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Tony Crilly

ideias matemticaque precisa mesmo de saber

50Ideias de

Matemticaque precisa mesmo de saber

Tony CrillyTraduo de Jorge Nuno Silva

Introduo 3

01 Zero 4

02 Sistemas de numerao 8

03 Fraces 12

04 Quadrados e razes quadradas 16

05 2006 e 24

07 Infinito 28

08 Nmeros imaginrios 32

09 Primos 36

10 Nmeros perfeitos 40

11 Os nmeros de Fibonacci 44

12 Os rectngulos de ouro 48

13 O tringulo de Pascal 52

14 lgebra 56

15 O algoritmo de Euclides 60

16 Lgica 64

17 Prova 68

18 Conjuntos 72

19 Clculo 76

20 Construes 80

21 Tringulos 84

22 Curvas 88

23 Topologia 92

24 Dimenso 96

25 Fractais 100

26 Caos 104

ndice27 O postulado das paralelas 108

28 Geometria discreta 112

29 Grafos 116

30 O problema das quatro cores 120

31 Probabilidade 124

32 Teoria de Bayes 128

33 O problema do aniversrio 132

34 Distribuies 136

35 A curva normal 140

36 Relacionando dados 144

37 Gentica 148

38 Grupos 152

39 Matrizes 156

40 Cdigos 160

41 Contagem avanada 164

42 Quadrados mgicos 168

43 Quadrados latinos 172

44 A matemtica do dinheiro 176

45 O problema da dieta 180

46 O caixeiro-viajante 184

47 Teoria dos jogos 188

48 Relatividade 192

49 O ltimo teorema de Fermat 196

50 A hiptese de Riemann 200

Glossrio 204

ndice remissivo 206

3A matemtica um campo vasto, e ningum pode conhec-lo completamente. O que todospodem fazer explor-lo e encontrar o seu prprio caminho. As possibilidades que aqui soapresentadas conduzir-nos-o a outras pocas e culturas e a ideias que durante sculos intrigaram osmatemticos.

A matemtica simultaneamente antiga e moderna, e constri-se a partir de muitas e variadasinfluncias culturais e polticas. O nosso sistema de numerao veio da ndia e da Arbia, mas temvrias outras razes. A base 60, ou sistema sexagesimal, da Babilnia de dois ou trs milnios a.C.marca presena na nossa cultura h 60 segundos num minuto e 60 minutos numa hora; um ngulorecto ainda tem 90 graus e no 100 grados, como a Frana ditou num primeiro movimento emdireco decimalizao.

Os triunfos tecnolgicos da era moderna dependem da matemtica, e j no motivo deorgulho anunciar que no se foi um bom aluno na matria. evidente que a matemtica leccionadana escola diferente, muitas vezes ensinada com os olhos postos no exame. A presso do tempo naescola tambm no ajuda, pois a matemtica um assunto em que no h mrito em se ser rpido. necessrio tempo para permitir que as ideias se instalem. Alguns dos melhores matemticos sopenosamente lentos no seu esforo por compreender os conceitos profundos do seu objecto deestudo.

No h pressa neste livro. Ele pode ser lido como pura forma de lazer. Com calma, descubram oque significam realmente estas ideias, de que possivelmente j ouviram falar. Comeando pelo zero,ou qualquer outro assunto que queiram, podem fazer uma viagem entre ilhas de ideias matemticas.Podem, por exemplo, adquirir conhecimentos sobre a Teoria dos Jogos e a seguir ler sobreQuadrados Mgicos. Ou podem passar dos Rectngulos de Ouro para o famoso ltimo Teorema deFermat, ou escolher qualquer outro caminho.

Este um momento emocionante para a matemtica. Alguns dos seus maiores problemas foramrecentemente resolvidos. Desenvolvimentos recentes na rea da computao ajudaram a resolveralguns, mas revelaram-se impotentes na resoluo de outros. O Problema das Quatro Cores foiresolvido com recurso a um computador, mas a hiptese de Riemann, ltimo captulo deste livro,permanece sem soluo quer utilizando computadores quer utilizando outros meios.

A matemtica para todos. A popularidade do sudoku mostra que as pessoas podem fazermatemtica (sem que disso se apercebam) e gostar de a fazer. Em matemtica, como na arte ou namsica, tem havido gnios, mas eles no constituem toda a histria. Alguns deles aparecero edesaparecero nuns captulos, apenas para reaparecerem noutros. Leonhard Euler, cujotricentenrio ocorreu em 2007, ser um visitante frequente destas pginas. Porm, o progresso emmatemtica trabalho de muitos, acumulado ao longo de sculos. A escolha dos 50 tpicos pessoal, mas tentei manter o equilbrio. Existem questes do dia-a-dia e outras mais avanadas,matemtica pura e aplicada, abstracta e concreta, antiga e recente. No entanto, a matemticaconstitui um todo, e o difcil na escrita do livro no foi escolher os tpicos, mas sim deixar algunsde fora.

Poderiam ter sido 500 ideias, mas 50 so as suficientes para um bom incio da vossa carreiramatemtica.

Introduo

zero4

Cronologia

01 ZeroAinda muito jovens, fazemos uma entrada hesitante nomundo dos nmeros. Aprendemos que o 1 o primeiro noalfabeto numrico e que introduz os nmeros naturais: 1, 2,3, 4, 5, etc. Os nmeros naturais so exactamente isso:contam coisas naturais mas, laranjas, bananas, peras. Smais tarde conseguimos contar o nmero de mas numacaixa vazia.

Mesmo os antigos gregos, que avanaram na cincia e na matemtica por saltosqunticos, e os romanos, famosos pelas suas obras de engenharia, noconseguiram encontrar uma forma eficaz de lidar com o nmero de masnuma caixa vazia. No conseguiram dar um nome a nada. Os romanostinham as suas formas de combinar I, V, X, L, C, D e M, mas onde estava o 0?Eles no contavam nada.

Como que o zero passou a ser aceite? Pensa-se que o uso deum smbolo que designa a no-existncia teve a sua origem h milhares deanos. A civilizao maia do actual Mxico usou o zero de vrias formas. Umpouco mais tarde, o astrnomo Cludio Ptolomeu, influenciado pelosbabilnios, usou um smbolo semelhante ao nosso actual zero como marcadorno seu sistema de numerao. Como marcador, o zero pode ser usado paradistinguirmos entre exemplos (em notao moderna) como 75 e 705, em vezde nos basearmos no contexto, como os babilnios fizeram. A introduo dozero pode ser comparada introduo da vrgula na linguagem ambos ajudama ler o significado correcto. Mas, tal como vrgula se associa um conjunto deregras de utilizao, h regras de utilizao do zero.

Brahmagupta, um matemtico indiano do sculo VII, tratou o zero como umnmero e no apenas como marcador, e definiu regras para a sua utilizao.Entre elas, contam-se A soma de um nmero positivo com zero positiva eA soma de zero com zero zero. Estava bastante avanado, ao pensar no zerocomo um nmero e no como marcador. O sistema de numerao indo-rabe

700 a.C.Os babilnios usam o zerocomo marcador no seusistema de numerao

628Brahmagupta usa o zero e enunciaregras para a sua utilizao comoutros nmeros

zero 5

que assim inclua o zero foi dado a conhecer no Ocidente por Leonardo de Pisa Fibonacci noseu Liber Abaci (O Livro do Clculo), publicado pela primeira vez em 1202. Tendo crescido no Nortede frica e frequentado a escola aritmtica indo-rabe, reconheceu o poder do recurso ao smboloextra 0 combinado com os smbolos hindus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.

A introduo do zero no sistema de numerao colocou um problema que Brahmagupta abordarabrevemente: Como deveria o intruso ser tratado? O matemtico comeara a resolver o problema,mas com respostas vagas. Como poderia o zero ser integrado no sistema aritmtico existente de umaforma mais precisa? Alguns ajustamentos eram simples. No que respeitava adio e multiplicao, o 0 no oferecia problemas, mas o estrangeiro no se encaixava bem nas operaesde subtraco e diviso. Eram necessrios significados para garantir que o 0 se harmonizava com aaritmtica aceite.

Como funciona o zero? Somar e multiplicar com zero simples e incontroverso podesomar-se 0 a 10 para obter uma centena , tomando contudo aqui somar no sentido menosimaginativo da operao numrica. Somar 0 a um nmero deixa o nmero inalterado, enquantomultiplicar qualquer nmero por 0 conduz sempre resposta 0. Por exemplo, 7 + 0 = 7 e 7 0 = 0.A subtraco uma operao simples, mas pode conduzir a nmeros negativos, 7 0 = 0 e 0 7 =7, enquanto a diviso envolvendo o zero levanta dificuldades.

Pensemos num comprimento que deve ser medido com uma vareta de medio. Vamos supor que avareta de medio tem na realidade 7 unidades de comprimento. Estamos interessados em saberquantas varas podemos estender ao longo do dado comprimento. Se o comprimento a medir tiver28 unidades, a resposta ser 28 dividido por 7 ou, simbolicamente, 28 7 = 4. Uma melhor notaopara representar esta diviso

28 = 47

e, multiplicando em cruzado, pode escrever-se em termos de multiplicao como 28 = 74 4. Queresultado ter ento o 0 divido por 7? Para ajudar a sugerir uma resposta, chame-se a resposta para que

0 = a7

Pela multiplicao cruzada, isto equivalente a 0 = 7 a. Neste caso, o nico valor possvel para a o prprio 0, porque, se a multiplicao de dois nmeros d 0, um deles tem de ser 0. Como,obviamente, no o 7, a tem de ser 0.

830Mahavira elabora raciocniossobre a forma como o zerointerage com os outrosnmeros

1100Bhaskara usa o 0 como umsmbolo em lgebra e tentamostrar como possvelmanipul-lo

1202Fibonacci usa o smbolo extra 0 juntamente como sistema indo-rabe de numerais 1, ..., 9, masno enquanto nmero com a mesma natureza

Esta no a principal dificuldade do zero. A questo difcil a diviso por 0.Se tentarmos tratar 70 da mesma forma que 07, teremos a equao

7 = b0

Por multiplicao cruzada, 0 b = 7 e chegamos ao absurdo de que 0 = 7. Seadmitimos a possibilidade de 70 ser um nmero, criamos o potencial para aconfuso numrica em grande escala. A sada dizer que 70 indefinido. No admissvel obter um sentido da operao de dividir 7 (ou qualquer outronmero diferente de 0) por 0 e, sendo assim, simplesmente no se permite queesta operao tenha lugar. De forma semelhante, no permitido colocar umavrgula no me,io de uma palavra sem perda de sentido.

Bhaskara, um matemtico indiano do sculo XII, seguindo as pisadas deBrahmagupta, pensou sobre a diviso por 0 e sugeriu que um nmero a dividir por0 era infinito. A concluso razovel porque, se dividirmos um nmero por outromuito pequeno, o resultado muito grande. Por exemplo, 7 dividido por umadcima 70 e por uma centsima, 700. Tornando o denominador cada vez maispequeno, o resultado obtido cada vez maior. No mais pequeno de todos, oprprio 0, o resultado deve ser infinito. Adoptando esta forma de raciocinar,ficamos em condies de explicar um conceito ainda mais bizarro o infinito.Lutar com o infinito no ajuda; o infinito (com a notao padro ) no obedeces regras aritmticas habituais e no um nmero no sentido usual do termo.

Se 70 representa um problema, o que fazer com o ainda mais bizarro 00? Se 00 = c,por multiplicao cruzada, chega-se equao 0 = 0 c, e ao facto de que 0 =0. Nada de particularmente interessante, mas tambm no absurdo. De facto, c pode ser qualquer nmero e no se obtm nenhuma impossibilidade. Chega-se concluso de que 00 pode ser qualquer coisa. Nos crculos matemticoschama-se-lhe indeterminado.

