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Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 1 6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA 1 A influência de distorções de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifásicos é um assunto quase tão antigo quanto o próprio sistema elétrico de corrente alternada [1-4]. No entanto, a definição de uma teoria de potência que se aplique em tais condições, ainda é um desafio da engenharia elétrica [5-11]. Neste contexto, é importante considerar o estudo das várias propostas de teorias de potência apresentadas ao longo dos últimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que mais se adeque às várias aplicações que uma teoria de potências possa vir a ter, ou seja, projetos e análises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de medição de energia ou monitoração da Qualidade de Energia (QE), eletrônica de potência, etc. Assim, as próximas seções discutem a aplicação dos conceitos clássicos de potência e fator de potência, considerando inicialmente instalações com tensões senoidais e equilibradas e cargas lineares, evoluindo para o caso no qual as tensões de fornecimento podem ser assimétricas e as cargas não-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de potência e fator de potência para tais condições de operação. Em seguida, as propostas de maior destaque internacional são discutidas e os pontos de convergência, apontados. 6.1 GENERALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CLÁSSICOS DE POTÊNCIA Até poucas décadas atrás, a grande maioria das cargas elétricas previa o uso de corrente contínua ou alternada senoidal "pura". Em função disso, os conceitos de potência ativa e reativa eram associados a essas duas formas "ideais" de tensão e corrente. No entanto, com o uso das técnicas não-lineares de controle eletrônico (retificação, inversão, chaveamento, etc.), começaram a aparecer aplicações em que outras formas de onda são utilizadas. Nestes casos, tornou-se necessário analisar a potência elétrica sob nova ótica, já que algumas parcelas adicionais podem se manifestar na forma de potências oscilatórias. Esse é o caso, por exemplo, de distorções harmônicas na corrente ou na tensão da rede e nas situações com desequilíbrio entre as fases. Como a presença de harmônicos afeta a medida das grandezas elétricas básicas como tensão e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados que são provocados pelas formas não senoidais. Esse vai ser o tema de discussão deste Capítulo. O objetivo principal é poder generalizar os conceitos tradicionais de potência ativa, reativa, aparente, média e instantânea, de maneira que assumam significado físico e possam ser utilizados para fins de controle ou de compensação das parcelas indesejadas. Notação adotada: Variáveis temporais são representadas através de letras minúsculas (v, i, p, p ~ ); Grandezas médias e valores eficazes são representados através de letras maiúsculas ou por letra minúscula barrada (V,I,P, p ); Fasores são representados através de letras maiúsculas, em negrito (V,I); 1 A elaboração deste capítulo contou com a participação do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão, da UNESP, a quem agradecemos a cortesia pela cessão de conteúdo e resultados, principalmente na parte referente à teoria CPT e à comparação entre as teorias [54,55].

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6. TEORIAS DE POTÊNCIA ELÉTRICA1

A influência de distorções de forma de onda e de assimetrias nos sistemas polifásicos é um assunto quase tão antigo quanto o próprio sistema elétrico de corrente alternada [1-4]. No entanto, a definição de uma teoria de potência que se aplique em tais condições, ainda é um desafio da engenharia elétrica [5-11].

Neste contexto, é importante considerar o estudo das várias propostas de teorias de potência apresentadas ao longo dos últimos anos e da escolha ou aprimoramento daquela que mais se adeque às várias aplicações que uma teoria de potências possa vir a ter, ou seja, projetos e análises em sistemas de energia, projeto de compensadores passivos ou ativos, instrumentos de medição de energia ou monitoração da Qualidade de Energia (QE), eletrônica de potência, etc.

Assim, as próximas seções discutem a aplicação dos conceitos clássicos de potência e fator de potência, considerando inicialmente instalações com tensões senoidais e equilibradas e cargas lineares, evoluindo para o caso no qual as tensões de fornecimento podem ser assimétricas e as cargas não-lineares. Com isto, pretende-se demonstrar a necessidade de rever os conceitos de potência e fator de potência para tais condições de operação. Em seguida, as propostas de maior destaque internacional são discutidas e os pontos de convergência, apontados.

