

As cidades A, B, C e D comunícanse mediante liñas de autobuses de ida e volta como se indica no grafo. Expresar este grafo en forma de matriz.

A cada liña do grafo asígnaselle o valor 1, e 0 á falta de comunicación entre cidades. Con estes criterios resulta a matriz de información:

DCBA

D

C

B

A

0202

2011

0101

2110

7.2. Operacións con matrices. Aplicacións

Cando a información atópase disposta en forma matricial, os resultados de operar con matrices poden dar lugar a novas informacións. Exemplo:

Un construtor opera en tres cidades: Madrid, Sevilla e Valencia, e edifica pisos de dous tipos, A e B. O número de pisos construídos de cada tipo en cada cidade nos anos 2007 e 2008 veñen expresados polas matrices seguintes:

BA BA

Valencia

Sevilla

Madrid

43

74

58

Valencia

Sevilla

Madrid

22

44

46

Pídese: a) Calcular os pisos construídos durante os dous anos de cada tipo e en cada cidade. b) Calcular os pisos que debe construír en 2009, para reducir a produción dos construídos en 2008 á metade.

14

c) Cada piso do tipo A leva 5 portas e 9 xanelas e os do tipo B teñen 3 portas e 7 xanelas. Cantas xanelas e portas se utilizaron en cada cidade para cubrir as necesidades das construcións do ano 2008? Sexan P e Q as matrices asociadas ás construcións dos anos 2007 e 2008 respectivamente.

a) A matriz P + Q informa dos pisos construídos entre os dous anos.

P + Q =

43

74

58

+

22

44

46

=

65

118

914

b) A matriz informa dos pisos para construír durante o ano 2009.

2

1·Q =

2

1·

22

44

46

=

11

22

23

c) Disponse en forma matricial os números de portas P e de xanelas X, que precisan os dous modelos de pisos:

XP

B

A

73

95

Para ver as portas e xanelas que se precisan nas construcións realizadas en Madrid durante o ano 2008 é necesario realizar as operacións seguintes:

6·5 + 4·3 = 42 portas 6·9 + 4·7 = 82 xanelas

Estes cálculos pódense realizar para as dúas cidades restantes pero quedan resumidos mediante o produto de matrices:

22

44

46

·

73

95 =

72923252

74943454

74963456

=

3216

6432

8242

7.3. Operacións con matrices asociadas a un grafo

Os resultados dalgunhas operacións entre matrices asociadas a grafos transmiten novas informacións, sobre as situacións que o grafo describe. Exemplo: Ana, Xulio, Nereida e Ramón comunícanse a través de Internet como se indica no seguinte grafo:

Traducir a información do grafo nunha matriz de información G, calcular G2, G3 e G + G2 e en cada cálculo interpretar os resultados. No grafo A representa Ana, X Xulio, N Nereida e R Ramón.

15

A matriz asociada ao grafo ao asignar o número 1 á frecha do que parte ao que chega será a seguinte:

RNXA

R

N

X

A

0101

1001

0001

1100

Desígnase por G a matriz do grafo.

Calcúlase G2 = G·G =

0101

1001

0001

1100

·

0101

1001

0001

1100

=

2101

1201

1100

1102

.

O elemento a11 = 2 da matriz G2 indica que se comunica con A de dúas formas diferentes a través doutro; estas son A – N – A e A – R – A. O elemento a32 = 0 significa que N non pode comunicarse con X a través doutro. O elemento a23 = 1 significa que X pódese comunicar con N a través doutro: X – A – N.

A matriz G3 indica as formas de comunicarse cada persoa con outra a través doutras dúas.

G3 = G·G2 =

0101

1001

0001

1100

.

2101

1201

1100

1102

=

2303

3203

1102

3302

Por exemplo, o elemento a13 = 3 informa que Ana e Nereida pódense comunicar de tres formas a través doutros dous internautas: A – R – A – N, A – N – R – N e A – N – A – N.

A matriz G + G2 informa do número de formas que poden comunicarse cada internauta co resto directamente ou a través doutro.

G + G2 =

0101

1001

0001

1100

+

2101

1201

1100

1102

=

2202

2202

1101

2202