Tomando tudo em considerao, quando se pensa na diviso por zero chega-se concluso de que o melhor excluir essa operao da forma habitual de fazerclculos. A aritmtica pode passar perfeitamente sem ela.

Para que serve o zero? Simplesmente no podemos passar sem ele. O progresso da cincia tem dependido dele. Fala-se sobre zero graus delongitude, zero graus de temperatura, e ainda de energia zero e gravidade zero.O zero entrou na linguagem no cientfica com expresses como a hora zeroe a tolerncia zero.

6 zero

7zero

No entanto, poderamos dar-lhe mais uso. Se sair dopasseio da 5.a Avenida em Nova Iorque e entrar noEmpire State Building, v-se na majestosa entrada dopiso nmero 1. Utilizou-se a capacidade de ordenaodos nmeros, 1 para primeiro, 2 para segundo, etc.,at 102 para centsimo segundo piso. Na Europa, halguns pisos 0, mas existe alguma relutncia em lheschamar assim.

A matemtica no pode funcionar sem o zero. Ele estno mago dos conceitos matemticos que fazem osistema de numerao, a lgebra e a geometriafuncionarem. Na sequncia de nmeros, o 0 o quesepara os positivos dos negativos, ocupando assim umaposio privilegiada. No sistema decimal, o zero ummarcador que nos permite a utilizao de nmeros muitograndes, bem como de nmeros microscpicos.

Ao longo de centenas de anos o zero tornou-se aceite epassou a ser utilizado como uma das maiores invenesdo Homem. G. B. Halsted, um matemtico americanodo sculo XIX, influenciado por o Sonho de Uma Noite deVero de Shakespeare, escreveu que o zero o motor do progresso que forneceao nada no s uma morada e um nome, uma imagem, um smbolo, mastambm um poder til, caracterstico da raa hindu que o originou.

Quando foi introduzido, o 0 deve ter parecido estranho, mas os matemticostm o hbito de se fixarem em conceitos estranhos que se provam teis muitomais tarde. O equivalente actual a teoria de conjuntos, em que o conceito deconjunto uma coleco de elementos. Nessa teoria, designa o conjuntosem elemento algum, o chamado conjunto vazio. uma ideia estranha, mas,tal como o 0, indispensvel.

A soma de zero com um nmeropositivo positiva.

A soma de zero com um nmeronegativo negativa.

A soma de um nmero positivocom um negativo a suadiferena; ou, se so iguais, zero.

Zero dividido por um nmeronegativo ou positivo ou zero ou expresso por uma fraco denumerador zero e com umaquantidade finita comodenominador.

Brahmagupta, 628

Tudo sobre nada

a ideia resumidaNada muita coisa

Os sumrios e os babilnios, que viviam nos actuais Sria, Jordnia e Iraque hcerca de 4000 anos, usavam um sistema de valor de posio para utilizaoprtica no dia-a-dia. Chama-se sistema de valor de posio porque pode dizer-seo nmero pela posio dum smbolo. Os dois povos tambm utilizavam o 60como unidade-base o que se chama hoje em dia um sistema sexagesimal.Ainda existem vestgios do sistema sexagesimal: 60 segundos num minuto, 60minutos numa hora. Quando medimos ngulos, ainda dizemos que o ngulo girotem 360 graus, apesar da tentativa do sistema mtrico de igual-lo a 400 grados(para que cada ngulo recto seja igual a 100 grados).

Embora os nossos mais remotos antepassados tenham usado os nmeros para finsprticos, existem indcios de que essas primeiras culturas se sentiram intrigadaspela prpria matemtica e tiraram algum tempo s utilizaes prticas parafazerem exploraes. Estas incluam o que se pode chamar lgebra e tambmas propriedades de figuras geomtricas.

O sistema egpcio do sculo XIII a.C. usava uma base decimal com sinaishieroglficos. Os egpcios desenvolveram um sistema notvel para lidar comfraces, mas a notao actual do valor de posio decimal veio dos babilnios efoi mais tarde melhorada pelos hindus. A vantagem est na forma pela qual sepodem representar nmeros muito pequenos e nmeros muito grandes. Usandoapenas os nmeros indo-rabes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, podem-se fazer clculoscom relativa facilidade. Para verificar que assim , veja-se o sistema romano.

Um sistema de numerao um mtodo de lidar com oconceito quantos. Diferentes culturas em diferentesperodos adoptaram vrios mtodos, desde o bsico um,dois, trs, muitos at muito sofisticada notao decimal deposio que se utiliza actualmente.

02 Sistemas de numerao

30 000 a.C.Povos europeus do Paleoltico fazemmarcas de nmeros em ossos

Cronologia

8 sistemas de numerao

2000 a.C.Os babilnios usam smbolospara nmeros

Servia as suas necessidades, mas s os especialistas no sistema eram capazes deefectuar clculos com ele.

O sistema romano Os smbolos bsicos usados pelos romanos eram osdez (I, X, C e M), e as metades deles (V, L e D). Os smbolos combinam--se para formar outros. Tem sido apontado que as formas I, II, III e IIII derivam daaparncia dos dedos, V da forma da mo, e o X da inverso do V e sua juno aoutro V, obtendo assim duas mos ou dez dedos. C deriva de centume M de mille, as palavras latinas para cem e milrespectivamente. Os romanos tambm usavam S para metade e um sistema de fracesbaseado em 12.

Os romanos utilizavam um mtodo de anterior eposterior para obterem os smbolos necessrios,mas este no parece ter sido uniformementeadoptado. Os antigos romanos preferiam escreverIIII, tendo o IV sido introduzido mais tarde. A combinao IX tambm foi usada, mas osromanos queriam dizer 8 quando escreviamSIX! No quadro, esto os nmeros bsicos dosistema romano com alguns acrescentosmedievais.

No fcil trabalhar com os nmeros romanos. Por exemplo, o significado deMMMCDXLIIII s se torna claro quando se introduzem mentalmente parntesespor forma a que (MMM)(CD)(XL)(IIII) possa ser lido como 3000 + 400 + 40 + 4 = 3444. Mas tente-se somar MMMCDXLIIII + CCCXCIIII.Um romano treinado nesta arte teria atalhos e truques, mas para ns difcil obtera resposta correcta sem calcular primeiro no sistema decimal e depois transferir oresultado para o sistema romano:

Adio3444 MMMCDXLIIII

+ 394 CCCXCIIII

=3838 MMMDCCCXXXVIII

1600Os smbolos do sistema decimaltomam as formas actuais

600Utilizao do precursor donosso sistema moderno denumerao decimal na ndia

1200Difuso do sistema indo-rabede escrever os algarismos de1 a 9 e um 0

9sistemas de numerao

Sistema de numerao romanoImprio RomanS um meioI umV cinco X dezL cinquentaC cem D quinhentosM mil

Acrescentos medievais

V cinco milX dez milL ciquenta milC cem milD quinhentos milM um milho

A multiplicao de dois nmeros muito mais difcil e pode ser impossvel no sistema bsico,mesmo para os romanos! Para multiplicar 3444 por 394, so necessrios os acrscimos medievais.

Multiplicao3444 MMMCDXLIIII

394 CCCXCIIII

=1 356 936 M C C C L V MCMXXXVI

Os romanos no utilizavam nenhum smbolo especfico para o zero. Sepedssemos a um cidado vegetariano de Roma para registar quantas garrafas

de vinho tinha consumido nesse dia, ele poderia escrever III, mas se lheperguntssemos quantas galinhas tinha comido, no poderia escrever 0.Ainda h vestgios do sistema romano na paginao de alguns livros(embora neste no) e nas pedras dos fundamentos de edifcios. Algumasconstrues nunca foram usadas pelos romanos, como MCM para 1900,mas foram introduzidas por razes de estilo nos tempos modernos. Os

romanos teriam escrito MDCCCC. O dcimo quarto rei Lus de Frana,universalmente conhecido por Lus XIV, preferia ser conhecido como Lus

XIIII e estabeleceu a regra de que os relgios deviam mostrar as 4 horas comoIIII horas.

Nmeros inteiros decimais Identificamos naturalmente a palavra nmeros comnmeros decimais. O sistema decimal baseado em dez, usando os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8e 9. De facto, baseado em dcimos e em unidades, mas as unidades podem ser absorvidas pela basedecimal. Quando escrevemos o nmero 394, podemos explicar o seu significado decimal dizendoque composto por 3 centenas, 9 dezenas e 4 unidades, e podemos escrever

394 = 3 100 + 9 10 + 4 1

Isto pode ser escrito usando potncias de dez (tambm conhecidas por exponenciais ou ndices),

394 = 3 102 + 9 101 + 4 100

em que 102 = 10 10, 101 = 10 e se convenciona que 100 = 1. Nesta expresso, vemos claramente abase decimal do nosso sistema de numerao actual, que torna a adio e a multiplicao bastantetransparentes.

A vrgula decimal At agora, s vimos representaes de nmeros inteiros. Ser que osistema decimal consegue lidar com partes de um nmero, como 5721000? Isto significa

10 sistemas de numerao

572 5 7 21000 10 100 1000

= + +

Um relgio Lus XIIII

Podemos tratar os recprocos de 10, 100, 1000 como potncias negativas de 10, tal que

e isto pode ser escrito ,572, em que a vrgula decimal indica o incio das potncias negativas de 10.Se adicionarmos isto expresso decimal de 394, obtemos a expanso decimal para o nmero3495721000, que simplesmente 394,572.

Para nmeros muito grandes, a notao decimal pode ser muito extensa,portanto neste caso passamos para a notao cientfica. Por exemplo, 1 356 936 892 pode escrever-se 1,356936892 109, que aparece muitasvezes como 1,356936892 10E9 nas calculadoras ou nos com-putadores. Aqui, a potncia 9 o nmero de dgitos do nmero menosum e a letra E significa exponencial. Por vezes, podemos querer usarnmeros ainda maiores, como por exemplo se estivermos a falar donmero de tomos de hidrognio existentes no universo conhecido. A estimativa desse nmero 1,7 1077. De igual modo 1,7 10-77, comexpoente negativo, um nmero muito pequeno e tambm ele pode serfacilmente tratado usando notao cientfica. No conseguimos sequerimaginar estes nmeros com os smbolos romanos.

Zeros e uns Embora a base 10 seja comum, algumas aplicaesexigem outras bases. O sistema binrio que usa a base 2 est por trs dopoder do moderno computador. A beleza do sistema binrio a de qualquer nmero poder ser repre-sentado usando apenas os smbolos 0 e 1. A desvantagem que as representaes numricas podem sermuito extensas. Como podemos representar 394 em notao binria? Desta vez, estamos a trabalharcom potncias de 2 e, depois de algum trabalho, podemos obter a expresso completa:

394=1256+1128+064+032+016+18+04+12+01

de modo que, anotando os zeros e uns, 394 em notao binrio 110001010.

Como as representaes binrias podem ser muito extensas, na computao aparecem fre-quentemente outras bases. So o sistema octal (base 8) e o sistema hexadecimal (base 16). Nosistema octal s precisamos dos smbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, enquanto o hexadecimal usa 16smbolos. No caso do sistema de base 16, usamos normalmente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,E e F. Assim como 10 corresponde letra A, o nmero 394 representado em hexadecimal por18A. to simples como o ABC, que, tenhamos em mente, equivale a 2784 em notao decimal!

