42176768 Calculo Diferencial e Integral II Armando Righetto e Antonio Sergio Ferraudo

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, CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL VOLUME 11 Armando Righetto Antonio Sérgio Ferraado Professores do Instituto Politécnico de Ribeirão Preto da Instituição Moura Lacerda IBEC - Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda. 1982
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, CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALVOLUME 11

Armando Righetto Antonio Srgio FerraadoProfessores do Instituto Politcnico de Ribeiro Preto da Instituio Moura Lacerda

IBEC - Instituto Brasileiro de Edies Cientficas Ltda. 1982

Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcanar certos objetivos. Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores em quase todas as reas: Social, Humana e principalmente as Tecnolgicas. Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lgica trata de assuntos indispensveis para um bom curso de Engenharia, de Fsica, de Estatstica, de Medicina e de Computao. Os dois volumes so ricos em exerccids resolvidos e propostos. Estes, com respostas e, quando necessrio, com sugestes para sua resoluo. O primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano, com 4 ou 6 'horas aula semanais. ' Clculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: nmeros reais, funes, limites, derivadas e diferenciais. Clculo, 11, no segundo termo letivo, com a mesma durao: integrais indefinidas e as tcnicas de integrao, integrais defrnidas, clculo de reas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas. O segundo volume poder ter alterada a ordem dos assuntos. Sugerimos, para Clculo III, funes de vrias variveis, derivadas parciais, diferenciais e equaes diferenciais, com modelos matemticos aplicados Biologia. Para o Clculo IV: estudo de mximos e mlimos, derivadas direcionais, integrais de linha, integrais duplas e triplas e sries. Outros assuntos, como cnicas, qudricas, vetores, nmeros complexos e funes hiperblicas, so tratados nos livros de Geometria Analtica e Vetores e Nmeros complexos e funes hiperblicas de autoria do Armando Righetto. Procuramos familiarizar o aluno com o pesnamento matemtico e a manipular modelos por mtodos matemticos. Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos formaram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestes.OS AUTORES Ribeiro Preto, maio de 1981

NDICE

Captulo 1 Funes de Vrias VariveisConceitos Bsicos. Limites. Propostos.

'. . .

3

Continuidade. Problemas Resolvidos .. Problemas

Captulo 2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . . . . . . . . . ..Acrscimos. Derivadas Parciais. Interpretao Geomtrica das DerivadasParciais. Derivadas Parciais de Ordem Superior. Invertibilidade da Ordem de Derivao. Exercfcios Resolvidos. Exerdctos Propostos.

19

Captulo 3 Diferenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Diferencial Total. Aplicaes. Diferenciais de Ordem Supen'or. Problemas Resol vidos. Problemas Propostos.

51

Captulo 4 Funes CompostasFunes Compostas de uma VarivelIndependente. Funes Compostas de duas ou mais VariveisIndependentes. Diferenciao de Funes Compostas. Funes ImpUcitas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

79

Captulo 5 Mximos e MnimosMximos e Minimos Locais. Hessiano. Pontos Extremos de Funes ImpUcitas. Ajustamento de Retas. Mximos e Minimos Condicionados. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

109

Capitulo 6 Derivadas DirecionaisConceitos. Gradiente - Divergente e Rotacional. Campo Vetorial. Curvas de Nevel. Funes de trs Variveis - Derivada Direcional. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

145

Capitulo 7 Integrais MltiplasIntegrais Duplos. Integrais Triplos. Aplicaes. Transformaes das Integrais Mltiplas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

175

Captulo 8 Integrais Curvilneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Definies. Notao Vetorial das Integrais CurviUneas. Propriedades das Integrais CurviUneas. Teorema de Green no Plono. Teorema de Green no Espao. Teorema de Stokes. Problemas Resolvidos. Probl~mas Propostos.

223

Captulo 9 Sries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Sries. Convergncia Absoluta e Condicional. Critrios de Convergncia e Divergncia. Srie~ de Potncias. Desenvolvimento em Sries de Potncias. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

241

Captulo 10 Equaes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..Defini6es. Soluo de uma Equao Diferencial. Equao Diferencial de Primeira Ordem e Primeiro Grau. Aplicaes das Equaes Diferenciais Lineares. Aplica6es das Equaes Diferenciais Biologia. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.

269

1FUNES DE vRIAS VARIVEISReaquea a confzana nos irmos que esmorecem ao contato dos problemos do mundo e os ajude a refletir na Bondade Divina que nos' acolhe a todos. ,-

As funes reais de vrias variveisreais aparecem naturalmente em problemas prticos. Quando procuramos a rea S de um paralelogramo de base x e altura y, multiplicamos a base pela altura. Ento, o valor de S ::::: xy depende dos valores da base e da altura. Dizemos que a rea S funo das duas variveis x e y. Da mesma forma conclumos que o volume de um paraleleppedo, de dimenses x, y e z uma funo de 3 variveis, pois V = xyz e a cada temo de valores atribudos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume. Inmeras funes podem ser definidas por frmulas. Assim, z = x

+ .J Yx

- 4 funo das variveis x e y. De fato, a cada

par (x, y) de nmeros reais, com x '* O e y ~ 4,. corresponde um valor bem determinado de z. A Fsica, atravs de suas frDulas, tambm oferece inmeros exemplos de funes de vrias variveis. Sejam X, Y e Z, conjuntos de nmeros reais, tais que, a cada x E X e a cada y E Y corresponda, mediante certa lei f, um e um s z E Z.

Y

Diremos que o conjunto Z funo dos conjuntos X e Y. Se a cada x E X e a cada y E Y corresponder mais de um z E Z, diremos que Z uma relao de X e de Y.

1.1.1 - FUNO Conclumos do exposto que F

=

{(x, y, z) I x E X, Y E Y, z E Z Iz

= f(x,

y)}

onde X e Y so denominados domnio e Z contradomnio. funo apenas pela lei de correspondncia:

Usa-se representar a

Faamos uma representao ortogonais 2 a 2.

grfica mais conveniente. Tomemos 3 eixos A cada par (x, y) corresponde um z. O terno ordenado (x, y, z) tem por imagem grfica um ponto do espao. A funo de 2 variveis reais definida em certos pontos (x, y) do plano real; portanto, o conjunto D destes pontos, domnio da funo, uma superfcie de R2

Fig. 1.2.

Quando a funo f de 3 variveis x, y, z. A cada terno (x, y, z) corresponder, atravs da lei f, um valor real w = f (x, y, z). O conjunto de todos os ternos ordenados (x, y, z) de nmeros reais o espao R3 = R X R X R. Logo, toda a funo real de 3 variveis reais definida em um subconjunto D do espao tridimensional real.

,................................................. 1..

///.

Deternnemos mesmo. Exemplos:/'

o domnio de algumas funes, construindo um esboo do

E1

Seja z =

xy x-y

A caracterstica da funo z um quociente e ele s defInido para =1= O, isto , para x =1= y. O domnio de z o conjunto D ~ {(x, y) E R21 x =1=y }, conjunto dos pontos do plano xOy que no pertencem bissetriz dos quadrantes mpares x = y.

x - y

./.

.//

./ ./

a funao - z SeJa

VX - 2 = -_-_-_-_ -_.

yy -

4

Alm do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A funo z definida para x-2~O====>x~2 y-4>O===>y>4D = {(x, y) E IR.2lx ~ 2 y

> 4}

E3 \~

\

Seja a funo z = x2 - 3 + y2 - 1. Esta funo de.fmidapara \Ix e \ty E IR, ento:D.....:R2

xy

o domnio D

todq o plano real R2

E4

Seja a funo w = 4xy - 6xz + 8yz. O valor de w defmido em todo ponto (x, y, z) como domnio da funo o espao real R3D=R3

E

R3 Podemos admitir

Es'

Seja a funow =

J 1-

x2

-

J4-

y2 -

2

J9 -

Z2.

Para w ser um nmero real bem definido 1 -

x" ~ O, 4 - y" ~ O e 9 - z" ~ O

Resolvendo as desigualdades,.resulta-1 :S:;;;x:S:;;;I,-2:S:;;;y:S:;;;2e-3:S:;;;z:S:;;;3

o domnioD

da funo {(x, y, z) E IR31-1 :s:;;; x :s:;;; 1, - 2 :s:;;; y :s:;;; 2, - 3 :s:;;; z :s:;;; 3}D

=

,-Geometricamente, o domnio D um // paraleleppedo de faces paralelas aos pla,/ nos coordenados. ,,/

No Capo 11I do 1Q volume estudamos limite de uma funo real de uma varivel. Estendamos tal conceito s funes de duas ou mais variveis. Consideremos a funo z = f (x, y) de domnio D C IR" e um ponto (xo, Yo) E D, tais que f seja definida em pontos (x, y) bastante prximos do ponto (xo, yo). Denominamos vizinhana circular de raio 6 do ponto (xo, Yo) ao conjunto dos pontos (x, y), tais que:O

< .J (x-

-

XO)2

+ (y - Yo)z < 6(y - Yo)"

o < (x

XO)2

+

< 6"

que constitui o disco aberto de centro (x o, Yo)'

Diremos que a constante Q E ]R o limite da funo f, quando o ponto varivel (x, y) tende para o ponto (xo, Yo), quando dado um nmero E: > O, to pequeno quanto desejarmos, for possvel determinarmos em correspondncia com ele um outro nmero > O, tal que para todo ponto (x, y) que satisfaa a demgwildade . O tenhamos

< (x

- xoi

+ (y

- Yoi

< 2If(x, y) Q

I < E:

1im f(x, y) = Q (x,y) ~(xo,Yo)

1im f(x, y) = Qx-+xo

Y-Yo

No clculo de limites de funes de vrias variveis aplicamos as mesmas propriedades estudadas no volume I. Exemplos: Calcule lim (1 x-oy-+l

+ y2)X

sen 2 x .

Soluo: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminao do tipo ~ .Levantamos a indeterminao 1irn (lx -+0y-+l

+ y2)xy

sen 2x = lim sen 2xx-oy-+l X

lim 1

+ y2y

x-oy-+l

FUNOES DE VRIAS VARIVEIS

lim (lx~o

+ y2)xy

sen 2x = 2 [ lim sen 2X]x~o ,

1

+1

1

2xv.J

Y~l

Y~l

-1lim (lx~o Y~l

+ y2)

sn 2x

=2

1 2

=4

xy

Calcule limx~o y~oX

2';. Y do tipo ~ .

Soluo: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminao

Procuremos levantar a indeterminao. _ O ponto (x, y) est prximo da origem. So ,inmeros os caminhos de aproximao do ponto (x, y) origem e sempre atravs de uma reta.

. z = SeJax

2xy +

y

-

2y 1 +Lx

e a drni' tin do que, nas vizinho

anas d' a ongem,

o ponto (X, y) tenda a (xo, Yo) atravs da reta

y = mx ====>.L= mx

19 Caminho: Segundo a reta y

= x,

portanto, m

=

1. Da,

lim 2xy = lim 2y = lim 2y = 2 O = O X ~o x + Y x ~o 1 +.l. x ~o 1 + m 1+ 1y~o y~o X y~o

29 Caminho: Segundo a reta y = O (eixo dos x) ====>lim(x,y)~(o,o)

m = O. Assim, lim(x,y)-(O,o)

2xyx

+y

=.

1im(x,y)~(o,o)

-

2y _ 1 +1:x

2y 1+m

=--= O 1

39 Caminho: Segundo a reta x lirn(x,y)-+(o,o) X 2xy

= O (eixo=

dos y) ====> m2y

11' = tg 2" =

00.

Neste caso,

+Y

lim(x,y)-+(o,o) 1

+m

- 1

+

O00

O =

49 Caminho: Segundo a reta y. = - x ==:> m lim _2_x~y_= lim

=-

1. Nestas condies, O O

(x,y)-+(o,o) X

+Y

_2 y __ (x,y)-+(o,o) 1 + m

Uma funo z limX-+Xo

=

[(x,

y)

dizse contnua

no ponto (xo, Yo) quando

[(x,

y) = f(xo,

Yo)

y-+Yo

Se esta condio no for satisfeita,(xo, Yo)'

a funo ser descontnua no ponto

Exemplos: E1 Verifique a continuidade da funo z = 2xy - 4 no ponto (2, 1). Calculemos:

lim (2xy - 4)X-+2

=O

y-+l

~

Verifique se a funo [(x, y) Calculemos: [(O, O) = 2 ~ O sen O ==

=

2 - Y senx contnua no ponto (O, O). x

g

(Deixa de existir o valor da funo).

e

2 - Y tim --senx= x-o X y-o

lim (2 -y ) tim--= sen x x-o x-o X y-o y-o

2 1=2

Nota: Em casos como este, onde deixa de existir o valor da funo, mas existe o valor do limite, podemos modificar a definio da funo de modo a tom-Ia contnua. ~sim: _2_-_y_ senx para x =1= O x

z =f(x. y) {

J

.;:)

Determine o domnio da funo z = Qn (4 - x - 2 y) e faa um esboo grfico. Soluo: Examinemos a funo

z

= Qn (4

- x - 2y)

Existir z real para 4 - x - 2y D

>O

ou

x- 4

+ 2Y

- 4

x = 4 para x = 0--> y = 2 Experimentemos o ponto (O, O) na desigualdade x + 2y - 4 x}.em ]R2. Justifique.

