5 06 02conjuntosOrtogonales -...

13/05/14

1

6

6.2

© 2012 Pearson Education, Inc.

Conjuntos Ortogonales y mínimos cuadrados

CONJUNTOS ORTOGONALES

Slide 6.2- 2 © 2012 Pearson Education, Inc.


§  Se dice que un conjunto de vectores {u1,…,up} en es ortogonal si cada par distinto de vectores del conjunto es ortogonal, esto es, si mientras

. §  El siguiente conjunto es ortogonal

!n

u i iu j = 0i ≠ j

2−42

"

#

$$$

%

&

''',024

"

#

$$$

%

&

''',−10−42

"

#

$$$

%

&

'''

(

)*

+*

,

-*

.*



§  Teorema 4: Si es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero en , entonces S es linealmente independientes y por lo tanto en una base para el subespacio generado por S.

§  Definición: Una base ortogonal para un subespacio W de es una base para W que tambien es un conjunto ortogonal.

S ={u1,…,u p}!n

!n


CONJUNTOS ORTOGONALES (opcional) §  Prueba: si para un conjunto de

escalares c1,…,cp, entonces

porque u1 es ortogonal a u2,…,up.

§  Ya que u1 no es el vector cero, no es cero, de manera que .

§  De manera similar, c2,…,cp deben ser cero.

0 = c1u1 +!+ cpu p

0 = 0iu1 = (c1u1 + c2u2 +!+ cpu p )iu1= (c1u1)iu1 + (c2u2 )iu1 +!+ (cpu p )iu1= c1(u1iu1)+ c2 (u2 iu1)+!+ cp (u p iu1)

= c1(u1iu1)

u1iu11 0c =

13/05/14

2


CONJUNTOS ORTOGONAL

§  Definición: Una base ortogonal para un subespacio W de es una base para W es tambien un conjunto ortogonal.

§  Teorema 5: Si {u1,…,up} es una base ortogonal para un subespacio W de . Para cada vector y en W, los pesos en la combinación lineal

están definidos por para

!n

!n

y = c1u1 +!+ cpu p

c j =yiu j

u j iu j

( j =1,…, p)



§  Ejemplo 1: Considerar la base ortogonal para un subespacio W de . Expresar el vector v como una combinación lineal de los vectores de la base, si

B =2−5−3

"

#

$$$

%

&

''',4−26

"

#

$$$

%

&

'''

(

)*

+*

,

-*

.*

!n

v =14−193

"

#

$$$

%

&

'''



§  Proof: The orthogonality of {u1,…,up} shows that

§  Since is not zero, the equation above can be solved for c1.

§  To find cj for , compute and solve for cj.

yiu1 = (c1u1 + c2u2 +!+ cpu p )iu1 = c1(u1iu1)

u1iu1

j = 2,…, p yiu j


UNA PROYECCION ORTOGONAL §  Para un vector u diferente de cero en , considerar el

problema de descomponer el vector y en en la suma de dos vectores, uno múltiplo escalar de u y el otro ortogonal a u.

§  O sea, requerimos que la siguente ecuación sea válida ----(1)

donde para algún escalar α, y z es un vector ortogonal al vector u. Ver la figura.

!n

!n

y = y+ zy =αu

13/05/14

3


UNA PROYECCION ORTOGONAL §  Dado cuaquier escalar α, y , de manera

que se cumpla (1). §  Entonces es ortogonal a u si y unicamente si

§  Esto es, (1) se cumple cuando z es ortogonal a u si y unicamente si y .

§  Se dice que el vector es la proyección ortogonal

de y sobre u, y el vector z es la componente de y ortogonal a u.

z = y−αu

y− y0 = (y−αu)iu = yiu− (αu)iu = yiu−α(uiu)

α =yiuuiu

y = yiuuiu

u

y


UNA PROYECCION ORTOGONAL

§  Si c es cualquier escalar diferente de cero y u se reemplaza por cu en la definición de , entonces la proyección ortogonal de y sobre cu es exactamente la misma que la proyección de y sobre u.

§  Esta proyección esta determinada por el subespacio L generado por u.

§  Algunas veces se escribe como projL y y se conoce como la projección ortogonal de y sobre L.

§  Esto es, ----(2)

y

y

y = projLy =yiuuiu!

"#

$

%&u


UNA PROYECCION ORTOGONAL

§  Ejemplo 2: Para y . Encontrar la proyección ortogonal de y onto u. Luego escribir y como la suma de dos vectores ortogonales, uno en Gen{u} y otro ortogonal a u.

§  Solución: Calcular

y = 76

!

"#

$

%& u = 4

2

!

"#

$

%&

yiu = 76

!

"#

$

%&i 42

!

"#

$

%&= 40

uiu = 42

!

"#

$

%&i 42

!

