7/23/2019 4. Diferenciabilidade

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Exerccios de Analise Matematica I - A2014/2015

IV. Funcoes Reais de Variavel Real - Diferenciabilidade

Regras de Derivacao

95. Utilizando as regras de derivacao conhecidas, derive as funcoes seguintes.

(a) 1 x31 x5 (b) e

x(sin x+ cos x) (c) x+ sin x

1 cos x(d)

5

x2 1 (e) 3

x2 sin x ln x (f) ln(x+

x2 + 4)

(g) sin4(5x) (h) ln(ln(ln x)) (i)

sin(2x) + cos(3x)

(j) x+x+ x (k) sin(cos x) + cos(sin x) (l) x sin2 x(m) x sin2

1

1 +e1

x

(n) esin(x

2) + 2tan(1/x) (o) ex cos x

sin(x2)

(p) cos3(x3) ex2 tan x (q) ln2(cos3(3x 1)) (r) earcsinx

(s) arccos(x3 + 1) (t) arctan(2x) (u) 1

arctan x.

Diferenciabilidade

96. Sejam I R um intervalo aberto e f : I R uma funcao diferenciavel em a I.Calcule os limites seguintes:

(a) limn

n

f

a+

1

n

f(a)

,

(b) limn

n

f(a) f

a 1

2n

,

(c) limn

n

f

a+

1

n

f

a 1

n

,

(d) limxa

anf(x) xnf(a)x

a

(n N).

97. Mostre que as seguintes funcoes sao diferenciaveis em 0:

(a) f(x) =

x2, x Q,0, x R \Q.

(b) f(x) =

x2, xQ,x2, x R \Q.

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98. Escreva a equacao da reta tangente ao grafico de fno ponto (a, f(a)):

(a) f(x) = 1

x+ 2, a= 0 (b) f(x) =

x+ 1, a= 1

(c) f(x) = ln(x+ 1), a= 0 (d) f(x) = sin x cos x, a= 6 .

99. Determine os pontos da curva y = x33 x2 onde a reta tangente e paralela a reta de

equacao y+x=5

3.

100. Sejam I R um intervalo aberto e f : I R uma funcao diferenciavel num pontoaI.(a) Mostre que

f(a) = limh0

f(a+h) f(a h)2h

.

(b) Prove, com um exemplo, que a existencia de

limh0

f(a+h) f(a h)2h

nao implica a continuidade de f em a.

101. Seja f :] 1, 1[ Rdefinida por

f(x) =

1

ln |x| , se x] 1, 1[\{0}

0, se x= 0.

Estude f quanto a continuidade e quanto a diferenciabilidade, determinando f nospontos em que esta derivada existe.

102. Seja f : R Rdefinida por

f(x) =

earctan x, se x0x+ sin(a+x), se x