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Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 1 6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA 1 A influência de distorções de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifásicos é um assunto quase tão antigo quanto o próprio sistema elétrico de corrente alternada [1-4]. No entanto, a definição de uma teoria de potência que se aplique em tais condições, ainda é um desafio da engenharia elétrica [5-11]. Neste contexto, é importante considerar o estudo das várias propostas de teorias de potência apresentadas ao longo dos últimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que mais se adeque às várias aplicações que uma teoria de potências possa vir a ter, ou seja, projetos e análises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de medição de energia ou monitoração da Qualidade de Energia (QE), eletrônica de potência, etc. Assim, as próximas seções discutem a aplicação dos conceitos clássicos de potência e fator de potência, considerando inicialmente instalações com tensões senoidais e equilibradas e cargas lineares, evoluindo para o caso no qual as tensões de fornecimento podem ser assimétricas e as cargas não-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de potência e fator de potência para tais condições de operação. Em seguida, as propostas de maior destaque internacional são discutidas e os pontos de convergência, apontados. 6.1 GENERALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CLÁSSICOS DE POTÊNCIA Até poucas décadas atrás, a grande maioria das cargas elétricas previa o uso de corrente contínua ou alternada senoidal "pura". Em função disso, os conceitos de potência ativa e reativa eram associados a essas duas formas "ideais" de tensão e corrente. No entanto, com o uso das técnicas não-lineares de controle eletrônico (retificação, inversão, chaveamento, etc.), começaram a aparecer aplicações em que outras formas de onda são utilizadas. Nestes casos, tornou-se necessário analisar a potência elétrica sob nova ótica, já que algumas parcelas adicionais podem se manifestar na forma de potências oscilatórias. Esse é o caso, por exemplo, de distorções harmônicas na corrente ou na tensão da rede e nas situações com desequilíbrio entre as fases. Como a presença de harmônicos afeta a medida das grandezas elétricas básicas como tensão e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados que são provocados pelas formas não senoidais. Esse vai ser o tema de discussão deste Capítulo. O objetivo principal é poder generalizar os conceitos tradicionais de potência ativa, reativa, aparente, média e instantânea, de maneira que assumam significado físico e possam ser utilizados para fins de controle ou de compensação das parcelas indesejadas. Notação adotada: Variáveis temporais são representadas através de letras minúsculas (v, i, p, p ~ ); Grandezas médias e valores eficazes são representados através de letras maiúsculas ou por letra minúscula barrada (V,I,P, p ); Fasores são representados através de letras maiúsculas, em negrito (V,I); 1 A elaboração deste capítulo contou com a participação do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão, da UNESP, a quem agradecemos a cortesia pela cessão de conteúdo e resultados, principalmente na parte referente à teoria CPT e à comparação entre as teorias [54,55].
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    6. TEORIAS DE POTNCIA ELTRICA1

    A influncia de distores de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifsicos um assunto quase to antigo quanto o prprio sistema eltrico de corrente alternada [1-4]. No entanto, a definio de uma teoria de potncia que se aplique em tais condies, ainda um desafio da engenharia eltrica [5-11].

    Neste contexto, importante considerar o estudo das vrias propostas de teorias de potncia apresentadas ao longo dos ltimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que mais se adeque s vrias aplicaes que uma teoria de potncias possa vir a ter, ou seja, projetos e anlises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de medio de energia ou monitorao da Qualidade de Energia (QE), eletrnica de potncia, etc.

    Assim, as prximas sees discutem a aplicao dos conceitos clssicos de potncia e fator de potncia, considerando inicialmente instalaes com tenses senoidais e equilibradas e cargas lineares, evoluindo para o caso no qual as tenses de fornecimento podem ser assimtricas e as cargas no-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de potncia e fator de potncia para tais condies de operao. Em seguida, as propostas de maior destaque internacional so discutidas e os pontos de convergncia, apontados.

    6.1 GENERALIZAO DOS CONCEITOS CLSSICOS DE POTNCIA

    At poucas dcadas atrs, a grande maioria das cargas eltricas previa o uso de corrente contnua ou alternada senoidal "pura". Em funo disso, os conceitos de potncia ativa e reativa eram associados a essas duas formas "ideais" de tenso e corrente. No entanto, com o uso das tcnicas no-lineares de controle eletrnico (retificao, inverso, chaveamento, etc.), comearam a aparecer aplicaes em que outras formas de onda so utilizadas. Nestes casos, tornou-se necessrio analisar a potncia eltrica sob nova tica, j que algumas parcelas adicionais podem se manifestar na forma de potncias oscilatrias. Esse o caso, por exemplo, de distores harmnicas na corrente ou na tenso da rede e nas situaes com desequilbrio entre as fases.

    Como a presena de harmnicos afeta a medida das grandezas eltricas bsicas como tenso e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados que so provocados pelas formas no senoidais. Esse vai ser o tema de discusso deste Captulo.

    O objetivo principal poder generalizar os conceitos tradicionais de potncia ativa, reativa, aparente, mdia e instantnea, de maneira que assumam significado fsico e possam ser utilizados para fins de controle ou de compensao das parcelas indesejadas.

    Notao adotada:

    Variveis temporais so representadas atravs de letras minsculas (v, i, p, p~ );

    Grandezas mdias e valores eficazes so representados atravs de letras maisculas ou por letra minscula barrada (V,I,P, p );

    Fasores so representados atravs de letras maisculas, em negrito (V,I);

    1 A elaborao deste captulo contou com a participao do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafo, da UNESP, a quem agradecemos a cortesia pela cesso de contedo e resultados, principalmente na parte referente teoria CPT e comparao entre as teorias [54,55].

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    Grandezas vetoriais (multivariveis) so representadas atravs de letras em negrito e com ponto superior ( I,i,V,v &&&& );

    Parmetros reais e grandezas complexas tambm so representados por letras maisculas (S=P+jQ, Z=R+jX , Y=G+jB);

    Indicadores so representados por siglas maisculas (FP, FD, DHTV, DHTI).

    Simbologia:

    v, V, Vv &&, tenses instantneas e eficazes mono ou multivariveis (V);

    i, I, Ii &&, correntes instantneas e eficazes mono ou multivariveis (A);

    p, P potncia ativa instantnea e mdia (W);

    q, Q potncia reativa instantnea e mxima (Var);

    s, S potncia aparente instantnea e mdia (VA);

    FP, FD fator de potncia e fator de deslocamento;

    Z, R, X impedncia, resistncia e reatncia;

    Y, G, B admitncia, condutncia e susceptncia;

    DHTV, DHTI distoro harmnica total de tenso e corrente (%)

    freqncia angular (rd/s);

    ngulo de fase entre tenso e corrente senoidais ();

    I* corrente complexa conjugada;

    T perodo do sinal peridico.

    6.1.1 Sistemas Senoidais Monofsicos: Definies e interpretao fsica

    6.1.1.1 Potncia instantnea monofsica

    A potncia instantnea transferida entre uma fonte e uma carga bipolar definida pelo produto dos sinais de tenso e corrente:

    v

    i Fonte Carga

    Figura 1 - Sistema de alimentao monofsica.

    i.vp = (1)

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    Esta definio aplica-se tanto para corrente contnua como alternada. Notar que a potncia expressa o efeito combinado da fem (fora eletromotriz) disponvel entre os terminais no ponto de medio e a corrente que circula atravs da carga por conta dessa fem.

    Caso monofsico senoidal:

    Considerando que o sistema monofsico senoidal, com a tenso e corrente dadas por:

    tsenV2tsenV)t(v p == (2)

    )t(senI2)t(senI)t(i p == (3)

    onde: Vp , Ip so os valores de pico ou mximos das ondas senoidais;

    e V , I so os valores eficazes das ondas senoidais.

    O valor eficaz corresponde ao valor quadrtico mdio, definido para um sinal senoidal com perodo T, como sendo:

    2

    VV

    2

    1dtv

    T

    1V

    p2pT

    2 === (4)

    A potncia instantnea, portanto, ser dada por:

    )tsen(I.tsenV)t(p pp = (5)

    desenvolvendo o produto, resulta:

    [ ])t2cos(IVcos.IV2

    1)t(p pppp = (6)

    ou, em termos dos valores eficazes:

    )t2cos(VIcosVI)t(p = (7)

    ou ainda

    t2sen.senVI)t2cos1(cosVI)t(p = (8)

    Percebe-se de (6) ou (7) que a potncia instantnea contm uma parte constante e uma parte oscilatria com o dobro da freqncia (2) das ondas de tenso e corrente.

    A parte constante corresponde ao valor mdio por perodo T:

    ===T

    dti.vT

    1PcosVIp (9)

    e a parte oscilatria vale:

    )t2cos(VIp~ = (10)

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    Essa parte oscilatria pode ainda ser desenvolvida na forma:

    t2sen.senVIt2cos.cosVIp~ = (11)

    Verificamos, portanto, que a parte oscilatria composta de duas parcelas que oscilam em quadratura: uma parcela oscila com cos2t e vale P=VIcos e a outra parcela oscila com sen2t e vale VIsen. Essa segunda parcela que oscila em quadratura com a potncia ativa P, chamada de potncia reativa:

    = senVIQ (12)

    Portanto, em termos das potncias mdia (ativa) e reativa, a potncia instantnea (8) pode ser expressa como sendo:

    t2sen.Q)t2cos1(P)t(p = (13)

    Como se v na figura 2, a corrente pode ser decomposta em uma parcela senoidal em fase com a tenso e um segundo termo em quadratura com o primeiro. A parcela I da potncia devida exclusivamente parte da corrente em fase com a tenso, enquanto a parcela II se deve ao termo em quadratura.

    Figura 2 - Formas de onda de tenso, corrente e parcelas de potncia instantnea.

    6.1.1.2 Anlise da potncia em termos de fasores A tenso e a corrente senoidais das equaes (2) e (3), podem ser representadas atravs dos

    fasores correspondentes no plano complexo:

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    0VV =& (14)

    = II& (15)

    Define-se a potncia aparente complexa S como sendo o produto:

    +=== senjVIcosVIIVI.VS *&& (16)

    Portanto, considerando as equaes (9) e (12) conclumos que a potncia aparente complexa dada por:

    jQPS += (17)

    Usualmente o mdulo da potncia complexa, dado pelo produto dos valores eficazes da tenso e da corrente denominado potncia aparente. Os valores eficazes das grandezas so importantes para a especificao de uma instalao, ou seja, a bitola dos condutores determinada pelo valor eficaz da corrente que dever circular pelos mesmos, enquanto a tenso define a isolao necessria entre os condutores.

