48189108-Criptografia-Numeros-Primos

8/7/2019 48189108-Criptografia-Numeros-Primos

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Computadores e Redes de Computadores1

Luiz Manoel Silva de Figueiredo

Rio de Janeiro2 0 0 6

CURSODE CRIPTOGRAFIAESEGURANAEM REDES

NMEROS PRIMOSE CRIPTOGRAFIADECHAVE PBLICA

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE - UFF

CENTRODE ESTUDOSDE PESSOAL - CEP


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Copyright 2006 Centro de Estudos de Pessoal

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Diagramao: Maria Rachel BarbosaRafael Fontenele

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Reviso: Letcia Maria Lima GodinhoVanessa Maria Barbosa

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Figueiredo, Luiz Manoel Silva deF475n Nmeros primos e criptografia de chave pblica

/ Luiz Manoel Silva de Figueiredo. Rio de Janeiro:UFF / CEP - EB, 2006.

180p. (Curso de Criptografia e Segurana emRedes).

ISBN 85-98569-46-1

1. Criptografia. 2. Nmeros primos.CDD 001.5436


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SUMRIO

PROGRAMA DA DISCIPLINA .................................................. .................................................................. .......................5

PLANO DE AULAS DA UNIDADE 1 .......................................................... ................................................................. ......6PLANO DE AULAS DA UNIDADE 2 .......................................................... ................................................................. ......7

UNIDADE 1 ............................................ ...........................................................................................................................

9AULA 1 NMEROS PRIMOS ............................................... .................................................... ......................................10Texto 1 Teoria dos nmeros ................................................... .................................................................. ......................10Texto 2 Divisores .............................................. .................................................... ..........................................................12Texto 3 Nmeros perfeitos ...............................................................................................................................................15Texto 4 Nmeros primos ..................................................................................................................................................17Texto 5 A infinitude dos nmeros primos .......................................................................................................................19Atividades ........................................................................................................................................................................21

AULA 2 ALGORITMO DA DIVISO ..............................................................................................................................22Texto 6 Axioma de Eudoxius ............................................. ..................................................... ........................................22Texto 7 O algoritmo da diviso ............................................. ..................................................... .....................................23Texto 8 O mximo divisor comum (mdc) ................................................... ....................................................... ..............25Texto 9 O mnimo mltiplo comum (mmc) .......................................................................................................................29Texto 10 O mdc e mmc de vrios inteiros ............................................... ........................................................ ...............29Texto 11 Como calcular o mximo divisor comum ............................................... ........................................................ ..30Atividades ........................................................................................................................................................................ 31

AULA 3 ALGORITMO DE EUCLIDES ...........................................................................................................................32Texto 12 Dois resultados preliminares .................................................. ....................................................... ..................32Texto 13 O algoritmo de Euclides ................................................. .................................................... ..............................33Texto 14 Clculo do mdc e do mmc atravs da fatorao ................................................ .............................................35Texto 15 Relao entre mdc(a,b) e mmc(a,b) ....................................................... .........................................................37Texto 16 Convergncia do algoritmo de Euclides ...........................................................................................................38Atividade ........................................................................................................................................................................ . 41

AULA 4 TESTES DE PRIMALIDADE ....................................................... .....................................................................42Texto 17 Primeiro teste de primalidade ....................................................... ........................................................ ...........42

Texto 18 Teorema dos nmeros primos ................................................ ....................................................... ..................46Atividades ........................................................................................................................................................................48

AULA 5 ARITMTICA MODULAR .................................................................................................................................49Texto 19 Relaes ................................................. .................................................... .....................................................50Texto 20 Congruncia mdulo n ................................................... .................................................... ..............................52Texto 21 Classes de equivalncia ...................................................................................................................................54Texto 22 Classes de congruncia ............................................ ..................................................... .................................55Atividades ........................................................................................................................................................................58

AULA 6 OPERAES COM CLASSES DE CONGRUNCIA ......................................................................................59Texto 23 Definio de soma e de produto de classes .................................................... ................................................59Texto 24 Tabelas de soma e de multiplicao .................................................... ....................................................... ....62Texto 25 Divisibilidade ............................................... ..................................................... ................................................64

Texto 26 Potncias ................................................... .................................................................... ..................................67Atividades ........................................................................................................................................................................70

AULA 7 DIVISO MODULAR ........................................................................................................................................71Texto 27 A inversa de uma classe de congruncia mdulo n ................................................ ........................................71

Texto 28 Quando uma classe em n tem inversa? ............................................... .....................................................72

Texto 29 A congruncia linear a xb mod n .......................................................................................................74Texto 30 Como escrever o mdc de dois inteiros em combinao linear ........................................................................ 76Atividades ........................................................................................................................................................................ 81

AULA 8 TEOREMA DE FERMAT ..................................................................................................................................82Texto 31 Fermat .................................................. .................................................... ........................................................82Texto 32 O teorema de Fermat .................................................. .................................................... .................................83Texto 33 Aplicao do teorema de Fermat soluo de potncias ............................................................................... 87Texto 34 Equaes diofantinas ................................................ .................................................... ...................................88Texto 35 Uso das congruncias para resolver equaes diofantinas ............................................................................. 90Atividades ........................................................................................................................................................................ 92


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UNIDADE 2 .....................................................................................................................................................................93

AULA 9 TESTE DE PRIMALIDADE DE FERMAT .........................................................................................................94Texto 36 Testes de primalidade .......................................................................................................................................94Texto 37 Teste de Fermat ............................................ ..................................................... ..............................................95Texto 38 Nmeros de Carmichael .................................................. .................................................... ............................97Texto 39 Teste de Miller-Rabin .................................................. .................................................... .................................99

Atividades ........................................................................................................................................

.............................. 102AULA 10 TEOREMA DE EULER ........................................................... ................................................................. ......103Texto 40 Euler ............................................... ..................................................... ...........................................................103Texto 41 A funo de Euler ................................................ ..................................................... ...............................103Texto 42 Teorema de Euler ................................................. .................................................... .....................................108Atividades .................................................................................................................................................................. ....112

AULA 11 TEOREMA CHINS DOS RESTOS .............................................................................................................113Texto 43 Exemplo com duas equaes .........................................................................................................................113Texto 44 Exemplo com trs equaes ...........................................................................................................................114Texto 45 Teorema chins dos restos .................................................... .................................................... ...................117Texto 46 Aplicaes criptografia: partilha de um segredo ..........................................................................................120Texto 47 Partilha de um segredo com o teorema chins dos restos ............................................................................. 122

Atividades ..................................................... ................................................................................................................ ..125

AULA 12 RSA ................................................... .................................................... ........................................................126Texto 48 A criptografia de chave pblica ................................................. .................................................... ..................126Texto 49 RSA ............................................. .................................................... ................................................................128Texto 50 O GP/Pari ............................................. .................................................... .......................................................131Texto 51 Consideraes prticas: escolha dos primos e preenchimento de bits .........................................................132Texto 52 Assinatura digital .............................................................................................................................................134Texto 53 A segurana do RSA ......................................................................................................................................136Texto 54 Os desafios RSA .................................................... ..................................................... ...................................137Atividade .........................................................................................................................................................................137

AULA 13 LOGARITMO DISCRETO ................................................. .................................................................... .........138Texto 55 Razes primitivas mdulo n ................................................ .................................................... ........................138

Texto 56 Grupos e subgrupos .................................................... .................................................... ..............................140Texto 57 Logaritmos discretos ...................................................... ....................................................... ..........................143Atividades ....................................................................................................................................................................... 147

AULA 14 APLICAES CRIPTOGRAFIA ..................................................... ...........................................................148Texto 58 Teste de Lucas ...............................................................................................................................................148Texto 59 Esquema de troca de chaves de Diffie-Hellman ............................................................................................151Texto 60 ElGamal ..........................................................................................................................................................153Texto 61 Algoritmo de assinatura digital ................................................... .................................................... .................155Atividades .......................................................................................................................................................................159

AULA 15 CRIPTOGRAFIA COM O USO DE CURVAS ELPTICAS ............................................................................160Texto 62 Curvas elpticas ..............................................................................................................................................160Texto 63 Corpos finitos ................................................... ..................................................... .........................................161Texto 64 Grupo de uma curva elptica ...........................................................................................................................163Texto 65 Criptografia de curvas elpticas ......................................................................................................................166Atividades ..................................................................................................................................................................... ...170

COMPLEMENTE SEU ESTUDO ...................................................................................................................................171SOLUES DAS ATIVIDADES ................................................... ................................................................ ..................172REFERNCIAS ..............................................................................................................................................................179


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Programa da disciplina

Ementa

Aritmtica dos inteiros: nmeros primos, algoritmo da diviso, mdc e mmc,

algoritmo de Euclides. Aritmtica modular: congruncia mdulo, soma e produto de

classes, inversa de uma classe mdulo n. Teoremas de Fermat, Euler e o teorema

chins dos restos. Testes de primalidade: teste das divises sucessivas, teste de

Fermat, teste de Rabin-Miller, nmeros de Charmichael.

Criptografia de chave pblica: princpios, o algoritmo RSA, assinatura digital.

O problema do logaritmo discreto, teste de Lucas, esquema de troca de chaves de

Diffie-Hellman, ElGamal e o algoritmo de assinatura digital. Criptografia com o uso

de curvas Elpticas: curvas elpticas, grupo de uma curva elptica e aplicaes.

Carga horria

60 horas

Objetivo

Apresentar a rea da Matemtica chamada Teoria dos Nmeros, abordando

os resultados utilizados em criptografia.

MetodologiaO contedo programtico ser apresentado na forma de textos e exemplos,

com atividades a serem realizadas. Para complementar seu estudo, sero sugeridos

livros e websites.

Avaliao

Prova escrita ao final da disciplina e avaliao a distncia (atividades online).