6.1 GENERALIZAÇÃO DOS CONCEITOS CLÁSSICOS DE POTÊNCIA

Até poucas décadas atrás, a grande maioria das cargas elétricas previa o uso de corrente contínua ou alternada senoidal "pura". Em função disso, os conceitos de potência ativa e reativa eram associados a essas duas formas "ideais" de tensão e corrente. No entanto, com o uso das técnicas não-lineares de controle eletrônico (retificação, inversão, chaveamento, etc.), começaram a aparecer aplicações em que outras formas de onda são utilizadas. Nestes casos, tornou-se necessário analisar a potência elétrica sob nova ótica, já que algumas parcelas adicionais podem se manifestar na forma de potências oscilatórias. Esse é o caso, por exemplo, de distorções harmônicas na corrente ou na tensão da rede e nas situações com desequilíbrio entre as fases.

Como a presença de harmônicos afeta a medida das grandezas elétricas básicas como tensão e corrente eficaz, torna-se importante estabelecer com clareza quais os efeitos indesejados que são provocados pelas formas não senoidais. Esse vai ser o tema de discussão deste Capítulo.

O objetivo principal é poder generalizar os conceitos tradicionais de potência ativa, reativa, aparente, média e instantânea, de maneira que assumam significado físico e possam ser utilizados para fins de controle ou de compensação das parcelas indesejadas.

Notação adotada:

• Variáveis temporais são representadas através de letras minúsculas (v, i, p, p~ );

• Grandezas médias e valores eficazes são representados através de letras maiúsculas ou por letra minúscula barrada (V,I,P, p );

• Fasores são representados através de letras maiúsculas, em negrito (V,I);

1 A elaboração deste capítulo contou com a participação do Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão, da UNESP, a quem agradecemos a cortesia pela cessão de conteúdo e resultados, principalmente na parte referente à teoria CPT e à comparação entre as teorias [54,55].

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• Grandezas vetoriais (multivariáveis) são representadas através de letras em negrito e com ponto superior ( I,i,V,v &&&& );

• Parâmetros reais e grandezas complexas também são representados por letras maiúsculas (S=P+jQ, Z=R+jX , Y=G+jB);

• Indicadores são representados por siglas maiúsculas (FP, FD, DHTV, DHTI).

Simbologia:

v, V, Vv &&, tensões instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (V);

i, I, Ii &&, correntes instantâneas e eficazes mono ou multivariáveis (A);

p, P potência ativa instantânea e média (W);

q, Q potência reativa instantânea e máxima (Var);

s, S potência aparente instantânea e média (VA);

FP, FD fator de potência e fator de deslocamento;

Z, R, X impedância, resistência e reatância;

Y, G, B admitância, condutância e susceptância;

DHTV, DHTI distorção harmônica total de tensão e corrente (%)

ω freqüência angular (rd/s);

ϕ ângulo de fase entre tensão e corrente senoidais (°);

I* corrente complexa conjugada;

T período do sinal periódico.

6.1.1 Sistemas Senoidais Monofásicos: Definições e interpretação física

6.1.1.1 Potência instantânea monofásica

A potência instantânea transferida entre uma fonte e uma carga bipolar é definida pelo produto dos sinais de tensão e corrente:

v

i Fonte Carga

Figura 1 - Sistema de alimentação monofásica.

i.vp = (1)

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Esta definição aplica-se tanto para corrente contínua como alternada. Notar que a potência expressa o efeito combinado da fem (força eletromotriz) disponível entre os terminais no ponto de medição e a corrente que circula através da carga por conta dessa fem.