+ y - z + 21 contnua

PP17 Determine o conjunto de pontos para os quais a funo [(x, y, z) = ~ x2 + y2 + Z2 - 9 no definida.PP18 Determine o ponto para o qual no definida a funo w

= X2y2

fn Izl.

Resp.: z = OPP19 D o domnio de [(x, y) = arc sen 2x x X Resp. : 2 x1

+- y.Y

+y

-y!

=:;;; 1

PP,o Sendo f(x, y)

= x3

-

2xy +3 y2, Calcule f(;,

~).

1 4 Resp.:---+x3 xy

]2 y2

2DERIVADAS PARCIAISNo te queixes, trabalha. No te desculpes, aceita. No te lastimes, age. No provoques, silencia. No acuses, ampara. No te irrites, desculpa. No grites, pondera e explica. No reclames, coopera. No condenes, socorre. No te perturbes, espera. Nada exijas dos outros, Conta sempre com Deus.

Seja a funo z = f(x, y) definida na regio D C lR? Tomemos o ponto (x, y) E D e atribuamos a x o acrscimo 6.x e a y o acrscimo fj.y, tais que o ponto (x + b,.x,y + fj.y) E D. O acrscimo da funo quando passamos do ponto (x, y) ao ponto (x + b,.x, Y + 6.y) fj.z = f(x

+ fj.x, y + fj.y)

- f(x, y)

e se chama acrscimo total da funo. A variao das variveis independentes x e y pode ser aferida atravs da distncia fj.Q entre os pontos (x, y) e (x + fj.x, y + fj.y).- 6.z f(x A razao = fj.Q seu limite, para fj.Q

+

fj.x y + fj.y) - f1x y) - . al ' " , uma razao mcrement e 6.Q ) Q, definiria a derivada de z = f(x, y), no ponto,

caso o limite existisse. Entretanto, este limite quase sempre no existe, pois o ponto, (x, y) poder aproximar-se do ponto (x + 'x, y + .y) de inmeras maneiras e o limite vai depender da maneira de aproximao, isto , da direo de aproximao. Estas consideraes levar-nos':o ao conceito de derivada direcional, que estudaremps mais adiante.

I - Acrscimo parcial em xSeja a funo z = f(x, y) e o ponto (x, y) E D. Conservemos y constante e atribuamos a x o acrscimo 'x, tal que o ponto (x + 'x, y) E D. O acrscimo da funo quando passamos do ponto (x, y) para o ponto (x + 'x, y) t1xz = f(x

+ 'x, y) - f(x, y)

I

.........

~~"~"Ti

z

.II - Acrscimo parcial em y Se na funo z = {(x, y) conservarmos x constante e dermos a y o acr~scimo 6y, de modo a passarmos do ponto (x, y) ao ponto (x, y + 6y), tambm pertencente a D, teremos o acrscimo parcial em y, 6yz = {(x, y

+ 6y) -

{(x, y) .

...-_......1 "y Zz

I

1.=>--=

6.xzX

2xy2 - 3y +y2x

tox-o 6.x'-----v-----'z " -=2xy"-

lim -

xz

= lim (2xy2 - 3y tox-o3y

+ y26.X)

x

Observao: Chegaremos a este resultado de forma mais simples aplicando as regras de derivao estudadas no Cap.. N do volume I e considerando y constante quando derivamos parcialmente em relao a x e, x constante, quando derivamos parcialmente em relao a y. Assim:

z = X2y2

-

3 xy

+4

C

-=2XY

az ax az -= ay

2

-3y

2x Y - 3x

Z

Ez

DeterIlne as derivadas parciais de z Soluo: Apliquemos a regra prtica:

=

sen (x

+ 3 y)

- cos (2 x - y).

Z

C

der. sen der. arco der. cos der. arco

az'

__

aX = COS(X + 3y) + 2sen(2x= 3 cos (x

--..,

A

r.

---,

- y)

az ay

+ 3y) -

sen (2x - y)

Determine as derivadas parciais de z = Q n

Ux

x2

-

+Y

yz

z~

com ".2

... 2 ~ ~ ~ Y ~ :> (),' x -,-y:l. I

Soluo: Preparemos a funo:

az ax

x

x XZ

= x3 + xy2

= x2 _

_ yZ

+ y2

_ x3 + xy2 = (x2 _ y2)(X2 + y2)

2xy2

- x4 _"y4

az

ay

-y= xZ_ y2

y x2

= _x2y

+ y2

_ y3 _ x2y + y3 _ (x2 _ y2)(X2 + y2)

- - x4

2x2y_ y4

2.3 - INTERPRETAO GEOMTRICA DAS DERIVADASPARCIAISSeja z = f(x, y)urna funo defInida na regio D C R 2 tendo por imagem grfica a superfcie S do R3 que se projeta sobre D no plano xOy.

Fixemos x, fazendo-o igual a Xo. A funo z = f(xo, y) ser unicamente da varivel y e representar a curva Cb interseco do plano x = xo, paralelo ao plano yOz, com a superfcie S de equao z = f(x, y). Se fIZermos y = Yo, a funo z = f (x, Yo) ser unicamente da varivel x e representar a curva C2, interseco do plano y = Yo, paralelo ao plano xOz, com a superfCie S. Obtemos, assim, o ponto Po(xo, Yo, zo) da superfcie Se interseco das curvas C1 e C2 A derivada parcial

aaz

Xo

nos d o declive da tangente t2 curva C2 no

ponto Po (xo, Yo, zo), em relao reta (7), paralela ao eixo dos x.

z ~A derivada p~cial

-=

axo

tga

nos d o declive da tangente ti curva C1 no ponto Yo P o, em relao reta (s) paralela ao eixo dos y

aaz

I az

ayo

~p

I

As duas tangentes tI e tz, tangentes superfcie S no ponto Po, determinam um plano tangente superfcie S, cuja equao geral

Como ele passa pelo ponto Po (xo, Yo, zo), sua equao satisfeita pelas coordenadas do ponto, assim: Axo + Byo + CZo + D = O Subtraindo a (2) da (1) Isolandb o termo em z -> (2)

> A (x - xo)

+ B (y - Yo) + C(z - zo)

= O.

.

> z - Zo = -C(x

A

- xo) -C(y - Yo)

B

(3)

Para y = Yo na (3) ====> z - Zo = - ~ (x - xo), equao da reta tz, tangente S no ponto (xo, Yo, ~o). Portanto, --=tga=C-'

A

azaxo

Para x = Xo na (3) ====> z - Zo = - ~ (y - Yo), equao da reta th tangente S no ponto Po. Portanto, B --=tg{3=-

azayo

C

-Substituindo na (3) - ~ e - ~ pelos seus respectivos valores, resulta

z - Zo = -

az

axo

(x - xo)

+ -az (y - Yo)ayo

equao do plano (17) tangente superfcie S de equao z =I(x, y), no ponto

Po (xo, Y, zo). Deduzamos agora as equaes cannicas (simtricas) da normal superfcie S no ponto Po (XO, Yo, zo). A normal (n) superfcie S no ponto Po (xo, Yo, zo) perpendicular ao plano (n) tangente superfcie no mesmo ponto e conseqentemente perpendiculars tangentes tI e tz. O vetor diretor da reta (n), normal superfcie S , portanto paralelo ao vetor normal do plano (17) Vn = (A, B, C). A normal n~ ~

=

[Po (xo, Yo, zo); Vn = (A, B, C)], ter por equaes

x - XoA

-

Y - YoB

-

z - Zo

C

-C--= x - Xo

x - Xo A

-C--=

Y - Yo B Z - Zo

-C--

Z - Zo

C

-CA Como --= C -

A

-

Y - Yo

-C

B

-

-C

C

z B z C -- =- e --= -1 resulta Xo' C Yo C 'x - Xo

z

-

Y - Yoz

-

z - Zo-1

Xo

Yo

Exemplos: E1 Determine as equaes do plano tangente e da normal superfcie z = = x2 - 4 y2 no ponto P~ (5, - 2).Soluo: Determinemos o ponto Po (xo, Yo, zo), determinandoZo

= (5)2 ~

4 (- 2)2~ Yo

XoZoZo

= 25=9

- 16

Ento, Po (5, - 2, 9). As funes derivadas parciais so

z = x2

~

4y2

~.

--->

C

-

C

~=2Xx

-->-=

z

derivadas ====> no ponto

y

-8y= 10 = 16

z

3xo Yo

= 25

-z =

-8(-2)

a) Equao do plano tangente:

z - Zo = -

az axo

(x - xo)

az (y - Yo) +ayo

z - 9 = 10 (x - S)

z - 9 =

10x 1

+ 16 (y + 2) SO + 16y + 3216y -

10X

+

z - 9 =O

I

b)IEquao da normal:x - Xo

az axox-S_y+2_z-9 10 16 -1

Dada a funo z = f (x, y), diferencivel, as suas derivadas, parciais so funes das -mesmas variveis. Assim, ~:

= Ix

(x, y) e ~;

= I; (x, y).

Podemos querer derivar parcialmente estas derivadas. Se for possvel, obteremos as derivadas parciais de segunda ordem da funo inicial. As derivadas parciais das derivadas de segunda ordem, se existirem, constituiro as: derivadas parciais de terceira ordem; e assim sucessivamente. Partindo de z= 1(x, y)

azax = Ix(x, y)

CC

2 a (az) a z 4:" ax ax = ax2 = Jx,x (x, y). a ()az a 2z , ay ax = axay = Ix,y (X, y) 2 a z = ayax2

.az , (x, Y ) ay = Iy

a (az) ax ay-a (az) ay -ay

=Jy,~ x, Y

r' (

)

a z r' =-=Jyy(x,y) ay2 '

Ix

Notamos no dispositivo acima que as derivadas parciais de primeira ordem so e /y. Se essas fune~ derivadas admitirem derivadas parciais, iremos obter 4 funes derivadas parciais de segunda ordem:

h,x; Ix:y; J,x

e

J,y

Se as derivadas parciais de 2' ordem admitirem derivadas parciais, iremos obter 8 derivadas parciais de 3' ordem, conforme os dispositivo abaixo.

Se for possvel continuar derivando, obteremos 16 derivadas de 4' ordem, sucessivamente. A funo derivada parcial de 2' ordem

e assim

a~2:yindica

a derivada

obtida aps derivar duas vezes, a primeira vez em relao a x e a segunda vez em relao a y. J a funo derivada parcial

axay2

a

3

z

indica a derivada obtida aps 3 deri'

vveis sucessivas, a primeira vez em relao a x, a segunda vez em relao a y e a terceira vez em relao a y. Consideremos agora a funo w = f (x, y, z) e consideremos possvel a sua derivao sucessiva.

DElUV ADAS PARCIAIS

29

h,x,

Ix/

' . t'x,y

h,z

E4~X E4Y,X E4~Xh,~,y

Ix" X,x,Z" t'x,y,y

Ix" x,y,zh,~,y

t;,x

w = {(x, y, z)

y

tY.y,".

E E

{;." x,z,z!Y.~.x1J,~,y

h" Y,X,z!Y.Y,y

~" y,y,x

t;,zt;,~,y

z:x

t;,

h,y

Iz:z

E!Y.~x Et.:~,x Et.:~.x Et.:~xIi,~z Iz:~,y . t'z" Z,X,z Iz:'y,y

'y,y,z "'''

z" z,y,z

. Iz:~,y Iz" Z,Z,z

Exemplo: Dada a funo z

= x4

-

3x3y

+ 6X2y2

-

4xy3

-

6y4

+ 2, determine as derivadas parciais de 3~ ordem

( te)\

\ '() "I /.

