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(2014/2015)

Anlise Estrutural Avanada

MEF Mtodo dos elementos finitos

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

(Azevedo, A., 2003)

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

i) Diviso do domnio em elementos

ii) Aproximao ao nvel do elemento

Elemento finito

quatro com 4

ns e dimenses

L1xL2=2x2

(Azevedo, A., 2003)

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel doo elemento

Coordenadas dos ns

A espessura do elemento finito laminar representado designada por h, que pode

tambm ser uma funo de x1 e de x2.

xij corresponde coordenada cartesiana do n i segundo a direco xj.

(Azevedo, A., 2003)

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Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel do elemento

Campo de deslocamentos

aij - corresponde ao deslocamento no n i segundo a direco xj

(Azevedo, A., 2003)

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel do elemento - (Funes de Forma)

Deslocamento nodal a11=1, tem a mesma representao

que o deslocamento nodal a12=1, logo resolvendo as

funes de forma para os 4 ns, para a direco horizontal,

a sua resoluo na direco vertical ser trivial.

Nestas condies a

funo u1 (x1,x2) deve

assumir nos ns os

valores nodais do

campo dos

deslocamentos.

(Azevedo, A., 2003)

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Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel do elemento - (Funes de Forma)

Caractersticas

das funes Ni

(x1, x2)..

(Azevedo, A., 2003)

Na funo Ni assume-se um valor

unitrio no n i e um valor nulo nos

restantes ns.

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Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel do elemento - (Funes de Forma)

Os deslocamentos so ento:

(Azevedo, A., 2003)

Em notao matricial:

p = n x m (no caso p = 4 x 2 = 8).

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Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel do elemento - (Funes de Forma)

No caso geral de um elemento finito com dimenses L1 por L2, as funes de forma so:

(Azevedo, A., 2003)

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Estado plano de tenso

ii) Aproximao ao nvel do elemento - (Funes de Forma)

(Azevedo, A., 2003) Grficos das funes Ni (x1, x2) para um elemento de dimenses L1xL2 = 2x2

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

Campo de deformaes num estado plano de tenso

de um modo mais compacto:

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

L o operado diferncia:

Se:

e:

Resulta que:

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Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

L o operado diferncia:

Se:

e:

Resulta que:

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

Resolvendo, a matris B:

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Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

Anlise estrutural avanada (2014/2015)

Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

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Estado plano de tenso

iv) Principio dos trabalhos virtuais

(Azevedo, A., 2003)

Onde o vector o seguinte

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Estado plano de tenso

iv) Principio dos trabalhos virtuais - Matriz de rigidez e vector solicitao

(Azevedo, A., 2003)

Sendo h a espessura do elemento finito, tem-se que: dV = h dS, onde dS representa o elemento de superfcie.

= B a Adeformao virtual a seguinte:

Que equivalente:

T = aT BT

A relao entre tenses e deformaes , para um estado plano de tenso e no caso dos materiais isotrpicos:

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Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

De um modo mais compacto:

Sendo a matriz de elasticidade D a seguinte

Ento:

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Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

A deformao virtual a seguinte:

Que equivalente a:

Substituindo todas estas equaes passa a ter-se o PTV expresso por

Uma vez que dS = dx1 dx2 e os deslocamentos nodais no dependem das variveis x1 e x2, os vectores aTe a podem passar para fora do integral:

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Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

Comparando esta equao com a relao de rigidez que utilizada no mtodo dos deslocamentos:

No caso de um elemento rectangular geral:

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Estado plano de tenso

iii) Relaes al nvel do elemento

(Azevedo, A., 2003)

No caso do elemento finito de quatro ns, tem-se

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Estado plano de tenso

Resoluo do problema

(Azevedo, A., 2003)

E=200 000 Mpa

=0 h=0.3 m

Sendo

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Estado plano de tenso

(Azevedo, A., 2003)

Com:

Neste exemplo, dL coincide com dx2 e todos os pontos do domnio de integrao apresentam

coordenada x1 = 1. Substituindo x1 = 1 nas funes forma obtm-se:

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Estado plano de tenso

(Azevedo, A., 2003)

O produto NTp O sendo:

Resulta:

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Estado plano de tenso

(Azevedo, A., 2003)

Fij representa a componente de F que est associada ao n i e que actua na direco xj.

Nos ns 1 e 4, so nulas as componentes da fora nodal equivalente carga distribuda no

bordo 2-3

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Bibliografia

Azevedo, A. Livro - Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal.

Delgado, R. Texto de apoio s aulas de Mtodo dos Elementos Finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal.

Azevedo, A. Apresentao -Mtodo dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal.