6 Raciocinio Logico

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1. CONCEITOS BSICOS DERACIOCNIO LGICO:

PROPOSIES; VALORES LGICOSDAS PROPOSIES; SENTENASABERTAS; NMERO DE LINHAS DA TABELA VERDADE; CONECTIVOS;PROPOSIES SIMPLES; PROPOSI-

ES COMPOSTAS.

INTRODUO AO RACIOCNIO LGICOLgica a cincia que trata dos princpios vlidos do

raciocnio e da argumentao. Seu estudo trata das formas dopensamento em geral e das operaes intelectuais que visam determinao do que verdadeiro ou no, ou seja, umencadeamento coerente de alguma coisa que obedece a certasconvenes ou regras. Assim, o estudo da lgica um esforono sentido de determinar as condies que permitem tirar dedeterminadas proposies (ponto ou idia de que se parte paraestruturar um raciocnio), tambm chamadas de premissas,uma concluso delas derivada.

CONCEITOS BSICOSPROPOSIES

A proposio todo o enunciado com palavras e/ousmbolos que representam um pensamento de sentidocompleto.

Toda proposio uma representao lgica do juzoque afirma (valor lgico verdadeiro) ou nega (valor lgico falso)a identidade representativa de dois conceitos. As regras quedeterminam quais as proposies que devem ser verdadeirasconstituem a lgica matemtica.

Assim sendo, tm-se exemplos de proposies abaixo:

5 > 1 (valor lgico verdadeiro)5 = 1 (valor lgico falso)No caso das proposies, a lgica matemtica tem como

base dois princpios:

& Princpio da no-contradio:"Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa aomesmo tempo.

& Princpio do terceiro excludo:"Toda proposio ou falsa ou verdadeira, no existeuma terceira opo.

Outros exemplos de proposies:

r: O nmero 2 primo.s: Marte o planeta vermelho.t: No Brasil, fala-se espanhol.

u: Toda ave voa.v: O nmero 3 par.x: O nmero 7 primo.z: O nmero 7 mpar.

VALORES LGICOS DAS PROPOSIESValor lgico a classificao da proposio em verdadei-

ro (V) ou falso (F), pelos princpios da no-contradio e doterceiro excludo. Sendo assim, a classificao nica, ou seja,a proposio s pode ser verdadeira ou falsa.

Exemplos de valores lgicos:

r: O nmero 2 primo. (Verdadeiro)s: Marte o planeta vermelho. (Verdadeiro)t: No Brasil, fala-se espanhol. (Falso)u: Toda ave voa. (Falso)v: O nmero 3 par. (Falso)x: O nmero 7 primo. (Verdadeiro)z: O nmero 7 mpar. (Verdadeiro)

SENTENAS ABERTASSentenas matemticas abertas ou simplesmente

sentenas abertas so expresses que no podemos identificarcomo verdadeiras ou falsas.

Por exemplo: x + 2 = 9

Essa expresso pode ser verdadeira ou falsa, dependen-do do valor da letra x.

Se x for igual a 7, a sentena verdadeira, pois7 + 2 = 9

Se x for igual a 3, a sentena falsa, pois 3 + 2 no igual a 9 (3 + 2 g 9)

Em sentenas abertas sempre temos algum valordesconhecido, que representado por uma letra do alfabeto.

Pode-se colocar qualquer letra, mas as mais usadaspelos matemticos so: x, y e z.

Veja outros exemplos de sentenas abertas:x + 3 g 6 (desigualdade)2y 1 < 7 (inequao)Pode-se, tambm, ter uma sentena aberta como

proposio, porm nesse caso no possvel atribuir um valorlgico. Exemplos:

1) Obtenha o valor lgico da sentena abaixo.b: x um y brasileiro.

Nessa proposio b, o valor lgico s pode ser encontra-do se soubermos quem x e y (variveis livres).No caso de x igual a Roberto Carlos e y igual a cantor, aproposio ser verdadeira. J no caso de x igual aFrank Sinatra e y igual a cantor, a proposio ser falsa.

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5555DFLRFtQLR////yJLFRPortanto, muito comum na resoluo de problemasmatemticos, trocar-se alguns nomes (ou todos) porvariveis.

2) Estude os valores lgicos da sentena aberta:"Se 10x 3 = 27 ento x +10x = 39"

Resposta:

a) Se x = 3 ento a condio se verifica (V, V);b) A condio (V, F) no se verifica;c) Se x = 13 ento a condio verdadeira

(F, V);d) Se x diferente de 3 e x diferente de 13, ento a

condio (F, F) verdadeira.

EXERCCIO DE FIXAO1) Identifique com F as sentenas fechadas e com A as

abertas

a) ( ) 4 + 7 = 10b) ( ) 6 + x = 2c) ( ) 2 - 1 < 5d) ( ) y - 3 = 6e) ( ) 18x + 2 = 3f) ( ) z - 6 = -10g) ( ) 5 - 2 = 9

RESPOSTASa) Fb) A

c) Fd) A

e) Af) A

g) F

CONECTIVOSProposies simples

Proposies compostas

Conectivo tudo aquilo que estabelece uma conexo,isto , que une uma coisa a outra. Na lgica, o conectivo umtermo ou smbolo dele, que relaciona proposies de modo talque a verdade ou inverdade da afirmao resultante determi-nada pela verdade ou inverdade dos seus componentes.

As proposies podem ser conectadas atravs dosseguintes conectivos: e, ou, ou ... ou ..., no, se ... ento ..., ...se e somente se ...

Os conectivos so representados por smbolos, comomostra a tabela abaixo:

Conectivo Smbolo

e

ou

ou... ou...

no ~ ou

se... ento...

PROPOSIES SIMPLES E COMPOSTASAs proposies so classificadas em simples e compos-

tas:

Proposies Simples ou Atmicas:

So as proposies formadas por uma nica proposio,ou seja, no contm nenhuma outra como parte inte-grante de si mesma. Essas proposies so nomeadaspor letras minsculas do alfabeto: a, b, c, ..., p, q, ...

Proposies Composta ou Moleculares:

So as proposies formadas por combinaes de duasou mais proposies simples. Tais combinaes sofeitas atravs dos conectivos. Essas proposies sonomeadas por letras maisculas do alfabeto: A, B, C,...,P, Q,...

A partir das proposies simples citadas acima, pode-segerar, utilizando conectivos, outras compostas como:

W: O nmero 2 primo e o nmero 7 mpar.Y: O nmero 3 par ou o nmero 7 primo.D: Se o nmero 7 primo ento ele mpar.K: O nmero 3 par se e somente se for mltiplo de 2.

Utilizando os smbolos que representam os conectivostem-se que as proposies compostas acima podem serescritas como:W: r Y zY: v Z xD: x zK: v a

Os valores lgicos das proposies W, Y, D e K sorespectivamente V, V, F, V.

