416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
-
Upload
nayara-marques -
Category
Documents
-
view
219 -
download
0
Transcript of 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
1/23
IME ITA
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
2/23
Apostila ITA
E 01
Matrizes
Uma matriz de ordem , informalmente, uma tabelacom
n linhas e mnm
colunas, em que linhas so as filas horizontais e colunas so as filas verticais.Comesta idia temos a seguinte representao para amatriz
de ordem :A nm
aa a1 1 12 1 m
aa aA = 21 2 2 2 m .
aa an n nmnm1 2
O smbolo representa o elemento dalinha i e coluna .a jij
Uma definio formal para uma matriz:
{ } { } Considerando os conjuntos e . Uma matriz , deIn
= 1, 2, . .. , Im
= 1, 2,... , An m
( )ordem , uma funo , que associa cada par ordenado anm
AII
: ij,n m
um nmero real .aij
()= representa uma matriz deordem
A notao Aa nm
ae o elemento ij nm i j
chamado de termogeral.
( )Exemplo: Amatriz
Aa= , com determinada pelo clculo detodos
= -aij 2 2i j i j23
os elementos de acordo com a lei de formao, ouseja: a =- =21 1 1 a = - =-21 2 2 a = - =-21 3 72 2 2
1 1 1 2 1 3
=- = = - = = - =-a 22 1 3 a 22 2 0 a 22 3 52 2 22 1 2 2 2 3
desta forma temos:--127
A =-30 5
23
Observaes sobre a linguagem: ( ) O conjun to de todas as ma tr ize s r eais de o rdem denotado por nm
Mnm
() ( ) Na matriz Aa= sequncia a i - sima linhaaa a,,,ij n m i i im12
() ( ) Na matriz Aa= a sequncia aa a,,, a - sima colunajij n m 1 2jj nj
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
3/23
Matemtica
G Jaaa a a ... ...G J1 1 1 2 1 3 1 1 jn
aaa a a ... ...G J2 1 22 2 3 2 2 j nG J... ... ... ... ... ... .
..G Jaa a a a ... ...G Ji i i ij in12 3G K J... ... ... ... ... ... .
..Hi- sima linha aa a a a ... ...
m m m mj mnmn1 2 3
j-sima coluna( ) ( ) Sejam e duas matrizes reais. Diz-se que as matrizes e= = AA
aBb
ij mn i j m n
{ }eso iguais, e escreve-se , se, e somente se, , im 1, 2, 3, ...,= =B A B ab
ij i j
{}. jn 1, 2, 3, ...,
Cla ss ificaes dematrizes
Matriz linha: toda matriz formada por apenas umalinha.Matriz coluna: toda matriz formada por apenas umacoluna.Matriz retangular: toda matriz deordem
com . nm
nm
Matriz nula: toda matriz com todos os elementosnulos.Matriz quadrada: toda matriz deordem
. Neste caso dizemos que a matriz de
nn
( )ordem n . Em uma matriz quadrada os elementos da
sequnciaaa a,,,
( )1 1 2 2 n n
formam a diagonal principal e os elementos dasequncia
forma aaa a,,,()nn11 -n 1 2
diagonal secundria.
Matriz triangular Superior: toda matriz quadrada deordem
n , em que se=a 0i j
, ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal sonulos.
ij>
Matriz triangular Inferior: toda matriz quadrada deordem
n, em que se ,=
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
4/23
Apostila ITA
Matriz transposta() ( )= , a matriz transposta de = emSeja Aa , indicada por A , e AbtA t
ij n m i j m n
que . Em outros termos, a matr iz transposta obtida trocando linha por coluna
b
a=
i j ji
da matrizoriginal.Exemplo:
13--127
A = A =- 20t-30 5
--752332
Observaes: Quando A
A= dizemos que a matriz
simtrica.At
Quando =- dizemos que a mat ri zAA
antisimtrica.
