6 - Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias...
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06 -1 UNESP – FEG – DPD – Prof. Edgard - 2011 Estatística 6 - Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Contínuas
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Estatística
6 - Distribuições de
Probabilidade de
Variáveis Aleatórias
Contínuas
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Distribuição Uniforme
• Variável aleatória contínua podendo assumir
qualquer valores dentro de um intervalo [a,b] tal
que:
• Probabilidade da variável assumir um valor num
subintervalo é a mesma para qualquer outro
subintervalo de mesmo comprimento.
abxf
1)( para a x b;
0)( xf para qualquer outro valor.
2)(
baXE
12
2)(
abXVar
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Distribuição Exponencial
• Seja um fenômeno de Poisson de parâmetro
(número de sucessos em um determinado intervalo)
tetf )( para t 0;
0)( tf para t < 0.
• Seja T o intervalo decorrido entre dois sucessos
consecutivos.
• Então T é uma variável aleatória com Distribuição
Exponencial, com:
tetTtF 1)Pr()( tetT )Pr(
t
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Distribuição Exponencial
0
1...)()(
dttetdtttfTE
dttfTEtTVar )(.2)]([)(
Distribuição Exponencial não tem “memória:
Por isso, é “usada em modelos de duração
de vida que não desgastam com o tempo”
)Pr()|Pr( tTsTtsT
Mostra-se que:
2
1.
1
dttet
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Distribuição Exponencial
Exemplo: Um componente eletrônico, de marca
“A”, tem duração de vida que segue uma
Distribuição Exponencial com vida média de 100
horas e um custo unitário de R$10,00.
Qual a probabilidade de um componente, de
marca “A”, durar mais de 150 horas?
Como a vida média é de 100 horas, então:
1001
)( ATE 100
1
tetAT )Pr(
Logo:
223,0)150Pr( 5,1)
100
150(
eeTA
Seja TA: duração da vida de um componente “A”
Sabe-se que:
?)150Pr(: ATPergunta
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Distribuição ExponencialExemplo: Um componente eletrônico, de marca
“A”, tem duração de vida que segue uma
Distribuição Exponencial com vida média de 100
horas e um custo unitário de R$10,00. A marca
“B”, desse componente eletrônico, tem uma vida
média de 200 horas e um custo de R$15,00.
Considere também a incidência de um custo
adicional de R$8,00 se o componente durar
menos de 200 horas, qualquer que seja a marca
Qual a marca mais econômica?
Custo esperado da marca A:
)200Pr()810()200Pr(10)(AAATTCE
)).((. )./()./( 20010012001001 181010 ee
.918,16565,15353,1)1(18.10 22 ee
)200Pr()815()200Pr(15)(BBBTTCE
)1.(23.15 200).200/1(200).200/1( ee
.057,20539,14518,5)1.(23.15 11 ee
Portanto: marca “A” é mais econômica!
Custo esperado da marca B:
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Distribuição Normal ou de Gauss
Definida pela seguinte fdp:
Importância teórica:
• Teorema das Combinações Lineares
• Teorema do Limite Central
f x e
x
( )/
1
2
1 2
2
- < x < +
Importância prática:
Normal é utilizada na modelagem de
inúmeras variáveis encontradas na realidade
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Distribuição Normal – Importância Teórica
Teorema das Combinações Lineares:
Se X1, X2, ..., Xn são V.A. com Distr. NORMAL
então
NORMALAVéXaX i
n
i
i ..1
Teorema do Limite Central:
Se X1, X2, ..., Xn são V.A. Independentes,
com Distribuição QUALQUER
então
onde: ai são constantes
NORMALAVéXaX i
n
i
i ..1
para n suficientemente grande
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Como determinar a probabilidade da variável assumir
um valor em dado intervalo [a, b]: P(a < X < b) = ?
