5_Controle - Lugar Das Raízes

7/23/2019 5_Controle - Lugar Das Raízes

http://slidepdf.com/reader/full/5controle-lugar-das-raizes 1/73

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PIPI

1Kcr +

e

1s

1

m

s/K2

+

+

s

KK)s(G 2

1c controlador proporcional integral

s

KsK)s(G 21

c

1 pólo na origem e 1 zero



UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

com controlador I

com controlador PI

com controlador P

220/11/2015 Prof. Douglas Bressan Riffel

• Como dimensionar o valor dos ganhos por forma a satisfazer

especificações:

• relativas ao erro em regime estacionário• e à resposta no tempo do sistema em malha fechada?

pólos do sistema em m.f

Qual é a localização dos pólos

da F.T.malha fechada como

função do valor dos ganhos?




Pólos e Zeros daPólos e Zeros daF.T. malha fechadaF.T. malha fechada

K )s(G

)s(H

+

_

)s(R )s(C

)s(D

)s(N)s(G

G

G

)s(D

)s(N

)s(H H

H


)s(D)s(D

)s(N)s(NK1

)s(D

)s(NK

)s(H)s(KG1

)s(KG

)s(R

)s(C

HG

HG

G

G

)s(N)s(KN)s(D)s(D

)s(D)s(KN

)s(R

)s(C

HGHG

HG





)(deólos)(de... s H p sG zeros f mt f da zeros

não variam com K

.... f mt f da pólos • variam com K


• não podem ser conhecidos imediatamente

• O Root Locus é um método gráfico que permite

avaliar a localização dos pólos da F.T.M.F.. sem

fatorizar o polinómio denominador dessa f.t.





CameraMan Presenter Camera System

Faz o seguimento automático de objectos

Motor eposição

dacâmara

posiçãodo

objecto

010)( 2 K s s sa

pólos da f.t.m.f

K255s 2,1

10s ,0s 0K 21


C o n t r o l S y s t e m s E n g i n e e r i n g

N o r m a n N i s e

1K+

_

)s(R )s(C

)10s(s

K2

sensores

Ks10s

K2

)s(R )s(C

21KKK

, 21

25K j5s 25K 2,1

xx

jw

<>10

K=0 K=0K=25




Lugar das Raízes


Resposta no Tempo

http://csd.newcastle.edu.au/index.html




Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das RaízesPropriedades Importantes

Considere o seguinte sistema básico como exemplo:

1. Condições de ângulo e módulo

0)()(1 s H s KG

1)()( s H s KG

1


onde k = 0, ±1, ±2, ±3, ...

A equação (1) estabelece que se um valor de ‘ s’ for substituído na função obtém-se umnúmero complexo, se o ângulo desse número complexo for múltiplo impar de 180o, então este valor de ‘ s’será um pólo do sistema para um valor particular de k .

1)()( s H s KG ,180)12()()( ok s H s KG

Condição de Módulo Condição de ângulo

1)()( s H s KG




Introdução

Equação característica; Condição de módulo e condição de argumento;Regras para construção do root-locus para

Regra 1: Número de ramosRegra 2: Ponto de partida dos ramosRegra 3: Ponto de chegada dos ramosRegra 4: Troços sobre o eixo realRegra 5: Simetria

Regra 6: Pontos de entrada/saída do eixo real

0 K

Lugar das RaízesLugar das Raízes

egra : ngu os e en ra a e e sa a o e xo reaRegra 8: Comportamento assimptóticoRegra 9: Soma dos polos da função de transferência em malha fechadaRegra 10: Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero

Regras para construção do root-locus para

Mapa polos/zeros da malha fechadaZeros da malha fechadaCancelamento polo/zero no root-locus

Root-locus em função de qualquer parâmetro

Projeto apoiado no root-locus

0 K




K sG

s R sY

s H

malha de acção

malha de realimentação

O root-locus consiste na representação gráficados polos de um sistema em malha fechadacomo função de um parâmetro do sistemanormalmente do anho K