    As potncias ativa e reativa correspondem s projees de S nos eixos real e imaginrio do plano complexo, formando o tringulo de potncias. Para relacionar as parcelas de potncia do plano complexo com as do domnio do tempo, temos que lembrar da analogia com os vetores girantes usados na anlise fasorial. A figura 3 mostra essa relao:

    Figura 3 - Parcelas ortogonais de potncia no plano complexo.

    A evoluo temporal das parcelas associadas a P e Q , de acordo com a figura (3), pode ser interpretada da seguinte forma: enquanto os crculos representam, no plano complexo, o Lugar Geomtrico (LG) das parcelas girantes Qej2t e P(1- ej2t), as projees ortogonais m[Qej2t] = Q.sen2t e e[P(1- ej2t)] = P(1-cos2t) representam as variaes temporais desses vetores girantes sobre os eixos do plano complexo.

    Para encontrar a evoluo temporal de S = P + jQ, necessrio fazer a soma temporal das ondas em quadratura Q.sen2t e P(1-cos2t). Naturalmente essa soma deve fornecer p, como mostrado na figura (4).

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    Figura 4 - Interpretao de p no plano complexo.

    interessante notar que, de acordo com a figura 4, deve haver uma distino ente os conceitos de p(t) e s(t) j que P e S correspondem a crculos distintos. O LG de p(t) deve ser o crculo com raio P, enquanto que o LG de s(t) deve ser o crculo de raio S. Da mesma forma, o LG de q(t) deve ser o crculo de raio Q. Alm de preservar as relaes de quadratura no plano complexo das amplitudes das parcelas S = P + jQ, essa notao tambm preserva a relao de ortogonalidade no domnio do tempo, adotando-se as seguintes definies:

    s(t) = p(t) + q(t) = P(1- cos2t) Qsen2t (18)

    p(t) = P(1-cos2t) (19)

    q(t) = -Qsen2t (20)

    e, para manter a consistncia, deve-se utilizar as seguintes formas matemticas para relacionar tenso e corrente com as parcelas da potncia instantnea:

    s(t) = v(t).i(t) (21)

    p(t )= v(t) i(t) (22)

    q(t) = v(t) x i(t) (23)

    onde ( ) significa produto escalar e (x) significa produto vetorial. Como no produto escalar a contribuio do termo em quadratura nula, essa operao

    automaticamente fornece apenas o produto das componentes em fase de v(t) e i(t). No produto vetorial, ao contrrio, a contribuio das componentes de v(t) e i(t) que esto em fase que se anula, sobrando apenas a das parcelas ortogonais entre si.

    Estas consideraes mostram que o problema com as teorias de potncia instantnea j comeam com as definies mais elementares adotadas tradicionalmente. Nos prximos itens veremos que os problemas com tais discrepncias conceituais ainda se ampliam medida que se tenta estender os conceitos para sistemas no senoidais, trifsicos e desbalanceados.

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    6.1.1.3 Potncia consumida pela carga, perdas de transmisso e de gerao Voltando ao exemplo inicial, vamos considerar uma impedncia ZS representando a rede de

    alimentao, uma impedncia ZG representando a fonte e uma impedncia ZC representando a carga:

    v

    i Fonte Carga ZG ZS

    ZC e

    1 2

    Figura 5 - Sistema monofsico com perdas.

    Se a tenso for medida no ponto 2, ento o produto v.i mede a potncia efetivamente consumida pela carga. Se, por outro lado, a tenso for medida no ponto 1, o produto v.i mede, alm da potncia consumida pela carga, tambm as perdas de transmisso na rede. O produto e.i inclui tambm as perdas de gerao da fonte. Portanto, a potncia obtida depende do ponto de medio escolhido. Quando as perdas a considerar so importantes, deve-se escolher cuidadosamente o ponto de medio. Uma escolha inadequada do ponto de medio pode gerar erros de tarifao e/ou de escolha do sistema de condicionamento de energia.

    claro que se a impedncia e a corrente na rede forem conhecidas possvel calcular as perdas hmicas (as mais importantes em baixa tenso) atravs da relao:

    p = RS .i

    2 (24)

    e, neste caso, saberamos a potncia instantnea consumida pela carga (pc), mesmo medindo a tenso no ponto 1, pois:

    pc = v1.i - p (25)

    No caso monofsico, Rs deve incluir a resistncia dos dois condutores (ida e volta da corrente).

    6.1.1.4 Fator de potncia Define-se como Fator de Potncia (FP) a relao entre a potncia ativa e a aparente:

    S

    PFP = (26)

    Para o caso monofsico senoidal, essa relao tambm pode ser escrita como sendo:

    0,1cosVI

    cosVIFP =

    = (27)

    Percebe-se que o FP mede a frao da potncia mxima que poderia ser transferida, considerando as magnitudes de tenso e corrente dadas. A frao deixa de ser mxima quando a potncia reativa diferente de zero, ou seja, pode-se dizer que a potncia reativa reduz o fator de utilizao da linha. Essa uma razo importante para se querer reduzir a circulao de potncia reativa na rede. Alm disso, a potncia reativa, por ser uma energia oscilatria, com mdia nula, teoricamente no necessita de fonte primria de energia para existir. Basta excitar os campos

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    eltricos (em capacitncias) ou magnticos (em indutncias) com tenses senoidais para essa energia reativa se estabelecer.

    A rigor, portanto, no d para eliminar a potncia reativa de um circuito de corrente alternada, apenas se pode restringir o seu efeito, associando elementos reativos de forma a trocarem de energia reativa entre si. Esse o processo de compensao reativa ou de correo de FP, realizado ao se instalar bancos de capacitores prximo de cargas indutivas (motores, reatores, indutores, etc).

    6.1.1.5 Princpio da correo do FP Um motor de induo uma carga tpica com FP indutivo (corrente atrasada em relao

    tenso aplicada). Essa situao, comum em instalaes industriais, causa um baixo FP, com absoro de potncia reativa (Q>0). Para compensar o baixo FP conecta-se um capacitor em paralelo com o motor, de modo que a potncia reativa fornecida pelo capacitor seja igual potncia reativa requerida pelo motor, como ilustrado nas Figuras 6 e 7.

    v

    i Fonte Motor C

    Figura 6 - Correo de FP de motor CA.

    Sm

    Pm = Smin

    Qm

    Qcap =- Qm

    Antes da compensao:

    == cosS

    PFP

    m

    mm

    Depois da compensao:

    0,1S

    PFP

    min

    mmax ==

    Figura 7 - Compensao Reativa de Carga Indutiva.

    Se, antes da compensao, a corrente na fonte estava atrasada de um ngulo em relao tenso, aps a compensao a corrente est em fase com a tenso. Considerando que a potncia til do motor no mudou, pode-se concluir que a corrente na fonte, aps a compensao, ficou reduzida para seu valor mnimo, dado por:

    =

    === cosIV

    cosVI

    V

    P

    V

    SI minmin (28)

    Portanto, a compensao do FP traz como benefcio para a concessionria, a minimizao da corrente na rede para o atendimento de uma dada carga P, alimentada na tenso V. Alm de reduzir as perdas de transmisso, resulta uma folga na capacidade da linha, que permite atender novos consumidores, utilizando os mesmos condutores.

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    6.1.1.6 Efeito de harmnicas na rede monofsica Vejamos o que ocorre se adicionarmos, por ex., uma 3a. harmnica na tenso medida, ou

    seja:

    t3senVtsenV)t(v 1p31p1 += (29)

    O valor eficaz dessa funo peridica com perodo T ser dado por:

    ( ) 23212p32p1T2 VVVV

    2

    1dtv

    T

    1V +=+== (30)

    Essa expresso corresponde ao teorema de Pitgoras para o tringulo retngulo e mostra que a soma das magnitudes das tenses harmnicas no direta, mas sim ortogonal,conforme figura 8:

    V

    V1

    V3

    Figura 8 - Valor eficaz de tenses harmnicas.

    Essa concluso pode ser estendida para um nmero qualquer N de harmnicas e se aplica tambm para correntes:

    =

    =N

    1h

    2hVV (31)

    =

    =N

    1h

    2hII (32)

    Neste ponto vale a pena introduzir o conceito de Distoro Harmnica Total (DHT) de tenso e de corrente:

    2

    1

    50

    2h

    2h

    V V

    VDHT

    == (33)

    21

    50

    2h

    2h

    I I

    IDHT

    == (34)

    Essas duas grandezas, normalmente dadas em porcentagem, medem a razo entre a magnitude equivalente das 50 primeiras harmnicas em relao magnitude da fundamental.

    O que acontece quando se aplica uma tenso com harmnicas a uma carga? Vamos supor que a carga seja linear, com impedncia Z=R+jL. Supondo que R independa da freqncia, teremos diferentes impedncias para diferentes freqncias:

    LjRZ 11 += para h = 1 (35)

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    L3jRZ 13 += para h = 3 (36)

    Conclui-se que o circuito se apresenta bem mais indutivo para as harmnicas do que para a fundamental (XL3 = 3XL1). Para elementos capacitivos, ocorre o contrrio, a reatncia diminui com o aumento da ordem harmnica (XC3 = 1/(31C) = XC1/3).

    Isto significa que as correntes harmnicas, alm de terem suas amplitudes diminudas em circuitos indutivos, sofrero aumentos dos ngulos de atraso em relao s respectivas tenses harmnicas. Em circuitos capacitivos, a amplitude das correntes harmnicas aumenta proporcionalmente ordem harmnica, ao passo que a defasagem diminui. Por essa razo os capacitores correm o risco de sofrer sobre-corrente quando submetidos a tenses distorcidas.

    A potncia em uma carga do tipo RL, nessas condies, pode ser expressa por:

    )]t3sen(I)tsen(I).[t3senVtsenV(vi)t(p 31p311p11p31p1 ++== (37)

    ou

    1i

    3v

    3i

    1v

    3i

    3v

    1i

    1v)

    3i

    1)(i

    3v

    1(vvip(t) +++=++== (38)

    Os dois primeiros termos de (38) podem ser interpretados como potncias instantneas da

    fundamental e da 3a. harmnica. Essas parcelas oscilatrias senoidais so do mesmo tipo j analisado anteriormente, e podem apresentar valor mdio (P1 e P3) e parcela em quadratura (Q1 e Q3). Muda apenas a freqncia com que oscilam (21 e 61).

    Os dois ltimos termos correspondem interao de freqncias distintas de tenso e corrente. Essas parcelas so oscilatrias e apresentam, por definio, valor mdio nulo por perodo, uma vez que:

    =T ba 0dt.tsen.tsen para b = ka, k inteiro (39)

    muito difcil representar tais parcelas no plano complexo, justamente por oscilarem em freqncias distintas. Essa uma das razes que complicam a sua visualizao e interpretao fsica.

