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112

Apêndices

Apêndice A: Cálculo Analítico das Frequências Naturais

Espécie: Phyllostachys aurea ρ = 808 Kg/m3

E = 16,83 GPa L = 0,34 m

Tabela A.1 Propriedades físicas, geométricas e mecânicas.

CP b h Área Massa L. Massa Inercia Rigidez (m) (m) (m2) (Kg/m) (Kg) (m4) (N/m)

1 0,0093 0,0019 1,76E-05 0,014 0,005 5,17E-12 26,54

2 0,0089 0,0024 2,09E-05 0,017 0,006 9,61E-12 49,36

3 0,0079 0,0020 1,60E-05 0,013 0,004 5,42E-12 27,85

4 0,0085 0,0019 1,61E-05 0,013 0,004 4,85E-12 24,92

5 0,0081 0,0018 1,47E-05 0,012 0,004 3,98E-12 20,46

EQUAÇÕES DA VIBRAÇÃO LATERAL EM VIGAS

Equação da frequência: cosβLcoshβL= -1 com

Raízes βiL da equação de frequência:

β1L = 1,8751 β3L =7,854757

β2L = 4,6941 β4L =10,99554

Frequência Natural para os primeiros quatro modos de vibração

e

Tabela A. 2. Frequências naturais para os quatro primeiros modos de vibração.

Modo 1 2 3 4

CP No.

w (rad/s)

f (Hz)

w (rad/s)

f (Hz)

w (rad/s)

f (Hz)

w (rad/s)

f (Hz)

1 75,31 11,99 471,94 75,11 1321,44 210,31 2589,49 412,13

2 94,17 14,99 590,15 93,92 1652,42 262,99 3238,09 515,36

3 80,86 12,87 506,74 80,65 1418,87 225,82 2780,43 442,52

4 76,16 12,12 477,32 75,97 1336,50 212,71 2619,01 416,83

5 72,36 11,52 453,49 72,18 1269,79 202,09 2488,28 396,02

113

Apêndice B. Ligações

As ligações são responsáveis pela redistribuição dos esforços entre os

elementos estruturais. Elas são utilizadas em estruturas reticuladas do tipo

pórtico e treliça, desempenhando um papel importante no comportamento

mecânico global e local da estrutura (tensões, flechas, flambagem e vibração)

(Cunha et. al., 2008).

Numa ligação viga-coluna, de uma forma geral, são transmitidos esforços

axiais, cortantes, momentos fletores e de torção. Nestes pontos ocorre mudança

de direção do eixo da estrutura, o que provoca alteração na direção dos esforços

internos e, portanto, modificação na distribuição de tensões na seção. Para a

maioria das ligações em estruturas aporticadas, as deformações causadas pelos

esforços axiais e cortantes são pequenas quando comparadas com a

deformação rotacional. Sendo assim, somente estas últimas são consideradas.

Na ligação, a rotação é expressa como uma função do momento, e representa a

mudança do ângulo entre a viga e a coluna da configuração original devido ao

momento fletor, ou seja, é a rotação relativa entre a viga e a coluna (Avakian,

2007; Stramandinoli, 2007).

Os deslocamentos de uma estrutura estão relacionados à sua rigidez, que

depende também da rigidez das ligações. Portanto, a verificação das

deformações de uma estrutura deve considerar a deformabilidade das ligações

(Stramandinoli, 2007). A deformabilidade de uma ligação é definida como a

relação do deslocamento relativo entre os elementos que compõem a ligação e o

esforço solicitante unitário atuante na direção desse deslocamento. A

deformabilidade tem o mesmo significado da flexibilidade do processo dos

esforços da análise estrutural e, por consequência, corresponde ao inverso da

rigidez (El Debs, 2000 apud Almeida, 2010).

Na engenharia, foram elaborados alguns modelos teóricos ideais para as

ligações, baseando-se em algumas hipóteses simplificadoras de cálculo, como a

que considera que os esforços solicitantes são transmitidos integralmente entre

os elementos, evidenciando-se o comportamento teoricamente indeformável das

ligações. Estes modelos ideais são a rótula (ligação flexível) e o engaste perfeito

(ligações rígidas), mas nem sempre coincidem com o comportamento real da

estrutura (Figura B.1) (Sekulovic, 2002; Avakian, 2007; Christoforo e Lahr, 2007;

Almeida, 2010). No entanto, esta simplificação pode gerar estruturas que

trabalham com apenas uma fração de sua resistência última, pois em certos

114

casos o dimensionamento é definido pelo estado limite de utilização (Cunha et.

al., 2008).

(a) (b) (c)

Figura B.1 Classificação das ligações de acordo com sua rigidez. (a) Rígida. (b) Flexível. (c) Semi-rígida.

A hipótese de uma ligação totalmente rígida conduz a uma perfeita

continuidade rotacional e todos os deslocamentos relativos são impedidos,

fazendo com que o ângulo formado pelos elementos estruturais conectados

permaneça o mesmo após a atuação de todo o carregamento da estrutura,

possibilitando a transmissão total do momento fletor (Figura B.2). Nas ligações

idealmente rotuladas, não há continuidade rotacional e nenhuma transmissão de

momento fletor ocorre entre os elementos ligados, além disso, não se apresenta

impedimento para a rotação relativa entre as peças conectadas (Da Silva, 2010).

(a) Pórtico com nós rígidos

(b) Pórtico com nós flexíveis

Figura B.2 Comportamento de ligações viga-pilar.

Exemplos de ligações articuladas são as utilizadas em elementos de

treliças e em cantoneiras de alma, que têm pequena capacidade resistente à

flexão e capacidade rotacional elevada. Já as ligações rígidas são comumente

115

utilizadas em elementos de pórticos e ligações soldadas que têm maior

resistência e menor capacidade rotacional (Maggi, 2004; Stramandinoli, 2007).