RootRoot--LocusLocus

equação característica

função detransferência emmalha aberta

Função de transferência em malha fechada:

s H s KG

s KG

1

Polos da função de transferência em malha fechada: raízes de 01 s H s KG




Exemplo 1Exemplo 1

1

s s

K s H s KG

Equação característica:

00101 2 K s s K s s K

K 11

s s

s R sY

0 K

IntroduçãoIntrodução

Polos do sistema em malha fechada: K s 412

1

2

1

sRe

sIm

K 2 s1 s

2141

100

21

1 2321 j2321 j

0 K 0 K

41 K

1 K

1 K

1

23 j

23 j

<

<

<

>




Equação característica: 01 s H s KG

Os pontos do plano complexo (plano s) que pertencem ao root-locussão aqueles que verificam a condição

1 s H s KG


(permite determinar os pontos do plano complexo que pertencem ao root locus)

(permite calcular para cada ponto do root locus o correspondente valor de ) K

Condição de módulo: 1 s H s KG

Condição de argumento: ,2,1,0,12arg k k s H s KG




Exemplo 1Exemplo 1

,2,1,0,12arg k k s H s KG

Condição de argumento:

1argargargarg s s K s H s KG

0 1

s s

K s H s KG


sRe

sIm

1

23 j

23 j

<

<

<

>21

P

0 K 121argarg k s s

ss+1

1

2

12

1

1arg

arg

s

s

21

Qualquer ponto do root locus satisfaz acondição de argumento




Exemplo 1Exemplo 1

sIm

,2,1,0,12arg k k s H s KG Condição de argumento:

121argarg k s s

0 K


sRe 1

23 j

23 j

<

<

<

>21

1 2 12 21

Se o ponto não pertencer ao root locusa condição de argumento não é satisfeitae, portanto, não pode ser polo dosistema em malha fechada

P

P




Exemplo 1Exemplo 1

1

1

s s

K s H s KG

1 s H s KGCondição de módulo:

1 s s K

Qual o ganho que conduz ao par de K

1

s s

K s H s KG


sRe

sIm

1

23 j

23 j

<

<

<

> 21

0 K po os comp exos con uga os

para o sistema em malha fechada?

22

1 j s

4

174

4

1

22

12

2

1

12

2

1

j j

s s K j s




nm

p s

z s

sa

sb s H sG

n

i

i

m

i

i

;

1

1

polinómios mónicos

Condição de argumento: m

Caso GeralCaso Geral

12argarg

1

1

k

p s

K s H s KGn

i

i

i

i

12argargarg11

k p s z s K n

i

i

m

i

i

contribuiçãodos zeros

contribuiçãodos polos





12argargarg11

k p s z s K n

i

i

m

i

i

nm


argarg11

p s z si

i

i

i

nº ímpar de

k p s z s K n

i

i

m

i

i 2argarg011

nº par de

A condição de argumento permite determinar os pontos doplano que pertencem ao root-locus

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE




nm

p s

z s

sa

sb s H sGn

i

i

m

ii

;

1

1

Condição de módulo:m n


1

1

1

n

i

i

i

i

p s

K s H s KG

m

i

i

i

i

z s

K

1

1

A condição de módulo permite calcular o valor de K

correspondente a cada localização particular das raízes sobreo root-locus





Regra 1 – Número de ramos


01 s H s KG 0. sb K sa

mnmn

sa

sb K s H s KG

,zeros, polos

;

polinómio de grau n

Regras paraRegras para K > 0K > 0

Equação característica dosistema em malha aberta

0 saEquação característica para :0 K

O número de ramos do root-locus é igual ao número de polos da função detransferência em malha aberta.

Regra 2 – Ponto de partida dos ramos

Os ramos do root-locus começam nos polos da função de transferência emmalha aberta.





Regra 3 – Ponto de chegada dos ramos

Os ramos do root-locus terminam ( ) nos zeros da função de K

Condição de módulo: 1 s H s KG

Regras para K>0Regras para K>0

.