Para se formar proposies compostas utiliza-se apenasos conectivos, e, ou, se... ento, se e somente se; no se utilizao conectivo no; basicamente, a partir de um proposio possvel construir uma negao e com duas ou mais proposi-es pode-se formar estruturas conhecidas como:

& conjunes (r e z)& disjunes (r ou z)& condicionais (se r, ento z)& bicondicionais (r se e somente se z)

EXEMPLO 1:

Considerando as proposies simples:

P: h nuvens hojeQ: choverR: ventarS: far bom tempo amanh

Traduza as proposies moleculares abaixo.a) P Qb) P ~ Qc) ~ S Y (Q Y R)d) ~ P Se) P Y (Q Z R)f) (P Q) Y R

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5555DFLRFtQLR////yJLFRg) (P Q) Y (~R Y S)h) P ((Q Y Q) Z S)Resoluo:

a) Se h nuvens, chover.b) Se aparecerem nuvens hoje, amanh no teremos bom

tempo.

c) No teremos bom tempo amanh pois chover e venta-r.

d) Se no surgirem nuvens hoje, amanh teremos bomtempo.

e) H nuvens, de modo que teremos chuva ou vento.f) Se h nuvens, chover; ou teremos vento.g) Teremos nuvens hoje se e somente se chover; mas no

teremos vento e teremos bom tempo amanh.

h) Nuvens hoje se e s se amanh chover, mas sem vento,ou fizer bom tempo.

EXEMPLO 2:

Considerando as proposies simples:

P: O estudante comete erros.

Q: H motivao para o estudo.

R: O estudante aprende a matria.

Simbolizar:

a) Se o estudante no comete erros, aprende a matria.b) Se h motivao para o estudo, o estudante no comete

erros.

c) Se no h motivao para o estudo, ento o estudantecomete erros ou no aprende a matria.

d) Se o estudante comete erros, ento, se no h motiva-o para o estudo, o estudante no aprende a matria.

e) O estudante no comete erros ou aprende a matria seh motivao para o estudo.

f) O estudante comete erros; alm disso, h motivaopara o estudo e o estudante aprende a matria.

Resoluo:

a) ~ P Rb) Q ~ Pc) ~ Q (P Z ~ R)d) P (~ Q ~ R)e) Q (~ P Z R)f) P Y (Q Y R)

EXERCCIOS DE FIXAO:Conectivos

1) Considerando as proposies simples:P: Paulo aprovado no exame.Q: Paulo conclui a sua tese.R: Paulo recebe o ttulo de doutor.S: Paulo lecionar na faculdade.T: Paulo ensinar no colgio.

Traduza as proposies moleculares abaixo.

a) (P Y Q) Z ~ Rb) (~ P Y ~ Q) ~ Sc) (P Y Q Y R) ~ Td) R (S Y ~ T)e) R (P Y Q)f) ~ P (~ R Y S)g) S (P Y Q Y R)h) T ~ R

2) Considerando as proposies simples:P: Paulo diminui os erros cometidos.Q: H motivao para o estudo.R: Paulo aprendeu a matria.S: O professor bom.

Simbolizar:

a) Se o professor bom, Paulo aprende a matria.b) Se o professor no bom, no h motivao para

ao estudar.

c) O professor bom, h motivao para estudar e,alm disso, Paulo aprende a matria

d) Paulo no aprendeu a matria, ele no diminuiu oserros cometidos.

e) Se Paulo no diminuiu os erros cometidos, oprofessor no era bom ou no havia motivaopara estudar.

f) Paulo aprende a matria ou diminui os erroscometidos.

A TABELA-VERDADE - NMERO DE LINHASDa mesma forma que as proposies simples podem ser

verdadeiras ou falsas, as proposies compostas podemtambm ser verdadeiras ou falsas. O valor-verdade de umaexpresso que representa uma proposio composta dependedos valores-verdade das subexpresses que a compem etambm a forma pela qual elas foram compostas.

As tabelas-verdade explicitam a relao entre os valores-verdade de uma expresso composta em termos dos valores-verdade das subexpresses e variveis que a compem.

Na tabela seguinte, encontra-se todos os valores Lgicospossveis de uma proposio composta correspondente dasproposies simples abaixo:p: Evandro estudioso.q: Ele passar no concurso.

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5555DFLRFtQLR////yJLFRp q

1 V V

2 V F

3 F V

4 F F

TEOREMA DO NMERO DE LINHAS DA TABELA-VERDADEA tabela-verdade lista todas as possveis combinaes

de valores-verdade V e F para as variveis envolvidas naexpresso cujo valor lgico deseja-se deduzir. A tabela-verdadede uma proposio composta com n proposies simplescomponentes contm 2n linhas. Ou seja, cada proposiosimples tem dois valores V ou F, que se excluem. Para nproposio simples (atmicas) distintas, h tantas possibilida-des quantos so os arranjos com repetio de (V e F) elemen-tos n a n. Segue-se que o nmero de linhas da tabela-verdade 2n. Assim, para duas proposies so 4 linhas; para trsproposies so 8; etc.

Ento, para se construir uma tabela-verdade procede seda seguinte maneira:

1 - Determina-se o nmero de linhas da tabela-verdade quese quer construir;

2 - Observa-se a precedncia entre os conectivos, isto ,determina-se a forma das proposies que ocorrem noproblema;

3 - Aplicam-se as definies das proposies Lgicas queo problema exigir.

Exemplo:

1) Construir a tabela verdade da proposio composta:Evandro estudioso e passar no concurso

Denotando cada proposio simples como:

p: Evandro estudioso.

q: Ele passar no concurso.

e utilizando o conectivo e, a proposio que deve seranalisada se torna:

p Y qEssa tabela possuir 4 linhas, pois a proposio com-posta formada por duas simples (p, q), sendo assim,atravs do teorema do nmero de linhas da tabelaverdade tem-se: 22 = 4.

O conectivo e representa dependncia entre as proposi-es p e q, ou seja, o valor lgico de q Y p s serverdade se ambas proposies simples (p e q) tiveremo mesmo valor lgico, assim:

p q p YYYY q1 V V V

2 F V F

3 V F F

4 F F F

& A primeira linha representa a informao que o Evandro estudioso, assim, deve passar no concurso, portantoela verdadeira.

& A segunda linha mostra a situao em que Evandro no estudioso, portando no pode ser aprovado no concur-so, como a essa linha aprova Evandro (a proposio q verdadeira) ela s pode ser uma informao falsa.

& Na terceira linha Evandro estudioso, portanto devepassar no concurso; como isso no ocorre (a proposioq falsa) ela uma informao falsa.