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Plano de Aulas

Unidade 1 Teoria dos Nmeros

Contedo Onde encontrar

Aula 1 Nmeros Primos

Teoria dos Nmeros

Divisores

Nmeros perfeitos

Textos 1 a 5

Aula 2 Algoritmo da Diviso

Axioma de Eudoxius

Algoritmo da diviso

Mximo divisor comum e mnimo mltiplo comum

Textos 6 a 11

Aula 3 Algoritmo de Euclides

Clculo do mdc e do mmc atravs da fatorao

Convergncia do Algoritmo de Euclides

Textos 12 a 16

Aula 4 Testes de Primalidade

Primeiro teste de primalidade

Teorema dos nmeros primos

Textos 17 e 18

Aula 5 Aritmtica Modular

Relaes

Congruncia mdulo n

Classes de equivalncia

Classes de congruncia

Textos 19 a 22

Aula 6 Operaes com classes de congruncia

Definio de soma e de produto de classes

Tabelas de soma e de multiplicaoDivisibilidade e potncias

Textos 23 a 26

Aula 7 Diviso modular

Inversa de uma classe de congruncia mdulo n

MDC de dois inteiros como combinao linear

Textos 27 a 30

Aula 8 Teorema de Fermat

Aplicao do teorema de Fermat

Equaes diofantinas

Textos 31 a 35

Carga horria: 25 h

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Unidade 2 Criptografia de Chave Pblica

Contedo Onde encontrar

Aula 9 Teste de Primalidade de FermatTestes de primalidade

Teste de Fermat

Nmeros de Carmichael

Teste de Miller-Rabin

Textos 36 a 39

Aula 10 Teorema de Euler

Funo de Euler Textos 40 a 42

Aula 11 Teorema Chins dos Restos

Exemplo com duas e trs equaes

Aplicaes criptografia

Partilha de um segredo com o teorema

Textos 43 a 47

Aula 12 RSA

Criptografia de chave pblica

GP/Pari

Assinatura digital

Segurana do RSA

Textos 48 a 54

Aula 13 Logaritmo Discreto

Razes primitivas mdulo n

Grupos e subgrupos

Logaritmos discretos

Textos 55 a 57

Aula 14 Aplicaes Criptografia

Teste de Lucas

Esquema de troca de chaves de Diffie-Hellman

ElGamalAlgoritmo de assinatura digital

Textos 58 a 61

Aula 15 Criptografia com o uso de Curvas

Elpticas

Corpos finitos

Grupo de uma curva elptica

Criptografia de curvas elpticas

Textos 62 a 65

Carga horria: 35 h

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Unidade

Teoria dos Nmeros

Caro aluno, seja bem-vindo disciplina Nmeros

primos e criptografia de chave pblica.

Nesta primeira unidade, voc vai estudar os

conceitos e resultados matemticos que so

a base das aplicaes em criptografia de

chave pblica.

Bom estudo!

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Aula 1 Nmeros Primos

Nesta primeira aula, voc vai conhecer os nmeros primos, que so a base para o

estudo dos inteiros.

A grande importncia dos nmeros primos est em que todo inteiro pode ser escrito

de maneira essencialmente nica como produto de primos, como veremos a seguir.

Texto 1 - Teoria dos Nmeros

A Teoria dos Nmeros a rea da Matemtica que estuda as propriedades dos nmeros inteiros

e os problemas que aparecem naturalmente neste estudo. O termo aritmtica tambm utilizado

para se referir Teoria dos Nmeros.

Este campo de estudo da Matemtica possui muitos problemas em aberto problemas no

resolvidos fceis de serem compreendidos, mas de difcil soluo. Ao longo desta unidade voc

conhecer alguns deles.

A Teoria dos Nmeros se divide em seis ramos principais.

1. Teoria elementar dos nmeros

a parte que estuda os inteiros e suas propriedades sem utilizar tcnicas derivadas de outros

campos da Matemtica. Inclui tambm o estudo de divisibilidade, mximo divisor comum,

fatorao em nmeros primos, algoritmo de Euclides e congruncia.

2. Teoria analtica dos nmeros

Este ramo emprega tcnicas do clculo e da anlise para o estudo de problemas de inteiros.

Esta rea inclui o famoso teorema dos nmeros primos e a hiptese de Riemann.

3. Teoria algbrica dos nmeros

Aqui o conceito de nmero estendido para o de nmero algbrico e o conceito de inteiro para

o de inteiro algbrico. Nmeros algbricos so razes de polinmios com coeficiente racionais.

Muitas propriedades elementares dos inteiros no valem para os inteiros algbricos.

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4. Teoria combinatria dos nmeros

Estuda as propriedades de inteiros empregando tcnicas da rea da Matemtica chamada

Combinatria. O principal fundador desta rea o matemtico hngaro Paul Erds (1913

1996).

5. Teoria geomtrica dos nmeros

Tambm chamada de geometria dos nmeros, usa tcnicas geomtricas para o estudo de

nmeros inteiros.

6. Teoria computacional dos nmeros

Estuda algoritmos computacionais na Teoria dos Nmeros.

H dois grupos de algoritmos de grande importncia em criptografia:

testes de primalidade - so algoritmos que determinam se um dado inteiro ou no

primo;

algoritmos de fatorao de inteiros - determinam a fatorao em primos de umdado inteiro.

11

Paul Erds mostrou desde cedo aptido para a Matemtica. Com

quatro anos descobriu algumas propriedades dos nmeros primos. Fez

numerosas e variadas contribuies e tinha fascnio em resolver

problemas, como os de anlise combinatria, teoria dos grafos e teoria

dos nmeros. Sempre queria resolv-los de forma simples e elegante.

A Teoria dos Nmeros tem, talvez como nenhuma outra rea, a

propriedade de incorporar mtodos de outros campos de estudo,

tornando-a um belo e complexo conjunto de conhecimentos e tcnicas.


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Texto 2 - Divisores

Agora vamos apresentar nosso primeiro tpico em Teoria dos Nmeros: os divisores.

Sejam a e b inteiros.

Dizemos que a divide b quando existir um inteiro c tal que b=ac. Usamos a notao ab,

para indicar que a divide b e escrevemos ab quando a no divide b. Quando ab ,

dizemos tambm que b mltiplo de a.

Exemplos: 612 , 23115 , mas 421 .

Algumas propriedades imediatas so:

1. nn

Significa que todo inteiro divide a si mesmo. Isto segue da definio. Observe que n=1n.

2.1n

Isto , 1 divide qualquer inteiro. Segue da definio, observando que n=n1 .

3. n0

Todo inteiro divisor de 0. Basta observar que 0=n0 .

Vamos examinar outras propriedades um pouco mais elaboradas.

Proposio 1: ab e ba a=b

Demonstrao

Como ab e ba, ento existem inteiros k1 e k2 , tais que a=k1b e b=k2a.

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Substituindo uma expresso na outra, resulta que

a=k1k2a a=k1k2ak1k2=1

Como k1 e k2 so inteiros e k1k2=1 , ento k1=k2=1 ou k1=k2=1 .

De a=k1b, conclumos que a=b, ou seja, a=b .

Proposio 2. Sejam a , b e c inteiros. Se ab e bc , ento ac.

Demonstrao.

Como ab e bc, ento existem inteiros k1 e k2 tais que

b=k1a e c=k2b

Substituindo o valor de b da primeira equao na segunda, resulta que

c=k2b=k2k1a=k2k1a.

Portanto, c mltiplo de a , isto , ac.

Exemplo: 315 e 1545 , logo 345 .

Proposio 3. Sejam a , b e c inteiros. Se ca e cb, ento cmanb , para

quaisquer inteiros me n .

Demonstrao.

Como ca e cb, ento existem inteiros k1 e k2 , tais que a=k1c e b=k2c .

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Substituindo em manb , temos:

manb=mk1cnk2c=mk1cnk2c=mk1nk2c.

Portanto, cmanb .

Exemplo: 721 e 714 , logo 721m14n para quaisquer inteiros m e n .

Chamaremos Dn ao conjunto de todos os divisores de n .

Exemplo: D12 ={1,2,3,4,6,12}

Observe que se d divisor de n , ento d tambm divisor de n , pois, se dn, ento

existe inteiro k , tal que

n=kd n=kd dn.

Assim, os divisores de um inteiro vm sempre em pares de inteiros simtricos.

Chamamos D+

n ao conjunto dos divisores positivos de n .

Exemplo: D+12={1,2,3,4,6,12} e D+6={1,2,3,6} .

Se dn e dn, ento dizemos que d divisor prprio de n .

Por exemplo, os divisores prprios positivos de 6 so os inteiros 1,2e3.

Observe que 6 a soma de seus divisores prprios positivos: 6=123 . Curioso, no? No

prximo texto voltaremos a essa questo.

Veja, a seguir, mais algumas propriedades sobre divisores.

Proposio 4. Sejam a e b inteiros. Ento ab se, e somente se, DaDb .

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Demonstrao

Suponha que ab. Para provar a incluso DaDb , basta mostrar que

xDaxDb , isto , todo elemento de Da tambm elemento de Db .

Vamos l! Se xDa , ento xa. Mas ab por hiptese. Logo,

xa e ab xb xDb .

Vamos supor agora que DaDb . Como aDa (todo inteiro divisor de si mesmo) e

DaDb , ento aDb , isto , ab.

Provamos ento que ab DaDb , isto , ab o mesmo que DaDb ,

mostrando que a relao de divisibilidade entre dois inteiros ab equivalente relao de

incluso entre os conjuntos dos divisores destes inteiros DaDb .

Quando falarmos de mximo divisor comum (mdc) e mnimo mltiplo comum (mmc) de dois

inteiros, retornaremos a essa analogia entre os inteiros e o conjunto de seus divisores.

Texto 3 - Nmeros Perfeitos

Voc viu que o inteiro 6 tem a propriedade de ser a soma de seus divisores prprios positivos:

6=123 .

Como chamado um inteiro com esta caracterstica? Um inteiro que a soma de seus divisores

prprios positivos chamado de nmero perfeito.

Agora, pense em outros inteiros que so nmeros perfeitos. O prximo na lista o nmero 28.

Veja:

D+28={1,2,4,7,14,28} e temos que 28=124714 .

