belamatematica.files.wordpress.com · 5. No referencial ortonormado Oxyz, ˇ irregular cuja base...
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1. Num referencial o.n. ��� �� �� �� do espaço são dados os pontos:
Sejam [OABC] e [DEFG] as bases do prisma quadrangular regular.
1.1. Determine as coordenadas dos pontos E, F e G.
1.2. Determine uma equação vectorial da recta AG.
1.3. Determine o comprimento da diagonal espacial.
1.4. Calcule a área total do prisma.
1.5. Calcule o volume do prisma, sabendo que a unidade adoptada é o centímetro.
2. No referencial do espaço de origem O está representado o cubo [ABCDEFGH].
O, I, J, K e L são pontos médios de [DH], [EC], [CG],
As coordenadas dos pontos L e J são
2.1. Mostre que a recta KJ é paralela à recta AH.
2.2. Determine uma equação do plano mediador do segmento de recta [LJ].
2.3. Determine o comprimento do segmento de recta
2.4. Seja � o plano definido pelos pontos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um polígono. Classifique
2.5. Determine a área do triângulo [IJK] (a unidade é o cm).
2.6. Calcule o volume do cubo.
3. No referencial ortonormado Oxyz está representado um parale
������ são vértices opostos.
3.1. Escreva uma equação do plano mediador de [ON].
3.2. Defina por uma condição em x, y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida
no primeiro octante.
3.3. A recta que passa em M e é paralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W.
Determine as coordenadas do ponto W.
4. Num referencial o.n. considere o paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representado na
figura, sendo ���������, ������ �
4.1. Verifique se o ponto �������� ���
4.2. Escreva uma equação do plano mediador de [EC].
4.3. Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta BV com o plano
coordenado yOz.
4.4. Tomando para unidade o centímetro, calcule o volume da
e Q os pontos médios das arestas da base inferior do paralelepípedo.
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do espaço são dados os pontos: �������� �������� ����
Sejam [OABC] e [DEFG] as bases do prisma quadrangular regular.
Determine as coordenadas dos pontos E, F e G.
Determine uma equação vectorial da recta AG.
diagonal espacial.
Calcule o volume do prisma, sabendo que a unidade adoptada é o centímetro.
No referencial do espaço de origem O está representado o cubo [ABCDEFGH].
O, I, J, K e L são pontos médios de [DH], [EC], [CG], [BC] e [AE], respectivamente.
As coordenadas dos pontos L e J são ������� e ������� respectivamente.
é paralela à recta AH.
Determine uma equação do plano mediador do segmento de recta [LJ].
Determine o comprimento do segmento de recta [BH].
o plano definido pelos pontos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um polígono. Classifique
Determine a área do triângulo [IJK] (a unidade é o cm).
No referencial ortonormado Oxyz está representado um paralelipípedo do qual O e
Escreva uma equação do plano mediador de [ON].
Defina por uma condição em x, y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida
A recta que passa em M e é paralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W.
Determine as coordenadas do ponto W.
Num referencial o.n. considere o paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representado na
�, ������ �� e ��������.
��� pertence à recta CF.
Escreva uma equação do plano mediador de [EC].
Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta BV com o plano
Tomando para unidade o centímetro, calcule o volume da pirâmide de vértice V e base [MNPQ] sendo M, N, P
e Q os pontos médios das arestas da base inferior do paralelepípedo.
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o plano definido pelos pontos IJK. Este plano intersecta o cubo segundo um polígono. Classifique-o.
lipípedo do qual O e
Defina por uma condição em x, y, z a porção de esfera de diâmetro [OQ] contida
A recta que passa em M e é paralela a QB intersecta o plano yOz num ponto W.
Num referencial o.n. considere o paralelepípedo rectângulo [ABCDEFGH] representado na
Determine as coordenadas do ponto de intersecção da recta BV com o plano
pirâmide de vértice V e base [MNPQ] sendo M, N, P
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5. No referencial ortonormado Oxyz, �
irregular cuja base está contida no plano xOy. Seja [AB] uma aresta dessa base
com ������ e �������.
5.1. Determine uma equação da recta AB.
5.2. Defina por uma condição em x, y e z, a região da esfera de centro em V e raio
� ���� constituida pelos pontos que têm cota inferio
5.3. Determine as coordenadas do outro vértice da base da pirâmide, sabendo que essa base é um triângulo
equilátero. Mostre que o problema tem
6. A figura representa, no referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo em que as bases são
losangos.
Os pontos A, B, C, D e F são vértices do paralelepípedo.
6.1. Determine uma equação vectorial da recta AE.
6.2. Escreva uma equação do plano mediador de [AE].
6.3. Determine as coordenadas do simétrico do ponto B, em relação ao plano xOy.
6.4. Justifique que a esfera de diâmetro [AC] tem uma parte no 2.º octante e defina
analiticamente essa parte da esfera.
7. Observe a figura.
No referencial o.n. Oxyz, estão representados um prisma e uma pirâmide regulares,
tendo como base comum [OABC], contida no plano xOy. O vértice da pirâmide é o
centro do prisma.