Caso monofásico senoidal:

Considerando que o sistema é monofásico senoidal, com a tensão e corrente dadas por:

tsenV2tsenV)t(v p ω=ω= (2)

)t(senI2)t(senI)t(i p ϕ−ω=ϕ−ω= (3)

onde: Vp , Ip são os valores de pico ou máximos das ondas senoidais;

e V , I são os valores eficazes das ondas senoidais.

O valor eficaz corresponde ao valor quadrático médio, definido para um sinal senoidal com período T, como sendo:

2

VV

2

1dtv

T

1V

p2pT

2 === ∫ (4)

A potência instantânea, portanto, será dada por:

)tsen(I.tsenV)t(p pp ϕ−ωω= (5)

desenvolvendo o produto, resulta:

[ ])t2cos(IVcos.IV2

1)t(p pppp ϕ−ω−ϕ= (6)

ou, em termos dos valores eficazes:

)t2cos(VIcosVI)t(p ϕ−ω−ϕ= (7)

ou ainda

t2sen.senVI)t2cos1(cosVI)t(p ωϕ−ω−ϕ= (8)

Percebe-se de (6) ou (7) que a potência instantânea contém uma parte constante e uma parte oscilatória com o dobro da freqüência (2ω) das ondas de tensão e corrente.

A parte constante corresponde ao valor médio por período T:

∫==ϕ=T

dti.vT

1PcosVIp (9)

e a parte oscilatória vale:

)t2cos(VIp~ ϕ−ω−= (10)

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Essa parte oscilatória pode ainda ser desenvolvida na forma:

t2sen.senVIt2cos.cosVIp~ ωϕ−ωϕ−= (11)

Verificamos, portanto, que a parte oscilatória é composta de duas parcelas que oscilam em quadratura: uma parcela oscila com cos2ωt e vale P=VIcosϕ e a outra parcela oscila com sen2ωt e vale VIsenϕ. Essa segunda parcela que oscila em quadratura com a potência ativa P, é chamada de potência reativa:

ϕ= senVIQ (12)

Portanto, em termos das potências média (ativa) e reativa, a potência instantânea (8) pode ser expressa como sendo:

t2sen.Q)t2cos1(P)t(p ω−ω−= (13)

Como se vê na figura 2, a corrente pode ser decomposta em uma parcela senoidal em fase com a tensão e um segundo termo em quadratura com o primeiro. A parcela I da potência é devida exclusivamente à parte da corrente em fase com a tensão, enquanto a parcela II se deve ao termo em quadratura.

Figura 2 - Formas de onda de tensão, corrente e parcelas de potência instantânea.

6.1.1.2 Análise da potência em termos de fasores A tensão e a corrente senoidais das equações (2) e (3), podem ser representadas através dos

fasores correspondentes no plano complexo:

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0VV ∠=& (14)

ϕ−∠= II& (15)

Define-se a potência aparente complexa S como sendo o produto:

ϕ+ϕ=ϕ∠== senjVIcosVIIVI.VS *&& (16)

Portanto, considerando as equações (9) e (12) concluímos que a potência aparente complexa é dada por:

jQPS += (17)

Usualmente o módulo da potência complexa, dado pelo produto dos valores eficazes da tensão e da corrente é denominado potência aparente. Os valores eficazes das grandezas são importantes para a especificação de uma instalação, ou seja, a bitola dos condutores é determinada pelo valor eficaz da corrente que deverá circular pelos mesmos, enquanto a tensão define a isolação necessária entre os condutores.

As potências ativa e reativa correspondem às projeções de S nos eixos real e imaginário do plano complexo, formando o triângulo de potências. Para relacionar as parcelas de potência do plano complexo com as do domínio do tempo, temos que lembrar da analogia com os vetores girantes usados na análise fasorial. A figura 3 mostra essa relação:

Figura 3 - Parcelas ortogonais de potência no plano complexo.

