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  ANAIS DO 53º CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO - CBC2011  53CBC 1 “Histórias no Tempo” e “Espectros de Resposta” como Ferramentas de Projeto Estrutural na Análise de Desempenho Vibracional “Time H istory” and “Response Spectra” as Structural Design Tools by Vibration Performance Analysis Sérgio Stolovas (1); Alio Ernesto Kimura (2) (1) Engenheiro Civil, STO Análise e Soluções Estruturais S/C Ltda. (2) Engenheiro Civil, TQS Informática Ltda. Resumo  As tecnologias construtivas modernas, o aprimoramento das normas de projeto e das ferramentas computacionais de análise se conjugam para propiciar a otimização das estruturas em termos de custos e de confiabilidade. Porém, cada vez é mais comum que estruturas que foram projetadas respeitando unicamente as diretivas normativas associadas à resistência e à estabilidade estejam expostas a apresentar desempenhos dinâmicos inadequados que comprometem o conforto dos usuários ou o desempenho de equipamentos sustentados pela estrutura. Softwares de projeto usados pelos engenheiros de estruturas no Brasil possuem ferramentas de análise de resposta dinâmica que permitem julgar objetivamente o desempenho funcional das estruturas de acordo aos níveis de resposta estrutural induzidos pelas excitações atuantes. O modelo estrutural adotado na análise dinâmica é basicamente o mesmo ao adotado para a análise resistente, mas possui atributos e parâmetros suplementares associados à massa solidária e à taxa de amortecimento. Os resultados da análise dinâmica são histórias das respostas estruturais no tempo em locais críticos, que permitem julgar a aceitabilidade funcional e a necessidade de efetuar adequações da estrutura. O presente trabalho tem como objetivo destacar os aspectos fundamentais do procedimento analítico e propor um roteiro básico geral de avaliação da aceitabilidade funcional mediante a utilização das novas ferramentas de projeto disponíveis.  Palavra-Chave: análise de vibrações, história no tempo, espectros de resposta, ferramentas de projeto Abstract Modern construction technologies, improvement of codes and analysis tools improvement propitiate the optimization of structures in terms of cost and reliability. However, it is increasingly common that structures designed only according to resistance and stability requirements present inappropriate dynamic performance that compromise the comfort of users or the performance of equipments supported by the structure. Softwares used by structural engineers in Brazil include analysis tools that enable the verification of structural functional performance according to levels of structural response induced by dynamic acti ons. The structural model used in dynamic analysis is basically the same one that is used to ensure the resistance, but has additional parameters and attributes associated to mass and the damping ratio. The results of the analysis are time histories of the structural response at critical locations which lead to optimization of the structure according to predefined performance targets. This paper aims to highlighting fundamental aspects of the analytical procedure, and propose basic guidelines for analytical performance acceptability verification of vibration levels using available design tools.  Keywords: vibration analysis, time-history, response spectra, design tools

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“Histórias no Tempo” e “Espectros de Resposta” como Ferramentas deProjeto Estrutural na Análise de Desempenho Vibracional

“Time H istory” and “Response Spectra” as Structural Design Tools by VibrationPerformance Analysis

Sérgio Stolovas (1); Alio Ernesto Kimura (2)

(1) Engenheiro Civil, STO Análise e Soluções Estruturais S/C Ltda.(2) Engenheiro Civil, TQS Informática Ltda.

Resumo

 As tecnologias construtivas modernas, o aprimoramento das normas de projeto e das ferramentascomputacionais de análise se conjugam para propiciar a otimização das estruturas em termos de custos ede confiabilidade. Porém, cada vez é mais comum que estruturas que foram projetadas respeitandounicamente as diretivas normativas associadas à resistência e à estabilidade estejam expostas a apresentardesempenhos dinâmicos inadequados que comprometem o conforto dos usuários ou o desempenho deequipamentos sustentados pela estrutura. Softwares de projeto usados pelos engenheiros de estruturas noBrasil possuem ferramentas de análise de resposta dinâmica que permitem julgar objetivamente odesempenho funcional das estruturas de acordo aos níveis de resposta estrutural induzidos pelas

excitações atuantes. O modelo estrutural adotado na análise dinâmica é basicamente o mesmo ao adotadopara a análise resistente, mas possui atributos e parâmetros suplementares associados à massa solidária eà taxa de amortecimento. Os resultados da análise dinâmica são histórias das respostas estruturais notempo em locais críticos, que permitem julgar a aceitabilidade funcional e a necessidade de efetuaradequações da estrutura. O presente trabalho tem como objetivo destacar os aspectos fundamentais doprocedimento analítico e propor um roteiro básico geral de avaliação da aceitabilidade funcional mediante autilização das novas ferramentas de projeto disponíveis.

