4ª lista de revisão (estatística descritiva + probabilidade)

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/ AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

4 Lista de reviso

1. MEDIDAS DE POSIO .................................................................................................................... 1

2. MEDIDAS DE DISPERSO ............................................................................................................... 33

3. ASSIMETRIA ................................................................................................................................... 56

4. ANLISE COMBINATRIA .............................................................................................................. 58

5. PROBABILIDADE ............................................................................................................................ 85

6. QUESTES APRESENTADAS EM AULA......................................................................................... 126

7. GABARITO ................................................................................................................................... 161

1. MEDIDAS DE POSIO

Questo 1 CGU 2002 [ESAF]

Os nmeros A, B e C so inteiros positivos tais que A < B < C. Se B a mdia aritmtica simples entre A e C, ento necessariamente a razo (B - A) / (C - B) igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)

Resoluo:

B a mdia entre A e C. Logo:

= + 2

= 0,5 + 0,5 A razo solicitada foi:

=?

Agora substitumos B por 0,5A + 0,5C:

=0,5 + 0,5 0,5 0,5 =

0,5 0,50,5 0,5

O denominador igual ao numerador. Logo, o resultado da frao ser 1.

Entre as alternativas, na letra a tambm temos numerador igual ao denominador. Seu resultado tambm ser 1, exatamente o mesmo que chegamos acima.




Gabarito: A


Em um passeio de moto, um dos participantes vai de Curitiba a So Paulo a uma velocidade mdia de 50 Km por hora; aps, retorna de So Paulo para Curitiba a uma velocidade mdia de 75 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade mdia, em Km/h foi de:

a) 60

b) 62,5

c) 65

d) 70

e) 72,5

Resoluo:

Para simplificar, vamos supor que o trajeto tem 150 km, pois 150 um mltiplo comum de 50 e de 75.

Na ida, o carro anda a 50 km por hora. Assim, ele demora 3 horas para percorrer 150 km.

Na volta, o carro percorre 75 km em 1 hora. Logo, demora 2 horas para voltar.

Ao todo, ele gasta 5 horas para percorrer os 300 km de ida e volta. A velocidade mdia fica:

3005

= 60

Gabarito: A

Interessante observar que, nesse tipo de situao, a velocidade mdia justamente a mdia harmnica das velocidades individuais.

Vejam:

1

=1 50 + 1 75

2

1

=1

100+

1

150=

6 + 4

600

1

=10

600

=600

10= 60





Uma pessoa foi da localidade A para B a uma velocidade mdia de 75 Km por hora (Km/h); aps, retorna de B para A a uma velocidade m-dia de 50 Km/h. Considerando todo o percurso de ida e volta, a velocidade mdia, em Km/h foi de:

a) 50

b) 60

c) 62,5

d) 70

e) 72,5

Resoluo:

Exerccio idntico ao anterior.

Gabarito: B

Questo 4 AFPS 2002 [ESAF]

A tabela abaixo d a distribuio de freqncias de um atributo X para uma amostra de tamanho 66. As observaes foram agrupadas em 9 classes de tamanho 5. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opo que d a estimativa da probabilidade de que X seja menor ou igual a 32,2.

a) 0,570

b) 0,510

c) 0,773

d) 0,831

e) 0,864

Resoluo:




Primeiro montamos a tabela de frequncias acumuladas:

Classes Frequncias simples Frequncias acumuladas

4-9 5 5

9-14 9 14

14-19 10 24

19-24 15 39

24-29 12 51

29-34 6 57

34-39 4 61

39-44 3 64

44-49 2 66

Analisando a tabela de frequncias acumuladas, temos:

51 observaes so menores que 29

z observaes so menores que 32,2

57 observaes so menores que 34

Fazendo a interpolao linear:

5157 51

=32,2 29

34 29

516

=3,2

5

51 = 19,25

= 3,84

= 51 + 3,84 = 54,84 54,84 observaes so menores que 32,2. Isso em um total de 66 observaes. A probabilidade fica:

= 54,8466

83,1%

Gabarito: D






Sabe-se que o desvio padro da distribuio de X aproximadamente 10.

Assinale a opo que d o valor do coeficiente de assimetria de Pearson que baseado na mdia, na mediana e no desvio padro.

Obs: no estudamos coeficientes de assimetria. Ento fiquem com a informao que tal coeficiente dado por:

3

a) -0,600

b) 0,191

c) 0,709

d) 0,603

e) -0,610

Resoluo:

Vamos iniciar pela mediana. Para tanto, montamos a tabela de frequncias acumuladas:

Classes Frequncias simples Frequncias acumuladas

4-9 5 5

9-14 9 14

14-19 10 24

19-24 15 39

24-29 12 51

29-34 6 57

34-39 4 61

39-44 3 64

44-49 2 66

Como so 66 observaes, a mediana vai corresponder frequncia acumulada 33 (metade de 66).




Analisando a tabela de frequncias acumuladas, temos:

24 observaes so menores ou iguais a 19

33 observaes so menores ou iguais a D

39 observaes so menores ou iguais a 24


1924 19

=33 24

39 24

195

=9

15

19 = 5 915

= 3

= 19 + 3 = 22

Agora calculamos a mdia:

Classes Ponto mdio (X) = 21,55

Frequncias

simples (f)

4-9 6,5 -3 5 -15

9-14 11,5 -2 9 -18

14-19 16,5 -1 10 -10

19-24 21,5 0 15 0

24-29 26,5 1 12 12

29-34 31,5 2 6 12

34-39 36,5 3 4 12

39-44 41,5 4 3 12

44-49 46,5 5 2 10

Total 66 15

= 1566

= 21,55

= 5 + 21,5 = 5 + 21,5

= 5 1566

+ 21,5 22,63

Logo, o coeficiente de assimetria fica:

3 = 3

22,63 22

10= 3

0,63

10

1,91

10= 0,191

Gabarito: B






Assinale a opo que d o valor de a para o qual a equao

= 0

sempre verdadeira.

a) A mdia dos valores x.

b) A mediana dos valores x.

c) A moda dos valores x.

d) O desvio padro dos valores x.

e) O coeficiente de assimetria dos valores x.

Resoluo:

Aplicao direta da propriedade da mdia. A soma dos desvios em relao mdia sempre nula.

Gabarito: A

Questo 7 AFRF 2001 [ESAF]

Freqncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa

Classes de Salrio Freqncias Acumuladas

( 3 ; 6] 12

( 6 ; 9] 30

( 9 ; 12] 50




(12 ; 15] 60

(15 ; 18] 65

(18 ; 21] 68

Quer-se estimar o salrio mediano anual da Cia. Alfa. Assinale a opo que corresponde ao valor aproximado desta estatstica, com base na distribuio de freqncias.

a) 12,50

b) 12,10

c) 9,60

d) 12,00

e) 9,00

Resoluo:

Como so 68 observaes, a mediana corresponder frequncia acumulada 34 (=metade de 68).

Classes de Salrio Freqncias Acumuladas

( 3 ; 6] 12

( 6 ; 9] 30

( 9 ; 12] 50

(12 ; 15] 60

(15 ; 18] 65

(18 ; 21] 68

9 corresponde frequncia acumulada 30

D corresponde frequncia acumulada 34

12 corresponde frequncia acumulada 50


912 9

=34 30

50 30

93

=4

20

9 = 3 420

= 0,6

= 9 + 0,6 = 9,6 Gabarito: C

Questo 8 AFRF/2002-1 [ESAF]

Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a




coluna P representa a freqncia relativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Assinale a opo que d o valor mdio amostral de X:

a) 140,10

b) 115,50

c) 120,00

d) 140,00

e) 138,00

Resoluo:

Precisamos das freqncias relativas simples.

Classes Memria De clculo

Freqncia relativa simples

(%)

Freqncia Relativa acumulada

(%)

70-90 =5 5 5

90-110 =15-5 10 15

110-130 =40-15 25 40

130-150 =70-40 30 70

150-170 =85-70 15 85

170-190 =95-85 10 95

190-210 =100-95 5 100

Agora calculamos os pontos mdios. Todas as amplitudes de classes so iguais. Basta calcular o primeiro ponto mdio e obter os demais por soma (somar 20).

Classes Ponto Mdio

fr (%)

70-90 80 5

90-110 100 10

110-130 120 25

130-150 140 30

150-170 160 15

170-190 180 10

190-210 200 5




Agora o que temos o clculo de mdia para dados agrupados por valor.

Vamos criar a varivel auxiliar d.

2080

=

Xd

Classes Ponto Mdio

d fr (%)

70-90 80 0 5

90-110 100 1 10

110-130 120 2 25

130-150 140 3 30

150-170 160 4 15

170-190 180 5 10

190-210 200 6 5

Calculando a mdia de d.