Um tipo de ligação intermediária, ou seja, nem flexível nem rígida, é a

semi-rígida, que apresenta resistência à rotação relativa, mas não possui rigidez

suficiente para impedir todo deslocamento entre as peças. É o caso das

estruturas pré-moldadas e dos elementos de concreto armado submetidos à

flexão após a fissuração. Os efeitos deste tipo de ligação influenciam a

redistribuição dos esforços ao longo dos elementos, os deslocamentos laterais

da estrutura devido a ações horizontais, a estabilidade global do sistema, e os

deslocamentos verticais das vigas (Da Nóbrega e De Hanai, 2006). Assim,

resulta-se em uma estrutura menos rígida e, por consequência, com maiores

deslocamentos. Neste caso, considera-se apenas a influência da variação da

rigidez à flexão, sendo suficientemente rígidas para impedirem os

deslocamentos relativos de translação (Stramandinoli, 2007).

Existe uma dificuldade para avaliar os coeficientes de rigidez da ligação

semi-rígida, devendo-se recorrer a ensaios experimentais. Para o caso de

pórticos sujeitos a cargas horizontais, nas ligações entre vigas e pilares, o efeito

das elevadas tensões cisalhantes provoca fissuras inclinadas, tornando-se

necessária uma modelagem mais refinada da ligação entre os elementos

(Stramandinoli, 2007).

Com base no estudo experimental, devido a testes de carga estática para

vários tipos de ligações, muitos modelos têm sido feitos para a aproximação do

comportamento da ligação semi-rígida. O modelo mais simples, que tem sido

amplamente utilizado, é o modelo linear. No entanto, este modelo funciona

apenas para as cargas de baixo nível, quando o momento da ligação é muito

pequeno. Em outros casos, quando a rigidez da ligação pode rapidamente

diminuir comparada ao seu valor inicial, um modelo não-linear é necessário

(Sekulovic, 2002).

Outra forma de determinação da rigidez da ligação é desenvolver uma

modelagem analítica que consiga retratar o comportamento da mesma.

Entretanto, como o comportamento da ligação tem certa complexidade, é

necessário que se faça também uma análise experimental para a validação

desta modelagem teórica. É preciso ressaltar que existem procedimentos

numéricos para a determinação da deformabilidade das ligações (Christoforo e

Lahr, 2007).

116

B.1 Classificação das Ligações

As especificações da norma americana AISC – American Institute of Steel

Construction ANSI/AISC 360-05 distinguem dois tipos de ligação: completamente

restringidas, FR, (fully restrained) e parcialmente restringidas, PR, (partially

restrained), sendo que esta última engloba os pórticos semi-contínuos,

caracterizados por ligações semi-rígidas entre seus elementos, que admitem

rotações relativas entre a viga e o pilar. Já na norma européia para o projeto de

estruturas de aço EUROCODE: Parte 1.1 (1992) é proposto um método de

classificação da ligação de acordo com as características do nó, particularmente

com relação à rigidez inicial e ao momento resistente da ligação relativa aos

membros conectados, considerando o comportamento global da estrutura, sendo

que a rigidez é expressa como uma fração da rigidez do elemento que está

sendo conectado (De Castro e Silva, 2005, Avakian, 2007).

Em 1997, o EUROCODE 3: Anexo J (1997) passou a adotar o novo

conceito estrutural de ligações semi-rígidas ao incorporar um método de

classificação de rigidez da ligação baseado nos critérios de rigidez à rotação e

resistência, critérios estes adotados para análise elastoplástica. No critério de

rigidez à rotação, as ligações são classificadas como nós rotulados (nominally

pinned) onde não são desenvolvidos momentos fletores significativos, semi-

rígidos ou rígidos. Pelo critério da resistência ao momento fletor, as ligações são

classificadas em: completamente resistentes (full strength connections), onde a

resistência da ligação é igual ou superior à dos elementos conectados; e

parcialmente resistentes (partial strength connections), onde as resistências são

inferiores às dos membros conectados. O EUROCODE 3: Parte 1.8 (2003)

introduz o método dos componentes para determinação da curva momento-

rotação da ligação (Avakian, 2007).

A análise global da estrutura relaciona-se com o sistema de classificação

da ligação segundo os critérios dos estados de serviço e dos estados limites

último. Na análise elástica, a ligação possui comportamento linear e classifica-se

pelos estados limites de serviço, de acordo com a rigidez inicial. Na análise

rígido-plástica, a ligação é classificada pelos estados limites últimos, com

parâmetros relacionados à resistência ao momento fletor e à capacidade

rotacional, esta última definida como a rotação plástica que a ligação pode

apresentar mantendo uma parcela da sua resistência (Maggi, 2004; Avakian,

2007). Rótulas plásticas podem se formar na ligação ou nos elementos

117

conectados, dependendo se o nó é parcialmente ou completamente resistente, e

os pontos de formação de rótulas devem possuir capacidade de rotação

suficiente para a formação de um mecanismo (De Oliveira, 2007). Para a análise

elasto-plástica, as ligações são classificadas pela combinação dos dois critérios

anteriores (De Castro e Silva, 2004; Avakian, 2007). Tanto a rigidez quanto a

resistência da ligação consideram na estrutura o efeito do comportamento não

linear quando comparadas à rigidez do elemento que está conectado ao pilar

(De Castro e Silva, 2004). Outro critério de classificação das ligações é o grau de

ductilidade da mesma (Avakian, 2007).