    No entanto, os valores mdios podem ser obtidos e interpretados com relativa facilidade como sendo:

    31333111 PPcosIVcosIVP +=+=

    (40)

    31333111 QQsenIVsenIVQ +=+= (41)

    Notar que P1 e P3 so, de fato, somveis, por serem mdias temporais constantes. No entanto, Q1 e Q3 a rigor no so somveis por se tratar de parcelas de potncia que oscilam com freqncias distintas. A soma Q, portanto, no tem um significado fsico que sirva para compensao reativa.

    Por essa mesma razo, a potncia aparente complexa dada por S = V.I* tambm no tem uma interpretao fsica clara. Se analisarmos o produto de fasores complexos:

    jQPI.VS * +== (42)

    ou ainda a relao de magnitudes:

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    ( )( )232123212 II.VVS ++= (43)

    e assumindo que os produtos de termos cruzados no contribuem para os valores mdios, resulta:

    23

    21

    23

    23

    21

    21

    2 SSIVIVS +=+= (44)

    e, portanto:

    2321

    23

    21

    2 QQPPS +++= (45)

    S1

    P1

    Q1

    S3

    P3

    Q3 S

    Figura 9 - Potncias aparente, ativa e reativa para sinais com 3a harmnica.

    Apesar de ser comum encontrar esse tipo de figura (planar) para representar a combinao das potncias, ela pode estar errada se levarmos em conta que as potncias reativas, devidas s freqncias distintas, no so colineares, como representado, mas sim ortogonais, gerando uma representao espacial:

    S1

    P1

    Q1

    S3

    P3

    Q3

    S

    Figura 10. Soma em quadratura das potncias mdias.

    Podemos agora perceber a dificuldade em definir o FP na presena de harmnicas. O que seria a relao seguinte?

    S

    PP

    S

    PFP 31

    +== (46)

    Temos que lembrar que essas relaes fasoriais correspondem apenas s parcelas mdias por perodo (obtidas em funo de valores eficazes das tenses e correntes). Os produtos cruzados nessa contas no so nulas instantaneamente, o que significa que podem existir interaes entre freqncias que no esto sendo computadas atravs dos valores mdios.

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    6.1.2 Extenso dos conceitos para sistemas trifsicos balanceados Define-se como trifsico senoidal balanceado um sistema composto por trs circuitos

    iguais interligados entre si na forma estrela (Y) ou tringulo (), e alimentado por trs fontes alternadas senoidais com mesmas amplitudes e defasadas de 120o entre si.

    va

    ia Fase A

    ZG ZS

    ZC ea

    1 2

    vb

    ib Fase B ZG ZS

    ZC eb

    1 2

    vc

    ic Fase C ZG

    ZC ec

    1 2 ZS

    Zn Neutro in

    Figura 15. Sistema trifsico com retorno.

    No caso senoidal balanceado, com seqncia a,b,c no sentido trigonomtrico, teremos:

    ea = 2 E sent (62)

    eb = 2 E sen(t-120o) (63)

    ec = 2 E sen(t-240o) (64)

    No sistema balanceado a soma das tenses e correntes instantneas zero:

    ea+ eb+ ec = 0 (65)

    ia+ ib+ ic = in = 0 (66)

    va+ vb+ vc = 0 (67)

    Como no h corrente de retorno, tambm no h queda de tenso no neutro. Alis, o condutor de retorno pode ser eliminado, sem afetar a operao balanceada.

    A potncia trifsica no ponto de medio 2 ser definida como a soma das potncias instantneas nas trs fases a,b,c:

    ccbbaa i.vi.vi.vp ++= (68)

    Com base no caso monofsico podemos escrever essa soma como sendo:

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    ++= )]}240t(2cos1[)]120t(2cos1[]t2cos1{[Pp

    )]240t(2sen)120t(2sent2[senQ ++ (69)

    ou ainda:

    ++= )]240t(2cos)120t(2cost2[cosPP3p

    )]240t(2sen)120t(2sent2[senQ ++ (70)

    Figura 16 - Potncias trifsicas instantneas como vetores girantes no plano complexo.

    fcil verificar que cada soma entre colchetes em (70) resulta zero. Portanto, a potncia trifsica reduz-se a:

    p = 3P (71)

    ou seja, a potncia trifsica instantnea no caso equilibrado constante e igual potncia mdia das trs fases. Ao contrrio do sistema monofsico, a potncia instantnea transferida das fontes para as cargas no sistema trifsico senoidal balanceado no oscilatria. Essa tem sido a grande motivao para se buscar manter o sistema trifsico senoidal e balanceado.

    Notar que as partes oscilatrias, proporcionais a P e Q, somam zero, restando apenas o valor correspondente ao centro do crculo de raio P, sobre o eixo real, e que vale 3P.

    6.1.2.1 Energia ativa: parcela consumida pela carga, perdas de gerao e transmisso Da mesma forma que no caso monofsico, a parcela consumida pelas cargas dada pelo

    produto das tenses medidas junto carga (ponto 2) pelas correntes das respectivas fases. Se as tenses forem medidas no ponto 1, estaremos incluindo as perdas de transmisso,

    sobre ZS. Como o sistema balanceado no h perdas no neutro (in = 0) e s haver perdas nos condutores das fases.

    Se utilizarmos as tenses das fontes no produto com as correntes, estaremos incluindo tambm as perdas de gerao (ZG). Em todos os casos teremos potncias trifsicas no oscilatrias (constantes), enquanto o sistema for senoidal e balanceado.

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    6.1.2.2 Energia reativa: parcelas utilizadas pelas cargas, pela gerao e transmisso Uma vez que o clculo da potncia instantnea fornece apenas a potncia ativa P, como se obtm a potncia reativa Q no sistema trifsico?

    Para isso vamos fazer o clculo da potncia complexa utilizando fasores. Sabemos que o produto do fasor tenso de fase pelo conjugado do fasor corrente da mesma fase d a potncia aparente dessa fase. Portanto, no caso trifsico balanceado, devemos obter a soma das 3 fases:

    ***

    3 Ic.VcIb.VbIa.VaScSbSaS ++=++= (72)

    )240I).(240V()120I).(120V(I.V ++++= (73)

    )senjVIcosVI(3VI3 +== (74)

    Q3jP3 += (75)

    Notar que essa soma diferente da anterior (69) no domnio do tempo, onde as potncias reativas das trs fases se cancelavam ao longo do tempo. Nesta soma complexa se apresentam as demandas de potncias ativa e reativa das trs fases separadamente.

    Discutir sobre a convenincia ou no dessa representao para o caso trifsico importante, porque ela esconde o fato de que se pode compensar a demanda instantnea de reativos das fases sem a necessidade de elementos armazenadores de reativos, j que a soma instantnea zero no caso senoidal balanceado. Essa interao entre fases tambm um fenmeno complexo de se interpretar na presena de harmnicas.

    Bastaria teoricamente utilizar chaves (eletrnicas) para fazer a transferncia de reativos de uma fase para a outra, pois a todo instante se dispe de reativos positivos (indutivos) e negativos (capacitivos) em alguma das fases. Atravs de uma lgica de chaveamento adequada se buscaria, a cada instante, os reativos necessrios na fase onde estivessem disponveis. Essa possibilidade s foi vislumbrada por Akagi/Nabae em 1983 [12], como ser explorado adiante.

    6.1.3 Potncia e fator de potncia em sistemas trifsicos desbalanceados No caso das tenses ou correntes estarem desbalanceadas temos que analisar se o sistema

    tem ou no condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, haver corrente nesse condutor, dada pela soma das correntes nas fases.

    ia+ ib+ ic = in 0 (76)

    Da anlise de componentes simtricos [1], que essa soma corresponde a 3i0. Tambm sabemos que as componentes de seqncia positiva e negativa podem ser obtidas respectivamente pelas seguintes somas das tenses de fase:

    ( )c2baa iai.ai31

    i ++=+ (77)

    ( )cb2aa i.ai.ai31

    i ++= (78)

    onde a = e j120 um operador de ganho unitrio, que adianta a fase em 120.

    Pode-se mostrar que vale a soma:

    0a aaa

    iiii ++= + (79)

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    Essa decomposio tambm pode ser aplicada para as tenses trifsicas desequilibradas. No caso de se medir as tenses de fase e de neutro com relao a uma referncia comum qualquer (zero virtual), podemos expressar a potncia trifsica em termos dos componentes simtricos, resultando:

    )i.vi.vi.v(3i.vi.vi.vi.vp 0a0aaaaannccbbaa ++=+++=

    ++ (80)

    ou, desenvolvendo a tenso e corrente de neutro:

    )iii).(vvv(i.vi.vi.vp cbacbaccbbaa +++++++= (81)

    )ii(v)ii(v)ii(v)i.vi.vi.v(2p baccabcbaccbbaa ++++++++= (82)

    ou

    )vv(i)vv(i)vv(i)i.vi.vi.v(2p baccabcbaccbbaa ++++++++= (83)

    No caso balanceado, as somas duplas entre parnteses fornecem o negativo da terceira

    varivel (p.ex. ia+ib = -ic ou va+vb = -vc., de modo que essas parcelas se cancelam com a primeira parte, resultando a expresso usual da potncia p=3P, vista anteriormente.

    No caso desbalanceado, todas as parcelas resultam oscilatrias, cuja soma no constante como no caso balanceado. Quanto mais desequilibrado maior a amplitude da oscilao de potncia resultante. Como todos os termos em (83) so produtos de senides com freqncia fundamental, essas oscilaes tem o dobro da freqncia fundamental, como no caso monofsico.

    6.1.3.1 Efeito do desbalanceamento sobre sistemas trifsicos Conclui-se que basta o sistema estar desequilibrado para que a potncia trifsica se torne

    oscilatria. Isto tem um srio e indesejvel impacto sobre motores eltricos, que desenvolvem conjugado oscilatrio, mesmo sob carga mecnica constante.

    No caso de sistemas de proteo, o desbalanceamento pode causar desligamento por sub ou sobretenso, e nos sistemas de medio pode causar erros causados por mau funcionamento do instrumento (elementos de induo), como tambm pelo tipo de conexo dos TPs ( ou Y), que filtram componentes de seqncia zero.

    Com base na anlise monofsica, podemos escrever as potncias por fase como sendo:

    +++++= )]240t2cos(1[P)]120t2cos(1[P)]t2cos(1[Pp ccbbaa

    )240t2sen(Q)120t2sen(Q)t2sen(Q ccbbaa +++ (84)

    onde a, b, c, so os ngulos entre as tenses e correntes das respectivas fases.

    Pa = Va Ia cosa a potncia mdia na fase a

    Qa = Va Ia sena a potncia reativa na fase a

    A potncia mdia corresponde soma das potncias ativas das 3 fases:

    cba PPPp ++= (85)

    Para assinalar que existe uma parcela oscilatria, costuma-se representar as partes como sendo:

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    p~pp += (86)

    Figura 17 - Representao das potncias para o caso desequilibrado.

    p

    tempo

    Pp =p~

    Figura 18 - Potncia trifsica mdia e oscilatria.