Primeiro passo: criando a coluna adicional

d fr (%) frd (%) 0 5 0

1 10 10

2 25 50

3 30 90

4 15 60

5 10 50

6 5 30

Segundo passo: somando as colunas:

d fr (%) frd (%) 0 5 0

1 10 10

2 25 50

3 30 90

4 15 60

5 10 50

6 5 30

TOTAL 100 290

Terceiro passo: encontrando a mdia de d:

9,2%100%290

==d

S que ns queremos a mdia de X.

Sabemos que 20

80=

Xd .




Isolando X.

8020 += dX

8020 += dX

1388058809,220 =+=+=X

Gabarito: E.


Em um ensaio para o estudo da distribuio de um atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contbil do balano de uma empresa. Esse exerccio produziu a tabela de freqncias abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de X em reais e a coluna P representa a freqncia relativa acumulada. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Assinale a opo que corresponde estimativa do quinto decil da distribuio de X.

a) 138,00

b) 140,00

c) 136,67

d) 139,01

e) 140,66

Resoluo:

Quinto decil sinnimo de mediana. o valor que no superado por 50% das observaes.

Foram dadas freqncias acumuladas. No importa que sejam relativas. Basta que sejam acumuladas. Podemos comear a resolver a questo.

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85




170-190 95

190-210 100

Sabemos que:

130 40 130 corresponde a 40

Z 50 Quem corresponde a 50???


Ou seja:

Primeira linha 130 40

Segunda linha Z 50

Terceira linha 150 70

Subtraindo as linhas:

Z-130 50-40

150-130 70-40

A interpolao linear nos diz que estas diferenas so proporcionais:

40704050

130150130

=

Z

3010

20130

=

Z

66,1363020130 +=Z

Gabarito: C.

Note que 50 est a uma distncia de 10 em relao a 40 (50-40=10).

E 50 est a uma distncia de 20 em relao a 70 (70-50=20).

A primeira distncia metade da segunda.

Por isso, a distncia de Z em relao a 130 (=6,66) metade da distncia de Z em relao a 150 (=13,34).



Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40




130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Assinale a opo que corresponde estimativa da freqncia relativa de observaes de X menores ou iguais a 145.

a) 62,5%

b) 70,0%

c) 50,0%

d) 45,0%

e) 53,4%

Resoluo:

Classes P (%)

70-90 5

90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

130 corresponde frequncia acumulada 40%

145 corresponde frequncia acumulada z

150 corresponde frequncia acumulada 70%


145 130

150 130=

4070 40

15

20= 40

30

40 = 30 1520

= 22,5

= 40 + 22,5 = 62,5 Gabarito: A

Questo 11 AFRF 2002-2 [ESAF]

O atributo do tipo contnuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida de uma populao de 1000 indivduos, produziu a tabela de freqncias seguinte:




Assinale a opo que corresponde estimativa do nmero de indivduos na populao com valores do atributo X menores ou iguais a 95,5 e maiores do que 50,5.

a) 700

b) 638

c) 826

d) 995

e) 900

Resoluo:

Primeira interpolao: vamos encontrar quantas observaes so menores ou iguais a 95,5.

Para tanto, precisamos das freqncias acumuladas.

Classes Freqncia ( f ) Freqncia acumulada (F)

29,5-39,5 4 4

39,5-49,5 8 12

49,5-59,5 14 26

59,5-69,5 20 46

69,5-79,5 26 72

79,5-89,5 18 90

89,5-99,5 10 100

Classes Freqncia acumulada (F)

29,5-39,5 4

39,5-49,5 12

49,5-59,5 26

59,5-69,5 46

69,5-79,5 72

79,5-89,5 90

89,5-99,5 100




Sabemos que:

89,5 90 89,5 corresponde a 90

95,5 W 95,5 corresponde a quem???

99,5 100 99,5 corresponde a 100

Ou seja:

Primeira linha 89,5 90

Segunda linha 95,5 W

Terceira linha 99,5 100


95,5-89,5 W-90

99,5-89,5 100-90


9010090

5,895,995,895,95

=

W

9610

90106

=

= WW

Segunda interpolao: vamos encontrar quantas observaes so menores ou iguais a 50,5.

Classes Freqncia acumulada (F)

29,5-39,5 4

39,5-49,5 12

49,5-59,5 26

59,5-69,5 46

69,5-79,5 72

79,5-89,5 90

89,5-99,5 100

Sabemos que:


50,5 W 50,5 corresponde a quem???


Ou seja:


Segunda linha 50,5 W






50,5-49,5 W-12

59,5-49,5 26-12


122612'

5,495,595,495,50

=

W

4,13'14

12'101

=

= WW

Ou seja, 13,4 observaes so menores ou iguais a 50,5.

Eu sei que no faz sentido falar em 13,4 observaes (pois deveramos apenas ter nmeros naturais quando nos referimos a observaes). Mas tudo bem, continuemos o exerccio.

Feitas as duas interpolaes, sabemos que:

96 observaes so menores ou iguais a 95,5. Isto na amostra de tamanho 100. Na populao de tamanho 1.000, so 960 observaes menores ou iguais a 95,5. como se fssemos fazer uma regra de trs, a exemplo da que fizemos no Erro! Fonte de referncia no encontrada. (fl.Erro! Indicador no definido.).

Na amostra de tamanho 100 .... 96 observaes so menores ou iguais a 95,5.

Na populao de tamanho 1.000 ... X observaes so menores ou iguais a 95,5

960000.196100 == XX

Sabemos tambm que 13,4 observaes so menores ou iguais a 50,5. Isto na amostra de tamanho 100. Na populao de tamanho 1.000 so 134 observaes menores ou iguais a 50,5. Basta fazer outra regra de trs.

Na amostra de tamanho 100 ...... 13,4 observaes so menores ou iguais a 50,5

Na populao de tamanho 1.000 .... X observaes so menores ou iguais a 50,5

134'000.14,13100' == XX

Assim, sabemos que, na populao, temos 960 observaes menores ou iguais a 95,5. Destas 960, 134 so menores ou iguais a 50,5.

Portanto, 826 (=960-134) observaes so menores ou iguais a 95,5 e maiores que 50,5.

Gabarito: C.






Assinale a opo que corresponde ao valor modal do atributo X no conceito de Czuber.

a) 69,50

b) 73,79

c) 71,20

d) 74,53

e) 80,10

Resoluo:

A questo deu direto as freqncias simples.

A vem a pergunta: como voc sabe que so freqncias simples se o exerccio no disse nada?

Repare que as freqncias comeam em 4, vo aumentando, atingem 26, e depois diminuem.

Se fossem freqncias acumuladas, isso no aconteceria. Freqncias acumuladas no diminuem, s aumentam, at atingirem n (se forem freqncias absolutas acumuladas) ou at atingirem 1 (se forem freqncias relativas acumuladas).

Classes Freqncia ( f )

29,5-39,5 4

39,5-49,5 8

49,5-59,5 14

Classe anterior 59,5-69,5 20

Classe modal 69,5-79,5 26

Classe posterior 79,5-89,5 18

89,5-99,5 10

A maior freqncia 26. A classe correspondente 69,5 79,5. Seu limite inferior 69,5. Seu limite superior 79,5. E sua amplitude igual a 10.

A classe anterior 59,5 69,5. Sua freqncia 20.

A classe posterior 79,5 89,5. Sua freqncia 18.




Aplicando a frmula de Czuber:

)()( postMantMantM

M ffffffhlM

+

+=

14605,69)8()6(

6105,69)1826()2026(2026105,69 +=

++=

+

+=M

J d para fazer a conta e marcar a resposta.

Para quem quiser fugir das contas, d para aproximar a frao.

5,7345,6915605,69

14605,69 =+=++=M

Quando trocamos o denominador 14 por 15, ns diminumos um pouco o valor da moda.

A moda, na verdade, um pouco maior que 73,5.

Gabarito: B

Outra dica de conta. O ponto mdio da classe modal 74,5. Se as freqncias anterior e posterior fossem iguais, a moda seria justamente 74,5. Como a freqncia anterior um pouquinho maior (20 > 18), a classe anterior puxa a moda para o seu lado. A moda est mais prxima da classe anterior. A moda um pouquinho menor que 74,5. J descartamos as alternativas D e E.

O intervalo que contm a moda :

A moda s ficaria na primeira extremidade (69,5) se a freqncia da classe anterior fosse igual da classe modal, o que no o caso. J descartamos a letra A.

E, dentre as alternativas restantes, daria para marcar, com confiana, a letra B.


Uma distribuio de freqncias com dados agrupados em classe forneceu os pontos mdios de classes X e as respectivas freqncias absolutas f abaixo:

X f

49 7

52 15

55 12

58 5

61 1

Calcule a mdia aritmtica simples dos dados.

a) 52




b) 52,25

c) 53,35

d) 54,15

e) 55

Resoluo:

A questo nem deu as classes. Ela j forneceu direto os pontos mdios que ns usaremos para calcular a mdia.