At
Operaes com matrizes
Adio de matrizes
() ( )Sejam e duas matrizes quaisquer. A soma de com ,= = A BAa
B
bij mn ij m n
+ab cujo termo geral que indicaremos por , amatriz
mn , isto :+A Bijij++ +ab ab ab ...
1 1 1 1 1 2 12 1 1 nn
ab a b a b++ + ...+=A
B
2 1 21 2 2 2 2 2 2 nn
... ... ... ...
aba b a b++ + ...m mm m mnmnm n11 2 2
Multiplicao por escalar
( ) , Dados a matriz e um nmero real k, o produto indicado por kA
=Aa
i j m n
a matriz mn cujo termo geral , isto :ka
ij
ka ka
ka
...1 1 1 2 1 n
ka kaka
...k
A
= 2 1 2 2 2 n... ... ... ...
ka kaka
...mm mnm n1 2
3
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
5/23
Matemtica
Multipl icao dematrizes
( ) ( )Consideremos as matrizes e . O produto de por ,= = A BAa
Bb
ij mn jk nt
indicado por , amatriz
cujo termo geral
, em que:A B mt
cik
n
==+++
cababab ab.. ..
... .i k i j
jkik i k innk11 22
=j 1
Observao: Para que o produto de matrizes seja possvel necessrio que onmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas dasegundamatriz.A matriz identidade deordem
n , denotada por , a mat riz quadrada naqual
In
todos os elementos da diagonal principal so iguaisa
e os demais elementos iguais1a 0 , ou seja:
10 001 0
I =00 0n
00 1nn
Propriedades
( )1. Para a adio de matrizes temos :ABCM
,,n m
A adio de matrizes associativa : () () AB C ABC
+ + = + +
A B BA
+ =+
A adio de matrizes comutativa :
( ) A adio de matrizesadmite
elementoneutro
: Existe umamatriz
OM Rtalnm
+ =+=.que A OOA A( ), ex iste uma matriz
indicada Existe matriz oposta: Para todamatriz
A MRmn
, chamadap or , t ambm de ordem nm matriz oposta de , tal que- A A.+ -=-+=A
AAAO()() ()2. Para a multiplicao por escalar
temosek
k, AB
M,
12 n m
( ) ( ) kkA kkA
= 12 12
() kkAkAkA
+ = + 12 1 2( ) +=+kAB
kAkB111
( ) ()3. Para a multiplicao de matrizestemos
, eAM
BM
m n n p
( )CM
p q
4
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
6/23
Apostila ITA
A multiplicao de matrizes
associativa : . = ()() A BC
ABC () = .ABBA
ttt
Vale a propriedade distributiva esquerda:
. +=+ A B C ABAC
()
Vale a propriedade distributiva direita:
.+ =+() BC ABACA Existe elemento
neutro:.A
IIAA ==
n m
.( ) ( )()kAB AkB k
AB==
1 11
Exerccios
1 29a2 bBac
=01. (UFG) Sejam as matrizes e . Para que elas sejam=A 163
- -27 4
iguais, deve-se ter:a) 3 a =- e 4 bc=- =
= e 4 ==- b) 3 a bc
c) 3 a = e 4 bc=- =-
=- e 4 ==-d) 3 a bc
e) 3 a =- e bc== 42
4 1 - 3 2P= 3 Q = 4 P- 2Q02. (UFBA) Se e , a matriz transposta de :
- 2 5
- - -10 8 2 12 1 7a) b) c)
- 11 - - -3 5 5 1 1
- 2 8 10 11d) e)
- 5 5 - 83
2 1 - 1
x 0 1- y2
03. (SANTA CASA - SP) Se a matriz simtrica, ento ovalor-x y 3 1
de xy
+ :
a) 3 b) 1 c) 0d) -- 2 e) 3
5
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
7/23
Matemtica
= -A A04. (SANTA CASA - S P) Se uma matriz quadrada tal que t ela Achamada anti-simtrica. Sabe-seque
anti-simtricae,
M
4 + a ... ...