A capacidade de rotação disponível de uma ligação é uma variável que

deve ser estudada na análise rígido-plástica ou elasto-plástica. Em sistemas

contínuos, as rótulas plásticas formam-se nos elementos, projetados segundo

seções compactas, possuidoras de grande capacidade de redistribuição dos

esforços, o que confere certa ductilidade ao sistema. Em estruturas constituídas

por ligações parcialmente resistentes, em geral as rótulas plásticas se formarão

primeiramente nas ligações, que devem possuir capacidade de rotação

suficiente para continuar a se deformar e permitir que outras rótulas se formem

nos vãos, caracterizando, assim, o mecanismo de colapso (De Oliveira, 2007).

As especificações da AISC (1978) introduziram algumas hipóteses para

considerar o limite de rigidez inicial das ligações e as classificam em três tipos

(Figura B.3) (De Castro e Silva, 2004):

Rígidas: consideradas como aquelas nas quais é garantida a

continuidade da estrutura e as rotações relativas são totalmente restritas,

ou admitem restrição de, no mínimo, 90% da rotação teórica;

Flexíveis: consideradas como ligações nas quais as rotações relativas

entre os elementos conectados não são restringidas ou admitem uma

restrição no máximo igual a 20% da rotação ideal teórica. “Este tipo de

ligação implica em nenhuma transferência de momento fletor, isto é,

resistência apenas aos esforços cortantes e normais, AISC (1994)” (Da

Silva, 2006);

Semi-rígidas: seu comportamento está situado entre os limites

estabelecidos para as ligações rígidas e flexíveis.

118

Figura B.3 Classificação das ligações.

Os limites propostos pelo EUROCODE 3 (2000) para as ligações viga-pilar

segundo o valor absoluto da rigidez, são mostrados na Tabela B.1:

Tabela B.1. Limites para a classificação das ligações (EUROCODE 3; 2000).

REGIÃO LIMITES

Articulada

Semi-rígida

Estrutura contraventada

Estrutura não contraventada

Rígida

Estrutura contraventada

Estrutura não contraventada

Onde:

EI: rigidez à flexão da barra

L: vão da barra

FERREIRA; EL DEBS; ELLIOTT (2002), propõem um sistema de

classificação das ligações dividido em 5 regiões apresentadas na Tabela B.2:

119

Tabela B.2. Limite para a classificação das ligações.

REGIÃO LIMITES

Zona I – ligação articulada 0 ≤ γ ≤ 0,14

Zona II – ligação semi-rígida com baixa

resistência à flexão

0,14 ≤ γ ≤ 0,40

Zona III – ligação semi-rígida com média

resistência à flexão

0,40 ≤ γ ≤ 0,67

Zona IV – ligação semi-rígida com alta

resistência à flexão

0,67 ≤ γ ≤ 0,89

Zona V – ligação rígida 0,89 ≤ γ ≤ 1

B.2 Representação Matemática da Curva M VS. Θ

A curva momento-rotação fornece a relação entre o momento atuante na

ligação (M) e a resposta rotacional (ϴ). Essa relação momento-rotação (M vs. θ)

é a rigidez rotacional K (Da Silva, 2006), conforme a eq. (B.1), abaixo:

(B.1)

Figura B.4 Parâmetros estruturais da curva M - ϴ.

O objetivo de estudar a modelagem das ligações é considerar seu

comportamento real na análise estrutural através de uma representação

120

matemática da relação M vs. θ. As formulações matemáticas utilizadas para

representar a relação M vs. θ podem ser divididas em dois grupos: (1) baseado

nos parâmetros de rigidez, resistência e fator de forma; (2) por calibração da

curva utilizando análises regressivas (Faella et al., 2000 apud Avakian, 2007).

A rigidez rotacional das ligações, representadas pelos diagramas

momento-rotação (M vs. θ) indica a capacidade da ligação em transferir o

momento aplicado entre vigas e pilares. A relação M vs. θ tem como objetivo

representar a não linearidade do comportamento rotacional (Maggi, 2004).

A Figura B.4 ilustra a curva momento-rotação (M vs. θ) de uma ligação, na

qual pode se observar que:

1 - Todas as ligações possuem comportamento situado entre os dois extremos:

perfeitamente rígido (eixo vertical da Figura B.4) e rotulado (eixo horizontal

da Figura B.4);

2 - Para o mesmo valor de momento, quanto mais flexível a ligação, maior a

rotação. Inversamente, para uma dada rotação θ, uma ligação mais flexível

irá transmitir um momento menor entre os membros conectados;

3 - O momento máximo que uma ligação pode transmitir diminui com a

flexibilidade da ligação;

4 - A rigidez da ligação diminui com o aumento da rotação, mas, no

descarregamento, aproxima-se da rigidez inicial;

5 - A relação M vs. θ para ligações semi-rígidas é tipicamente não-linear para

todas as formas de carregamento, com redução da rigidez conforme a

rotação aumenta.

“A relação M vs. θ pode ser obtida: (i) através de análises experimentais

realizadas em laboratório; (ii) através do ajuste de curvas obtidas por ensaios

experimentais já existentes realizados por diversos pesquisadores, com o uso de

expressões simples, sendo para isso necessário que a ligação a ser analisada

seja similar à do ensaio realizado; (iii) através da análise numérica tridimensional

utilizando elementos finitos; (iv) através do desenvolvimento de procedimentos

analíticos simples para predizer o comportamento da ligação caso não esteja

disponível nenhum dado experimental da ligação específica” (Avakian, 2007).

Geralmente o comportamento da curva momento-rotação (M vs. θ) é não linear

quando a estrutura é sujeita a condições extremas de solicitação, por exemplo,

no caso dos sismos, porém, para alguns tipos de solicitações como cargas

gravitacionais ou variações de ação do vento, pode se usar uma variação linear

de rigidez correspondente à resposta nominal elástica da estrutura. Neste último

caso não é necessária a definição completa da curva, sendo suficiente uma

121

estimativa da rigidez inicial da ligação. Assim pode-se usar o método da

inclinação inicial (Radziminski, 1988 apud Da Silva, 2006). Este método consiste

em traçar uma reta passando pela origem da curva momento-rotação (M vs. θ),

interceptando a curva em seu trecho inicial (Figura B.5) (Godley, 1991 apud Da

Silva, 2006). A inclinação dessa reta tangente representa a rigidez da ligação, da

fase elástico-linear (Da Silva, 2006).

