ESTATÍSTICA II

Prof.: Viviane Carla Fortulan

Agosto/2003

I. PROBABILIDADES

1.1 INTRODUÇÃO: Elementos do estudo das probabilidades

O problema fundamental da estatística consiste em lidar com o acaso e a incerteza.Os eventos que dependem do acaso sempre foram considerados misteriosos. As conquistas científicas dos séculos que seguiram a Renascença, enfatizando a observação e a experimentação, deram origem à teoria da probabilidade, para estudar as leis da natureza e os problemas da vida cotidiana.

Neste curso veremos como a incerteza pode realmente ser medida, como podemos associar-lhes números e como interpretar esses números.

No curso anterior (de Estatística I) vimos como caracterizar uma massa de dados, a fim de organizar e resumir informações. Em Estatística II, veremos um pouco da Estatística Inferencial, que está fundamentada em modelos matemáticos probabilísticos, assim é conveniente dispormos de uma medida que exprima a incerteza presente em afirmações tais como “É possível que chova amanhã”, ou “Não há chance de vitória”, em termos de uma escala numérica. Essa medida é probabilidade.

A teoria das Probabilidades é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos ou fenômenos aleatórios.

Devemos esclarecer que esta técnica é bastante intuitiva e não existe “fórmulas” específicas para todos os problemas. Cada caso é um caso e deve ser estudado com muito cuidado.

Motivação:

Considere os seguintes problemas:

Fazendo a aposta mínima na Mega Sena, qual é a chance de acertar as seis dezenas? Se um aluno “chutar” cinco testes (cada um com quatro alternativas) em um exame de

vestibular, qual é a probabilidade de acertar pelo menos dois? Lançando dois dados simultaneamente, qual é a probabilidade de saírem números

iguais?

A teoria das probabilidades nos ajuda a resolver problemas como estes e muitos outros.

1.1.1 Experimento determinístico e Experimento aleatório

Dentro de certas condições, é possível prever a que temperatura o leite ferve. Este tipo de experimento, cujo resultado é previsível, recebe o nome de determinístico.

No entanto, ao lançarmos um dado uma ou mais vezes, sob as mesmas condições, não podemos saber com antecedência o número obtido; sabemos apenas que os possíveis resultados são: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Este tipo de experimento, cujo resultado não pode ser previsto, é chamado aleatório.

Exemplo de experimentos aleatórios:

- O sorteio da quina da Loto;- Retirar uma carta de um baralho com 52 cartas e observar o seu naipe;

1

- O sorteio do primeiro prêmio da Loteria Federal;- O lançamento de uma moeda honesta;- Lançar duas moedas e observar as faces voltadas para cima;- Lançamento de um dado honesto;- De uma urna contendo 4 bolas brancas e 5 vermelhas, retirar 1 bola e observar sua cor.

1.1.2 Experimentos aleatórios equiprováveis

São experimentos onde qualquer resultado pode ocorrer com a mesma chance.

Exemplo: No lançamento de uma moeda, a probabilidade de ocorrer cara ou coroa é a mesma.

1.2 ESPAÇO AMOSTRAL OU CONJUNTO UNIVERSO

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório (equiprovável) que será indicado por (ômega). Indicaremos o número de elementos de um espaço amostral por n( ).

Exemplos:

1) Quando se lançam duas moedas e se observam as faces voltadas para cima, sendo as faces da moeda cara(c) e coroa(k), o espaço amostral do experimento é:

={(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} e n( )=4

2) Lançam-se dois dados, (um azul e um branco), e observam-se os números das faces voltadas para cima. Sejam:

Dado azul 1 2 3 4 5 6Dado branco

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Experimento aleatório: Lançar dois dados

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (Todos os resultados possíveis (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) do experimento aleatório) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

n( )=36 (nº de elementos de )

2

3) Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 brancas. Duas bolas são extraídas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição. Observamos a seqüência de cores das bolas sorteadas. Para determinar , vamos construir o diagrama da árvore.Seja: vermelha=V e branca=B

1ª extração 2ª extração

V V B

B V B

Experimento aleatório: Extrair duas bolas, ao acaso, sucessivamente e sem reposição={(V,V), (V,B), (B,V), (B,B)}n( )= 4

Ponto amostral: É cada elemento do espaço amostral ( ).

1.3 EVENTO

Evento (E) é qualquer subconjunto de um espaço amostral . Muitas vezes um evento pode ser caracterizado por um fato.

Exemplos:

1) No lançamento de duas moedas, temos:

Considerando c = cara e k = coroa, definimos:

Experimento: Lançar duas moedas={(c,c),(c,k),(k,c),(k,k)}

Sejam os eventos:

: aparecerem faces iguais ={(c,c),(k,k)} onde n( )=2

aparecer cara em pelo menos uma moeda= {(c,c),(c,k),(k,c)} onde n( )=3

2) No lançamento de dois dados, temos:

Experimento: Lançar dois dados

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

3

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

n( )=36

: aparecerem números iguais ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} ; n( )=6

: o primeiro número é menor ou igual a 2 ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ; n( )=12

: a soma dos resultados é menor ou igual a 4 ={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)} ; n( )=6

: o número do primeiro dado é o dobro do número do segundo dado ={(2,1),(4,2),(6,3)} ; n( )=3

1.3.1 Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, (E= )

: a soma dos resultados dos dois dados é menor ou igual a 12= ; n( )=36

1.3.2 Evento Impossível : evento igual ao conjunto vazio (E =. )

: o número do primeiro dado é igual a sete= ; n( )=0

1.3.3 Evento Simples: evento que possui um único elemento

: a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.={(6,6)} ; n( )=1

1.3.4 Evento Complementar: Se E é um evento de um espaço amostral , o evento complementar de E, indicado por Ec (ou ), é tal que Ec = - E (ou seja, é tudo o que não está em E mas está no espaço amostral ).