Os quatro primeiros nmeros perfeitos so 6,28,496 e 8128 . Estes quatro inteiros eram os

nicos nmeros perfeitos que os antigos gregos conheciam.

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Euclides descobriu que estes quatro nmeros so gerados pela frmula

2n1 2n1

para valores de n=2,3,5 e 7.

Ento:

n=2 221 221 = 241=23=6

n=3 231 231 = 2281=47=28

n=5 251 251 = 24 321=1631=496

n=7 271 271 = 261281=64127=8128

Observe que nos quatro casos, 2n1 um inteiro primo. Euclides mostrou que 2n1 2n1

um nmero perfeito quando 2n1 primo.

Como os inteiros n=2,3,5 e 7 so exatamente os quatro primeiros nmeros primos, os

gregos naturalmente imaginaram que o quinto nmero perfeito seria obtido com n=11 .

No entanto, o nmero 2111 no primo. De fato, 2111=2047=2389 . Logo,

2111 2111 no nmero perfeito.

Na verdade, o quinto nmero perfeito o nmero 212 2131=33.550.336 , que o inteiro

2n1 2n1 , para n=13 .

No sculo XVIII, Euler mostrou que a frmula 2n1 2n1 fornece todos os nmeros perfeitos

pares.

Como voc viu, nem todo inteiro 2n1 2n1 nmero perfeito (por exemplo, no perfeito

para n=11 ). Mas todo nmero perfeito par da forma 2n1 2n1 . Este inteiro perfeito

exatamente quando 2n1 primo.

16

Para saber quem foi Euclides de Alexandria, leia a seo

Saiba mais ao final desta aula.


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Portanto, h uma associao entre nmeros perfeitos e primos da forma 2n1 . Estes so

chamados primos de Mersenne, em homenagem ao monge Marin Mersenne (1588-1648).

H uma busca mundial por primos grandes, em parte devido ao uso destesem criptografia. Osmaiores primos conhecidos so os primos de Mersenne. O 42 primo de Mersenne o maior

primo conhecido atualmente, descoberto em 14 de fevereiro de 2005. Trata-se do nmero

225.964.9511 , que um primo com 7.816.230 algarismos.

H muito ainda o que investigar nesta rea de estudo. Por exemplo, no se sabe se h infinitos

primos de Mersenne. Mas vamos deixar este assunto para uma outra hora e voltar a falar de

nmeros primos e fatorao nica.

Texto 4 - Nmeros Primos

Os nmeros primos desempenham um papel fundamental no estudo dos inteiros e nas tcnicas

de criptografia.

Um inteiro p1 um nmero primo quando seus nicos divisores so 1 e p.

Exemplo:p=2,3,5,7,11,13,17,19,23e29 so os 10 primeiros nmeros primos positivos.

Observe que se p primo, ento p tambm . Assim, so primos

p=2,3,5,7,11,13,17,19,23 e 29 .

Um nmero N1 que no primo chamado composto. Assim, 12 um nmero composto.

Observe que 1 no primo nem composto.

17

O francs Marin Mersenne ficou conhecido por seu trabalho na Teoria

dos Nmeros e por se corresponder com outros matemticos,

possibilitando assim a comunicao do conhecimento pela Europa em

uma poca que os jornais cientficos no existiam.


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Os nmeros primos sempre estiveram no centro da preocupao dos matemticos que estudam

os inteiros. Como voc ver a seguir, todo inteiro fatora-se como produto de primos. Isto faz com

que os primos sejam uma espcie de bloco com os quais so construdos os inteiros, assim como

todas as molculas so feitas de tomos.

Veja um exemplo.

O inteiro 60 pode ser escrito como 60=2235. Esta a fatorao de 60 em produto de

primos. Dizemos que 2, 3 e 5 so os fatores primos de 60.

Podemos, por exemplo, escrever 60 tambm como:

60=352

2

60=532

2

60=2325.

O que todas estas fatoraes tm em comum? fcil ver que todas usam os mesmos primos,

apenas mudando a ordem. Em todas, o primo 2 aparece duas vezes, o primo 3 aparece uma vez

e o primo 5 aparece uma vez.

neste sentido que dizemos que a fatorao nica: os mesmos primos aparecem o mesmo

nmero de vezes, apenas a ordem difere duas fatoraes de um inteiro.

O fato de que todo inteiro pode ser escrito de maneira nica com produto de fatores primos um

teorema muito importante, chamado Teorema da Fatorao nica ou Teorema Fundamental da

Aritmtica.

Teorema da Fatorao nica

Dado um inteiro positivo n2 , podemos escrev-lo de modo nico na forma:

n=p1e1 pk

ek ,

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Vale destacar que a fatorao de inteiros em produtos de primos

, essencialmente, nica. Lembre-se que fatorar um inteiro N

escrev-lo como produto de primos.

Mas o que significa dizer que a fatorao nica?


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onde 1p1p2pk so primos distintos e e1,,ek so inteiros positivos.

Os primos p1,, pk so chamados fatores primos de n, enquanto os expoentes e1,,ek so

chamados multiplicidades dos primos p1,, pk, respectivamente, na fatorao de n.

Exemplo: No caso de 72=2332. , o primo 2 tem multiplicidade 3 na fatorao de 72, eo primo

3 tem multiplicidade 2.

Texto 5 A infinitude dos Nmeros Primos

Voc estudou que os primos so os blocos fundamentais, os tomos, que constituem os inteiros.

Uma primeira questo que se coloca naturalmente a seguinte:

Euclides respondeu a esta pergunta h 2.300 anos. A resposta que existe um nmero infinito de

primos. Esta resposta aparece como a Proposio 20 do livro IX dos Elementos de Euclides.

O mtodo utilizado na demonstrao o de reduo ao absurdo ou demonstrao por

contradio. Este tipo de prova feita assumindo-se como verdade o oposto do que queremos

provar e chegando-se a uma contradio. O fato de obter uma sentena falsa mostra que a

proposio no pode ser negada, sendo por isso verdadeira.

Proposio 5. Existe um nmero infinito de nmeros primos.

Demonstrao

Vamos supor o contrrio, isto , que haja apenas um nmero finito de inteiros primos. Seja

p1p2pk

a lista de todos os inteiros primos. Seja agora p# o produto de todos eles:

p#=p1 .p2 ..pk.

19

Existe um nmero finito ou infinito de primos?


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Considere N=p#1. Nenhum dos primos p1,p2,, pk pode ser divisor de N, pois, para

todo primo pi, pip#

. Se piN, ento pi Np#=1, o que no pode acontecer, pois

pi1.

Como nenhum pi pode dividir N , ento N no tem nenhum divisor primo. Portanto N

deve ser um inteiro primo. Mas Npk maior que todos os primos da lista p1,, pk, o que

uma contradio, pelo fato de que esta a lista de todos os primos.

Nesta aula voc identificou algumas propriedades fundamentais dos nmeros primos e

aprendeu que um inteiro chamado nmero perfeito quando a soma de seus

divisores prprios positivos. Na prxima aula, voc estudar o algoritmo de diviso.

20

Saiba mais: Euclides de Alexandria

Euclides foi um matemtico grego que viveu entre 325 e 265 a.C., tendo

lecionado em Alexandria, no Egito. Sua obra mais famosa a coleo de 13

livros chamados Elementos. Nela, Euclides apresenta uma coleo de

definies, postulados (axiomas) e proposies (teoremas) e as provas destes

teoremas, abordando os campos da Geometria e da Teoria dos Nmeros.

Essa obra pode ser considerada o livro-texto mais bem sucedido da histria da

humanidade: foi um dos primeiros livros a serem impressos e superada

apenas pela Bblia em nmero de edies mais de mil j foram feitas. At o

incio do sculo XX, era utilizado como livro-texto em muitas escolas.

Uma das grandes virtudes dos Elementos apresentar de forma lgica eestruturada boa parte do conhecimento matemtico conhecido poca de

Euclides. Embora a maior parte dos resultados no tenha sido descoberta por

ele, muitas das demonstraes foram feitas por Euclides.

A obra de Euclides teve um papel importante, ao legar posteridade o

conhecimento matemticogrego. A estrutura lgica de seu trabalho influenciou

o desenvolvimento de toda a Matemtica.


21/180

Atividades

1) Determine D10e D20 . Verifique que D10D20.

2) Primos gmeos so pares de primos cuja diferena dois. Encontre os cinco primeiros pares

de primos gmeos.

3) Existem primos trigmeos, isto , ternos de primos do tipo p , p2 e p4 ?

4) Mostre que todos os nmeros pares entre 4 e 40 podem ser escritos como soma de primos.

21


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Aula 2 Algoritmo da Diviso

Nesta aula, voc vai conhecer o chamado algoritmo da diviso, que , na verdade,

um teorema, e no propriamente um algoritmo.

Texto 6 Axioma de Eudoxius

Inicialmente, oberve que dados dois inteiros a e b , se a no mltiplo de b , ento

situa-se entre dois mltiplos consecutivos de b.

Exemplo: a=61 e b=5 . O inteiro 61 situa-se entre 60=125 e 65=135, que

so mltiplos consecutivos de 5.

Este princpio, muitas vezes chamado erradamente de Princpio de Arquimedes, aparece nos

Elementos de Euclides. Podemos escrev-lo da seguinte forma:

Dados dois inteiros a e b0, existe um inteiro q tal que

para b0, qbaq1b

para b0, qbaq1b.

Observe que a possibilidade de a ser mltiplo de b est coberta pelo menor ou igual em

qba.

Exemplos:

- Se a=35e b=7 , ento q=5 : 57=35.

- Se a=42e b=13 , ento q=3 : 31342413.

- Se a=42e b=13 , ento q=3 : 31342413 .

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Texto 7 O Algoritmo da Diviso

O teorema da diviso define precisamente o quociente e o resto de dois inteiros; mostra que eles

existem e so nicos.

Teorema: Dados inteiros a e b ,b0, existe um nico par de inteiros q e r tais que

a=qbr , onde 0rb.