1 2 310 10 101000

= + + 572

5 7 2

11sistemas de numerao

a ideia resumidaEscrevendo nmeros

Potncias de 2 Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 25629 512210 1024

A pessoa que fica com duas das trs partes fica com uma fracoequivalente a 23. A pessoa com menos sorte fica com 13. Juntando

os dois pedaos do bolo, obtemos de novo o bolo inteiro, ou emfraces 13 + 23 = 1, em que 1 representa o bolo inteiro.

Aqui est outro exemplo. Decerto j viram nos saldos umacamisa anunciada a quatro quintos do preo original, ou 45.Tambm se pode dizer que a camisa tem um desconto de um

quinto do preo original, que se escrever 15, e vimos que15+ 45 =1 , em que 1 representa o preo original.

Uma fraco tem sempre a forma de um nmero inteiro sobre um nmerointeiro. O nmero de baixo o denominador, porque nos diz quantas partesconstituem o todo. O nmero de cima o numerador, porque nos dizquantas unidades de fraco existem. Assim, uma fraco na notao habitual sempre do tipo

numerador

denominador

No caso do bolo, a fraco que quereremos comer 23, em que o denominador 3 e o numerador 2. Os 23 so compostos por duas fraces unitrias de 13.

Tambm podemos ter fraces como 145 (chamadas fraces imprprias), emque o numerador maior do que o denominador. Dividindo 14 por 5, obtemos2 e sobram 4, o que pode ser representado como o nmero misto 245, queinclui o nmero inteiro 2 e a fraco prpria 45. Alguns escritores maisantigos escrevem 452. As fraces so habitualmente representadas por forma a que o numerador e o denominador (o nmero de cima e o nmero de baixo)

Uma fraco um nmero literalmente fraccionado. Sequisermos partir um nmero inteiro, a forma correcta de ofazer recorrer s fraces. Tomemos o exemplo tradicional,o clebre bolo, e partamo-lo em trs partes.

03 Fraces

Cronologia

12 fraces

1 _3

2_3

1800 a.C.Utilizao dasfraces em culturasbabilnicas

1650 a.C.Os egpcios utilizamfraces unitrias

no tenham factores comuns. Por exemplo, o numerador e o denominador de810 tm em comum o factor 2, porque 8 = 2 4 e 10 = 2 5. Se escrevermos afraco 810 = 2x42x5 podemos cortar os 2 e ento 810 = 45, uma forma mais simplescom o mesmo valor. Os matemticos referem-se s fraces como nmerosracionais por elas serem razes de dois nmeros. Os nmeros racionais so osnmeros que os gregos conseguiam medir.

Somar e multiplicar O mais curioso acerca das fraces que elas somais fceis de multiplicar do que somar. A multiplicao de nmeros inteiros to difcil, que tiveram de ser inventadas formas engenhosas de a efectuar.Porm, com as fraces, a adio que mais difcil e exige algum raciocnio.

Comecemos por multiplicar fraces. Se comprar uma camisa por quatroquintos do preo original de 30, pagar o preo de saldo de 24. Os 30 sodivididos em cinco partes de 6 cada e quatro dessas cinco partes 4 6 = 24,o montante que pagar pela camisa.

Posteriormente, o gerente da loja percebe que as camisas no se vendem nadabem e baixa ainda mais o preo, anunciando-as a 12 do preo de saldo. Se for loja, pode agora comprar a camisa por 12, ou 12 45 30, o que igual a 12.Para multiplicar duas fraces uma pela outra basta multiplicar osdenominadores um pelo outro e os numeradores um pelo outro:

Se tivesse feito as redues de uma s vez, o gerente teria anunciado as camisasa quatro dcimos do preo original de 30, ou 410 30, o que 12.

Somar duas fraces um problema diferente. A soma 13 + 23 fcil porque osdenominadores so os mesmos. Limitamo-nos a somar os dois numeradorespara obter 33, ou 1. Mas como poderemos somar dois teros de um bolo comquatro quintos desse bolo? Como que solucionamos 23 + 45? Se ao menospudssemos dizer que 23 + 45 = 2 +43 + 5 = 68... mas, infelizmente, no podemos.

A soma de fraces exige outra abordagem. Para somar 23 e 45 temos primeiro deexpressar cada uma como fraces com o mesmo denominador. Em primeirolugar, multiplicamos 23 em cima e em baixo por 5 para obtermos 1015. Depois,multiplicamos 45 em cima e em baixo por 3 para obtermos 1215. Agora, ambas as

13fraces

1 4 1 4 42 5 2 5 10

= =

100Os chineses inventamum sistema para calcularcom fraces

1202Leonardo de Pisa (Fibonacci)populariza a notao debarra nas fraces

1585Simon Stevin estabeleceuma teoria sobre fracesdecimais

1700A barra (/) de usocomum em fraces(como em a b )

102 4 12 223 5 15 15 15+ = + =

fraces tm 15 como denominador comum e, para as somar, basta somar os novos numeradoresum com o outro:

Converso para decimais No mundo da cincia e na maioria das aplicaes damatemtica, os nmeros decimais so a forma preferida de representar fraces. A fraco 45 o mesmo que a fraco 810, que tem 10 como denominador e que podemos escrever como odecimal 0,8.

As fraces que tm 5 ou 10 como denominador so fceis de converter. Mas como podemosconverter, por exemplo, 78, para a forma decimal? Tudo o que precisamos de saber que, quandodividimos um nmero inteiro por outro, ou ele cabe exactamente no outro, ou cabe um certonmero de vezes e sobra qualquer coisa, a que se chama resto.

Usando 78 como exemplo, a receita para converter fraces em decimais a seguinte:

Tentemos dividir 7 por 8. O 8 no cabe, ou pode dizer-se que cabe 0 vezes com o resto 7.Registamos isto escrevendo zero seguido de vrgula: 0,

Agora dividimos 70 por 8 (o resto do passo anterior multiplicado por 10). Cabe 8 vezes,dado que 8 8 = 64, portanto a resposta 8 com resto 6 (70 64). Acrescentamos isto aoprimeiro passo e temos 0,8.

Agora dividimos 60 por 8 (o resto do passo anterior multiplicado por 10). Como 7 8 = 56,a resposta 7 com resto 4. Registamos e at agora temos 0,87.

Dividimos 40 por 8 (o resto do passo anterior multiplicado por 10). A resposta exactamente5 com resto zero. Quando obtemos o resto 0, a receita est completa. Acabmos. A respostafinal 0,875.

Se aplicarmos esta receita de converso a outras fraces, possvel que nunca acabemos!Podemos continuar para sempre. Se tentarmos converter 23 em nmeros decimais, por exemplo,verificamos que em cada patamar o resultado de dividir 20 por 3 6 com resto 2. Ento, temosde dividir novamente 20 por 3, e nunca chegaremos ao ponto em que o resto zero. Neste caso,temos um nmero decimal infinito 0,666666... Escreve-se 0,6 para indicar decimal peridico.

H muitas fraces que continuam infinitamente, como esta. A fraco 57 interessante. Nestecaso, obtemos 57=0,714285714285714285... e constatamos que a sequncia 714285 continua arepetir-se. Se qualquer fraco resultar numa sequncia de repetio, nunca poderemos escrev--la como um nmero decimal finito e usaremos a notao com os pontos. No caso de 57, escrevemos 57 = 7 1 4 2 8 5 .

14 fraces

5 1 1 1 17 3 4 8 168= + + +

5 1 1 17 2 7 14= + +

Fraces egpcias Os egpcios do segundo milnio a.C. basearam o seusistema de fraces em hierglifos que designavam por fraces unitrias asfraces cujo numerador 1. Sabemo-lo pelo papiro de Rhind, conservado noMuseu Britnico. Era um sistema de tal forma complicado, que s aquelestreinados no seu uso podiam conhecer os seus segredos ocultos e fazer osclculos correctos.

Os egpcios usavam algumas fraces privilegiadas, tais como 23, mas todas asoutras eram expressas em termos de fraces unitrias como 12, 13, 111 ou 1168.Eram as fraces bsicas, a partir das quais todas as outras podiam serexpressas. Por exemplo 57 no uma fraco unitria, mas pode ser escrita emtermos de fraces unitrias:

em que tm de ser usadas fraces unitrias diferentes. Uma caracterstica dosistema poder existir mais de uma maneira de escrever a fraco e algumasfraces serem mais curtas do que outras. Por exemplo,

A expanso egpcia deve ter tido uma utilizao prtica limitada, mas osistema tem inspirado geraes de matemticos puros e originou muitosproblemas desafiantes, alguns dos quais ainda se encontram sem soluo. A anlise completa dos mtodos para encontrar a menor expanso egpcia,por exemplo, aguarda um intrpido explorador matemtico.

15fraces

A ideia resumidaUm nmero sobre outro

1_2

1_3

2_3

1_4

3_4

Fraces egpcias

Contando os pontos, vemos que o primeiro quadrado esquerda constitudo por um ponto. Para os pitagricos, o 1 era o nmero maisimportante, impregnado de uma existncia espiritual. Comeamos bem,portanto. Continuando a contar os pontos dos quadrados seguintes, obtemos os

nmeros quadrados 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, etc. So oschamados quadrados perfeitos. Podemos calcular umnmero quadrado adicionando os pontos da forma

exterior ao quadrado anterior, por exemplo 9 + 7 = 16. Ospitagricos no se detiveram nos quadrados. Consideraramoutras formas, tais como tringulos, pentgonos (a figuracom cinco lados) e outras formas poligonais (muitos lados).

Os nmeros triangulares lembram uma pilha de pedras. Contando os seuspontos, obtemos 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, etc. Se quisermos calcular um

nmero triangular, podemos tomar o anteriore somar-lhe o nmero de pontos que ter naltima fila. Por exemplo, qual o nmerotriangular que vem a seguir a 10? Ter 5pontos na ltima fila, logo limitamo-nos asomar 10 + 5 = 15.

Se gosta de fazer quadrados com pontos, os seus padresmentais so semelhantes aos dos pitagricos. Esta actividadeera valorizada pelo grupo que seguia o lder Pitgoras, umhomem mais recordado pelo teorema a que deu nome. Nasceuna Grcia, na ilha de Samos, e a sua sociedade religiosa secretaprosperou no Sul de Itlia. Os pitagricos acreditavam que amatemtica era a chave para a natureza do universo.

04 Quadrados e razes quadradas

Cronologia

16 quadrados e razes quadradas

1 4 9 16

1 3 6 10

1750 a.C.Os babilnios elaboramtbuas de razes quadradas

525 a.C.Os pitagricos estudamquadrados de nmeros dis-tribudos geometricamente

cerca de 300 a.C.Publicao da teoria dos nmerosirracionais de Eudoxo no Livro Vdos Elementos de Euclides

Se compararmos os nmeros quadrados e triangulares, veremos que o nmero36 aparece em ambas as listas. Mas existe uma ligao ainda maissurpreendente. Se tomarmos nmeros triangulares sucessivos e os somarmos, oque que obtemos? Tentemos pr isto numa tabela.

verdade! Quando somamos dois nmeros triangulares sucessivos, obtemosum nmero quadrado. Tambm podemos verific-lo sem palavras.Consideremos um quadrado constitudo por 4 linhas de 4 pontos com umadiagonal desenhada de uma ponta a outra. Os pontos acima da linha (verfigura) formam um nmero triangular e abaixo da linha est o nmerotriangular seguinte. Esta observao vlida para um quadrado de qualquerdimenso. Destes diagramas de pontos medio de reas vai um pequenopasso. A rea do quadrado cujo lado 4 4 4 = 42 = 16 unidades quadradas.Genericamente, se o lado x, ento a rea ser x2.