    Uma vez que a potncia trifsica no explicita as parcelas reativas. Para se achar tais valores, costuma-se recorrer ao clculo por fasores, como no caso equilibrado:

    ***

    3 Ic.VcIb.VbIa.VaScSbSaS ++=++= (87)

    )IVI.VI.V cccbbbaaa ++= (88)

    Por analogia ao caso equilibrado temos que:

    )QcQbQa(jPcPbPajQPS 333 +++++=+= (89)

    e, por conseguinte, teremos como fator de potncia trifsico:

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    ScSbSa

    PcPbPa

    S

    PFP

    3

    33

    ++

    ++== (90)

    Notar que esse valor pode ser calculado como uma mdia por perodo T em funo dos valores eficazes das tenses, correntes e respectivas defasagens.

    A equao (89) sugere uma soma direta das potncias por fase, cuja representao grfica mostrada na figura seguinte:

    S3 Qa+Qb+Qc

    Pa+Pb+Pc

    Q3

    P3

    Figura 19 - Potncias trifsicas para o caso desbalanceado (no caso balanceado as potncias por fase so iguais).

    6.1.3.2 Compensao reativa trifsica Parece bvio que a correo do FP trifsico, tanto no caso balanceado como

    desbalanceado, requer o cancelamento das potncias reativas das trs fases. No caso balanceado isso pode ser obtido pela conexo de capacitores (iguais) em paralelo com a carga. No caso desbalanceado a compensao exigiria capacitores distintos por fase, e isso perpetuaria a condio de desequilbrio da rede. O melhor que se pode fazer nesse caso conectar capacitores iguais, calculados pela potncia reativa mdia. Isso no compensa o FP de cada fase, porm no introduz novo desequilbrio na rede. Pode-se perceber que a fase a ser sobre-compensada enquanto que a fase b ser sub-compensada.

    b

    a

    Q3 /3 S3

    P3 /3

    Q3

    P3

    Figura 20. Compensao reativa pela mdia das 3 fases.

    6.1.4 Potncia e Fator de Potncia em Sistemas Trifsicos Desbalanceados e com Formas de Onda No-Senoidais

    Ainda falta analisar o efeito de harmnicas no sistema trifsico, balanceado ou desebalanceado. No entanto, como vimos para o caso monofsico, as anlises com componentes

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    harmnicas so bem mais complexas, devido s interaes entre freqncias. No caso trifsico, essa situao se complica ainda mais, pois existem tambm interaes entre as fases.

    A questo central : como se pode medir e compensar a potncia no-ativa e o FP nessas condies?

    A teoria tradicionalmente mais aceita e utilizada, no tratamento deste caso geral, a teoria proposta por Budeanu em 1927 [3]. Muitas normas e recomendaes para medio, tarifao e compensao de energia, assim como grande parte dos equipamentos disponveis no mercado, baseiam-se nos conceitos definidos por este autor. Entretanto, como ser discutido a seguir, tal teoria apresenta vrios pontos equivocados e pode levar a concluses enganosas, principalmente em relao compensao de reativos e distores do sistema. Desta forma, faz-se necessrio o estudo de teorias alternativas e a definio e validao de novos conceitos.

    6.2 TEORIAS DE POTNCIA PARA CIRCUITOS TRIFSICOS NO-LINEARES Ao longo dos ltimos cem anos, mas sobretudo nas ltimas trs dcadas, diversas

    contribuies tm sido apresentadas e as principais propostas vm de especialistas de trs grandes grupos de estudos: o grupo de estudos do IEEE para Situaes No-Senoidais, o qual presidido pelo professor Alexander E. Emanuel [5,13,14]; o grupo de estudos presidido pelo professor Alessandro Ferrero, o qual vem se reunindo na Itlia a cada dois anos, desde 1991, em encontros especficos sobre definies de potncia (International Workshop on Power Definitions and Measurements under Non-sinusoidal Conditions) [6,15-20]; e por fim, apesar de no constiturem um grupo formal, destacam-se os esforos de vrios pesquisadores sobre as propostas de teorias de potncias instantneas, principalmente relacionando definies de potncia, com tcnicas de filtragem ativa [12,21-25].

    Buscando discutir, identificar as possveis fontes de confuses e eventuais solues para as questes anteriores, este captulo apresenta um histrico detalhado de algumas teorias e o clculo de potncia sob condies no-ideais de transferncia de energia.

    As definies e comentrios apresentados a seguir tm o objetivo de criar um contexto no qual se possa observar as diferentes linhas de pesquisa e identificar as semelhanas e diferenas entre elas, principalmente no que tange o objetivo pelo qual cada proposta de teoria de potncia foi desenvolvida (medio, anlise, tarifao ou compensao).

    A seguir, as principais teorias sero analisadas de acordo com o domnio do equacionamento proposto, domnio da freqncia ou do tempo.

    6.2.1 Ferramentas matemticas bsicas

    Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potncia mais relevantes, faz-se necessrio uma breve reviso de alguns conceitos matemticos, os quais foram utilizados por diferentes autores para a definio de diversas parcelas de potncia.

    6.2.1.1 Valor Eficaz ou Valor RMS

    O valor eficaz por fase e por freqncia harmnica dado por:

    2

    0

    1.

    T

    h hV v dt

    T= (91)

    Onde V representa o valor eficaz e v representa a varivel instantnea.

    O valor eficaz total por fase pode ser calculado como:

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    =T

    0

    2 dt)t(vT

    1V ( 92)

    Note que este valor total diferente da simples soma dos valores eficazes de cada componente espectral.

    6.2.1.2 Srie Trigonomtrica e Transformada de Fourier

    Atravs da Srie Trigonomtrica de Fourier pode-se decompor um sinal temporal peridico qualquer f(t), em um somatrio de sinais temporais de freqncias distintas, mltiplas entre si, ou seja:

    00 0

    1

    ( ) [ cos( . . ) sin( . . )]2 h hh

    af t a h t b h t

    =

    = + + (93)

    0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )hf t f t f t f t f t= + + +L (94)

    Por outro lado, a Transformada de Fourier permite efetuar uma decomposio correspondente, mas neste caso, no domnio da freqncia, ou seja:

    1 2( ) ( ) ( ) ( )hF j F j F j F j = + + +L (95)

    Figura 21 Funo temporal composta por fundamental e terceira harmnica

    Figura 22 - Decomposio do espectro harmnico.

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    6.2.1.3 lgebra Vetorial

    Considerando dois vetores tridimensionais instantneos (v, i), tais como:

    a

    b

    c

    v

    v v

    v

    =

    a

    b

    c

    i

    i i

    i

    =

    (96)

    o produto escalar entre os dois vetores definido como:

    . . . ( )a a b b c cv i v i v i v i p t = + + = (97)

    e equivale ao produto do vetor v pelo vetor i transposto: Tv.i

    A Norma Euclidiana ou Norma 2 destes mesmos vetores pode ser calculada como:

    2 2 2( ) a b cv v v v v v= = + + . (98)

    Outra definio importante a de ortogonalidade de vetores. Diz-se que dois vetores so

    ortogonais se satisfazem a seguinte relao (o valor mdio do produto escalar nulo):

    0 0

    1 1( ) ( . . . ) 0

    T T

    a a b b c cv i dt v i v i v i dt

    T T = + + = (99)

    Assim, se for possvel decompor um sinal qualquer em uma parcela proporcional e outra

    ortogonal ao sinal original, tem-se:

    vvi i i + (100)

    onde:

    2 2 2vv

    i i i= + (101)

    vv vv i v i v i v i = + = (102)

    pois 0vv i = (103)

    6.2.1.4 Valores Coletivos (Buchholtz)

    Instantneos:

    iiiic,b,a

    2 == =

    vvvvc,b,a

    2 == =

    (104)

    Eficazes:

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    == T

    0

    22 iidtiT

    1I ==

    T

    0

    22 vvdtvT

    1V (105)

    6.2.2 Propostas no domnio da freqncia

    A maioria destas propostas tem como motivao principal a definio de grandezas que possam ser aplicadas a sistemas de medio e tarifao de energia.

    6.2.2.1 Definies propostas por Budeanu (1927)

    O mtodo proposto em [3], por sua simplicidade, ainda a base de conceitos aceitos e utilizados, seja no universo acadmico, nas concessionrias de energia ou na indstria. Originalmente, tal mtodo foi proposto para sistemas monofsicos.

    A proposta baseia-se na definio da Potncia Aparente como:

    2BD

    2BQ

    2P1h

    hI.

    hV2S ++

    === (106)

    onde Vh e Ih so as tenses e correntes eficazes da componente harmnica h. Assim, S deveria representar a mxima capacidade de gerao ou transmisso de energia

    em um dado sistema eltrico, com uma carga que consumisse uma Potncia Ativa mdia P, dada por:

    =

    ==

    ==

    T

    0dti.v

    T

    1

    1h hcoshI.hV1h h

    PP (107)

    e ainda demandasse na forma de campos eletromagnticos uma dada Potncia Reativa calculada por:

    ==

    ==

    1h hsinhI.hV1h h

    QBQ (108)

    sendo esta, ortogonal Potncia Ativa, por definio. Deve-se observar que o termo Potncia Reativa, aqui definido usando todo o contedo harmnico dos sinais. O ngulo h a defasagem entre tenses e correntes da componente harmnica h. Budeanu tambm definiu a parcela de potncia DB, a qual foi denominada de Potncia Distorciva e seria expressa pela combinao quadrtica:

    2BQ

    2P2SBD = (109)

    A Potncia Distorciva constituda por produtos cruzados de tenses e correntes harmnicas, de diferentes ordens e s ser zero se as componentes harmnicas forem nulas. DB uma formulao matemtica que fecha o chamado tetraedro de potncias.

    A proposta de Budeanu bastante interessante em se tratando da compreenso da existncia de uma parcela de potncia que contm os efeitos distorcivos do sistema em anlise. Entretanto, uma vez que DB no parte diretamente dos sinais reais (mensurveis) das tenses e correntes, depara-se com alguns problemas quando da sua implementao em sistemas de medio, anlise ou compensao de energia.

    Principais dificuldades e inconsistncias do mtodo:

    Uma das grandes dificuldades na implementao do mtodo de Budeanu baseada na necessidade de decompor as tenses e correntes medidas em componentes ortogonais (seno e

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    cosseno). O que pode ser feito com facilidade para sinais puramente senoidais, mas no caso da presena de distores, se torna uma tarefa complexa, principalmente porque deveria ser feita para cada freqncia, independentemente. Considerando que as ferramentas computacionais hoje disponveis, simplesmente no existiam quando da proposta de Budeanu, pode-se imaginar a dificuldade da aplicao do mtodo proposto.