"#

$

%&= 20


UNA PROYECCIÓN ORTOGONAL

§  La proyección ortogonal de y sobre u es

y la componente de y ortogonal a u es

§  La suma de estos dos vectores es y.

y = yiuuiu

u = 4020u = 2 4

2

!

"#

$

%&= 8

4

!

"#

$

%&

y− y = 76

"

#$

%

&'− 8

4

"

#$

%

&'= −1

2

"

#$

%

&'

13/05/14

4


UNA PROYECCION ORTOGONAL §  Esto es,

§  La descomposición de y se ilustra en la figura

7 8 16 4 2

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

yy (y− y)


UNA PROYECCION ORTOGONAL §  Nota: Si los cálculos anteriores son correctos, entonces

debe ser un connunto ortogonal.

§  Verificando, calcular

§  El punto que identifica a es el punto mas cercano de de la recta L al punto que identifica a y. Observar la figura de la lámina anterior.

{y,y− y}

yi(y− y) = 84

"

#$

%

&'i −1

2

"

#$

%

&'= −8+8 = 0

y


CONJUNTOS ORTONORMALES §  Un conjunto {u1,…,up} es un conjunto ortonormal si

es un conjunto ortogonal de vectores unitarios.

§  Si W es el subespacio gnerado por este conjunto, entonces {u1,…,up} es una base ortonormal para W, ya que este conjunto es linealmente independiente.

§  El ejemplo mas simple de un conjunto ortonormal es la base estandar {e1,…,en} para .

§  Un subconjunto no vacío de {e1,…,en} tambien es una base ortonormal.

!n


CONJUNTOS ORTONORMALES §  Ejemplo 3: Demostrar que {v1, v2, v3} es una base

ortonormal de , donde

, , §  Solución: Calcular

!3

v1 =3 / 111/ 111/ 11

!

"

####

$

%

&&&&

v2 =−1/ 62 / 61/ 6

"

#

$$$$

%

&

''''

v3 =−1/ 66−4 / 667 / 66

"

#

$$$$

%

&

''''

v1iv2 = −3 / 66 + 2 / 66 +1/ 66 = 0

v1iv3 = −3 / 726 − 4 / 726 +7 / 726 = 0

13/05/14

5


CONJUNTOS ORTONORMALES

§  Entonces {v1, v2, v3} es un conjunto ortogonal. §  Además,

por lo que v1, v2, y v3 son vectores unitarios. §  Entonces {v1, v2, v3} es un conjunto ortonormal. §  Ya que el conjunto es linealmente independiente,

estos tres vectores forman una base para . Ver la interpretación geométrica.

v2 iv3 =1/ 396 −8 / 396 +7 / 396 = 0

v1iv1 = 9 /11+1/11+1/11=1v2 iv2 =1/ 6+ 4 / 6+1/ 6 =1v3iv3 =1/ 66+16 / 66+ 49 / 66 =1

!3





§  Cuando los vectores en un conjunto ortogonal se normalizan para que tengan longitud unitaria, los nuevos vectores continuan siendo un conjunto ortogonal, al nuevo conjunto se le llama conjunto ortonormal.


CONJUNTOS ORTONORMALES Y MATRICES

§  Teorema 6: Una matriz U de mxn tiene columnas ortonormales si y unicamente si .

§  Aplicado a una matriz A de nxn (cuadrada), entonces , y se dice que A es una matriz ortogonal.

§ 

UTU = In

A−1A = In

13/05/14

6



§  Prueba: Para simplificar la notación, suponemos que U tiene tres columnas, cada una un vector en .

§  Donde y calculamos

!m

U = u1 u2 u3!"#

$%&

UTU =

u1T

u2T

u3T

!

"

####

$

%

&&&&

u1 u2 u3!"#

$%&=

u1Tu1 u1

Tu2 u1Tu3

u2Tu1 u2

Tu2 u2Tu3

u3Tu1 u3

Tu2 u3Tu3

!

"

####

$

%

&&&&



§  Las entradas de la matriz producto son productos internos, The entries in the matrix at the right are inner products.

§  Las columnas de U son ortogonales si y unicamente si , ,

----(4) §  las columnas de U tiene longitud unitaria si y

unicamente si , , ----(5)

§  Entonces UTU es la matriz identidad.

u1Tu2 = u2

Tu1 = 0 u1Tu3 = u3

Tu1 = 0 u2Tu3 = u3

Tu2 = 0

u1Tu1 =1 u2

Tu2 =1 u3Tu3 =1



§  Ejemplo 4: Considerar la matriz Demostrar que es una matriz ortogonal

B =

3819

14 7

−5 3838

− 1414

−3 3838

3 1414

"

#

$$$$$$$

%

&

'''''''

5 06 02conjuntosOrtogonales -...

Documents

Transcript of 5 06 02conjuntosOrtogonales -...