K

s H sG 1

01

limlim K

s H sG K K

A função de transferência em malha aberta só se anula quando toma o valor doszeros ou de infinito ( )

smn





Regra 4 – Troços sobre o eixo real

Pertencem ao root-locus os pontos do eixo real que tenham à sua direitaum número ímpar de polos mais zeros.

Condição de argumento: 12argarg11 k p s z s

n

ii

m

ii

sIm 1 Contribuição do par de polos ou zeros


sRe

s

2

complexos conjugados: 0221

3

Contribuição de polos ou zeros reais: à direita do ponto : s 3

à esquerda do ponto : s 04 4

12argarg11

k p s z s p z

n

i

i

m

i

i

- nº zeros reais, z m pn - nº polos reais à direira de s

p z nm é ímpar





sRe

sIm

10

0 K

Exemplo 1Exemplo 1 10

s

K s H s KG


sRe

sIm

5

03


3

s s

s K s H s KG





Regra 5 – Simetria

O root-locus é simétrico em relação ao eixo real.

Regra 6 – Pontos de entrada/saída do eixo real

Um ponto de saída do eixo real ocorre para um máximo relativo do ganho K


no domínio de real. Um ponto de entrada no eixo real ocorre para ummínimo relativo do ganho no domínio de real. s K

s

Exemplo 3Exemplo 3

51 s s

K

s H s KG

sRe

sIm

5 1

Tem de haver um pontode saída do eixo real





Exemplo 3 (cont.)Exemplo 3 (cont.)

51

s s

K s H s KG

K s

K s s s s

K

43

051051

1

Equação característica

sIm


No ponto de saída do eixoreal existe uma raiz realdupla.

O ponto de saída correspondeao maior valor de para oqual as raízes da equaçãocaracterística ainda são reais

K

sRe5 1

4;32,1 K s




CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

sIm

condição necessária mas não suficiente

Os pontos de entrada/saída do eixo real satisfazem a equação:

0

sb

sa

ds

d

ds

dK

sb sa K

sa sb K 01Equação característica:



51

s s

K s H s KG

sRe5 1

3062 s sds

dK

51 s s K

Ganho no ponto de saída: 4513

s s s K

(ponto de saída) 4;32,1 K s





Exemplo 4Exemplo 4

23

s s

s K s H s KG

sRe

sIm

3 2 0


3

2

s

s s K

33;3306603

231221

2

2

s s s s

s

s s s s

ds

dK

Tem de haver umponto de entradano eixo real

Tem de haver umponto de saídado eixo real






23

s s

s K s H s KG

sIm


0

33

sRe

33

3 2

(ponto de entrada) (ponto de saída)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEÊ




a 1a

Quando a solução da equação correspondente a umponto de entrada ou de saída do eixo real tem multiplicidade ,o número de ramos que se cruzam nesse ponto é igual a .

0dsdK

Exemplo 5Exemplo 5 j s j s s s

K s H s KG

112

Regras paraRegras para K > 0K > 0

j s j s s s K 112

01334 23 s s s

ds

dK

1 s (raiz tripla)

31a 4 ramos

Ponto de saída do eixo real:

sRe

sIm

2 1 0

j

j

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPEÊ




Regra 7 – Ângulos de entrada e de saída do eixo real

O ângulo entre dois ramos adjacentes que se aproximam (ou se afastam) domesmo ponto do eixo real é

2

Regras para K > 0Regras para K > 0

O ângulo entre dois ramos adjacentes um chegando e outro partindo domesmo ponto do eixo real é

( - número de ramos que se cruzam num ponto do eixo real)a

a

a

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA




Exemplo 5 (cont.)Exemplo 5 (cont.) j s j s s s

K s H s KG

112

sIm


4a

2

2

a

4

a

sRe2 1 0

j

j






s s s

K s H s KG

1. Troços sobre eixo real

2. Ponto de saída do eixo real

sIm

2


- ponto de saída do eixo real

0,1

0,1

3

3

1;3

3

1

0263

21

2

1

21

2

s

s

s s

s sds

dK

s s s K

3. Ângulo de saída do eixo real (2 ramos)