- ---

. das extremas -3 Z e -3 Z sao difi N otamos que as denva erentes, enquanto as

3

3

x

y

mistas so iguais 3 a 3, mostrando-nos a invertibilidade da ordem de derivao:

2.5 - INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAAOConforme o exemplo estudado, notamos que a ordem de derivao irrelevante, se as derivadas parciais forem contnuas. Teorema de Schwarz: Se a funo f (x, y) admitir todas as derivadas parciais de 2, ordem na regio D C R2, e se estas derivadas forem funes contnuas em D, ento:

- x y' =-y x emtodoponto~EDEste teorema se estende s derivadas mistas de ordem superior 2, ordem. Assim:

2f

2f

Sz xxxxy

- xxxyx- xyxxxasz

Sz

-

-

Sz xxyxx Sz yxxxx

podendo todas estas derivadas serem representadas unicamente por cando que a funo

x y

:z , indiem relao

z

deve ser derivada 4 vezes em relao a x ~

ay.O nmero de derivadas parciais distintas de ordem n nos dado pelas combinaes com repetio de m elementos (nmero de variveis independentes) tomados n a n. C (CR)m,n m+n-l,n - (m-

+

n -

IXm +

n - 2) ...

n!

em

+ 2Xm +

1)m

Uma funo de vrias variveis y = F (x h X2, X3, , xm) dir-se- de classe Cn em uma regio D C Rm, com n inteiro positivo, se e somente se exis-

tirem e forem contnuas em D todas as derivadas parciais de F de ordens 1, 2, 3, 4, ... , n. EscrevemosF E Cn (classe de diferenciabilidade).

PR1 Deternne, em cada caso, as derivadas parciais da funo:

z

= (x2

-

xy

+ y2t

Soluo: Notemos a existncia das componentes potncia e base.

PR2

Z

= xy yX, com x

>,

Oe y

>

O.

Soluo: Nos dois fatores figuram x e y, teremos ento a funo produto

zz

C

x =

JlxV

+ JlVx + JlVy,

,

z , y = Jlyv

a) Deternnao de ~:. Em relao a xIl

= xy (potncia natural) ====>:

Jl~

= yxY-1

V = yX (exponencial) ===.=-.::::.-~> v~ = yX ~n y

b) Detenninao de ~;. Em relao a y

JJ. = xY (exponencial) -->

JJ.~ = xY inx

v = yX (potncia natural) ====:>

Vy

= xyX-l

PR3

Z

= cos2(v'X

- y).

Soluo: Notemos a existncia das 3 componentes: potncia, co-seno e arco.

~z = [2 cos(vx - y)][-sen(-vfX x ,_______v

- y)]"

_Ir::,;2 v x

- seno do arco duplo

- -

sen2(y'X 2

- y)

v'X- y)](-I)

az ayPR4Z

= [2 cos (-vfX - y)][-sen(v'X

=

sen2(v'X

- y)

= X3y2 + x22ny

- cos(xy).

Soluo: Na ltima parcela, quer em x ou y, temos as componentes co-senoe arco

z

C ::-

2 = 3X y2

+ 2x2

2ny

+y

sen(xy)

az ay

= 2x3y

x ++x sen(xy) y

PRs z = xex-y

+ yex+y

Soluo: Em relao a x, a primeira parcela funo produto, pois tem x nos dois fatores e, em relao a y, a segunda parcela funo produto.

z

C

.az ax = (1 e az = xe ayX-

X

-Y

+ xex-y

1) + yex+y

1

r(-I)

+ (1 eX+Y + y~+Y

1)

z

C

~:Z

= (l

+

x)eX-Y

+ yeX+Y_ xeX-Y

y

= (l

+ y)eX+Y

, PR6 w =- - ~nxyz eY

eX

+

sen(x - 2z)- ~nx - ~ny - ~nz-

Soluo: Preparemos a funo: w = eX-Y w = x wyW

+ sen(x - 2z)

eX-Y

1-

1+ [cos (x x _1y

2z)] 1

=

eX-Y

(-1)

z

= -

Z + [cos(x - 2z)](- 2)1 --+ xeX

1

.

-

W

X

=-

eX

eY

cos(x - 2z) .

1 -=---y eY yW

w 1 z =-z-2cos(x-2z)

PR7

Z

= x2 ~nxy.JlV

Soluo: Notemos que em relao a x a funo do tipo pois tem x nos dois fatores. Funo preparada: z = x2 (~n x + ~n y)z

(produto),

=

uv

-~>

Zx

, = UxV , +

UVX.

' Etn ao, como

u = x2 ====:::> u~ = 2x v

=

~nx

+ ~ny ====> v~> z x = 2 x (~n,

=-;~n y)x

x

++

+

x -

2

1 x

>

->

z~ = 2xQnxy

-=

az ay

X

2

-=y y

1

x2

z = x2(Qnx

+ Qny)-

C

z~

=

2x Qnxy x2

+x

zy

,

=y

PRs z = f(senxy).

Soluo: Notemos que a derivada da funo f a mesma, quer em relaoa x, quer em relao a y. O mesmo acontece com a derivada do seno. Apenas as derivadas do arco so diferentes. de f d env.

azz = f(sen xy)

----------

z

= f(senxy)

- C=

C

ax =

rr (sen xy )][cos xy J rr (senxy)][cosxy]x rr (senxy)]cosxy

ecos ,...-A--...

derivo d

...----A---y .-

d'env. d o arco

az aya

=

a: = y

~; = x [f' (sen xy)] cos xy

Soluo: Preparemos a funo:f(x, y) senx-1 y + Qny - Qnx

f(x,

y)

f(x,

y)

C C=

af -=

ax

[cosx -1]( Y -x -2) y-- 1x

ay

af = [cosx-1Y]X-1 afy y y1

+1.y1

ax = - x2 cos"X-X"

af 1 -=-cos-+ayx

x

y

PR10 Dada a funo z

f(;),

verifique se x :~ + y :;

= o.

Soluo:1. Deternnemos as derivadas parciais de

z

x af +yEt=~t(x) ax ay ySim.

y

_x t(x) y Y

=0

_ PRu Dada a funao Il

=

are sen (xyz), verfique se 3x 3y

all

all

31l

az = see Il tg 2 Il

Soluo:1. Determinao das derivadas parciais

_a Il_ = --;:==1 ==yz3xall =

v' 1 -

(XYZ)2 1 xz (XYZ)2 1

3y -=all

.J 1 v' 1 -

az

---""""'X.Y

(xYZ)2

2. Verificao da igualdade ~~ ~; ~~ = see Il tg2 Jl. Montemos o produto das 3 derivadas'"

a Il a Il a Il _ yz xz xy ax . 3y ai - [.J 1 - (XYZ)2]331l all all = (xYzi

3x

3y

ax

[v' 1 - (xyz)2]3> xyz = sen Jl.

De Il = are sen (xyz)

SubstitUindo em (1) =>

--

-->_.-.-=

a p. a p. a p.

ax

ay

az

sen" p. sen" p. =--= [y' 1 - sen"p.]3 cos3 P.

---v

1 __COS

0_-

J.l

sen" p. cos" J.l

COS J.L

PR 12 Ache a equao do plano tangente e as equaes da reta normal superfcie z" = x2 + y2 no ponto (3,4, 5).Soluo: Vimos que a equao do plano tangente (1T) superfcie z no ponto

Po (xo, Yo, zo) z Zo

= axo

az

(x - xo)

+ ayo

az

(y - Yo)

Determinemos pois as derivadas parciais no ponto. De Z2 = x2 + y" > Z = x2 + y2 (z = 5 > O)

.J

az ax

1 = ~y'X2+y2 _ 1

-\, ""x =>

az axo

=

3=1S1

v9

+ 16

azay

=.~_

-b y'x2 + y2 ",y => 1 4 16

azayo =

=...S

V9 +Substit]lipdo na equao do plano (1T)

z'- 5 =l(x - 3) +.!(y - 4)

5

5

5z

- 2S

=

3x - 9

+ 4Y

- 16 - 5z = OI

13X

+ 4y

As equaes simtricas da normal (n) so: x - Xo

az axo

-

Y - Yo

az ayo

-

z - Zo -1

Ento, (n)

x-3_y-4_z-5__

-

3 5

-

4 5

-

-1

--.> (n)

x-3_y-4_z-53 4 -5

PR 13 Ache as equaes do plano tangente e da reta normal superfcie x2 + + y2 + Z2 = 38, no ponto que se projeta sobre o plano xOy em (2,3) e tem z > O.

Soluo:1. Determinao do ponto Po (xo, Yo, zo). Temos Xo = 2 e Yo = 3. Substituindo na funo, vem 4=

+

9

+ Z2

=

38 => 1 z

51, pois, z > O

2. Determinao das derivadas parciais em Po Preparemos a funo x2 + y2 + Z2 = 38: z

= ..j 38

- x2

_ y2

3. Determinao da equao do plano tangente. Como (1T)-........ z Zo

= -ax-o (x - xo)

az

+ -ay-o (y -

az

Yo) =-.::=----.>

Z -

5=-

"5 (x

2

-.2) -

-S' -

3

3)

5z-25=-2x+4-3y+9

\2x

+

3y

+

5 z - 38

=

O

I

4. Determinao das equaes cannicas da normal (n). Como (n)

x - Xo

-

z

-

Y - Yo

z -

Zo

Xo

-

z

-1

Yo

Substituindo em (n)

x-2_y-3_ 2 3 --5 5

z-5 -1

x-2_y-3_z-52 3 5

PR14 Determine o ponto da superfcie z = x2 + y2 - 4x - 6y plano tangente paralelo ao plano cartesiano xOy.

+

9 em que o

Soluo: Se o 'plano tangente superfcie z for paralelo ao plano xOy, asderivadas parciais de z sero nulas. __z= 2x - 4==:> 2x -4 X z = y 2y - 6 ===>"

z

Cy2X

= 0==>

x

=

2

2y - 6 = 0-->

Y =3

z=4+9-8-l8+9z =-4 O ponto procurado Po (2, 3, - 4).

PR 15 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da funoz=----

x2

Y

Soluo: Preparemos a funo:F.P. (funo preparada) z = X-1y2 _ x2y-1

1 - 2 - 2xay

a2z

-

2x2y-3-

2-----

2x2

x

y3

PR16 Calcule as derivadas parciais de 2~ ordem da funo z = e2Y sen x no ponto Po(rr/6, O).

z[axoayo-=2

a2z = vf3

a2z

ayJ

.

X

PR17 Calcule as derivadas parciais de 3~ ordem da funo z = e y

e

+ Qn (xy).

Soluo:

Preparemos a funo

F.P. =>

z

= eX-Y +

Qnx

+

Qny

Aplicaremos a invertibilidade da ordem de derivao, calculando as derivadas parciais extremas e delas as mistas, assim:

~: = eX-Y z [ az _

+~ +1.y

rl2

x-y

ay - -e

- z PR 18 Ven'f' lque se a funao

= arc tg

2 xy

x -y

2

, h armomcao ~. e

Soluo: "Uma funo z = f (x, y) diz-se harmnica quando satisfaz equao

de Laplace -

Calculemos

a2z + a2z = O", ax2 ay2 a2z a2z ento --2 e -2 o ax ayderivo do arctg ~

derivo do quoj.enteF.A ,

az ax -

1 1

+--(x2 _ y2)2

4X2 2

y

2y (x2 - y2) - 2xy , (x2 _ y2)2

2x _

1 (x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2 1 1y +--(x2 _ y2)22

2x2y - 2y3 - 4x2y (x2 _ y2)'1.

-=

az ay

2x(x2

4X2

- y2) - 2xy(-2y) (x2 _ y2)2

=

-

1 (x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2

,--------

2x3 - 2xy2 + 4xy2 (x2 _ y2)2

Observaao:X

-

2

2xy

-y

2

d t' U 1 _ e o lpO-, portanto, em re aao a x ==--=--=....>V

UxV V

,.

,2UVx

U~V, rA __ -.., ~

UV~

> Ux = 2yV 2xy 2 X -y2

=

X2 - y2 ====.> V~U V

=

=--=---->

2y(x2

_ y2) - 2xy2,

2xI

2 2

2x

(X - Y )UyV UVy

do tipo -,

portanto, em relao a y --> --v-2-, UyV rA \

UV'~

Y

-->V

U~ ' Vy

= 2x= - 2y

=

X

2

-

Y 2 =>

-->---------(x2 _ y2)2

2x(x2

- y2) - 2xy (-2y)

az ax

-2x2y = x4 _ 2X2y2 = -2y(x2 (x2

- 2y3 = -2y(x2 + y2) = + y4 + 4X2y2 x4 + 2X2y2 + y4 =_ 2y x2 +y2 2x(x2 + y2) - x4 + 2X2y2 + y4 -

+ y2) + y2i

az ay

2x3 = x4 _ 2X2y2

+ 2xy2 + y4 + 4X2y2= x2 2x

= 2x(x2(x2

+ y2) + y2)2

+ y2

Laz az 4xy -+-=---22 2

az = -a 22

y

-2x(x2

+ y2)-22y4xy

=

= (x

2

+ y2l

ax

ay2

(x2

+ y2)2

A funo harmnica.

PR 19 Determine as derivadas parciais de 4~ ordem da funo z = sen (x - y) - cos (2 x + y). Soluo: At s derivadas parciais de 3~ ordem determinamos apenas as extremas e a partir delas achalemos as de 4~ mnp.m.