    Alm disto, em determinados casos, a utilizao do mtodo de Budeanu resulta em inconsistncias, como no caso de um circuito linear puramente reativo, sendo alimentado por uma tenso distorcida. Neste caso as correntes tambm sero distorcidas, mas DB indicar um valor igual a zero [26]. A falta de associao das componentes de potncia com os fenmenos fsicos que as originam, bem como o fato desta proposta ter sido desenvolvida para sistemas monofsicos, so algumas outras limitaes do mtodo.

    Um dos objetivos mais perseguidos tem sido o clculo de parcelas de potncia que possam ser diretamente associadas com as perdas e eliminadas atravs de algum tipo de compensador, sem influir no valor das outras parcelas de potncia. No caso da teoria de Budeanu, principalmente pelo fato de no isolar as correntes ativas e reativas das correntes harmnicas, tal objetivo no facilmente atingido.

    Entretanto, sabendo que o mtodo de Budeanu provavelmente o mais difundido e utilizado na engenharia eltrica, fica uma pergunta: Como pode tal mtodo ter sido adotado e utilizado com bons resultados?

    Simplificaes e a teoria convencional:

    Na verdade a melhor resposta que simplificaes foram feitas no equacionamento anterior, de forma que apenas as componentes de freqncia fundamental fossem consideradas. E fato que tal simplificao era vlida e extremamente til at algumas dcadas atrs, quando as distores de corrente e principalmente de tenso, podiam ser desprezadas. Assim:

    1cos1I.1V1P = (110)

    e ainda demandasse na forma de campos eletromagnticos uma dada Potncia Reativa calculada por:

    1sin1I.1V1BQ = (111)

    21BQ1

    PI.V1

    S 11 +== (112)

    Neste sistema senoidal, o tetraedro de potncias reduzido para o famoso tringulo de potncias, onde DB = 0. Agora sim, o valor de QB1 poderia ser usado para o projeto de um compensador de energia passivo (capacitivo ou indutivo).

    Outra definio extremamente importante em sistemas puramente senoidais, como os descritos pelo equacionamento anterior, o fator de potncia:

    11

    1

    cosP

    FPS

    = = . (113)

    o qual, nestas condies, tambm conhecido como fator de deslocamento. Mesmo no tendo sido proposto pela primeira vez por Budeanu [2], o fator de potncia tem sido utilizado em conjunto com suas definies e aplicado tarifao de energia ou mesmo para projeto de instalaes e sistemas de potncia (por exemplo, projeto de cabos e transformadores).

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    Alm da considerao de sinais senoidais, outra simplificao bastante utilizada para sistemas multi-dimensionais, a de sistemas equilibrados. Assim, os valores de P, QB e S, para sistemas trifsicos, por exemplo, podem ser definidos como:

    1cos1I.f1V.33

    1P =

    (114)

    1sin1I.f1V.331BQ =

    (115)

    11f I.V.33

    1S =

    (116)

    onde o ndice f representa tenses de fase. Nos sistemas eltricos atuais, nos quais distores de forma de onda e assimetrias esto

    quase sempre presentes, as simplificaes acima discutidas perdem sua validade e as equaes originais, as quais contemplam todo o espectro harmnico, deveriam ser utilizadas em conjunto com algum tipo de adaptao para sistemas polifsicos assimtricos, como por exemplo, as definies de mdias aritmticas ou geomtricas propostas pelo IEEE Standard Dictionary e discutidas em [27]. Entretanto, tem-se constatado e discutido que tais simplificaes ou modificaes no produzem resultados confiveis nos sistemas eltricos atuais, especialmente no caso de circuitos com condutor de retorno e, deveriam ser abandonadas [5,6,9-11,18,26].

    Interessantes propostas de aprimoramento da teoria de Budeanu podem ser encontradas em [28,29].

    6.2.2.2 Definies propostas por Czarnecki (1988) Czarnecki um dos grandes crticos no que se refere utilizao da teoria de Budeanu

    [26]. Alm disto, utilizando-se de uma abordagem vetorial bastante sofisticada, este autor defende uma proposta que busca associar as parcelas de potncia ativa, reativa, harmnica, etc. com suas respectivas variveis de origem (tenses e correntes) e os fenmenos fsicos associados.

    Apesar do mtodo proposto em [30] utilizar a definio de corrente ativa apresentada por Fryze no domnio do tempo [4], sua abordagem foi desenvolvida no domnio da freqncia e se aplica tanto para sistemas monofsicos, quanto polifsicos.

    A motivao, bem como as principais contribuies de Czarnecki, esto centradas na busca por uma metodologia de decomposio dos sinais de corrente e potncia que estivesse to relacionada quanto possvel, aos fenmenos fsicos do sistema eltrico que as origina. Como apresentado a seguir, sua proposta utiliza os valores das vrias condutncias (G), susceptncias (B) e admitncias (Y) dos circuitos eltricos, bem como procura encontrar as parcelas de corrente relacionadas com harmnicos, assimetrias, reativos, etc.

    Inicialmente, o autor assume uma fonte trifsica senoidal equilibrada, alimentando um circuito trifsico assimtrico e define condutncia e susceptncia equivalente utilizando algumas das ferramentas matemticas discutidas anteriormente, como segue:

    Assim, partindo da norma da tenso RMS, que permite incluir harmnicas hN, de modo que:

    2h

    22

    21 V...VVV +++= (117)

    Vh o valor eficaz de cada harmnica.

    Czarnecki define condutncia e susceptncia equivalentes como:

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    2eV

    PG (118)

    2eV

    QB (119)

    e, para um sistema trifsico (R,S,T), define as potncias ativa e reativa totais como:

    { }*TT*SS*RRe IVIVIVRP ++= (120)

    { }*TT*SS*RRm IVIVIVIQ ++= (121)

    As correntes trifsicas da fonte so decompostas em trs componentes ortogonais:

    iiii gra ++= (122)

    v.Gi ea = (123)

    )t(d

    dv.Bi

    1er

    = (124)

    rag iiii = (125)

    Como essas componentes so mutuamente ortogonais, os valores RMS satisfazem:

    2

    g

    2

    r

    2

    a

    2iiii ++= (126)

    v.Gi ea = (127)

    v.Bi er = (128)

    ( ) 22e2e2g v.BGii += (129) Neste modelo aparece a separao clara entre corrente reativa e corrente harmnica. O

    autor generaliza ainda mais, introduzindo distoro harmnica na fonte, e assumindo que as harmnicas introduzidas pela carga sejam distintas das existentes na fonte. Seguindo o caminho anlogo ao anterior, o mtodo aplicado para cada harmnica e as parcelas correspondentes so ento somadas, resultando uma decomposio em 5 componentes ortogonais de corrente, designadas por:

    gusra iiiiii ++++= (130)

    satisfazendo a relao de ortogonalidade:

    2

    g

    2

    u

    2

    s

    2

    r

    2

    a

    2iiiiii ++++= (131)

    de modo que 2

    i corresponde ao valor da corrente CC que produz o mesmo efeito trmico que

    as correntes das fases TR i,i,i S produziriam em um sistema trifsico simtrico. Segundo Czarnecki, as diversas parcelas ortogonais tm as seguintes interpretaes:

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    ia: correntes ativas similares s de Fryze (como ser discutido a seguir) para ondas no-senoidais:

    v.Gi ea = (132) ir: correntes reativas devido a indutores e capacitores nas diferentes freqncias harmnicas:

    fonte da harmnicoconj.Nv.Bi u

    21

    2

    nNn

    2ner

    u

    =

    =

    (133)

    is: correntes devido disperso com a freqncia (scattered current):

    ( ) vGGi2

    1

    2

    n

    2

    Nvnenes

    =

    (134)

    iu: correntes de desequilbrio:

    ( )[ ]2

    1

    Nvn

    2

    n2ne

    2ne

    2

    nu v.BGii

    +=

    (135)

    ig: correntes geradas devido no-linearidade ou variao de parmetros da carga:

    carga da harmnicoconj.N ii g2

    1

    Ngn

    2

    ng =

    =

    (136)

    Desta forma, multiplicando-se cada termo de norma das correntes identificadas pela norma da tenso em um PAC qualquer, resultaria em termos de potncia a seguinte relao:

    2 2 2 2 2 2r s u gS P Q D D D= + + + + (137)

    A proposta de Czarnecki, apesar de interessante, no tem sido muito utilizada por outros autores, provavelmente pela complexidade do equacionamento no domnio da freqncia. No entanto, interessante notar que tal proposta, alm de auxiliar na compreenso dos fenmenos fsicos que compe o sistema eltrico, poderia ser implementada tanto em sistemas de anlise e monitorao de energia, quanto em sistemas de condicionamento de energia, desde que utilizando sistemas adequados de processamento digital de sinais [31].

    Seja do ponto de vista de anlise, quanto de controle, a proposta parece muito interessante se o objetivo for a identificao, tarifao ou compensao das correntes de distrbio, entretanto, ainda deixa algumas dvidas como, por exemplo: como atribuir responsabilidades ou compensar distrbios na tenso de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nas decomposies propostas se a tenso fundamental do sistema for assimtrica (este tipo de distrbio parece no ter sido abordado)? Alm disto, destaca-se que, por se tratar de uma definio no domnio da freqncia, eventuais inter-harmnicos presentes nos sinais de tenso e corrente, podem no ser interpretadas corretamente. Para isto, a complexidade matemtica e implementacional das anlises seriam ainda maiores.

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    No entanto, importante destacar que Czarnecki tem sido um dos autores mais ativos nas discusses sobre teorias de potncia. Como resumido, sua abordagem objetiva subdividir a corrente de um sistema ou circuito eltrico em vrias sub-parcelas, cada qual associada com um tipo diferente de fenmeno fsico e conseqentemente, responsvel por uma componente de potncia distinta. Czarnecki tambm tem contribudo para discusses como a necessidade ou no da definio de potncia aparente, visto que esta muito mais uma interpretao matemtica do que fsica; bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos; e ainda para desmistificar determinadas teorias [26,32,33] ou questionar sobre quais seriam os verdadeiros requisitos para uma teoria de potncias.

    Uma vez que o foco de sua proposta a associao com os fenmenos fsicos, em trabalhos recentes o autor vem denominando tal proposta de Teoria das Componentes Fsicas de Corrente, do ingls, Theory of the Current's Physical Components (CPC) [33].

    Como ser visto adiante, a abordagem de Czarnecki no domnio da freqncia tem muitas semelhanas com as definies de Depenbrock no domnio do tempo [17].

    6.2.2.3 Definies da IEEE Standard 1459 (2000) Desde o princpio da dcada de 90, o IEEE definiu um Grupo de Trabalho' (Working

    Group) para Situaes No-Senoidais. Tal grupo presidido pelo professor A. Emanuel, um dos grandes responsveis pela publicao em 2000, da recomendao IEEE STD 1459-2000 [34].