& A quarta linha representa o fato do Evandro no serestudioso, assim no deve passar no concurso, que exatamente o que ocorre, assim a informao expressanessa linha verdadeira.

O tpico a seguir apresenta a tabela verdade para todosos conectivos.

OPERAES LGICAS SOBRE AS PROPOSIESE SUA TABELA-VERDADE

Uma srie de operaes realizada quando se analisamas proposies e seus respectivos conectivos.

a - Conjuno (YYYY)A conjuno de duas proposies p e q, indicada por pY q (l-se: "p e q") , por definio, a proposio que verdadeira s quando o forem verdadeiras as proposi-es componentes. A tabela-verdade para a conjunode duas proposies dada a seguir:

p q p YYYY qV V VF V FV F FF F F

p YYYY q: Evandro estudioso e passar no concurso.b - Disjuno (ZZZZ)

A disjuno de duas proposies p e q, indicada por pZq(l-se: "p ou q"), , por definio, a proposio que verdadeira sempre que pelo menos uma das proposi-es componentes o for. A tabela-verdade para adisjuno de duas proposies dada a seguir:

p q p ZZZZ qV V VV F VF V VF F F

p ZZZZ q: Evandro estudioso ou ele passar no con-curso.

c - Condicional ()A proposio condicional, indicada por p q (l-se: "Sep ento q") , por definio, a proposio que falsaquando p verdadeira e q falsa, mas ela verdadeiranos demais casos. A tabela-verdade para a proposiocondicional dada a seguir:

p q p qV V VV F FF V VF F V

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5555DFLRFtQLR////yJLFRp q: Se Evandro estudioso, ento ele passar

no concurso. Ou seja, p condio suficientepara q e q condio necessria para p.

d - Bicondicional ()A proposio bicondicional, indicada por p q (l-se: "pse e somente se q") , por definio, a proposio que verdadeira somente quando p e q tm o mesmo valorlgico. A tabela-verdade para a proposio bicondicional dada a seguir:

p q p qV V VV F FF V FF F V

p q: Evandro estudioso se e somente se elepassar no concurso. Ou seja, p condionecessria e suficiente para q.

EXERCCIOS DE FIXAO:Tabela-Verdade

1) Determinar o valor verdade de cada qual dos seguintescompostos:

a) 2 + 2 = 5 e 3 + 4 = 10.b) O dobro de 3 6 ou o triplo de 4 10.c) Se 2 + 2 = 4, ento 3 + 3 = 9.d) Se 2 + 2 = 4, ento 5 + 5 = 10.e) 3 + 3 = 6 e o triplo de 5 15.f) 3 + 5 igual a 12 ou 3 + 55 diferente de 12.g) 3 + 5 = 10 ou 5 + 3 = 10.h) Se 2 + 2 = 4, ento a Lua cilndrica.i) 6 + 6 = 8 se e somente se a Lua cilndrica.j) 5 o dobro de 2 se e somente se 9 o triplo de 3.

RESPOSTAS

a) Fb) V

c) Fd) V

e) Vf) V

g) Fh) F

i) Vj) F

NEGAESA negao de uma proposio p, indicada por ~ p (l-se:

"no p") , por definio, a proposio que verdadeira oufalsa conforme p falsa ou verdadeira, de maneira que se p verdade ento ~ p falso, e vice-versa. Os possveis valoreslgicos para a negao so dados pela tabela-verdade abaixo:

p ~pF VV F

p: Evandro estudioso.~ p: Evandro no estudioso.

Exemplo 1:

Representar as sentenas abaixo usando smbolosadequados:

a) Pedro no foi festa.b) No fato que as baleias sejam peixes.c) No se d que haja prisioneiros.d) No verdade que 2+2=5.

Resoluo:

a) no (Pedro foi festa). ~ Fb) no (as baleias so peixes). ~ Bc) no (haja prisioneiros). ~ Pd) no (2+2=5). ~ C

EXERCCIOS DE FIXAO:Negaes

1) Passe as proposies para a negativa e simbolize-as.a) Joo bonito.b) O Brasil foi campeo.c) Pedro e Ana so namorados.d) Marta no perdeu a prova.e) Aline muito simptica.f) 2 + 5 = 12.

RESPOSTAS:

1) Passe as proposies para a negativa e simbolize-asa) ~ J onde, J: Joo bonito.b) ~ B onde, B: O Brasil foi campeo.c) ~ P onde, P: Pedro e Ana so namorados.d) M onde, M: Marta perdeu a prova.e) ~ A onde, A: Aline muito simptica.f) ~ C onde, C: 2 + 5 = 12.

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2. TAUTOLOGIA.

Etimologicamente, a palavra tautologia formada pordois radicais gregos: taut (o) - que significa "o mesmo" e logiaque significa "o que diz a mesma coisa j dita. Para a lgica,a tautologia uma proposio analtica que permanece sempreverdadeira, uma vez que o atributo uma repetio do sujeito,ou seja, o uso de palavras diferentes para expressar umamesma idia; redundncia, pleonasmo.

Exemplo: O sal salgado.

Uma proposio composta P (p, q, r, ...) uma tautologiase P (p, q, r, ...) tem valor lgico V quaisquer que sejam osvalores lgicos das proposies componentes p, q, r, ..., ouseja, uma tautologia conter apenas V na ltima coluna da suatabela-verdade. Exemplo:

A proposio "p ou no p, isto , p Z (~p) uma tautolo-gia. De fato, a tabela-verdade de p Z (~p) :

p ~p p ZZZZ (~p)V F VF V V

EXERCCIOS PROPOSTOS 1) Todos os marinheiros so republicanos.

Assim sendo:

a) o conjunto dos marinheiros contm o conjunto dosrepublicanos.

b) o conjunto dos republicanos contm o conjunto dosmarinheiros.

c) todos os republicanos so marinheiros. d) algum marinheiro no republicano. e) nenhum marinheiro republicano.

2) Assinale a alternativa que apresenta uma contradio. a) Todo espio no vegetariano e algum vegetaria-

no espio. b) Todo espio vegetariano e algum vegetariano

no espio. c) Nenhum espio vegetariano e algum es pio no

vegetariano. d) Algum espio vegetariano e algum es pio no

vegetariano. e) Todo vegetariano espio e algum espio no

vegetariano.

3) Todos os que conhecem Joo e Maria admiram Maria.Alguns que conhecem Maria no a admiram.Logo:

a) todos os que conhecem Maria a admiram. b) ningum admira Maria. c) alguns que conhecem Maria no conhecem Joo. d) quem conhece Joo admira Maria. e) s quem conhece Joo e Maria conhece Maria.

4) Marta corre tanto quanto Rita e menos do que Juliana.Ftima corre tanto quanto. Juliana.Logo:

a) Ftima corre menos do que Rita. b) Ftima corre mais do que Marta. c) Juliana corre menos do que Rita. d) Marta corre mais do que Juliana. e) Juliana corre menos do que Marta.