Notemos que e

Ex: Considerando ainda o experimento: lançar dois dados, temos que:

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)

4

Ec

E

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Seja o evento A definido por:A: o primeiro número no lançamento dos dados é menor ou igual a 2.A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)} ; n(A)=12

Logo,

Ac: o primeiro número no lançamento dos dados é maior que 2 ( ou seja, Ac = - A)

Ac ={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) n(Ac)=24 (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

1.3.5 Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjuntos): dois ou mais eventos são ditos mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Deste modo, se A e B são eventos mutuamente exclusivos, então

(ou seja, não existe interseção entre eles).

Ex: Sejam os eventos:

A: quando se lança um dado, o número na face voltada para cima é ímpar. A={1,3,5}B: quando se lança um dado, o número na face voltada para cima é divisível por 4 B={4}

Os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois .

Exercício: Considerar o experimento aleatório: uma moeda é lançada 3 vezes. Determinar:

a) espaço amostral

b) evento : sair 2 caras e 1 coroa

c) evento : sair 3 caras

d) evento : sair pelo menos 1 carae) evento : sair no máximo 2 coroas

f) evento : nenhuma cara

5

1.3.6 Operações com eventos

Existe uma correspondência entre os conceitos da linguagem dos eventos e dos conjuntos.

Suponha um espaço amostral finito e A e B três eventos de .

1.) A B: significa que pelo menos um evento ocorre

2.) A B: os dois eventos ocorrem

3.) A-B: somente o evento A ocorre

4.) Ac = : o evento A não ocorre

5.) A : somente um dos eventos ocorre

Seja Ai; i= 1, 2, 3, ..., n uma coleção finita de eventos de , então:

6.) : pelo menos um dos Ai’s ocorre

7.) : todos Ai’s ocorrem

Propriedades das operações

Sejam A, B e C eventos associados a um espaço amostral . As seguintes propriedades são válidas:

a) IDEMPOTENTES

6

A A = AA A =A

b) COMUTATIVAS

A B = B AA B = B A

c) ASSOCIATIVAS

A (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C

d) DISTRIBUTIVAS

A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)

e) ABSORÇÕES

A (A B) = AA (A B) = A

f) IDENTIDADES

A = AA = A = A = A

g) COMPLEMENTARES

=

h) LEIS DE MORGAN (ou Leis das Dualidades)

1.3.7 Partição de um Espaço Amostral

Os eventos A1, A2, ..., An formam uma partição do espaço amostral se:

1.) Ai para i = 1, 2, ..., n2.) para i j

7

Ex:A1

A2

3.)

A1, A2 e A3 formam uma partição do espaço amostral e, portanto, satisfazem 1.), 2.) e 3.).

Resolva a 1ª Lista de Exercícios

1.4 PROBABILIDADE

No estudo da probabilidade, há três tipos de questões:

1. O que queremos dizer quando afirmamos que a probabilidade de um evento é, por exemplo, 0,50, 0,78 ou 0,44?

2. Como determinar ou avaliar, na prática, os números que chamamos probabilidades?

8

A3

3. Quais ao as regras matemáticas que as probabilidades devem obedecer?

Existem basicamente três definições para a probabilidade

Definição subjetiva da probabilidade: afirma que a probabilidade é uma estimativa do que um indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. Neste caso dois indivíduos podem estimar diferentemente uma probabilidade.

Definição frequentista da probabilidade: a probabilidade de um evento (acontecimento ou resultado) é definida como sendo a proporção do número de vezes que eventos do mesmo tipo ocorrem a longo prazo. Em outras palavras, é quando precisamos realizar o experimento um número muito grande de vezes para observarmos que fração proporção) das vezes tal evento ocorre.

Definição clássica de probabilidade: é quando estamos interessados em probabilidades iguais, ou seja, estamos lidando com experimentos equiprováveis.

Considerando um espaço amostral , não vazio, e um evento E, sendo E , a probabilidade de ocorrer o evento E é o número real P(E), tal que:

,

onde: n(E): “tamanho” do evento E (ou número de casos favoráveis ao evento E).

n( ): “tamanho” do espaço amostral (ou número total de casos).

OBS.: Esta é a definição clássica de probabilidade quando é finito e baseia-se no conceito de resultados equiprováveis (têm a mesma chance de ocorrer).

Propriedades: Seja um espaço amostral qualquer e sejam A e B eventos de .

i) 0 P(A) 1 (observe que P(A) 0)

ii) P() = 1

iii) P() = 0

iv) P( ) = 1-P(A)

v) P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB). Se AB = , P(AB) = P(A) + P(B)

vi) P( B) = P(B) – P(AB).