M = a b + 2 ...
b c 2c - 833
Os termos a12 , a13 e a23 da matriz Mvalemrespectivamente:a) , e .- 4 - 2 4
b) , e .4 2 - 4c) , e .4 - 2 - 4d) , e .2 - 4 2e) n.d.a.
05. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes , e Cso, respectivamente,A B( )3 , 3r e 2s . Se a matrizt de ordem 34 , ento igualAB
C- rst++
a:a) 6
b) 8c) 10d) 12e) 14
06. (FATEC) Uma indstria automobilstica produz carros e nas verses standart,X Yluxo e superluxo. Peas , e Cso utilizadas na montagem desses carros.A BPara um certo plano de montagem, dada a seguinteinformao:
Carro X YCarroAPea 4 3BPea 3 5C 2Pea 6
Standard Luxo SuperluxoXCarro 2 4 3YCarro 3 2 5
Em termos matriciais,temos:
6
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
8/23
Apostila ITA
43
=matriz pea-carro
35
62
243matriz carro-verso .=
325
A matriz pea-verso: 17 22 27 17 22 27 17 22 27
a) 21 28 34 b) 21 34 22 c) 21 22 28
18 28 22 18 28 28 18 34 28
17 22 27 17 22 27
d) 21 22 34 e) 21 28 28
18 28 28 18 34 22
07. (FUVEST) Considere as matrizes:( )= = -A a a i j4 7, , definida por ;i j ij( )B = b b = i7 9, , definida por ;i j i j( )=C c =C A
B, .ij
cO elemento :6 3- 18a) . b) .- 112
- 9c) . d) 112.e) no existe.
OC nA B08. (ITA) Sejam , e matrizes reais quadradas de ordem e a matriznula
n
ntambm de ordem . Considere as afirmaes:I. AB = BA
= =AB
AC B C II.
A = O A = O2III. n n() ()AB C = A B C IV.
() - = - +2A B A 2AB
B2 2V.Ento podemos afirmar que:a) apenas a I falsa. b) apenas a IV verdadeira.c) V verdadeira. d) II e III so verdadeiras.e) III e IV so verdadeiras.
7
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
9/23
Matemtica
E 02
Operao Elementar Sobre Linhas
()Uma operao elementar sobre linhas de umamatriz
qualquerAM
mn
uma das transformaes: multiplicao de uma linhade
por uma constante real nonula
k;A
permuta de duas linhas de ;A
subst ituio da - sima linha de p or u ma l inha f ormad a pela s omada
-r A r
ssima l inhacom
kvezes a - sima linha, sendo kum escalar arbitrrioe
.rs
23 5Exemplo: Sendo , temos:A =
7111323
46 5
A multiplicao da primeira linhapor .2: 711132 3
71113 A permuta da primeira com a segundalinha:
.23 5
2 3
A substituio da primeira linha pela primeira linha soma da primeira linhacom 16 25 31
duas vezes a segunda linha:71113
2 3
Cada operao elementar sobre linhas de umamatriz
pode ser representadaA pela multiplicao por uma matriz quadrada,observe: A multiplicao da primeira linha
por:2
20 2 3 5 4 610.=
0 1 7 11 13 7 11 13 2 2 2 3 23
A permuta da primeira com a segundalinha:
0 1 2 3 5 7 11 13.=
10 71113 2 3 5 22 23 23
A substiruio da primeira linha pela soma dela com duas vezes asegunda:
12 2 3 5 162531=
01 71113 7 11132 2 2 3 23
8
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
10/23
Apostila ITA
Matrizelementar
Definio:( )Uma matriz dita elementar
se algumatransformao
EM
EA
m m