O quadrado x2 a base para a forma parablica. Esta a forma das antenas desatlite (parablicas) ou dos espelhos reflectores dos faris de um carro. Umaparbola tem um ponto focal. Numa antena parablica, um sensor colocado nofoco recebe os sinais reflectidos quando os raios paralelos vindos do espaochegam antena curva e ressaltam em direco ao ponto focal.

Nos faris de um carro, a lmpada no foco envia raios paralelos de luz. Nodesporto, os lanadores de peso, dardo ou martelo reconhecem todos aparbola como a forma do trajecto curvo que qualquer objecto segue antes decair no cho.

Razes quadradas Se virarmos a questo ao contrrio e pretendermosdeterminar o comprimento do lado do quadrado que tem rea 16, a resposta simplesmente 4. A raiz quadrada de 16 4 e escreve-se 16 = 4. O smbolo para razes quadradas utilizado desde o sculo XVI. Todos os nmerosquadrados tm nmeros inteiros como razes quadradas. Por exemplo, 1 = 1,4 = 2, 9 = 3, 16 = 4, 25 = 5, etc. No entanto, existem muitas lacunas aolongo da linha de nmeros entre estes quadrados perfeitos. Estes so 2, 3, 5, 6,7, 8, 10, 11, etc.

17quadrados e razes quadradas

Soma de dois nmerostriangulares sucessivos

1 + 3 4

3 + 6 9

6 + 10 16

10 + 15 25

15 + 21 36

21 + 28 49

28 + 36 64

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '2 3 5 6 7 8 10 11 12 13 14

1 4 9

630Brahmagupta indica mtodos paracalcular razes quadradas

1550Introduo do smbolo pararazes quadradas

1872Richard Dedekind estabelece umateoria dos nmeros irracionais

Existe uma alternativa brilhante de notao para razes quadradas. Tal como x2

significa um nmero ao quadrado, podemos escrever a raiz quadrada de umnmero como x1/2, o que se encaixa com a multiplicao de nmeros pela somados expoentes. Esta a base dos logaritmos, inventada depois de termosaprendido, cerca do sculo XVII, que o problema da multiplicao podia servertido num problema de adio. Mas isso outra histria. Estes nmeros tmtodos razes quadradas, mas elas no so iguais a nmeros inteiros.Praticamente todas as calculadoras tm um boto e, utilizando-o, verificamospor exemplo que 7 = 2,645751311.

Atentemos a 2. O nmero 2 tem um significado especial para os pitagricos,porque o primeiro nmero par (os gregos consideravam os nmeros pares comofemininos e os mpares como masculinos e os nmeros pequenos comopossuidores de personalidades distintas). Se determinarmos 2 com a calculadora,obteremos 1,414213562, presumindo que a calculadora mostra este nmero decasas decimais. esta a raiz quadrada de 2? Para verificar, calculamos 1,414213562 1,414213562. O resultado 1,999999999. No exactamente 2porque 1,414213562 apenas uma aproximao da raiz quadrada de 2.

Tudo o que conseguimos obter nunca seno uma aproximao! Aaproximao decimal de 2 com milhes de casas decimais continuar a seruma aproximao. O nmero 2 importante em matemtica, talvez no toclebre como o ou e (ver pginas 20-27) mas suficientemente importantepara ter o seu prprio nome muitas vezes chamado o nmero pitagrico.

As razes quadradas so fraces? Perguntar se as razes qua-dradas so fraces liga-se teoria da medida, como era conhecida pelos

antigos gregos. Suponhamos que temos a linha AB, cujocomprimento pretendemos medir, e uma unidadeindivisvel CD para efectuar a medio. Para fazer a

medio, colocamos a unidade CD sequencialmente emAB. Se colocarmos a unidade m vezes e o fim da ltima unidade coincide exac-tamente com o fim de AB (no ponto B), o comprimento de AB ser sim-plesmente m. Seno, podemos colocar uma cpia de AB junto do original econtinuar a medir com a unidade (ver figura). Os gregos acreditavam que, a

determinada altura, usando n cpias de AB e m unidades, a unidade iriacoincidir com o ponto final do m-simo AB. O comprimento de AB seria

ento m/n. Por exemplo, se forem colocadas lado a lado 3 cpias de ABe tivermos 29 unidades que cabem exactamente nelas,

o comprimento de AB ser 29/3.

18 quadrados e razes quadradas

A

A B

A

C D

B

1 unidade

1 unidadeC B

' ' '' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

Os gregos tambm pensaram na forma de medir o comprimento do lado AB (a hipotenusa) de umtringulo em que os outros dois lados tivessem uma unidade de comprimento. Pelo teorema dePitgoras, o comprimento de AB pode ser representado simbolicamente como 2, portanto aquesto se 2 = m/n.

Com a calculadora, j verificmos que a expresso decimal de 2 potencialmente infinita, e estefacto (a expresso decimal no ter fim) talvez indique que 2 uma fraco. Mas no h fim para odecimal 0,3333333... e ele representa a fraco 13. Precisamos de argumentos mais convincentes.

Ser 2 uma fraco? A pergunta leva-nos a uma das mais famosas provas da matemtica. o tipo de prova de que os gregos mais gostavam: o mtodo de reductio ad absurdum. Em primeirolugar, presume-se que 2 no pode ser uma fraco e uma no-fraco ao mesmo tempo. a lei dalgica chamada terceiro excludo. No h terceira hiptese nesta lgica. Os gregos foram,portanto, engenhosos. Presumiram que 2 era uma fraco e, por pura lgica em cada passo,obtiveram uma contradio, um absurdo. Vamos faz-lo. Suponhamos que

Tambm podemos presumir um pouco mais. Podemos presumir que m e n no tm factores comuns.At aqui, fcil, porque se tivessem podiam ser cancelados antes de comearmos. (Por exemplo, a fraco 2135 equivalente fraco 35 cortando o factor comum 7.) Podemos elevar ao quadradoambos os termos de 2 = mn para obter 2 = m2n2 e ento m2 = 2n2. Aqui fazemos a primeiraobservao: dado que m2 2 vezes qualquer coisa, tem de ser um nmero par. A seguir verifica-seque o prprio m no pode ser mpar (porque o quadrado de um nmero mpar um nmero mpar),logo m tambm um nmero par.

At agora, a lgica impecvel. Como m par, deve ser 2 vezes qualquer coisa, o que podemosrepresentar por m = 2k. Elevando ambos os termos ao quadrado, temos m2 = 4k2. A combinao distocom o facto m2 = 2n2 significa que 2n2 = 4k2 e, cortando o 2, conclumos que n2 = 2k2. Mas j tnhamoschegado aqui! E, como anteriormente, conclumos que n2 par e o prprio n par. Deduzimos ento,por pura lgica, que m e n so ambos pares e tm o factor 2 em comum. Isto contraditrio com aassuno de que m e n no tm factores comuns. A concluso ento que 2 no pode ser uma fraco.

Tambm se pode provar que a sequncia de nmeros n (excepto quando n um quadrado perfeito)no pode ser uma fraco. Os nmeros que no podem ser expressos por fraces chamam-se nmerosirracionais, pelo que acabmos de observar que existe um nmero infinito de nmeros irracionais.

19quadrados e razes quadradas

2mn

=

a ideia resumidaO caminho para os nmeros

irracionais

O , ou pi, o comprimento do exterior de um crculo (a circunferncia)dividido pelo comprimento atravs do centro (dimetro). O seu valor, a razodestes dois comprimentos, no depende do tamanho do crculo. Quer o crculoseja grande ou pequeno, o uma constante matemtica. O crculo o seuambiente natural, mas o aparece por todo o lado na matemtica, e em lugaresque no esto sequer remotamente relacionados com o crculo.

Arquimedes de Siracusa A relao entre a circunferncia eo dimetro de um crculo um assunto que h muito suscita interesse.Cerca de 2000 a.C., os babilnios observaram que a circunfernciaera aproximadamente 3 vezes mais comprida que o seu dimetro.

Foi Arquimedes de Siracusa quem iniciou realmente a teoriamatemtica do , por volta de 225 a.C. Arquimedes um dos grandes. Os matemticos gostam de classificar os seus colegas de trabalho ecolocaram-no ao nvel de Carl Friedrich Gauss (o Prncipe dosMatemticos) e Sir Isaac Newton. Quaisquer que sejam os mritosdesta opinio, claro que Arquimedes figuraria em qualquer quadro dehonra. No entanto, dificilmente seria uma figura numa torre de marfim alm de contribuir para a astronomia, a matemtica e a fsica,desenhou armas de guerra, como catapultas, alavancas e espelhos deincendiar, todas utilizadas para repelir os romanos. Arquimedes tinha,no obstante, algo de professor distrado, como demonstra o salto quedeu do banho e a sua corrida todo nu pela rua abaixo gritando

Eureca!, quando descobriu a lei da flutuabilidade em hidrosttica. A histriano registou a forma como comemorou o seu trabalho sobre o .

O o nmero mais famoso da matemtica. Esqueam todasas outras constantes; o estar sempre no topo da lista. Sehouvesse um scar para os nmeros, o ganharia o prmiotodos os anos.

05

2000 a.C.Os babilnios observam queo aproximadamente 3

20

Cronologia

Para um crculo de dimetro d e raio r :

circunferncia = d = 2rrea = r 2

Para uma esfera de dimetro d e raio r:

rea da superfcie = d 2 = 4 r 2

volume = 4

r 33

250 a.C.Arquimedes faz um clculomuito razovel do em 22/7

1 1 1 1 11

4 3 5 7 9 11

= + + +

Se o definido como a razo entre a circunferncia e o seu dimetro,o que que isso tem a ver com a rea do crculo? uma deduo que area de um crculo de raio r seja r2, embora provavelmente seja maisconhecida do que a definio de circunferncia/dimetro do . notvel que o sirva tanto para as reas como para as circunferncias.

Como que isto pode ser mostrado? O crculo pode ser dividido numnmero de tringulos estreitos e iguais com base de comprimento b cujaaltura aproximadamente o raio r. Formam um polgono dentro do crculoque se aproxima da rea do crculo. Comecemos com 1000 tringulos.Todo o processo um exerccio de aproximaes. Podemos juntar cada paradjacente desses tringulos para formar um rectngulo (aproximadamente)com rea b r, logo a rea total do polgono ser 500 b r. Como 500 b cerca de metade da circunferncia, o seu comprimento r e a rea do polgono r r = r2. Quanto mais tringulos considerarmos, mais prxima ser aaproximao e no limite concluiremos que a rea do crculo r2.

Arquimedes estimou que o valor de estaria compreendido entre 22371 e 22070.Assim, a Arquimedes que devemos a familiar aproximao 22/7 para o valordo . A honra da designao do smbolo como do pouco conhecidoWilliam Jones, um matemtico gals que se tornou vice-presidente da RoyalSociety of London no sculo XVIII. Foi o matemtico e fsico Leonhard Euler quepopularizou o no contexto das relaes do crculo.

O valor exacto do Nunca podemos saber o valor exacto de visto queele um nmero irracional, facto provado por Lambert em 1768. A expansodecimal infinita, sem nenhum padro previsvel. As primeiras 20 casas decimaisso 3,14159265358979323846... O valor de 10 usado pelos matemticoschineses 3,16227766016837933199 e foi adoptado por volta do ano 500 porBrahmagupta. Na verdade, esse valor pouco melhor do que o valor bruto de 3 edifere na segunda casa decimal de .

O pode ser calculado a partir de uma srie de nmeros. Uma muito conhecida

. . .

1882Lindemann prova queo transcendental

1706William Jonesintroduz o smbolo

1761Lambert prova queo irracional

21

2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 11

6 2 3 4 5 6

= + + + + + +

embora seja penosamente lenta na sua convergncia para o e bastante ineficaz para o clculo.Euler encontrou uma srie notvel que converge para :

. . .