- integrar f(x) nesse intervalo (difícil ! )
- utilizar tabelas fazendo a seguinte transformação linear:
X
XX
XDP
XEXZ
)(
)(
• Distr. BINOMIAL, para n suficientemente grande:
n.p 5
2
1
2
1Pr)Pr( kXkkX
2
1
2
1Pr)Pr(
2121kXkkXK
Distribuição Normal
n.q 5
Aproximação utilizando a Distr.Normal:
• Distr. POISSON, para: 5) tET
• Correção de Continuidade devido aprox. Distr. discreta pela
Distr.Normal (contínua):
Z: NORMAL REDUZIDA
1)( ZVar
0)( ZE
)0Pr()Pr(00zZxX
X
f(z)
z
TABELA
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X
XXZ
12 Z
P Z z P X x( ) ( )0 0 0
2
1
2
12121 kXkPkXKP )(
Z : Distribuição Normal Reduzida
0Z
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Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e
5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com
média de 190 g e variância 100 g2. Os pesos das xícaras
também são normais com média 170 g e variância 150 g2. O
peso da embalagem é praticamente constante, igual a 100g.
Qual a probabilidade da caixa pesar menos de 2000 g?
X = peso da xícaras
Y = peso do pires
W = peso da embalagem
C = peso da caixa completa
P(C<2000)=?
5
1
5
1 i
i
i
iYXWC
5
1
5
1i i
iiYEXEWECE
19001905170510055 YEXEWECE
i
ii
iYVarXVarEVarCVar
5
1
5
1
1250100515050)(55 YVarXVarEVar
Distribuição Normal
Considerando X e Y variáveis aleatórias INDEPENDENTES, tem-se:
z 20002000 1900
12502 83
,
tabelaZC 4977,083,20Pr20001900Pr
)20001900Pr()1900Pr(2000Pr CCC
)(
)(
CDP
CEXZ
simetriaporZC 5,0)0Pr(1900Pr
9977,04977,05,02000Pr C
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Qual a probabilidade de um pires pesar menos que
uma xícara numa escolha ao acaso?
gXEYEWE 20170190
2250150100 gXVarYVarWVar
z 00 20
2501 265
,
)()( 200200 WPWPWP
Distribuição Normal
?)( 0WP
Exemplo: Uma companhia embala em cada caixa 5 pires e
5 xícaras. Os pesos dos pires distribuem-se normalmente com
média de 190 g e variância 100 g2. Os pesos das xícaras
também são normais com média 170 g e variância 150 g2. O
peso da embalagem é praticamente constante, igual a 100g.
X = peso da xícara
Y = peso do pires Pergunta: ?)( 0XYP
Seja W = Y – X, logo a pergunta é:
0250
202020
z
102903971050 ,,,
)0265,1()0Pr( ZPZ
),(, 2651050 ZP
Se X,Y independentes:
(por simetria)
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XE
Distribuição Gama
Usada para representar fenômenos limitados
num extremo. Exemplos:
- distribuição dos intervalos de tempos entre
recalibrações de instrumentos
- intervalos de tempos entre compras de um
item estocado
f x x e x( ) .
1
f x o( )
para x 0;
para x<0.
x e dxx1
0
.
se é inteiro: 1 !
= 1
= 1
= 3
= 3 = 3
= 1
Onde: (Função Gama)
2
XVar
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Distribuição Beta
Usada para representar fenômenos limitados nos
dois extremos. Exemplos:
- distribuição da proporção da população entre o menor e
o maior valor da amostra
- distribuição dos tempos a serem gastos na execução de
uma tarefa
f x xx
1 11
f x 0
para 0 x 1
para x < 0 e x > 1
12
XVar E X
= 5
= 1,5
=
5
=
5
= 1,5
= 5 = 0,5
= 0,5
0,0 0,5 1,0
1,0
2,0
3,0
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Distribuição Log-Normal
Usada quando o logarítmo da variável
segue uma Distribuição Normal.
22 log2/1
2
1
xex
xf
f x 0
para x 0
para x<0
22 / eXE
= 0
2= 1
= 0,3
2= 1
= 1
2= 1
1222 eeXVar
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A distribuição de Weibull é muito similar à
distribuição gama, tendo o mesmo uso
tettf t 0)( 1
=1 =2 =3
x
2
/2
/1
11
12
)(
11
)(
XVar
XE
Distribuição Weibull
f(x)
onde e (dito taxa de falha)
são constantes positivas.
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Exercício 6.1
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Exercício 6.1 – Continuação