( )elementar sobre linhasde
, para todamatriz
.A AM
mn
Usando a linguagem:() ( ) ( ), ,... e , podemose = 10 0 e = 01 0 e = 00 1
1 1 2 1 m m m m 1
formar as matrizeselementares:
Permutao da i - sima linha coma
- sima linhaj
e1
- e i simalinhaj
.P =i j - e j simacolunai
em
Exemplo:e 01 0
2
e 10 0P == (Permutao da primeira linha com a segunda
linha)1
1 2
e 00 1m m m
Multiplicaoda
i - sima linha por uma constante nonula
k:
e1
() .Mk kei
= - simalinhai i
em
Exemplos:3 30 0e
1
e 01 0()M 3 == 21
e 00 1m
9
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
11/23
Matemtica
e 10 01
5 05 0 e() ==M 5 22
e 00 1m
Substituio da i - sima linha pelo resultado da somada
i - sima linha comuma constante karbitrria multiplicada
pela- sima linha:j
e1
+ -ekei
simalinha()
i j
.=Sk
i
j
ej
em
Exemplos:ee
+5 15 012
e 01 0() ==S 51 22
e 00 1m
+ee
7 107 01 3
e 010 02
()Se
7 001 0==13 3
e 000 1m
e 100 01
ee
+11 11 1 0 0
()2 1
Se
11 001 0==213
e 000 1m
Matriz inversaDefinio: ( Inversa esquerda)
( )Diremos que uma matriz tem inversa esquerda, denotada por AM
Lm n
( )(uma matriz pertencente ), se:Mnm
LA I = .n
10
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
12/23
Apostila ITA
11
Exemplo: Se ja amatriz
, observamos que 131L = uma=-A 10251
31 -
inver sa esquerda de , po is :A11
131 10.LA= - = 10
251 0131 -
Definio: ( Inversa direita )( )Diremos que uma matriz tem inversa direita, denotada por A
MR
mn
( )(uma matriz pertencente ), se:Mnm
ARI
= .m
48
=Exemplo: Seja a matriz037
A umaR = - 57025, observamos que - 23
inversa direitade
, pois:A48
037 10.= - =A
R57
025 01- 23
Definio: (Matriz inversa)( )Diremos que uma matriz tem inversa, denotada por A , se:A
M
- 1
m m
, ==AA A AI
- -11
m
ou seja, se possui inversa direita e esquerda simultaneamente.
Observaes: Se uma matriz possui inversa direita e inversa a esquerda elas sero iguais,A
ou seja:
Se e , ento .LA I = ARI
= LR=
( ) Se inversvel, A tambem o e .- 1A A A =- 1 - 1
() Se e so inversveis, tambm o e .A B A B = -- - AB B
A
1 1 1
Chamamos de matriz ortogonal matriz que satisfaz condio: =A
A
- 1 t
As matrizes elementares so inversveis,note: ( ) - 1 =P
Pi j i j
11
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
13/23
Matemtica
() 1() , 0k-Mk Mk
1 =ii
( )() ()- 1 = -Sk Sk
ii
j j
Se n uma matriz inversvel deordem
, ento ex iste umasequncia
A
( )de matrizes elementares talque
, ou sejaEEE
,,, EE E AI
=...1 2 p 12 p
. Tal sequncia garante um mtodo para a obteno damatriz
= AEEE
...- 112 p
inversa conhecido como mtodo de Gauss-Jordan.
213
Exemplo: Para a obteno da matriz inversade
criamos amatriz:
A =- 112
435
213100
=-AI 112010435001
Note que ao efetuarmos uma transformao elementarem
, a matrizAI
transformao elementar fica registrada na parte correspondente matrizidentidade,observe:
100213100
()()MAI
- =- - -2 224020 M -= -20202 2
435001 001.