5) Todas as plantas verdes tm clorofila. Algumas plantasque tem clorofila so comestveis.Logo:

a) algumas plantas verdes so comestveis. b) algumas plantas verdes no so comestveis. c) algumas plantas comestveis tm clorofila. d) todas as plantas que tm clorofila so comestveis. e) todas as plantas vendes so comestveis.

6) Se os tios de msicos sempre so msicos, ento: a) os sobrinhos de no msicos nunca so msicos. b) os sobrinhos de no msicos sempre so msicos. c) os sobrinhos de msicos sempre so msicos. d) os sobrinhos de msicos nunca so msicos. e) os sobrinhos de msicos quase sempre so msi-

cos.

7) O paciente no pode estar bem e ainda ter febre. Opaciente est bem.Logo, o paciente:

a) tem febre e no est bem. b) tem febre ou no est bem. c) tem febre. d) no tem febre. e) no est bem.

8) Todo cavalo um animal.Logo:

a) toda cabea de animal cabea de cavalo. b) toda cabea de cavalo cabea de animal. c) todo animal cavalo. d) nem todo cavalo animal. e) nenhum animal cavalo.

9) (BACEN\98) Todos os jornalistas defendem a liberdadede expresso. Cristina no jornalista.Logo,

a) nem todos os jornalistas defendem a liberdade deexpresso;

b) no existe jornalista que no defende a liberdadede expresso.

c) Existe jornalista que no defende a liberdade deexpresso;

d) Cristina no defende a liberdade de expresso;e) Cristina defende a liberdade de expresso;

10) Das premissas: "nenhum X Y""Alguns Z so Y"

segue-se necessariamente, que:

a) Alguns X so Zb) Alguns Z so Xc) Nenhum X Zd) Alguns Z no so X.e) Nenhum Z X

11) ANPAD/98/J - Se alguns professores so matemticose todos matemticos so pessoas alegres entonecessariamente:

a) toda pessoa alegre matemticob) todo matemtico professorc) algum professor uma pessoa alegre. d) nenhuma pessoa alegre professore) nenhum professor no alegre

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5555DFLRFtQLR////yJLFR12) (BACEN\98) Assinale a frase que contradiz a seguinte

sentena: nenhum pescador mentiroso

a) algum mentiroso pescador. b) Nenhum mentiroso pescador;c) Todo pescador mentiroso;d) Algum mentiroso no pescador;e) Algum pescador no mentiroso;

13) (VUNESP\97). Assinale a alternativa em que ocorre umaconcluso verdadeira (real) e o argumento invlido:a) Raulino homem, e todo homem mortal, portanto

Raulino mortal. b) Toda pedra um homem, pois alguma pedra um

ser, e todo ser homem.c) Todo cachorro mia, e nenhum gato mia, portanto

cachorros no so gatos.d) Todo pensamento um raciocnio, portanto, todo

pensamento um movimento, visto que todos osraciocnios so movimentos.

e) Toda cadeira um objeto, e todo objeto tem cincops, portanto algumas cadeiras tm quatro ps.

14) BACEN\98 Raulino est machucado ou no que jogar.Mas Raulino quer jogar. Logo, a) Raulino no est machucado nem quer jogar;b) Raulino no quer jogar nem est machucado;c) Raulino no est machucado e quer jogar;d) Raulino est machucado e no quer jogar;e) Raulino est machucado e quer jogar.

15) Em uma comunidade, todo trabalhador responsvel.Todo artista, se no for filsofo, ou trabalhador ou poeta. Ora, no h filsofo e no h poeta que no sejaresponsvel.Portanto, tem-se que, necessariamente,

a) todo responsvel artistab) todo responsvel filsofo ou poetac) todo artista responsveld) algum filsofo poetae) algum trabalhador filsofo

16) Se verdade que "Alguns escritores so poetas" e que"Nenhum msico poeta", ento, tambm necessaria-mente verdade que:

a) nenhum msico escritorb) algum escritor msicoc) algum msico escritord) algum escritor no msicoe) nenhum escritor msico

17) (FCC PETROBRS/2001) Numa sala esto 100pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoasa) nasceram num mesmo ano.b) nasceram num mesmo ms.c) nasceram num mesmo dia da semana.d) nasceram numa mesma hora do dia.e) tm 50 anos de idade.

18) Se Rodrigo mentiu, ento ele culpado.Logo:

a) se Rodrigo no culpado, ento ele no mentiu. b) Rodrigo culpado. c) se Rodrigo no mentiu, ento ele no culpado. d) Rodrigo mentiu. e) se Rodrigo culpado, ento ele mentiu.

19) Se o jardim no florido, ento o gato mia. Se o jardim florido, ento o passarinho no canta. Ora, o passari-nho canta. Logo:

a) jardim florido e o gato miab) jardim florido e o gato no miac) jardim no florido e o gato miad) jardim no florido e o gato no miae) se o passarinho canta, ento o gato no mia.

20) Se chove ento faz frio. Assim sendo:a) Chover condio necessria para fazer frio.b) Fazer frio condio suficiente para chover.c) Chover condio necessria e suficiente para

fazer frio.d) Chover condio suficiente para fazer frio.e) Fazer frio condio necessria e suficiente para

chover.

21) Se Marcos no estuda, Joo no passeia. Logo,a) Marcos estudar condio necessria para Joo

no passear.b) Marcos estudar condio suficiente para Joo

passear.c) Marcos no estudar condio necessria para

Joo no passear.d) Marcos no estudar condio suficiente para

Joo passear.e) Marcos estudar condio necessria para Joo

passear.

RESPOSTAS

1 - b

2 - a

3 - c

4 - b

5 - c

6 - a

7 - d

8 - b

9 - b

10 - c

11 - c

12 - a

13 - a

14 - e

15 - c

16 - d

17 - b

18 - a

19 - c

20 - d

21 - e

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3. OPERAO COM CONJUNTOS.

CONJUNTOS

DEFINIOUm conjunto uma "coleo" de elementos que pos-

suem uma ou mais caractersticas em comum, essa caracte-rsticas que define o conjunto e o distingue de outros.

Exemplos:

1) O conjunto das vogais. Esse conjunto formado porcinco elementos: {a, e, i, o, u}.

2) O conjunto dos nmeros pares. Esse formado porinfinitos elementos.

Reescrevendo os exemplos na forma de uma tabela:

Caracterstica N Elementos

Ser vogal 5 a, e, i, o, u

Ser nmero par Todos nmeros mltiplos de 2

REPRESENTAO DE UM CONJUNTOExistem trs formas de representar um conjunto:Extenso, Compreenso e atravs de um diagrama

chamado de "Diagrama de Venn". Em todos os casos osconjuntos sero nomeados por uma letra maiscula do alfabetolatino e os elementos por uma letra minscula de qualqueralfabeto, no necessariamente o latino.