Ficamos com:

X f fX 49 7 343

52 15 780

55 12 660

58 5 290

61 1 61

Total 40 2134

E a mdia igual a:

==

402134X 53,35

Gabarito: C.

Questo 14 SEFAZ MG 2005 [ESAF]

Com base na distribuio de freqncias do atributo X dada abaixo, assinale a opo que corresponde estimativa da funo de distribuio de X no ponto 29. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes. Use interpolao da ogiva no clculo da estimativa.

a) 0,935

b) 0,903

c) 0,839




d) 0,887

e) 0,871

Resoluo:

Podemos interpretar funo de distribuio como sinnimo de frequncia relativa acumulada.

O valor 27 corresponde frequncia acumulada 26

O valor 29 corresponde frequncia acumulada x.

O valor 30 corresponde frequncia acumulada 29.


29 27

30 27=

2629 26

2

3= 26

3

= 28 A frequncia absoluta acumulada igual a 28. Para achar a frequncia relativa acumulada, basta dividir pelo total de observaes (31):

28

31 0,903

Gabarito: B

Questo 15 IPEA 2004 [ESAF]

Para uma amostra aleatria de determinado tributo encontrou-se a seguinte distribuio de freqncias. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classes Freqncias

2.000 4.000 18

4.000 6.000 45

6.000 8.000 102

8.000 10.000 143

10.000 12.000 32

12.000 14.000 60

Assinale a opo que corresponde melhor aproximao do nonagsimo quinto percentil.

a) 13.000

b) 12.585

c) 13.333

d) 12.667

e) 13.900




Resoluo:

O nonagsimo quinto percentil o valor que no superado por 95% das observaes. Como so 400 observaes, o nonagsimo quinto percentil no superado por 380 observaes.

Classes Freqncias Freqncias acumuladas

2.000 4.000 18 18

4.000 6.000 45 63

6.000 8.000 102 165

8.000 10.000 143 308

10.000 12.000 32 340

12.000 14.000 60 400

Podemos montar o seguinte quadro:

12000 340 12000 corresponde a 340

Z 380 quem corresponde a 380?

14000 400 14000 corresponde a 400

Note que 380 mais prximo de 400 do que de 340. Portanto, o nmero que a ele corresponde (que estamos chamando de Z) mais prximo de 14000 do que de 12000. J descartamos as letras A, B e D.

Ficamos com:


Segunda linha Z 380



Z 12000 380 340

14000 12000 400 340

A interpolao linear nos diz que estas diferenas so proporcionais.

340400340380

120001400012000

=

Z

333.1360

000.240000.12 =+=Z

Desse modo, a minha resposta seria letra C.

O gabarito preliminar foi letra D.

E, no gabarito definitivo, a questo foi anulada. Confesso que no sei o motivo.

Gabarito: Anulado




Questo 16 IRB 2004 [ESAF]

O diagrama de ramos e folhas apresentado abaixo corresponde seqncia de observaes amostrais (34, 38, ..., 97) de um atributo X. Assinale a opo que d a mediana amostral de X.

3 4

3 8

4 22

4 57

5 124

5 7889

6 013

6 5597899

7 0112334

7 556679

8 1123344

8 57

9 0133

9 7

a) 69,5

b) 71,0

c) 70,5

d) 72,0

e) 74,0

Resoluo:

O diagrama de ramos e folhas acima representa o seguinte ROL:

34, 38, 42, 42, 45, 47, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 59, 60, 61, 63, 65, 65, 66, 67, 68, 69, 69, 70, 71, 71, 72, 73, 73, 74, 75, 75, 76, 76, 77, 79, 81, 81, 82, 83, 83, 84, 84, 85, 87, 90, 91, 93, 93, 97.

So 50 valores. No h um termo central. Os dois termos centrais so o 25 e o 26.

O 25 valor 71. O 26 valor tambm 71.

A mediana :

712

7171=

+

Gabarito: B.




claro que voc no precisa escrever o ROL inteiro para depois realizar a contagem dos dados e descobrir quem so o 25 e o 26 valores. Voc pode fazer a contagem direto no diagrama de ramos e folhas.


As questes seguintes dizem respeito distribuio de freqncias conforme o quadro abaixo, no qual no existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Classe Freqncia acumulada

129,5 139,5 4

139,5 149,5 12

149,5 159,5 26

159,5 169,5 46

169,5 179,5 72

179,5 189,5 90

189,5 199,5 100

Assinale a opo que corresponde ao oitavo decil

a) 179,5

b) 189,5

c) 183,9

d) 184,5

e) 174,5

Resoluo:

O oitavo decil o valor que no superado por 80% das observaes.

Como foram dadas freqncias acumuladas, no precisamos fazer nenhuma transformao.


129,5 139,5 4

139,5 149,5 12

149,5 159,5 26

159,5 169,5 46

169,5 179,5 72

179,5 189,5 90

189,5 199,5 100

Sabemos que:

179,5 72 179,5 corresponde a 72


189,5 90 189,5 corresponde a 90

Ou seja:


Segunda linha Z 80





Antes de iniciarmos as contas, vamos olhar as alternativas. Z est entre 179,5 e 189,5. J descartamos as letras A e B.

81 est no exatamente no meio entre 72 e 90.

O nmero que corresponde a 81, portanto, est bem no meio entre 179,5 e 189,5. Logo, o nmero que corresponde a 81 184,5.

80 um pouquinho menor que 81.

Portanto, o nmero que corresponde a 80 (que estamos chamando de Z), um pouquinho menor que 184,5.

Descartamos a letra D. E entre as letras C e E, ficamos com certeza com a letra C.

Retomemos nossa resoluo usual.


Z 179,5 80-72

189,5-179,5 90-72


72907280

5,1795,1895,179

=

Z

188

105,179

=

Z

94,18318805,179 +=Z

Note como a frao 80/18 no muito amigvel.

Aproximando a frao:

1845,45,179295,179

18815,179

18805,179 =+=+=++=Z

Quando ns trocamos o numerador 80 por 81, ns aumentamos um pouco o valor de Z.

Z na verdade um pouco menor que 184.

Gabarito: C


As questes seguintes dizem respeito distribuio de freqncias conforme o quadro abaixo, no qual no existem observaes coincidentes com os extremos das classes.


129,5 139,5 4

139,5 149,5 12

149,5 159,5 26

159,5 169,5 46

169,5 179,5 72




179,5 189,5 90

189,5 199,5 100

Assinale a opo que corresponde estimativa, via interpolao da ogiva, do nmero de observaes menores ou iguais ao valor 164.

a) 46

b) 26

c) 72

d) 35

e) 20

Resoluo:


129,5 139,5 4

139,5 149,5 12

149,5 159,5 26

159,5 169,5 46

169,5 179,5 72

179,5 189,5 90

189,5 199,5 100

Sabemos que:

159,5 26 159,5 corresponde a 26

164 W 164 corresponde a quem???

169,5 46 169,5 corresponde a 46

Ou seja:


Segunda linha 164 W


Novamente, antes de iniciarmos as contas, vamos ver as alternativas.

W est entre 26 e 46. J descartamos as letras A, B, C e E.

E marcamos a letra D.

Marcada a resposta correta, vejamos as contas.


164-159,5 W-26

169,5-159,5 46-26


264626

5,1595,1695,159164

=

W




2026

105,4

=

W

35269262010

5,4=+=+=W

Gabarito: D

Questo 19 MPU 2004 [ESAF]

A mediana uma medida de posio usualmente utilizada na anlise de distribuies de renda porque as distribuies de renda

a) tm intervalos de classe distintos.

b) sempre so normais.

c) tipicamente so do tipo uniforme.

d) geralmente se mostram bastante assimtricas.

e) sempre so bimodais.

Resoluo:

As distribuies de renda so geralmente muito assimtricas (muitas pessoas ganham muito pouco; pouqussimas pessoas ganham muito dinheiro). Como a mediana menos sensvel a valores extremos, ela usualmente empregada nesse tipo de distribuio, por representar melhor o conjunto de dados, fornecendo valores mais condizentes com a realidade.

Gabarito: D


A distribuio de freqncias de determinado atributo X dada na tabela abaixo. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes.

Assinale a opo que corresponde ao ponto mdio da classe modal.

a) 3.000

b) 7.000




c) 10.000

d) 8.000

e) 9.000

Resoluo:

A classe modal aquela com maior frequncia. a classe 8.000 10.000. Seu ponto mdio igual a 9.000.

Gabarito: E



Assinale a opo que corresponde estimativa do valor x que no superado por aproximadamente 80% das observaes do atributo X.

a) 12.000

b) 10.000

c) 10.471

d) 9.000

e) 11.700

Resoluo:

Oitenta por cento de 400 corresponde a 320.

Assim, estamos buscando pelo valor que no superado por 320 observaes.