Quando forem efetuadas todas as transformaes elementaresem
213100
-112010
435001
at transform-laem - 11 2 5
22100 3 1 --010 1 22001 3 72 1 2 --
,
temos que
12
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
14/23
Apostila ITA
- 11 2 522
3 1=--A 1- 1 22372 1 2 --
Este procedimento conhecido como mtodo de Gauss-Jordan.A obteno de uma matriz inversa, feita passo passo, pode serexemplificadapor:
11 1 -
A = -11 2
21 3 -
- - -11 1100 11 11 0 0 11 11 0 0
- - -11 2010 00 11 10 21 30 0 1
-- -21 3001 21 30 0 1 00 11 10
- - -11 11 0 0 11 11 0 0 1102 1 0
- - - 01 12 0 1 01 011 1 0101 1 1
00 11 1 0 00 11 1 0 0011 1 0---
- 1001 2 1 121-
.=-- 0101 1 1 A 11 1- 1
-0011 1 0 - 110
Exerccios
01. Usando a definio determine a inversa dasmatrizes
= =a) 23A b) 62B14 10 4
-1 2 1
02. (ITA) Sendo , ento o elemento da terceira linha e
primeira
A = 0 - 3 2
- -3 1 2
coluna, de sua inversa, ser igual a:
5 9 6 2 1a) b) c) e)-
8 11 11 13 13d)
13
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
15/23
Matemtica
03. Usando o mtodo de Gauss-Jordan determine a inversa de cada matriz:
2100- -12 3-10 11a) b)A = 210 =B
0111425 -
- 10 0 3
+- =23 5xyz+ -=-04. O sistema linear pode se associado equao
matricialxyz
22 1+ +=33 12xy
z23 1 5 - x 23 1 - x 5
. Sendo , e , responda12 2 1 - =- y A = - 12 2 Xy
= B =- 1
33 1 12 z 33 1 z 12
o que se pede:
a) Determine A .- 1
= = , determine a soluo dob) Observando que A AX A B X AB
---11 1
sistema apresentado.
05. Observando o procedimento apresentado na questo anterior, resolva o sistema:
27+ =xy- +=xzw 6
+ +=yzw 8
- + =xw 312
06. (PUC SP) Sendo e matrizes inversveis de mesma ordeme
uma matriztal
A B X
()que , ento:XAB
= t
a) XAB
= - 1 t
= b) XBA
t - 1
()c) X
BA
= t
()d) XAB
= t
e) n.d.a
14
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
16/23
Apostila ITA
E 03
Determinantes
Ordem de uma permutao{ }= uma bijeo deUma permutao dos elementos do conjunto In 1, 2,3,...,
n
I e I . Note que existem ! n bijees.n n
{ }Exemplo: As permutaes dos elementos do conjunto 1, 2, 3 so:
( )s = 111 1 1()s : s = 222 21 1s = ()333 3 1
( )s = 111 1 2 ()s : s = 232 32 2s = ()323 2 2
( )s = 121 2 3()s : s = 212 13 3s = ()333 3 3
( )s = 121 2 4
()s : s = 232 34 4s = ()313 1 4
( )s = 131 3 5()s : s = 212 15 5
s = ()323 2 5
( )s = 131 3 6 ()s : s = 222 26 6s = ()313 1
6
15
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
17/23
Matemtica
Como os elementos do domnio de uma permutao sempre podem estar emsuaordem natural, uma permutao fica inteiramente determinada ao ordenarmosasimgens, assim as permutaes do exemplo anterior podem ser escritascomo: s .s = s = s= s = s = =123 132 213 231 312 321
1 2 3 4 5 6
Observando as permutaes da esquerda para a direita, temos quenapermutao os elementos esto posic ionados em sua ordem natural nos = 123
1
havendo nenhuma inverso entre os elementos, neste caso dizemos que apermutao ( )s = . Na permutao ordem zero, ou seja o 0 temos o 3 antes do e dos = 321 2
1 6
(sof rendo duas inver ses) e o an te s do ( sofr endo uma inver so), ou seja,1 2 1houveram 3 inverses, o que diz que a permutao de ordem 3, que receber
as
6
( )notao o s = . Desta forma temos a seguinte sequncia de permutaes e suas36
respectivas ordens:
permutao ordem
( )o s = 0s = 1231 1( )s =s = o 1132
2 2
( )s =s = o 12133 3
( )o s = 2s = 2314 4
( )s =s = 312 o 25 5
( )s =s = o 33216 6
Determinante()Definio: Um determinante, denotado por det , uma
funodet : M
n n
dada por:
() ( ) n o! () ,det 1 ...Aaaa
=- s i() ( ) ( )1 1 2 2ss s nn
i ii=i 1
ou
aa a1 1 12 1 n
aa a aa a ()n o! ()s=- 1 ...