A evolução temporal das parcelas associadas a P e Q , de acordo com a figura (3), pode ser interpretada da seguinte forma: enquanto os círculos representam, no plano complexo, o Lugar Geométrico (LG) das parcelas girantes Qe

j2ωt e P(1- e

j2ωt), as projeções ortogonais ℑm[Qe

j2ωt] =

Q.sen2ωt e ℜe[P(1- ej2ωt

)] = P(1-cos2ωt) representam as variações temporais desses vetores girantes sobre os eixos do plano complexo.

Para encontrar a evolução temporal de S = P + jQ, é necessário fazer a soma temporal das ondas em quadratura Q.sen2ωt e P(1-cos2ωt). Naturalmente essa soma deve fornecer p, como mostrado na figura (4).

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Figura 4 - Interpretação de p no plano complexo.

É interessante notar que, de acordo com a figura 4, deve haver uma distinção ente os conceitos de p(t) e s(t) já que P e S correspondem a círculos distintos. O LG de p(t) deve ser o círculo com raio P, enquanto que o LG de s(t) deve ser o círculo de raio S. Da mesma forma, o LG de q(t) deve ser o círculo de raio Q. Além de preservar as relações de quadratura no plano complexo das amplitudes das parcelas S = P + jQ, essa notação também preserva a relação de ortogonalidade no domínio do tempo, adotando-se as seguintes definições:

s(t) = p(t) + q(t) = P(1- cos2ωt) – Qsen2ωt (18)

p(t) = P(1-cos2ωt) (19)

q(t) = -Qsen2ωt (20)

e, para manter a consistência, deve-se utilizar as seguintes formas matemáticas para relacionar tensão e corrente com as parcelas da potência instantânea:

s(t) = v(t).i(t) (21)

p(t )= v(t)• i(t) (22)

q(t) = v(t) x i(t) (23)

onde (• ) significa produto escalar e (x) significa produto vetorial. Como no produto escalar a contribuição do termo em quadratura é nula, essa operação

automaticamente fornece apenas o produto das componentes em fase de v(t) e i(t). No produto vetorial, ao contrário, é a contribuição das componentes de v(t) e i(t) que estão em fase que se anula, sobrando apenas a das parcelas ortogonais entre si.

Estas considerações mostram que o problema com as teorias de potência instantânea já começam com as definições mais elementares adotadas tradicionalmente. Nos próximos itens veremos que os problemas com tais discrepâncias conceituais ainda se ampliam à medida que se tenta estender os conceitos para sistemas não senoidais, trifásicos e desbalanceados.

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6.1.1.3 Potência consumida pela carga, perdas de transmissão e de geração Voltando ao exemplo inicial, vamos considerar uma impedância ZS representando a rede de

alimentação, uma impedância ZG representando a fonte e uma impedância ZC representando a carga:

v

i Fonte Carga ZG ZS

ZC e

1 2

Figura 5 - Sistema monofásico com perdas.

Se a tensão for medida no ponto 2, então o produto v.i mede a potência efetivamente consumida pela carga. Se, por outro lado, a tensão for medida no ponto 1, o produto v.i mede, além da potência consumida pela carga, também as perdas de transmissão na rede. O produto e.i inclui também as perdas de geração da fonte. Portanto, a potência obtida depende do ponto de medição escolhido. Quando as perdas a considerar são importantes, deve-se escolher cuidadosamente o ponto de medição. Uma escolha inadequada do ponto de medição pode gerar erros de tarifação e/ou de escolha do sistema de condicionamento de energia.

É claro que se a impedância e a corrente na rede forem conhecidas é possível calcular as perdas ôhmicas (as mais importantes em baixa tensão) através da relação:

∆ p = RS .i

2 (24)

e, neste caso, saberíamos a potência instantânea consumida pela carga (pc), mesmo medindo a tensão no ponto 1, pois:

pc = v1.i - ∆p (25)

No caso monofásico, Rs deve incluir a resistência dos dois condutores (ida e volta da corrente).