 Palavra-Chave: análise de vibrações, história no tempo, espectros de resposta, ferramentas de projeto

Abstract

Modern construction technologies, improvement of codes and analysis tools improvement propitiate theoptimization of structures in terms of cost and reliability. However, it is increasingly common that structuresdesigned only according to resistance and stability requirements present inappropriate dynamic performancethat compromise the comfort of users or the performance of equipments supported by the structure.Softwares used by structural engineers in Brazil include analysis tools that enable the verification ofstructural functional performance according to levels of structural response induced by dynamic actions. Thestructural model used in dynamic analysis is basically the same one that is used to ensure the resistance,but has additional parameters and attributes associated to mass and the damping ratio. The results of theanalysis are time histories of the structural response at critical locations which lead to optimization of thestructure according to predefined performance targets. This paper aims to highlighting fundamental aspectsof the analytical procedure, and propose basic guidelines for analytical performance acceptability verificationof vibration levels using available design tools.

 Keywords: vibration analysis, time-history, response spectra, design tools

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1 Introdução

O objetivo essencial dos modelos analíticos empregados na análise estrutural é calcularas “respostas estruturais”  (deslocamentos dos graus de liberdade) induzidos pelas“ações” relevantes (forças generalizadas, estados de carga ou deslocamentos impostos).

 A obtenção das “respostas” em termos de deslocamento também permite inferir asconfigurações de deformação e os estados tensionais cujos valores são os parâmetrosessenciais do dimensionamento dos elementos, na avaliação e no julgamento dodesempenho resistente da estrutura e das partes que a compõem.

Na análise estática avaliamos diversas “ações” para uma mesma estrutura, por ém cadauma delas é assumida como um vetor constante com resposta constante. Além disso, sãoassumidas hipóteses de linearidade (proporcionalidade) entre a ação e a resposta. Daíque os modelos estáticos habitualmente usados nos projetos estruturais ficamcompletamente definidos mediante a “matriz de rigidez” associada ao tensor quecorrelaciona “ações e respostas” e que depende exclusivamente da geometria, daspropriedades mecânicas dos materiais e dos vínculos.

 A análise estática não permite estudar as “respostas” da estrutura quando as “ações” nãopodem ser consideradas como constantes no tempo e somente poderão fornecer uma

boa aproximação quando estas se alteram de modo suficientemente devagar.Geralmente, quando existe mudança das ações no tempo será necessário considerar as“ações” e “as respostas” como funções do tempo que são denominadas “Histórias noTempo”.

 A obtenção da História no Tempo da resposta estrutural na análise dinâmica permitiráobter toda a informação necessária para a avaliação do desempenho resistente daestrutura já que para cada instante o estado de deformação será resultado dosdeslocamentos relativos dos graus de liberdade. Na análise dinâmica, as componentes dahistória da resposta estrutural e especialmente suas derivadas em relação ao tempo(velocidades e acelerações) serão as que permitirão julgar o desempenho funcional daestrutura relacionado ao conforto dos usuários [5]  e à aceitabilidade vibracional dosequipamentos sustentados pela estrutura. É por isso que dependendo do caso devemosobter a “História de Velocidades” ou a “História de acelerações” nas direções e locaiscríticos da avaliação.

 A complexidade na passagem da análise estática à dinâmica não se limita à variação notempo da ação e da resposta. A diferença essencial entre análise estática e dinâmicasurge do fato que a “correspondência entre Histórias no Tempo das ações e dasrespostas” deixa de estar governada unicamente pela “rigidez”. 

Na análise estática, assumimos a estrutura como carente de velocidade. O balançoenergético (na análise estática) se limita a considerar que as “ações” aplicadas em pontosda estrutura que deslocaram em processos “quase – estáticos” já realizaram alguma vez

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aquele trabalho que é agora igual à energia potencial elástica armazenada na estrutura, eque será justamente aquela correspondente à configuração de deformação da “resposta”.Nenhuma parte da estrutura está se movimentando e por isso resulta irrelevanteconsiderar na análise a massa solidária, já que de qualquer maneira o sistema éconsiderado carente de energia cinética.