&&&& Extenso:Escreve-se todos os elementos que constituem o conjun-to entre chaves.

Exemplo: Conjunto das faces de uma moeda:M = {cara, coroa}.

Observao: Essa representao geralmente usadapara conjuntos com poucos elementos.

&&&& Compreenso:Escreve-se a caracterstica que define o conjunto.Exemplo: Conjunto dos nmeros primos:

P = {x | x um nmero primo}L-se a barra vertical (|) como "tal que", ento o conjuntodos nmeros primos ser lido como, "O conjunto P formado pelos elementos x tal que x seja um nmeroprimo"

Observao: Essa representao geralmente usadapara conjuntos que possui muitos elementos.

&&&& Diagrama de Venn:Colocam-se os elementos do conjunto dentro de umafigura plana fechada, normalmente circunferncias.

Exemplo: Conjunto das vogais

Observao: Essa notao muito til para solucionarproblemas.

Observaes Gerais:

1 Os elementos de um conjunto devem aparecer umanica vez.

Exemplo: {a, e, i, o, u, a, e} = {a, e, i, o, u}2 A ordem que os elementos aparecem no conjunto

irrelevante.

Exemplo: {a, b, c} = {b, c, a}

CLASSIFICAO DE UM CONJUNTOOs conjuntos podem ser classificados de acordo com o

nmero de elementos que possui:

&&&& Conjunto Finito:Possui um nmero finito de elementos.

Exemplo: Conjunto das vogais.L = {a, e, i, o, u}

&&&& Conjunto Infinito:Possui um nmero infinito de elementos.

Exemplo: Possui um nmero finito de elementos.

&&&& Conjunto Unitrio:Possui apenas um elemento.

Exemplo: Conjuntos dos nmeros pares primos.P = {2}

&&&& Conjunto Vazio:No possui elementos.

O conjunto vazio representado por:V = { } ou V = Observao: O conjunto que possui como elemento onmero zero, no vazio, e sim unitrio, pois possui umelemento.

&&&& Conjunto Universo: o conjunto que possui todos os elementos de umaespecifica situao.

Exemplo: Em um problema que envolve os meses doano, o conjunto universo ser formado pelos12 meses que constituem o ano.

5555DFLRFtQLR////yJLFRAS RELAES DE PERTINNCIA,

INCLUSO E IGUALDADERELAO DE PERTINNCIA

A relao entre conjunto e elemento conhecida comoRelao de Pertinncia. Essa relao informa se o elementopertence ou no ao conjunto; a simbologia utilizada :: pertence : no pertenceExemplos:

1) O conjunto I, dos nmeros mpares:3 I 2 I 8 I 9 I 125 I

2) Dado o conjunto W = x, y, z, complete com verdadeiro(V) ou falso (F)(F) a W (V) x W(F) y W (F) w W

EXERCCIOS DE FIXAO:1) Dados os conjuntos A = {a; i} e B = {e; i; o} coloque V

(verdadeiro) ou F (falso):a) ( ) a A d) ( ) o Bb) ( ) e A e) ( ) e Bc) ( ) i BRespostas: a) V; b) F; c) F; d) V; e) V.

NMERO DE ELEMENTOS DE UM CONJUNTOO nmero de elementos de um conjunto A expresso

pela notao n(A).Exemplo:

O conjunto formado pelas faces de uma moeda:M={Cara, Coroa} e n(M) = 2, pois esse conjunto s possui 2elementos, cara e coroa.

RELAO DE INCLUSO: SubconjuntoUm conjunto B subconjunto do conjunto A se todos

elementos de B tambm pertencerem ao conjunto A.Exemplo: Dado os conjuntos

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} e B = {1, 2, 3};percebe-se que o conjunto B formado por elementos quepertencem ao conjunto A; dessa forma diz-se que B estcontido em A.

A notao que se utiliza para demonstrar a relao deincluso entre conjuntos :

G: est contido e : no est contidoH: contm e : no contmPara o exemplo anterior escreve-se: B G A (B est

contido em A) ou A H B (B contm A).

Na notao de "Diagrama de Venn"o subconjunto pode ser expresso como:

EXERCCIOS DE FIXAO1) Dados os conjuntos A={1; 2; 4}, B={2; 4}, C={1; 4; 5}

coloque V (verdadeiro) ou F (falso):a) ( ) A G B d) ( ) C H Ab) ( ) A C e) ( ) A H Bc) ( ) B H CRespostas: a) F; b) V; c) F; d) F; e) V.

NMERO DE SUBCONJUNTOS EXISTENTESDado um conjunto A qualquer, o nmero de subconjuntos

que ele possui ser denotado por n[P (A) ] e pode ser obtidopela frmula:

n[P (A) ] = 2n(A)

ou seja, para determinar o nmero de subconjuntos de umconjunto, basta elevar 2 ao nmero de elementos do conjunto.

Exemplo:

Determine o nmero de subconjuntos que possui oconjunto F, definido por: F = {a, d, r}.

Soluo: O nmero de elementos de F n(F) = 3, entoo nmero de subconjuntos que F possui ser:

n[P(F)] = 2n(F) = 23 = 8Portanto, o conjunto F possui 8 subconjuntos, que

explicitamente so:

{{a, d, n}; {a}; {d}; {n}; {a, d}; {a, n}; {d, n}; { }}Observao:

1 - Todo conjunto subconjunto dele mesmo.2 - O conjunto vazio subconjunto de todos os conjuntos.

RELAO DE IGUALDADEDois conjuntos so ditos iguais quando todos seus

elementos forem iguais.

Exemplo:

Dados os conjuntos H = {1, 2, 3, 4, 5} e K = {1, 2, 3, 4, x}eles somente sero iguais se x = 5.

OPERAES COM CONJUNTOSUnio, Interseco e Diferena

Existem trs operaes possveis que podem ser feitascom conjuntos: Unio, Interseco e Diferena.& Unio ( AAAA ): A unio entre os conjuntos A e B consiste

em montar um novo conjunto (A A B) formado por todosos elementos de A e de B.

Definio:

Exemplo: A = {1,2,3,4,5}B = {3,5,6,7}

= {1,2,3,4,5,6,7}

Na forma de diagrama: 1

4

2

3

57

6

AB

5555DFLRFtQLR////yJLFRObservao:

A unio uma operao comutativa, ou seja:A A B = B A A

& Interseco ( BBBB ): A interseco entre os conjuntos A eB consiste em montar um novo conjunto (A B B) formadopelos elementos que pertencem a A e a B simultanea-mente.