Figura B.5 Método da inclinação inicial.

122

Apêndice C. Análise Dinâmica das Estruturas.

A análise dinâmica é o estudo da variação da quantidade de movimento de

sistemas estruturais causada pela ação de forças externas que mudam sua

magnitude, direção ou posição no tempo, sendo o objetivo desta análise

determinar os deslocamentos, velocidades, acelerações, tensões e/ou

deformações de estruturas submetidas a carregamentos que variam com o

tempo. Diferencia-se da análise estática pelo fato das massas das estruturas

serem aceleradas e originarem “forças de inércia” resistentes ao movimento, que

ajudam as forças elásticas a equilibrar a modificação da cinemática causada

pela variação no tempo das forças externas; por outro lado, as forças de

amortecimento dissipam a energia do sistema enquanto a estrutura vibra na

troca de energia potencial elástica em cinética, e vice-versa (Roehl, [199-?]).

As forças que variam no tempo podem ser de diferentes naturezas: ação

do vento, ondas sonoras, movimentos decorrentes de abalos sísmicos, vibrações

produzidas por maquinas rotativas, explosões, veículos em trânsito, o caminhar

das pessoas. Essas forças geram vibração nas estruturas e seu estudo é tão

importante quanto seu comportamento estático, incorporando a variável tempo

nas equações de equilíbrio.

Em geral, a resposta estrutural dos sistemas a qualquer carregamento

dinâmico é expressa basicamente em termos de deslocamento da estrutura.

Para avaliar essa resposta definem-se as cargas a partir de dois enfoques

básicos: determinístico e não determinístico. Se a variação da carga no tempo é

completamente definida, embora possa ser de caráter altamente oscilatório ou

irregular, trabalha-se dentro do enfoque determinístico; e se a variação do

carregamento não está completamente definida, mas pode ser determinada

estatisticamente, trabalha-se dentro do enfoque não determinístico. Dentro do

enfoque determinístico têm-se dois tipos de carga: periódicas e não periódicas; a

primeira refere-se às cargas repetitivas que apresentam o mesmo

comportamento em intervalos iguais de tempo, e a segunda são carregamentos

que apresentam comportamentos diferentes em intervalos iguais do tempo

(Clough & Penzien, 1975).

“A vibração é um termo que a oscilação num sistema mecânico¸ e na

prática não possui muitas vezes um padrão regular, podendo ser uma

combinação de vários harmônicos de resposta simples. Se ela repete-se a certos

intervalos de tempo é dita periódica, do contrario é não periódica, ou complexa.”

123

(Roehl, [199-?]). Podem ser classificadas como Forçadas, além da energia do

sistema existem ações externas variáveis no tempo, correspondente à eq. (2.2);

Livres, sem força externa dependente do tempo, então a eq. (2.2) é igualada a

zero (0); e também, podem se classificar como Amortecidas, o sistema dissipa

energia em cada ciclo de vibração; e Não amortecidas, não existe dissipação de

energia, mas é uma idealização teórica que ajuda ao entendimento de situações

limites das vibrações amortecidas (Chopra, 1ª Ed.).

C.1 Graus de Liberdade

O número de coordenadas independentes necessárias para especificar a

configuração deformada ou a posição de um sistema estrutural em qualquer

instante do tempo é conhecido como o número de graus de liberdade. Os mais

usados são os sistemas com um grau de liberdade (S1GL) pelo seu fácil

entendimento e uso na interpretação de modelos complexos, por exemplo,

estruturas contínuas com n graus de liberdade são representadas pelos modelos

matemáticos apropriados de n S1GL, que consistem em uma massa (m) e sua

inércia que são características inerentes da estrutura; uma mola com constante

de rigidez (k) representando as forças elásticas e a capacidade de energia

potencial; o elemento amortecedor de coeficiente de amortecimento (c)

representando as características de dissipação de energia e a força de excitação

F(t) que representa a ação das forças externas no sistema estrutural em função

do tempo e u(t) corresponde ao deslocamento do sistema (Clough & Penzien,

1975).

O S1GL é o sistema mais simples de vibração que pode ser descrita por

uma única massa ligada a uma mola e um amortecedor (Figura C.1). A massa é

permitida se movimentar apenas na direção de alongamento da mola.

Figura C.1 Sistema dinâmico com um grau de liberdade (S1GL).

124

No uso do sistema S1GL, são adotadas as seguintes hipóteses:

A mola tem massa desprezível;

A resistência oferecida pela mola e pelo amortecedor é

proporcional ao descolamento;

Não há perda de energia devido ao atrito que atua externamente

ao sistema (Roehl, [199-?]).

Um caso particular de S1GL é o pórtico simples da Figura C.2 restringido

para mover-se só na direção da excitação (deslocamento lateral). Para a análise

dinâmica é idealizado como a massa concentrada em um ponto.

Figura C.2 Pórtico simples com força externa aplicada - S1GL.

C.2 Equação de movimento

A equação do movimento para qualquer sistema dinâmico refere-se à

segunda Lei de Newton e pode ser formulada diretamente pelo equilíbrio direto

das forças atuantes na massa ou pelo princípio D’Alembert, assumindo que a

estrutura responde linearmente à aplicação de carregamento. Essa equação é

dada por:

(C.1)

Nesta equação, o primeiro termo refere-se à força inercial (aceleração ü e

massa m), o segundo à força do amortecimento (velocidade e o

amortecimento c) e o terceiro à força elástica (deslocamento u e rigidez k), f(t) é

a força externa aplicada, e a solução é dada pela eq. (C.2) (Clough & Penzien,

1975):

(C.2)

Onde G é uma constante arbitrária.