No balanço energético da análise dinâmica considera-se que os pontos da estrutura estãose movimentando e as “ações” aplicadas em pontos da estrutura que deslocam estãointroduzindo e mudando a energia do sistema. Na medida em que essa energia não fordesperdiçada implicará mudanças significativas de energia potencial elástica e de energia

cinética. Daí é que a passagem do modelo de análise estático ao modelo de análisedinâmico exige a definição de atributos estruturais suplementares: “Massa Solidária” (oumassa que se movimenta com a estrutura) e “Amortecimento” que manifesta a presençade mecanismos de dissipação energética.

Como veremos, a massa poderia ser definida explicitamente, mas será operacionalmentemais eficiente definir ela como associada a “ações auxiliares” do modelo analítico estático.É importante considerar “a massa solidária real” da estrutura  e devemos evitar utilizarpara isso definições de pesos e sobrecargas majorados. Deve ser ressaltado que aconsideração de massa maior que a real não resulta um critério conservador, masdesvirtuará o desempenho do modelo.

Levar em conta (no modelo analítico) o “talento” da estrutura em desperdiçar energia épossivelmente o aspecto da análise que envolve maior incerteza. A estratégia adotadahabitualmente é a de assumir taxas de amortecimento lineares uniformes padronizadaspara cada tipologia estrutural [2]. Esses valores padronizados se baseiam em correlaçõesobtidas da retro-análise de resultados experimentais. Isso justificaria a confiabilidade dosmesmos sempre que se cumpram hipóteses de regularidade que estruturas civis habituaisgeralmente satisfazem.

 A adoção de taxas de amortecimento linear deixa de ser uma boa aproximação quando ocomportamento da estrutura se afasta das Hipóteses de Rayleigh que assumem o tensor

de amortecimento como combinação linear dos tensores de Massa e Rigidez [1]. Ou seja,a presença localizada de dissipadores viscosos ou não lineares, ou a inclusão do solocomo parte do modelo analítico obriga a adotar metodologias mais sofisticadas ouimplementar ajustes paramétricos das taxas de amortecimento modal.

2 Caracterização e Formulação Analítica das Ações Dinâmicas

 As ações cíclicas são de especial interesse na análise dinâmica. De acordo com a Análisede Fourier, toda função cíclica de freqüência f*1 pode ser representada como soma deinfinitas funções harmônicas de freqüências múltiplas da freqüência f*1, denominados“Harmônicos”. As ações cíclicas relevantes na engenharia estrutural podem ser

aproximadas de maneira muito realista mediante um numero limitado de Harmônicos. Ações induzidas por efeitos humanos ou equipamentos mecânicos dificilmente exigem

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levar em conta mais que os 3 primeiros Harmônicos. É assim que as Histórias das açõescíclicas são caracterizadas pela freqüência diretriz (f*1 ) e pelas amplitudes A1 , A2, ... , Ap

dos p primeiros Harmônicos cujas freqüências serão: f*1 , f*2= 2f*1 ,.., f*p= pf*1 .

Mediante esta metodologia qualquer ação cíclica ficará analiticamente definida medianteas amplitudes vetoriais e as freqüências das componentes harmônicas. O acervo deparâmetros para a definição realista das componentes harmônicas das ações dinâmicasrelevantes é enriquecido ininterruptamente [3]. Estes parâmetros são continuamenteajustados como resultado de novas pesquisas tanto na área da interação máquina-estrutura como nas disciplinas que estudam a interação humana-estrutura.

Possivelmente o destaque no avanço do conhecimento nesta área nesta década seja amudança significativa na compreensão da “multidão” como agente de ação dinâmica.  Asnormas técnicas de projeto dificilmente conseguem acompanhar esta evolução e oEngenheiro de Estruturas deve procurar nas publicações de pesquisas confiáveisrecentes a fonte de parâmetros adequados para a análise e avaliação dos projetos [4].

3 Modelo Estático, Modelo Inercial e Modelo Dinâmico

Na avaliação de desempenho dinâmico, trabalha-se com 3 modelos estruturais: I - OModelo Estático (que será idêntico ou uma adequação do usado na Análise Resistente), II

- O Modelo Inercial, cujo objetivo é obter parâmetros modais e III - O Modelo Dinâmico,cujo objetivo é obter as histórias de resposta.