Exemplos:

1) Lançando-se um dado, a probabilidade de sair um nº ímpar na face voltada para cima é obtida da seguinte forma:

={1,2,3,4,5,6} ; n( )=6E: sair um número ímpar E={1,3,5} ; n(E)=3

= = 0,5

9

Portanto, podemos concluir que a probabilidade de sair um número ímpar na face voltada para cima é igual a 0,5. (Ou, poderíamos dizer que existe 50% de chance de sair um número ímpar na face voltada para cima).

2) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores de 30, determinar a probabilidade de que ele seja primo.

={1,2,3,5,6,10,15,30} ; n( )=6E: o número ser primo E={2,3,5} ; n(E)=3

=

A probabilidade de que um número, escolhido ao acaso, do conj. dos divisores de 30 seja um número primo é de 0,375.

OBS.: Nem sempre é possível descrever os elementos de um evento ou espaço amostral. Nesse caso, devemos utilizar outras técnicas tais como as distribuições de probabilidades.

3) Considere uma urna com três bolas brancas e duas bolas pretas. Extrair casualmente duas bolas, sendo

uma após a outra. Obter a distribuição da variável X={número de bolas brancas}.

Diagrama da Árvore:

a-) Repondo a primeira bola

10

Eventos

A= BB {X=2}

B= BP {X=1}

C= PB {X=1}

D= PP {X=0}

Distribuição de X Probabilidade de X

2 P(X=2)=

1 P(X=1)=

0 P(X=0)=

b-) Sem repor a primeira bola Eventos

A= BB {X=2}

B= BP {X=1}

C= PB {X=1}

D= PP {X=0}

Distribuição de X Probabilidade de X

2 P(X=2)=

1 P(X=1)=

0 P(X=0)=

1.5 UNIÃO DE DOIS EVENTOS

Considerando A e B dois eventos contidos em um mesmo espaço amostral , o número de elementos da reunião de A com B é igual ao número de elementos do evento A somado ao número de elementos de evento B, subtraído do número de elementos da intersecção de A com B.

Sendo n( ) o número de elementos do espaço amostral, vamos dividir os dois membros da equação por n( ) a fim de obter a probabilidade P . Assim, temos:

Logo,

11

B

P

53

53

52

52

B

B

P

P

Primeira Extração

Segundo Extração

53

52

B

P

42

43

41

B

B

P

P

Primeira Extração

Segundo Extração

53

52

42

Para ficar bem claro esta definição vamos utilizar Diagramas de Venn em algumas situações para visualizar melhor operações com eventos.

Por exemplo: Sejam A, B, eventos quaisquer com probabilidades, respectivamente, iguais a 0.6, 0.3, 0.2. Encontre as probabilidades abaixo:

a) P( ) =

b) P(A-B) =

c) P(B-A) =

OBS: Para eventos mutuamente exclusivos, ( ), a equação obtida fica:

Exemplos:

1) De uma urna com 20 bolinhas numeradas de 1 a 20, retira-se ao acaso uma bolinha. Para calcular a probabilidade de essa bolinha ter um número divisível por 2 ou 3, consideramos:

={1, 2, 3, ..., 20}

A: conjunto dos números divisíveis por 2A={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

B: conjunto dos números divisíveis por 3B={3, 6, 9, 12, 15, 18}

: conjunto dos números divisíveis por 2 e por 3={6, 12, 18}

P(A)= , P(B)= , P( )=

2) A chance de que a população atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de 95%. A chance de ser 110 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões.

Sendo P(A) a probabilidade de ser 110 milhões ou mais: P(A)=0.95

Sendo P(B) a probabilidade de ser 110 milhões ou menos: P(B)=0.08

P( )= a probabilidade de ser 110 milhões: P( )= ?

12

P( )= 1

Aplicando a regra da união de dois eventos, temos:

P( )=P(A) + P(B) – P( )1 = 0,95 + 0,08 - P( )P( ) = 0,95 + 0,08 – 1P( ) = 0,03

3) Três cavalos, A, B e C, estão em uma corrida; A tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que B, e B tem duas vezes mais probabilidade de ganhar que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um, isto é, P(A), P(B) e P(C)? Qual a Probabilidade de B ou C ganhar?

Solução: Vamos supor P(C)= p; desta forma P(B) = 2p e assim, P(A) = 2P(B) = 4p. Como a soma das probabilidades é 1, então:

P(A) + P(B) + P(C) = p + 2p + 4p = 1 7p = 1 ou p = .

Logo, temos:

P(A) = 4p = ; P(B) = 2p = ; P(C) = p = ;

A probabilidade de B ou C ganhar é dada por:

(OBS.: pois dois cavalos

não ganham ao mesmo tempo.)

Resolva a 2ª Lista de Exercícios1.6 PROBABILIDADE CONDICIONAL

Introduziremos o conceito de probabilidade condicional através do sguinte exemplo:

Consideremos 250 alunos que cursam o primeiro ciclo de uma faculdade. Destes alunos 100 são homens (H) e 150 são mulheres (M), 110 cursam física (F) e 140 cursam química (Q). A distribuição dos alunos é a seguinte:

DisciplinaSexo

F Q Total

H 40 60 100M 70 80 150

Total 110 140 250

Um aluno é sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando química, dado que é mulher?