Substituindo-se a eq. (C.2) na eq. (C.2), obtêm-se:

(C.3)

125

Dividindo-se a eq. (C.3) pelo fator , tem-se:

(C.4)

Introduzindo-se a eq. (C.5)

(C.5)

Onde é a frequência circular do movimento medida em rad/s, e

substituindo-se a eq. (C.5) na eq. (C.4) tem-se:

(C.6)

Da eq. (2.8) obtém-se o valor de s, que depende dos valores de c, , ou

seja, de k e m.

Em um sistema linearmente elástico, a relação entre a força lateral e os

resultados de deformação é linear, como pode ser visto na eq. (C.7):

(C.7)

Considerando o pórtico da Figura C.3 com comprimento da viga L, altura h,

módulo de elasticidade E, e momento de inércia da seção transversal I, e com a

condição de contorno das colunas engastadas na base e as ligações entre a viga

e as colunas rígidas, a rigidez lateral do pórtico é determinada pela eq.(C.8):

(C.8)

Figura C.3 Pórtico simples com força externa aplicada - S1GL.

C.3 Amortecimento

“O amortecimento estrutural refere-se à capacidade de uma estrutura ou

componente estrutural de dissipar energia associada à sua vibração. Essa

energia removida pode ser convertida em calor e transmitida a outros

126

componentes associados à estrutura ou ao meio externo. A perda de energia no

sistema amortecido acarreta o decaimento da amplitude de vibração, no caso de

uma vibração livre, bem como atenua os picos de aceleração e deslocamento da

estrutura quando esta é excitada por um carregamento dinâmico qualquer” (Leão

de Carvalho, 2002).

O amortecimento fisicamente pode ser gerado por três mecanismos

diferentes: o amortecimento fluido ou por viscosidade e arrasto de fluidos; o

amortecimento estrutural, quando a dissipação de energia é produto do atrito

entre os diferentes componentes de uma estrutura; é por último o amortecimento

do material que é a propriedade intrínseca de cada material de dissipar energia.

O amortecimento total de um sistema em vibração é a soma destas

componentes (Clough & Penzien, 1975).

O tipo de amortecimento viscoso provocado pelo meio fluido em que o

elemento está submerso é proporcional às propriedades desse meio e à

velocidade do movimento, usado geralmente para as pequenas deformações

dentro da faixa linear elástica. No entanto, como as relações força-deformação

são obtidas a partir de experimentos em estruturas ou elementos estruturais com

baixas taxas de deformação, excluindo assim qualquer dissipação de energia

decorrente desses efeitos, a abordagem usual é o modelo de amortecimento na

faixa de deformações inelásticas pelo mesmo amortecimento viscoso no regime

elastico (Chopra, 2ª Ed.).

C.4 Vibração livre

Este tipo de vibração é causado somente pela troca de energia potencial e

cinética presentes no sistema. A vibração livre na estrutura ao redor da sua

posição de equilíbrio é gerada, experimentalmente, puxando a estrutura com um

cabo que é liberado repentinamente. A dificuldade deste teste está em propiciar

que a liberação seja em um caminho em que a estrutura oscile em um único

modo natural de vibração. Mas se esta dificuldade é removida e o coeficiente de

amortecimento pode ser calculado da taxa do decaimento das amplitudes de

vibração (Chopra, 1ª Ed.).

Vibração livre sem amortecimento: Na condição de vibração livre

sem amortecimento, a solução da eq. (C.1) com c = 0, é dada por: (Clough &

Penzien, 1975).

127

(C.9)

Onde

(C.10)

Assim, a resposta do sistema dada pela eq. (C.2) fica da forma da

eq.(C.11):

(C.11)

Introduzindo a transformada do Euler da forma:

(C.12)

E substituindo a eq. (C.12) na resposta do sistema sem amortecimento,

dada pela eq. (C.11) temos a eq. (C.13):

(C.13)

Onde A e B dependem das condições iniciais, i.e., do deslocamento

da velocidade no tempo t = 0 no qual inicia a vibração livre do sistema;

assim seus valores são apresentados na eq. (C.14):

e (C.14)

Substituindo as expressões da eq. (C.14) na solução dada na eq. (C.13)

obtêm-se a eq. (C.15) que representa o movimento harmônico simples,

apresentado na Figura C.4.

(C.15)

Figura C.4 Resposta de vibração livre para um S1GL sem amortecimento.

A frequência cíclica, referida como frequência de movimento, é dada por:

128

(C.16)

E reciprocamente,

(C.17)

Sendo T o período medido em segundos e a frequência em ciclos por

segundo (Hertz, Hz).

Os dois harmônicos da resposta da eq. (C.15) têm a mesma frequência

, então é possível escrever a resposta do sistema em um único harmônico, da

forma da eq. (C.18):

(C.18)

A eq. (C.18) pode se representar no diagrama de Argand (Figura C.5).

Assim, a amplitude do movimento ρ é dada pela resultante da soma dos vetores

expressa na eq. (2.21):

(C.19)

E o ângulo de fase das duas componentes é:

(C.20)

Figura C.5 Decomposição dos harmônicos da resposta em vibração livre.

Vibração livre com amortecimento: Introduzindo a notação ξ,

chamada de fator de amortecimento, dada como uma porcentagem do

amortecimento crítico cc e matematicamente definida na eq. (C.21), pode-se

classificar o amortecimento de uma estrutura em três tipos: crítico, subcrítico e

supercrítico (Clough & Penzien, 1975).