Definio: A B B = { x | x A e x B }Exemplo: A = {1,2,3,4,5}

B = {3,5,6,7}A B B = {3,5}

No diagrama a interseco parte que coincide entresos dois conjuntos:

14

2

3

57

6

AB

Observao: A B B = B B A& Diferena (): A diferena entre os conjuntos A e B

consiste em montar um novo conjunto (A B) formadopelos elementos que pertencem a A e no a B.

Definio: A B = { x | x A e x B }Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {3, 5, 6, 7}B A = {6, 7}

No diagrama a interseco parte que no coincideentres os dois conjuntos:

14

2

3

57

6

AB

Observao: B A g A BSobre o nmero de elementos

1) O nmero de elementos do conjunto (A A B) igual asoma do nmero de elementos de A e de B, menos onmero de elementos da interseco; matematicamente:

n(A A B) = n(A) + n(B) n(A B B)2) O nmero de elementos do conjunto (A B) dado pelo

nmero de elementos de A subtrado do nmero deelementos da interseco (A B B); logo:n(A B) = n(A) n(A B B)

EXERCCIO RESOLVIDOO exerccio a seguir est no formato da CESP, ou seja,

o candidato deve apenas julgar se a afirmao feita certa ouerrada.

1) Num colgio de segundo grau com 1000 alunos, foirealizada uma pesquisa sobre o gosto dos alunos pelasdisciplinas de Fsica e Matemtica. Os resultados dapesquisa se encontram na tabela a seguir:

Nmero de AlunosGostam de Matemtica 500

Gostam de Fsica 450Gostam de Matemtica e Fsica 200

Assim, 250 alunos no gostam de fsica e nem dematemtica.

Resoluo:

Para solucionar o problema deve-se construir o diagramade Venn. Perceba que existe uma interseco entre osconjuntos Matemtica e Fsica.Denotando por M o conjunto dos alunos que gostam dematemtica e por F os que gostam de fsica, o diagramase torna:

A interseco dos conjuntos representa os alunos quegostam das duas disciplinas.

Sempre se deve comear a preencher o diagramapela interseco.

Sendo assim:

Aps preencher a interseco possvel completar odiagrama da seguinte forma:

& O conjunto M possui 500 alunos; como no diagra-ma ele j possui 200 (interseco), basta preen-cher o conjunto com mais de 300 alunos.

& Executa-se o mesmo raciocnio para o conjunto defsica.

Desta forma, o diagrama se torna:

Do diagrama tem-se as seguintes informaes:

& 300 alunos gostam SOMENTE de matemtica.& 250 alunos gostam SOMENTE de fsica.& 300 + 200 + 250 = 750 alunos tem afinidades por

fsica ou/e matemtica.

Como foram entrevistados 1000 alunos e apenas 750tem afinidades com essas disciplinas, 250 (1000 750) o nmero de alunos que no gostam de fsica nemmatemtica.

Portanto, a afirmao dada no enunciado do problema CERTA.

5555DFLRFtQLR////yJLFREXERCCIOS DE FIXAO

1) Um programa de proteo e preservao de tartarugasmarinhas, observando dois tipos de contaminao dosanimais, constatou em um de seus postos de pesquisa,que:

& 88 tartarugas apresentavam sinais de contamina-o por leo mineral,

& 35 no apresentavam sinais de contaminao porradioatividade,

& 77 apresentavam sinais de contaminao tanto porleo mineral como por radioatividade e

& 43 apresentavam sinais de apenas um dos doistipos de contaminao.

Quantas tartarugas foram observadas?

a) 144b) 154c) 156d) 160e) 168

2) Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leramapenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80,os dois romances, A e B, e 340 no leram o romance A.O nmero de estudantes desse grupo igual a:

a) 380b) 430c) 480d) 540e) 610

3) Em um grupo de 30 crianas, 16 tm olhos azuis e 20estudam canto. O nmero de crianas deste grupo quetm olhos azuis e estudam canto

a) exatamente 16.b) no mnimo 6.c) exatamente 10.d) no mximo 6.e) exatamente 6.

4) Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56 alunos lemo jornal A, 21 lem os jornais A e B, 106 lem apenasum dos jornais e 66 no lem o jornal B. O valor de n :a) 249b) 137c) 158d) 127e) 183

5) Se X e Y so dois conjuntos no vazios, ento(X Y) F (X Y) igual a:a) b) Xc) Yd) X F Ye) X Y

6) Uma populao utiliza 3 marcas diferentes de sabonete:A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-seos resultados tabelados a seguir:

Marcas Nmero de consumidores

A 21

B 17

C 15

A e B 4

B e C 6

A e C 7

A, B e C 3

Calcular o nmero de consumidores que s utilizam amarca C.

a) 8b) 7c) 5d) 15e) Nenhuma das respostas anteriores.

7) Num homicdio praticado na Rua X, a polcia fez asseguintes anotaes, no boletim de ocorrncia, sobre aspessoas encontradas no local do crime:

I - Havia 5 mulheres.

II - 5 pessoas usavam culos.

III - 4 homens no usavam culos.

IV - 2 mulheres usavam culos.

Considerando que todas as pessoas encontradas nolocal do crime so suspeitas, ento quanto so ossuspeitos?

a) 8b) 9c) 10d) 11e) 12

RESPOSTAS:

1 - a

2 - d

3 - b

4 - c

5 - b

6 - c

7 - e


4. CLCULOS COM PORCENTAGENS.

INTRODUOA razo entre dois valores quaisquer de uma grandeza

pode ser representado com um conseqente ou denominadorqualquer. Suponha ento que numa caixa de frutas, contendolaranjas e mexericas, num total de 90 frutas, 27 delas sejamlaranjas. A razo entre o nmero de laranjas e o total de frutasser , que pode ser representada de vrias formas, comopor exemplo:

Ento, se pode dizer, com o mesmo sentido, que nacaixa de frutas, 27/90 das frutas so laranjas; ou 3/10 dasfrutas so laranjas; ou 12/40 das frutas so laranjas; ou 30/100 das frutas so laranjas, etc.

PORCENTAGEM

a razo representada com o denominador ou conse-qente 100 e chamada de percentagem ou porcentagem.

No exemplo acima, a razo com forma de porcentagem 30/100, que pode tambm ser escrita "30%", em que osmbolo "%" indica porcentagem.

O numerador ou antecedente "30" da razo chama-setaxa de porcentagem e o nmero total de frutas "90" chamadoprincipal.

bom notar que o nmero de laranjas "27", uma fraodo todo "90", ou seja, vale de 90, ou simplesmente 30% de 90.Ento se diz que 27 30% de 90, ou, 30% das frutas solaranjas.

Pode-se representar uma razo sob a forma de porcenta-gem, e, reciprocamente, representar uma porcentagem sob aforma de frao irredutvel.

