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Secção de Mecânica Estrutural e Estruturas – Departamento de Engenharia Civil e Arquitectura ESTÁTICA – Arquitectura – 2006/07

4. Forças Distribuídas: Centróides de Centros de Gravidade

4.1 Generalidades

A atracção da Terra sobre um determinado corpo é constituída por um sistema de forças distribuídas aplicadas em cada partícula do corpo. Considerando tratar-se de um corpo rígido, a acção gravítica pode ser substituída pela acção da sua resultante – o peso P do corpo, aplicada no centro de gravidade do corpo.

Exemplos de cargas (acções) gravíticas em edifícios.


O mesmo se passa com outras forças distribuídas como, por exemplo, a acção do vento sobre uma superfície, a acção da pressão hidrostática sobre superfícies submersas, etc..

Acção do vento (pressão).

Acção da pressão hidrostática. Substituição pela resultante.


Outras acções (uniformemente) distribuídas.


4.2 Centro de Gravidade e Centróide de Corpo Bidimensional

Centro de Gravidade Considere-se o caso restrito de superfícies planas (“placas”) ou de linhas (“arames”) no plano. No caso duma placa, subdividindo-a em N pequenos elementos cuja posição é descrita por (xi, yi) e cujo peso é dado por ΔPi, o peso total P da placa é:

∑=

=N

1iiPP Δ

O ponto de aplicação da resultante (“peso”) pode ser determinado igualando os momentos produzidos por ambos os sistemas de forças (distribuídas e concentrada) relativamente aos eixos ordenados x e y do plano da placa, ou seja:

sMy =∑ ∑=

=N

1iii xPxP Δ

sMx =∑ ∑=

=N

1iii yPyP Δ

No limite, decompondo a placa em elementos infinitesimais, ter-se-ia:

∫= dPP

e

∫= ydPyP ∫= xdPxP

em que ( )yx, descrevem as coordenadas do centro de gravidade da placa.


As equações anteriores podem ser generalizadas a um arame (neste caso o domínio de integração é a linha que descreve o arame). Centróide Tratando-se duma placa delgada homogénea com espessura uniforme t, tem-se:

γΔΔ ii AtP =

pelo que

γΔ tAPPN

1ii == ∑

=

em que as equações anteriores que permitiam a determinação do centro de gravidade degeneram em:

sMy =∑ ∑=

=N

1iii xAxA Δ

sMy =∑ ∑=

=N

1iii yAyA Δ

Neste caso, o ponto de coordenadas ( )yx, é designado por centróide da placa. Estes resultados podem ser generalizados a placas decompostas em elementos infinitesimais.

∫= dAA

e

∫= ydAyA ∫= xdAxA

No caso da placa não ser homogénea o centróide deixa de coincidir com o centro de gravidade.


As equações anteriores definem os chamados momentos estáticos (ou momentos de primeira ordem) da superfície relativamente aos eixos ordenados. Estes são referenciados por Sx e Sy e determinam-se através de:

∫== ydAyASx ∫== xdAxASy

Das equações anteriores se conclui que as coordenadas do centróide duma superfície podem ser determinadas dividindo os momentos estáticos relativamente aos eixos ordenados pela área da superfície. Como consequência, se o centróide duma superfície se situa sobre um determinado eixo, é nulo o seu momento estático relativamente ao mesmo eixo. De igual forma se conclui que se o momento estático relativamente a um determinado eixo é nulo, então o centróide da superfície situa-se sobre o eixo. As conclusões anteriores podem ser generalizadas para o caso de linhas no plano (arames). Simetria Simetria relativamente a eixo. Quando uma superfície é simétrica relativamente a um eixo, o seu momento estático relativamente ao eixo é nulo e o seu centróide situa-se sobre o eixo.


Caso a superfície apresente dois eixos de simetria, o centróide situa-se no ponto de intersecção destes eixos.

Simetria relativamente a ponto. Quando uma superfície é simétrica relativamente a um ponto, o seu centróide situa-se nesse ponto.