Classes Freqncias acumuladas

2.000 4.000 18

4.000 6.000 63

6.000 8.000 165

8.000 10.000 308





10.000 12.000 359

12.000 14.000 400

Sabemos que:

10.000 308 10.000 corresponde a 308


12.000 359 12.000 corresponde a 359

Ou seja:

Primeira linha 10.000 308

Segunda linha Z 320

Terceira linha 12.000 359

Antes de continuarmos as contas, olha que detalhe interessante: 320 est entre 308 e 359.

Portanto, o nmero que corresponde a 320 (que estamos chamando de Z), est entre 10.000 e 12.000. J d para descartar as letras A, B e D.

320 est mais prximo de 308 do que de 359.

Portanto, Z est mais prximo de 10.000 do que de 12.000.

Com isso, descartamos a letra E e ficamos com a letra C.

De todo modo, vamos continuar com a resoluo de sempre.


Z 10.000 320-308

12.000-10.000 359-308


308359308320

000.10000.12000.10

=

Z

5112

000.2000.10

=

Z

58,470.10000.105112000.2 +=Z

Note como o denominador 51 dificulta as contas.

Vamos tentar fugir dele.

Aproximando a frao:

480.10000.105012000.2000.10

5112000.2 =++=Z




Quando trocamos o denominador 51 por 50, ns aumentamos um pouco o valor de Z. Portanto, na verdade Z, um pouco menor que 10.480.

Gabarito: C

Questo 22 PREFEITURA DE RECIFE 2003 [ESAF]

O quadro seguinte apresenta a distribuio de freqncias da varivel valor do aluguel (X) para uma amostra de 200 apartamentos de uma regio metropolitana de certo municpio. No existem observaes coincidentes com os extremos das classes. Assinale a opo que corresponde estimativa do valor x tal que a freqncia relativa de observaes de X menores ou iguais a x seja 80%.

a) 530

b) 560

c) 590

d) 578

e) 575

Resoluo:

No fundo, o que se pede o oitavo decil (ou ainda, o octogsimo percentil). Ou seja, um problema de medidas separatrizes, que resolvido por interpolao linear, baseada em freqncias acumuladas.

Foram fornecidas freqncias simples. Precisamos pass-las para acumuladas.

Classes R$ Freqncias Simples

Freqncias Acumuladas

Memria de clculo

350 380 3 3 = 3

380 410 8 11 = 3+ 8




Classes R$ Freqncias Simples

Freqncias Acumuladas

Memria de clculo

410 440 10 21 = 11 + 10

440 470 13 34 = 21 + 13

470 500 33 67 = 34 + 33

500 530 40 107 = 67 + 40

530 560 35 142 = 107 + 35

560 590 30 172 = 142 + 30

590 620 16 188 = 172 + 16

620 650 12 200 =188 + 12

So 200 observaes ao todo.

80% de 200 igual a 160. Assim, queremos saber qual o valor Z que no superado por 160 observaes.

Se a pergunta fosse qual o valor que no superado por 142 observaes, no precisaramos fazer conta. A resposta seria 560 (consulta direta tabela).

Se a pergunta fosse qual o valor que no superado por 172 observaes, tambm bastaria consulta direta tabela. A resposta seria 590.

Mas a pergunta foi qual o valor que no superado por 160 observaes. E 160 no tem na nossa coluna de freqncia acumulada. Vamos, portanto, fazer a interpolao linear.

Classes R$ Freqncias Acumuladas

350 380 3

380 410 11

410 440 21

440 470 34

470 500 67

500 530 107

530 560 142

560 590 172

590 620 188

620 650 200

Sabemos que:




Antes de continuarmos as contas, vamos fazer uma rpida anlise das alternativas.

O nmero procurado est entre 560 e 590. J descartamos as alternativas A, B e C.

a) 530

b) 560

c) 590

d) 578




e) 575

E se a pergunta fosse: que corresponde a 157?

157 est bem no meio entre 142 e 172.

Portanto, o nmero que corresponde a 157 est bem no meio entre 560 e 590. Assim, o nmero que corresponde a 157 575.

Mas ns estamos procurando quem corresponde a 160.

160 um pouquinho maior que 157.

Portanto, o nmero que corresponde a 160 deve ser um pouquinho maior que 575.

J descartamos a letra E.

a) 530

b) 560

c) 590

d) 578

e) 575

E s sobra a letra D.

Vamos continuar com a resoluo usual:


Segunda linha Z 160



Z-560 160-142

590-560 172-142


142172142160

560590560

=

Z

3018

30560

=

Z

57856018 =+=Z Gabarito: D.

Questo 23 SEFAZ CE 2006 [ESAF]

O conjunto de notas dos alunos de uma determinada prova : {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3}. Assim, podemos dizer que a moda, mdia e mediana deste conjunto so, respectivamente:




a) 3, 6 e 5.

b) 3, 4 e 5.

c) 10, 6 e 5.

d) 5, 4 e 3.

e) 3, 6 e 10.

Resoluo:

Vamos primeiro fazer o rol.

ROL: 3, 3, 3, 4, 5, 5, 8, 9, 10, 10

Para achar a mdia aritmtica, ns somamos todos os valores e dividimos pelo nmero de dados.

Somando todos os valores, temos:

60101098554333 =+++++++++=Soma Como so 10 observaes, a mdia fica:

61060

=

Calculada a mdia, vamos para a moda. A moda o termo que mais se repete.

No caso do conjunto formado pelas notas dos alunos, o termo que mais se repete o 3 (ele aparece trs vezes).

3=M Por fim, vamos mediana. A mediana o termo do meio do nosso Rol. Se o Rol tiver um nmero mpar de termos, haver um termo do meio, que ser a mediana.

Quando o Rol tem um nmero par de termos, a no h termo central. Nesses casos, a mediana dada pela mdia aritmtica dos dois termos centrais.

Nesta questo temos dez observaes (nmero par). No h um termo central. A mediana ser dada pela mdia dos dois termos centrais (no caso, o quinto e o sexto elementos).

= + 2

=5 + 5

2= 5

Gabarito: A.

Questo 24 SEFAZ CE 2006 [ESAF]

Indicando por:

- X : a mdia aritmtica de uma amostra;

- mg : a mdia geomtrica da mesma amostra; e

- mh : a mdia harmnica tambm da mesma amostra.




E desde que todos os valores da amostra sejam positivos e diferentes entre si, verdadeiro afirmar que a relao entre estas mdias :

a) X < mg < mh .

b) X > mg > mh .

c) mg < X < mh .

d) X < mg = mh .

e) X = mg = mh .

Resoluo:

Quando os valores da amostra so positivos e diferentes entre si, a mdia aritmtica maior que a geomtrica, que maior que a harmnica. Trata-se de aplicao direta do resumo visto em aula.

Gabarito: B

Questo 25 SUSEP 2006 [ESAF]

Para um conjunto determinado de nmeros positivos temos: como a mdia aritmtica, G como a mdia geomtrica e H como a mdia harmnica, podemos afirmar que

a) menor ou igual a G menor ou igual a H. b) G maior do que maior do que H. c) menor ou igual a H menor ou igual a G. d) H menor ou igual a G menor ou igual a . e) H maior do que G maior do que .

Resoluo:

Exerccio idntico ao anterior

Gabarito: D

2. MEDIDAS DE DISPERSO


Dada a seqncia de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opo que d o valor da varincia. Use o denominador 4 em seus clculos.

a) 5,5

b) 4,5

c) 3,5




d) 6,0

e) 16,0

Resoluo:

= 4 + 4 + 2 + 7 + 35

=20

5= 4

= 4 4 + 4 4 + 2 4 + 7 4 + 3 4

5 1=

4 + 9 + 1

4= 3,5

Gabarito: C

Questo 27 AFRF/2001 [ESAF]

Numa amostra de tamanho 20 de uma populao de contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a mdia amostral M = 100 e o desvio-padro S =13 da varivel transformada (X-200)/5. Assinale a opo que d o coeficiente de variao amostral de X.

a) 3,0 %

b) 10,0 %

c) 9,3 %

d) 17,3 %

e) 17,0 %

Resoluo:

Vamos chamar a varivel transformada de Z.

5200

=

XZ

Sabemos que a mdia de Z 100 e o desvio padro de Z 13.

Podemos obter X a partir de Z.

XZXZ =+= 20055200

Ou seja, se pegarmos cada valor de Z, multiplicarmos por 5 e somarmos 200, chegamos em X.

Por exemplo.

Se a seqncia de dados a que chamamos de Z for:

80, 90, 100, 110, ...

Sabemos que:

801 =Z ; 902 =Z ; 1003 =Z ; ... e assim por diante.




Pois bem, para obter a seqncia X, multiplicamos todos os valores de Z por 5 e somamos 200.

Neste exemplo, X1 ficaria:

6002005801 =+=X

E X2 ficaria:

6502005902 =+=X

E assim por diante.

Quando multiplicamos uma seqncia de dados por uma constante, a mdia sofre a mesma variao. E quando somamos uma constante a todos os valores de uma seqncia de dados, a mdia tambm sofre a mesma variao.