É operacionalmente eficiente na hora de definir as ações atuantes do Modelo Estáticoadicionar ações auxiliares: a) Ações Auxiliares para a definição da Massa Solidária e b) Ações Auxiliares para a definição das Amplitudes dos Harmônicos relevantes. Essasações não devem ser levadas em conta na Análise de Resposta Estática Resistente.

Incorporando a Massa Solidária (usando as Ações Auxiliares), gera-se o Modelo Inercialde Análise Modal com a mesma Matriz de Rigidez que a do Modelo Estático.Habitualmente, o modelo inercial de uma estrutura poderá ter milhares de formas modais

e a obtenção de todas elas levaria vários dias de processamento. O usuário deve entãodeterminar uma quantidade “N” de modos de vibração (1, 2,..., N) a serem calculadospelo programa, que serão ordenados de acordo com os valores de suas respectivasfreqüências (f 1, f 2,..., f N). Ou seja, os N modos calculados serão todos aqueles cujafreqüência natural é menor que f N. Porém, somente depois de rodar o modelo inercialsaberemos o valor de f N. Se desejarmos que f N seja maior, precisaremos incrementar onúmero N de modos solicitados e rodar novamente o Modelo Inercial.

De maneira parecida à aproximação de uma função real por um polinômio mediante oTeorema de Taylor e de maneira similar à aproximação de uma função cíclica pelasuperposição de um número finito de componentes harmônicas, gera-se a partir do

Modelo Inercial o Modelo Dinâmico, que será uma “aproximação estrutural” que leva emconta somente esses N modos. O Modelo Dinâmico adotado na análise de resposta será

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a aproximação na qual assumimos como configurações da resposta somente aquelas quesão combinação linear dos N modos resultantes do processamento do Modelo Inercial.

Uma estrutura submetida a uma ação harmônica (qualquer que seja a freqüência daação) com amplitude proporcional a um modo de vibração gerará somente respostasproporcionais ao modo de vibração. Isso implica que, frente a essas ações a estruturareage como se fosse uma estrutura de 1 grau de liberdade. Quando a ação flutuaharmonicamente numa freqüência próxima à freqüência natural do modo em questão oefeito será de amplificação devido à ressonância, e o efeito será quase-estático quando afreqüência do harmônico é bem menor que a freqüência do modo. Quando o objetivo é

avaliar respostas de velocidade e aceleração, e quando a freqüência natural do modo émaior em mais de 20% que a freqüência da ação do harmônico, a contribuição serádesprezível.

Para a avaliação da resposta no modelo dinâmico, definimos a ação dinâmica mediantecomponentes harmônicas cujas amplitudes vetoriais são de acordo a ações auxiliares pré-definidas, cujas freqüências são as dos harmônicos respectivos e com a fase adequada. Além disso, se outorgam a cada modo a taxa de amortecimento modal assumida deacordo à conformidade com as Hipóteses de Rayleigh: 1 ,2,....,N.

Conceitualmente, o procedimento do programa consiste em descompor cada amplitude

de cada harmônico nas suas projeções em cada um dos N modos. Cada uma das Nprojeções das amplitudes de cada um dos p harmônicos flutuando nas freqüências f*p correspondentes gerarão histórias de respostas modais colineares a cada modo. Dessamaneira, possibilita-se a obtenção separadamente de “Nxp”  histórias de respostas desistemas de 1 grau de liberdade. A superposição dessas “Nxp” histórias será a histária derespostas da estrutura.

No exemplo da Figura 1 pode ser visualizada, para um caso simples, a maneira em que oprograma procede na projeção das ações nos diferentes modos. Veja que a superposiçãodas projeções expressa em (d) será exatamente igual à ação dinâmica (c) já que onúmero de modos analisados é máximo para este caso. Neste modelo, o programa

acharia as respostas por separado em cada projeção modal (como osciladores de 1 graude liberdade) e depois superporia as Histórias de resposta. Se a freqüência da ação formenor que 0,24 Hz seria suficiente levar em conta a projeção no modo 1. Porém, se aexcitação for próxima a 1,0 Hz teríamos que a resposta ficaria governada pelaressonância com o modo 2, e a omissão desse modo implicaria respostas não realistas.

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Figura 1 – Exemplo de Projeção de uma Ação Harmônica nos Modos de Vibração

De acordo com o mencionado, na avaliação de velocidades e acelerações de respostanão será relevante levar em conta as contribuições associadas a projeções em modoscuja freqüência seja maior que 1,2 vezes a máxima das freqüências dos harmônicos.Conclui-se que o número de modos escolhidos deverá ser (pelo menos) tal que a maiorfreqüência modal ultrapasse em (pelo menos) 20% a maior das freqüências dosharmônicos considerados na ação dinâmica.