O autodidacta genial Srinivasa Ramanujan imaginou algumas frmulas espectaculares deaproximao ao . Uma envolve apenas a raiz quadrada de 2:

. . .

Os matemticos so fascinados pelo . Enquanto Lambert provou que ele no podia ser umafraco, em 1882 o matemtico alemo von Lindemann resolveu o mais fascinante problemaassociado ao . Mostrou que o transcendente, isto , o no pode ser soluo de uma equaoalgbrica (uma equao que s envolve potncias de x). Ao resolver este enigma secular,Lindemann concluiu o problema da quadratura do crculo. Dado um crculo, o desafio eraconstruir um quadrado com a mesma rea usando apenas um compasso e uma rgua. Lindemannprovou de forma conclusiva que isso no pode ser feito. Actualmente, a expresso quadratura docrculo sinnimo de uma impossibilidade.

O clculo efectivo do continuou a bom ritmo. Em 1853, William Shanks reivindicou o valorcorrecto com 607 casas (na realidade correcto apenas at 527.a). Hoje em dia, a pesquisa paracalcular o com mais e mais casas decimais ganhou mpeto atravs dos computadores modernos.Em 1949, o foi calculado com 2037 casas decimais, o que demorou 70 horas a concluir numcomputador ENIAC. Em 2002, o foi calculado com umas impressionantes 1 241 100 000 000casas decimais, mas o nmero uma cauda sempre crescente. Se estivssemos no equador ecomessemos a escrever a expanso do , os clculos de Shank ocupariam 14 metros, mas o comprimento de 2002 levar-nos-ia a dar 62 voltas volta do mundo!

Muitas questes sobre o tm sido postas e respondidas. Os algarismos do so aleatrios? possvel encontrar uma sequncia predeterminada na expanso? Por exemplo, possvelencontrar a sequncia 0123456789 na expanso? Em 1950, isto parecia irresolvel. Ningum tinhaencontrado tal sequncia nos algarismos conhecidos do . L. E. J. Brouwer, um influentematemtico holands, declarou que a questo era desprovida de sentido, dado estar convencido deque no podia ser verificada. Na realidade, os dgitos foram descobertos em 1997 comeando naposio 17 387 594 880, ou, usando a metfora do equador, a cerca de 3000 milhas de uma voltacompleta ao mundo. Encontraramos dez seis seguidos antes de completarmos 600 milhas, masteramos de esperar at que uma volta estivesse completa e continuar mais 3600 milhas paraencontrar dez setes seguidos.

A importncia do De que adianta saber tantas casas decimais do ? Afinal, a maioria dosclculos necessita apenas de algumas; provavelmente, no so necessrias mais de dez numaaplicao prtica, e a aproximao de Arquimedes de 22/7 em geral suficiente. Mas os longos

22

clculos no so feitos apenas por prazer. So utilizados para testar os limitesdos computadores, para alm de serem um fascnio para o grupo dematemticos que se intitulou de amigos do pi.

Talvez o mais estranho episdio na histria do tenha sido uma tentativa daAssembleia Legislativa do Indiana (nos Estados Unidos da Amrica) de fazeraprovar uma lei que fixasse o seu valor. Foi no final do sculo XIX, quando omdico E. J. Goodwin introduziu a lei para tornar o digervel. O problemaprtico da proposta foi a incapacidade do proponente de fixar o valor quequeria. Felizmente para o estado do Indiana, a insensatez de legislar sobre o foi percebida antes de a lei ser ratificada. Desde esse dia, os polticos tmdeixado o em sossego.

23

a ideia resumidaAchar o

O poema de Poe comea

The raven E. A. Poe

Once upon a midnight dreary, while Ipondered weak and weary,

Over many a quaint and curious volume offorgotten lore,

O na poesia

A variante de Keith para o comeaPoe, E. Near A Raven

Midnights so dreary, tired and weary.

Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore.

Se realmente nos quisermos lembrar dos primeiros valores da expansodo , a poesia pode ajudar. Seguindo a tradio de ensinar matemticapela utilizao de mnemnicas, existe uma variao brilhante de MichaelKeith do poema O Corvo, de Edgar Allan Poe.

O nmero de letras de cada palavra sucessiva na verso de Keith fornece os primeiros 740dgitos do .

O e um nmero cujo valor aproximado 2,71828. Porque que toespecial? No um nmero escolhido ao acaso, mas sim uma das grandesconstantes matemticas. Surgiu no incio do sculo XVII quando muitosmatemticos dedicavam os seus esforos clarificao da ideia de logaritmo, a brilhante inveno que permitia que a multiplicao de nmeros grandesfosse convertida em adio.

Mas, na realidade, a histria comea com um negcio do sculo XVII. JacobBernoulli foi um dos clebres Bernoullis suos, uma famlia que se dedicou adar ao mundo uma dinastia de matemticos. Jacob comeou a trabalhar oproblema dos juros compostos em 1683.

Dinheiro, dinheiro, dinheiro Consideremos um perodo de um ano,uma taxa de juro exorbitante de 100%, e um depsito inicial (chamadomontante principal) de 1. Claro que raramente obtemos 100% pelo nossodinheiro, mas esse nmero adapta-se ao nosso objectivo e o conceito pode seradaptado a taxas realistas, como 6% ou 7%. Da mesma forma, se tivermosmontantes principais maiores, como 10 000, podemos multiplicar tudo por10 000.

No final do ano, taxa de 100%, teremos o montante principal e o montantedos juros ganhos, que neste caso tambm so de 1. Assim, teremos aprincipesca soma de 2. Suponhamos agora que a taxa de juro reduzida ametade, para 50%, mas aplicada a cada meio ano separadamente.

O e um beb, quando comparado com o seu nico rival .Enquanto o mais solene e tem um grande passado queremonta aos babilnios, o e no to sobrecarregado pelaHistria. A constante e jovem e vibrante e encontra-sesempre presente quando se analisa o crescimento. Quer setrate de populaes, dinheiro ou outras quantidades fsicas, o crescimento envolve invariavelmente e.

06 e

1618John Napier descobre umaconstante e relacionada comlogaritmos

24 e

1727Euler utiliza a notao e em relao com ateoria dos logaritmos; chamada por vezesa constante de Euler.

Cronologia

No primeiro meio ano, ganhamos um juro de 50 cntimos e o nosso montanteprincipal cresceu para 1,50 no final do primeiro meio ano. Assim, no final doano teremos este montante e 75 cntimos de juros. O nosso 1 cresceu para 2,25no final do ano! Compondo (ou capitalizando) os juros em cada meio ano, fizemosmais 25 cntimos. Pode no parecer muito mas, se tivermos 10 000 para investir,ganharamos 2250 em vez de 2000. A composio a cada meio ano resulta emmais 250.

Mas se a composio a cada meio ano significa que ganhamos poupanas, o bancotambm ganha em qualquer quantia que estivermos a dever, portanto temos de sercuidadosos! Suponhamos agora que o ano est dividido em quatro quartos e soaplicados 25% em cada um. Fazendo clculos semelhantes, constatamos que onosso 1 cresceu para 2,44141. O nosso dinheiro est a crescer e, com os nossos 10 000, parece vantajoso dividir o ano e aplicar percentagens menores de taxasde juro a perodos de tempo menores.

Ser que o nosso dinheiro crescer desmesuradamente e nos farmilionrios? Se continuarmos a dividir o ano em unidades cada vezmenores, como se v na tabela, este processo de limitao mostraque o montante parece estabilizar numa constante. Claro que o nicoperodo de composio realista o dia ( o que os bancos fazem). A mensagem matemtica de que este limite, a que os matemticoschamam e, o montante que 1 euro cresce se a composio severificar continuamente. uma coisa boa ou m? Sabemos a resposta:se estivermos a poupar, boa; se devermos dinheiro, m.

O valor exacto de e Tal como o , e um nmero irracional,pelo que, como com o , no podemos saber o seu valor exacto. Com20 casas decimais, o valor 2,71828182845904523536...

Usando apenas fraces, a melhor aproximao do valor de e 87/32, se onumerador e o denominador da fraco estiverem limitados a dois dgitos.Curiosamente, se o numerador e o denominador estiverem limitados a trs dgitos,a melhor fraco 878/323. Esta segunda fraco um tipo de extensopalindrmica da primeira os matemticos tm o hbito de oferecer estaspequenas surpresas. Uma expanso em srie de e muito conhecida dada por

. . .

1873Hermite prova que e umnmero transcendental

2007Determinao do e at ordem de 1011 dgitos

1748Euler determina 23 algarismos do e; -lheatribudo crdito pela descoberta da famosafrmula ei + 1 = 0 na mesma altura

25e

ano 2,00000meio ano 2,25000quarto 2,44141ms 2,61304semana 2,69260dia 2,71457hora 2,71813minuto 2,71828segundo 2,71828

+

+

+

++=

12345

1

1234

1

123

1

12

1

1

11e

Composioa cada

Montanteacumulado

1 1 1 1 11 ...

1! 2! 3! 4! 5!e = + + + + + +

Aqui, conveniente a notao de factorial com um ponto de exclamao. Como nesta, por exemplo5! = 5 4 3 2 1. Usando esta notao, e toma um aspecto mais familiar

Desta forma, o nmero e parece ter indubitavelmente um padro. Nas suas propriedadesmatemticas, e parece mais simtrico do que o .

Se quiserem uma forma de lembrar os primeiros algarismos do e, tentem o seguinte: We attempt amnemonic to remember a strategy to memorize this count..., em que o nmero de letras de cadapalavra d o algarismo seguinte de e. Para quem tiver conhecimentos de Histria norte-americana, oe 2,7 Andrew Jackson Andrew Jackson, dado que Andrew Jackson, o stimo presidente dosEstados Unidos, foi eleito em 1828. H muitas estratgias semelhantes para recordar o valor de e,mas o seu interesse reside mais na sua singularidade do que em qualquer vantagem matemtica.

Foi Leonhard Euler que, em 1737, provou que o e irracional (no uma fraco). Em 1840, omatemtico francs Joseph Liouville mostrou que e no soluo de nenhuma equao quadrtica e,em 1873, num trabalho pioneiro, o seu compatriota Charles Hermite provou que o e transcendental (no pode ser soluo de nenhuma equao algbrica). O importante aqui omtodo usado por Hermite. Nove anos mais tarde, Ferdinand von Lindemann adaptou o mtodo deHermitage para provar que o era transcendental, um problema muito mais complicado.

Resolveu-se um problema, mas outros apareceram. Ser que e elevado a e transcendental? umaexpresso muito bizarra, mas como poderia ser de outra forma? No entanto, isto ainda no foiprovado com rigor e, pelos estritos padres da matemtica, deve continuar a ser classificado comoconjectura. Os matemticos aproximaram-se de uma prova e mostraram que impossvel que tanto ecomo e elevado a e2 sejam transcendentais. Quente, mas no o suficiente.

As relaes entre e e so fascinantes. Os valores de e e de e so prximos, mas fcil provar (semchegar a calcular os seus valores) que e >e. Se fizeram batota e consultaram a calculadora, veroque os valores aproximados so e = 23,14069 e e = 22,45916.

O nmero e conhecido como constante de Gelfond (do matemtico russo Aleksandr Gelfond) eprovou-se que era transcendental. Sabemos muito menos coisas sobre o e; se irracional, ainda noo conseguimos provar.

O e importante? principalmente no crescimento que o e nos interessa, por exemplo, nocrescimento econmico e no crescimento populacional. Tambm relacionadas com e esto as curvasque dependem de dele e que so usadas para modelar a decomposio radioactiva.

