Varivel AleatriaVarivel AleatriaUnidimensionalUnidimensional

Prof. Janser Moura PereiraProf. Janser Moura Pereirajanser@famat.ufu.brjanser@famat.ufu.br

Varivel Aleatria (v.a.)Definio: uma funo que associa valores reais aos eventosdo espao amostral.

A v.a. pode ser entendida como uma varivel quantitativa(discreta ou contnua).

v.a. discreta oriundos de uma contagem

v.a. contnua oriundos de uma mensurao (intervalo depontos)

Exemplo de v.a. Exemplo de varivel aleatria discretaImagine um experimento que consiste em verificar o nmero decircuitos defeituosos num sistema formado por quatro circuitos, afuno: Y = nmero de circuitos defeituosos, define uma varivelaleatria discreta, que pode assumir cinco valores possveis: 0, 1, 2,3 ou 4.Com base nos exemplos acima fica claro que a varivel aleatriadiscreta est vinculada a valores de uma contagem que resultam adiscreta est vinculada a valores de uma contagem que resultam anmeros inteiros.

Exemplo de varivel aleatria contnuaImagine um experimento consiste em verificar a durabilidade de umlote de 50 pneus, a funo: Z: tempo de vida til de um pneu, defineuma v.a. contnua, que pode assumir quaisquer valores entre 50.000e 70.000 km.Com base nos exemplos apresentados, a v.a. contnua estvinculada a dados oriundos de uma mensurao que resultam a umintervalo de nmeros reais.

Distribuio de ProbabilidadeDistribuio de ProbabilidadeDefinio: Se uma varivel aleatria Y pode assumir os valores y1, y2, ..., yn comprobabilidades respectivamente P[y=y1], P[y=y2], ..., P[y=yn], tais que, P[y=yi] = 1,tem-se definida uma distribuio de probabilidade.

Distrib. Prob. para v.a discreta funo de probabilidade.

( ) [ ]1 0, para todo iP Y y i= ( ) [ ]1

2 1ii

P Y y

=

= =

Y 0 1 2 3 4

P[Y = y] 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8 [ ]5

11i

iP Y y

=

= =

Exemplo: Seja Y a v.a. referente ao nmero de circuitos defeituosos numsistema formado por quatro circuitos tem-se

Distribuio de ProbabilidadeDistribuio de Probabilidade

Distrib. Prob. para v.a contnua funo densidade de probabilidade.

( ) ( )1 0, f y y ( ) ( )2 1f y dy

=

[ ] [ ] [ ] [ ] ( ): probabilidade em um ponto?

, e b

a

Nota

P a y b P a y b P a y b P a y b f y dy a b = < = < = < < =

Exemplo: Seja f(x) a funo densidade de probabilidade dada por:

Encontre P(0 < x < 1).

Distribuio de ProbabilidadeDistribuio de Probabilidade

( )0, 0

, 0 20, 2

x

f x kx xx

( ) ( ) 1f x dx f x = ( )00 dx f x+ ( )2 kx dx f x+ 0 1dx =( ) ( ) 1f x dx f x

= ( ) dx f x

+ ( )0 dx f x+( )

( )

[ ] ( )

22 222 2 2 2 2

0 000

1

1 1 1 1 2 0

2, 0 20,

0 1

12 2 2

4 1 2 1 1 2.2

dx

x k kkx dx k x dx k x

k x

P

xf xc

f

k

X

kc

x

=

= = = = =

= = =