Portanto, a mdia de X ficar:

2005 += ZX

2005 += ZX

7002001005 =+=X J o desvio padro no afetado por somas e subtraes. Somar 200 a todos os valores de Z no altera em nada no desvio padro de X.

As multiplicaes sim interferem no desvio padro. Quando multiplicamos todos os valores por uma constante, o desvio padro sofre a mesma alterao.

2005 += ZX

zx SS = 5

65135 ==xS

O desvio padro de X igual a 65.

O exerccio pediu o coeficiente de variao de X. Coeficiente de variao igual ao desvio padro dividido pela mdia.

093,070065

==XSCV x

Gabarito: C.



Classes P (%)

70-90 5




90-110 15

110-130 40

130-150 70

150-170 85

170-190 95

190-210 100

Considere a transformao Z = (X 140 )/10. Para o atributo Z encontrou-se

=

=

7

1

2 1680i

ii fZ

onde fi a freqncia simples da classe i e Zi o ponto mdio de classe transformado. Assinale a opo que d a varincia amostral do atributo X. OBS: na Questo 8, resolvemos outra questo desta mesma prova. L foi pedido o clculo da mdia de X. Ou seja, para fazer este exerccio, suponha que voc j sabe que a mdia de X 138.

a) 720,00

b) 840,20

c) 900,10

d) 1200,15

e) 560,30

Resoluo:

Sabemos que a mdia de X 138. Sabemos tambm que:

10140

=

XZ

Deste modo, a mdia de Z fica:

10140

=

XZ

2,010

210

140138=

=

=Z

Alm disso, sabemos que a soma dos valores de Z2 1680.

Portanto:

=1680

200= 8,4

Agora podemos aplicar a frmula alternativa para achar a varincia de Z:

= 1

Como so 200 itens de natureza contbil analisados, ento n = 200




=199

200 8,40,2

199 aproximadamente igual a 200. Ficamos com:

8,40,2 = 8,4 0,04 = 8,36

Esta a varincia de Z.

36,82 Zs

Sabemos que:

10140

=

XZ

Portanto:

14010 += ZX Somas e subtraes no interferem na varincia. A multiplicao sim. Quando multiplicamos os dados por uma dada constante, a varincia multiplicada pela constante ao quadrado.

222 10 ZX ss =

83636,81022 =Xs

A nossa resposta est aproximada. Quando trocamos o denominador 199 por 200, ns diminumos um pouco a varincia de Z (e, portanto, a de X). A varincia de X, na verdade, um pouco maior que 836.

Gabarito: B


Um atributo W tem mdia amostral a 0 e desvio padro positivo b 1. Considere a transformao Z = (W-a)/b. Assinale a opo correta:

a) A mdia amostral de Z coincide com a de W.

b) O coeficiente de variao amostral de Z unitrio.

c) O coeficiente de variao amostral de Z no est definido.

d) A mdia de Z a/b

e) O coeficiente de variao amostral de W e o de Z coincidem.

Resoluo:

Vamos encontrar a mdia de Z.

Cada valor de Z obtido a partir de W. Pegamos cada valor de W, subtramos a, e dividimos por b.

Quando somamos, subtramos, multiplicamos ou dividimos uma seqncia de valores por determinadas constantes, a mdia sofre a mesma alterao. Assim, a mdia de Z fica:




baWZ =

baWZ =

Mas o exerccio disse que a mdia de W igual a a.

aW =

Portanto:

0==b

aaZ

Logo, Z tem mdia nula. Se Z tem mdia nula, seu coeficiente de variao fica:

0S

ZSCV ==

Temos zero no denominador.

Dizemos que o CV de variao no est definido, pois no possvel dividir por zero.

Gabarito: C.



Assinale a opo que corresponde ao desvio absoluto mdio do atributo X:

a) 16,0

b) 17,0

c) 16,6

d) 18,1

e) 13,0

Resoluo:




O desvio mdio igual mdia aritmtica dos mdulos dos desvios.

O primeiro passo calcular a mdia aritmtica. Para tanto, supomos que os valores observados so justamente os pontos mdios das classes.

Vamos utilizar a varivel transformada d:

Classes Ponto mdio ( X ) 10

5,34=

Xd Freqncia ( f )

fd

29,5-39,5 34,5 0 4 0

39,5-49,5 44,5 1 8 8

49,5-59,5 54,5 2 14 28

59,5-69,5 64,5 3 20 60

69,5-79,5 74,5 4 26 104

79,5-89,5 84,5 5 18 90

89,5-99,5 94,5 6 10 60

TOTAL 100 350

A mdia dos valores d fica:

5,3100350

==d

Agora vamos calcular o desvio mdio da varivel d.

( d )

Desvio ( )5,3= de

e Freqncia ( f )

fe

0 -3,5 3,5 4 14

1 -2,5 2,5 8 20

2 -1,5 1,5 14 21

3 -0,5 0,5 20 10

4 0,5 0,5 26 13

5 1,5 1,5 18 27

6 2,5 2,5 10 25

TOTAL 100 130

E o desvio mdio de d fica:

3,1100130

==dDM

S que o exerccio no pediu o desvio mdio da varivel transformada. O exerccio pediu o desvio mdio de X.

Sabemos que:

105,34

=

Xd

Portanto:

5,3410 += dX




Para obter os valores de X, pegamos os valores de d, multiplicamos por 10 e somamos 34,5.

Somas e subtraes no interferem no desvio mdio. J a multiplicao sim interfere no desvio mdio. Quando multiplicamos os dados por uma constante, o desvio mdio sofre a mesma alterao.

O desvio mdio de X fica:

dX DMDM = 10

13=XDM

Gabarito: E


Uma varivel contbil Y, medida em milhares de reais, foi observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados seguintes:

Assinale a opo correta.

a) No Grupo B, Y tem maior disperso absoluta.

b) A disperso absoluta de cada grupo igual disperso relativa.

c) A disperso relativa do Grupo B maior do que a disperso relativa do Grupo A.

d) A disperso relativa de Y entre os Grupos A e B medida pelo quociente da diferena de desvios padro pela diferena de mdias.

e) Sem o conhecimento dos quartis no possvel calcular a disperso relativa nos grupos.

Resoluo:

Letra A Incorreta. A maior disperso absoluta (desvio padro) para o grupo A, pois 4 > 3.

Letra B Incorreta. A disperso relativa igual ao desvio padro dividido pela mdia.

Letra C Correta. O coeficiente de variao para o grupo A igual a:

4

20= 0,2

O coeficiente de variao para o grupo B igual a:

3

10= 0,3

Realmente a disperso relativa de B maior.




Letra D Se a questo estiver se referindo disperso da unio dos dois conjuntos, a forma de clculo totalmente diferente (vide pgina 43 da aula 9). Se a questo estiver se referindo varincia da diferena entre os dois conjuntos, assunto que no estudamos, a frmula tambm no tem nada a ver com a dada no enunciado.

Letra E Incorreta. Vimos na alternativa C que sim possvel calcular as disperses relativas.

Gabarito: C


O atributo Z= (X-2)/3 tem mdia amostral 20 e varincia amostral 2,56. Assinale a opo que corresponde ao coeficiente de variao amostral de X.

a) 12,9%

b) 50,1%

c) 7,7%

d) 31,2%

e) 10,0%

Resoluo:

Vamos achar a mdia e a varincia de X.

Sabemos que:

32

=

XZ

Portanto:

23 += ZX

Logo, a mdia de X fica:

23 += ZX

622203 =+=X

Sabemos que somas e subtraes no interferem na varincia. J a multiplicao sim. Quando multiplicamos os dados por uma determinada constante, a varincia multiplicada pela constante ao quadrado.

222 3 ZX SS =

56,292 =XS




Portanto, o desvio padro amostral de X fica:

8,46,1356,29 ===XS

E o coeficiente de varincia de X dado pela diviso entre o desvio padro e a mdia de X.

077,062

8,4=CV

Gabarito: C


Uma empresa verificou que, historicamente, a idade mdia dos consumidores de seu principal produto de 25 anos, considerada baixa por seus dirigentes. Com o objetivo de ampliar sua participao no mercado, a empresa realizou uma campanha de divulgao voltada para consumidores com idades mais avanadas. Um levantamento realizado para medir o impacto da campanha indicou que as idades dos consumidores apresentaram a seguinte distribuio:

Idade (X) Freqncia Porcentagem

18|- 25 20 40

25|- 30 15 30

30|- 35 10 20

35|- 40 5 10

Total 50 100

Assinale a opo que corresponde ao resultado da campanha considerando o seguinte

critrio de deciso: se a diferena 25X for maior que o valor n

X2 , ento a campanha de

divulgao surtiu efeito, isto , a idade mdia aumentou; caso contrrio, a campanha de divulgao no alcanou o resultado desejado.

a) a campanha surtiu efeito, pois 25X 1,2= maior que n

X2 53,1=

b) a campanha no surtiu efeito, pois 25X 0= menor que n

X2 64,1=

c) a campanha surtiu efeito, pois 25X 1,2= maior que n

X2 41,1=

d) a campanha no surtiu efeito, pois 25X 0= menor que n

X2 53,1=

e) a campanha surtiu efeito, pois 25X 5,2= maior que n

X2 41,1=

Resoluo:




Observe que a questo usou um monte de smbolos sem explicar do que se tratam. O candidato j tinha que saber que:

X a mdia;

X o desvio padro;

n o nmero de dados.