7.1. Determine as coordenadas dos pontos A, C e V.
7.2. Escreva uma equação do plano m
7.3. Escreva uma equação vectorial da recta VB.
7.4. Calcule a área total da pirâmide.
7.5. Calcule o volume do sólido obtido depois de extrair a pirâmide.
8. No referencial o.n. Oxyz da figura, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yOz.
Na unidade considerada ������ � � e �����
8.1. Defina por equações cartesianas a recta AC.
8.2. Considere que o triângulo [ABC] roda uma volta completa em torno do eixo Oy.
8.2.1. Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida
rotação.
8.2.2. Calcule o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.
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��������é o vértice de uma pirâmide triangular
cuja base está contida no plano xOy. Seja [AB] uma aresta dessa base
Determine uma equação da recta AB.
Defina por uma condição em x, y e z, a região da esfera de centro em V e raio
constituida pelos pontos que têm cota inferior a -0,4.
Determine as coordenadas do outro vértice da base da pirâmide, sabendo que essa base é um triângulo
equilátero. Mostre que o problema tem duas soluções.
A figura representa, no referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo em que as bases são
Os pontos A, B, C, D e F são vértices do paralelepípedo.
Determine uma equação vectorial da recta AE.
Escreva uma equação do plano mediador de [AE].
as coordenadas do simétrico do ponto B, em relação ao plano xOy.
Justifique que a esfera de diâmetro [AC] tem uma parte no 2.º octante e defina
analiticamente essa parte da esfera.
No referencial o.n. Oxyz, estão representados um prisma e uma pirâmide regulares,
tendo como base comum [OABC], contida no plano xOy. O vértice da pirâmide é o
Determine as coordenadas dos pontos A, C e V.
Escreva uma equação do plano mediador de [BD].
Escreva uma equação vectorial da recta VB.
Calcule o volume do sólido obtido depois de extrair a pirâmide.
No referencial o.n. Oxyz da figura, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yOz.
���� � �.
Defina por equações cartesianas a recta AC.
Considere que o triângulo [ABC] roda uma volta completa em torno do eixo Oy.
Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida
o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.
+�'
Determine as coordenadas do outro vértice da base da pirâmide, sabendo que essa base é um triângulo
A figura representa, no referencial o.n. Oxyz, um paralelepípedo em que as bases são
Justifique que a esfera de diâmetro [AC] tem uma parte no 2.º octante e defina
No referencial o.n. Oxyz, estão representados um prisma e uma pirâmide regulares,
tendo como base comum [OABC], contida no plano xOy. O vértice da pirâmide é o
No referencial o.n. Oxyz da figura, [ABC] é um triângulo rectângulo em B contido no plano yOz.
Defina analiticamente a linha que o ponto A descreve no plano xOz na referida
o volume do sólido gerado pelo triângulo [ABC] na rotação descrita.
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MM AA TT EE MM ÁÁ TT II CC AA AA –– 11 00 .. ºº AA NN OO '�'
9. A embalagem de certo gelado é uma superfície esférica. Num referencial o.n. essa superfície tem por
equação �� � �� � � � ��.
9.1. O bordo da “tampa” da embalagem é uma circunferência que se obtém seccionando a superfície
esférica por um plano ! de cota positiva e paralelo a xOy. Sabendo que, na unidade considerada,
o bordo da “tampa” tem perímetro igual a ", escreva as coordenadas do ponto P.
9.2. Verifique que o ponto ������ pertence à superfície esférica e determine as coordenadas do ponto B de
modo que [AB] seja diâmetro da superfície esférica.
9.3. Escreva uma equação que defina a circunferência de centro em P.
9.4. Defina analiticamente o segmento de recta [AO].
10. No referencial o.n. Oxyz está representado um cubo de faces paralelas aos planos coordenados.
O perímetro de cada face é, na unidade considerada, igual a 16.
10.1. Escreva uma equação vectorial da recta BC.
10.2. Defina analiticamente a superfície esférica tangente a todas as faces do cubo.
10.3. Determine a, caso exista, de modo que o vector #$%�&� � &� &� � ���� seja colinear com �'$$$$$%.
10.4. Sendo M e N os pontos médios das arestas [AB] e [EF], respectivamente, determine as coordenadas do
ponto P ( )*+, sabendo que a secção plana determinada no cubo pelo plano MNP é u m quadrado.
11. Na pirâmide de Kéops, quadrangular regular, a aresta da base tem 23 dam de
comprimento. Sejam A, B, C e D os vértices da base e V o vértice da pirâmide.
Considere o referencial o.n. indicado em que a unidade considerada é 10 metros e
indique:
11.1. Uma equação vectorial da recta VB sabendo que ���- �- ���.�.
11.2. Uma equação vectorial da recta paralela a VC e que contém o ponto �� �����.
11.3. O volume da pirâmide.
12. Considere, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na
figura.
A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy.
[BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy. O ponto C tem de coordenadas
��� �����. O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem
coordenadas �������.
A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz.
O ponto D pertence à recta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro. A altura
do cilindro é 12 cm.
12.1. Justifique que a recta BD é perpendicular à recta AB.
12.2. Escreva uma equação vectorial da recta r e uma equação vectorial da recta CD.
12.3. Seja / o plano que intersecta o cilindro e que contém os pontos B, C e D. Qual o quadrilátero obtido na
intersecção do plano / com o cilindro? Determine a sua área.
12.4. Calcule o volume do cilindro.