5 - Limite e Continuidade Função Real de Várias Variáveis
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Disciplina: Cálculo 2 (C2) Professor: Valério Matos Assunto(s): Limite e continuidade de função real de duas variáveis Limite e continuidade de função real de duas variáveis 1/2 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO REAL DE DUAS VARIÁVEIS Definição (01): Diz-se que x;y se aproxima de 0 0 ;y x se a distância entre eles tende para zero, independentemente do percurso feito por x;y , sendo a distância entre tais pontos dada por 2 0 2 0 0 0 y y x x ;y x x;y Definição (02): Sejam 2 0 0 R ;y x P e 0 r . A bola aberta de centro 0 0 ;y x e raio r é definida por r ;y x x;y y x r P B 0 0 2 ; ; ; R . Definição (03): Um ponto 2 0 0 R ;y x é ponto de acumulação de 2 R D se para toda bola aberta centrada em 0 0 ;y x contenha pelo menos um ponto de D distinto de 0 0 ;y x . O conjunto dos pontos de acumulação de D é chamado de derivado cuja notação é ' D . Um ponto em D que não é ponto de acumulação é chamado de isolado. Definição (04): Sejam R R : 2 D f uma função e 0 0 ;y x um ponto de acumulação de D . Diz-se que o limite de f em 0 0 ;y x é L quando para cada 0 , dado arbitrariamente, for possível obter 0 , o qual depende de e 0 0 ;y x , tal que se D x;y e 0 0 0 ;y x x;y então L x;y f . Definição (05): Sejam R R 2 : D f e D ;y x 0 0 . Diz-se que f é contínua em 0 0 ;y x se uma das seguintes alternativas ocorrer: (i) 0 0 ;y x é ponto isolado de D ; (ii) 0 0 ;y x é ponto de acumulação de D e 0 0 0 0 lim ;y x f x;y f ;y x x;y . Diz-se que f é contínua em D se f é contínua em todos os pontos de D . Se f é uma função de três variáveis então f é contínua e 0 0 0 ;z ;y x se 0 0 0 0 0 lim ;z ;y x f x;y;z f ;y x x;y . Proposição (06): Sejam 2 , R Y X e R a . Então (i) 0 X e 0 X se, e somente se 0 ; 0 X ; (ii) X a aX ; (iii) Desigualdade triangular: Y X Y X ; [Desigualdade em R : y x y x para todos R y x, ]; (iv) X x 1 e X x 2 com 2 1 ; x x X ; (iv) 2 1 x x X com 2 1 ; x x X ; Nota: 2 2 2 1 x x X . Teorema (unicidade do limite) (07): Sejam R R 2 : D f e 0 0 ;y x um ponto de acumulação de D . Se 1 0 0 lim L x;y f ;y x x;y e 2 0 0 lim L x;y f ;y x x;y então 2 1 L L .
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Disciplina: Cálculo 2 (C2) Professor: Valério Matos Assunto(s): Limite e continuidade de função real de duas variáveis
Limite e continuidade de função real de duas variáveis 1/2
LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÃO REAL DE DUAS VARIÁVEIS
Definição (01): Diz-se que x;y se aproxima de 00 ;yx se a distância entre eles tende para zero, independentemente do percurso feito por x;y , sendo a distância entre tais pontos dada por
202
000 yyxx;yxx;y
Definição (02): Sejam 200 R ;yxP e 0r . A bola aberta de centro 00;yx e raio r é
definida por r;yxx;yyxrPB 002 ;;; R .
Definição (03): Um ponto 200 R;yx é ponto de acumulação de 2RD se para toda bola
aberta centrada em 00;yx contenha pelo menos um ponto de D distinto de 00;yx . O conjunto dos
pontos de acumulação de D é chamado de derivado cuja notação é ' D . Um ponto em D que não é ponto de acumulação é chamado de isolado.
Definição (04): Sejam RR: 2Df uma função e 00;yx um ponto de acumulação de D .
Diz-se que o limite de f em 00;yx é L quando para cada 0 , dado arbitrariamente, for possível
obter 0 , o qual depende de e 00;yx , tal que
se Dx;y e 000 ;yxx;y então Lx;yf .