O nmero e tambm ocorre em problemas no relacionados com crescimento. Pierre Montmortinvestigou um problema de probabilidade no sculo XVIII quem tem sido estudado intensivamente

26 e

desde ento. Na verso mais simples, um grupo de pessoas vo almoar juntas,aps o que cada uma leva um chapu de forma aleatria. Qual aprobabilidade de ningum levar o prprio chapu?

Pode provar-se que a probabilidade 1e (cerca de 37%), donde a probabilidadede pelo menos uma pessoa levar o seu prprio chapu 1 1e (cerca de 63%).Esta aplicao na teoria das probabilidades uma de muitas. A distribuio dePoisson, que trata de acontecimentos raros, outra. Estes foram os exemplosiniciais, mas de forma alguma isolados: James Stirling conseguiu uma notvelaproximao ao valor factorial n! envolvendo o e (e o ); em estatstica, a conhecida curva de Bell da distribuio normal envolve o e; e em engenhariaa curva de suspenso dos cabos de uma ponte depende do e. A lista infindvel.

Uma identidade avassaladora O prmio de frmula mais notvelde toda a matemtica envolve o e. Quando pensamos nosnmeros mais famosos da matemtica, pensamos em 0, 1, ,e e o nmero imaginrio i = 1. Como pode ser que

e i + 1 = 0

mesmo! Este resultado atribudo a Euler.

Talvez a real importncia do e esteja no enigma que cativou geraes de matemticos. O e , com efeito,inevitvel. exactamente esta a razo pela qual um autorcomo E. V. Wright se deu ao trabalho de escrever um romance sem a letra e provavelmente tambm tinha um pseudnimo , mas o seu Gadsby apenas e to-s isso. difcil imaginar um matemtico comear a escrever ummanual sem o nmero e, ou ser sequer capaz de o fazer.

27e

a ideia resumidaO mais natural dos nmeros

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Distribuio normal

Esta a ideia tradicional de infinito, nmeros continuamente sucessivos. Os matemticos usam o infinito de vrias formas, mas h que ter cuidado aotratar o infinito como um nmero normal. No .

Contagem O matemtico alemo Georg Cantor deu-nos um conceito deinfinito completamente diferente. Criou sozinho uma teoria que temimpulsionado imenso a matemtica moderna. A ideia da qual depende a teoriade Cantor tem a ver com a noo primitiva de contagem, mais simples do queaquela que usamos no dia-a-dia.

Imaginemos um campons que no soubesse contar com nmeros. Comosaberia ele quantas ovelhas tinha? Simples depois de as deixar sair pelamanh, saberia dizer se todas tinham voltado tarde emparelhando cadaovelha com uma pedra de uma pilha no porto do seu campo. Se faltasse umaovelha, sobraria uma pedra. Mesmo sem usar nmeros, o campons pensa deforma assaz matemtica. Utiliza o conceito da correspondncia um para umentre ovelhas e pedras. Esta noo primitiva tem algumas consequnciassurpreendentes.

A teoria de Cantor implica conjuntos (um conjunto muito simplesmenteuma coleco de objectos). Por exemplo, N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...} significao conjunto dos nmeros inteiros (positivos). Uma vez que temos um conjunto,podemos falar de subconjuntos, que so conjuntos mais pequenos dentro doconjunto maior. Os subconjuntos mais bvios relacionados com o nossoconjunto N so os subconjuntos O = {1, 3, 5, 7, ...} e E = {2, 4, 6, 8, ...}, que so

Qual o tamanho do infinito? A resposta mais simples queo (o smbolo de infinito) muito grande. Pensemos numalinha recta com nmeros cada vez maiores que se estendeat ao infinito. Para cada grande nmero obtido, digamos101000, existe sempre um maior, como 101000 + 1.

07 Infinito

1639Girard Desargues introduzo conceito de infinito nageometria

Cronologia

28 infinito

350Aristteles rejeita umverdadeiro infinito

1655 atribudo a John Wallis o crditode ter sido o primeiro a usar osmbolo do n, , para infinito

1874Cantor faz um tratamento rigorosoda noo de infinito, especificandodiferentes ordens de infinito

anos 1960Abraham Robison inventa umaaritmtica no-padro baseadana noo de infinitesimal

os conjuntos dos mpares e dos pares, respectivamente. Qual ser a nossa resposta pergunta existeo mesmo nmero de nmeros pares e mpares?? Embora no nos seja possvel contar os elementosde cada conjunto e comparar os resultados, a resposta ser seguramente sim. Em que se baseia estaconfiana? Provavelmente qualquer coisa como metade dos inteiros so pares e metade sompares. Cantor concordaria com a resposta, mas daria uma razo diferente. Diria que, para cadapar, temos um emparelhado par. A noo de que os conjuntos O e E tm o mesmo nmero deelementos baseia-se no emparelhamento de cada par com um mpar:

Se fizermos uma nova pergunta, existir o mesmo nmero de nmeros inteiros e nmeros pares?,a resposta ser no, seguindo o raciocnio de que o conjunto N tem o dobro dos nmeros doconjunto dos pares.

No entanto, a noo de mais bastante obscura quando se trata de conjuntos com um nmeroinfinito de elementos. Podemos fazer melhor com o conceito de correspondncia um para um.Surpreendentemente, existe uma correspondncia um para um entre N e o conjunto dosnmeros pares E:

Chegamos surpreendente concluso de que existe o mesmo nmero de nmeros inteiros enmeros pares! Isto exactamente o oposto da noo comum declarada pelos antigos gregos; o incio dos Elementos de Euclides de Alexandria diz que o todo maior do que as partes.

Cardinalidade Chama-se cardinalidade ao nmero de elementos de um conjunto. No casodas ovelhas, a cardinalidade registada pelas contas do campons de 42. A cardinalidade doconjunto {a, b, c, d, e} 5 e escreve-se card{a, b, c, d, e} = 5. Logo, a cardinalidade a medida dotamanho do conjunto. Para a cardinalidade do conjunto dos nmeros inteiros N, e qualquer

29infinito

O: 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21...

E: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22...

N: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11...

E: 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22...

conjunto com uma correspondncia um para um com N, Cantor usou osmbolo 0 ( ou aleph, do alfabeto hebraico; o smbolo 0 l-se alefe zero),Assim, em linguagem matemtica, podemos escrever card(N) = card(O) =card(E) = 0.

A qualquer conjunto que possa ser posto em correspondncia um para umcom N chama-se um infinito enumervel, o que significa que podemosescrever os seus elementos numa lista. Por exemplo, a lista dos nmeros mpares simplesmente 1, 3, 5, 7, 9, ... e sabemos qual o primeiro elemento, qual osegundo, etc.

Sero as fraces um infinito contvel? O conjunto das fracesQ um conjunto maior do que N, no sentido em que se pode pensar em Ncomo um subconjunto de Q. Podemos escrever todos os elementos de Q numalista? Ser possvel inventar uma lista tal, que todas as fraces (incluindo asnegativas) se encontram nela? A ideia de que um conjunto to grande comoesse possa ser posto em correspondncia um para um com N pareceimpossvel. No entanto, pode ser feito.

Para o fazer, comecemos a pensar em termos bidimensionais. Para comear,escrevemos uma linha com todos os nmeros inteiros positivos e negativosalternadamente. Abaixo, escrevemos outra linha com todas as fraces comdenominador 2, omitindo aquelas que aparecem na linha de cima (como 62 =3). Abaixo desta, escrevemos uma linha das fraces cujo denominador 3,omitindo de novo aquelas que j tenham sido escritas. Continua-se desta forma,

obviamente nunca acabando, mas sabendo exactamente onde cadafraco aparece neste diagrama. Por exemplo, 20967 est na linha67.a, cerca de 200 posies direita de 167.

Exibindo as todas as fraces desta forma, pelo menos em teoria,podemos construir uma lista unidimensional. Se comearmos coma linha de cima e comearmos a andar para a direita, nuncachegaremos segunda linha. Contudo, escolhendo um tortuosocaminho em ziguezague, podemos ter xito. Comeando com 1, a prometida lista comea: 1, 1, , 13, , 2, 2, e vamos seguindoas setas. Cada fraco, positiva ou negativa, est algures nesta lista

linear e reciprocamente a sua posio d o seu emparelhamento na listabidimensional de fraces. Logo, podemos concluir que o conjunto de fracesQ um infinito enumervel e escrever card(Q) = 0.

Listar os nmeros reais Embora o conjunto de fraces sejaresponsvel por muitos elementos na recta dos nmeros reais, tambm h

30 infinito

1 2 7 16

3 6 15 25

5 8 14 17 24

4 9 13 18 2

10 12 19 22

11 20 21

1 -1 2 -2 3 -3 4 . . .1_ -1_ 3_ -3_ 5_ -5_ 7_ . . .2 2 2 2 2 2 2

1_ -1_ 2_ -_2 4_ -4_ 5_ . . .3 3 3 3 3 3 3

1_ -1_ 3_ -3_ 5_ -5_ 7_ . . .4 4 4 4 4 4 4

1_ -1_ 2_ -_2 3_ -3_ 4_ . . .5 5 5 5 5 5 5. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .

nmeros reais como 2, e e que no so fraces. So nmeros irracionais preenchem os hiatospara nos fornecer a recta dos nmeros reais R.

Quando os hiatos so preenchidos, o conjunto R referido como continuum. Assim, comopoderemos fazer uma lista dos nmeros reais? Num gesto de pura genialidade, Cantor mostrou quemesmo uma tentativa de colocar os nmeros reais entre 0 e 1 numa lista estava condenada aofracasso. A afirmao surgiu indubitavelmente como um choque para quem se dedicava elaborao da lista, que podia de facto perguntar como que um conjunto de nmeros no podiaser escrito um a seguir ao outro.

Suponhamos que no acreditamos em Cantor. Sabemos que cada nmero entre 0 e 1 pode serexpresso de forma decimal, por exemplo, 12 = 0,500000000000000000. . . e 1 = 0,31830988618379067153. . . e teremos de dizer a Cantor aqui est a nossa lista de todos osnmeros entre 0 e 1, a que chamaremos r1, r2, r3, r4, r5, . . . Se no a conseguirmos elaborar,Cantor est correcto.

Suponhamos que Cantor olha para a lista e marca a negrito os nmeros na diagonal:

Cantor perguntaria: Pois, mas onde est o nmero x = x1x2x3x4x5. . . em que x1 diferente de a1, x2 diferente de b2, x3 diferente de c3 continuando ao longo da diagonal? O x dele difere de todosos nmeros da lista numa casa decimal e portanto no pode estar l. Cantor tem razo.

De facto, no possvel uma lista para o conjunto dos nmeros reais R, que assim um conjuntoinfinito maior, com uma ordem de infinito maior, do que o infinito do conjunto de fraces Q.O que era grande tornou-se ainda maior.

31infinito

a ideia resumidaUma chuva de infinitos

5 2 32 e

3 2 1 0 1 2 3 4

r1: 0,a1a2a3a4a5. . .

r2: 0,b1b2b3b4b5. . .

r3: 0,c1c2c3c4c5. . .

r4: 0,d1d2d3d4d5. . .

Pensa-se que o rtulo imaginrio se deve ao filsofo e matemtico RenDescartes, em reconhecimento de algumas curiosas solues de equaes queno eram decididamente nmeros habituais. Os nmeros imaginrios existem?Era esta pergunta que os filsofos faziam quando se concentravam na palavraimaginrio. Para os matemticos, a existncia de nmeros imaginrios no um problema. Eles fazem tanto parte do dia-a-dia como o nmero 5 ou o . Osnmeros imaginrios podem no ajudar nas idas s compras, mas perguntem aqualquer projectista de aeronaves ou engenheiro electrotcnico e constataroque eles so de vital importncia. E, somando um nmero real com umimaginrio, obtemos o que se chama um nmero complexo, que parecefilosoficamente menos incmodo. A teoria dos nmeros complexos gira voltada raiz quadrada de menos 1. Ento qual o nmero que, elevado ao quadrado,d 1?