-4= -cos(xa.\"

a3

- y) - 8sen(2x + y)

z = sen(x - y) -- cos(2x

+ y)

C

az -=

ax azay

cos(x - y) + 2scn(2x + y)

-= -cos(x

- y)

+ sen(2x + y)

L-2

r

-2=

32z

ax

-sen(x-

y)

+

4cos(2x

+ y)

C C

4=

a4za4z

sen(x - y) - 16cos(2x

ax--

+ y)

ax3ay

= -sen(x -

y) - 8cos(2x

+ y)

a2zay

= ~sen(x - y)

+ cos(2x + y)-3

-3-

a3z

a4z ay ax a4z

= -sen(x

- y) - 2cos(2x

+ y)

ay

= cos(x - y) - sen(2x + y)

4 = sen(x - y) - cos(2x ay

+ y)

Resp.:-4:::

a4z

aX

sen(x - y) - 16cos(2x

+ y)

34z --:::

ax3ay

az --:::4

ayax

3

--- a

4z 2

ax3y3x

aZ ---:::4 2

3x 3yax

-sen(x

- y) - 8cos(2x

+ y) '

34z -:::sen(x - y) - 4cos(2x 3x23y2--:::3

+ y)

a4z

3y ax

--

a4Z

ax3y3

= ---

a4Z

y3xay2

----:::2

a4Z

3y 3x3y

-sen(x

- y) - 2cos(2x

+ y)

34z ::: sen (x - y) - cos (2 x

ay4

+ y)

PRzo Verifique se a funo w = e3X + 4Y cos 5 z harmnica.

Soluo: Ser harmnica a funo w -+-+-=0 ax2 ay2

= f(x,

y, z) se, e somente se,

a2w

a2w

a2waz2

aw = 3e ax

3X

+ 4Y cos S z

a w =4e ay.

3X

+ 4Y cos S z

a w = _ 5 e3X + 4YazFaamos a verificao:

sen 5 z

j

a az2w 2

= -25e3x+4Y

cos 5z

a2w -ax2

+

a2w ay2

+

2 a w -

az2

= ge3X+4Y cos 5z + 16e3x+4Y cos 5z - 2S e 3X + 4Y cos 5 z = O

PRZ1 Dadaafunof(x, y) = eX ~ny + (seny)~nx, determine as derivadas parciais de 2~ ordem no ponto P~ (17/2, 7T). Soluo: Derivemos

f (x,

y)

axf(x,y)

af

= eX ~ny

+ senyx

C.

ay

y

No ponto P~ (rr/2, rr) as derivadas parciais de 2~ ordem assumem os valores:

- 1

cos x e 1T/2 =-+--=--rr rr 1T 2

e 1T/2

~

2

a 2[-

oe 1T/2= - -

,,---A---,.

rr ---

e 1T/2~

~J

~

- (sen1T)Qn-=

2

Soluo: Determinemos

as derivadas parciais de 3a ordem que figuram na expresso cujo valor procuramos.

az -ayax = -sen(x +y)2

--

1x

-

--

a3z axax2

= -cos(x +y)+ y)

+-2x

1

-az = cos (x ay

+ y)

- Q nx

a2z.-2=

-scn(x

+ y)

ay

C

-2-

a2z ay axa3zay3

= -cos(x

-= -cos(x + y)

--2

a~

ayax

-

2

ay ax

a~ a~ 2 + -3 = ay

cos (x

+ y) + - 2 + 2 cos (x + y)x

1

-

- cos(x

+ y) =""""2x

1

-=

az

aX

2 xye 2

X2

_.--

= 4xeX

2

'--v--'I

funo produto em relao a x

PR24 Derive z = f(senxy). Soluo: Consideremos as componentes

f, seno

e arco xy cos xy

~: = [f' (sen xy)][cos ~; = [f' (sen xy)][cos

xy]y

= y 11' (sen xy)] = x [f' (sen xy)]

xy] x

cos xy

Dada a funo Jl Resp.: Sim.

=

Qn (x

+ J x2 + y2),

verifique se x ~~

+Y

~y=

1.

Calcule a Jl a Jl a Jl com Jl = arctg (xyz). ax ay az' Resp.: sen2 Jl cos4 Jl.

PP3

Determine as derivadas parciais de 1~ ordem da funo z = f (tg;). Resp.: az

1. t' [(tg~)] sec2~ ax = y y y az = _ ~ t' [(tg X).]ay y2 \: y

PP 4

Determine as derivadas parciais de 1a ordem da funo z = 4 sen (; ) Qn (~).

Resp.: _. = - cos x y y

z

4

x

+ -1xx

-=--cos--yPP 5

z

4x

y2

Y

1 y

Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = xyeXY .z Resp.: x

= yeX y (1 + xy)(l

Z = xexy

yPP 6

+ xy)

Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de zResp.: Z = Y cos xy x 1 + sen2 xyZ xcosxy -=---y 1 + sen2 xy

= arc tg (sen xy ).

PP,

Calcule x ~: + y ~; + z, quando z . ~Resp.: O

f(~).x.

PPs

Resp.: - =-x yX-lZ

, xY Deterrine as derivadas parciais de 1a ordem de z = y 1 Z xYxY--

yX

~ny

-=-~nx--y yX PP9

xY

xY+1

yX+l

Determine a equao do plano tangente superfcie 3 x2 + yz + z - 4 = O no ponto P~(1, -1) de cota negativa.Resp.: 5 x - 2 Y - 2 z - 5 = O

+ y2 + Z2 + xy +

PPut Determine a equao do plano tangente e o vetor normal da superfcie z = = .J x2 - y2 no ponto P~(5, 3).Resp.: (7T) 5x - 3y - 4z = O

n = (5, -3, -4) PP 11 Calcule as derivadas parciais de 2a ordem da funo z = arc sen Y2' com x

~

a2z y ay2 ..j (X4 _--=--=-

y2)3

axay2

a2Z

a2Z..j

ayax

2x3 (X4 _ y2)3

Calcule

a az -a x Ya2z

da funo z = (x2 x2 _ y22

+ y2)

arc tg-.

y

x

.Resp.:

-aX aY =

X

+Y

2,

PP13 Verifique a funo z = eX seny

+ eY

cos x harmnica.

Resp.: Sim Dada a funo Resp.: O

f (x, y)

= ye

X 2

,

determine

af4

ax

2

ay

2

Resp.:

-=

a3z ax33

-y

3

cosxy 2y sen xy - xy2 cos xy senxy - x2y cosxy

--a2 z = -

ax aya3z

ay2ax a3z -x3cosxy -=ay3

--

= -2x

, '''\

,:: ~ C' -- "',.."'-',.

PP16 Determine as derivadas parciais de 2J.ordem da funo z = Qn.J x2

+ y2.

Resp.: -

a2zax2

= - ---(x2

x2 _ y2

+ y2)2

a2za2z --=

a2z--~(x2 + y2x2 _

axay = ayax

=y2

2xy (x2 + y2)2

ay2

i

Determine as derivadas parciais de H ordem da funo z = are tgL..

.

x

az Resp'-=--.' ax

-yx2

+ v'2

e

az x -=--ay x'2 + y2

_ y az Dada a funao z = e are sen (x - y), calcule ax

+

az ay'

Resp.: eY arc sen (x - y) PP 19 Se z

=

e xy , ven'folque que

ax ay

a3 z 2

PP20 Verifique se z = -=====tem-se ..j x + y

x2

+ y2

x ax + y -ay =-2 z .

az

az

3

PP21 Prove que se z = are sen

x - y +y x

'

_ z entao, x -a

+y x

az -a . =y

o._/ '2 2

PP22 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da funo z = Qn x - v x - y . . x + ..j x2 - y'2

Resp.: -2 = '2 2 3/2 x (x - y )

a2z

2x

a2z

a2z

2y

xay = ayax = - (x2 _ y2)312 2z = _ 2x (x2 - 2y2) ay2 y2 (x2 _ y2)3/2PP23 Determine as derivadas parciais de 3~ ordem da funo z = x2seny

+ y2 senx.

Resp.: -3

a3z = - y2cosxax a3z a3zx2ay-

3z a3z axayax ayx2

=

2 cosy - 2y senx

-- 2 ay ax

- -axay2

3z

- ayaxay

a3z

= -2xseny

+ 2cosx

az = a33

y

-x2eosy

PP2S Se z

=

Qn (x + xy + Y ) verIfique que x

2

2'

aZ aZ = ax + y ay

2.

Dado z = f(tg xy), deterrmne x Resp.: O

.

az ax

y

az ay'

PP27 Determine o ngulo no ponto (3, 4, 5) do parabolide hiperblico 5 xy - 12 z = O e a esfera x2 + y2 + Z2 = 50. Resp.:f) ::::

720 11'

PP28 Mostre que x

az ax axa

dx

=

3x 100

Substituindo frmula de

Ep

E

-

100(

x ~2

+3x

p -

x2 + y2

y x2 + yi)

ifo \l00(x2 + y2)3y2]

Ep

= 100 [

l00(x2 + y2)

+

Ep =

3C.: y' x/; yi)+e o ngulo a por eles formado mediu ; rd,

Ep

x2 + y2 = 3--x2 + y2

Ep

= 3%

Ez

Num tringulo os lados x e y mediram 2 dm e 10 cm com erros de 0,0005 cm e 0,0002 cm, respectivamente, com erro de ~

rd. Determine o erro relativo cometido na medida z do

lado oposto ao ngulo a. De acordo com o enunciado do problema,x

=

2dm=

20 em e dx

=

0,0005 em

B

y = 10 em e dy = 0,0002 em a

= 3rd

1T

e da = 100 rd

v'3

A medida z do lado BC depende das medidas x de AC e y de AB e da medida a do ngulo A. Assim, z = f (x, y, z). Determinamos a lei f pela lei dos eo-senos, Z2

=

x2

+

y2

-

2xy cosa ==--=--> z

=

.v x

2

+

y2

-

2xy cosa

O erro absoluto cometido em z nos ser dado pordz = ~

ax

dx

+~

ay

d

Y

+

az aa

da

DIFERENCIAO

57

oz - ox 2 y'x2 z oz - oy 2 y' x2 oz -oa Tiramosdz =

+

1 y2 - 2xycosa

(2x - 2y cos a)

1 + y2 - 2xy cosa

(2 y - 2 x cos a)

2 y' x2

+

1 (- 2xyXy2 - 2 xy cos a

sen a)

x - y cos a

dx

+y' x2

y' x2

+ y2

- 2xy cosa

y - x cos a dy + y2 - 2xy cosa

+

+vi x"

+ y2

xy sen a .--da - 2 xy cos a

dz

--------

_.J

x2

x - y cos o: d X + y2 - 2xy coso:

-I-

.J x2

-------

z -

J

Y - x cos o: d Y + + y" - 2xy coso:

J

------2x

xy sen o: d o: + y" - 2 xy coso:

x2 + y2 - 2xy coso:

Z -

dz _ (x - y COS 0:) dx + (y - x COS 0:) dy + y2 - 2xycoso:

x"

+

(xy sen 0:) do:

~

1/2+ (10 -,20" + 102

112 ~

../3/20,0002

,,-A-..

dz -=

(20 - 10COS-f) 0,0005

2ocosi)-

+ (20'

10sen~)~

z_dz _ 15 0,0005 + O + 3 z 400 + 100 - 200 dz -=

2 20 10 cos ;

zz

3,0075 1,0025 = 300 100

dz= 0010025

'

Vimos no item 3.1 que o acrscimo total da funo z !:lz

= f(x,

y)

= f(x + !:lx, y + .6.y) -

f(x, y)

Ento, transpondo f(x, y) --> f(x

+ .6.x, y + .6.y) = f(x,

y)

+ .6.z

CD

Como z =

az ax

dx

+ az ay dy + 17tX + 112Y

. a Igualdade az"

CD 1 fica:./

f(x

+ x, y + x) = f(x., y) + ax,

az

dx

+ ay dy + 1hX + 1l2l:iy\

dz

v

infinitsimo de ordem superior

.

f(x

+ x, y + y) -::::.f(x, y) + ax

az

dx

+ ay dy

az

I f(xExemples: E1

+ x, y + y) == f(x, y) + dz

I

Calcule o valor aproximado de Soluo: 1. Frmula:

J (3,96)3 V (8,002)2.

f(x

+ x, y + y) -::::. f(x, y) + dz

2. Substituio de f:

J(x+ X)3 tt (y + y)2 -::::. #3. Determinao de dz:

VY2 + dz

x

+

D.x

=

3,96 --> valor mais aproximado de x + D.x, que admite raiz quadrada exata

xSubtraindo ==--=----">y Y

=4

D.x = - 0,04

+ D.yD.y

= 8,002 = 8 =='> valor mais aproximado de y

+

D.y,

===>

=

0,002

que admite

~~C1JJ?!~ ..~xata

Substituindo em

CDW +;.J4 W (-0)04) + ; 4#(0,002)+ ~2 22 (- 0,04)

v' (3,96)'!j.J .J .JE2 (3,96)3

(8,002)2:::.,j43

V (8,002)2::::