Basicamente, precisamos calcular a mdia e o desvio padro.

Comecemos pela mdia.

Os dados esto em classes. Supomos que todas as observaes correspondem aos pontos mdios das classes.

Idade Ponto mdio (X)

Freqncia

18|- 25 21,5 20

25|- 30 27,5 15

30|- 35 32,5 10

35|- 40 37,5 5

Total 50

Vamos usar a varivel transformada d.

= 27,5

5

Portanto:

Ponto mdio (X)

d Freqncia ( f )

df

21,5 -1,2 20 -24

27,5 0 15 0

32,5 1 10 10

37,5 2 5 10

TOTAL 50 -4

Logo:

4= ii df E a mdia de d fica:

08,050

4=

=d

Vamos agora construir a seguinte tabela:

Ponto mdio (X)

2d Freqncia ( f )

2df

21,5 1,44 20 28,8

27,5 0 15 0

32,5 1 10 10

37,5 4 5 20

TOTAL 50 58,8




Logo:

=58,8

50= 1,176

A frmula alternativa da varincia de d :

=

= 1,176 0,08

Mas (-0,08)2 praticamente igual a 0:

1,176

Encontradas a mdia e a varincia de d, vamos encontrar a mdia e a varincia de X.

Achemos a mdia de X.

= 27,5

5 = 5 + 27,5

Portanto:

= 5 + 27,5 = 5 0,08+ 27,5 = 27,1

Todas as alternativas trazem a conta 25X Calculando esta quantia:

1,2251,2725 ==X

Ficamos entre as alternativas A e C.

Vamos achar a varincia de X.

Sabemos que:

= 5 + 27,5

Mas somas e subtraes no interferem na varincia.

Se multiplicamos d pela constante 5, ento a varincia fica multiplicada pela constante ao quadrado (25):

= 25

= 25 1,176 = 29,4

Para marcar a resposta, precisamos saber se n

X2 igual a 1,53 ou 1,41.

Calcular a raiz quadrada, em geral, meio trabalhoso.

Vamos elevar ao quadrado:

kn

X=

2 (onde k igual a 1,53 ou 1,41).

Elevando ao quadrado:

224 k

n

X=




Substituindo os valores encontrados:

2

504,294 k=

506,117

504,2942

=

=k

Para facilitar o clculo desta diviso, podemos multiplicar por 2 o numerador e o denominador:

352,2100

2,23550

6,1172===k

Pronto, agora temos que saber qual dos dois valores (1,41 ou 1,53) que, elevado ao quadrado, d 2,3392.

Para facilitar as contas, vamos calcular 1,52.

25,25,1 2 =

Assim, elevando 1,5 ao quadrado, obtemos 2,25, que MENOR que 2,352. Portanto, o valor de k dever ser maior que 1,5.

Logo, o valor de k s pode ser 1,53.

Gabarito: A

Questo extremamente trabalhosa, em virtude dos clculos necessrios. E para fugir das contas mais difceis vocs tm que concordar que foi preciso um certo jogo de cintura.

E se na hora da prova eu no conseguir escapar de contas muito difceis? E se a questo vier com nmeros muito complicados, contas muito trabalhosas?

Se a questo estiver muito trabalhosa, pense duas vezes antes de termin-la. No mnimo, deixe-a por ltimo. Se estiver muito difcil para voc, estar muito difcil para todo mundo. Dependendo do tempo que for te tomar, s vezes at compensa deixar de lado e simplesmente chutar. Nesta questo mesmo, se voc no conseguisse escapar das contas, numa eventual falta de tempo, uma idia seria achar apenas a mdia de X. A mdia de X era bem fcil e rpida de achar.

S com a mdia, voc ficava entre duas alternativas: A e C.

Pronto, s a sua chance de acertar no chute era de 50%.


De posse dos resultados de produtividade alcanados por funcionrios de determinada rea da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos Humanos decidiu empregar a seguinte estratgia: aqueles funcionrios com rendimento inferior a dois desvios padres abaixo da mdia (Limite Inferior - LI) devero passar por treinamento especco para melhorar seus desempenhos; aqueles funcionrios com rendimento superior a dois desvios padres acima de mdia (Limite Superior - LS) sero promovidos a lderes de equipe.




Indicador Freqncia

0 |- 2 10

2 |- 6 20

4 |- 6 240

6 |- 8 410

8 |- 10 120

Total 800

Assinale a opo que apresenta os limites LI e LS a serem utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos.

a) LI = 4,0 e LS = 9,0

b) LI = 3,6 e LS = 9,4

c) LI = 3,0 e LS = 9,8

d) LI = 3,2 e LS = 9,4

e) LI = 3,4 e LS = 9,6

Resoluo:

Questo extremamente trabalhosa. Antes de comear, cabe mencionar que a questo foi anulada.

Creio que o motivo tenha sido um erro de digitao na tabela acima. O mais provvel que a tabela real fosse a seguinte (observe o 4 no lugar do 6, em vermelho):

Indicador Freqncia

0 |- 2 10

2 |- 4 20

4 |- 6 240

6 |- 8 410

8 |- 10 120

Total 800

Como veremos ao final do exerccio, esta correo na tabela efetivamente faz com que o gabarito preliminar fornecido pela ESAF seja correto.

Vamos calcular a mdia e o desvio padro.

Antes, repare uma coisa. Os intervalos fornecidos nas alternativas foram da seguinte forma: [Li; Ls]

O limite inferior igual mdia menos duas vezes o desvio padro.

O limite superior igual mdia mais duas vezes o desvio padro.

Pergunta: quem o ponto mdio deste intervalo?

O ponto mdio deste intervalo a mdia.

Para quem no conseguiu visualizar, vamos fazer umas continhas.




O limite inferior :

2= XLi O limite superior :

2+= XLs Fazendo a mdia entre eles:

XXXLiLs =++=+2

222

E quem a amplitude deste intervalo? A amplitude igual 4 vezes o desvio padro.

s fazer:

( ) ( ) 422 =+= XXLiLs Assim, podemos calcular as mdias e os desvios padro indicados, implicitamente, nas alternativas:

Alternativa Li Ls 2

LiLsX += 4

LiLs =

A 4 9 6,5 1,25

B 3,6 9,4 6,5 1,45

C 3,0 9,8 6,4 1,7

D 3,2 9,4 6,3 1,55

E 3,4 9,6 6,5 1,55

Precisa fazer este quadro acima? No. Precisar no precisa. Voc pode ir direto para o clculo da mdia e do desvio padro. O intuito deste quadro s auxiliar num possvel chute.

A mdia que mais aparece 6,5. O desvio padro que mais aparece 1,55. A alternativa que combina os dois a letra E. Que justamente a resposta correta.

Eu no prestei este concurso da Receita de 2005. difcil saber como me comportaria na situao da prova. Mas, se no desse tempo de resolver a questo, possivelmente eu apelaria para este recurso e chutaria. Isto, claro, se a tabela do enunciado tivesse sido digitada corretamente. O candidato que percebeu o erro viu que o enunciado estava absurdo. Concluso: nem perdeu tempo resolvendo.

Como assim absurdo?

Repare que, segundo o enunciado, exatamente 20 observaes esto entre 2 e 6. Assim sendo, impossvel que 240 observaes estejam entre 4 e 6.

Agora chega de lero lero e vamos resolver a questo (com a devida correo feita na tabela do enunciado).

Primeiro vamos calcular a mdia. Os dados esto em classes. Vamos supor que todas as observaes correspondem aos pontos mdios das classes.




Vamos criar a varivel d, subtraindo todos os valores de X do primeiro ponto mdio e, em seguida, dividindo pela amplitude de classe.

Indicador Ponto mdio ( X ) 2

7=

Xd Freqncia ( f )

fd

0 |- 2 1 -3 10 -30

2 |- 4 3 -2 20 -40

4 |- 6 5 -1 240 -240

6 |- 8 7 0 410 0

8 |- 10 9 1 120 120

Total 800 -190

A mdia de d fica:

2375,0800190

=

=d

2d Freqncia

( f ) fd 2

9 10 90

4 20 80

1 240 240

0 410 0

1 120 120

TOTAL 800 530

Portanto:

=530

800= 0,6625

A frmula alternativa para a varincia de d fica:

=

= 0,6625 0,2375 0,6

Tendo a mdia e a varincia de d, podemos encontrar a mdia e a varincia de X.