129

(C.21)

No amortecimento crítico, a estrutura retorna a sua posição de equilíbrio

sem oscilar, e tem o fator de amortecimento ξ = 1. Quando C>Cc ou ξ > 1,

amortecimento é supercrítico, a estrutura não oscila e perde sua energia de

forma mais lenta que no amortecimento crítico. Quando C<Cc ou ξ < 1, o

amortecimento é subcrítico, a estrutura oscila com o decaimento da sua

amplitude de vibração decrescendo progressivamente, tendendo a zero no caso

de uma vibração livre, e tendendo a um valor finito, no caso de uma vibração

forçada (Figura C.6) (Chopra, 2ª Ed.).

a) Crítico b) Subcrítico c) Supercrítico

Figura C.6 Resposta em vibração livre de um S1GL com amortecimento.

A frequência circular amortecida wa é dada pela eq. (C.22) a partir da

frequência circular w0 dos sistemas sem amortecimento:

(C.22)

C.5 Medição experimental do fator de amortecimento ξ

Para determinar o valor do fator de amortecimento ξ assume-se um

sistema de um grau de liberdade S1GL equivalente, realizando uma estimativa a

partir dos dados experimentais do comportamento vibratório do sistema sob

alguma condição inicial de perturbação (Da Silva, 2008). Vários podem ser os

métodos experimentais empregados, como o de decremento logaritmico, o da

amplificação ressonante, o método da largura de banda, da perda de energia por

ciclo e do amortecimento histerético (Mendonça, 2006). O método do

decremento logarítmico é o método mais conhecido para a determinação

experimental do amortecimento total de sistemas em vibração livre.

130

O Decremento Logarítmico δ refere-se à taxa de redução logarítmica

relacionada com a redução do movimento após um impulso provocado no

sistema em vibração livre quando a energia é transferida para outras partes do

sistema ou é absorvido pelo próprio elemento. Definido matematicamente como

o logaritmo neperiano da taxa de decaimento entre duas amplitudes un e un+k

separadas k ciclos de vibração, como é apresentado na seguinte equação

(Clough&Penzien, 1975):

1

ln1

n

n

u

u

k

(C.23)

A Figura C.7 apresenta a resposta amortecida em termos de deslocamento

da vibração livre de S1GL.

Figura C.7 Definição do decremento logarítmico.

Para valores de amortecimentos muito pequenos (ξ<<1), o decremento

logarítmico pode aproximar-se a:

2 (C.24)

Substituindo o valor de δ da eq. (C.23) na eq. (C.24), tem-se o coeficiente

de amortecimento baseado na resposta em vibração livre do sistema definido

pela eq. (C.25):

1

ln2

1

n

n

u

u

k

(C.25)

C.6 Analise Modal

A análise modal reúne as técnicas teóricas e experimentais que permitem

a criação de um modelo matemático representativo do comportamento dinâmico

de um sistema estrutural, a fim de determinar seus parâmetros modais que são:

131

as frequências naturais, os modos de vibração e os fatores de amortecimento

modal (Nobrega, 2004).

A análise modal, através da combinação linear dos modos de vibração de

uma estrutura, assume simplificadamente as hipóteses de comportamento

elástico linear e que as características estruturais são invariantes no tempo. Os

resultados das frequências e modos em que a estrutura naturalmente tende a

vibrar apresentam um modelo de resposta a várias excitações dinâmicas apesar

de não serem obtidos baseados em um carregamento específico.

Cada modo de vibração é definido pela forma deformada em que uma

estrutura assume uma frequência natural específica de vibração. As frequências

naturais e os modos de vibração são alterados se as condições de contorno são

modificadas; se alguma propriedade estrutural é alterada, as frequências

naturais mudam, mas os modos de vibração podem não mudar (Rezende, 2006).

A análise modal pode ser do tipo teórica ou experimental, e possui três

componentes fundamentais (Nakano & Lima, 2003):

a) Princípios teóricos da dinâmica das estruturas.

b) Medição das vibrações e seu controle.

c) Análise dos dados obtidos

Análise Modal Teórica

A análise modal teórica é o processo realizado com o objetivo de

descrever matematicamente o comportamento e as características dinâmicas

das estruturas. Baseia-se no fato de que o comportamento geral de um sistema

linear pode ser descrito como uma composição de movimentos independentes

entre si, estes são os modos de vibrar (Ewins, 1984 apud Segundinho, 2010). É

geralmente realizada pelo método de elementos finitos (MEF), pois a geometria

e as propriedades da estrutura são conhecidas e resolve-se a equação geral de

movimento para quantificar e modelar matematicamente as forças aplicadas

(Segundinho, 2010).

Define-se o Modelo Espacial a partir das propriedades físicas e

geométricas da estrutura, geralmente em termos da massa (M), amortecimento

(C) e rigidez (K); posteriormente, determina-se o Modelo Modal, como o

conjunto das frequências naturais (ω), seus correspondentes modos de vibração

(Φ) e fatores de amortecimento modal (ξ), que juntos constituem os parâmetros

modais do sistema. Estes parâmetros são usados para analisar a resposta da

132

estrutura sob a influência de uma excitação, que depende das propriedades

estruturais e da natureza e intensidade da excitação, e representa-se como uma

análise de resposta sob excitação normalizada como base de solução para

qualquer caso. Assim o Modelo de Resposta contém o conjunto de soluções em

relação às quais as excitações possuem valores unitários, aplicados em

determinados pontos da estrutura e para todas as frequências de uma faixa

específica de interesse (Hij(ω)); que consiste de um conjunto de Funções de

Resposta em Frequência (FRFs) ou de Funções de Resposta ao Impulso (FRIs)

e das respostas da estrutura ao longo do tempo (h(t)) (Nobrega, 2004).