4 Roteiro da Avaliação Dinâmica - Funcional

 A avaliação analítica de desempenho dinâmico cujos princípios foram expostosanteriormente apresenta dificuldades associadas à definição das ações críticas, à escolhaadequada dos nós do modelo onde a resposta deve ser avaliada, à magnitude deresposta admissível e a outras características que não podem ser generalizadas. Emcada caso, deverá ser consultada a bibliografia técnica especifica, e dependendo dasituação o Engenheiro de Projeto deverá interagir com profissionais da outras disciplinase com assessores especializados.

 Além dessas dificuldades relacionadas às interfases entre disciplinas, existem aspectosparticulares da análise estrutural que podem exigir adequações e às vezes modificaçõesdo modelo. No roteiro esquemático da Figura 2 estão indicados os procedimentos que o

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Engenheiro de Estrutural deverá adotar para que as Histórias de Resposta do modelodinâmico sejam consistentes.

Um dos pontos críticos da análise está relacionado à escolha de suficientes modos devibração para dar cobertura a todos os efeitos de ressonância. Como foi ressaltado, se afreqüência do modo N não for suficientemente grande, deveremos solicitar do modeloinercial uma maior quantidade de modos. Quando a maior freqüência dos harmônicosrelevantes for especialmente alta (por exemplo, quando se avaliam as respostasinduzidas por turbo-máquinas) nos confrontaremos com a necessidade de levar em contamuitos modos de vibração (até centenas de modos).

 Às vezes, devemos processar os modelos (estático, inercial e dinâmico) repetidas vezespara ajustar os parâmetros críticos ou para dar cobertura aos diversos cenáriosvibracionais. A presença de modos de baixa freqüência associados a subestruturasflexíveis pode fazer com que a grande quantidade de modos necessários no modeloinercial inviabilize a análise, a complique, ou demande muito tempo de processamentoinjustificadamente[7]. Nesses casos, devemos julgar a necessidade de incluir esseselementos no modelo. É o caso da análise de estruturas que possuem coberturas levescujos elementos individuais (terças em particular) podem gerar centenas de modos devibração não excitáveis ou cuja interação com os elementos críticos não é relevante. Aestratégia recomendada nesses casos é modificar o modelo estático do qual se deriva o

modelo inercial ou condensar massas.

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Figura 2 – Roteiro Básico da Análise Dinâmica – Funcional.

Uma estratégia muito simples para detectar modos de vibração de baixa freqüênciaassociados a subestruturas flexíveis antes de proceder ao modelo inercial é definirestados auxiliares de peso-próprio no modelo estático orientados nas 3 direçõesprincipais e averiguar se existem partes da estrutura que apresentam deslocamentosdesproporcionais.

Em geral, as freqüências dos harmônicos da ação dinâmica não são valores fixos, masintervalos no domínio das freqüências. Os valores críticos da freqüência da ação nessescasos poderão ser estudados somente após obter os resultados modais. Muitas vezesteremos que avaliar exaustivamente varia freqüências diferentes (as coincidentes comressonâncias com modos de vibração e as que correspondem à freqüência máxima daação). Normalmente, a freqüência da ação para a qual a resposta de acelerações é maiorserá “um pouco” maior que a de ressonância, já que a ressonância implica numdeslocamento extremo e a aceleração extrema se produzirá quando o produto dodeslocamento e o quadrado da freqüência for o máximo.

Quando se trabalha em modelos de estruturas de grande porte é usual a proliferação demodos de vibração em freqüências próximas, que poderão ou não apresentar

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acoplamento de respostas em regiões diferentes da estrutura. Nesses casos, a tarefa deachar amplitudes críticas da ação e freqüências diretrizes críticas será mais complexa.Em muitos casos, podemos optar por simplificar radicalmente o problema estudando asregiões de forma separada, para assim reconhecer mais facilmente os padrões docomportamento dinâmico. Porém, com essa simplificação estaria se perdendo informaçãorelevante em relação ao potencial de indução de respostas vibracionais entre asdiferentes regiões. Nesses casos, ser á de grande utilidade obter “espectros de resposta”nos locais potencialmente críticos da estrutura.