23 22

+ ~4

; 2 0,002

(3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48

+ 0,~16

.J (3,96)3 ~(3,96)3

(8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,0053 ,.., 31,5253

V (8,002)2

Calcule o valor aproxfinado de

J 36,24 ..tg 44 40'. ~::::f(x,

Soluo:1. Frmula: f(x

+ D.x,

y

+ D.y)+

y)

+ dzdz

2. Substituio de f:

.J (x

D.x) tg (y

3. Determinao de dz: z

= f(x,

y)

+ D.y) :::: y'; tg Y + = yX tgy

xx

+ b.x =b.x =

36,24 0,24(pois tg 45

= 36

-->e==> y

y + b.y = 44 40'

= 45

=

1)

b.y = - 20' ===> b.y = - ~~. 0,017

=

-0,0056 (veja

Capo V do Volume I) Substituindo em

Q)++ (../36

.j 36,24

tg 44 40' ::: ../36 tg 45

C~

tg 45) 0,24

+

sec2 45)(-0,0056)

.j 36,24

tg 44 10' ::: 6 . 1

+ 2 ~ 6 1 . 0,24 - 6(.}r)2

0,0056

~ 36,24 tg 44 10' ~ 6

+ 0,02 - 0,0672

~ 36,24 tg 44 10' ,....., 5,9528

A diferencial de uma funo z = f (x, y), normalmente ainda uma funo de . , que as denva . d as parcIaIs. . . z x e y, Ja x

= .f'x (x, y ) e

z y

= f' y ( x, y ) que

fig I uram

nela so funes de x e y. Se as funes derivadas parciais sucessivas de f (x, y) forem contnuas, poderemos calcular as diferenciais totais de ordem superior. Desta forma, a diferencial de 2~ ordem a diferencial de dz: d (dz)

=

d2z

A diferencial de 3~ ordem a diferencial da de 2~ ordem d (d2z)

=

d3z

Tomemos z = f (x, y) com dz=-dx+-dy xZ Z

y

d (dz)

=

d (~~ dx

+ ~; +

dY) dY) (diferencial de soma)

d2z = d (~~ dx) d2z = [ d (;~)

d (~;

] dx

+ ;~

[d (dx)]

+ [d

(;;)

] dy

+

+ ~;

[d (dy)]

CD (diferencial

de produto)

z x = t-=JJ.

z y

d (z)

ox

=

dt

= E.!. dx + El.. d f2\x

y y \.V

z) JJ. d (= dJJ. = - dx y X SubstItuamos em. f1\

JJ. +-

y'

dy ( 3Z

/i)'-

0

t por

zX

e em

(;\

0 JJ.

por y

Q) =>

[~ (~~)] =>d(~;) =[~ (~~)] 0=> dG~)d (~~)=

(~:)

] dy

(~;)

] dy

'3' =-=> \.V

d

(yz)

=

xy

dx

+

2

y2

z

d y

r

a2z axayA

dx dy,

d2z =

a Z2

2

aX

(dx)2

+ aZ ayax

2

d dxY

+

az d2x

aX

Para x e y variveis independentes, suas diferenciais de H ordem so constantes e as de 2~ ordem, conseqentemente, so nulas.dx

dy

= constante ==~->- d2x = d (dx) = d (constante) = O = constante ====>: d2y = d (dy) = d (constante) = O

Com esta simplificao a igualdade

0 se reduz a

Para facilitar a memorizao da frmula de d2z, podemos usar o quadrado da soma indicada de 2 parcelas, convencionando-se que o ndice 2 seja expoente nas diferenciais dx e dy e seja ordem de derivao nas derivadas parciais.dx + az dY) 2 ax ay 2 2 = a z (dx)'- + 2 a z 2

d2z

= (az

d2z

ax

axay

dx d

'------v----"quadrado do 19

---vdobro do 19 pelo 29

+ a z (d )2 Y ay2 Y/'------v----"quadrado do 29

2

Podemos determinar d3z da mesma forma que o fizemos para d2z e com a considerao que dx e dy sejam constantes, d2x = d3x = O e d2y = d3y = O. Ento: d3z

=

(_o_z dx ox

+ _o_zdY)oy

3

====> d3z

=

'--y-----/cubo do 19

_03_Z (dx)3 ox3

+

+

3

03Z (dx)2dy 02xoy ..J

+

3

03Z dx (dy)2 oxoy2I

+

03Z (dy)3 oy3

---v3 x quadrado do 19 pelo 29

~--v

'---v-------"cubo do 29

3 X 19 pelo quadrado do 29

(o expoente na derivada indica ordem de derivao e na difrencial in~~c3:potncia).

Exemplos: E1Determine a diferencial de 2~ ordem da funo z = sen (2x - y). Soluo: A frmula de d2z na forma sinttica : d2z

=

(oz

3x

dx

+ oz dY\" oy)32 0 + --.:. (d2

Desenvolvendo, vem:

02. (dx)2 d2z = -2 3x2

+2

_z_ dx d 3x oy y

oy~

lY

)2

.

02Z

-o

ozx

= 2cos(2x

.

-2

- y)

ox02Z oxoy 02Z oy2

=

-4sen(2x , 02Z

- y) .

-=

oz oy

oyox=

-cos(2x

- y)

.

-

-sen(2x

- y)

Substituindo na frmula de d2z, resulta d2z = [-4sen(2x - [sen(2x - Y)](dx)2 - y)](dYi

+

[4sen(2x

- y)ldxdy

-

~

Determine a diferencial de 3a ordem da funo zSoluo: A frmula de d3z

= eX

cos y.

d3z

=

(33x z

dx

+ Z

3 3y

dY)

3

z = eX cosy

Cd3z

3z -= eXcosy

3x3z

ay = -e

x

senYL

Substituindo na frmula de d3z, resulta:

=

(eX cosyXdx)3 - 3 [eX seny](dx)2dy + [eX seny](dy)3

- 3 [eX cosy]dx(dy)2

+

Para a diferencial de ordem n, podemos tomar a forma sinttica e para us-Ia usamos o desenvolvimento pelo "Binmio de Newton".

3.3.4 -

FUNES DE 3 OU MAIS VARIVEIS

w

= f(x,y,

z)-->

dw = -a-dx

aw

x

+ -a-dy + -a-dz y z

aw

aw

d2w = (~; dx

+ ~wy

dy

+ ~:

dZ)

2

(quadrado da soma indicada de 3 parcelas)

w

= f(x,y,

z) --> dnw

aw + -a-dy aw aw]ndz = [ -a+y y az

Para mais de 3 variveis, procedemos da mesma forma: Assim, set

= f (xl> X2,X3,... , xm)

d t=

n

[at

-dXl+-dx2+-dx3+""+-a-dxm

at

at

aXl

aX2

aX3

at]12Xm

Determine as diferenciais totais de 1~ ordem em cada caso. PR1z

= e2narc1gxy

Soluao: dz = -

_

az

ax

dx

+ay dy

az

F.P. Qnz = Qnarctgxy

z

=

arc tgxy

3z3x

1

z

[

3z 3y

= =

1

+ +

(xy)2 1

Y

=> x

dz = --_~1

ydx

+

xdy

+ X2y2

1

(xy)2

PR2

Z = Qn ----

.J x2

- y2

.

2xy

_ Soluao: dz

= -3x

3z

dx

+-

3z

3y

dy

1 F.P. z =2Qn(x2

- y2) - Qn 2 - Qnx - Qny

dz

dx = ----y 2X

2

(x

_ y2)

Y (x _ y2)

x dy ----2

2

y3dx _ x3dy dz=---xy (x2 _ y2)

PR3 w =~

y_

+L+-=zx 3w 3x dx

Soluao: dw = -

+ -dy3y

3w

+zx-I

3w

3z

dz

F.P. w = xy-I-=y

+ yz-I +-I

3w 3x

-zx-2

-2

=---= 2

1 Y

Z

x2_yz

x

x2y

-

lw _ . - -~y ly

+

Z

-I

_ - -

-

X

y2

+ --1 _ -xz + y2Z

y2z

- - -yz 3z

l w _

-2

+ x -I _ --

-

yZ2

+ -1X

_ - xy

+

Z2

xz2

dz = x

2

- yz dx2y

+y y2

2

xz dy

+z

2

- xy dzXZ2

xPR4W

z

=

e2n(Qnxyz)

Soluao: dw

_

= -aX

aW

dx

+ay dy + -aZ dz

aW

aW

F.P. Qn w = Qn(Qnxyz) w = Qnxyzw = Qnx

+ Qny + Qnz

-=-

awax

1

x1

aw -=ay

y

awLogo:

az + dzz2

-dw = dx +!!l.. x. y

PR 5 . Na medida da acelerao da gravidade g usou-se a frmula h = ; gt

Calcule o

erro percentual resultante das medidas de h e t, com erros de 1%. dh 100-= ht

1%

dt 100- = 1%

g=f

2h

Procuremos o erro percentual em g, que

Ep

= 100dg. g

dg = ~

ah

dh

+ ~dt at

CD

De g ==2t

2h

Substituamos em dg == . 2

CD

4h dh dt t2 t3

dg = dh _ 2 dt g h t g O erro percentual t.p = 100 d , isto , o erro relativo multiplicado por 100. gE:p

= 100 g = 100 dh - 2 100 dt h t

Nota: Os erros cometidos podem ser por falta ou por excesso, portanto, negativo ou positivo. Para apreciarmos o erro mximo possvel, no nosso caso, tomamos o erro dt 100 - = -1t

100 dh == 1 h

!00 dg g

=

1% - 2 (- 1%) == 1

+

2 == 3%

PR

No clculo do comprimento Q de um pndulo, usou-se a frmula T ==

211'

A,

O perodo da oscilao mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e g, acelerao da gravidade mediu 10 m/2, com erro de 0,01 cm/2. Calcule o erro relativo em Q.Soluo: Do problema tiramos

T = 2s

e

dT = 0,001 s

g

=

10 m/s-2 = 1.000 cm/s-2

e vem:

Procuremos dQQ, ento, de T =

21Th

Como queremos d~, dividamos ambos os membros por Q

dQ = 0,01 cm/s-2Q ~Q =

+

1.000

cm/s-2

0,001 s 2s

0,00001 + 0,0005

dQ Q = 000051 ,

As diagonais de um losango mediram 8 e 6 m com erros de 2 e 3 cm, respectivamente. Calcule o erro percentual cometido na sua rea.Soluo: Do problema tiramos:

--~T__.-1._.I iI I

x = D = 8 m = 800 cmy

e

dx=2cmdy=3cm

-A

=1'

~~=~ De A

.

=

X; [

-=-

aA

Ento, da

Q)

=>

dA

=~

dx

+ ~ dy

ay

x 2

Ldx_dA_ = 2 A xy

~dy

+_2_xy

2

2

dA

=

dx

+ dyy

A

x

Substituindo pelos valores dados no pro~lema,

A = 800A = 400100dA

dA

2

3

+ +

600 1 200

1

= 400

3

Ep =

A'

dA

logo:

Sp =

0,75%

PRs Calcule o valor aproximado de (sen 30 10')(cos 59 50').Soluo:

1. Frmula:

f(x

+ !::J.x,y + !::J.y)::::f(x, y) + dz

2. Substituio de f: sen (x

+ !::J.x)cos (y +

!::J.x)::::sen x cosy + dz

3. Determinao de dz:

z

= f(x,

y) = senx cosy cosy dz seny

z

C

z a = cosx x=>-

= (cosx

cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y =>

zy

= -senx

=>

sen(x

+ !::J.x) cos(y + !::J.y):::: senx cosy + (cosx cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y ,

x + !::J.x= 30 10' x = 30=> e

!::J.x= 10 ==--==----> !::J.x= 60' 0,017 = 0,003 y + !::J.y= 59 50'y

,

10'

=

60

===>Substituindo na ==:==>"

!::J.y~ - 10' ===.> !::J.y= - 0,003

CD =>+(cos 30 cos 60)0,003 - (sen 30 sen 60)(- 0,003) 1 y'3" + 2" -2- 0,003

sen 30 10' cos 59 50' ~ sen 30 cos 60

sen

300'

o, 1 1 V3 1 10 cos 59 50 :::::. 2" 2" + 22"0,003

sen 30 10' cos 59 50'

=.1 +- 4

2 0,003 4

VI

sen 30 10' cos 59 50' :::::0,25 + 0,0026 sen 30 10' cos 59 50' :::::0,2526 PR9 Calcule o valor aproximado de

J (3,86)3

X 36,74 sen 150 10'.