Se tomarmos qualquer nmero diferente de zero e o multiplicarmos por siprprio (elev-lo ao quadrado), obteremos sempre um nmero positivo. Isto plausvel quando se elevam ao quadrado nmeros positivos, mas ser verdadequando se elevam ao quadrado nmeros negativos? Podemos usar 1 1como teste. Mesmo que nos tivssemos esquecido da regra bsica de quemenos com menos d mais, devemos lembrar-nos de que a resposta ou 1ou +1. Se pensarmos que 1 1 d 1, podemos dividir ambos por 1 econclumos que 1 = 1, o que absurdo. Logo, temos de concluir que 1 1 = 1, que

Podemos certamente imaginar nmeros. s vezes imaginoque tenho um milho de euros na minha conta bancria, e noh dvida de que esse um nmero imaginrio. Mas autilizao matemtica do imaginrio nada tem a ver comestes devaneios.

08 Nmeros imaginrios

Cronologia

32 nmeros imaginrios

1572Rafael Bombelli faz clculos comnmeros imaginrios

1777Euler o primeiro a utilizaro smbolo i para repre-sentar a raiz quadrada de 1

positivo. O mesmo raciocnio pode ser feito para outros nmerosnegativos alm do 1, e assim, quando qualquer nmero real elevado ao quadrado, o resultado nunca pode ser negativo.

Isto causou um impasse no incio dos nmeros complexos, nosculo XVI. Quando foi ultrapassado, a resposta libertou osmatemticos dos grilhes dos nmeros habituais e abriu um vastocampo de investigao inimaginvel at ento. O desenvolvimentodos nmeros complexos a completao dos nmeros reais paraum sistema naturalmente mais perfeito.

A raiz quadrada de 1 J vimos que, limitando-nos recta dos nmeros reais,

no h raiz quadrada de 1, dado que nenhum quadrado de umnmero pode ser negativo. Se continuarmos a pensar nos nmeros apenas na recta dos nmerosreais, podemos desistir, continuar a cham-los imaginrios, ir tomar ch com os filsofos, e no termais nada que fazer com eles. Ou podemos dar o passo arrojado de aceitar 1 como uma novaentidade, que representamos por i.

Com este nico acto mental, os nmeros imaginrios existem. O que so, no sabemos, masacreditamos na sua existncia. Pelo menos, sabemos que i2 = 1. Logo, no nosso novo sistema denmeros temos todos os nossos antigos amigos, como os nmeros reais 1, 2, 3, 4, , e, 2 e 3, bemcomo alguns novos, envolvendo i como 1 + 2i, 3 + i, 2 + 3i, 1 + i2, 3 + 2i, e +i, etc.

Este importante passo em matemtica aconteceu no incio do sculo XIX, quando nos libertmos darecta numrica unidimensional num novo e invulgar plano bidimensional.

Somar e multiplicar Agora que temos nmeros complexos na cabea, nmeros com aforma a + bi, o que que podemos fazer com eles? Tal como com os nmeros reais, eles podem sersomados e multiplicados entre si. Somamo-los somando as suas partes. Assim, 2 + 3i somado com 8 + 4i d (2 + 8) + (3 + 4)i com o resultado 10 + 7i.

A multiplicao quase to simples quanto isso. Se quisermos multiplicar 2 + 3i por 8 + 4i,multiplicamos primeiro cada par de smbolos um pelo outro

1806A representao de Argand utilizando um diagrama conduzao nome diagrama de Argand

1837William R. Hamilton trata osnmeros complexos como paresordenados de nmeros reais

1811Carl Friedrich Gausstrabalha com funes devarivel complexa

33nmeros imaginrios

3 2 1 0 1 2 3 4

Construir 1

At os engenheiros, umaespcie muito prtica,encontraram utilizao para osnmeros complexos. QuandoMichael Faraday descobriu acorrente alternada na dcadade 1830, os nmerosimaginrios ganharam umarealidade fsica. Neste caso, aletra j usada para representar1, em vez de i porque isignifica corrente elctrica.

(2 + 3i) (8 + 4i) = (2 8) + (2 4i) + (3i 8) + (3i 4i)

e somamos os termos resultantes, 16, 8i, 24i e 12i2 (neste ltimo termo,substitumos i2 por 1). O resultado desta multiplicao ento (16 12) + (8i + 24i), que o nmero complexo 4 + 32i.

Com os nmeros complexos, todas as regras aritmticas so satisfeitas. A subtraco e a diviso so sempre possveis (excepto para o nmerocomplexo 0 + 0i, mas tambm no possvel para 0 nos nmeros reais). De facto, os nmeros complexos gozam de todas as propriedades dos nmerosreais excepto uma. No podemos dividi-los em positivos e negativos comofazemos com os nmeros reais.

O diagrama de Argand A bidimensionalidade dos nmeroscomplexos claramente vista se os representarmos num diagrama.

Os nmeros complexos 3 + i e 1 + 2i podem ser representadosno chamado diagrama de Argand. Esta forma de representarnmeros complexos recebeu o nome do matemtico suo JeanRobert Argand, embora outros tenham tido ideias semelhantes

mais ou menos ao mesmo tempo.

Mesmo os nmeros complexos tm um par oficialmente chamadoconjugado. O par de 1 + 2i 1 2i, determinado por troca de

sinal do segundo componente. O par de 1 2i, pela mesma razo, 1 + 2i, logo um verdadeiro emparelhamento.

Somando e multiplicando pares uns pelos outros, obtemos sempre umnmero real. No caso de somarmos 1 + 2i e 1 2i, obtemos 2 e,multiplicando, obtemos 5. Esta multiplicao mais interessante. A resposta 5 o quadrado do comprimento do nmero complexo 1 + 2i e igual ao comprimento do seu par. Posto de outra forma,podemos definir o comprimento de um nmero complexo como:

comprimento de w = (w par de w)

Verificando-o para 3 + i, constatamos que o comprimento de (3 + i) = (3 + i 3 i) = (9 + 1), e assim o comprimento de (3 + i) = 10

O fim do misticismo dos nmeros complexos deve-se em grande parte a SirWilliam Rowan Hamilton, famoso matemtico irlands do sculo XIX.Hamilton reconheceu que i no realmente necessrio para a teoria e quefunciona apenas como marcador e pode ser deitado fora. Hamilton considerou

34 nmeros imaginrios

-3+i

-3

2 2

01

1

1+2i

1-2i (par)

5

5

2

1

1

1+2i

+1 x

y

5

6

um nmero complexo como um par ordenado de nmeros reais (a, b)exibindo a sua qualidade bidimensional e no invocando o mstico 1. Livredo i, a adio torna-se

(2, 3) + (8, 4) = (10, 7)

e, um pouco menos bvia, a multiplicao

(2, 3) (8, 4) = (4, 32)

A perfeio do sistema de nmeros complexos torna-se claraquando pensamos nas chamadas n razes da unidade (para osmatemticos, unidade significa um). So as solues daequao zn = 1. Tomemos z6 = 1 como exemplo. Existem duas razes z = 1 e z = 1 na recta dos nmeros reais (porque 16 = 1 e (1)6 = 1), masonde esto as outras, se devem ser seguramente seis? Como as duas razesreais, todas as seis razes tm uma unidade de comprimento e encontram-senuma circunferncia centrada na origem e com uma unidade de raio.

H mais. Se olharmos para w = 12+ 32 i que a raiz no primeiro quadrante, asrazes sucessivas (movendo-se no sentido anti-horrio) so w2, w3, w4, w5, w6 = 1 eencontram-se nos vrtices de um hexgono regular. De uma forma geral, as nrazes da unidade estaro na circunferncia e sero os cantos ou vrtices deuma forma ou polgono regular de n lados.

Estender os nmeros complexos Logo que tiveram os nmeroscomplexos, os matemticos procuraram instintivamente generalizaes. Osnmeros complexos so bidimensionais, mas o que que o 2 tem de especial?Durante anos, Hamilton procurou construir nmeros tridimensionaistrabalhando numa forma de os somar e multiplicar, mas s teve xito quandopassou para quatro dimenses. Pouco depois, estes nmeros com 4 dimensesforam generalizados para 8 dimenses (os chamados nmeros de Cayley).Muitos se questionaram sobre nmeros com 16 dimenses como uma possvelcontinuao da histria, mas, 50 anos depois do feito memorvel de Hamilton,provou-se que eles eram uma impossibilidade.

35nmeros imaginrios

a ideia resumidaNmeros no reais com

utilizaes reais

-1

3

2

4

Bem, 4 = 2 2, por isso podemos decomp-lo em componentes primrios.Podemos decompor qualquer outro nmero? Na realidade, aqui esto maisalguns: 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, 9 = 3 3, 10 = 2 5, 12 = 2 2 3. Estesnmeros so compostos porque so construdos a partir dos muito bsicos 2, 3,5, 7, ... Os nmeros no decomponveis so os nmeros 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...Estes so os nmeros primos, ou simplesmente primos. Um primo um nmeroque s divisvel por 1 e por si prprio. Poderamos pensar que o prprio 1 um nmero primo. De acordo com a definio, devia ser, e na realidade muitoseminentes matemticos do passado trataram o 1 como primo, mas osmatemticos de hoje iniciam os primos com o 2. Isso permite que os teoremassejam enunciados de forma elegante. Para ns, o nmero 2 tambm oprimeiro primo.

Podemos sublinhar os primos entre os primeiros nmeros naturais: 1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, . . . O estudo dosnmeros primos conduz-nos base de tudo. Os nmeros primos soimportantes porque so os tomos da matemtica. Tal como os elementosbsicos da qumica de que todos os outros compostos qumicos derivam, osnmeros primos podem construir os compostos matemticos.

O resultado matemtico que consolida tudo isto tem o grandioso nome deteorema da decomposio em nmeros primos. Segundo ele, todos osnmeros inteiros maiores do que 1 podem ser representados pelo produto denmeros primos de uma nica forma. Vimos que 12 = 2 2 3 e no h outramaneira de faz-lo com primos. Isto muitas vezes representado em notao de

A matemtica uma matria de tal maneira extensa,atravessando todas as avenidas da iniciativa humana, que porvezes pode parecer esmagadora. Ocasionalmente, temos devoltar s bases. Isto significa invariavelmente voltar aosnmeros naturais, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... Ser quepodemos ser mais bsicos do que isto?

09 Primos

Cronologia

36 primos

300 a.C.Os Elementos de Euclides provamque h infinitos nmeros primos

230 a.C.Eratstenes de Cirene descreve ummtodo de distinguir os nmeros primosentre os nmeros inteiros

potncias: 12 = 22 3. Outro exemplo: 6 545 448 pode escrever-se 23 35 7 13 37.

Descobrir os primos Infelizmenteno h nenhuma frmula para identificar osnmeros primos, e parece no existir umpadro na sua colocao entre os nmerosinteiros. Um dos primeiros mtodos para osdeterminar foi desenvolvido por Eratstenesde Cirene, um jovem contemporneo deArquimedes que passou grande parte da suavida em Atenas. A sua determinaoprecisa do comprimento do equador foi muito admirada no seu tempo. Hoje recordado pelo seucrivo para encontrar nmeros primos. Eratstenes imaginou os nmeros naturais estendidos diantede si. Sublinhou 2 e eliminou todos os mltiplos de 2. Avanou para o 3, sublinhou-o e eliminoutodos os mltiplos de 3. Prosseguindo desta forma, eliminou todos os nmeros compostos. Os nmeros sublinhados que ficaram para trs no crivo so os primos.