4.3 Determinação de Centróides por Integração

Quando se trate da determinação do centróide de uma superfície delimitada por curvas cujas expressões analíticas são conhecidas, torna-se possível proceder à integração com vista à determinação dos momentos estáticos e da área. A integração pode ser realizada por três processos diferentes: • Integração dupla em coordenadas cartesianas dxdydA =

Ex: triângulo rectângulo

∫ ∫∫ ==H

0

B

H/Byy xdxdyxdAS

Ω

Bx =

Hy =∫ ∫∫ ==H

0

B

H/BydxdydAA

Ω

AS

x y=

• Integração dupla em coordenadas polares θrdrddA =

Ex: quarto de círculo

( ) θθπ

ΩrdrdcosrxdAS

2/

0

R

0y ∫ ∫∫ ==

Bx =

R

θπ

ΩrdrddAA

2/

0

R

0∫ ∫∫ ==

AS

x y=


• Integração simples considerando o método das fatias (ou das faixas)

( )∫∫ ==Ω

H

ely dyygygdAxS0

)(2/)(

Exercício: determinar a posição do centróide sob um arco parabólico pelo método das faixas. No caso de uma linha, a posição do centróide pode ainda ser determinada por integração através de

Cuja integração pode ser realizada indistintamente em coordenadas cartesianas ou polares

que podem ser explicitados em termos da variável considerada como independente (em relação à qual a integração é realizada)

( )ygx =H

∫∫ ==H

0dy)y(gdAA

Ω

( ) 2/ygxel =

dy

AS

x y=

LS

x y=∫Ω

= xdLSy ∫Ω

= dLL

( )22 θrddrdL +=22 dydxdL +=

dy1dydxdL

2

+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=dx

dxdy1dL

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

drdrdr1dL

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

θθ

θdr

ddrdL 2

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=


4.4 Placas e Arames Compostos

Uma forma eficiente de determinar a posição do centro de gravidade (ou do centróide) duma superfície consiste em decompor esta em formas simples (triângulos, círculos, rectângulos, etc.) cujas características (área e centróide ou centro de gravidade) sejam previamente conhecidas. Com efeito,

NN2211N21

y xA..xAxAxdA..xdAxdAxdAxAS ++=+++=== ∫∫∫∫ΩΩΩΩ

pelo que

∑

∑∑

=

== == N

1nn

N

1nnn

N

1nnn

A

xA

A

xAx

o mesmo se passando com a determinação de y , ou seja

∑

∑∑

=

== == N

1nn

N

1nnn

N

1nnn

A

yA

A

yAy

As equações anteriores são extensíveis, com as devidas adaptações à determinação do centróide de curvas compostas.

∑

∑∑

=

== == N

1nn

N

1nnn

N

1nnn

L

xL

L

xLx

∑

∑∑

=

== == N

1nn

N

1nnn

N

1nnn

L

yL

L

yLy

Para a determinação das áreas (ou comprimentos) e posições dos centróides dos elementos que compõe a superfície (ou linha) deverão consultar-se Tabelas (por exemplo, as tabelas do Beer&Jonhston, 7ª Edição, Figs. 5.8A e B, anteriormente apresentadas).


4.5 Teoremas de Pappus-Guldinus

Definições: • Superfície de revolução – superfície gerada pela rotação duma

curva plana (curva geratriz) em torno dum eixo fixo (eixo de revolução) Exemplos

Superfície esférica Superfície cónica Superfície de toro • Corpo de revolução – corpo gerado pela rotação duma

superfície plana (superfície geratriz) em torno dum eixo fixo (eixo de revolução) Exemplos

Esfera Cone Toro


Teorema I . A área duma superfície de revolução é igual ao produto do comprimento da curva geratriz pelo caminho percorrido pelo centróide da curva durante o movimento de rotação que gera a superfície.

Demonstração: considerando a superfície dA gerada por um segmento da curva geratriz dL

dLz2dA π=

Considerando agora a totalidade da superfície de revolução

Lz2S2dLz2dAA y πππ ==== ∫∫

Nota: a curva geratriz não pode intersectar o eixo (geraria área negativa) Aplicações: • Determinar a área duma superfície de revolução conhecida a

posição do centróide da curva geratriz; • Determinar a posição do centróide, conhecida a área da

superfície de revolução.


Teorema II. O volume de um corpo de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pelo caminho percorrido pelo centróide da superfície durante o movimento de rotação que gera o corpo.