O inteiro q chamado quociente e r o resto da diviso de a por b . Observe que se

b divisor de a , ento o resto 0: a=qb.

Demonstrao

Pelo teorema de Eudoxius, como b0 , existe q , tal que qbaq1b.

Subtraindo qb temos:

qbqb aqb q1bqb0aqbb

Se definirmos r=aqb, ento:

0 r b e r = aqb a = qbr .

Assim foi demonstrada a existncia do quociente e do resto. Veja agora a demonstrao da

unicidade.

O truque usual para demonstrara unicidade supor que h dois e mostrar que so iguais. No

caso em questo, vamos supor que h outro par q1, r1 tal que:

a = q1br1 e 0 r1 b

Subtraindo a equao anterior de a=qbr , temos:

a=qbra=q

1br

1

0=qq1brr1

Portanto, bqq1=rr1. Logo, brr1 , isto , rr1 mltiplo de b .

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Mas, 0 r , r1 b e a r ,r1 b.

Assim, o maior valor possvel de rr1 b1 (quando r=b1 e r1=0 ) e o menor

valor possvel de rr1 b1 (quando r=0 e r1=b1 ). Ento, temos que

rr1 mltiplo de b e

b1 rr1 b1 .

Mas o nico mltiplo de b neste intervalo o 0, logo rr1=0 r=r1 .

Ao substituir em bq1q=0 , temos q1q=0q1=q.

No enunciado do teorema, colocamos a restrio b0 . No entanto, o teorema continua vlido

se b0 . Neste caso, definimos quociente e resto como a=qbr , com 0rb .

Exemplos:

- a=17 e b=3 q=5 e r=2 17=532

- a=15 e b=4q=3 e r=3 15=343

Alguns argumentos presentes na demonstrao do teorema so comuns em Matemtica. Por

exemplo, quando queremos provar a unicidade, supomos que existam dois e provamos que so

iguais.

Outro ponto chave, que aparece em outras demonstraes, o argumento de que, se

bt e btb ,ento t=0.

A demonstrao anterior usa este argumento para t=rr1 .

24

Estas demonstraes parecem um pouco difceis no incio, porm,

caso sinta necessidade, leia com ateno duas ou trs vezes para

que possa entend-las. Ao compreender os argumentos, voc poder

utiliz-los em outros problemas, com facilidade.


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Texto 8 - O mximo divisor comum (mdc)

O conceito de mximo divisor comum de dois inteiros simples e o algoritmo para calcul-lo tem

grande importncia em vrias aplicaes.

A definio de mdc :

Exemplos:

- mdc15,25=5

- mdc300,140=20

- mdc20,35=5

- mdc8,28=4

Observe que o mdc de dois inteiros sempre positivo. fcil ver por que, se d divisor comum

de a e b , d tambm . Assim, os divisores comuns vm em pares de simtricos d. Omaior divisor comum ser o maior dos divisores comuns positivos.

Exemplo:

- mdc12,18=mdc12,18=mdc12,18=mdc12,18=6.

Outra maneira de definir mdca ,b atravs dos conjuntos dos divisores Dae Db.

Da=divisores de a e Db=divisores de b.

Logo, DaDb=divisores comuns de ae b. Como mdca ,b o maior divisor

comum, ento:

mdca ,b=maxDaDb

Dois inteiros a e b so ditos relativamente primos ou primos entre si se mdca ,b=1.

25

O mximo divisor comum de dois inteiros no-nulos a e b o

maior inteiro que divide a e b . denotado por mdca ,b.


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Exemplo:

- 20 e 27 so relativamente primos.

- Se p primo, a inteiro e pa, ento p e a so relativamente primos.

Isso acontece porque os nicos divisores positivos dep

sop

e 1. Comopa

, entop

e a no tm divisores comuns alm de 1, isto , mdca , p=1. Ou seja, p e a so

relativamente primos.

Uma propriedade muito importante do mdca ,b que ele sempre pode ser escrito como

combinao linear de a e b. Um inteiro n combinao linear de a e b se existem

inteiros k1 e k2 tais que n=k1ak2b. exatamente o que acontece com o mdc.

Teorema: Sejam a e b inteiros no-nulos e seja d=mdca ,b. Ento, existem inteiros

k1 e k2 tais que

d=k1 ak2 b.

Exemplos:

- mdc(60,24)=12. O inteiro 12 pode ser escrito como 12=160224.

- mdc(50,30) = 10. O inteiro 10 pode ser escrito como 10=250330.

Observe que at agora no falamos sobre como calcular efetivamente o mdca ,b, nem

como encontrar os inteiros k1e k2 , tais que mdca ,b=k1ak2b. Falaremos sobre

isso em breve.

Para terminar esta parte, voc vai conhecer agora uma propriedade muito importante do

mdca ,b .

O mdca ,b mltiplo de todos os divisores comuns de a e b .

Exemplos:

D30 ={1,2,3,5,6,10,15,30}

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D24 ={1,2,3,4,6,8,12,24}

D30 D24 ={1,2,3,6 }

Observe que mdc24,30=6 . E 6 mltiplo de todos os divisores comuns: os elementos deD30D24.

Vejamos a demonstrao deste resultado.

Teorema: Sejam a e b inteiros no-nulos. Ento, d=mdca ,b se, e somente se,

(i) da e db.

(ii) Se d 'a e d ' b ento d 'd.

Em outras palavras, o mdca ,b se caracteriza por ser um divisor comum e por ser mltiplo

de todos os divisores comuns.

Demonstrao

Seja d=mdca ,b , ento da e db , pois d divisor comum, o que prova o item (i).

Seja d ' um inteiro tal que d 'a e d ' b. Sabemos que d combinao linear de a e

b , isto , existem inteiros k1 e k2 tais que d=k1ak2b.

Como d 'a e d ' b, ento d 'k1ak2b , logo d 'd , o que prova o item (ii).

Por outro lado, se um inteiro positivo d atende aos itens (i) e (ii), ento :

- divisor comum pelo item (i);

- o maior divisor comum, pois, pelo item (ii), se d ' outro divisor comum, ento

d 'd d 'd.

Portanto, se um inteiro positivo d atende aos itens (i) e (ii) ento d=mdca , b . Veja a

seguir vrios resultados referentes ao mdc de dois inteiros. Estes resultados e os exemplos que

aparecem em seguida so importantes para que voc compreenda como funciona o algoritmo da

diviso para encontrar o mximo divisor comum de dois inteiros.

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Proposio: Para todo inteiro t, mdcta ,tb = t mdca ,b .

Esta proposio, por brevidade, vai ficar sem demonstrao. Ela pode ser encontrada em

Introduo Teoria dos Nmeros, de Jos Plnio de Oliveira Santos, 1998.

Exemplo: mdc150,35=mdc530,57=5mdc30,7=51=5.

Uma conseqncia da proposio anterior que, se a e b so divisveis por um inteiro c ,

ento

a

c

eb

c

so inteiros e mdca ,b = mdcc a

c

,c b

c

= c mdca

c

,b

c

.

Ao dividir a e b por d=mdca ,b temos:

d=mdca ,b=mdcd a

d,d

b

d = d mdc

a

d,

b

d,

mas d=dmdca

d

,b

d

mdca

d

,b

d

=1.

Conclumos que:

Proposio. Se d=mdca ,b , ento os inteirosa

de

b

dso primos entre si.

Exemplo: a=35 e b=75 . Temos que mdc35,75=5.

Os inteiros35

5=7 e

75

5=15 so primos entre si.

Outra proposio muito utilizada a seguinte:

Proposio. Se abc e mdca ,b=1 , ento ac.

Demonstrao

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Como mdca ,b=1 , ento 1 combinao linear de a e b , isto , existem k1 e k2 ,

tais que 1=k1ak2b. Ao multiplicar esta equao por c , resulta em

c=k1ack2bc .

Mas abc (por hiptese) e aac, logo a k1ack2bc=c.

Exemplo. Se t inteiro qualquer e 715t, ento 7t , pois mdc7,15=1.

Texto 9 O mnimo mltiplo comum (mmc)

O mnimo mltiplo comum de dois inteiros a e b o menor inteiro positivo que mltiplo

comum de a e b . representado por mmca ,b.

Exemplos:

- mmc2,3=6

- mmc20,25=100

- mmc1, n=n , para todo inteiro n .

- mmc3,5=15.

Claramente, se ab, ento mdca ,b=a e mmca ,b=b .

Exemplo: 15 divide 75, logo mdc15,75=15 e mmc15,75=75 .

Veremos na prxima aula que o mmc de dois inteiros est diretamente relacionado ao mdc, por

meio de uma frmula simples.

Texto 10 O mdc e mmc de vrios inteiros

Os conceitos de mdc e mmc de dois inteiros podem ser facilmente generalizados para mais de

dois inteiros, da seguinte forma:

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Para dados inteiros no-nulos a1,a2,,at , definimos mdca1,a2,,at como o maior

divisor comum de a1,a2,,at , e mmca1, a2,,at como o menor mltiplo comum de

a1,a2,,at.

Exemplos:

- mdc20,30,50=10

- mmc20,30,50=300

Assim, mostramos que:

mdca , b , c =mdcmdca ,b ,c e mmca ,b ,c=mmcmmca ,b ,c .

Exemplos:

- mdc20,30,50 =mdcmdc20,30,50 =mdc10,50=10.

- mmc20,30 ,50=mmcmmc20,30,50=mmc60,50=300.

Texto 11 Como calcular o mximo divisor comum

Agora que voc conheceu as definies do mdc e do mmc de dois ou mais inteiros positivos, veja

como calcul-los.

Uma maneira eficiente de calcular o mdc utilizar o algoritmo de Euclides. Estudaremos o

algoritmo de Euclides na prxima aula. Como o mmc est relacionado ao mdc por uma frmula

simples, podemos calcular o mmc de dois inteiros calculando primeiro o mdc destes inteiros.

No endereo http://www.maths.hscripts.com/hcf.php, huma calculadora de mdc e mmc online.

Em ingls, mdc chamado GCD (Greates Commom Divisor) ou HCF (Highest Commom Factor)

e mmc chamado LCD (Least Commom Multiple).