Observe:

1) Representar a razo sob a forma de porcentagem.

Soluo: Consiste em achar uma razo igual a 3/5 e deconseqente 100. Ento, representando por x o antece-dente da razo procurada, forma-se a proporo

de onde vem: x = 60

Logo, a porcentagem procurada ser:

Reciprocamente, teramos: representar 60% sob a formade frao irredutvel.

Ento, a frao irredutvel correspondente a 60% .

2) Representar a razo sob a forma de porcentagem.

Soluo:

Segundo o mesmo critrio anterior, vem:

de onde vem: x = 42,5

Logo, a porcentagem procurada ser:

Logo:

No comrcio, para simplicidade nos clculos, usa-sedeterminar as comisses, os lucros, os prejuzos, os abatimen-tos, os juros, as corretagens, etc., em propores a 100unidades de outra grandeza da mesma espcie. Isto significaque, quando se diz que um corretor recebeu 7% de comisso,quer-se dizer que, em cada 100 reais, a parte que lhe coube foi7 reais.

TERMOS DA PORCENTAGEM

Em todo problema de porcentagem, deve-se distinguirquatro elementos

& O PRINCIPAL que o nmero total sobre o qual se quercalcular a porcentagem. (todo em espcie). represen-tado por P.

& A PORCENTAGEM que a parte que se quer encontrardo principal e da mesma espcie do principal (parte doprincipal). representada por p.

& O NMERO FIXO 100 que representa o total em %(todo em %). Nunca aparece no problema e represen-tado por 100.

& A TAXA DE PORCENTAGEM que o nmero de partesque devem ser tomadas em cada 100 partes do principal(parte em %). representada por i.

RESOLUO DE PROBLEMAS

Os problemas relativos a porcentagem so resolvidosfacilmente, por meio de regra de trs simples e direta, seguin-do-se o critrio:

Ao principal (todo em espcie) corresponde 100%(todo em %) e porcentagem (parte do principal) correspon-de taxa de porcentagem (parte em %).

Exemplos:

1) Calcular quanto deve receber um corretor pela venda deum terreno no valor de R$ 50.000,00, se a comisso foiestipulada em 3,5%.

Resoluo:

Distinguindo os quatro elementos do problema, temos:

& PRINCIPAL = 50.000,00 (todo em espcie) ovalor total.

5555DFLRFtQLR////yJLFR& PORCENTAGEM = x (parte do principal) o

que vai ser calculado.

& NMERO FIXO = 100% (todo em %) nuncaaparece escrito no problema.

& TAXA DE PORCENTAGEM = 3,5% (parte em %) a parte do 100% que o corretor vai ganhar decomisso.

Com esses quatro elementos, arma-se o dispositivo(regra de trs simples direta), estabelecendo a propor-o.

A comisso do corretor de R$ 1.750,00.

2) Ao pagar uma conta de R$ 48.000,00, uma pessoa temum abatimento de 4%. Quanto pagou pela conta?

Resoluo:

Distinguindo os quatro elementos do problema, temos:

& PRINCIPAL = 48.000,00 (todo em espcie) ovalor total.

& PORCENTAGEM = x (parte do principal) oque vai ser calculado.

& NMERO FIXO = 100 % (todo em %) nuncaaparece escrito no problema.

& TAXA DE PORCENTAGEM = 4 % (parte do 100 %) o que vai ser abatido.

Similarmente ao exemplo anterior tem-se que:

O abatimento foi de R$ 1.920,00, ento, a pessoapagou:

R$ 48.000,00 R$ 1.920,00 = R$ 46.080,00Portanto, a pessoa pagou R$ 46.080,00 pela conta.

EXERCCIOS DE FIXAO

1) Numa certa cidade, dez por cento das mulheres pensamque so homens e dez por cento dos homens pensamque so mulheres. Todas as outras pessoas so perfei-tamente normais. Certo dia todas as pessoas dessacidade foram testadas por um psiclogo, verificando que20% das pessoas pensavam que eram homens. Qual aporcentagem real de mulheres?

a) 75,5% b) 80,0% c) 85,5%

d) 87,5% e) 95,5%

2) Em dezembro de 2008, com a crise mundial, umaempresa foi obrigada a demitir, em massa, 60% dosseus empregados. Como, nestes ltimos meses, asposies melhoraram muito, os diretores decidiramreabrir as vagas, para a empresa voltar a ter o nmerode empregados que tinha antes da crise. Para isso, onmero atual desempregados dever ser aumentado em:

a) 40%b) 60%c) 100%

d) 120%e) 150%

3) Um comerciante, ao reajustar seus produtos em 25%,sem querer cometeu um engano: no caso de um dosprodutos, ao invs de aumentar o preo, ele o reduziuem 25%. Nesse produto, o prejuzo que ele ter, emrelao ao preo que deveria ser, ser de:

a) 25%b) 33,33%c) 40%

d) 50%e) 66,66%

4) Um lojista sabe que, para no ter prejuzo, o preo devenda de seus produtos deve ser no mnimo 44%superior ao preo de custo. Porm ele prepara a tabelade preos de venda acrescentando 80% ao preo decusto, porque sabe que o cliente gosta de obter descontono momento da compra.

Qual o maior desconto que ele pode conceder aocliente, sobre o preo da tabela, de modo a no terprejuzo?a) 10% b) 15% c) 20%

d) 25%e) 36%

5) Em uma certa populao 18% das pessoas so gordas,30% dos homens so gordos e 10% das mulheres sogordas. Qual a porcentagem de homens na popula-o?

a) 10%b) 20%c) 30%

d) 40%e) 50%

6) A diferena entre 1/3 e seu valor aproximado 0,333 igual a x% do valor exato. Ento o valor de x :

a) 0,0001b) 0,001c) 0,01

d) 0,1e) 0,3

7) Uma empresa brasileira tem 30% de sua dvida emdlares e os restantes 70% em euros. Admitindo-se umavalorizao de 10% do dlar e uma desvalorizao de2% do euro, ambas em relao ao real, pode-se afirmarque o total da dvida dessa empresa, em reais,

a) aumenta 8%b) aumenta 4,4%c) aumenta 1,6% d) diminui 1,4%e) diminui 7,6%

8) Com relao dengue, o setor de vigilncia sanitria deum determinado municpio registrou o seguinte quadro,quanto aos nmeros positivos:

& em fevereiro, relativamente a janeiro, houve umaumento de 10% e

& em maro, relativamente a fevereiro, houve umareduo de 10%.

Em todo o perodo considerado, a variao foi de

a) 1%b) 0,1%c) 0%

d) 0,1%e) 1%

5555DFLRFtQLR////yJLFR 9) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preo

de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conse-guiu um lucro de 20% sobre o preo que pagou pelamesma.