    Em 1990, um tutorial foi organizado, contendo 12 trabalhos de autores como o prprio Emanuel, Czarnecki, Arseneau, Cox, Filipski, Baghzouz, Gunther, dentre outros, os quais abordavam os problemas das definies e instrumentao usuais, sob formas de onda distorcidas ou assimtricas, bem como novas propostas [5]. De certa forma, os trabalhos deste tutorial formaram a base para os trabalhos seguintes do grupo. Provavelmente os dois trabalhos mais referenciados do grupo so de 1996. No primeiro deles, as principais questes sobre as definies de potncia em condies no-ideais foram explicitadas em um questionrio distribudo para vrias concessionrias de energia e depois discutidas ponto a ponto [13]. No segundo, uma metodologia alternativa foi proposta para adequar as definies de potncia para o caso geral com distores e assimetrias [14].

    Assim, em [14] o grupo sugere algumas definies como, por exemplo, a utilizao de valores de tenso e corrente equivalentes para o sistema trifsico, bem como a Potncia Aparente Efetiva, como uma alternativa ao clculo da potncia aparente de forma vetorial ou aritmtica, como proposta pelo prprio IEEE anteriormente. Neste trabalho o grupo tambm defende a separao da contribuio das ondas fundamentais de seqncia positiva, das outras parcelas de potncia, bem como define vrias parcelas de potncia como, por exemplo, as potncias no-ativa (tudo que no gera P) e no-fundamental ( 1h ), parcela atribuda aos harmnicos, inter-harmnicos e suas interaes.

    A seguir, os principais conceitos e definies apresentadas na proposta da STD 1459 so resumidos e discutidos.

    Sistemas trifsicos equivalentes:

    Os sistemas eltricos trifsicos normalmente so projetados para gerar, transmitir e distribuir a energia eltrica, sob formas de ondas senoidais e em condies praticamente equilibradas e simtricas, conectadas em delta ( ) ou em estrela ( ), como ilustrado na Figura 23.

    Quando duas cargas, uma ligada em Y e outra em , so equivalentes em termos de potncia consumida, isto pressupe que ambas causam as mesmas perdas de transmisso. Em condies balanceadas e sob tenses simtricas resulta a conhecida relao entre os valores das

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    impedncias das duas formas de conexo (Z = 3ZY). Essa hiptese tambm feita para analisar sistemas desbalanceados, sob condies no-senoidais.

    No caso de correntes desequilibradas deve-se analisar se o sistema possui ou no condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, Figura 23a, poder haver corrente nesse condutor, dada pela soma das correntes nas 3 fases.

    r lb Ibvb

    r lc Icvc

    r la Iava

    rn lnn

    CARGA

    0In

    r lbIe

    vb

    r lcIe

    vc

    r laIe

    va

    rn lnnIn=0

    R

    R

    RR

    R

    R

    VeVe Ve

    a) Sistema com carga desbalanceada b) Sistema equivalente

    Figura 23 - Sistema trifsico com condutor de retorno.

    claro que se a resistncia e a corrente eficaz na rede forem conhecidas, possvel calcular as perdas em cada fase atravs da seguinte relao:

    rIP 2= (138)

    Assim, a perda total para o sistema da Figura 23a ser definida como as soma das perdas nas trs fases mais a perda no condutor de retorno (neutro):

    2nn2c

    2b

    2at Ir)III(rP +++= (139)

    Para uma dada potncia na carga e condies otimizadas de operao, as correntes nas linhas sero mnimas se a carga for resistiva e balanceada, resultando FP = 1 (Figura 23b). Nessas condies, as intensidades das correntes eficazes sero dadas por ecba IIII === e

    0In = . Para as mesmas perdas de transmisso, tem-se a seguinte relao:

    2et rI3P = (140)

    onde a corrente eficaz equivalente ( eI ) definida em funo das perdas do sistema real,

    aplicadas a um sistema equivalente balanceado. Logo, igualando as equaes (139) e (140) tem-se:

    )IIII(3

    1I 2n

    2c

    2b

    2ae +++= (141)

    onde r

    rn= a relao entre a resistncia do condutor de retorno (rn) e a resistncia dos

    condutores das fases (r), as quais em geral, no so iguais.

    Uma anlise semelhante feita para a tenso eficaz equivalente ( eV ), obtida considerando

    que a carga no circuito real (Figura 23a) consiste de grupos de cargas conectadas em e em . Cada grupo caracterizado por uma resistncia equivalente R e R respectivamente (Figura 23b), e a potncia absorvida no sistema real, dada em funo das tenses eficazes de fase e de linha:

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    +++

    ++=

    R

    VVV

    R

    VVVP

    2ca

    2bc

    2ab

    Y

    2cn

    2bn

    2an

    T (142)

    e, no modelo equivalente fictcio, dada em funo da tenso eficaz equivalente:

    +=R

    V9

    R

    V3P

    2e

    Y

    2e

    e (143)

    Dado que R

    VP

    2

    = , para o circuito da Figura 23b (equivalente) resulta:

    = R

    V3P

    2e , e

    = R

    V9P

    2e

    e, assim, tem-se a relao das potncias absorvidas entre os grupos de cargas ligadas em e Y:

    ===R

    R3

    R

    V3

    R

    V9

    P

    P2e

    2e

    (144)

    Substituindo a equao (142) nas equaes (143) e (144) e igualando estas duas equaes obtm-se:

    +=

    +++

    ++

    R3

    V9

    R

    V3

    R3

    VVV

    R

    VVV 2e

    Y

    2e

    2ca

    2bc

    2ab

    Y

    2cn

    2bn

    2an

    ( ) ( )

    )1(9

    VVVVVV3V

    2ca

    2bc

    2ab

    2cn

    2bn

    2an

    e+

    +++++=

    (145)

    considerando 1= que, segundo a equao (144), implica potncias iguais dos grupos de cargas

    em Y e em ou que = PP e = R3R , resulta da equao (145):

    ( ) ( )

    18

    VVVVVV3V

    2ca

    2bc

    2ab

    2cn

    2bn

    2an

    e

    +++++= (146)

    Para sistemas trifsicos com trs condutores sem neutro ( 0=nI ) a equao (141)

    simplificada para:

    )III(3

    1I 2c

    2b

    2ae ++= (147)

    Para a tenso equivalente efetiva com trs condutores considera-se 0=P , ,

    R , 3/= RRe , e assim a equao (146) simplificada para:

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    )VVV(9

    1V 2ca

    2bc

    2abe ++= (148)

    Os valores Ve e Ie calculados dessa maneira representam valores por fase do sistema equivalente balanceado. A potncia aparente efetiva total definida como:

    eee IV3S = (149)

    Esta definio de potncia aparente diferente das usadas nas definies clssicas, por incluir a corrente e resistncia do condutor de retorno (neutro), alm de considerar o sistema trifsico como um sistema polifsico de fato, e no um somatrio de sistemas monofsicos.

    Quanto definio de potncia ativa (P) existe um consenso de que seja calculado como o valor mdio, sobre um ou mais perodos do sinal, do produto das tenses de fase-neutro pelas respectivas correntes:

    ( )dtvivivikT

    1P

    kTt

    t

    ccbbaa+

    ++= (150)

    onde T o perodo das tenses e correntes, t o instante inicial de integrao e k um nmero inteiro de perodos para o clculo da mdia (em geral k=1).

    Desta forma, o fator de potncia efetivo definido como a razo entre a potncia ativa equao (150) e a potncia aparente efetiva (149):

    e

    e S

    PFP = (151)

    Sistemas trifsicos equivalentes sob condies distorcidas

    Como j discutido, as anlises na presena de harmnicos ficam bem mais complexas, devido s interaes entre freqncias. No caso polifsico, essa situao se complica ainda mais, pois aparecem tambm interaes entre as fases.

    Desta forma, a corrente e tenso efetiva foram separadas em duas componentes, as componentes fundamentais e harmnicas, ou seja:

    2eH21ee III += (152)

    e

    2eH21ee VVV += (153)

    onde o ndice 1 representa a componente fundamental 60/50Hz e H o conjunto das componentes harmnicas do sistema.

    As componentes fundamentais equivalentes por fase da corrente e tenso por fase podem ser obtidas por:

    ( )21n21c21b21a1e IIII31

    I +++= (154)

    e

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    ( )[ ]2 1ca2 1bc2 1ab21c21b21a1e VVVVVV3181

    V +++++= (155)

    Assim, conhecendo eV e 1eV , pode-se calcular a parcela correspondentes s harmnicas da

    tenso:

    21e2eeH VVV = (156)

    Da mesma forma para a parcela de correntes tem-se:

    21e2eeH III = (157)

    Portanto, a potncia aparente efetiva pode ser expressa por:

    2eN21e

    2e SSS += (158)

    onde o primeiro termo corresponde potncia aparente efetiva fundamental:

    1e1e1e IV3S = (159)

    e o segundo termo a potncia efetiva no-fundamental:

    21e2eeN SSS = (160)

    Notar que essa parcela de potncia, causada pela presena de componentes harmnicos e inter-harmnicos distintos nas tenses e correntes, tem carter oscilatrio.

    Sistemas trifsicos equivalentes em condies desequilibradas

    Para cargas desbalanceadas, define-se a potncia aparente fundamental de desequilbrio, pela diferena:

    2121e1U )S(SS

    += (161)

    onde +1S a potncia aparente fundamental de seqncia positiva, dada por:

    +++++ =+= 112

    12

    11 IV3)Q()P(S (162)

    Sendo:

    ++++ = 1111 cosIV3P (163)

    e

    ++++ = 1111 sinIV3Q (164)

    Estas definies de potncia ativa de seqncia positiva e potncia reativa de seqncia positiva so similares s usadas em sistemas trifsicos senoidais equilibrados.

    Assim, define-se tambm o fator de potncia fundamental de seqncia positiva, como a relao entre a potncia ativa e a potncia aparente, ambas de seqncia positiva.

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    +

    ++ =

    1

    11 S

    PFP (165)

    Esta relao pode ser associada com o fator de deslocamento ( 1cos ) dos sistemas eltricos senoidais e equilibrados.