 A opção (existente em alguns dos programas) de gerar espectros de resposta (respostas

no domínio das freqüências de excitação) propicia detectar fácil e diretamente asfreqüência e as respostas críticas, e evita o estudo exaustivo de cada um dos modos ou ageração de uma amostra extensa de respostas para uma partição no domínio dasfreqüências.

 A História de Resposta relevante para a avaliação da resposta às ações cíclicas é aestacionária e a referência para estabelecer a aceitabilidade da resposta não estágeralmente correlacionada com valores pico de resposta, mas com amplitudes rms (rootmean square)  das mesmas. A resposta de cada harmônico será necessariamenteharmônica. Porém, a superposição das respostas dos harmônicos gerará respostasestacionárias cíclicas não harmônicas das quais será difícil reconhecer a amplitude rms, e

cujo valor pico não será parâmetro de julgamento da aceitabilidade funcional [6]. Umprocedimento recomendado é extrair as amplitudes das respostas de cada harmônico ededuzir a amplitude “equivalente” como a “raiz quadrada da soma dos quadrados dasamplitudes das respostas harmônicas”. Dessa maneira, sabemos que o sinal harmônicocom essa amplitude terá a mesma amplitude rms que a superposição. O valor a sercomparado com a amplitude rms admissível será a amplitude obtida multiplicada por0,707.

Certos programas fornecem espectros de resposta de superposições de ações em termosda “raiz quadrada da soma dos quadrados das amplitudes das respostas harmônicas” .Dessa maneira, a leitura do espectro já estaria estabelecendo os parâmetros de

comparação com os limites de aceitabilidade funcional.

5 Exemplo

Considera-se uma ação dinâmica harmônica vertical de amplitude 370 N e freqüência deaté 40 Hz (0 Hz < f < 40 Hz) induzida por um equipamento sustentado pela viga da Figura3.

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Figura 3 – Viga analisada

Do modelo inercial obtemos as freqüências e modos naturais de vibração de acordo àFigura 4:

Figura 4 – Modos de vibração da viga

Se o equipamento estiver posicionado no centro do vão, haverá ressonância com o 1ºmodo de vibração quando a freqüência da excitação for de 7,5 Hz, cuja histórias derespostas de deslocamento podem ser apreciada na Figura 5 e a de acelerações naFigura 6.

Figura 5 – História de deslocamentos no tempo para uma excitação no meio do vão

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Figura 7 – História de deslocamentos no tempo para uma excitação a um quarto do início do vão

Figura 8 – História de acelerações no tempo para uma excitação a um quarto do início do vão

Nas Figuras 9 e 10 são expostos os espectros pelos quais é possível analisar asamplitudes das respostas de acelerações no domínio das freqüências.

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Figura 9 – Espectro de resposta para uma excitação no meio do vão (no ponto de aplicação)

Figura 10 – Espectro de resposta para uma excitação a um quarto do vão (no ponto de aplicação)

 A obtenção dos espectros de resposta acima permite detectar fácil e diretamente asfreqüências e as respostas críticas como extremos relativos dos gráficos, e evita o estudoexaustivo de cada um dos modos ou a geração de uma amostra extensa de respostaspara uma partição no domínio das freqüências. No espectro da Figura 9, não é possíveldetectar o modo 2 já que a excitação é de potência nula nele.

Finalmente, é possível observar que as respostas ressonantes de acelerações no pontode aplicação são iguais para ambos os posicionamentos da excitação. Isso não é

nenhuma coincidência, pois esse resultado pode ser generalizado para qualquer vigasimplesmente apoiada: “a resposta de acelerações ressonante com o 1º harmônico de

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uma excitação aplicada no centro do vão será igual à resposta de acelerações ressonantecom o 2º harmônico de uma excitação da mesma amplitude aplicada a um quarto do vão”.

6 Referências

[1] RAY W, CLOUGH, JOSEPH PENZIEN. Dynamics of Structures 

[2] CHOPRA, A.K.. Dynamics of Structures

[3] BACHMANN, H.. Vibration Problems in Structures

[4] ERIKSSON, P.E.. Vibration of Low-Frequency Floors- Dynamic Forces andResponse Prediction

[5] GRIFFIN, M.J.. Handbook of Human Vibrations

[6] BEZLER, P.. Alternative Modal Combination Methods in Response SpectrumAnalysis

[7] IEZEQUEL, L.. New Advances in Modal Synthesis of Large Structures