13

Pelo quadro vemos que esta probabilidade é de e representamos:

(probabilidade de que o aluno curse química, condicionado ao fato de ser

mulher)

Observamos, porém, que . Para obtermos o resultado do

problema basta considerar que:

Logo:

Sejam A e B . Definimos Probabilidade Condicional de A dado que B ocorre (A|B) como segue:

ou, de forma análoga

Exemplo 1: Considere o lançamento de um dado.={1, 2, 3, 4, 5, 6) (6 resultados possíveis)

Seja o evento A: sair face 4,

P(A)= = 0,167.

Para entender o problema de probabilidade condicional, suponha que embora não possamos ver o dado, alguém diga que o resultado é um número par. Neste caso, qual é a probabilidade de A ocorrer? Isto é, sabendo que saiu um número par, qual a probabilidade de A ocorrer?

P(A) = = 0,3333

Assim, a informação de que o valor ocorrido é um número par afeta a probabilidade de ocorrer o evento A, e o valor 0,3333 é chamado de probabilidade condicional, uma vez que ela é calculada sob a condição de que o valor na face do dado é um número par.

Notação: P(A|B) (lê-se, probabilidade de ocorrer o evento A, sabendo-se (dado) que o evento B já ocorreu.

14

Exemplo 2: No lançamento de dois dados, observando as faces de cima, para calcular a probabilidade de sair o número 5 no primeiro dado, sabendo que a soma dos dois números é maior que 7, fazemos:

={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

Evento A: número 5 no primeiro dadoA={(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}

Evento B: a soma dos dois números é maior que 7B={(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}

: o primeiro número é 5 e a soma dos dois números é maior que 7.={(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)}

P( )= e P(B)=

Logo,

Exemplo 3: Sendo P(A) = , P(B) = e , calcular P(A|B).

Resolução:

Como , devemos calcular

Como P( , temos:

Logo,

15

1.7 MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES

Tiramos da definição de probabilidade condicional o chamado TEOREMA DO PRODUTO: Sejam A e B . Então, a probabilidade de ocorrer P( ) é igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro em relação ao primeiro, ou seja:

Sendo: ou ,

então

ou

Exemplos:

1-) Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a probabilidade de que ambas

a) sejam verdes?b) Sejam da mesma cor?

Resolução:

Temos que: P(B) = , P(P) = e P(V) =

a)

b)

A generalização do teorema do produto é:

Exemplo: Uma urna contém as letras A, A, A, R, R, S. Retira-se letra por letra. Qual a probabilidade de sair a palavra ARARAS?

1.8 EVENTOS INDEPENDENTES (OU INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA)

16

Dois eventos A e B são estatisticamente independentes se a ocorrência (ou não ocorrência) de um dos eventos não afetar a probabilidade de ocorrência do outro evento. Em outras palavras, dizemos que um evento B é estatisticamente independente de um evento A se a ocorrência de A não afeta a probabilidade de ocorrer o evento B. Em símbolos:

ou

Temos também que se dois eventos A e B são ditos independentes, então a probabilidade deles ocorrerem conjuntamente pode ser dada por:

(I)e

(II)

Substituindo II em I, obtemos:

Exemplo 1:

Lançando-se simultaneamente um dado e uma moeda, determine a probabilidade de se obter 3 ou 5 no dado e cara na moeda.

={(1,c),(1,k),(2,c),(2,k),(3,c),(3,k),(4,c),(4,k),(5,c),(5,k),(6,c)(6,k)}

Evento A: 3 ou 5 no dado P(A)=

A={(3,c),(3,k),(5,c),(5,k)}

Evento B: cara na moeda P(B)=

B={(1,k),(2,k),(3,k),(4,k),(5,k),(6,k)}

Os eventos são independentes, pois o fato de ocorrer A não modifica a probabilidade de ocorrer B. Assim, temos:

Portanto,

Note que ={(3,k),(5,k)} e P( ) poderia ser calculado por:

. No entanto, nem sempre a obtenção de n( ) é simples.

Exemplo 2: Uma roleta contém 38 números dos quais 18 são vermelhos, 18 são pretos, e dois são verdes. Quando a roleta é girada e a bola é solta, é igualmente provável que a bola caia em qualquer um dos 38 números. Em duas jogadas da roleta, qual é a probabilidade de que:a) a bola caia no vermelho duas vezes?

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b) A bola caia no verde na primeira vez e no preto na segunda vez?

Solução:

È razoável supor que as jogadas sucessivas da roleta são independentes, ou seja, o resultado da 1ª rodada não interfere no resultado da 2ª rodada.

a) Seja os eventos:: “a bola cai no vermelho na primeira rodada” e : “a bola cai no vermelho na

segunda rodada”.

Queremos a probabilidade de que em duas rodadas sucessivas dê dois resultados vermelhos, ou seja, a bola caia no vermelho nas duas rodadas. Então queremos . Como a ocorrência de não interfere na ocorrência de , isto é , como e são eventos independentes, fazemos:

=(18/38) x (18/38) =0,224

Existe uma chance de 22,5% de que a bola caia duas vezes no vermelho.

b) Seja os eventos:: “a bola cai no verde na primeira rodada” e : “a bola cai no preto na segunda

rodada.