Análise Modal Experimental

A análise experimental usa os dados experimentais para determinar as

frequências modais, fatores de amortecimento modais e modos de vibração.

Através de ensaios experimentais são obtidas as características da resposta do

sistema, que são geralmente dadas através de Função de Respostas em

Frequência (FRF) ou resposta impulsiva (FRI) (Maia et.al., 1997 apud Lofrano,

2003).

Inicia-se com a medição da resposta da estrutura na forma de FRFs, FRIs

e variações h(t), sendo o Modelo de resposta. Aplicam-se métodos para deduzir

as frequências naturais (ω), modos de vibração (Φ) e fatores de amortecimento

(ξ) para obter o Modelo modal e defini se o Modelo espacial com a determinação

das propriedades espaciais (M, C, K) da estrutura através de técnicas de análise

apropriadas (Nobrega, 2004).

A Análise Modal Experimental para o estudo de qualquer sistema estrutural

se fundamenta em quatro hipóteses básicas (Nobrega, 2004):

1) A estrutura é linear. A resposta da estrutura a qualquer combinação de

forças simultaneamente aplicadas é a soma das respostas individuais de cada

uma dessas forças;

2) A estrutura é invariante no tempo. Os parâmetros modais são

constantes no tempo;

3) A estrutura obedece o teorema de reciprocidade de Maxwell, que

estabelece relação direta entre os deslocamentos generalizados e as forças

generalizadas que os provocam, atuantes em pontos distintos da estrutura,

independente de sua ordem de aplicação;

4) A estrutura é observável. As medidas de entrada e de saída que são

feitas contém informações suficientes para gerar um modelo de comportamento

adequado para a estrutura.

133

O sistema básico da análise modal experimental consiste de (Nakano &

Lima, 2003):

a) Geradores de Vibrações: podem gerar cargas de natureza senoidal,

periódica, aleatória e transiente.

b) Amplificador de Carga: permite o controle do carregamento a ser

aplicado na estrutura.

c) Excitador: as estruturas podem ser excitadas através de:

- Excitador Mecânico -“Shakers”

- Excitador eletro-hidráulico - Golpe de Martelo

- Deslocamento inicial - Excitação ambiente

d) Transdutores: utilizam-se geralmente transdutores piezelétricos

(acelerômetros) e medidores de deformação (strain gages). Um transdutor é um

dispositivo que recebe um sinal e o retransmite, independentemente de

conversão de energia.

e) Condicionador de Sinais e Amplificadores: estes componentes

dependem fundamentalmente do tipo de transdutor, e fazem a interface entre o

sinal analógico e digital.

f) Analisador: guarda os dados gravados e, posteriormente, calcula a FRF

e o espectro de resposta da estrutura.

O método da análise modal experimental consiste em excitar a estrutura

de teste em um ou vários pontos e medir simultaneamente os sinais de força de

excitação e os sinais de resposta nos pontos considerados. Os históricos

temporais dos sinais de excitação e a resposta são enviados a um analisador de

sinais ou computador, que estima as Funções de Resposta em Frequência

(FRFs) entre os pontos considerados e, se for necessário, as Funções de

Resposta ao Impulso (FRIs) entre os mesmos pontos (Matos da Cruz, 2006).

As fases da análise modal experimental podem ser classificadas assim:

a. Objetivo do teste modal: deve-se ter especificado o tipo de aplicação em

que o modelo modal obtido será utilizado. Algumas aplicações são:

Predição da Resposta Forçada: a partir do modelo modal de um sistema

sujeito a forças de excitação conhecidas.

Identificação de Forças de Excitação: quando um sistema estiver sujeito

à ação de forças de excitação desconhecidas, ou difíceis de medir,

pode-se determiná-las medindo a resposta do sistema, quando já se

conhecem as propriedades dinâmicas do mesmo.

134

Modificação estrutural: se a estrutura sofre modificações na massa,

rigidez ou amortecimento pode-se predizer o efeito no modelo modal a

partir das características conhecidas do modelo original.

Subestruturamento: pode-se determinar o modelo modal de uma

estrutura complexa constituída de várias partes, caso se conheça as

características dinâmicas de cada parte constituinte (Dovel, 1989 apud

Matos da Cruz, 2006).

Correlação com Modelos Numéricos: a validação dos resultados da

modelagem numérica se faz através de uma comparação com o modelo

obtido experimentalmente, e vice-versa; é geralmente um procedimento

interativo no qual se comparam as frequências naturais e formas modais

entre os dois modelos (Ibrahim, 1988; Ewins, 1984 apud Matos da Cruz,

2006).

b. Preparação para o Teste: Nesta fase é definido:

Condições de contorno: existem duas condições ideais de suporte: a

primeira condição totalmente livre, quando a estrutura não é suportada

por nenhum vínculo, e a segunda, quando a estrutura é fixada em

alguma região de seu contorno por um suporte totalmente rígido. Porém,

qualquer das duas condições é difícil de atingir na realidade. A condição

livre pode ter modos de corpo rígido, e na rígida existirá alguma

flexibilidade na base ou nos pontos de fixação.

Definição do modelo geométrico e medição da excitação e resposta:

Consiste em especificar o número de pontos na estrutura de teste onde

serão fixados os transdutores de excitação e resposta, para obter

informação suficiente sobre os modos de vibração do sistema. Definem-

se, os tipos de transdutores a serem utilizados para captar os sinais de

excitação e do movimento de resposta da estrutura. Os transdutores

mais populares utilizam cristais piezoelétricos.

