4ºIO_Base artificial

5/12/2018 4ºIO_Base artificial - slidepdf.com

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Resolução de problemas lineares

Técnica da Base Artificial

Investigação

Operacional

Maria Filipa Mourão

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Se num sistema de equações de um problema de P.L, a sub-matriz

identidade não estiver presente, temos que recorrer à introdução

de novas variáveis denominadas variáveis artificiais (a j).


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Estas variáveis são introduzidas com coeficiente unitáriopositivo, para forçar a existência de uma base inicial, que se

passa a chamar base artificial (se for só constituída por variáveis

artificiais) ou semi-artificial (se contiver outro tipo de variáveis).



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Existem dois métodos alternativos para introduzir as variáveisartificiais num problema de PL:

•Método das duas fases

•Método das Penalidades




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Método das duas fases

A introdução das variáveis artificiais utilizando este método, faz-

se construindo um problema auxiliar que tem como objectivo

minimizar o valor das variáveis artificiais introduzidas (com

coeficiente unitário positivo nas equações e na função objectivo).



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A função objectivo deste problema

auxiliar é função unicamente das

variáveis artificias introduzidas no

problema.

Método das duas fases



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Método das duas fases - Exemplo

Seja x1 – g de suplemento 1 a comprar

x2 – g de suplemento 2 a comprar

Z= custo total de aquisição dos suplementos

Minimizar Z = 120x1+80x2

sujeito a: 2x1+4x2 ≥ 16 (proteínas)

5x1+2x2 ≥ 20 (vitaminas)

x1 ,x2 ≥ 0



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Para começar a resolução do problema, temos que introduzir

as variáveis auxiliares para transformar o sistema de

inequações num sistema de equações:

Minimizar Z= 120x1+80x2+0e1+0e2

sujeito a:

2x1+4x2 – e1 = 16

5x1+2x2 – e2 = 20

x1 ,x2 , e1 , e2 ≥ 0





3


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Como facilmente se verifica, as regras da forma canónica não

estão respeitadas, não existindo por isso uma base inicial


Minimizar Z= 120x1+80x2+0e1+0e2

sujeito a:2x1+4x2 – e1 = 16

5x1+2x2 – e2 = 20

x1 ,x2 , e1 , e2 ≥ 0




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Minimizar Z’= a1+a2

sujeito a:2x1+4x2 – e1 +a1 = 16

5x1+2x2 – e2 +a2 = 20

x1 ,x2 , e1 , e2 , a1 , a2≥ 0

As variáveis artificiais introduzidas, formam a sub-matriz

identidade, ou seja, estamos perante uma base inicial artificial.

Problema auxiliar:




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Começamos pela 1ª fase do método, resolvendo o problema

auxiliar e o objectivo é eliminar da base as variáveis artificiais

introduzindo na base as variáveis do problema inicial.

Só depois e se possível, passamos à 2ª fase do método para

resolver o problema inicial.




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Tal como nos problemas anteriores, inserimos a informação

contida no problema no quadro simplex e utilizamos o

método de Gauss-Jordan para que o objectivo seja atingido.





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Quando termina a 1ª fase do método?

1ª) Z’=0 com nenhuma variável artificial na base. Foi

encontrada a solução básica admissível para o problema inicial.

Passa-se à 2ª fase do método.




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2ª) Z’=0 com alguma variável artificial básica nula. Se houver

alguma variável em condições de substituir essa variável,

procede-se à substituição; senão, elimina-se, no quadro, a

linha e a coluna dessa variável.





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3ª) Z’>0 e não existe nenhuma variável não artificial em

condições de se tornar básica, ou seja, existem variáveis

artificiais na base que não podem ser substituídas. Não se

encontra a solução básica admissível para o problema inicial.

O problema é impossível.





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Método das penalidades

A introdução das variáveis artificiais utilizando este método, faz-

se directamente no problema original, quer na função objectivo

quer no sistema de equações.




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Enquanto que no sistema de equações as variáveis artificiais se

introduzem com coeficiente unitário positivo (Porquê?), na

função objectivo são introduzidas com um coeficiente

penalizador M . A penalização atribuída ao coeficiente depende

tipo da função objectivo.




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Se o problema é de maximização o coeficiente é penalizado

negativamente, ou seja introduzem-se as variáveis artificiais com

coeficiente – M na função objectivo de um problema de

maximização.




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Se o problema é de minimização o coeficiente é penalizado

positivamente, ou seja introduzem-se as variáveis artificiais com

coeficiente +M na função objectivo de um problema de

minimização.




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O problema que se obtém e no qual está presente uma sub-matriz

identidade, diz-se estar na forma aumentada do problema de PL.





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A informação contida na forma aumentada do problema é

inserida no quadro simplex, mas com pequenas alterações:

A linha Z j desaparece e a linha C j-Z j é substituída

por duas linhas: linha(1) e linha(2)




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Na linha(1) colocam-se os termos independentes e na linha(2) os

coeficientes associados a M.

Estas duas linhas calculam-se em

simultâneo através de (Cj –

Zj).




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Exemplo:

0,

4

32:

43

21

21

21

21

x x

x x

x xasujeito

x xF Maximizar



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