(2/38) x (18/38) =0,025

Existe uma chance de 2,5% de que a bola caia a primeira vez no verde e a segunda vez no preto.

IMPORTANTE: É comum confundir os conceitos de eventos mutuamente exclusivos e eventos independentes. Estes termos não significam a mesma coisa. O conceito de “mutuamente exclusivo” envolve se ou não dois eventos podem ocorrer simultaneamente. Por outro lado, o conceito de independência envolve se ou não a ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro.

Exemplo 3: Sejam A e B eventos tais que P(A) = 0,2, P(B) = P, P(A B) = 0,6. Calcular P considerando A e B:

a) mutuamente exclusivos;b) independentes.

Resolução:

a-) A e B mutuamente exclusivos comoP(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) vem 0,6 = 0,2 + P – 0 P = 0,4

b-) A e B independentes como P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) vem 0,6 = 0,2 + P – 0,2P 0,4 = 0,8P P = 0,5

18

OBS.: Se os eventos A1, A2, ..., An são independentes então:

onde .

Resolva a 3ª Lista de Exercícios

Resolva a 4ª Lista de Exercícios

1.9 TABELAS DE PROBABILIDADE CONJUNTA (OU TABELAS DE DUPLA ENTRADA OU TABELAS DE CONTINGÊNCIA)

Em uma tabela de probabilidade conjunta todos os possíveis eventos para uma variável (ou observação) são listados como cabeçalhos de colunas, todos os possíveis eventos para uma Segunda variável são listados como cabeçalhos de linhas, e o valor incluído em cada casela resultante é a probabilidade de cada ocorrência conjunta. Muitas vezes as probabilidades em uma destas tabelas estão baseadas em freqüências observadas da ocorrência dos vários eventos conjuntos, em lugar de serem a priori por natureza. A tabela das freqüências de ocorrências conjuntas que pode servir de base para a construção de uma tabela de probabilidade conjunta é chamada de tabela de contingência.

Definição 16: Tabelas de contingência

São tabelas que permitem classificar membros de uma população ou de uma amostra segundo duas características:Por exemplo: - nível educacional vs renda anual;

- idade vs sexo;

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Exemplo: (Tabela de contingência)Classificação de professores de uma universidade segundo idade e posição na carreira.

Posição na carreiraProfessor Titular

( )

Professor Associado

( )

Professor Assistente

( )Instrutor

( )

Total( )

i=1,2,3,4 e 5< 30( )

2 3 57 6 68

30 – 39( )

52 170 163 17 402

idade 40 – 49( )

156 125 61 6 348

50 – 59( )

145 68 36 4 253

60( )

75 15 3 0 93

Total( )

i=1,2,3 e 4

430 381 320 33 1164

Experimento: Selecionar um professor ao acaso.Evento : O professor selecionado tem menos de 30 anos.Evento : O professor selecionado tem entre 30 e 39 anos.Evento : O professor selecionado tem entre 40 e 49 anos.Evento : O professor selecionado tem entre 50 e 59 anos.Evento : O professor selecionado tem mais de 60 anos.Evento : O professor selecionado é um professor titular.Evento : O professor selecionado é um professor associado.Evento : O professor selecionado é um professor assistente.Evento : O professor selecionado é um instrutor.

Notas: Os eventos à são mutuamente exclusivos (entre si)Os eventos à são mutuamente exclusivos (entre si)Os eventos ’s com ’s não são mutuamente exclusivos (entre si)

Podemos considerar os eventos ’s conjuntamente aos eventos ’s.Por Exemplo: - o professor selecionado tem menos de 30 anos ( ) e é também um

professor associado ( ), isto pode ser expresso por ( e ) ou ( ).

( e ) = ( ) = o professor selecionado é um professor associado com idade inferior a 30 anos.

Usando probabilidade temos:

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P( ) = = 0,058; P( )= = 0,327

ou seja, 5,8% dos professores têm menos que 30 anos e 32,7% dos professores são associados. Além de podermos determinar a probabilidade de cada evento e , podemos também determinar a probabilidade para eventos conjuntos, denominada probabilidade conjunta. Exemplo:

P( e ) = P( ) = = 0,003

ou seja, 0,3% dos professores têm menos de 30 anos e são associados.

OBS: Esta probabilidade conjunta pode ser calculada para quaisquer ’s conjuntamente aos ’s.

A tabela de distribuições de probabilidades conjunta fica:

Posição na carreiraProfessor TitularP( )

Professor Associado

P( )

Professor Assistente

P( )Instrutor

P( )

TotalP( )

i=1,2,3,4 e 5< 30

P( )P( )=0,

002P( )=0,

003P( )=0,

049P( )

0,005P( )=0,058

30 – 39P( )

P( )=0,045

P( )=0,146

P( )=0,140

P( )0,015

P( )=0,345

Idade 40 – 49P( )

P( )=0,134

P( )=0,107

P( )=0,052

P( )0,005

P( )=0,299

50 – 59P( )

P( )=0,125

P( )=0,058

P( )=0,031

P( )0,003

P( )=0,217

60P( )

P( )=0,064

P( )=0,013

P( )=0,003

P( )0,000

P( )=0,080

TotalP( )

i=1,2,3 e 4

P( )=0,369

P( )=0,327

P( )=0,275

P( )=0,028 1

Notas:1. As probabilidades “dentro” da tabela são chamadas de probabilidades conjuntas dos

eventos ’s e ’s.2. As probabilidades da última coluna representam as probabilidades marginais dos eventos

’s.3. As probabilidades da última linha representam as probabilidades marginais dos eventos

’s.4. A soma das probabilidades conjuntas de uma linha ou de uma coluna é igual a

probabilidade marginal daquela linha ou coluna.5. A soma de todas as probabilidades conjuntas ou das marginais referente a cada variável

tem que dar 1.