Sinais de excitação: os tipos de sinal de excitação usados em testes

modais podem ser classificados segundo Ramsey (1976) e Stroud

(1987) (apud Matos da Cruz, 2006) em: excitação aleatória, excitação

senoidal e excitação transiente. A excitação aleatória pode ser: (i) pura,

usando um sinal contínuo e não repetitivo, (ii) pseudoaleatória, como

uma sequência aleatória que se repete periodicamente e (iii) aleatória

em pacotes, quando a amplitude do sinal decai a zero no período de

análise do analisador (Nobrega, 2004; Matos da Cruz, 2006). A

excitação senoidal pode ser repetitiva ou transiente e pode ser feita

135

sintonizando-se as frequências uma a uma, manualmente ou através de

um processo de varredura em uma determinada faixa. A excitação

transiente pode ser gerada pela aplicação de um pulso com um martelo

de impacto ou um deslocamento inicial retirando uma carga estática

repentinamente rompendo um cabo de peso reduzido que traciona a

estrutura.

Mecanismos de Excitação: a escolha destes mecanismos esta

relacionada com a geração do tipo de sinal definido para o sistema

(Matos da Cruz, 2006).

c. Estimação das funções de resposta em frequência FRF sou FRIs: a FRI

é obtida através da transformação inversa de Fourier da FRF. Para a

determinação da FRF entre dois pontos, é necessário obter o espectro de

frequência da força de excitação agindo em um ponto e o espectro do

movimento de resposta do outro ponto ou no mesmo. Estes espectros são

obtidos usando a Transformada Rápida de Fourier nos sinais captadas da

excitação e da resposta do acelerômetro (Nobrega, 2004; Matos da Cruz,

2006; Segundinho, 2010).

d. Identificação dos Parâmetros Modais: os métodos de identificação podem

ser classificados em métodos no domínio do tempo, trabalhando nas funções

de resposta ao impulso (FRI’s) e métodos no domínio da frequência

trabalhando nas funções de resposta em frequência (FRF’s). Podem-se

classificar em métodos indiretos e diretos, ou modo a modo e multimodos

(Nobrega, 2004; Matos da Cruz, 2006).

e. Validação dos parâmetros Identificados: pode-se utilizar a função

coerência para validar as FRFs medidas, após a obtenção dos vetores

modais, ou o coeficiente de correlação entre dois vetores modais quaisquer

MAC (“Modal Assurance Criterion”) entre os próprios vetores modais

experimentais para verificar se os mesmos são linearmente independentes;

e outra forma de validação é regenerar as FRFs a partir dos parâmetros

modais estimados e comparar com as FRFs medidas (Matos da Cruz,

2006).

C.7 Funções de Transferência

As características dinâmicas de um sistema estrutural são definidas por

seis tipos de funções de transferência, sendo a relação entre os sinais medidos

136

de saída e entrada, que podem ser: Receptância (deslocamento/força),

Mobilidade (velocidade/força), Inertância (aceleração/força), Rigidez Dinâmica

(força/deslocamento), Impedância Mecânica (força/velocidade), e Massa

Aparente (força/aceleração) (Soeiro, 2001).

Funções de Resposta em Frequência (FRF)

A Função de Resposta em Frequência (FRF) descreve as propriedades

dinâmicas da estrutura no domínio da frequência. Na análise modal, a FRF

descreve-se como a razão entre a resposta (saída) e a excitação (entrada),

medidas simultaneamente em função da frequência ω, dada pela eq. (C.26)

(McConnell, 1995):

(C.26)

A FRF mede o quociente entre o deslocamento, velocidade e aceleração

da resposta (x(w)) e a excitação induzida por forças (F(w)).

Os dados no domínio do tempo fornecem as funções de resposta a

impulsos (FRI), e no domínio da frequência, as funções de resposta em

frequência (FRF) são obtidas pela aplicação da transformada de Fourier a

ambos os membros admitindo que as condições iniciais sejam nulas. Ao se

considerar condições iniciais não nulas, a transformada de Laplace deverá ser

aplicada.

Considerando um sistema S1GL com a equação de movimento da

eq.(C.1), a transformada de Laplace de uma diferencial de segunda ordem é

dada por:

₤ (C.27)

Onde é a transformada de Laplace de , que geralmente tem um

valor complexo. Aplicando a transformada de Laplace em cada lado da eq.(C.27)

tem-se:

₤ (C.29)

Dessas duas transformadas de Laplace, finalmente tem-se:

(C.30)

(C.28)

137

Na eq. (C.30), e são as condições iniciais de deslocamento e

velocidade do movimento respectivamente. Se essas condições foram nulas,

tem-se a eq. (C.31):

(C.31)

E a FRF é mais comumente expressa como:

(C.32)

A eq.(C.32) é denominada receptância, geralmente denotada por α(w) ou

α(iw), e representa a relação entre a resposta do sistema em deslocamentos e a

força aplicada avaliadas no domínio da frequência (Maia & Silva, 1997 apud

Tamayo, 2009; Soeiro, 2001).

C.8 Métodos de Identificação Modal

A identificação dos parâmetros modais pode aplicar métodos no domínio

do tempo, usando a resposta ao impulso ou da frequência. No domínio do tempo

tendem a fornecer melhores resultados quando existe uma ampla faixa de

frequência ou um número grande de modos de vibração que devem ser

analisados. O método do domínio da frequência é usado quando a faixa de

frequência é limitada e o número de modos de vibração é pequeno (Tamayo,

2009).

Os métodos de identificação, no domínio do tempo ou da frequência,

podem ser divididos em métodos indiretos (ou modais) e diretos. Os métodos

indiretos definem o modelo modal de uma estrutura (frequências naturais,

coeficientes de amortecimento, constantes modais e suas fases) enquanto os

métodos diretos definem o modelo espacial (massa, rigidez, amortecimento), a

identificação é diretamente baseada no espaço modal, i.e., na equação matricial

geral de equilíbrio dinâmico (Maia & Silva, 1997 apud Tamayo, 2009; Matos da

Cruz, 2006).