21 22 2 n
.i
( ) ( )()
sss11 2 2 nni i i
i=1
aa an n nn1 2
Desta forma o determinante de uma matriz deordem
calculadofazendo:
2
16
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
18/23
Apostila ITA
() ( ) ()() ( )=- +- det 1 1Aaa aa sso o 1 2() ( ) () ( )s ss s1 1 2 2 1 1 2 21 1 2 2
()() ()=- +- det 1 1A aa aa 011 1 2 2 1 2 2 1
()det A aa a a=-,1 1 2 2 1 2 2 1
que na prtica pode o produto dos elementos da diagonal principal menos oprodutodos elementos da diagonal secundria.
aa aa aa=-. . 11 12 .
aa 11 2 2 1 2 212 1 2 2
Desta forma o determinante de umamatriz
de ordem 3 ser calculado daAseguinte forma:
() ( ) ()() ()=- +- +ssdet 1 1Aaaaaaa
o o 12
() ( ) () () ( ) ()s ss s ss11 2 2 33 11 2 2 3 311 1 222
() ()() ()1 1 +- +- +o oss aa a aa a34() () () () () ()1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3ss s ss s
33 3 4 4 4
() ()() ()+- +- 1 1 o oss aa a aa a5 6() ( ) () () () ()11 2 2 3 3 11 2 2 33ss s ss s
555 66 6
()() () ()=- +- +- det 1 1 1A aa a aa a a aa0 1 11 1 2 2 3 3 1 1 2 3 32 1 2 2 1 3 3
() () ()+- +- +- 1 1 1 aaa aaa aaa2231 2 2 3 3 1 1 3 21 3 2 1 3 2 2 31
() =--+det A aaa aaa aaaaaa
1 1 2 2 3 3 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 2 2 3 3 1
+ -aaaaaa1 3 2 1 3 2 13 2 2 3 1
52 3
Exemplo: O determinante damatriz
:A = - 02 1
43 1
() ( ) ( )det 5 21 5 1 3 2 01 2 1 4 30 3 3 2 4 7A = -- - + - +- =-
O uso da definio muito dispendioso para o clculo dos determinantes, poreste motivo existem algumas regras prticas que tornam o clculo mais rpido.Umadestas regras a de Sarrus que ser apresentada a seguir.