Variável = idade ; variável = posição na carreira.

21

Exemplos de Probabilidade condicional usando tabela de contingência: Suponha que A e B sejam 2 eventos. Então a probabilidade de ocorrer o evento A sabendo-se que o evento B ocorreu é denominada probabilidade condicional. Ela é indicada pelo símbolo P(A|B).

Exercícios: Considerando o exemplo acima responda:a) Qual a probabilidade de que o professor selecionado esteja na casa dos 50 anos.

P( )=

b) Encontre a probabilidade de que o professor selecionado esteja na casa dos 50 anos, sabendo-se que um professor assistente foi selecionado.

P( )

c) Interprete as probabilidades encontradas em termos de porcentagem.

P( )=0,217 indica que 21,7% dos professores da universidade estão na casa dos 50 anos.P( indica que 11,3% dos professores assistentes estão na casa dos 50 anos.

A partir dos exemplos acima, podemos sugerir a seguinte fórmula para probabilidade condicional.

ou, analogamente,

Isto implica que:

e

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Listas de Exercícios

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1) No lançamento simultâneo de dois dados considere as faces voltadas para cima e determine:a) espaço amostral b) evento : números cuja soma é igual a 5c) evento números iguaisd) evento números cuja soma é um número pare) evento números ímpares nos 2 dadosf) evento número dois em pelo menos um dos dadosg) eventoh) evento números cuja soma é maior que 12i) evento números divisores de 7 nos 2 dados

2) Lançam-se duas moedas..Sejam A: saída de faces iguais e B: saída de cara na primeira moeda. Determinar os eventos:a) A Bb) A Bc)d)e)

f)

g)h)i) B – Aj) A – Bk)l)

3) Lançam-se 3 moedas. Enumerar o espaço amostral e os eventos:a) faces iguais;b) cara na 1ª moeda;c) coroa na 2ª e 3ª moedas.

4) Um lote contém peças de 5, 10, 15, ..., 30 mm de diâmetro. Suponha que 2 peças sejam selecionadas no lote (com reposição). Se x e y indicam respectivamente os diâmetros da 1ª

23

e 2ª peças selecionadas, o par (x, y) representa um ponto amostral. Usando o plano cartesiano, indicar os seguintes eventos:a) A={x = y}b) B={y < x}c) C={x = y-10}

d)

5) Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos:a) os 3 são do sexo femininob) pelo menos 1 é do sexo masculinoc) os 3 do mesmo sexo

6) Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20. Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa-se o seu número. Determine os seguintes eventos:a) o número escolhido é ímpar.b) o número escolhido é maior que 15.c) o número escolhido é múltiplo de 5.d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3.e) o número escolhido é primo.f) o número escolhido é par e múltiplo de 3.g) o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7.

7) Sejam A, B e C, três eventos aleatórios de . Exprimir os eventos abaixo usando as operações reunião, intersecção e complementação:a) Somente A ocorre;b) A e C ocorrem, mas B não;c) A, B e C ocorrem;d) Pelo menos um ocorre;e) Exatamente um ocorre;f) Nenhum ocorre;g) Exatamente dois ocorrem;h) Pelo menos dois ocorrem;i) No máximo dois ocorrem.

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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado?

2) Qual a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado?

3) Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se o disco for lançado 3 vezes, qual a probabilidade de a face azul ser sorteada pelo menos uma vez?

4) Um casal planeja Ter três filhos. Qual a probabilidade de os 3 serem do mesmo sexo?

5) (Unesp-SP) João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade de Antônio descobrir esse número é:a) 1/2 b) 1/6 c) 4/6 d) 1/3 d) 3/36

6) (Vunesp) Um baralho de 12 cartas tem 4 ases. Retiram-se 2 cartas, uma após a outra. Determine a probabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que a primeira é um ás.

7) (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, a probabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual a:a) 2/9b) 1/10c) 1/5d) 9/10e) 9/11

8) Determine a probabilidade de se obterem os eventos a seguir, no lançamento simultâneo de dois dados, observadas as faces voltadas para cima:a) números iguais b) números cuja soma é igual a 5c) números cuja soma é ímpard) números cujo produto é pare) números cuja soma é menor que 12f) números cuja soma é maior que 12g) números primos nos dois dados

9) Uma urna contém 2 bolas brancas e 5 bolas vermelhas. Retirando-se 2 bolas ao acaso e sem reposição, calcule a probabilidade de:a) as bolas serem de cores diferentesb) as 2 bolas serem vermelhas

10) (Mauá-SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-se que ela tem um número ímpar. Determine a probabilidade de esse número ser menor que 5.

11) Uma bola é retirada de uma urna que contém bolas coloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sido retirada uma bola vermelha é 5/17. Calcule a probabilidade de ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.