6.1.1.4 Fator de potência Define-se como Fator de Potência (FP) a relação entre a potência ativa e a aparente:

S

PFP = (26)

Para o caso monofásico senoidal, essa relação também pode ser escrita como sendo:

0,1cosVI

cosVIFP ≤ϕ=

ϕ= (27)

Percebe-se que o FP mede a fração da potência máxima que poderia ser transferida, considerando as magnitudes de tensão e corrente dadas. A fração deixa de ser máxima quando a potência reativa é diferente de zero, ou seja, pode-se dizer que a potência reativa reduz o fator de utilização da linha. Essa é uma razão importante para se querer reduzir a circulação de potência reativa na rede. Além disso, a potência reativa, por ser uma energia oscilatória, com média nula, teoricamente não necessita de fonte primária de energia para existir. Basta excitar os campos

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elétricos (em capacitâncias) ou magnéticos (em indutâncias) com tensões senoidais para essa energia reativa se estabelecer.

A rigor, portanto, não dá para eliminar a potência reativa de um circuito de corrente alternada, apenas se pode restringir o seu efeito, associando elementos reativos de forma a trocarem de energia reativa entre si. Esse é o processo de compensação reativa ou de correção de FP, realizado ao se instalar bancos de capacitores próximo de cargas indutivas (motores, reatores, indutores, etc).

6.1.1.5 Princípio da correção do FP Um motor de indução é uma carga típica com FP indutivo (corrente atrasada em relação à

tensão aplicada). Essa situação, comum em instalações industriais, causa um baixo FP, com “absorção” de potência reativa (Q>0). Para compensar o baixo FP conecta-se um capacitor em paralelo com o motor, de modo que a potência reativa “fornecida” pelo capacitor seja igual à potência reativa requerida pelo motor, como ilustrado nas Figuras 6 e 7.

v

i Fonte Motor C

Figura 6 - Correção de FP de motor CA.

Sm

Pm = Smin

Qm

Qcap =- Qm

ϕ

Antes da compensação:

ϕ== cosS

PFP

m

mm

Depois da compensação:

0,1S

PFP

min

mmax ==

Figura 7 - Compensação Reativa de Carga Indutiva.

Se, antes da compensação, a corrente na fonte estava atrasada de um ângulo ϕ em relação à tensão, após a compensação a corrente está em fase com a tensão. Considerando que a potência útil do motor não mudou, pode-se concluir que a corrente na fonte, após a compensação, ficou reduzida para seu valor mínimo, dado por:

ϕ=ϕ

=== cosIV

cosVI

V

P

V

SI min

min (28)

Portanto, a compensação do FP traz como benefício para a concessionária, a minimização da corrente na rede para o atendimento de uma dada carga P, alimentada na tensão V. Além de reduzir as perdas de transmissão, resulta uma folga na capacidade da linha, que permite atender novos consumidores, utilizando os mesmos condutores.

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6.1.1.6 Efeito de harmônicas na rede monofásica Vejamos o que ocorre se adicionarmos, por ex., uma 3a. harmônica na tensão medida, ou

seja:

t3senVtsenV)t(v 1p31p1 ω+ω= (29)

O valor eficaz dessa função periódica com período T será dado por:

( ) 23

21

2p3

2p1T

2 VVVV2

1dtv

T

1V +=+== ∫ (30)

Essa expressão corresponde ao teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo e mostra que a soma das magnitudes das tensões harmônicas não é direta, mas sim ortogonal,conforme figura 8:

V

V1

V3

Figura 8 - Valor eficaz de tensões harmônicas.

Essa conclusão pode ser estendida para um número qualquer N de harmônicas e se aplica também para correntes:

∑=

=N

1h

2hVV (31)

∑=

=N

1h

2hII (32)

Neste ponto vale a pena introduzir o conceito de Distorção Harmônica Total (DHT) de tensão e de corrente:

2

1

50

2h

2h

V V

VDHT

∑== (33)

21

50

2h

2h

I I

IDHT

∑== (34)

Essas duas grandezas, normalmente dadas em porcentagem, medem a razão entre a magnitude equivalente das 50 primeiras harmônicas em relação à magnitude da fundamental.