    Vrias outras parcelas de potncia ou relaes entre estas, ainda podem ser extradas da abordagem proposta em [34], no entanto, j possvel tecer alguns comentrios sobre vantagens, desvantagens e semelhanas desta proposta em relao a outras referncias:

    Vantagens:

    O fato de separar as componentes fundamentais e de seqncia positiva das demais parcelas da tenso, corrente e potncia, um ponto importante no que tange compreenso dos fenmenos fsicos, bem como em relao medio e tarifao das potncias envolvidas no processo de fornecimento de energia;

    Por utilizar as definies de grandezas equivalentes de Buchholz, o mtodo procura tratar de forma adequada sistemas trifsicos com trs ou quatro fios (embora trabalhos recentes apontem algumas inconsistncias [10]);

    O mtodo permite uma certa flexibilidade em relao a quantas e quais parcelas de potncia se deseja calcular, dependendo da necessidade ou objetivo do usurio;

    As novas definies tm uma estreita relao com os conceitos convencionais para o caso senoidal e balanceado;

    A definio de Potncia Aparente Efetiva parece mais rigorosa e til do que as definies convencionais;

    Desvantagens:

    Uma vez que o foco principal dos trabalhos desenvolvidos pelos autores em questo sempre foi a normalizao dos protocolos de medio e tarifao de energia em condies no-senoidais e/ou desbalanceadas, todas as definies so baseadas em valores eficazes, quando na verdade poderiam ter sido generalizadas no domnio do tempo e, ento, aplicadas para tarifao;

    Mesmo permitindo a identificao de parcelas de potncia que poderiam ser compensadas (eliminadas) atravs de compensadores ativos (SeN) ou passivos (Q1

    2), por no ser este o objetivo principal do grupo, tais vertentes da proposta ainda no foram suficientemente exploradas;

    Um ponto crtico em quase todas as propostas de teoria de potncia a identificao do sentido do fluxo de potncia harmnico, o que nesta proposta tambm no foi solucionado;

    Outro ponto que ainda requer aprimoramento, tratando-se de uma recomendao IEEE, o fato de que os algoritmos e protocolos para os clculos das componentes fundamentais, harmnicas ou de seqncia positiva no foram abordados;

    Discusso:

    Baseado nos comentrios anteriores, pode-se afirmar que a proposta atual do grupo do IEEE apresenta inovaes em relao s recomendaes anteriores do prprio IEEE. Tal proposta tambm traz vrias semelhanas com as propostas de outros autores contemporneos,

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    principalmente com os trabalhos de Czarnecki e Depenbrock (apresentado na prxima seo). Semelhanas estas que vem sendo moldadas ao longo das duas ltimas dcadas atravs das vrias publicaes e discusses de artigos destes autores.

    6.2.3 Propostas no domnio do tempo

    Nos ltimos anos, vrias propostas tm sido apresentadas baseadas em abordagens no domnio do tempo. Diferente das propostas no domnio da freqncia, a maioria destas tem como motivao principal a compensao de distrbios. Entretanto, isto tem sido uma grande fonte de confuses e distores sobre o que deveria contemplar uma teoria de potncias, sendo algumas propostas extremamente teis do ponto de vista de compensao, mas impraticveis em aplicaes como anlise, medio ou tarifao de energia. Outro problema de interpretao oriundo destas propostas a utilizao do termo instantneo no contexto das teorias de potncia: tal termo vem sendo empregado para demonstrar que determinadas parcelas de corrente podem ser calculadas ou mesmo compensadas de forma instantnea, no entanto, de forma geral, no deveria ser empregado na definio dos nomes das diferentes componentes de corrente ou potncia. A no ser em condies muito especiais, tais componentes podem ser calculadas no domnio do tempo, mas no sem algum tipo de pr-processamento, mdia temporal ou filtro (no-instantneo).

    6.2.3.1 Definies propostas por Fryze (1932) Apesar de no ter sido adotada em escala mundial, a teoria proposta em [4] apresenta

    vrios aspectos interessantes, uma vez que trata de uma decomposio no domnio do tempo, no necessitando da decomposio do sinal em seus harmnicos. Sendo este ltimo fator especialmente importante por volta de 1930, pela indisponibilidade de instrumentos que fizessem tais anlises. Considerando variveis peridicas (T) uni-dimensionais instantneas v e i, Fryze prope a decomposio da corrente total em duas componentes, iw que corresponde parte ativa da corrente e ib que corresponde parcela denominada de reativa (corrente no-ativa). So elas:

    2( ). .ww e

    Pi v G v

    V= = (166)

    a qual corresponde parcela que efetivamente transfere potncia para a carga e possui a mesma forma de onda da tenso (como j definido, Pw a potncia ativa mdia e V o valor RMS da tenso). E

    b wi i i= (167)

    a qual representa uma corrente adicional de ocupao do sistema eltrico. importante destacar que, desde que seja assumida uma dada periodicidade para os sinais

    de tenso e corrente, as expresses anteriores so vlidas para qualquer forma de onda. A corrente ativa obtida atravs da condutncia equivalente (Ge) do sistema, e

    representa a corrente de uma carga puramente resistiva, a qual, para uma mesma tenso, absorve a mesma potncia ativa (Pw) da carga realmente utilizada. Se a corrente ib fosse completamente eliminada ou compensada, o fator de potncia seria unitrio.

    Uma vez que estas duas componentes de corrente so ortogonais, o produto escalar entre elas igual a zero e seus valores RMS podem ser associados como:

    2 2 2w b

    I I I= + (168)

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    Desta forma, a Potncia Aparente (Ps) seria composta por:

    2 2 2s w b

    P P P= + (169)

    sendo (Pw) a Potncia Ativa dada por:

    0

    1. .

    T

    w wP V I v i dt

    T= = (170)

    a qual, obviamente, est associada transferncia de energia em um determinado perodo e

    .b b

    P V I= (171)

    que a Potncia Reativa de Fryze e tambm pode ser encontrada na literatura com o nome de Potncia Fictcia ou No-Ativa.

    Alm disto, utilizando a desigualdade de Schwartz que diz que:

    dx)x(gdx)x(fdx)x(g).x(fb

    a

    2b

    a

    22b

    a

    (172)

    Fryze pde mostrar que:

    PS Pw = .VI (173)

    onde = cos no caso particular de funes senoidais, e que a igualdade de Schwartz s ocorre

    se a relao )x(g

    )x(f for constante.

    Isso significa que Ps = Pw apenas no caso em que a corrente proporcional tenso (carga resistiva) e a relao v/i se mantiver constante no perodo:

    cteRi

    v== (174)

    ou seja, corresponde a uma resistncia invariante no tempo. Devemos, portanto, a Fryze a prova de que a potncia aparente de um resistor invariante coincide com a potncia ativa, qualquer que seja a forma de onda (pois a corrente proporcional tenso).

    Vantagens:

    Uma grande contribuio da teoria de Fryze foi a introduo do conceito de ortogonalidade no entre as parcelas de potncia, mas sim em sua origem, ou seja, s componentes da corrente ativa e residual;

    O fato de calcular a corrente ativa diretamente a partir da condutncia equivalente tambm deve ser ressaltado, uma vez que evitava a necessidade das anlises em freqncia, como vinha sendo proposto por autores da poca;

    Se o objetivo quantificar o total de energia suprflua (no-ativa) de um sistema eltrico, as componentes ib e Pb podem ser utilizadas com bastante preciso;

    A proposta permite o projeto de filtros ativos de potncia, para eliminao de ib, mesmo se em seu tempo, tal soluo ainda no fosse uma realidade.

    Desvantagens:

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    Pelo fato de agrupar todos os distrbios de corrente na parcela ib ou conseqentemente na potncia Pb, tal teoria no permite o aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de fenmeno fsico envolvido na transferncia de energia, bem como no permite a monitorao para fins de tarifao ou compensao seletiva de determinadas parcelas de corrente e potncia;

    No separa nem mesmo as contribuies das fundamentais do sistema, das demais componentes. Portanto, no permite o projeto em separado de compensadores de energia passivos, usualmente econmicos e ainda de utilidade para muitas instalaes;

    Foi definido para sistemas monofsicos.

    Discusso:

    importante ressaltar que algumas das definies de Fryze, como por exemplo, a definio de corrente e potncia ativa, vem sendo utilizadas e aprimoradas por vrios outros autores, dos quais pode-se destacar [15-18,30,34].

    O resultado destes novos trabalhos foi a expanso da teoria de Fryze para sistemas multi-dimensionais [15-17,35], bem como propostas para o clculo instantneo da parcela de corrente ativa (iw) [15-17], o que possibilitou o desenvolvimento de filtros ativos de potncia, para maximizao do fator de potncia de uma instalao.

    Outros trabalhos permitiram a expanso das parcelas de corrente ativa e no-ativa em sub-parcelas que possibilitam estudos sobre os fenmenos ou distrbios presentes em um determinado sistemas [16,17,22,25,35], de forma similar proposta apresentada no domnio da freqncia em [34].

    Como ser discutido adiante, a linha de trabalho baseada no aprimoramento da proposta de Fryze, bem como a possibilidade de separar as tenses e correntes em suas vrias possveis sub-parcelas, parece a forma mais adequada de se encontrar uma teoria de potncias aplicvel seja para os estudos, como tambm para tarifao e compensao, de sistemas eltricos sob condies no-ideais.

    6.2.3.2 Definies propostas por Depenbrock (1962/1992) Mtodo FBD Apesar da proposta de Depenbrock ter sido formulada em 1962 [38], a mesma s passou a

    ser referenciada e utilizada por outros autores, aps a sua publicao no IEEE [39]. Baseando-se nos trabalhos de Fryze [4] e Buchholz [37], o autor apresentou a teoria que ele batizou como o mtodo FBD Fryze-Buchholz-Depenbrock.

    Seu trabalho busca considerar algumas premissas bsicas ao desenvolvimento adequado de uma teoria de potncias [39] e no contexto de condicionamento de energia. Pode-se destacar:

    o fato de que correntes no-ativas no contribuem para a transferncia de energia de um sistema, sendo relacionadas apenas com perdas e problemas de interferncia eletromagntica;

    a demanda de informaes sobre as funes temporais, para avaliar ou mesmo compensar os efeitos das correntes no-ativas;

    o fato de que normas e recomendaes deveriam trazer regras claras sobre como determinar tais funes temporais, sendo que tais regras deveriam ser aplicveis para sistemas genricos, sem restries e da forma mais simples possvel;

    potncias no-ativas so grandezas de importncia secundria, uma vez que so derivadas das ``correntes'' no-ativas e no o contrrio;

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    a nica componente de corrente que possui uma definio livre de contradies, a corrente ativa, no entanto, a decomposio da corrente no-ativa em sub-componentes pode ser de importncia em determinadas aplicaes. Assim, as normas deveriam definir os mtodos e algoritmos necessrios para tais decomposies, permitindo que o nmero de parcelas a serem calculadas varie de acordo com a aplicao final.

    O autor utiliza variveis chamadas coletivas instantneas de tenso e corrente como:

    )t()t(iim

    1

    2 ii == =

    )t()t(vv **m

    1

    2** vv ==

    = , (175)

    onde m indica o nmero de condutores que ligam a fonte carga e o * indica que os valores das tenses foram medidos em relao referncia virtual.