Demonstração: considerando o volume dV gerado por um elemento da superfície geratriz dA

dAz2dV π=

Considerando agora a totalidade do volume de revolução

Az2S2dAz2dVV y πππ ==== ∫∫

Nota: a superfície geratriz não pode intersectar o eixo (geraria volume negativo) Aplicações: • Determinar o volume dum corpo de revolução, conhecidas a

área e a posição do centróide da superfície geratriz; • Determinar a posição do centróide da superfície geratriz,

conhecido o volume do corpo de revolução.


Nota final: Ambos os teoremas (I e II) são aplicáveis superfícies/volumes de revolução incompletos (com rotação 0<θ<2π em torno do eixo geratriz).

Exercício extraído de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, Leroy. John Wiley and Sons, 1996


4.6 Cargas Distribuídas em Vigas

As vigas estão habitualmente sujeitas a cargas distribuídas p(x) –devidas ao peso próprio, ao peso dos restantes elementos estruturais e não estruturais, à acção do vento, etc.. Podemos, para efeito do equilíbrio global, substituir a carga distribuída pela sua resultante aplicada na sua linha de acção. Resultante

( ) AdxxfdRRL

0x

L

0x=== ∫∫

==

Linha de Acção (igualando momentos relativamente a O)

( ) AdRxdxxfxdRxM C

L

0x

L

0x

RO ==== ∫∫

==


Conclusão: “uma carga distribuída actuante numa viga pode ser substituída por uma carga concentrada; a intensidade desta carga única é igual à área da superfície sob a curva de carregamento e a sua linha de acção passa pelo centróide do carregamento” Exemplos: carga uniformemente distribuída (rectangular), carga linear (triangular ou trapezoidal). Exercícios: Determine os valores das resultantes (e localização) para os seguintes carregamentos distribuídos sobre vigas.

Exercício extraído de Engineering Mechanics: Statics. RILEY, William F.; STURGES, Leroy. John Wiley and Sons, 1996


4.6 Centro de Gravidade de Corpo Tridimensional

Considere-se o caso restrito de volumes (“corpos”) tridimensionais. Subdivida-se o corpo em pequenos corpos elementares cujo peso é

r e cuja posição é descrita por r3eWW

r.

rΔΔ −=

Pretende-se que o sistema de forças (pesos) distribuídos seja estaticamente equivalente a uma força única – resultante 3eW

r− ,

aplicada no centro de gravidade ( )zyxG ,,≡ do corpo. Considerando elementos de volume infinitesimais, a condição anterior implica: Igualdade da resultante

∫= dWW

Igualdade do momento resultante (relativamente a O, por exemplo)

( ) (∫ ×−=−×= 33GRO edWreWrM

rrrrr)


Do último conjunto de equações se conclui:

∫= dWxWx ∫= dWyWy ∫= dWzWz

que definem as coordenadas do centro de gravidade do centro de gravidade do corpo. Caso se trate dum corpo homogéneo com um peso específico γ, tem-se:

dVdW γ=

e VW γ=

pelo que reformulando as equações anteriores se obtém

∫= dVxVx ∫= dVyVy ∫= dVzVz

equações que definem a posição do centróide, coincidente com o centro de gravidade quando se trate dum corpo homogéneo. De igual forma as equações anteriores definem os momentos estáticos (ou momentos de primeira ordem) relativamente aos planos coordenados. SIMETRIA Simetria relativamente um plano. Quando volume é simétrico relativamente a um plano, o seu momento estático relativamente ao plano é nulo e o seu centróide situa-se no plano de simetria. Caso o volume apresente dois planos de simetria, o centróide situa-se na recta definida pela intersecção destes planos.


Caso o volume apresente três planos de simetria que se intersectam num ponto, o centróide situa-se nesse ponto. DETERMINAÇÃO DE CENTRÓIDES POR INTEGRAÇÃO Quando se trate da determinação do centróide de um volume delimitado por curvas cujas expressões analíticas são conhecidas, torna-se possível proceder à integração com vista à determinação dos momentos estáticos relativamente aos planos coordenados, assim como do seu volume. A integração pode ser realizada por dois processos diferentes: • Integração tripla em coordenadas cartesianas • Integração simples através do método das fatias (faixas).

Considerando um volume de revolução obtido em torno do eixo y

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