2

sRe12 0





Regra 8 – Comportamento assimptótico

Quando , ramos tendem para infinito. K mn

As assimptotas (rectas para que tendem os ramos do root-locus que

vão para infinito) cruzam-se num ponto do eixo real (centro


assimptótico)

mn

s H sG s H sGm

i

n

i A

11

dezerosde polos

O ângulo das assimptotas com o eixo real é dado por

1,,1,0;

21

mnk mn

k A

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA R K 0R K 0




Exemplo 6 (cont.)Exemplo 6 (cont.) 21

s s s

K s H s KG

3mn

3

5;;

33

21

k

A 1

3

210

3

zeros polos

A

4. Assimptotas

sIm


assimptotas

sRe2 1 0





Exemplo 6 (cont.)Exemplo 6 (cont.) 21 s s s

K

s H s KG

sImponto de cruzamento

com o eixo imaginário

Método 1: verifica a condição de argumento: j s

2arg1argarg j j j


sRe2 1 0

2arctanarctan

2

22arctanarctan

22 j s

622122crit j j j K





Exemplo 6 (cont.)Exemplo 6 (cont.) 21 s s s

K

s H s KG ponto de cruzamentocom o eixo imaginário

Método 2: é solução da equação característica: j s

02321. 23 K s s s K s s s sb K sa


raízes imaginárias puraslinha de zeros 03

6

K

6 K

Critério de Routh-Hurwitz

K s

K s

K s s

0

1

2

3

3

63

21

equação auxiliar: 0633 22 s K s

2 j s

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA R K > 0R K > 0




Regra 9 – Soma dos polos da função de transferência em malha fechada

Se o excesso de polos-zeros da função de transferência da malha aberta formaior ou igual a 2 ( ), então a soma dos polos da função detransferência da malha fechada é independente de e igual à soma dospolos da função de transferência da malha aberta

2mn

K

K


sRe

sIm

2 1 0

. . 21

s s s

s s

3

1

3

1

f.t.c.f da polosf.t.c.ada polosii

Para onde está o outro polo da f.t.c.f ?6 K

?

322210 33 p p j j

2 j s 6 K

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA Regras para K > 0Regras para K > 0



DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA


1

s s s

s K s H s KG

sIm


sRe116 2





Regra 10 – Ângulo de partida de um polo ou ângulo de chegada a um zero

Determinados de modo a que a condição de argumento seja satisfeita.

1211

k n

i

i

m

i

iCondição de argumento:

sIm

?3

ponto que se admitepertencer ao root-locus

nm

Ângulo de partida do polo j :


sRe

1

2

1

2113

3211

jii

i

i

i j

,11

Contribuiçãoangular dos zeros

Contribuição angulardos restantes polos

n

i

i

m

jii

i j k 1,1

12

Ângulo de chegada ao zero j :

Contribuição angulardos restantes zeros

Contribuição angulardos polos







4 j s j s s

s K s H s KG

sIm

4 j

1. Troço sobre eixo real

2. Assimptotas

2

3;

2

12

mn

k A

3


sRe4

4 j

2

22

444440

zeros polos

j j

mn A

1

2

1

3. Ângulo de saída do polo complexo3

44

3

221213





K sG

s R sY

s H

Condição de módulo:

1 s H s KG (não depende do sinal de K )

s H sG K

1



,2,1,0,2arg k k s H sG

Apenas são alteradas as regras nas quais intervém a condição de argumento: regras 4(troços sobre o eixo real), 8 (comportamento assimptótico) e 11 (ângulo de partidade um polo ou ângulo de chegada a um zero).