Sabemos que:

27

=

Xd

Portanto:

72 += dX A mdia de X fica:

7)2375,0(272 +=+= dX




5,6X

J descartamos as letras C e D.

Soma e subtraes no interferem na varincia. Multiplicaes sim. Quando multiplicamos os dados por uma constante, a varincia multiplicada pela constante ao quadrado.

E a varincia de X fica:

222 2 dX =

4,26,0222 ==X

Para responder pergunta, precisaramos tirar a raiz quadrada deste valor e ver se igual a 1,25 ou 1,45 ou 1,55.

Mas tirar a raiz quadrada d muito trabalho.

Sabemos que:

25,25,1 2 =

Ou seja, 1,5 elevado ao quadrado 2,25, que menor que 2,4.

Portanto, o desvio padro de X tem que ser maior que 1,5.

Descartamos os valores 1,25 e 1,45 e ficamos com 1,55.

Gabarito preliminar: E

Ou seja:

4,355,125,62 == X

6,955,125,62 ==+ X

Gabarito definitivo: anulado


Em uma determinada semana uma empresa recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os produtos A e B:

Produto A 39 33 25 30 41 36 37

Produto B 50 52 47 49 54 40 43

Assinale a opo que apresente os coecientes de variao dos dois produtos:

a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%

b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%

c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%

d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%

e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%




Resoluo:

Questo com contas muito trabalhosas. Alis, esta prova da Receita Federal de 2005, ao meu ver, foi meio infeliz. As questes envolveram muitas contas.

Para chegarmos ao gabarito indicado pela banca, temos que supor que os valores apresentados se tratam de uma amostra. Ou seja, a varincia e o desvio padro calculados so os amostrais. Consequentemente, os coeficientes de variao envolvidos so tambm amostrais.

Como so apenas sete valores em cada seqncia de dados, usar n ou n-1 no denominador da frmula do desvio padro MUITO diferente.

Vamos achar as mdias de A e B.

4,347

37364130253339

++++++=A

9,477

43405449475250

++++++=B

Agora vamos ver quais os possveis valores de desvio padro.

Alternativa CVA CVB CVAAA = CVBBB = A 0,151 0,123 5,2 5,9

B 0,161 0,103 5,5 4,9

C 0,161 0,123 5,5 5,9

D 0,151 0,103 5,2 4,9

E 0,161 0,151 5,5 7,2

Precisava deste quadro? No, no precisava. O candidato podia ir direto para o clculo do desvio padro. Observe que os desvios padro que mais aparecem so 5,5 e 5,9. E a nica alternativa que combina os dois a C. Por isso eu chutaria letra C. Mas, a resposta foi letra B. Fazer o qu... chute isso. saber que se correm riscos.

Vamos calcular a varincia de A. Como todas as freqncias so iguais a 1, nem vou colocar a coluna de freqncias.

A AAe = 2e 39 4,6 21,16

33 -1,4 1,96

25 -9,4 88,36

30 -4,4 19,36

41 6,6 43,56

36 1,6 2,56

37 2,6 6,76

TOTAL 183,72

A varincia de A fica (lembrando que temos que considerar varincia amostral, com n-1 no denominador):




62,306

72,1832==A

Precisaramos tirar a raiz quadrada deste valor para chegar no desvio padro de A.

S que tirar a raiz quadrada d muito trabalho.

As duas possibilidades para o desvio padro de A so 5,2 e 5,5.

Vamos elevar 5,5 ao quadrado.

25,305,5 2 =

Deu bem perto de 30,62. O nmero 30,25 um pouco menor que 30,62. Conclumos que a raiz de 30,62 um pouco maior que 5,5. Descartamos o valor 5,2 e ficamos com o valor 5,5. Ficamos entre as alternativas B, C e E.

Vamos calcular a varincia de B.

B BBe = 2e 50 2,1 4,41

52 4,1 16,81

47 -0,9 0,81

49 1,1 1,21

54 6,1 37,21

40 -7,9 62,41

43 -4,9 24,01

TOTAL 146,87

48,246

87,1462==B

As opes para o desvio padro de B so 4,9, 5,9 e 7,2.

Testando 4,9 ao quadrado:

01,249,4 2 =

Ficou bem prximo. Ficamos com 4,9 e descartamos as demais opes.

Gabarito: B

Questo 36 ATRFB [ESAF]

Obtenha o valor mais prximo da varincia amostral da seguinte distribuio de

frequncias, onde iX representa o i-simo valor observado e if a respectiva frequncia. iX 5 6 7 8 9

if 2 6 6 4 3 a) 1,429.

b) 1,225.

c) 1,5.

d) 1,39.




e) 1, 4.

Resoluo:

Para facilitar as contas, vamos subtrair 7 de todos os valores de X, para que, quando elevarmos ao quadrado, no tenhamos nmeros muito grandes.

7= Xd iX d if ii fX

5 -2 2 -4

6 -1 6 -6

7 0 6 0

8 1 4 4

9 2 3 6

21 0

0210

==d

Agora vamos calcular a mdia dos valores de d2.

d 2 if ii fX 4 2 8

1 6 6

0 6 0

1 4 4

4 3 12

21 30

21302

=d

A varincia de d fica:

( )2221

ddn

nSd

=

5,120300

2130

20212

==

=dS

Mas ns no queremos a varincia de d. Ns queremos a varincia de X.

7= Xd 7+= dX Somas e subtraes no interferem na varincia. Logo, a varincia de d igual varincia de X.

Gabarito: C






Assinale a opo que corresponde amplitude interquartlica.

a) 4.500,1

b) 6.200,2

c) 3.000,4

d) 3.162,6

e) 2.400,0

Resoluo:

Amplitude interquartlica a diferena entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.

Foram dadas freqncias simples. Precisamos de freqncias acumuladas.

Classes Freqncias Simples

Freqncias acumuladas

2.000 4.000 18 18

4.000 6.000 45 63

6.000 8.000 102 165

8.000 10.000 143 308

10.000 12.000 51 359

12.000 14.000 41 400

Encontremos o terceiro quartil. O terceiro quartil o valor que no superado por 75% das observaes.

75% de 400 equivale a 300.


2.000 4.000 18

4.000 6.000 63

6.000 8.000 165

8.000 10.000 308

10.000 12.000 359

12.000 14.000 400




Sabemos que:

8.000 165 8.000 corresponde a 165


10.000 308 10.000 corresponde a 308

Ou seja:


Segunda linha Z 300



Z 8.000 300-165

10.000 8.000 308-165


165308165300

000.8000.10000.8

=

Z

143135

000.2000.8

=

Z

000.8143

000.2135+

=Z

O terceiro quartil vale:

000.8143

000.21353 +

=Q

Encontremos o primeiro quartil. O primeiro quatil o valor que no superado por 25% das observaes. 25% de 400 equivale a 100.

Classes Freqncias Acumuladas

2.000 4.000 18

4.000 6.000 63

6.000 8.000 165

8.000 10.000 308

10.000 12.000 359

12.000 14.000 400

Sabemos que:

6.000 63 6.000 corresponde a 63


8.000 165 8.000 corresponde a 165

Ou seja:


Segunda linha Z 100 Terceira linha 8.000 165





Z 6.000 100-63

8.000-6.000 165-63


6316563100

000.6000.8000.6

=

Z

10237

000.2000.6

=

Z

102000.237000.6 +=Z

O primeiro quartil igual a:

102000.237000.61

+=Q

A amplitude interquartlica igual diferena entre o terceiro e o primeiro quartis.

102000.237000.6

143000.2135000.813

+= QQ

62,316213 = QQ Gabarito: D.

Questo chata, hein. Com muita conta pra fazer. A ESAF muitas vezes exagera nas contas.

Vejamos uma soluo alternativa, fazendo aproximaes.

Vamos comear pelo terceiro quartil.

Tnhamos o seguinte quadro:

8.000 165 8.000 corresponde a 165


10.000 308 10.000 corresponde a 308

Ou seja:


Segunda linha Z 300


Procuramos quem corresponde a 300. Mas 300 bem prximo de 308. 300 um pouquinho menor que 308.

Sabemos que 308 corresponde a 10.000.

Portanto, o nmero que corresponde a 300 deve ser bem prximo a 10.000. O nmero que corresponde a 300 deve ser um pouquinho menor que 10.000.

Vamos aproximar?

Vamos dizer que o terceiro quartil aproximadamente 10.000.

000.103 Q




Agora vamos para o primeiro quartil.

Sabemos que:

6.000 63 6.000 corresponde a 63


8.000 165 8.000 corresponde a 165

Ou seja:


Segunda linha Z 100



Z 6.000 100-63

8.000-6.000 165-63


6316563100

000.6000.8000.6

=

Z

10237

000.2000.6

=

Z

102000.237000.6 +=Z

O denominador 102 muito ruim. Vamos aproximar? Vamos troc-lo por 100.