Definição (05): Sejam RR 2: Df e D;yx 00 . Diz-se que f é contínua em 00 ;yx se uma das seguintes alternativas ocorrer: (i) 00;yx é ponto isolado de D ; (ii) 00;yx é ponto de acumulação de D e
00
00
lim ;yxfx;yf;yxx;y
.
Diz-se que f é contínua em D se f é contínua em todos os pontos de D . Se f é uma função de três variáveis então f é contínua e 000 ;z;yx se
000
00
lim ;z;yxfx;y;zf;yxx;y
.
Proposição (06): Sejam 2, RYX e Ra . Então (i) 0X e 0X se, e somente se 0;0X ;
(ii) XaaX ;
(iii) Desigualdade triangular: YXYX ;
[Desigualdade em R : yxyx para todos Ryx, ];
(iv) Xx 1 e Xx 2 com 21; xxX ;
(iv) 21 xxX com 21; xxX ;
Nota: 22
21 xxX .
Teorema (unicidade do limite) (07): Sejam RR 2: Df e 00;yx um ponto de acumulação de D . Se
1
00
lim Lx;yf;yxx;y
e
200
lim Lx;yf;yxx;y
então 21 LL .
Disciplina: Cálculo 2 (C2) Professor: Valério Matos Assunto(s): Limite e continuidade de função real de duas variáveis
Limite e continuidade de função real de duas variáveis 2/2
Teorema (08): Sejam RR 2: Df e D;yx 00 um ponto de acumulação de D . Então
Lx;yf
;yxx;y
00
lim se, e somente se,
0lim00
Lx;yf;yxx;y
.
Teorema (09): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg e 00;yx um ponto de acumulação de D . Se yxgyxf ;; para todo 00; ;yxDyx então
x;ygx;yf
;yxx;y;yxx;y 0000
limlim
.
Teorema (propriedades do limite) (10): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg e 00;yx um ponto de acumulação de D . Se
Lx;yf
;yxx;y
00
lim e
Mx;yg;yxx;y
00
lim então
(i)
MLx;ygx;yf;yxx;y
00
lim ;
(ii)
MLx;ygx;yf;yxx;y
00
lim
(iii)
LMx;ygx;yf;yxx;y
00
lim ;
(iv)
M
Lx;ygx;yf
;yxx;y
00
lim desde que 0M .
Teorema (do confronto) (11): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg , RR 2: Dh e
00;yx um ponto de acumulação de D . Se x;yhx;ygx;yf para r;yxx;y 000
e
Lx;yhx;yf;yxx;y;yxx;y
0000
limlim então
Lx;yg;yxx;y
00
lim .
Teorema (12): Sejam RR 2: Df , RR 2: Dg e 00;yx um ponto de acumulação
de D . Se
0lim00
x;yf;yxx;y
, Mx;yg com r;yxx;y 000 , sendo 0r e
0M então
0lim00
x;ygx;yf;yxx;y
.
Proposição (composição de funções) (13): Sejam RR 2: Df e RR Eg : tais que EDf . Sejam ' 0 DX e ' 0 EY . Se 0YXf para todo 0XX , 0
0
lim YXfXX
e
LYgYY
0
lim então a função composta fg , definida por XfgXfg , tem limite em
0X e vale LXfgXX
0
lim .
Corolário (14): Sejam RR 2: Df , RR I: e RR I: duas curvas parametrizadas passando pelo ponto ' 0 DX , isto é, 000 Xtt para algum R0t .
Suponha que ttXtttt
00
limlim0
e 0Xt , 0Xt para todo 0tt .
Se tftftttt
00
limlim
então f não tem limite em 0X .
![Projeto Político-Pedagógico Curso Noturno de Engenharia Elétrica - UFPR] · Limite e continuidade. Derivadas. Aplicações das derivadas na Engenharia Elétrica. Integral definida](https://static.fdocumentos.com/doc/165x107/5be1ddc209d3f24c478bd9d0/projeto-politico-pedagogico-curso-noturno-de-engenharia-eletrica-ufpr-.jpg)