Â

RegrasRegras parapara construçãoconstruçãododo RootRoot--LocusLocus




Regra

1 Nº ramos = Nº polos f.t.c.a. ( )

2 Ponto de partida dos ramos = polos da f.t.c.a. ( )

3 Ponto de chegada dos ramos = zeros da f.t.c.a. ou ( )

Tro os sobre o eixo real = ontos Tro os sobre o eixo real = ontos

0 K 0 K

n

0 K

K

dodo RootRoot--LocusLocus

4

do eixo real que tenham à suadireita um número ímpar de polos+ zeros.

do eixo real que tenham à suadireita um número par de polos +zeros.

5 Simetria = simétrico em relação ao eixo real

6

Pontos de entrada/saída do eixo real = pontos tais que

7Ângulo entre dois ramos adjacentes que se cruzam no eixo real =

( nº ramos que se cruzam)

R s

0 s

dsdK

a a


Â

RegrasRegras parapara construçãoconstruçãodo Rootdo Root--LocusLocus




Regra

8

Comportamento assimptótico = Comportamento assimptótico =0 K 0 K

mn

k A

21

A

f.t.c.azerosf.t.c.a polos

mn

k A

2

do Rootdo Root--LocusLocus

9 Soma dos polos da f.t.c.f = soma dos polos da f.t.c.a ( )

10

Ângulo de partida de um polo ouângulo de chegada a um zero =

Polo:

Zero:

Ângulo de partida de um polo ouângulo de chegada a um zero =

Polo:

Zero:

2mn

n

jii

i

m

i

i j k ,11

12

n

i

i

m

jii

i j k 1,1

12

n

jii

i

m

i

i j k ,11

2

n

i

i

m

jii

i j k 1,1

2


RegrasRegras parapara construçãoconstruçãodo Rootdo Root--LocusLocus





12 s s s K s H s KG

sIm

0

0

K

K

do Rootdo Root--LocusLocus

sRe

1 j

j

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Zeros daZeros da malhamalha fechadafechada




K sG

s R sY

s H

s D

s N sG

G

G

s D

s N s H

H

H

s H s KG

s KG

s R

sY

1

Zeros daZeros da malhamalha fechadafechada

s N s KN s D s D s R H G H G

H G

Os zeros da função de transferência em malha fechada são os zeros da

função de transferência da malha de acção e os polos da função detransferência da malha de realimentação.


MapaMapa polospolos/zeros/zerosdada malhamalha fechadafechada




ExemploExemplo

K 31

s s

s R sY

1

5

s

s

K 35

s s

s

s R sY

1

1

s

dada malhamalha fechadafechada

II IIII

K 31

5

s s s

s

s R sY

IIIIII

mesma função de transferência

31

5

s s s

s K s H s KG

Mesmo Root-Locus


MapaMapa polospolos/zeros/zerosdada malhamalha fechadafechada




sIm

sRe35 1

4.3

7.1 j

polos de malha fechada para :7.13.0;4.3 j

2 K Exemplo (cont.)Exemplo (cont.)

sIm

sRe1

4.3

7.1

7.1 j

dada malhamalha fechadafechada

.II

sIm

sRe5

4.3

17.1 j

7.1 j

IIII

sIm

sRe5

4.3

7.1 j

7.1 j

IIIIII


CancelamentoCancelamento polo/zeropolo/zerono rootno root--locuslocus




ExemploExemplo

K 1

1 s

s R sY

s1

K sY

1

1

11

1

1

s s s

K

s s K

s R

sY

K 11

s s

s R sY

1 s

pode cancelar-se?

11

s s s

K s H s KG

K s s s R 1

s K 1

root-locus com apenas 1 ramo

root-locus com 2 ramos 1 dos polos não depende de K


CancelamentoCancelamento polo/zeropolo/zerono rootno root--locuslocus




Polo de G(s)

Zero de H(s)

pode cancelar-se?