Na calculadora online existe um primeiro espao onde se coloca o nmero de inteiros para os

quais queremos calcular o mdc e o mmc. Em seguida, aparecem os espaos onde devem ser

digitados estes nmeros e, aps apertar o boto go, aparecem os resultados.

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A imagem a seguir trata de um exemplo obtido na calculadora online.

Nesta aula, voc estudou o teorema da diviso, que define precisamente quociente

e resto, e mostra a unicidade destes. Estudou tambm o mximo divisor comum

(mdc) e mnimo mltiplo comum (mmc) de dois ou mais inteiros e algumas de suas

propriedades.

Os prximos passos sero estudar o algoritmo de Euclides para o clculo do mdc e

ver a relao entre o mdc e o mmc de dois inteiros. Faremos esses dois avanos

na prxima aula.

Atividades

1) Encontre o quociente e o resto dos seguintes pares de inteiros:

a) a = 35 e b = 12

b) a = -30 e b = 18

c) a = 315 e b = 250

2) Calcule o mdc e o mmc dos pares de inteiros da questo anterior.

3) Na prxima aula, vamos mostrar que, para todo par de inteiros no-nulos, a e b valem

mdca ,bmmca ,b=ab. Verifique essa frmula com os itens da questo 1.

4) Na prxima aula, vamos mostrar tambm que, para todo par de inteiros no-nulos a e b, se q e

r so o quociente e o resto da diviso de a por b, ento vale mdca ,b=mdcq , r .

Verifique essa frmula com os itens da questo 1.

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Aula 3 Algoritmo de Euclides

O algoritmo de Euclides utilizado para determinar o mximo divisor comum (mdc)

de dois inteiros. , certamente, um dos mais antigos algoritmos matemticos

conhecidos. Surge, por volta de 300 a.C., na coleo de livros Elementos, de

Euclides. H, no entanto, indicaes de sua existncia muito antes desta data.

Este algoritmo permite determinar o mdc de dois inteiros, sem que seja necessrio

fator-los, sendo este, em geral, um problema mais complexo.

Texto 12 Dois resultados preliminares

Para demonstrar o algoritmo so necessrios dois resultados preliminares. Veja a seguir.

Proposio: Dados dois inteiros no-nulos a e b , para qualquer inteiro k vale que

mdc a ,b =mdc a ,b ka .

Demonstrao

Os pares a ,b e a ,b ka tm os mesmos divisores comuns, pois, por um lado, sed a e d b , ento d b ka ; por outro lado, se da e db ka , ento

d b kaka db .

Como os pares a ,b e a ,bka tm os mesmos divisores comuns, certamente vo ter o

mesmo mximo divisor comum, isto , mdc a ,b =mdc a ,b ka .

Exemplo: mdc 5,5t 1=mdc 5,1=1, para todo t inteiro.

Uma conseqncia direta da proposio anterior que

Proposio: Se a e b so inteiros e a=qb r , sendo q e r inteiros, ento

mdc a ,b =mdc b ,r .

Demonstrao

Se a=qb r , ento r =aqb. Portanto

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mdc a ,b =mdc b ,a=mdc b ,aqb =mdc b ,r .

Essa ltima proposio a chave para o algoritmo de Euclides. Perceba que, para calcular o mdc

de dois inteiros ab , basta calcular o mdc dos inteiros b e r , em que r o resto da

diviso de a e b . Qual a vantagem? Simples, os inteiros so menores. Veja um exemplo:

Seja a=1725 e b=315. A diviso de a por b 1725=5315150.

Ento,

mdc 1725,315=mdc 315,150.

O segundo mdc facilmente calculado, pois os nmeros so menores. Alis, podemos aplicar o

mesmo processo no segundo mdc.

315=215015 mdc 315,150 =mdc 150,15.

Como 15150 , ento mdc 150,15=15. Portanto, mdc 1725,315=15 .

Texto 13 O Algoritmo de Euclides

Vamos, agora, descrever o algoritmo de um modo mais formal. Sejam a e b dois nmeros

inteiros positivos. Podemos assumir que ab . Caso contrrio, invertemos a ordem dos

nmeros.

Se a=b , teremos d =mdc a , b =a=b.

Vamos considerar ab . Pelo Teorema da Diviso de Euclides, existem nmeros q 1 e r 1

tais que:

a=q 1br 1, onde 0r 1b.

Se r 1=0 , ento a=q 1b e b um dos divisores positivos de a . Nesse caso,

d =mdc a ,b =b.

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Se r 10, temos 0r 1b e a=q 1b r 1 . Nesse caso,

d =mdc a , b =mdc b , r 1.

Seguimos para um novo passo do algoritmo, agora com os inteiros b e r 1 .Sejam q 2 er 2 o quociente e o resto da diviso de b por r 1 , respectivamente.

b =q 2r 1r 2, em que 0r 2r 1 .

Se r 2=0 , temos b =q 2r 1 e, nesse caso,

mdc b , r 1=r 1=mdc a , b .

Paramos o nosso algoritmo nesse estgio.

Se r 20 , temos 0r 2r 1 e b =q 2r 1r 2 .Nesse caso,

d =mdc a , b =mdc b , r 1=mdc r 1, r 2.

Como a seqncia dos restos satisfaz s condies

b r 1r 2r k0,

partindo de um b fixado, existir um primeiro ndice k tal que r k=0. Nessa etapa, paramos o

algoritmo e temos que:

d =mdc a , b =mdc b , r 1==mdc r k2 , r k1=r k1.

Exemplo:

Vamos aplicar o algoritmo de Euclides para determinar mdc 245,168.

245 = 116877

168 = 27714

77 = 5147

14 = 270

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Ento,

mdc 245,168=mdc 168,77 =mdc 77,14=mdc 14,7=7, pois 714.

comum esse processo ser representado pelo esquema a seguir:

1 2 5 2

245 168 77 14 7

77 14 7 0

Texto 14 Clculo do mdc e do mmc atravs da fatorao

Uma outra maneira de calcular o mdc e mmc de dois inteiros a e b utilizar sua fatorao.

Sejam:

a=p1

1p2

2pk

k e b=p1

1p2

2pk

k

em que escrevemos a e b com todos os primos envolvidos em a e b , usando

expoentes nulos, caso seja necessrio.

Se um primo p i divide a , mas no divide b , podemos colocar p i na fatorao de b ,

mas com expoente 0, pois p i0=1, o que no altera a fatorao.

Exemplo: Sejam a=12 e b =21 . Temos que a=223 e b =37 . Ao escrever essas

fatoraes com os mesmos primos, obtemos:

a=223170 e b =203171.

Ao colocar os inteiros a e b com os mesmo fatores primos p i , temos:

mdc a , b =p1

1p2

2pk

k , onde i=min

i,

i.

Isto , o expoente de um primo p i na fatorao de mdc a ,b o mnimoentre os expoentes

de p i nas fatoraes de a e b .

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Como i =min i , i , ento i i e ii , para todo i ,1i k.

Assim, p ii p

i

i e p ii p

i

i .

Logo,

d = p 11p 22p kk p 11p 22p kk=a e d = p11p 22p kk p 11p22p kk=b ,

ou seja, d a e db .

Se d ' outro divisor comum de a e b , e se p i aparece com expoente i na fatorao de

d ' , ento,

p ii

p ii

e p ii

p i i

i i e ii i min i , i =i p ii

p ii

.

Lembrando que i o expoente de p i na fatorao de d , segue-se que d ' d. Portanto

d divisor comum e todo divisor comum d ' divide d , o que prova que d =mdc a ,b .

Ao utilizar um raciocnio anlogo ao mencionado anteriormente, pode-se deduzir a fatorao do

mnimo mltiplo comum de dois inteiros a e b .

Se a=p1

1p2

2pk

k e b =p1

1p2

2pk

k , ento,

mmc a , b = p1

1p2

2pk

k , em que i =max i , i .

O expoente de p i na fatorao de mmc a ,b o mximo dos expoentes de p i na

fatorao de a e b .

36

Pode parecer mais fcil obter o mximo divisor comum de dois

inteiros utilizando a fatorao. O grande problema fator-los.

Nas aplicaes interessantes, lidamos com inteiros muito

grandes. Nesse caso, fatorar um problema mais complexo

que usar o algoritmo de Euclides para obter o mdc.


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Exemplo. Seja a=84 e b =18. Ento a=2237 e b =232 .

Logo,

mdc 84,8=21. 3

1=6 e mmc 84,18=2

2327=252.

No entanto o clculo do mmc a ,b no prtico, se os inteiros a e b forem grandes,

dada a dificuldade de fator-los. Para o clculo do mmc a ,b , no h um algoritmo de

Euclides. O que existe uma relao direta com o mdc a ,b , permitindo o clculo de um a

partir do outro. o que voc vai estudar no texto a seguir.

Texto 15 Relao entre mdc a ,b e mmc a ,b

Para ver a relao entre o mdc a ,b e o mmc a ,b , perceba inicialmente que, para

quaisquer inteiros x e y ,

max x , y min x , y =x y .

Por exemplo, se x y (o caso x y anlogo), ento

max x , y = y e minx , y =x max x , y min x , y =x y.

Sejam agora a e b inteiros e a=p 11p

2

2pk

k e b =p1

1p2

2pk

k.

Voc viu que:

mdc a , b =p1

1p2

2pk

k , onde i =min i , i e

mmc a , b = p1

1p2

2pk

k , onde i =max i , i .

Assim,

mdc a , b mmc a , b = p 1

1p 2

2p k

k p 1

1p 2

2p k

k=p 1

1

1p 2

2

2p k

k

k ,

em que so agrupadas as potncias de mesma base, somando os expoentes.

37


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Mas, para todo i , i i =min i , i max i , i =ii ,

portanto,

p 1

1

1p 2

2

2p k

k

k=p 1

1

1p 2

2

2p k

k

k=p1

1p 2

2p k

kp1

1p2

2p k

k=ab ,

ou seja,

mdc a ,b mmc a ,b =ab.