Regra de SarrusA regra de Sarrus uma regra prtica para o clculo de determinantes dematrizesde ordem 3 e dado pelo diagrama aseguir:
17
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
19/23
Matemtica
aaaaa1 1 1 2 13 1 1 1 2
() =det A aaaaa2 1 22 2 3 2 1 22
aaaaa3 1 3 2 33 3 1 3 2
( )det .. .. .. .. .. ..A aaa aaa aaa aaa aaa aaa=++---1 1 22 33 12 23 3 1 13 21 32 13 22 31 1 1 23 3 2 12 21 33
Lema deLaplaceUma submatr iz de qualquer matriz obtida pela eliminao de linhas
ouA
colunas (ou ambos) da matriz .A52 3
Exemplo: As matrizes 523 e 23 so submatrizes de .02 1 --431 21
43 1
Definio (Matriz menor complementar): A submatriz obtida pela eliminaodeuma linha e uma coluna de uma matriz quadrada chamada de matrizmenorcomplementar. Ao eliminarmos alinha
i e a coluna da matriz obtemos a matrizj A
menor complementar que ser denotadapor
.Ai j
52 3-21 52
= =Exemplo: Sendo , ento: A AA = - 02 131 43, .1 1 2 3
43 1
Definio (Cofator): O cofator doelemento
da matriz , denotado por , a Ai j i j
o nmero( )()=- . 1det A+ij
i j ij
( ) dado por:Lema (Laplace): O determinante damatriz
AMnn
() {}n , em que pode ser qualquer elemento de 1 , 2 ,. ..,n= det Aa
ji j i j
i= 1
ou
() {}ndet Aa = , em que ipode ser qualquer elemento de 1, 2, ...,n .ij ij
=j 1
52 3
Exemplo: Para calcular o determinantede
primeiro escolhemos umaA = - 02 1
43 1
linha (ou uma coluna) e usamos o segundo somatrio do lema de laplace, nestecaso = , da:existe vantagem em escolher a segunda linha, ou seja2
i
18
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
20/23
Apostila ITA
( ) = + + .det Aa a a21 2 1 22 2 2 2 3 2 3
Calculando os cofatores: Como no h necessidade de calcular o
cofator.a = 0
2 1 2 1
53() =- =- 17+22412 2
52() n =- =- 17 X+2 3432 3 i
i = 1
() ( )( ) ( )= +- +- - =-.det 0 2 7 1 7 7A2 1
Exerccios
01. (FUVEST) Calcule os determinantes:10 0 3
10 a 114A = 011 B a= -e
00 0 3-011
0114
= = -Aa () aij 202. (UFSE) O determinante da matriz , onde , igual a:ij 33 ij
a) - 12 b) 8 -c) 0d) 4e) 6
120
- 11 k03. (UFPA) Qual o valor de k para que o determinante damatriz
seja
01 k
nulo?
-12a)
21b)22c)
22d)-48e)
19
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
21/23
Matemtica
=()
Aa04. (SANTA CASA) Seja a matriz quadrada , de ordem , tal que2ij
pcos se
2a ij ij= -
=o determinantede
igual a:Apij
sen seij ij+
a) 34 b) 1 4 c) 0
d) - 1 e) - 34 4
05. (UF UBERLNDIA) Sabendo-se que o determinante da matriz igual a 3 - ,A
p pqual o valor do sen x , 3 ==x ?
2 2cos 1x 1
A =- 01 4
0 cos 0x
- 3 - 2a) b) - 1 c)2 22
3d) e) 1
2 2
280xx
06. (UNESP) Se a e b so as razes da equao log logxx
0 = , onde022 2
123
x > 0 ab+, ento igual a:
a) 23 b) 3 4 c) 3 2
d) 4 3 e) 4 5
07. (CESESP) Se uma matriz quadrada de ordem 3e
a matrizidentidade
A I
tambm de ordem 3,ento
um polinmio de grau 3 em .det ( )AI
-
20
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
22/23
Apostila ITA
Assinale a alternativa correspondente ao conjunto das razes do polinmioacimadefinido, onde
111
=A 111
111
{ } { }a) 0, 2 b) 0, 3{ }c) 1, 0, 3d)-{1 , 1, 0}
e) -{1, 1, 3}
08. (Determinante da matriz de Vandermonde) Demonstreque:
111
()()()a) x yz yxzyzx=---
xy
z
2 22
1111
xyzw yx zy zx wz wywx
()()()()( )()b) = --- - - -xyzw
2 22 2
xyz
w
3 33 3
09. (UF UBERLNDIA) O determinante11 1 1
log log log log8 80 800 8000vale:
()( )( )( )log log log log8 80 800 800022 2 2
()( )( )( )log log log log8 80 800 800033 3 3
a) log ( . . . )8 80 800 8000
b) 12
log 824c)
+ ++d) log log log log8808008000 e) 24
21
-
8/6/2019 416 Apostila ITA Matrizes Deter Min Antes
23/23