11

s s s K s H s KG NÃO

1 sRe

sIm

sImPolo fixo

Exemplo (cont.)Exemplo (cont.)

ramo de dimensão nula, i.e,polo da malha fechadaindependente de K

1 sRe

s

K s H s KG 1

Root-locus de

K s s

K

s R

sY

1

K 1

1

s

s R sY s

1


RootRoot--locuslocus emem funçãofunção dedequalquerqualquer parâmetroparâmetro



31 s s

s R sY

1 sa

ExemploExemplo

Root-locus em função de :

1. Dada a equação característica dosistema em malha fechada

procurar escrevê-la na forma 01 s H sG


q qq q pp

0

3

11

s s

sa

033

13

s s

s

s s

s s a

013

13

13

s s

s

s s

s sa

013

1

s s

sa

13

s s

s sW a a


RootRoot--locuslocus emem funçãofunção dedequalquerqualquer parâmetroparâmetro



ExemploExemplo

Root-locus em função de :

2. Traçar o root-locus para o sistemacuja função de transferência emmalha aberta é

sW a

13

s s

s sW a a

ganho dosistema

sImPolos do sistema em malha aberta:

53

q qq q pp

sRe

1 1

j

j

Pontos singulares:

s

s s 132 a 0

12

2

s

s

ds

d a 1 s

1a 5a

Pontos de cruzamento com o eixo imaginário:

0132 s s a

j s

3a

3a

3a

0

0

a

a




Exercício de Fixação

Para cada lugar das raízes mostrado na figura abaixo, diga se o esboço pode ou nãocaracterizar o lugar geométrico das raízes. Caso o esboço não possa representar olugar geométrico das raízes, explique o porquê. Forneça todas as justificativas.


UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise do Lugar dasAnálise do Lugar das RaízesRaízes



Exercício de Fixação1o Passo: Determinar o número de ramos

jω

= 2, pois tem 2 pólos.

2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real

j1

- j1

- 1- 2- 3 1

x

x

σ

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPECENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Análise do Lugar das RaízesAnálise do Lugar das Raízes




jω

3o Passo: Determinar os pontos de chegada.

n

i

m

i p z 11

11

Quem são os pólos e os zeros?

11

11

3

2

2

1

2

1

j p

j p

z

z

j1

- j1

- 1- 2- 3 1

x

x

σ




Exercício de Fixação3o Passo: Determinar os pontos de chegada.

j j

1

1

1

1

3

1

2

1

Usando esses valores, temos:

11

11

3

2

2

1

2

1

j p

j p

z

z

1123

j j

2232 2

22

22

65

5222

02105 23

Donde se tira que:3242

0

,,





jω


4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos noinfinito

5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real oo

n90

180

j1

- j1

- 1- 2- 3 1

x

x

σ -2,3




Exercício de Fixação6o Passo: Determinar os ângulos de partida e chegada nos pólos e zeros complexos

jω

oarctag 4318

3

11 ,

oarctag 0314

4

12 ,

x

oo

x 90031443189021 ,,

o

x 46122,

j1

- j1

- 1- 2- 3 1

x

x

σ -2,3

≈90o

ϕ1

ϕ2

θ x

3

1

4




Exercício de FixaçãoCom

jω

o

x 46122,

122,46 o

j1

- j1

- 1- 2- 3 1

x

x

σ

-2,3

122,46 o

Por Simetria




Exercício de Fixação7o Passo: Determinar os pontos de interseção com o eixo dos imaginários

Com os pólos e os zeros pode-se terminar a FT.

adicionando o ganho e resolvendo a FT de Malha

22

322

s s

s s sG

113

112

22

11

j p z

j p z

K

fechada, encontramos a seguinte equação característica:

Aplicando Routh, temos:

026251 2 K s K s K

26

025261

0

1

2

K s

K s K K s

2052

025

, /

K

K

911

6632144

02206201

0261

2

2

2

,

,, / ,

,,

j s

s

s

K s K




Voltando ao gráfico...Com

jω

911, j s

122,46 o

j 1,91

j1

- j1

- 1- 2- 3 1

x

x

σ

-2,3

-j 1,91





Esboce o lugar das raízes do sistema com realimentação unitária mostrado abaixo edetermine os pontos de entrada e saída.