Soluo: Temos uma funo de 3 variveis independentesw =

f(x, y, z)

1. Frmula:f(x

+

6. x, y

+

6.x,

z +

6.z) ::::: f(x, y, z)

+

dw

2. Substituio de f:

..j (x + 6.X)3(y +3. Determinao de dW: dv.. : w

6.y) sen(z

+

6.z) :::::

J x3y

senz

+

dw

ow =ox

b.x

+ ow oy

b.y

ow +oz

6.z

= f(x,

y, z)

=..j x3y---3x2 1

senz

ow = ox

2

..J x3y

ysenz3x2y senz 2..j x3yA

=>--

dw =

+

uX

owOZ

= V

r7C: 3

x y cosz

+

x3senz

2vx~

rr:: ;-::;::: 6.y + V X'Y cosz

6.z -->

.6.z) :::::..J x3y senz

=>

..j (x +

6.X)3(y

+

6.y) sen(z

+

+

+

3 x 2y sen z A + x 3 sen Z A + ~ A ~3 uX ~ uy V .~"'Ycosz uZ 3 2 vx y 2 vx y

CD==36,74 36

x

+

6.x = 3,86

x -->6.x

=4

y y =>

+

b:.y

=-

0,14

6.y = 0,74

z + 6zz => Substituindo na =>

=

15010' 0 = 150

6z

=

10' ==> 6z

=

60' 0,017

10'

.

=

0,003

CD

>0 0

..j (3,86)336,74 sen 150 10' '" ..j 43 . 36 sen 150 +~sen 30

++

3

4 36sen1S0 2 ..j 43 . 36 '36

2

(-O 14) '

+

4 sen150 074 2 ..j 43 . 36 '

3

+

(v' 43

cos 150) 0,003 3 . 16 . 36 .1

)(3,86)336,74

sen 150 10' :::::: 2364

6 . ; + .

2 23

6

.2

1.+ 23

. (-0,14)

+

2_ . 0,74 2 . 23 . 6

6 . _V3_3 . 0,003 2

)(3,86)336,74

sen 150010' :::::: 24 - 1.26

+ 0,246 + 0,125

) (3,86)336,74 sen 150010' :::::: 23,111

PI'it Ul Calcule o valor aproximado

do nmero (0,998)4.003.

Soluo: A funo do tipo z = xY

1. Frmula: f(x

+

6.x, y + 6.)) :::::: f(x, y)

+

dz

2. Substituio de f: (x

+

6.xY'+6y

:::::: xY

+

dz

3. Determinao de dz: dz

az 6x + -az = -::ox ay

6y

~=YXY_1

De z

=

xY

ax=-==--=-->

[

dz = yxY

-1

6.x

az ay

+

=x

Y

Qnx

+ +

(xY Qnx)b.y (xY Qnx)b.y

==> (x

+

b.x)Y+6Y

:::: xY

+- yxY-1b.x +

CDb.x b.x

4. Adaptao ao exerccio:x

+

=

x====>:

0,998 = 1

y

+

b.y = 4,003

Y-->

=46.y

=+

0,002

=

0,003

Substituindo

na

CD4 13(-0,002)

(0,998t,003:::: 14

+

(l4Qn 1)0,003'--.r-"O

(0,998)4,003 :::: 1 - 0,008 (0,998)4,003 '" 0,992 PR 11 Determine a diferencial total, de 2? ordem da funo z == x3 - 4xy2 - 2y3.Soluo: d2z ==

+

2 x2y -

(az ax+ az2

dx

+

az ay

d )

Y

2

=

a z ax2

2

(dx)2

+

2 ~

axay

dx d

Y

+

ay2

(d .)2 Y

d2z = (6x

+

4y)(dx)2

+

2(4x

.- 8y)dxdy

- (8x

+

12y)(dyi

PR 12 Calcule a diferencial total de 3? ordem da funo z

=!.-. ye

x

Soluo: A frmula de d3z : d3z

= [az+.

ax3.

dx3

+

az d ] 3 = a z (dx ay Y ax3)dx (dy)2

3

3

+

3.

a z . (dx)2d y. + ax2ay

3

axa2y

az

+

az

3

ay3

(dy)3x ey

Determinemos as derivadas de 3~ ordem da funo z

=

e

= eX

-

y

.. az _ - axay

x-y

e

r 1

Determine as diferenciais totais de 1~ordem em cada caso:

PP1 z = e2n J 2xseny-y2Resp.: dz

=

(seny)dx

.J 2x seny

+

(x cosy - y)dy

_ y2

x+y z~sen-.-1 + xyResp.: dz

.1 - y2

= [

(1

+ xy)2

cos x + Y ] dx 1 + xy

+[

1- x x (1 + xy)2 cos 1

2

'+ y ] d + xy . Y

z=R

x-yx

+Y. d - 2 y dx - 2 x dy z (x + y)2 xzeY (yeZ-

esp..

pp 4

W

=

xyeZ dw

-

+ yzeXzeY-

Resp.:

=

+ yzeX)dx

+

(xeY - xzeY

+ zeX)dy +

+

(xyeZ

xeY + yeX) dz

PPs )Na medida da acelerao da gravidade usou-se a frmula T

.

=

217'

Vg'

fi,

tendo o comprimento Q do pndulo medido 1 m, com erro de 0,01 cm, e o perodo da oscilao 2 s com erro de 0,001 s. Calcule o erro percentual cometido em g.Resp.: 0,9% - ,"

,

"

.....

,

,

........

PP6

Na medida da distncia dos pontos A e B, em virtude do obstculo O, foi necessrio medir as distncias AC = 150 m e BC = 200 m, perpendiculares, com erros de 1% e 2% respectivamente. Determine o erro absoluto em AB = z e o erro percentual em a.Resp.: dz

=

4,1 m e 100 -

daa

=

2,2%

PP7

A rea de um losango foi medida, determinando-se as medidas de suas diagonais. A diagonal maior mediu 100 cm com erro de 0,002 e a diagonal menor 50 cm com erro de 0,004. Calcule o erm absoluto cometido na rea do losango.Resp.:

15 cm2

PPs

Na determinao da medida do volume de um cone foi cometido um erro em virtude dos erros de 2 10-3 e 1 . 10-3 cometidos, respectivamente, nas medidas do raio e da altura. Calcule o erro percentual no volume. Resp.: 0,5%

PP 9

Na medida do pe;odo de oscilao de um pndulo

(T

=

2"

A)

cometeu-se

um erro motivado pelos erros cometidos nas medidas do comprimento Q e da acelerao g,que foram de 0,001 e 0,002, respectivamente. Calcule o erro relativo em T. .

PP 1. Calcule o erro relativo cometido na medida do volume de um paraleleppedoretngulo, sabendo-se que nas medidas de suas dimenses foram cometidos os erros de 0,02; 0,04 e 0,04, respectivamente. Resp.: 0,10 sen 29 55' 'Pu Calcule o valor aproximado de tg 45 30' Resp.: 0,4903 PP12 Calcule o valor aproximado de -y!57 cos 59 50'. Sugesto: O nmero quadrado perfeito bastante prximo de 57 56,25. ' Resp.: 3,793 24,936 81,082 . Resp. 0,5545

PP14 Calcule o valor aproximado de Sugesto: x Y

.J (4,99)3

- (2,02)2.

+ 6.x = 4,99 + 6.x = 2,02

x=5 y=2

Resp.: 10,96 PP1S Calcule o valor aproximado de sen 290 cos 610 Resp.: 0,235278

j

(I

+ y)(1 + z)

1 +x

Sugesto: Faa corresponder a x + D..x o valor 1 + x, o que dar D.x Proceda da mesma forma para 1 + Y e 1 + z.Resp.:

=

1.

Ai [1 C - ~- ~)]+;

PP17 Calcule o valor aproximado de Resp. : 1,00055

V sen 30 5'

+

cos 59 58'.

PP18 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da funo z Resp.: d2z

= x2seny + y2senx.+

=

(2 seny - y2 senx)(dx)2 + (2 senx - x2 seny)(dy)2

+Resp.: d2w

2(2x cosy

+

2y cosx) dxdy

PP19 Determine o diferencial de 2:(1 ordem da funo w = eXYz.

=

wy2z2(dx)2

+ 2 w(l

+ X2Z2W(dy)2 + X2y2W(dz)2 + + xyz)(z dx dy + ydxdz + x dydz)

PP20 Determine a diferencial de 3:(1 ordem da funo z = Qn~. y Resp.: d3z = 3' (dxY -"3 (dy)3X

2

2

Y

PP21 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da funo w = eX Qn xy. Resp.: d2z = ( eX Qnx__ eX

2ex eX + -- 2 +x x

eX Qny

)

(dx)2

2ex +Y

dxdy

-

(dy)2

y2

,j '-o.I!

I

4

I

FUNES COMPOSTAS

A esperana e a alegria so remdios preciosos na farmcia da alma.

4.1 -

FUNES COMPOSTAS DE UMA VARIVEL INDEPENDENTE

Neste caso, z depende da nica varivel t e, para calcular sua derivada :' podemos eliminar as variveis intermedirias x e y, fazendo z = /111 (t), /2 (t)] = = F(t) e derivar diretamente z em relao t. Procederemos de outra forma, sem eliminar x e y, estabelecendo uma regra de cadeia. Para tanto, no ponto t, atribuamos varivel t um acrscimo D.t. Correspondero os acrscimos ~x e D.y s variveis x e y, e funo z, o acrscimo D.z. Assim: D.x = D.y

/1 (t + D.t) = /2 (t + D.t)

-

/1 (t) /2 (t)

Como z = / (x, y) diferencivel ==>

->

D.z

= az ax

D.x

az + ay

,y

+

771.6.X

+

772D.y

~o ~o -> o ~o!H-O

" f::.z dZ}" 6.x I1m - = 1m f::.t dX 6.t '----y------"6t-O

+dZ

dY

6t-"'0

l' 6.y + I' 1m 1m6.t6t-o~-v

T'/l -

6.x

+ 1

6.[/

6t-o

im

T'/2

f::.y'A

t

u

'--v---"dz

'-----v---"dy dt

'-v-------'O

dx

O

dt

dt

Esta frmula se estende para o caso deZ

=Xi

l(xI,

X2,

X3,

..

,

xn)

onde cada

funo diferencivel da varivel t:

-=--+--+ dt dXl dt dXzdz dt =" Exemplos: E1

dz

dZ dXl

dZ dX2 dt

...

+-dXn

dZ

dxndt

II

n

=1

dZ d:xi dX' d;1

Determine a derivada de y = cost. Soluo: Notamos queZ

Z =

x3

-

4x2y

+ xy2 -

y3

+ 1, com x = sent e

=

I (x, y)=>

e

x

= 11 (t)

e(t)

z

=

1[11 (t), 12 (t)] = F

Determinamos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de x e y em relao t

z

C

az ax-

= 3x

2

-

8xy

+Y

2

dx

dt = cos t

az ay

= - 4x

2

+ 2 xy - 3 y 2

dy = -sent

dt

E2

No exerccio anterior, calcule a derivada no ponto t Soluo: Como ~~ = (3x2 - 8xy calculemos:

= ~.

+ y2)

cos t

+

(4x2

-

2xy

+

3y2) sen t

x = sen"6=2"1T

1T

1

y=cos-=-6 2

-vf3

'd o em dz Sb u ' StItUlD dt' vem: dz = (3 . 1-_ 8 . 1. . ..j3 + cos 1T dt \ 4 2 2 4 6

1)\

+

+4 .l._ 2 .l.. v'3 + 3 .1-)sen!!. \ 4 2 2 4 6dz = (~_

2 v'3 + 3) y'3 + (1 _ y'3 +

dt dz dt

\4

.

4

2

2

4

9) . .l2.

=~. y'34 2

-2y'3

. ..j3 +.!i 2 4

.1._ V3 . .l2 2 2

dz = 3 v'3 dt 4

_3+11

13 _ 8

v'34

)

-=---dt 4

dz

2..j3

8o

_dz = _4 ..... Y3_3_-_I_I__ dt 8 --.>

dz = dt

_(11 - 84 Y3) \,

F3

Derive w = eXYz, com x = 2 t, Y

=

1 - t2 e z = 1

+ t.