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12) Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30. Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual a probabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de 4 ou de 3?

13) Jogando-se um dado, qual a probabilidade de se obter o número 3 ou um número ímpar?

14) Consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem, obteve-se o seguinte resultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistem ao canal B e 70 assistem a outros canais, distintos de A e B. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine a probabilidade de que ela assista:a) ao canal Ab) ao canal Bc) ao canal A ou ao canal B

15) (PUCCAMP-SP) Num grupo, 50 pessoas pertencem a um clube A, 70 pertencem a um clube B, 30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos 3 clubes. Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, a probabilidade de ela:a) pertencer aos 3 clubes é 3/5b) pertencer somente ao clube C é zeroc) pertencer a pelo menos dois clubes é 60%d) não pertencer ao clube B é 40%

16) De uma reunião participam 200 profissionais, sendo 60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demais nutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, qual é a probabilidade de ela ser médico ou dentista?

17) Na tabela abaixo temos dados de alunos matriculados em quatro cursos de uma universidade em dado ano.

SexoCurso

Homens(H)

Mulheres(F)

Total

Matemática Pura (M) 70 40 110Matemática Aplicada (A) 15 15 30Estatística (E) 10 20 30Computação (C) 20 10 30Total 115 85 200

Encontrar as probabilidades de:

a) P(H)b) P(F)c) P(M)d) P(A)e) P(E)

f) P(C)g) P(AH)h) P(AH)i) P(AC)j) P(AC)

18) Num lote de 12 peças, 4 são defeituosas; duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcule:a) A probabilidade de ambas serem defeituosasb) A probabilidade de ambas não serem defeituosasc) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa

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3ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1-) Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retirando-se ao acaso uma bola dessa urna, observa-se que o número é menor do que 8. Qual é a probabilidade de que esse número seja par?

1) (UFSCar-SP) Dois dados usuais e não-viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:a) 2/36 b) 1/6 c) 2/9 d) 1/4 e) 2/18

2) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de se obter o número 1 no primeiro dado e o número 3 no segundo dado?

3) Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

4) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é , a de que outro

aluno B o resolva é e a de que um aluno C o resolva é Calcule a

probabilidade de que os três resolvam o problema.

5) (Cesgranrio-RJ) Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabilidade de ambos os dados mostrarem na face superior números ímpares é:a) 1/3 b) 1/2 c) ¼ d) 2/ e) 3/

6) (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 por uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, após a outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja afetada por A e a segunda por B.

27

7) (Unesp) Numa gaiola estão nove camundongos rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se conjuntamente dois camundongos ao acaso (todos têm igual probabilidade de escolha), a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:a) 0,3777... d) 0,2777...b) 0,47 e) 0,13333...c) 0,17

8) No lançamento de dois dados, sabe-se que se obteve nas faces voltadas para cima a soma dos pontos igual a 6. Qual é a probabilidade de que essas faces apresentem o mesmo número de pontos?

9) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é ; a de sua mulher é de

. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:

a) ambos estejam vivos;b) somente o homem esteja vivo;c) somente a mulher esteja viva;d) nenhum esteja vivo;e) pelo menos um esteja vivo.

10) Verifique se são válidas as afirmações:

a) Se P(A) = e P(B|A) = , então A e B não podem ser disjuntos.

b) Se P(A) = , P(B|A) = 1 e P(A|B) = , então A pode estar contido em B.

12) Uma classe de estatística teve a seguinte distribuição das notas finais: 4 do sexo masculino e 6 do feminino foram reprovados, 8 do sexo masculino e 14 do feminino foram aprovados. Para um aluno sorteado dessa classe, denote por M se o aluno escolhido for do sexo masculino e por A se o aluno foi aprovado. Calcule: a) P(A ). b) P( ). c) P(A|M). d) P( |A). e) P(M|A).

13) As probabilidades de 3 jogadores A, B e C marcarem um gol quando cobram um pênalti

são , respectivamente. Se cada um cobrar uma única vez, qual a probabilidade de

que pelo menos um marque um gol?

14) Em uma indústria há 10 pessoas que ganham mais de 20 salários mínimos (s.m.), 20 que ganham entre 10 e 20 s.m. e 70 que ganham menos de 10 s.m. Três pessoas desta indústria são selecionadas. Determinar a probabilidade de que pelo menos uma ganhe menos de 10 s.m.

15) A e B jogam 120 partidas de xadrez, das quais A ganha 60, B ganha 40 e 20 terminam empatadas. A e B concordam em jogar 3 partidas. Determinar a probabilidade de: a) A ganhar todas as três; b) duas partidas terminarem empatadas;

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c) A e B ganharem alternadamente.

16) Um lote de 120 peças é entregue ao controle de qualidade de uma firma. O responsável pelo setor seleciona 5 peças. O lote será aceito se forem observadas 0 ou 1 defeituosa. Há 20 defeituosas no lote. a) Qual a probabilidade de o lote ser aceito? b) admitindo-se que o lote seja aceito, qual a probabilidade de ter sido observado só um defeito?

17) Num período de um mês, 100 pacientes sofrendo de determinada doença foram internados em um hospital. Informações sobre o método de tratamento aplicado em cada paciente e o resultado final obtido estão no quadrado abaixo.