740.62037000.6100

000.237000.6 =+=+Z

O primeiro quartil vale, aproximadamente, 6.740.

740.61 Q A amplitude interquartlica fica, aproximadamente, igual a:

260.3740.6000.1013 = QQ E a alternativa mais prxima a letra D.

3. ASSIMETRIA


Para dados agrupados representados por uma curva de freqncias, as diferenas entre os valores da mdia, da mediana e da moda so indicadores da assimetria da curva. Indique a relao entre essas medidas de posio para uma distribuio negativamente assimtrica.

a) A mdia apresenta o maior valor e a mediana se encontra abaixo da moda.

b) A moda apresenta o maior valor e a mdia se encontra abaixo da mediana.




c) A mdia apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da moda.

d) A mdia, a mediana e a moda so coincidentes em valor.

e) A moda apresenta o menor valor e a mediana se encontra abaixo da mdia.

Resoluo:

Numa distribuio negativamente assimtrica, a cauda est do lado esquerdo. A mdia sempre est do lado da cauda. Assim, a mdia est mais esquerda. menor que a mediana e a moda.

A mediana fica numa posio intermediria, entre a mdia e a moda.

Portanto, a mdia menor que a mediana, que menor que a moda.

Gabarito: C.

Questo 39 SUSEP 2006 [ESAF]

Considerando V = Verdadeiro e F = Falso e o contido em cada item abaixo, qual a opo que indica as respostas com as alternativas adequadas (para cada item e com base em todo o texto do respectivo item):

( ) Nas curvas de freqncia simtrica ou em forma de sino caracterizam-se pelo fato das observaes eqidistantes do ponto central mximo terem a mesma freqncia.

( ) Nas curvas de moderadamente assimtrica ou desviadas, a cauda da curva de um lado da ordenada mxima mais longa do que do outro lado. Se o ramo mais alongado fica direita, a curva dita desviada para a direita ou de assimetria negativa, enquanto que, se ocorrer o inverso, diz-se que a curva desviada para a esquerda ou de assimetria positiva.

( ) Nas curvas em forma de J (letra jota ou anzol) ou J invertido, o ponto de ordenada mxima ocorre em uma das extremidades.

a) V, F, F

b) V, V, F

c) V, F, V

d) F, V, F

e) F, F, V

Resoluo:

Item I Perfeito. A curva de frequncia simtrica em relao ao seu ponto central. Portanto, pontos eqidistantes do centro tm a mesma frequncia.

Item II Uma curva desviada direita tem assimetria positiva. Item errado.




Item III No estudamos esse tipo de curva. Mas a definio apresentada no item est correta. Uma curva em forma de J tem ponto de frequncia mxima em uma das extremidades do grfico.

Gabarito: C

4. ANLISE COMBINATRIA


Na Mega-Sena so sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possveis (as dezenas sorteveis so 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mnima), na Mega-Sena, consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que sero sorteadas no prximo concurso da Mega-Sena estaro entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O nmero mnimo de apostas simples para o prximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemtica que ser um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto :

a) 8

b) 28

c) 40

d) 60

e) 84

Resoluo:

Pedro precisa fazer todas as combinaes possveis de 6 dezenas, a partir das 8 dezenas com que ele sonhou.

Temos, portanto, um caso de combinao de 8, tomados 6 a 6:

, =8!

8 6! 6!=8 7 6!

2! 6!= 28

Gabarito: B


Se o conjunto X tem 45 subconjuntos de 2 elementos, ento o nmero de elementos de X igual a:

a) 10

b) 20

c) 35

d) 45

e) 90




Resoluo:

Seja n a quantidade de elementos do conjunto X.

Para formar um subconjunto de 2 elementos, temos que escolher 2 elementos dentre os n disponveis. Assim, se so 45 subconjuntos com 2 elementos, ento o nmero de combinaes de n, tomados 2 a 2, igual a 45:

, = 45

!

2! 2!= 45

1 2!

2! 2!=

1

2= 45

1 = 90

Procuramos um nmero que, multiplicado por seu antecessor, resulte em 90. n s pode ser igual a 10:

= 10

Gabarito: A

Questo 42 AFRFB 2009 [ESAF]

Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G so coplanares, ou seja, esto localizados no mesmo plano. Sabe-se, tambm, que destes sete pontos, quatro so colineares, ou seja, esto numa mesma reta. Assim, o nmero de retas que ficam determinadas por estes sete pontos igual a:

a) 16

b) 28

c) 15

d) 24

e) 32

Resoluo.

Para formar uma reta, ns precisamos de 2 pontos. Assim, o nmero total de retas dado por:

212,7 =C

S que tem um problema na resoluo acima. Sejam A, B, C, D os pontos coplanares. Todos os pares de pontos escolhidos entre estes 4 definem a mesma reta. Exemplo:

A, B

A, C




B, D

As retas definidas por estes 3 pares de pontos no so diferentes entre si. a mesma reta.

Assim, nas 21 retas definidas acima, temos mais retas que as de fato existentes.

Vamos ver quantas retas foram contadas, incluindo dois pontos escolhidos entre A, B, C, D.

62,4 =C

Deste modo, as 6 retas definidas pelos pares de pontos tomados entre A, B, C, D so, na verdade, 1 reta s. Ou seja, 5 retas esto sobrando, esto sendo contadas em excesso, indevidamente.

O nmero correto de retas fica:

16521 = Gabarito: A

Questo 43 AFRFB 2009 [ESAF]

De quantas maneiras podem sentar-se trs homens e trs mulheres em uma mesa redonda, isto , sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma mulher entre dois homens?

a) 72

b) 36

c) 216

d) 720

e) 360

Resoluo.

Quando a questo diz que a mesa circular, significa que, de incio, todos os lugares so equivalentes entre si. No h uma referncia, algo que diferencie um lugar do outro.




Vamos alocar o primeiro homem. H 6 opes de lugar para ele, mas todas so equivalentes, pois todos os lugares so vistos como iguais, j que no h uma referncia, algo que os diferencie.

Posicionado o primeiro homem, agora ns criamos uma referncia. Este homem ser a referncia. Temos agora um lugar sua esquerda, outro sua direita, outro que lhe oposto, e assim por diante.

Vamos preencher o lugar esquerda deste homem. Neste lugar, s podemos alocar mulheres, pois homens e mulheres devem se sentar alternadamente. Assim, h 3 formas de preenchermos esta cadeira.

Vamos agora para o lugar seguinte, destacado em amarelo na figura abaixo.




Ele s pode ser ocupado por um homem, pois homens e mulheres devem se sentar de maneira alternada. Tnhamos 3 homens, mas j alocamos 1. Faltam 2. Com isso, h duas formas de executarmos esta etapa.

Para o lugar seguinte, temos duas opes de mulher.




Com o mesmo raciocnio, preenchemos os demais lugares:

O nmero de maneiras de alocar estas seis pessoas dado por:

1211223 = Como no h alternativa correta, a questo foi anulada.

Gabarito: anulado

Questo 44 ANEEL 2006 [ESAF]

Um grupo de amigos formado por trs meninos - entre eles Caio e Beto - e seis meninas - entre elas Ana e Beatriz - , compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do mesmo pacote de salgadinhos. Alm disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos querem sentar-se juntos. Com essas informaes, o nmero de diferentes maneiras que esses amigos podem sentar-se igual a:

a) 1920




b) 1152

c) 960

d) 540

e) 860

Resoluo:

Vamos numerar as cadeiras de 1 a 9:

Caso 1: meninos ocupam cadeiras de 1 a 3 e meninas ocupam cadeiras de 4 a 9.

Vamos agora alocar os meninos. Vamos primeiro considerar os casos em que Caio senta esquerda de Beto.

Para Caio h duas cadeiras disponveis (Caio no pode se sentar na 3, pois, assim, no ficaria esquerda de Beto).

Alocado Caio, temos uma nica cadeira para Beto (deve se sentar direita de Caio).

Finalmente, para o terceiro menino sobra uma nica cadeira.

Assim, o nmero de maneiras pelos quais podemos alocar os meninos, com Caio esquerda de Beto, :

2 1 1 = 2

Analogamente, h mais 2 formas de alocarmos os meninos, com Beto esquerda de Caio.

Somando tudo, so 2 + 2 =4 formas de alocarmos os meninos.

Ok. Vamos para as meninas. Vamos primeiro considerar os casos em que Ana senta esquerda de Beatriz.

Para Ana h 5 opes de cadeira (ela no pode se sentar na cadeira 9, pois, assim, no ficaria esquerda de Beatriz).

Alocada Ana, para Beatriz temos uma nica opo de cadeira.

Agora sobraram 4 cadeiras, para alocarmos as outras 4 meninas. Para a primeira das meninas restantes h 4 opes de cadeira. Para a segunda menina sobram 3 opes. Em seguida, para outra m

4ª lista de revisão (estatística descritiva + probabilidade)

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