Soluo: Como vemos, w = f (x, y, z) com x = fI (i); y . f2 (t) e z = = f3(t). Ento, w = f (fI (t), f2 (t), f3 (t)] ==> w Logo: dw = dt

=

'P (t)

aw ax

dx dt

+ aw

dy ay dt

+ aw

az

dz dt

CD-=2 dtdx

-

w

aw' ax aw ay az

= yzexyz = xzexyzxy

e

!!z = -2tdt-=

aw -=xyeSubstituindo emdw ==> -

Z

dz dt

1

CD =>=2 yzexyz - 2 txzexyz

dt

+ xyeXYz

dw = eXYz (2yz - 2 txz dt

+ xy)

4.2 -

FUNES COMPOSTAS DE 2 OU MAIS VARIVEIS INDEPENDENTES

Seja a funo z = f (x, y) uma funo diferencivel e suponhamos x = = f1 (s, t) e y = f2 (s, t), tambm diferenciveis. Neste caso, z depende das variveis s e t e,. para calcular suas derivadas

". parcIaIs

az e ai' az po demos e1" ., . mterme . d"' . x e y, a:; lmmar as vanavelS lanasz

f azen d o

= fft1

(s, t), f2 (s, t)] ==>-

z

=

F(s, t)

e derivar z, parcialmente, em relao varivel s e em relao t. Procederemos p~la regra de cadeia:

az as azat

=

=

az ax + az ay ax as ay as az ax + az ay ax at ay at

Exemplo:

zonde xSoluo:

= p

senxy

+

eX-Y,

=z

sen O e y

=

p

cos O.

= f(x,

y),

onde x

= fi

(p, O) e y

= f2 (p,

O) --> z = F (p, O).

Logo:

az ap az ao

=

=

az ax az ax

ax + az ay ap ay ap ax + az ay ao ay ao

CD

Determinemos as derivadas parciais de z em relao s variveis x e y e as derivadas parciais de x e y em relao s variveis p e O.

z = senxy + eX-Y

C

~~y

X = y cosxy + e -Y

x = pscne

az =xcosxy - eX-Y -

C

lx= sen e lpy = pcoseX

C- eX-Y)cosO

ly= cos e lpy

e=pcose

ae=

-psene

Substituindo nas frmulas

CD -->+ eX~Y)senO + (xcosxy + eX-Y)pcosOy, z) com x - (xcosxy (p, O), Yw

;~ = (ycosxy

~; =

(ycosxy

- eX-Y)psenO O) e z

Admitamos a funo w = f(x todas diferenciveis.w =f

= fi

= f2(P,O)

= f3(P,

O),

Ifl (p,

0),12, (p, O), f3 (p, O)] -->

= F (p,

. d as parCIaiS .. de w sao As d enva

aw ap

e

aw ao '

. calCul adas: aSSIm

J a funo z = f (x, y), onde x = fI (p, (J, a), y ClavelS==>. z = f ftl (p, O, a), f2 (p, O, a)] --> vadas parciais:

=

f2 (p, O, a), todas diferenz = F (p, O, a) e suas deri-

az = az ax ao ax ao az aa

+

az ay ay ao az ay ay aa

=

az

ax +

dX aa

Como vemos, mediante esta regra, podemos estabelecer frmulas de derivao, qualquer que seja o nmero de variveis independentes.

Exemplo: Determine a~ derivadas parciais de zx

=

2x2y

- 4xy'2 - y3, onde

= p2 O sen a

e y = pO cos 2 a. suas derivadas parciais

Soluo: Em ltima anlise, z = F (p, O, a). Ento, az az az . , ap' ao e aa podem ser calculadas pelas formulas az = az

ap

ax +ax

az ayayap

ax ap

az = az

ao

+

ax

az

ay

ao

ay ao

Calculemos as derivadas parciais de z em relao s variveis x e y e as derivadas parciais de x e y em relao s variveis p, O e a.

-. = 4xy - 4y

ax a . -.!... = 2 x2 - 8 xy ay ax ap = 2pOsena-

az

2

3 y2

ay = O cos2a ap-

ax

ao ax

= p sena2

2

ay ao aa

= pcos2a= -2pO

-=

aa

P Ocosa

ay

sen 2a

Exemplo:

zonde xSoluo:

= senxyp

+ eX-Y,

=

sen O e y = p cos O.

z = I(x, y), onde x = 11(p, O) e y

= 12(p,

O) --> z

=

F(p,

O).

Logo:

az = az ax + az ay ap ax ap ay ap az = az ax + az ay ao ax ao ay ao

CD

Determinemos as derivadas parciais de z em relao s variveis x e y e as derivadas parciais de x e y em relao s variveis p e O.

z

= senxy + eX-y

C

~~Z

= y cosxy

+ eX-Yx = pscn8

X=sen8p

(y = pcose

y =cos8 p

- =xcosxy y

- e

x-y

(

X - = p cos e

e

-y

e

= - p sen e

Substituindo nas frmulas

Q) ==>+ eX~Y)sen O + (x + eX-Y)pcosOcosxy - eX-Y) cos O eX-Y)psenO

~~= (y cosxy

~~ =

(ycosxy

- (xcosxy:"'-

Admitamos a funo w = I (x y, z) com x todas diferenciveis.w

= 11(p, O), Y = 12(p, O) e z = /3 (p, O),=F(p, O)

=/

[(1 (p, 0),12 (p, O), 13 (p, O)] ==> w

. d as parCl3.1Se .. d w sao As d enva

aw ap

e

aw ao '

. calcul adas: assun

oz= (4xy p O

- 4y2)2pOsena

+

(2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2a

4.3 -

DIFERENCIAO

DE FUNES COMP9STAS

Vimos, no captulo anterior, que dada a funo z variveis livres, sua diferencialoz dz=-dx+-dy ox oz oy

=

f(x, y) com x e y

Admitamos que x e y sejam funes diferenciveis das variveis independentes p e O. Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) --> ==>z = f [(1 (p, O), f2 (p, O)] ===>" Z = F (p, O)

Ento a diferencialdz

=

oz d op p

+

z dO 00

CD

dx = ox d

op

P

+

ox dO

'e

dy =

oY op

dp

+ oy

00

dO

Multipliquemos a

0 poraz~ d

~~ e a

0 pordO

~;:

OZ dx = OZ OX d OX OX op p

+

oz ox dO ox 00 ay

OZ day

Y

=

ay

ap

p

+ az ~

ao

Somanrfo membr-o a membro

az ax

dx

+ az

d

ay

lY

=

(az ax + az ~) ax ap a~ apv

d p,/

+

(az ax + az ~) ax ae ay ae\V'j

de

'---v'---/'

dz =

az ap

dp

+

az ae

de

6l1"\ ~

Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x y = p2e. -

=

p sen ~ e

az ax az

=y - 8x

-

ax = sene ap

-=x

ay

-ax = pcos()

ae

=- = 0' dp ax ap + ayap

az

dz dx

dZ

ay

8 x) sen () + x 2 p()2

az = az ax + az ay = ae ax ae ay dedz =

(y - 8 x) p cos () + xp

[0' -

8x)sene

+ 2pexld~

+ [0' -

8x)pcos()

+ p2X]

de

4.4 -

FUNES IMPLCITAS

Tomemos a funo y = f (x) definida implicitamente pela equao F (x, y) = = O. Podemos escrever tal equao C01l}.O F [x, f (x)] = O, portanto o 19 membro da equao dada uma funo de x que constante (igual a zero). No estudo destas funes no Volume I, demos um tratamento prtico. Tomemos um exemplo 2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O. Derivamos a funo considerando y = f (x), ento a parcela 2 xy3 derivamos como produto, y3 como funo de funo. Assim:2y3

+

2x 3y2 dy dx

+

2y dy dx

+

dy - 8x - 1 dx

=O

aa

z = (4xy - 4y2)2pOsena p

+

(2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2a

4.3 -

DIFERENCIAO

DE FUNES COMP9STAS

Vimos, no captulo anterior, que dada a funo z = f(x, y) com x e y variveis livres, sua diferencialaz dz=-dx+-dy az

ax

ay

Admitamos que x e y sejam funes diferenciveis das variveis independentes p e O. Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) --> ==> z = f

VI (p, O), f2

(p, O)] ==> Z = F (p, O)

Ento a diferencialdz = az d

ap

p

+ ~dO ao

CDdO

dx

= ax

ap

d

P

+ axnO

dy =

ay ap

dp

+ ay

ao

dO

por ~;:dO az

Multipliquemos a

(3)

por ~~ e ad

az ax

dx = az

ax ax ap ap

+pp

ax ax ao ao

az d = az ~ ay Y ay

d

+

az ~ ay

dO

Somanrio membr-o a membro

az ax

dx

+ azV

ay

d = Y/

(az ax + az ~) ax ap a;: ap ,V

dJ

p

+

(az ax + az ~) ax ae ay aeV /

de

dz

az -

ap

-

az ae

dz = -

az ap

dp

az +a8=

de xy - 4 x2 onde x

Exemplo: Determine a diferencial de zy = p 8.2

=

p sen (j e

-

az ax az ay

=y - 8x

-ax ap = ax

sen8

-=x

-

ae = pcose+ x 2 pe+ xp2

az = az ax + az ay = 0' ap ax ap ayap az ae=

8 x) sen e

az ax az ay _ ax ae + ay a8 -

(y - 8x)pcose

dz = [(y - 8x)sene

+ 2p8xllp

+ [0' -

8x)pcos8

+ p2x]d8

4.4 -

FUNES IMPLCITAS

Tomemos a funo y = f (x) definida implicitamente pela equao F (x, y) = = O. Podemos escrever tal equao corno F [x, f(x)] = O, portanto o 19 membro da equao dada uma funo de x que constante (igual a zero). No estudo destas funes no Volume I, demos um tratamento prtico. Tomemos um exemplo 2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O. Derivamos a funo considerando y = f(x), ento a parcela 2xy3 derivamos como produto, y3 como funo de funo. Assim: 2 y3 + 2 x 3 y2 dy + 2 y dy dx dx

+ dy

dx

- 8 x-I

=O

Coloquemos :

em evidncia:

(6xy2 + 2y

+

1) :

+ (2y3-_ 8x - 1)

= O

(6 xy 2

+

2y

(3 + 1) -dy dx = - .2 y

- 8 x-I

)

dy = _ 2 y3 - 8 x-I dx 6xy2 + 2y + 1

aFdy _

dx - - aF

ax

ayCom o estudo das funes compostas estamos habilitados a dedzi. esta frmula a partir do exemplo genrico F [x, y] = O. Assim:,

d dx F [x, y]

=

aF dx axdx '-v-"1

+

aF dy

ay

dx= O (lembremo-nos que y

= f(x))

ax

aF + aF !lJ!...

ay

=

O

dx

aF dy

ay

dx

= - ax

aF

dy dx

aF = _ axaFay

Tomemos z = f (x, y) definida implicitamente por F (x, y, z) = O, diferencivel. Como z funo de duas variveis independentes, ela admitir 2 derivadas parcIaIs

.. az ax

e

az ay'

D

etermmemo-Ias:

.

y constante emrelao ax ~

~ F (x y z) ax "

= aF

dx + aF

ax dx~

ay

ay + aF az ax az ax'---y--/

=

O

1x constante emrelao ay ~

O

~ F (x z) ay ,y,

= aFaxax

ayO

+ aF dy + aF az =ay dy az ay'-v-' 1

O

~

aFaF + aF az = O __ ax az ax > _az = __ ax_ ax aF

azaFaF + aF az ay az ay

=

O

> az ay

= _ ayaF

azExemplo: Derive 2x2yz - 4xy2z2 + 6xz3-

4 yz

+

1 = O.

- Determmemos . aF - destas, as 2 outras S o Iuao: ax' aF ay e aF az' E m ca da denvaaovariveis so consideradas constantes.

ay

aF = 2x2z _ 8xyz2~~ = 2x2y - 8xy2zv

-

4z 18xz2 4y

+

-

aF-

az

ax

-

ax ----

aFaz

4xyz - 4y2z2 + 6z3 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y

oFoz _ Y _ 2x2z - 8xyz2 - 4z oy - - oF - - 2x2y - 8Xy2z + 18xz2 4y

zSISTEMAS DE EQUAES Seja o sistema formado por duas eauaes de trs variveis: f1 (x, y, z) { onde

=

O

12 (x, y,

z)

=O

e /2 so funes diferenciveis. Cada equao representa, como vimos, uma superfcie do R3 e o sistema representa o lugar geomtrico dos pontos de R3 comuns s duas superfcies, a curva interseco das duas superfcies. Procuremos as derivadas de x e de y em relao a z. Se pudermos resolver o sistema de modo a exprimir cada uma das duas prime~ variveis como funo da terceira:

11

x

= g (z)= g' (z)

e

y

=

h (z),

dz

dx

dY=h'(z)

dz

Se-no pudermos ou no quisermos explcitar as funes x e y, da varivel z, aplicamos as derivadas parciais de funes compostas na determinao de : Assim: e: .

r

0/1 dx + 011 dy + 0/1 dz = Oox dz oy dz oz dz1

-1

0/2 ri 0/2 dy /2 dz --+--+--=0ox dz oy dz oz

E!

af1 dx a/1 dy --+---=-ox dz oy dz

a/1

az012

al2

dx

+ al2 EJ: = _oy dz

ox dz

az

Sistema de duas equaes cujas incgnitas so :

e :

.