Exemplo: a=84=2237 e b =18=232. .

Temos mdc 84,18=23=6 e mmc 84,18=22327=252. Ento:

mdc 84,18mmc 84,18=6252=1512=8418=ab.

Texto 16 Convergncia do Algoritmo de Euclides

Veremos agora uma abordagem mais computacional do Algoritmo de Euclides.

Para calcular o mdc de dois inteiros positivos a e b , podem-se listar todos os divisores

positivos comuns de a e b e determinar o mximo destes divisores.

Um algoritmo desse tipo pode ser escrito da seguinte forma:

Entrada: inteiros positivos a e b .

Sada: mdc a ,b .

Para todo inteiro k entre 1 e o mnimo de a e b , teste se ka e kb . Em

caso afirmativo, inclua k em um conjunto D.

Retorne o mximo do conjunto D.

Este um algoritmo que sempre funciona, pois retorna o mdc de dois inteiros a e b . No

entanto extremamente lento. Ainda que possa ser melhorado de diversas maneiras, esse

algoritmo no prtico para inteiros grandes, uma vez que so necessrias vrias divises.

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O Algoritmo de Euclides pode ser escrito do seguinte modo:

Entrada: inteiros positivos a e b .

Sada: mdc a ,b .

Seja r o resto da diviso de a por b .

Se r =0 , ento o resultado b e paramos.

Se r 0 , ento calculamos mdc b ,r e retornamos esse valor como resposta.

Este algoritmo definido por recorrncia, isto , o algoritmo cita ele mesmo vrias vezes, a fim de

obter o resultado.

Essa uma pergunta muito importante quando consideramos aplicaes computacionais prticas

que utilizam o Algoritmo de Euclides.

Para respondermos a essa pergunta, precisamos da seguinte proposio:

Proposio. Sejam a e b inteiros positivos, com ab , e seja r o resto da diviso de

a e b . Ento r a / 2 .

Demonstrao

Como 0r b , se b a /2 , ento r a /2.

Se b a /2 , o quociente da diviso de a por b 1, logo:

a=b1r r =ab.

39

O Algoritmo de Euclides tem duas vantagens: rpido e fcil de

ser implementado computacionalmente.

Mais quo rpido converge o Algoritmo de Euclides? Por exemplo, ao

iniciar com inteiros a e b de 1000 dgitos, quantos passos, no mximo,

seriam necessrios para chegarmos ao final do algoritmo?


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Mas b a /2 b a /2 ab aa /2=a /2. Portanto r a /2.

Com essa proposio se determina o nmero mximo de passos necessrios para que o

algoritmo de Euclides termine.

No algoritmo de Euclides temos

mdc a , b =mdc b , r =mdc r , r 1=mdc r 1, r 2=mdc r 2, r 3=

Observe que a cada dois passos trocamos os primeiros elementos de um par pelo resto da

diviso dos dois elementos do par.

Por exemplo, no 3 passo ( mdc r , r 1 ), o primeiro elemento do par r ,que o resto da

diviso de a por b (par no 1 passo).

No 4 passo ( mdc r 1, r 2 ), o primeiro elemento do par r 1 , que o resto dos inteiros do 2

passo ( mdc b ,r ).

Assim, r a /2 r 2r / 2a / 4 r 4r 2/ 2r /4a /8. A cada dois passos, o maior

nmero do par fica reduzido a, no mximo, metade do valor. Voc pode observar que os restos

r k , para k inteiro par, satisfazem r ka

2k/ 21 .

Na pior hiptese, vale a igualdade na frmula acima e o algoritmo para quando encontramos

resto 1.

Fazendo r k=1 na frmula anterior, obtemos:

a

2k/21

=1 a=2k/21

Ao aplicar logaritmo de base 2 de ambos os lados, temos:

log2 a=k

2 1 log2 a1=k

2 k=2log2 a2.

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A concluso que o nmero mximo de passos para terminar o algoritmo de Euclides

2log2a2, em que a o maior dos inteiros que iniciaram o algoritmo.

Exemplo: Se a um inteiro de mil dgitos, ento a101000

.

Assim,

k2log21010002=2000log210220003,3222=6641.

O algoritmo chega ao resultado em, no mximo, 6.641 passos.

Nesta aula voc teve contato com muitas demonstraes, contas com fatoraes

em primos e, por isso, pode ter encontrado alguma dificuldade. Algumas vezes preciso ler mais de uma vez. H detalhes que s podem ser percebidos depois que

os conceitos ficam mais amadurecidos.

Voc tambm estudou o algoritmo de Euclides, a expresso do mdc e do mmc, em

termos da fatorao em primos dos inteiros envolvidos, e a frmula que relaciona o

mdc e o mmc.

Atividade

1) Use o algoritmo de Euclides para calcular o mdc entre os pares de nmeros abaixo. A partir do

mdc, calcule o mmc destes nmeros.

a) a=847 e b =91 .

b) a=2475 e b =231 .

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Aula 4 Testes de Primalidade

Como afirmar se um inteiro primo? Trata-se de um problema relevante em vrias

aplicaes de Teoria dos Nmeros, incluindo as aplicaes em Criptografia.

Um teste de primalidade qualquer algoritmo que determina se um inteiro primo.

No confunda teste de primalidade com um problema relacionado: o de fatorao

de inteiros.

Nesta aula, voc vai estudar um processo clssico para obter todos os primos de 1

a n e a descrio de um teste de primalidade simples.

Texto 17 Primeiro teste de primalidade

Vamos agora descrever um mtodo simples para determinar se um inteiro n ou no primo.

Se um inteiro n no primo, ento halgum fator primo menor que ele. A idia dividir n

por todos os primos menores que ele. Caso no seja divisvel por nenhum, ento ser primo.

No necessrio testar todos os primos menores que n ; basta avaliar os primos menores ou

iguais a n.

Proposio. Se n no primo, ento possui um fator primo menor ou igual a n.

Demonstrao

Se n composto, ento existem n1 e n2 , tais que n=n1n2 , em que 1n1n e

1n2n.

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Determinar a fatorao de um dado inteiro computacionalmente

mais difcil do que determinar se esse inteiro ou no primo.


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Suponha que n1n2 (o caso n2n1 anlogo). Assim:

n = n1n2 n1n1 = n12 n1n.

Seja p fator primo de n1 (caso n1 seja primo, p=n1 ). Como n1n e pn1 , ento

pn1n e, como pn1 e n1n , ento pn. Logo, p fator primo de n menor ou

igual a n.

Exemplo: Vamos determinar se 127 primo. Como 127 um pouco maior que 11, basta

testar a divisibilidade de 127 pelos primos 2, 3, 5, 7 e 11. Como ele no divisvel por nenhum

destes nmeros, ento 127 primo.

Para usar este mtodo, convm ter em mos uma lista de primos. Uma forma para obt-la, atum nmero escolhido, o conhecido crivo de Eratstenes.

Leia sobre Eratstenes na seo Saiba mais ao final desta aula.

O crivo de Eratstenes um mtodo muito antigo para encontrar todos os primos at um certo

inteiro especfico. A palavra crivo quer dizer peneira. O algoritmo atua, de fato, como umapeneira, separando os mltiplos dos primos em sucesso, deixando passar apenas os que no

so divisveis por estes primos. Ao final do processo, apenas os primos passam pela peneira.

O mtodo consiste em escrever todos os inteiros de 1 a N. Como 1 no primo, pode ser riscado

imediatamente.

O algoritmo prossegue, seqencialmente, em passos. Em cada etapa, encontramos o primeiro

nmero que no foi riscado, marcamos ele como primo e riscamos todos os seus mltiplosprprios. Enquanto o ltimo nmero a ser avaliado no excede a raiz quadrada de N, repetimos

os passos citados. Quando o algoritmo pra, os inteiros remanescentes so primos.

Por exemplo, vamos escrever o crivo de 1 a 100. Devemos eliminar os mltiplos dos primos

menores ou iguais a 100=10 .

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44

Inicialmente, escrevemos todos os inteiros

de 1 a 100. Riscamos o 1, que no

primo.

Encontramos e marcamos como primo o

nmero 2. Em seguida, riscamos todos os

mltiplos prprios de 2.

Depois marcamos 3 como primo e

riscamos seus mltiplos prprios.


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Conclumos que os primos de 1 a 100 so:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 e 97.

Para conhecer mais sobre os crivos de Eratstenes, visite os dois endereos listados a seguir:

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Arithmetic/Eratosthenes.shtml

Neste endereo h um aplicativo em que voc pode escolher o inteiro N. Ento, aparece

em um boto o prximo inteiro no-riscado. Ao apert-lo, so riscados os mltiplos

prprios deste inteiro e o prximo no-riscado exibido.

http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/eratosiv.htm

Neste outro endereo, voc encontra um aplicativo de crivo de Eratstenes montado de 1

a 400. Ao clicar em um inteiro da tabela, os mltiplos prprios desse inteiro desaparecem.

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O primeiro inteiro no-riscado o 7.

Selecionamos 7 como primo e riscamos

seus mltiplos prprios.

Como o prximo nmero no-riscado 11,

que maior que a raiz quadrada de 100, o

algoritmo pra e os inteiros remanescentes

podem ser marcados como primos.

Em seguida, o primeiro inteiro no-

riscado o 5. Marcamos 5 como primo e

riscamos seus mltiplos prprios.


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Texto 18 Teorema dos Nmeros Primos

Para responder a algumas questes, como, por exemplo,

- existem infinitos primos, mas como eles se distribuem?

- conforme os inteiros ficam maiores, os primos se tornam mais espaados?

- a densidade dos primos diminui?

necessrio definir a funo x.

Se x real positivo, ento x o nmero de inteiros primos menores ou iguais a x .

Exemplos:

10=4 (os primos 2, 3, 5 e 7 so menores que 10);

100=25 , h 25 primos menores que 100. Confira na lista que fizemos usando o

crivo de Eratstenes;

1000=168 ;

104=1.229 ;

105=9.592 ;

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O teste apresentado inicialmente dividir um inteiro N pelo primos

menores ou iguais a N sempre funciona; porm, na prtica, no pode

ser utilizado para inteiros com fatores primos muito grandes. comum ser

utilizado para testar a primalidade de inteiros pequenos.