Tratamento

Resultado

A B Soma

Cura total 24 16 40Cura Parcial 24 16 40

Morte 12 8 20Soma 60 40 100

a) Sorteando aleatoriamente um desses pacientes, determinar a probabilidade de o paciente escolhido: a1) ter sido submetido ao tratamento A; a2) ter sido totalmente curado; a3) ter sido submetido ao tratamento A e ter sido parcialmente curado; a4) ter sido submetido ao tratamento A ou ter sido parcialmente curado. b) os eventos “morte” e “ tratamento A” são independentes? Justificar. c) sorteando dois dos pacientes, qual a probabilidade de: c1) tenham recebido tratamentos diferentes? c2) pelo menos um deles tenha sido curado totalmente?

18) A probabilidade de que um atleta A ultrapasse 17,30 m num único salto triplo é de 0,7. O atleta dá 4 saltos. Qual a probabilidade de que em pelo menos num dos saltos ultrapasse 17,30m?

19) Um aluno responde a um teste de múltipla escolha com 4 alternativas com uma só correta. A probabilidade de que ele saiba a resposta certa de uma questão é de 30%. Se ele não sabe a resposta existe a possibilidade de acertar “no chute”. Não existe a possibilidade de ele obter a resposta certa por “cola”.Se ele acertou a questão, qual a probabilidade de ele realmente saber a resposta?

20) Faça A e B serem eventos com P(A) = ; P(B) = , P(AB) = , calcular:

a) P(AB) b) P(A|B); c) P(B|A); d) P[(AB)|B]; e) P .

29

3ª LISTA DE EXERCÍCIOS

11) Uma urna contém exatamente 20 bolas, numeradas de 1 a 20. Retirando-se ao acaso uma bola dessa urna, observa-se que o número é menor do que 8. Qual é a probabilidade de que esse número seja par?

12) (UFSCar-SP) Dois dados usuais e não-viciados são lançados. Sabe-se que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de que a soma deles seja 8 é:a) 2/36 b) 1/6 c) 2/9 d) 1/4 e) 2/18

13) Lançando-se simultaneamente dois dados, qual a probabilidade de se obter o número 1 no primeiro dado e o número 3 no segundo dado?

14) Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 2 verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1 verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?

15) A probabilidade de que um aluno A resolva certo problema é , a de que outro

aluno B o resolva é e a de que um aluno C o resolva é Calcule a

probabilidade de que os três resolvam o problema.

16) (Cesgranrio-RJ) Dois dados são lançados sobre uma mesa. A probabilidade de ambos os dados mostrarem na face superior números ímpares é:a) 1/3 b) 1/2 c) ¼ d) 2/ e) 3/

17) (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 por uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente, após a outra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja afetada por A e a segunda por B.

18) (Unesp) Numa gaiola estão nove camundongos rotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se conjuntamente dois camundongos ao acaso (todos têm igual probabilidade de escolha), a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar é:d) 0,3777... d) 0,2777...e) 0,47 e) 0,13333...f) 0,17

19) No lançamento de dois dados, sabe-se que se obteve nas faces voltadas para cima a soma dos pontos igual a 6. Qual é a probabilidade de que essas faces apresentem o mesmo número de pontos?

30

20) A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é ; a de sua mulher é de

. Determinar a probabilidade de que daqui a 30 anos:

f) ambos estejam vivos;g) somente o homem esteja vivo;h) somente a mulher esteja viva;i) nenhum esteja vivo;j) pelo menos um esteja vivo.

21)

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DAS LISTAS 6, 7, 8 e 9

LISTA 6:

1) a) ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} b) ={(1,4);(2,3);(3,2);(4,1)} c) ={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)} d) ={(1,1);(1,3);(1,5);(2,2);(2,4);(2,6) (3,1);(3,3);(3,5);(4,2);(4,4);(4,6) (5,1);(5,3);(5,5);(6,2);(6,4);(6,6)} e) ={(1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);

(5,1);(5,3);(5,5)} f) ={(1,2);(2,1);(2,2);(2,3);(2,4);(2,5);

(2,6); (3,2);(4,2);(5,2);(6,2)} g) = -(6,6), ou seja: ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} h) = i) ={(1,1)}

2) a) ={(F,F,F)}

LISTA 7

1) 1/62) 1/23) 7/84) 1/45) letra d)6) 3/117) letra d)8) a) 1/6

b) 1/9c) 1/2d) 3/4e) 35/36f) 0g) 1/4

9) a) 10/21b) 10/21

10) 1/311) 12/17

LISTA 8

1) 1/22) 1/23) a) 14/25

b) 1/2c) 43/50

31

b) ={(M,M,M);(M,M,F);(M,F,M); (M,F,F);(F,M,M);(F,M,F);(F,F,M)}

c) ={(M,M,M);(F,F,F)}

3) a) ={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} b) ={16,17,18,19,20} c) ={5,10,15,20} d) ={6,12,18} e) ={2,3,5,7,11,13,17,19} f) ={6,12,18} g) ={7}

4) letra b)5) 11/20

LISTA 9

1) 3/72) letra c)3) 1/364) 1/275) P= 1/606) Letra c)7) P( )=1/368) Letra d)9) 1/5

32

LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS

1)

LISTA EXTRA DE EXERCÍCIOS

1)

33

12