Podemos ento predizer os primos, mas como que decidimos se um dado nmero ou no primo?Que dizer sobre 19 071 ou 19 073? Excepto para os primos 2 e 5, um nmero primo tem de terminarem 1, 3, 7 ou 9, mas esse requisito no suficiente para que um nmero seja primo. difcil saberquando que um nmero grande terminado em 1, 3, 7 ou 9 primo ou no sem se tentarem osfactores possveis. A propsito, 19 071 = 32 13 163 no primo, mas 19 073 .

Outro desafio tem sido descobrir padres na distribuio dos primos. Vejamos quantos nmerosprimos existem em cada intervalo de 100 entre 1 e 1000.

Em 1792, apenas com 15 anos, Carl Friedrich Gauss sugeriu a frmula P (n) para estimar o nmerode nmeros primos menores do que um dado nmero n (actualmente conhecida como teorema dosnmeros primos). Para n = 1000, a frmula d um valor aproximado de 172. O verdadeiro nmerode nmeros primos, 168, menor do que esta estimativa. Presumiu-se sempre que esta era a situaopara qualquer valor de n, mas frequente que os primos nos surpreendam e j foi mostrado que, para

1896O teorema dos nmeros primos sobrea distribuio dos primos provado

1966Chen Jingrun quase confirmaa conjectura de Goldbach

1742Goldbach conjectura que cadanmero par (maior que 2) asoma de dois primos

37primos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99

Intervalo 1100 101200 201300 301400 401500 501600 601700 701800 801900 9011000 11000

Nmero 25 21 16 16 17 14 16 14 15 14 168de primos

n = 10371 (um nmero enorme representado com um 1 seguido de 371 zeros), o real nmero deprimos excede a estimativa. De facto, nalgumas zonas dos nmeros naturais, a diferena entre aestimativa e o nmero real oscila entre defeito e excesso.

Quantos? Existem infinitos nmeros primos. Euclides declarou nos seus Elementos (Livro 9,Proposio 20) que os nmeros primos so mais do que qualquer nmero grande atribudo aosnmeros primos. A magnfica prova de Euclides desenvolve-se assim:

Suponha-se que P o maior primo, e considere-se o nmero N = (2 3 5 ... P) + 1. N ou primo ou no . Se N primo, obtivemos um primo maior do que P, o que contradiz asuposio. Se N no primo, ento tem de ser divisvel por algum primo, digamos p, que um de2, 3, 5, ..., P. Isto significa que p divide N (2 3 5 ... P). Mas este nmero igual a 1,logo p divide 1. Isto no possvel, visto que todos os primos so maiores do que 1. Ento,qualquer que seja a natureza de N, chegamos a uma contradio. A nossa suposio inicial deexistir um primo P maior que todos os outros falsa. Concluso: O nmero de primos no temlimite.

O facto de os primos se estenderem at ao infinito no impediu que se procurasse arduamente omaior primo conhecido. Um que obteve recentemente o recorde o enorme primo de Mersenne224036583 1, que aproximadamente 107235332 ou um nmero comeando com 1 seguido de 7 235 732 zeros.

O desconhecido O problema dos primos gmeos e a famosa conjectura de Goldbach soreas proeminentes e desconhecidas relativas aos primos.

Os nmeros primos gmeos so pares de primos consecutivos separados apenas por um nmero par.Os primos gmeos entre 1 e 100 so 3, 5; 5, 7; 11, 13; 17, 19; 29, 31; 41, 43; 59, 61; 71, 73. Doponto de vista numrico, sabido que existem 27 412 679 gmeos menores do que 1010. Istosignifica que nmeros pares com gmeos, como 12 (tendo os gmeos 11 e 13) constituem apenas0,274% dos nmeros do intervalo. Existe um nmero infinito de primos gmeos? Seria curioso queno, mas ningum at agora conseguiu prov-lo.

Christian Goldbach conjecturou que:

Todo o nmero par maior do que 2 a soma de dois nmeros primos.

Por exemplo, 42 um nmero par e podemos represent-lo como 5 + 37. O facto de tambmpodermos represent-lo por 11 + 31, 13 + 29 ou 19 + 23 no importante s precisamos de umaforma. A conjectura verdadeira para um enorme intervalo de nmeros, mas nunca foi provada nageneralidade. No entanto, tm sido feitos progressos, e h quem pressinta que a prova no estlonge. O matemtico chins Chen Jingrun deu um grande passo. O seu teorema enuncia quequalquer nmero par suficientemente grande pode ser representado como a soma de dois primos ou

38 primos

como a soma de um primo com umsemi-primo (um nmero que oproduto de dois primos).

O grande terico da teoria dosnmeros Pierre de Fermat provou queos primos da forma 4k + 1 podem serexpressos como a soma de doisquadrados de uma e uma s maneira(i.e., 17 = 12 + 42), enquanto os daforma 4k + 3 (como 19) no podem detodo ser representados como a soma dedois quadrados. Joseph Lagrangetambm demonstrou um famosoteorema matemtico sobre quadrados:todo o nmero inteiro positivo a somade quatro quadrados. Assim, porexemplo, 19 = 12 + 12 + 12 + 42. Tm sidoexploradas potncias mais elevadas eescrito livros cheios de teoremas, masmuitos problemas mantm-se.

Descrevemos os nmeros primos comotomos da matemtica. Mas poderemos perguntar-nos se, aocontrrio dos fsicos, que foram almdos tomos para unidades maisfundamentais, como os quarks, amatemtica estagnou. Se noslimitarmos aos nmeros naturais, o 5 um nmero primo e sempre o ser. Mas Gauss fez uma descoberta de longo alcance, que para alguns primos, comoo 5, 5 = (1 2i) (1 + 2i), em que i = 1 do sistema de nmeros imaginrios.Como produto de dois nmeros inteiros gaussianos, o 5 e nmeros como eleno so to indecomponveis como se supunha.

39primos

a ideia resumidaOs tomos da matemtica

Uma das reas mais desafiantes da teoria dosnmeros o problema de Waring. Em 1770 EdwardWaring, professor em Cambridge, colocou problemasrespeitantes representao de que nmeros inteiroscomo somas de potncias. Neste cenrio, a artemgica da numerologia mistura-se com a cinciaclnica da matemtica sob a forma dos nmerosprimos, somas de quadrados e somas de cubos. Em numerologia, pensemos no culto sem rival donmero 666, o nmero da besta no livro bblico doApocalipse, que tem algumas propriedadesinesperadas. a soma dos quadrados dos primeiros 7primos:

666 = 22 + 32 + 52 + 72 + 112 + 132 + 172

Os numerlogos tambm so entusisticos a apontarque a soma palindrmica de cubos e, se isso no forsuficiente, a pedra angular 63 no centro a formaabreviada de 6 x 6 x 6:

666 = 13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 53 + 43 + 33 + 23 + 13

O nmero 666 verdadeiramente o nmero donumerlogo.

O nmero do numerlogo

O filsofo grego Espeusipo, que recebeu a direco da Academia do seu tioPlato, declarou que os pitagricos acreditavam que o nmero 10 tinha ascredenciais certas para a perfeio. Porqu? Porque o nmero de primos entre 1 e 10 (nomeadamente 2, 3, 5, 7) igualava o dos no-primos (4, 6, 8, 9) e esteera o menor nmero com esta propriedade. H quem tenha uma ideia singularda perfeio.

Parece que na realidade os pitagricos tinham um conceito mais rico denmero perfeito. As propriedades matemticas de um nmero perfeito foramdelineadas por Euclides nos Elementos e estudadas em profundidade porNicmaco 400 anos mais tarde, conduzindo aos nmeros amigos e mesmo aosnmeros sociveis. Estas categorias foram definidas em termos das relaesentre eles e os seus divisores. A determinada altura, surgiu-lhes a ideia denmeros superabundantes e deficientes e isso conduziu-os ao seu conceito deperfeio.

Determina-se se um nmero superabundante pelos seus divisores e consoantedesempenha um papel na relao entre multiplicao e adio. Tomemos

Em matemtica, a busca da perfeio tem conduzido os seuspretendentes a lugares distintos. H quadrados perfeitos, e utilizamos a expresso, no no sentido esttico, massobretudo para avisar que existem quadrados imperfeitos.Alguns nmeros tm poucos divisores e outros tm muitos.Mas, como na histria dos trs ursos, em que s uma camaservia na perfeio, h nmeros que so simplesmentecertos. Quando a adio dos divisores de um nmero igualao prprio nmero, diz-se que ele perfeito.

10 Nmeros perfeitos

Cronologia

40 nmeros perfeitos

100Nicmaco de Gerasa d umaclassificao dos nmerosbaseada nos nmeros perfeitos

525 a.C.Os pitagricos so associados aosnmeros perfeitos e aos nmerosabundantes

300 a.C.O Livro 9 dos Elementos deEuclides discute os nmerosperfeitos

o nmero 30 e consideremos os seus divisores, ou seja todos os nmeros em queele se divide exactamente e so menores do que 30. Para um nmero topequeno como 30, podemos constatar que os divisores so 1, 2, 3, 5, 6, 10 e 15.Somando estes divisores, obtemos 42. O nmero 30 superabundante porque asoma dos seus divisores (42) maior que o prprio 30.

Um nmero deficiente se o oposto for verdade se a soma dos seus divisores formenor do que ele prprio. Logo, o nmero 26 deficiente porque os seusdivisores 1, 2 e 13 somam apenas 16, o que menor do que 26. Os nmerosprimos so muito deficientes, porque a soma dos seus divisores sempre apenas 1.

Um nmero que no seja superabundante nem deficiente perfeito. A somados divisores de um nmero perfeito igual ao prprio nmero. O primeironmero perfeito o 6. Os seus divisores so 1, 2 e 3 e, quando os somamos,obtemos 6. Os pitagricos ficaram to encantados com o nmero 6 e com aforma como as suas partes se ajustavam, que lhe chamaram sade, casamentoe beleza. H outra histria relacionada com o 6, contada por Santo Agostinho(354-430). Este acreditava que a perfeio do 6 j existia antes do incio domundo, que teria sido criado em 6 dias porque o nmero era perfeito.

O nmero perfeito seguinte o 28. Os seus divisores so 1, 2, 4, 7 e 14 e,quando os somamos, obtemos 28. Estes dois primeiros nmeros perfeitos,6 e 28, so bastante especiais para o conhecimento dos nmerosperfeitos, dado que pode provar-se que todos os nmeros perfeitos paresterminam em 6 ou em 28. Depois do 28, h que esperar at ao 496 parao nmero perfeito seguinte. fcil verificar que ele realmente a somados seus divisores: 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248. Parao nmero perfeito seguinte, teremos de comear a entrar na estratosferanumrica. Os primeiros cinco j eram conhecidos no sculo XVI, masainda no se sabe se existe um que seja maior que todos, ou se elescontinuam infinitamente. A opinio geral de que, tal como os primos,eles continuam para sempre.

2006O grande projecto de pesquisa de primosencontra o 44.o primo de Mersenne (com quaseum milho de dgitos) e pode ser gerado umnovo nmero perfeito

41nmeros perfeitos

1603Pietro Cataldi determina o sexto e o stimonmeros perfeitos, 216 (217 1) = 8 589 869 056e 217 (218 1) = 137 438 691 328

Classe 1 2 3 4 5 6 7

Nmero perfeito 6 28 496 8128 33 550 336 8 589 869 056 137 438 691 328

Os primeiros nmeros pe