Vrios testes de primalidade populares so probabilsticos. Esses testes

no permitem afirmar com certeza se um inteiro n primo, mas podem

comprovar que n provavelmente primo.

Se n passa no teste, ento apresenta certa probabilidade de ser primo.

A chance de erro pode ser reduzida a um valor arbitrariamente baixo, se

aplicarmos o teste vrias vezes.

O teste probabilstico mais simples o teste de Fermat, que ser estudado

na Aula 9.


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106=78.498 .

Um resultado importante, suposto originalmente por Gauss, no sculo XIX, e provado por

Hadamard e Vall-Poussin, em 1896, o chamado teorema dos nmeros primos, que afirma que:

limx

x

xlog x= 1

onde log x o logaritmo natural de x (logaritmo na base e ).

Esse resultado significa que, se x muito grande, ento x deve estar prximo de

x

logx , pelo menos em termos relativos.

Mesmo para valores muito grandes de x , o erro xx

logx bastante elevado. Por

exemplo, para x=1016 , o erro da ordem de 1013 .

H vrios problemas no resolvidos na Matemtica, relacionados questo da distribuio dos

nmeros primos. Um dos problemas sem soluomais importantes a chamada hiptese de

Riemann relaciona-se funo x e ao teorema dos nmeros primos.

Nesta aula 4, voc aprendeu o que so testes de primalidade e estudou o teste

mais simples, que tentar dividir N por todos os primos menores ou iguais a

N. Este mtodo nos leva ao crivo de Eratstenes, que um algoritmo antigo

para elaborar tabelas de primos.

Voc tambm estudou a questo da distribuio dos nmeros primos e o Teorema

dos Nmeros Primos.

Vamos voltar questo dos testes de primalidade ao apresentarmos o pequeno

teorema de Fermat, que d origem a um teste probabilstico, chamado teste de

Fermat.

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Atividades

1) Determine se os seguintes inteiros so primos:

a) N = 229

b) N = 1223

c) N = 481

2) Use o crivo de Eratstenes para determinar todos os primos at N=200. Determine 200.

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Saiba mais: Eratstenes

Eratstenes foi um matemtico, gegrafo e astrnomo grego que viveu de 276

a 194 a.C. Nasceu em Cyrene (atual Lbia), mas estudou, trabalhou e morreu

em Alexandria, onde atuou como bibliotecrio da famosa biblioteca dessa

cidade.

Eratstenes fez contribuies importantes para as reas de Matemtica e

Cincias. Foi o primeiro a calcular a circunferncia da Terra, usando

trigonometria e o conhecimento do ngulo de elevao do Sol ao meio-dia, em

duas cidades distantes.

H controvrsias sobre a unidade de medida usada por Eratstenes, mas

acredita-se que o valor obtido por ele esteja entre 39.690 Km e 46.620 Km,

valor prximo ao conhecido hoje, de 40.080 Km. Eratstenes mediu tambm a

distncia da Terra ao Sol, da Terra Lua e teria compilado um catlogo de

675 estrelas.

Eratstenes era conhecido na poca pelo apelido de beta, a segunda letra do

alfabeto grego. A razo do nome que, segundo seus contemporneos, ele

tinha grande conhecimento em vrias reas, mas em cada uma delas era

apenas o segundo melhor.


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Aula 5 Aritmtica Modular

Aritmtica modular um sistema em que as operaes entre os inteiros so feitas mdulo um

outro inteiro n . O sentido desta frase ser melhor compreendido ao longo desta aula.

Para entender o sistema, pense em um relgio. Se ele marca 21 horas neste momento, daqui a 5

horas marcar 2 horas da manh, certo?

Isso ocorre porque, aps as 24 horas, o relgio volta a marcar 0 hora, reiniciando a contagem. Se

ele marca 18 horas, aps 10 horas marcar 4 horas da manh. Assim: 1810=28 e

2824=4 .

Esta aritmtica do relgio acontecer em qualquer evento cclico. semelhante ao cdigo de

Csar. Usando um alfabeto de 23 letras, se trocarmos cada letra pela prxima,duas unidades

frente, ento temos:

A1 C3

B2 D4

V21 Z23X22 A1

Z23 B2

Veja que V (letra 21) substituda por Z (letra 23); X (letra 22) por A (letra 1) e Z (letra 23) por B

(letra 2). Em nmeros, esta substituio corresponde operao xx2, com o detalhe de,

aps o 23, voltamos ao incio. Isto uma aritmtica modular, no caso mdulo 23.

Para definir exatamente essas noes, importante que voc conhea o estudo das relaes de

equivalncia e veja como a aritmtica modular se traduz em uma relao de equivalncia

chamada congruncia mdulo n .

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Como voc estudou na primeira disciplina do curso, um cdigo de Csar

um mtodo em que uma chave, definida por um nmero, usada paracifrar e para decifrar a mensagem. Leia mais sobre esse mtodo

criptogrfico na aula 5 do livro Introduo Criptografia.


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Assim, nesta aula, voc vai estudar a definio de relao e o que uma relao de equivalncia,

e ainda vai aprender que congruncia mdulo n uma relao de equivalncia.

Texto 19 - Relaes

Uma relao em um conjunto S uma maneira de comparar os elementos de S .

Exemplo:

So relaes:

A relao de igualdade = nos inteiros.

A relao nos inteiros. A relao ter a mesma idade em um grupo de pessoas.

A relao ser da mesma espcie no conjunto de animais em um zoolgico.

Isso lhe d uma idia do que seja uma relao. Veja a definio formal de relao no quadro a

seguir.

Exemplos:

A relao de igualdade no conjunto {1,2,3,4,5} o subconjunto

R={1,1 ,2,2 ,3,3, 4,4 ,5,5 } .

A relao no conjunto {1,2,3,4,5} o subconjunto

R={1,1, 1,2 ,1,3 , 1,4 ,1,5 ,2,2 , 2,3 ,2,4 ,2,5 , 3,3 ,3,4 ,

3,5, 4,4 ,4,5 ,5,5 }.

A idia dessa representao que, para uma relao em um conjunto S, temos um subconjunto

RSS , tal que x , yR , quando x e y se relacionam.

Muitas relaes interessantes obedecem s propriedades que sero destacadas a seguir.

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Podemos definir uma relao em um conjunto S como um subconjuntode SS (conjunto dos pares ordenados {x , y; x ,y S} ).


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Seja S um conjunto e ~ uma relao em S . Dizemos que a relao ~

i. reflexiva, quando a~a para todo aS.

ii. simtrica, quando a~b b~a para todo a ,bS.

iii. transitiva, quando a~b e b~c a~c, para todos a , b , c S.

Confira alguns exemplos.

A relao de igualdade nos inteiros reflexiva, simtrica e transitiva (Verifique).

A relao nos inteiros reflexiva ( aa) e transitiva ( ab e bc ac), mas

no simtrica (por exemplo, se ab, ento no vale ab e ba).

A relao no conjunto dos inteiros transitiva, mas no reflexiva nem simtrica.

A relao "ter a mesma idade que" no conjunto dos alunos de uma sala :

- reflexiva (aluno A tem a mesma idade que ele mesmo),

- simtrica (se A tem a mesma idade que B, ento B tem a mesma idade que A)

- transitiva (se A tem a mesma idade que B e B tem a mesma idade que C, ento A tem

a mesma idade que C).

A relao de incluso no conjunto PX dos subconjuntos de um conjunto X uma

relao reflexiva e transitiva, mas no simtrica.

H uma quarta propriedade que surge em vrias relaes importantes (inclusive ) :

Uma relao ~

iv. anti-simtrica, quando a~b e b~a a=b.

A relao no conjunto dos inteiros reflexiva, anti-simtrica e transitiva.

Podemos agora definir a relao de equivalncia.

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Uma relao em um conjunto S chamada relao de equivalncia, se ela reflexiva,

simtrica e transitiva.

Exemplos.

A relao de igualdade nos inteiros relao de equivalncia.

A relao "ter a mesma idade que" no conjunto dos alunos de uma sala relao de

equivalncia.

A relao no conjunto dos inteiros no relao de equivalncia, pois no simtrica, mas

importante.

Muitas relaes interessantes, assim como , so reflexivas, anti-simtricas e transitivas. Elas

tambm recebem um nome especial.

So relaes de ordem:

A relao no conjunto dos inteiros.

A relao no conjunto dos subconjuntos de um conjunto X .

A relao "a divide b" no conjunto dos inteiros.

Agora, vamos voltar s congruncias mdulo n , ponto de partida desta aula.

Texto 20 Congruncia Mdulo n

Seja n um inteiro positivo. Dizemos que ab mod n , se ab um mltiplo de n , ou

seja, se a=bkn para algum k .

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Uma relao reflexiva, anti-simtrica e transitiva chamada relao de ordem.


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Exemplos:

146mod4 , pois 4 divide 146=8 .

37mod5 , porque 5 divide 37=10 .

100mod5 , pois 5 divide 100=10 .Observe que a0mod n na0 na, ou seja, os inteiros que so congruentes a 0

mdulo n so exatamente os mltiplos de n .

Sejam a inteiro e n inteiro positivo, q e r o quociente e o resto da diviso de a por

n . Temos que:

a=qnr ar=qn ar mod n.

Ento, por exemplo, todos os inteiros que tm resto 1 pela diviso por n so congruentes a 1

mdulo n .

Encontrar o resto da diviso de a por n equivalente a achar um inteiro r ,0rn, tal

que ar mod n. Esta observao importante porque veremos diversas frmulas que

permitem encontrar facilmente um inteiro pequeno que seja congruente mdulo n a uma dada

potncia.

Agora, vamos estabelecer o fato de que a relao de congruncia mdulo n uma relao de

equivalncia.