Calcule as derivadas :

e:

no ponto P (3, 1, 8). 2x2

Facilmente explicitamos x e y em funo de z. Somando as duas equaes, membro a membro, =>

x =

j_z + z + 742

+ Z2

=Z

+ 74

2

.

(no ponto consIderado xZ2

.

> O)

Subtraindo ==> - 2 y2 Y _.

-

=Z

-

74

j~z2 - z +2

74

(no ponto considerado y

>

O)

10) dx

= 1.

. dz

-2z + 1 ~2v'-Z2+Z+74

=

-16 + 1 4.J-64+8+74

=_

IS 4.J18

20) E!l.. dz

= 12 2 v'

-

2z -

-Z2

1 = 1. -16 - 1 _ _ 17 Z + 74 2 2 v' -64 - 8 + 74 4 '\f

I ~=_17j2E2 . dx dz t d Determmemos dz e dy no SISema e equaoesX2 {

+ 4 y2 + Z2+ y2-

-

12 = O

x2

2z - 1 = O

no ponto A (2, 1, 2).

Apliquemos as derivadas parciais de funes compostas.1 --+--=-x dz y dz

/

dx

/1 dy

/1z

lz dx x dz

+ lz

~ y dz

=_

lzz

2X: +dx

8y:dz

=-2z

2x dz

+ 2y

dy .

=2

No ponto A (2, 1, 2) 4 dx

dz dz

+

8 dy = -4

dz

4dx+2El.=2

dz

Subtraindo

- > 6

t

=- 6

>

Itdz

1

I

>1 ~~

111

Substituindo na 2~ ddzY por - 1 ==.> 4 _dx - 2

'2 ==>

I

dx

dz

I

PR1 Derive z

= xZy

- 4, onde x

= =

senO e y

=

cosO. z

Soluo: Como z

=

I(x, y), onde x

=

/1(0) e y :- Iz(O) ==>"

=

= 1[(1(0),/2(8)]Entodz z dx

> zz dy

F(O).

dO = x dO

+

y dOdx - = cosO

z

C

x z

z = 2xy2

dO

y

=x

!!l... = dO

- sen O

dz

dO = 2 xy cos O - x2 sen O~

PR2

Determine a velocidde angular do vetar posio OP, sendo O (O, O) e P(x, y), com x = 1 - 2 t2 e y = 4 + t2, no instante t = 1 s.Soluo:

No instante t = 1 S ====>

X=1-2=-1 { y=4+1=S

--> P(-l,

5)

A velocidade angular do vetar

oP w

= ~~'

derivada do ngulo O em relao a t, por ser o ngulo descrito na unidade de tempo. Da figura, = are tg L.x

tiramos

tg O

=L ==> X

O =

Como y = g (t) e x = h (t) e O = f (x, y) > ==-> O = f fg (t), h (t)] ==> O = F (t).

w::;;-=--+-dt

dO

ao

dx

aoay

dy

ax

dt

dt

J:1W

= -4t

dy = 2t dt

====>:

W

= dO =

dt w2

x2

4 ty

+ y2 di

+x2

2 tx

+ y2

_4ty+2txxX

+Y

2

r s

No instante t

=

= -1

1, {

y = 5

>

>w=--------1 + 2S18 w = 26w = -

4 . 1 S

+

2 . 1 (- 1)

9 rd/s 13

De um funil cnico escoa gua razo de 36 7T cm3/s. Sabendo-se que a ge~atriz faz com o eixo do cone um ngulo a = 30, ache a velocidade com que baixa o nvel da gua no funil, no instante em que o raio da base do volume lquido for igual a 4 cm. Soluo: Consideremos um corte ABC do funil.

B

O volume do funil V = -3-' Logo, V =

7TR2h

= f(R,

h), porm R = fI (t) e h = f2 (t),pois o

nvel baixa com o. tempo, variando a altura e o raio conforme t.

dV = av dR dt aR dt-= aR -=-

+

av dh ah dt

CD

(velocidade de variao do volume)

av

27TRh3

avah

7TR2

3

Do tringulo retngulo ABD tiramos tg a = ~ ou tg30 =ho

R

>-=3 h

..j3 R

>h=-

3R

..j3

>h=R..j3

No instante em que R27T

= r3

= 4 cm ==> h = 4

-J3

cm,

avaR

-

4 4 3

..j3

=

327T..j3

ave ah

7T.

=

16 3

=

161T-3-

Como, ~~

=

36rrcm3/s, substituindo na

CD, vem:

36rr = 32rr3

.v3 dRdt

+

16rr dh 3 dt

h

=

R . ;-:::;-3 ===> dh = V.:J dt

;-:::;-3V.:J

dR === dR 1 dh dt > -dt =-y'3-3 -dt

36rr

=

32 rr >p?

1

dh

+

3 108rr = 48rr dh dt dh 108 1T dh dt = 48 rr ---> dt

~dt

16rr dh 3 dt

= 4"

9

. . cm/ s, velocIdade com que baixa a altura do

lquido no funil, no instante em que r = 4 cm. PR4 Determine a velocidade de variao do volume de um paraleleppedo retngulo, sabendo-se que as arestas da base crescem razo de 2 cm/s cada uma e a aresta vertical decresce razo de 1 cm/s, no instante t, em que as arestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm.Soluo: V = xyz, logo:

V

= f(x,

y, z)

e

x = g (t), Y

=

h (t) e z = i (t)

Por outro lado, a velocidade de variao do volume /'~~

~----------- --

dV , d ad a por dt ' que nos e

dV =

dt

a V dx + a V ~ + a V dz ax dt ay dt az dtdz

CD

-

dx dy = - = 2cm/s dt dt

e

dt = - 1 cm/s (velocidade decrescente)

-=yz

av ax av -=xzay-=xy

aXt

av =

20 X 60 = 1.200 em2

-

av

aYt

= 30 X 60 = 1.800 em2

av az

aZt =

av

30 X 20

=

600 em2

Substituindo na

CD

c;:; = 1.200 2 + 1.800 2 + 600(-1) c;:; 2.400 + 3.600 - 600=

dV

dt = 5.400 cm3/s

PRs

Os lados de um tringulo em certo instante mediram 60 cm, 40 em e 70 cm. Sabendo-se que os dois primeiros crescem razo de 1 em/ s -1 e 2 cm/ 1, respectivamente, e o 3Q decresce razo de 2 cm/ 1, determine a velocidade de variao do ngulo formado pelos 2 primeiros lados, no instante considerado.C

Soluo:dx

dt

=

I cm/s-1

e - = 2 em/s-1 dt dz dt = - 2 em /-1 s

d)!

Fig.4.4.

Do tringulo ABC, atravs da lei dos eo-senos, tiramos:Z2

=

x2

+ y2

- 2xy cosa

CD

Do problema, conclumos que a = f (x, y, z), sendo x, y e z variveis funes de t, logo a = F(t) Da

CD tiramoscosa

=

x2

+

y2 _ Z2

2

xy

==> a

=

x2

+

y2 _ Z2

arccos

2

xy

dcx = acx dx dt ax dt acx

+ acx dy + acx dz

ay

dt

az

dt

1

-ax- - - }

_

(X'+2~~ -

zy ,

4x2y - 2y(x2

+ y2 - Z2)

4_X:y2u~v - uv~v2

..

No instante considerado t

acx

-ax

= -)

1 4 3.600 40 - 2 40 300 _ ( 300)2 4 . 3.600 1.600 1 4.800 576 - 24 ~56 - 1 360 64 256 16 4, 1

-

--;;::===

j

-

-

23 60V25S

-=

a cx

ay

-

..J25516

60 1.600 - 2 60' 4 . 3.600 . 1.600

300

--

29

120..J255

acx

a z - ..J255

70 60 40

-

7 15 V25S

dcxdt

=-

23. 60

1 _ 120

29

2

Vill- 58 - 112

Vill

+15

7

(_ 2)

Vill

dcxdt

-46

.120

Vill

-=----dtda = _

da

216

120..j2559 rdS-1

dt

5..j255

o

ngulo a, no instante considerado, decresce razo de

5

Jm

255

rd 1.

PR, D~ive

z

=

t'tgy,

onde x

=

p2 - 4 e y

=

3p.

Soluo: Conclumos que z = f(x, y), onde x resulta

= f1

(p) e y

= f2

(p) do que

dz =

dp

dx ox dp

oz

+ oz

dy

oy dp

Achemos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de x e y em p. Preparemos a funo: F. P. > Z = (tgy)1/x.~z

=

(tgy)1/X

(-~)Qn(tgy)

(derivada de funo

x z

\

xsec2y

, exponencial de basea)

=

(tgy)l/X

OZoy

=.1 (tgy)(l/X)-lx

(derivada de potncia datgy)

dx dp = 2p

dy = 3dp

Aplicando a frmula dz = [_dp

CDQn(tgy)]

Vtgyx2

2p

+

[.1X

(tgy)1/x-isec2y]

3

(tgy)az a x = fr, (t, s) azay1"' JS

(t, s )

= - fr (t, s)

,

+ fs

,

(t, s)

aFdy _

d:x - - aF

ax

ay

F

C=_

-=yXQny

aFax ay

aF _ --xy

X-I

- 1

dy dx

=_

dy dx

yXQny

x--l

yXy

dy = _ yyX Qny = _ yX + I Qny dx xyX _ Y xyX _ Y dy = yX+IQny dx y _ xyX

PRI2 Determine :

sendo 1

+ xy

- Qn (exy

+ e-xy)

=

O.

Soluo: Como vimos:dy _

aF ax

d:x - -

aFay

aF = yF

- ye

xy

_

ye-

xy

= yexy + ye-xy = xexy + xe-xyeXY

- ye

xy

+ ye-xy =+ xe-xy=

2ye-

xy

C

ax

eXY + e-xy _ xexy - xe-xy eXY

eXY + e-xy - xexy

eXY + e-xy 2xe-xy eXY + e-xy

aF = xay

+ e-xy

+ e-xy

Aplicando a frmula:2ye-xy dy dx

= _ eXY + e-xy = _L2xe-xy eXY + e-xy x

I

dy d:x -

Y x

I

PR13 Dada a equao x2

+ y2 -

Z2 -

4xy - 2x - y = O, determine ~: e ~;.

Soluo: Vimos que dada F (x. Y. z)

=

O temos

aF

az ax ax - - aF

az _ ay ay - - aF

aF

az. Deternunemos-=

az. aF aF ax' aye

poIS

aF az

aF

ax

2x - 4y - 2 = 2y - 4x - 1

aF

ay

az

aF

=

-2z

az ax - az

2x - 4y - 2 = x - 2y ~ 1 -2z z

2y - 4x - 1 _ 2y - 4x - 1 ay - -2z 2z

PR'4 Dada a equao x2Soluo: De x2

+ y2

= 16, determine .:; e ~;~.

+ y2

= 16 ====> x2

+ y2 - 16

= O

Procuramos

aF dx _

ay ax

dy - - aF

Detcrnunemos

.

aF aF ay e ax

F

C

aFayaF= 2y dx

=_

dy

2y ==> 2x

dx =

_Lx

dy

-=2x

ax

PR1S Determine as equaes das retas tangente e normal curva x2 ponto T(3, -4).

+ y2

= 25 no

Soluo: Sabemos da geometria analtica que a equaode (t) y - Yl ='a(x 1de (n) Y - Yl = --(xXl)

a

-

Xl)

onde a

= :.+4= a (x - 3)..!..(x - 3)

Ento (t) Y

e (n) Y

+ 4 :.- dy

a

aFCalculemos a = -

dx

= ---

ax aF

Partindo de F

==---:.

".c+3

ay

aF

ax aF

= 2X__ 2x x --:> a = - -2y-= - y =

. .

-=2y ~

=-

3 -4

="4

3

Substituindo em (t) e (n) a por :. tangente (t) y 4 ="4(x - 3)

:> 4y

+

16 =

= 3x - 9 ==:> 3x - 4y - 25 = O normal (n) y + 4

.. "

= - 3" (x= -4x

4

- 3)

:> 3y +_12

=

+ 12 ==> 4x +3y = O

PR16

d y sen dO 3 x 2 - 4 Y 2 = 12. Determme dx 2

2

aF'Soluo: Calculemos := - ~~

ayPartindo de F====">

C~~aF

=

6x

> dydx

=_~dydx

-8y3x

ay=-8y

>-=2

4y

d I tt ' d . dy , 1/ Se ch amarmos dy dx e y , en ao nos res ara etermmar dx2 que e y .I 3x Como y = 4 y , resulta

y" = ~(~~)Lembrando-nos que y funo de x, devemos derivar ~; como quociente.I /I

Y =

UV

V2

uv

I

3 4 y - 3 x 4 dy/I

y