    O mtodo FBD considera como ativos todos os condutores do sistema polifsico, inclusive o condutor neutro (usualmente considerado retorno). Para o clculo das tenses, toma como referncia um ponto virtual, Figura 23b, e no o condutor de neutro (retorno) como realizado usualmente, inclusive na proposta da STD 1459-2000.

    r lbIb

    vb

    r lcIc

    vc

    r laIa

    va

    r ln

    In

    CARGA

    r l bib

    vb

    r l cic

    vc

    r l aia

    va

    r ln

    in

    CARGA

    Va* Vb* Vc* Vn*

    (*) referncia virtual a) Condio inicial b) Circuito equivalente (ponto virtual)

    Figura 23: Sistema trifsico com m=4 condutores.

    Da forma como foi definido o ponto virtual (centro de gravidade das tenses), valem as seguintes relaes:

    0im

    1

    ==

    0vm

    1* =

    = (176)

    A potncia instantnea coletiva dada pelo produto escalar:

    )t()t(p * iv = . (177)

    Assim, para condies peridicas, os valores eficazes coletivos quadrticos da corrente e tenso so, respectivamente os valores quadrticos mdios por perodo, dados por:

    == T

    0

    22 )t()t(dt)t(iT

    1I ii (178)

    == T

    0

    **2

    *2

    * )t()t(dt)t(vT

    1V vv (179)

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    E a potncia mdia ou ativa dada por:

    == T

    0

    * )t()t(dt)t(pT

    1P iv (180)

    A equao (180) igual da potncia ativa convencional, porm com as tenses medidas em relao ao ponto virtual. A potncia aparente coletiva total dada pela seguinte expresso:

    = IVS * (181)

    Esta potncia foi introduzida por Buchholz, e considera todas as tenses e correntes do sistema eltrico. A partir, das equaes (180-181) pode-se obter o fator de potncia como sendo:

    = S

    PFP (182)

    O autor tambm sugere a decomposio da corrente em parcelas proporcionais e ortogonais tenso, definindo assim:

    Corrente Ativa ( ai ): responsvel pela transferncia de energia para a carga. Esta corrente igual corrente ativa definida por Fryze:

    * *2*

    . .a a

    Pi v G v

    V

    = = (183)

    Correntes de Potncia ( pi ): responsveis pela potncia instantnea, incluindo a

    potncia ativa e possveis oscilaes relacionadas com harmnicos e desequilbrios:

    * *2*

    . .p p

    pi v G v

    v

    = = (184)

    Correntes de Potncia Zero ( zi ): no contribuem para a transferncia de energia. Estas correntes podem ser compensadas sem a necessidade de armazenadores de energia [38,39]:

    z pi i i =

    = ==

    m

    1vvz*vz 0P iv (185)

    Correntes No-Ativas ( ni ): associadas aos vrios tipos de distrbios e oscilaes que afetam a potncia instantnea, mas no transferem energia para as cargas:

    n a z vi i i i i = = + (186)

    onde vi a componente de corrente responsvel pelas variaes (quando presentes) da

    condutncia equivalente em torno de Ga, ou ainda, variaes de p em torno de P . Esta parcela

    ( vi ) poderia ser utilizada para o projeto de armazenadores de energia para compensadores ativos

    com a finalidade de eliminar ni , o que resultaria na maximizao do fator de potncia do

    circuito (FP=1). Alm das componentes de corrente descritas, Depenbrock destaca a possibilidade de ainda

    decompor a tenso e a corrente em outras sub-parcelas (pores) [39], tais como: componente

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    fundamental, componente residual (harmnica), componentes de seqncia positiva, componentes mdia e oscilatria, etc. Na verdade, o autor tem defendido a idia de que o nmero de parcelas da decomposio de corrente no deve ser fixado por norma, mas sim definido em funo da aplicao na qual se deseja aplicar a metodologia proposta. Assim, poder-se-ia calcular, por exemplo, a corrente ativa fundamental de seqncia positiva, a qual seria proporcional tenso fundamental de seqncia positiva. Da mesma forma, diversas parcelas de potncia poderiam ser evidenciadas em funo das parcelas de tenso e corrente.

    Vantagens:

    permite o clculo instantneo da corrente zi , a qual representa a parte da corrente no-

    ativa que poderia ser compensada sem armazenadores de energia;

    sugere o clculo no domnio do tempo de diversas parcelas de tenso e corrente, como por exemplo, componentes fundamentais e harmnicas, ativas e no-ativas, etc;

    sugere o clculo de parcelas da potncia aparente relacionadas com os sinais de tenso e corrente decompostos;

    permite o projeto de compensadores passivos ou ativos, com ou sem armazenadores de energia.

    Desantagens:

    Ao usar o ponto virtual para as medies das tenses, no caso de sistemas desequilibrados e desbalanceados, torna-se difcil identificar sinais para a compensao, seja de corrente ou de tenso.

    O processamento das equaes leva a clculos de componentes de corrente (baseado em subtraes de valores medidos e outros calculados) que apresentam componentes espectrais injustificveis.do ponto de vista fsico.

    Discusso:

    As definies de pi e zi propostas por Depenbrock, possuem algumas semelhanas com

    as correntes ativa e reativa de Akagi et al. [12], apesar de realizadas de forma completamente distinta. Propostas similares a esta de Depenbrock, foram apresentadas quase que simultaneamente no contexto internacional por Tenti et al. [15] e Willems [40], onde estes autores exploraram a utilizao do Multiplicador de Lagrange para o clculo das corrente pi .

    Uma anlise detalhada de tal mtodo tambm pode ser encontrada em [36]. Depenbrock tambm tem tentado demonstrar que a definio de uma teoria e a sua

    implementao em sistemas de medio e controle no domnio do tempo, nada tem a ver com as chamadas Teorias de Potncia Instantneas [41], apresentadas, por exemplo, em [12,21-25].

    6.2.3.3 Definies propostas por Akagi e Nabae (1983/1993) Os trabalhos apresentados por Akagi et al. [12,21] contm contribuies s reas de

    clculo de potncias instantneas e filtragem ativa, sobretudo sem a necessidade de elementos armazenadores de energia. Os conceitos e definies publicados nestes trabalhos e impulsionaram desenvolvimentos nas reas de eletrnica de potncia, filtragem ativa, dispositivos FACTS e qualidade de energia.

    A teoria original proposta pelos autores ficou conhecida como Teoria pq e tem como base a transformao algbrica de coordenadas de um sistema trifsico para um sistema bifsico

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    ( , ,a b c ), tambm conhecida como Transformao de Clarke [42]. Atravs de contribuies de vrios autores ao longo das quase duas dcadas de utilizao da teoria [22,23,25], as publicaes mais recentes de Akagi trazem uma teoria estendida, na qual a presena de 4 fios no sistema trifsico foi incorporada ao mtodo de clculo de suas variveis, alm de outras consideraes [43].

    Baseados na definio de vetores instantneos, as tenses e correntes trifsicas dadas nas coordenadas (a,b,c), as quais se encontram defasadas de 120 podem ser transpostas para as coordenadas ( 0 ), onde so ortogonais entre si, pelas seguintes equaes algbricas:

    =

    c

    b

    a0

    v

    v

    v

    23

    230

    21

    211

    21

    21

    21

    3

    2

    v

    v

    v

    . (187)

    =

    c

    b

    a0

    i

    i

    i

    23

    230

    21

    211

    21

    21

    21

    32

    i

    i

    i

    . (188)

    A Teoria pq define duas potncias reais instantneas ( p e p0) e uma potncia

    imaginria instantnea ( q ) para o sistema trifsico a quatro fios:

    =

    i

    i

    i

    .

    vv0

    vv0

    00v

    q

    p

    p 000

    . (189)

    Observando-se a Figura 24, pode-se concluir que a potncia instantnea real seria formada pela componente de seqncia zero ( 0 0 0.p v i= ), que circula por um circuito monofsico de

    seqncia zero, o qual independente, e pela componente p definida pelo produto das

    tenses instantneas em uma fase pelas correntes instantneas correspondentes s mesmas fases (produto escalar), ou seja:

    += ivivp (190)

    e desta forma, representaria a potncia real ativa instantnea (em Watts) que circularia pelo sistema bifsico formado pelos circuitos [43].

    A potncia formada pela soma dos produtos de tenses de uma fase, pelas correntes em outra fase (produto vetorial) definida como uma nova grandeza eltrica, a potncia imaginria instantnea ( q ), dada em Volt-Ampre-Imaginrio (VAI):

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    = ivivq (191)

    Assim como proposto em [23], a potncia imaginria definida acima tem sinal contrrio do proposto originalmente por Akagi et al. e pode ser associada a vrios aspectos:

    o fato de que pela lgebra vetorial adotada e sendo a potncia imaginria ortogonal potncia real, a qual definida sobre eixo real das coordenadas, a potncia imaginria resulta no eixo imaginrio das coordenadas;

    tambm pelo fato que, ao contrrio das potncias instantneas reais, esta componente no participa da transferncia de potncias entre fontes geradoras e as cargas, conforme indicado na Figura 25;

    por fim, pelo fato de ser apenas uma definio matemtica, a qual utilizada para quantificar as parcelas de potncia instantneas que correspondem a interaes de energia, entre as fases do sistema, sejam elas constantes ou no.

    Figura 24 - Circuitos que contribuem para o fluxo de potncia instantnea - Teoria pq.

    A equao a seguir traz uma analogia ao clculo convencional de potncia instantnea para um sistema trifsico a quatro fios, com a teoria apresentada:

    3 0 0 0. . . . . .a a b b c cp v i v i v i v i v i v i p p = + + = + + = + (192)

    Com isso, observa-se que a potncia instantnea trifsica dada pela soma das potncias instantneas reais de Akagi, ressaltando que a presena da componente de seqncia zero (p0) indesejada no sistema eltrico.

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    Figura 25 - Fluxo instantneo de potncia real e imaginria no sistema - Teoria pq.

    Principal Contribuio:

    Embora Depenbrock tenha recentemente chamado a ateno da comunidade cientfica para o fato de que j em 1962, seu trabalho de doutorado teria tratado de assunto similar [38,41], a principal contribuio da Teoria pq relaciona-se com o desenvolvimento de uma tcnica de compensao ativa de distrbios sem a necessidade de armazenadores de energia.

    Observando a existncia desta parcela de potncia que trocada a todo instante entre as fases do sistema e que, se calculada a contribuio desta potncia em cada fase, sua soma instantnea resulta nula, foi possvel ento o desenvolvimento de um conjunto de equaes que permite encontrar correntes de referncia para o controle dos filtros ativos, os quais utilizavam a energia de uma dada fase para compensar os distrbios das outras e assim sucessivamente, sem a necessidade de elementos passivos (indutores ou capacitores) para armazenarem energia.

    Assim as correntes ortogonais i e