Proposio. Para todos a , b e c inteiros e n inteiro positivo, vale que:

1. aa mod n (propriedade reflexiva)

2. ab mod n ba mod n (propriedade simtrica)

3. ab mod n e b c mod n ac mod n (propriedade transitiva)

Como exerccio, prove as afirmaes 1 e 2 da proposio. Depois, siga e veja a demonstrao da

afirmao 3. Ao final, junto com a resposta dos exerccios, veja as demonstraes feitas.

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Demonstrao. Quanto afirmao 3, se

ab mod n e b c mod n,

ento,

nab e nbc nabbc=ac ac mod n.Esta proposio mostra que a relao de congruncia mdulo n uma relao de equivalncia.

No prximo texto, voc vai aprender que uma relao de congruncia em um conjunto cria uma

partio desse conjunto, que dada pelas classes de equivalncia.

Aps voc estudar estas classes, voltaremos relao de congruncia mdulo n .

Texto 21 - Classes de Equivalncia

Uma relao de congruncia em um conjunto S induz naturalmente a uma classificao dos

objetos do conjunto.

Por exemplo, a relao de equivalncia dada por "ter a mesma idade que" no conjunto dos alunos

de uma escola classifica-os em um subconjunto de alunos de mesma idade. Todos os alunos de

15 anos, por exemplo, so equivalentes por esta relao, e ficam dentro da mesma "classe".

Esta classificao expressa pelo conceito de classe de equivalncia.

Dada uma relao de equivalncia ~ em um conjunto S , a classe de equivalncia de um

elemento xS formada pelos elementos que so equivalentes a x por ~ .

Denotamos a classe de equivalncia de x por x assim:

x = {ySy~x}

Observe que, se y x, ento x y, o que apenas outra forma de dizer que, se

y~x , ento x~y, que a propriedade de simetria de uma relao de equivalncia.

Por outro lado, se x y, ento x= y , pois, se z x , ento z~x . Como x y , ento

x~y ; logo z~x e x~y z~y z y.

Desta forma, z x z y, o que mostra que x y.

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Podemos mostrar de forma anloga que y x, provando assim que x= y , quando x y.

Isso permite concluir que, se x y , ento x= y, pois se z x y, ento

z x e z y z= x e z= y x= y.Em outras palavras, duas classes de equivalncia ou so iguais, ou so disjuntas.

Observe ainda que, como x x, todo elemento de S est em alguma classe de equivalncia.

Essas observaes podem ser resumidas em duas propriedades muito importantes das classes

de equivalncia:

i. Duas classes distintas so disjuntas.ii. A unio de todas as classes de equivalncia todo o conjunto S.

Desse modo, o conjunto das classes de equivalncia em um conjunto S formado por

subconjuntos no-vazios disjuntos de S, cuja unio S. Este conjunto chamado espao

quociente da relao de equivalncia ~ e algumas vezes denotado por S/~ .

Uma partio de um conjunto S uma coleo de subconjuntos no-vazios Si, disjuntos dois

a dois ( SiSj= se ij), tal que S a unio dos Si.

O que foi mostrado anteriormente que, dada uma relao de equivalncia em um conjunto S ,

o conjunto de suas classes de equivalncia forma uma partio de S .

Reciprocamente, no difcil mostrar que

Texto 22 Classes de Congruncia

A relao de congruncia mdulo n uma relao de equivalncia.

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Dada uma partio de S, existe uma relao de equivalncia tal

que suas classes de equivalncia so os conjuntos da partio.


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Vamos a um exemplo: quais so as classes mdulo 5?

Primeiro, vamos obter a classe do 0:

x0 x0 mod 5 5x0 5x

Portanto, 0 formado pelos mltiplos de 5:

0={5kk} = {... ,10,5,0,5,10 , ...}

Qual a classe de 1?

x1 x1 mod 5 5x1 x1=5k x=5k1,para algum k.

Assim, 1 formado pelos mltiplos de 5 somados a 1:

1={5k1k } = {...,9,4,1,6,11 , ...}

Continuando, obtemos:

2={5k2k } = {...,8,3,2,7,12 ,... }

3={5k3k } = {...,7,2,3,8,13 ,... }

4={5k4k} = {... ,6,1,4,9,14 , ...}

E o 5 ? Como 50 , temos 5=0 .

As classes 0 , 1 ,2 ,3 , 4 so todas as classes mdulo 5. Observe que, para qualquer a

inteiro, existem inteiros q e r , tal que a=5qr, onde 0r5 (diviso de n por 5).

Logo ar mod 5 ar.

Assim, {0 , 1 , 2 , 3 , 4 } o espao quociente (conjunto das classes de equivalncia) da relao

de congruncia mdulo 5. Chamamos este conjunto de 5 .

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Quais so as classes de equivalncia para congruncia mdulo n ?


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Podemos generalizar esta observao. Veja a seguir.

Proposio. Seja n inteiro positivo. O conjunto de todas as classes de congruncia mdulo

n o conjunto {0 , 1 , ... ,n1} .

Demonstrao

Dado qualquer inteiro a , existem inteiros q e r , tais que:

a=qnr , sendo 0rn.

Portanto ar mod n ar. Desta forma, todos os inteiros esto em alguma das classes0 , 1 ,... ,n1 .

Por outro lado, as classes 0 , 1 ,... ,n1 so todas distintas, pois dois inteiros entre 0 e

n1 s podem ser congruentes mdulo n se forem iguais.

Representamos por n o conjunto de todas as classes de congruncia mdulo n .

Ento: n={0 ,1 ,... ,n1}

Cada classe a um conjunto infinito. O inteiro a um representante da classe a. Veja que,

para uma classe, podemos escolher qualquer elemento dela como representante.

Por exemplo: para mdulo 5, qualquer inteiro da forma 5k1 representante da classe 1 .

Nesta aula, voc estudou as relaes de congruncia mdulo n . Para isso,

aprendeu as relaes em geral, conheceu algumas propriedades e viu, em

particular, que as relaes reflexivas, simtricas e transitivas so chamadas

relaes de equivalncia.

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Uma relao de equivalncia em um conjunto particiona este

conjunto em classes de equivalncia.


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Outro ponto estudado foi a relao de congruncia mdulo n , que uma

relao de equivalncia. O conjunto das classes de congruncia mdulo n

denotado por n . Voc viu ainda a demonstrao de que:

n={0 ,1 ,,n1 }.

A congruncia mdulo n uma poderosa ferramenta na Teoria dos Nmeros. Evoc ver, ao longo da disciplina, que essa ferramenta utilizada quase que

universalmente.

Atividades

1) Seja S={1,2,3,4 } . Considere as seguintes relaes em S:

R1

={1,1 ,2,2 ,3,3, 4,4}

R2={1,2 ,1,3 ,2,2, 2,3}

R3={1,1 ,1,2 ,2,2, 2,3 ,3,3 , 4,4}

R4={1,1 ,1,2 , 1,3 ,2,1 ,2,2, 3,1 ,3,3}

R5

={1,1 ,1,2 ,1,3, 1,4 ,2,2 , 2,3 ,2,4 ,3,3 , 3,4 ,4,4}

Para cada uma das relaes anteriores, indique se reflexiva, simtrica ou transitiva.

2) Determine se as afirmaes a seguir so verdadeiras ou falsas:

a) 251mod12

b) 514mod3

c) 122mod3

d) 57t5mod7,para todot

e) x217y=3mod17 x23mod17

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Aula 6 - Operaes com Classes de Congruncia

A Matemtica a rainha das cincias e a

Aritmtica a rainha da Matemtica.

Carl Friedrich Gauss

Como voc estudou na primeira aula, a aritmtica, termo utilizado para se referir

Teoria dos Nmeros, tem como objetivo estudar os nmeros inteiros, suas

operaes e representaes.

Agora voc vai estudar as operaes com classes de congruncia. Neste prximo

passo, vai aprender a definio de soma e de produto de classes mdulo n .

Voc se lembra que a aula anterior, sobre Aritmtica Modular, iniciou com aaritmtica das horas de um relgio? Vamos ver mais sobre esse exemplo.

Texto 23 Definio de Soma e de Produto de Classes

A aritmtica do relgio uma aritmtica mdulo 24. Por exemplo, se o relgio marca 23 horas,

aps 5 horas vai marcar 4 horas da manh. Isso acontece porque 23524=4 (aps s 24

horas, o relgio volta a marcar 0 hora). Para uma aritmtica mdulo 24, temos a soma

235=4 . Mais precisamente, em 24 , temos 235=4 .

A operao de soma em n definida naturalmente por a b=ab . O problema desta

definio que a e b so representantes das classes a e b , respectivamente. Nesse

caso, se fossem utilizados outros representantes, seria obtido o mesmo resultado? Vamos ver um

exemplo.

Em 8 , 65=113mod8 . Logo, 6 5=65=11=3 .

Mas 146mod8 e 215mod8 , logo 14=6 e 215mod8 . Se somarmos

6 5 , usando os representantes 14 e 21, vamos obter o mesmo resultado? Verificamos

facilmente que sim, pois

1421=1421=35=3 .

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claro que este apenas um exemplo. Para que a definio a b=ab faa sentido, temos

de provar que, para qualquer inteiro positivo n , a soma ab no depende dos

representantes escolhidos nas classes a e b .

Na prxima proposio, vamos provar que tanto a soma como o produto de classes nodependem da escolha dos representantes.

Proposio. Em n , se a '=a e b '= b , ento

1. a 'b '=ab

2. a 'b '=ab

Demonstrao

a '=a a 'a mod n a '=ak1 n , para algum k1 .

b '= b b 'b mod n b '=bk2 n , para algum k2 .

Logo,

a 'b '=ak1nbk2n=abk1k2n a 'b 'ab mod n,

o que mostra que a 'b '=ab.

a 'b '=ak1 nbk2 n=a bak2 nb k1 nk1 k2 n2

=abnbk1ak2k1 k2 n

.

Portanto a' b ' a b mod n a 'b '=ab.

Uma forma equivalente de ver a proposio anterior somar e multiplicar duas congruncias

mdulo n .

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