6

5

2

1

2

1

2

1

p

p

z

z

j1

- j1

- 3- 4- 5 -2

jω

σ

- 6 - 1xx




1o Passo: Determinar o número de ramos = 2, pois tem 2 pólos.

2o Passo: Determinar os segmentos sobre o eixo real


n

i

m

i p z 11

11

Quem são os pólos e os zeros?

5

2

1

1

2

1

p

z

z

j1

- j1

- 3- 4- 5 -2

jω

σ

- 6 - 1xx

2

6521

Usando esses valores, temos:

65

56

21

12

3011112

2332 22

068568 2 Donde se tira que:435

561

,

,

-5,4 -1,56




4o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito - Não tem pólos no

infinito5o Passo: Determinar os ângulos e os pontos de chegada e partida no eixo real

oo

n90

180

6o e 7o Passos: Não se aplicam

j1

- j1

- 3- 4- 5 -2

jω

σ

- 6 - 1xx

-5,4 -1,56




Exercício de FixaçãoDado o sistema com realimentação unitária que possui a função de transferência do canaldireto.

134

22

s s

s K sG

a. Esboce o lugar geométrico das raízes.b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse

ponto.c. Determine o ponto de entrada.d. Determine o ângulo de partida dos pólos complexos.




Solução:

a. Esboce o lugar geométrico das raízes.

Para esboçar o lugar geométrico das raízes basta 3 dos 7 passos aprendidos.

1o Passo: Determinar o número de ramoso

3o Passo: Determinar onde estão os pólos ou zeros no infinito




Solução:





134

22

s s

s K sG

Função de Transferência Quantidade de Pólos

32

32

j s

j s

Quantidade de Ramos

2




Solução:





j1

- j1-2

jω

σ - 1

x

x

Pólos

32

32

j s

j s

Zeros 2 z

+1 +2

j2

- j2

- j3

j3




Solução:



1o Passo: Determinar o número de ramos


j1

- j1-2

jω

σ - 1

x

x

+1 +2

j2

- j2

- j3

j3

Sabemos que temos um zero no infinito, temos que saber agora para que ladoele se encontra:

6

12

23232

j j

finitos zeros finitos pólos

finitos zeros finitos pólosa

# #

ooo

a finitos zeros finitos pólos

k 180

1

18018012

# #




Solução:



1o Passo: Determinar o número de ramos


j1

- j1-2

jω

σ - 1

x

x

+1 +2

j2

- j2

- j3

j3




Solução:

b. Determine o ponto de interseção com o eixo imaginário. Determine o ganho K nesse ponto.

Para encontrar esse ponto, basta usarmos Routh na FT de Malha Fechada.

Função de Transferência

Função de Transferência Malha Fechada

134

22

s s

s K sG

K s K s

s K sG

2134

22

K s

K s K s

213

042131

0

1

2

4

04

04

K

K

s K

584

21

04213

0213

2

2

2

, j s

s

s

K s

j1

- j1-2

jω

σ - 1

x

x

+1 +2

j2

- j2

- j3

j3

j4,5




Solução:

c. Determine o ponto de entrada.

jω

Para determinar o ponto de entrada, basta usar a fórmula já conhecida.

n

i

m

i p z 11

11

j1

- j1-2

σ

- 1

x

x

+1 +2

j2

- j2

- j3

j3,

-j4,5

?

32322 j j

94

3232

2

12

j j

94

42

2

12

01742 586,

NMI

- 6,58




Dr. Eng. Douglas Bressan Riffel <[email protected]>Professor/Pesquisador e Coordenador do Núcleo de Eng. MecânicaUniversidade Federal de Sergipe

Av. Marechal Rondon S/NJd. Rosa Elze - Aracaju - Sergipe - 49100-000Tel: +55 (079) 2105-6311 & 6613http://www.mecanica.ufs.br/

Muito obrigado!




Prof Douglas Bressan Riffel 73

5_Controle - Lugar Das Raízes

Documents

Transcript of 5_Controle - Lugar Das Raízes