Se o desconto no fosse dado, seu lucro, em porcenta-gem, seria:

a) 40%b) 45%c) 50%

d) 55%e) 60%

10) Numa barraca de feira, uma pessoa comprou mas,bananas, laranjas e peras. Pelo preo normal da barra-ca, o valor pago pelas mas, bananas, laranjas e perascorresponderia a 25%, 10%, 15% e 50% do preo total,respectivamente.

Em virtude de uma promoo, essa pessoa ganhou umdesconto de 10% no preo das mas e de 20% nopreo das peras. O desconto assim obtido no valor totalde sua compra foi de:

a) 7,5%b) 10%c) 12,5%

d) 15%e) 17,5%

11) O limite do consumo mensal de energia eltrica de umaresidncia, sem multa, foi fixado em 320 kWh. Pelasregras do racionamento, se esse limite for ultrapassado,o consumidor dever pagar 50% a mais sobre o excesso.Alm disso, em agosto, a tarifa sofreu um reajuste de16%. Suponha que o valor pago pelo consumo deenergia eltrica no ms de outubro tenha sido 20% maiordo que aquele que teria sido pago sem as regras doracionamento e sem o aumento de tarifa em agosto.Pode-se ento, concluir que o consumo de energiaeltrica , no ms de outubro foi de aproximadamente:

a) 301 kWhb) 343 kWhc) 367 kWh

d) 385 kWhe) 413 kWh

12) Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber80% de uma causa avaliada em R$200.000,00 e cobra15% da quantia recebida, a ttulo de honorrios.

A quantia, em reais, que Marcos receber, descontadaa parte do advogado, ser de

a) 24000b) 30000c) 136000

d) 160000e) 184000

13) O Sr. Eduardo gasta integralmente seu salrio em 4despesas: moradia, alimentao, vesturio e transporte.Ele gasta 1/4 do salrio com moradia, 35% do salriocom alimentao, R$ 400,00 com vesturio e R$ 300,00com transporte. Sua despesa com moradia igual a:

a) R$ 430,00 b) R$ 437,50c) R$ 432,50

d) R$ 440,00e) R$ 435,00

14) Determine o total quando:a) 5 % correspondem a 30 reais.b) 20 % correspondem a 600 metros.c) 4 % correspondem a 380 reais.d) 70 % correspondem a 322 moedas.

15) (10%)2 =

a) 100%b) 1%c) 5%

d) 0,1%e) n.r.a.

16) Num concurso pblico com 1.500 candidatos inscritos,30% foram reprovados. Quantos candidatos foramaprovados?

a) 1050b) 950c) 1000

d) 850e) n.r.a.

17) Um atirador faz 320 disparos contra um alvo, tendoacertado 288 vezes. A porcentagem de tiros certos e ade tiros errados, respectivamente, so:

a) 10% e 90%b) 15% e 85%c) 90% e 10%d) 85% e 15%e) n.r.a.

18) O abatimento que se faz sobre R$ 30.000,00 quando seconcede um desconto de 20% e, a seguir, mais um de5% :

a) R$ 7.200,00b) R$ 6.200,00c) R$ 5.200,00

d) R$ 8.200,00e) n.r.a.

19) Uma mercadoria, que custava R$ 7,50, teve um aumen-to, passando a custar R$ 10,50. A majorao sobre opreo antigo de:

a) 10%b) 20%c) 30%

d) 40%e) n.r.a.

20) O preo de certa mercadoria sofre anualmente umacrscimo de 100%. Supondo que o preo atual seja R$50,00, daqui a 3 anos, o preo ser:

a) R$ 300,00b) R$ 500,00c) R$ 200,00d) R$ 600,00e) n.r.a.

21) Numa loja, o preo de um par de sapatos era de R$140,00. Para iludir os consumidores, o dono aumentouo preo de todos os artigos em 50% e, em seguida,anunciou um desconto de 20%. Esse par de sapato ficouaumentado de:

a) R$ 26,00b) R$ 28,00c) R$ 31,00

d) R$ 34,00e) n.r.a.

22) Aps um aumento de 20%, um livro passa a custarR$ 180,00. O preo antes do aumento era:a) R$ 170,00b) R$ 144,00c) R$ 160,00d) R$ 150,00e) n.r.a.

5555DFLRFtQLR////yJLFR23) Um plebiscito foi realizado na cidade A, para decidir

sobre a autonomia administrativa. Dos 22.500 eleitores,10% faltaram, 15% votaram em branco ou anularam ovoto e 4.500 votaram no. Diante disso, conclui-se quevotaram sim:

a) 55% dos eleitoresb) 45% dos eleitoresc) 66,6% dos eleitoresd) 11.250 eleitorese) n.r.a.

24) Um cidado reserva 30% do seu salrio para o paga-mento do B.N.H., 50% do que resta para alimentao.Tirando BNH e alimentao, 20% do que sobra coloca napoupana e os restantes R$ 280,00 sero utilizados emoutras despesas. Podemos concluir que:

a) o gasto com alimentao R$ 450,00; b) o seu salrio de R$ 1.000,00;c) o dinheiro destinado poupana de R$ 170,00;d) o pagamento do BNH R$ 600,00;e) n.r.a.

25) Uma loja realiza uma liquidao vendendo certa merca-doria por R$ 950,00, com prejuzo de 5% sobre o preode custo. De quanto foi o prejuzo?a) R$ 50,00b) R$ 60,00c) R$ 70,00d) R$ 80,00e) n.r.a.

26) O senhor A contrata um advogado e este conseguereceber 90% do valor da questo avaliada em R$30.000,00 e cobra, a ttulo de honorrios, 15% daquantia recebida. Ento, a importncia que resta para osenhor A :

a) R$ 4.050,00b) R$ 22.500,00c) R$ 22.950,00d) R$ 25.800,00e) n.r. a.

27) O preo de uma geladeira de R$ 1.200,00. Como voucompr-la a prazo, o preo sofre um acrscimo de 10%sobre o preo vista. Dando 30% de entrada e pagandoo restante em duas prestaes iguais, o valor de cadaprestao ser de:

a) R$ 302,00b) R$ 402,00c) R$ 450,00d) R$ 462,00e) n.r.a.

RESPOSTAS

1) d 2) e 3) c 4) c 5) d 6) d 7) c 8) a 9) c10) c

11) b12) c13) b14) a) 600 reais;

b) 3.000 metros;c) 9.500 reais;d) 460 moedas.

15) b16) a17) c

18) a19) d20) e21) b22) d23) a24) b25) a26) c27) d

0]^cP{Tb)0]^cP{Tb)0]^cP{Tb)0]^cP{Tb).........................................................................................

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6 Raciocinio Logico

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