4. Dependência e Independência Linear
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´ Algebra Linear II Dependˆ encia Linear, Independˆ encia Linear e Base Exerc´ ıcios 1. Defina independˆ encia e dependˆ encia linear. 2. Mostre que u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) e w = (7, 8, 9) em R 3 s˜ ao linearmente dependentes. 3. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) s˜ ao linearmente dependentes. 4. Mostre que as matrizes 1 1 0 0 , 1 0 0 1 e 1 1 1 1 s˜ ao linearmente independentes. 5. Prove que os polinˆ omios p(x)= x 3 - 5x 2 + 1, q(x)=2x 4 +5x - 6e r(x)= x 2 - 5x + 2 s˜ ao linearmente independentes. 6. No espa¸co P 3 dos polinˆ omios de grau ≤ 3, verifique se os polinˆ omios p(x)= x 3 - 3x 2 +5x + 1, q(x)= x 3 - x 2 +6x +2e r(x)= x 3 - 7x 2 +4x s˜ ao linearmente dependentes ou independentes. 7. Prove que {1,e x ,e 2x ,e 3x ,e 4x } ´ e um conjunto linearmente independentes no espa¸co C ∞ (R). (Sugest˜ ao: Dada uma combina¸c˜ ao linear nula, derive-a, depois divida por e x e prossiga.) 8. Defina base de um espa¸co vetorial. 9. Mostre que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ´ e uma base de R 3 . 10. Mostre que as matrizes 1 0 0 0 , 0 1 0 0 , 0 0 1 0 e 0 0 0 1 constituem uma base de M 2×2 (R). 11. Mostre que {1, x, x 2 x 3 } ´ e uma base de P 3 . 12. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de R 3 . Exprima cada um dos vetores e 1 , e 2 , e 3 da base canˆ onica de R 3 como combina¸ c˜ ao linear de u, v e w. 13. Mostre que os polinˆ omios 1, x - 1e x 2 - 3x + 1 formam uma base de P 2 . Exprima o polinˆ omio 2x 2 - 5x +6 como combina¸c˜ ao linear dos elementos dessa base. 14. Mostre que os vetores u = (1, 1) e u =(-1, 1) formam uma base de R 2 . Exprima cada um dos vetores e 1 = (1, 0) e e 2 = (0, 1) como combina¸c˜ ao linear dos elementos dessa base. 15. Os polinˆ omios p 1 (x)=1 - x 3 , p 2 (x) = (1 - x 2 ), p 3 (x)=1 - x e p 4 (x) = 1 constituem uma base de P 3 ?
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Algebra Linear IIDependencia Linear, Independencia Linear e Base
Exerccios
1. Defina independencia e dependencia linear.
2. Mostre que u = (1, 2, 3), v = (4, 5, 6) e w = (7, 8, 9) em R3 sao linearmente dependentes.
3. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) sao linearmente dependentes.
4. Mostre que as matrizes
(1 10 0
),
(1 00 1
)e
(1 11 1
)sao linearmente independentes.
5. Prove que os polinomios p(x) = x3 5x2 + 1, q(x) = 2x4 + 5x 6 e r(x) = x2 5x + 2 saolinearmente independentes.
6. No espaco P3 dos polinomios de grau 3, verifique se os polinomios p(x) = x3 3x2 + 5x+ 1,q(x) = x3 x2 + 6x+ 2 e r(x) = x3 7x2 + 4x sao linearmente dependentes ou independentes.
7. Prove que {1, ex, e2x, e3x, e4x} e um conjunto linearmente independentes no espaco C(R).(Sugestao: Dada uma combinacao linear nula, derive-a, depois divida por ex e prossiga.)
8. Defina base de um espaco vetorial.
9. Mostre que {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e uma base de R3.
10. Mostre que as matrizes
(1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
)e
(0 00 1
)constituem uma base de
M22(R).
11. Mostre que {1, x, x2x3} e uma base de P3.12. Mostre que u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base de R3. Exprima cada
um dos vetores e1, e2, e3 da base canonica de R3 como combinacao linear de u, v e w.
13. Mostre que os polinomios 1, x 1 e x2 3x+ 1 formam uma base de P2. Exprima o polinomio2x2 5x + 6 como combinacao linear dos elementos dessa base.
14. Mostre que os vetores u = (1, 1) e u = (1, 1) formam uma base de R2. Exprima cada um dosvetores e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) como combinacao linear dos elementos dessa base.
15. Os polinomios p1(x) = 1x3, p2(x) = (1x2), p3(x) = 1x e p4(x) = 1 constituem uma basede P3?