O que acontece quando se aplica uma tensão com harmônicas a uma carga? Vamos supor que a carga seja linear, com impedância Z=R+jωL. Supondo que R independa da freqüência, teremos diferentes impedâncias para diferentes freqüências:

LjRZ 11 ω+= para h = 1 (35)

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L3jRZ 13 ω+= para h = 3 (36)

Conclui-se que o circuito se apresenta bem mais “indutivo” para as harmônicas do que para a fundamental (XL3 = 3XL1). Para elementos capacitivos, ocorre o contrário, a reatância diminui com o aumento da ordem harmônica (XC3 = 1/(3ω1C) = XC1/3).

Isto significa que as correntes harmônicas, além de terem suas amplitudes diminuídas em circuitos indutivos, sofrerão aumentos dos ângulos de atraso em relação às respectivas tensões harmônicas. Em circuitos capacitivos, a amplitude das correntes harmônicas aumenta proporcionalmente à ordem harmônica, ao passo que a defasagem diminui. Por essa razão os capacitores correm o risco de sofrer sobre-corrente quando submetidos a tensões distorcidas.

A potência em uma carga do tipo RL, nessas condições, pode ser expressa por:

)]t3sen(I)tsen(I).[t3senVtsenV(vi)t(p 31p311p11p31p1 ϕ−ω+ϕ−ωω+ω== (37)

ou

1i

3v

3i

1v

3i

3v

1i

1v)

3i

1)(i

3v

1(vvip(t) +++=++== (38)

Os dois primeiros termos de (38) podem ser interpretados como potências instantâneas da

fundamental e da 3a. harmônica. Essas parcelas oscilatórias senoidais são do mesmo tipo já analisado anteriormente, e podem apresentar valor médio (P1 e P3) e parcela em quadratura (Q1 e Q3). Muda apenas a freqüência com que oscilam (2ω1 e 6ω1).

Os dois últimos termos correspondem à interação de freqüências distintas de tensão e corrente. Essas parcelas são oscilatórias e apresentam, por definição, valor médio nulo por período, uma vez que:

∫ =ωωT ba 0dt.tsen.tsen para ωb = kωa, k inteiro (39)

É muito difícil representar tais parcelas no plano complexo, justamente por oscilarem em

freqüências distintas. Essa é uma das razões que complicam a sua visualização e interpretação física.

No entanto, os valores médios podem ser obtidos e interpretados com relativa facilidade como sendo:

31333111 PPcosIVcosIVP +=ϕ+ϕ=

(40)

31333111 QQsenIVsenIVQ +=ϕ+ϕ= (41)

Notar que P1 e P3 são, de fato, somáveis, por serem médias temporais constantes. No entanto, Q1 e Q3 a rigor não são somáveis por se tratar de parcelas de potência que oscilam com freqüências distintas. A soma Q, portanto, não tem um significado físico que sirva para compensação reativa.

Por essa mesma razão, a potência aparente complexa dada por S = V.I* também não tem uma interpretação física clara. Se analisarmos o produto de fasores complexos:

jQPI.VS * +== (42)

ou ainda a relação de magnitudes:

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( )( )23

21

23

21

2 II.VVS ++= (43)

e assumindo que os produtos de termos cruzados não contribuem para os valores médios, resulta:

23

21

23

23

21

21

2 SSIVIVS +=+= (44)

e, portanto:

23

21

23

21

2 QQPPS +++= (45)

S1

P1

Q1

S3

P3

Q3 S

Figura 9 - Potências aparente, ativa e reativa para sinais com 3a harmônica.

Apesar de ser comum encontrar esse tipo de figura (planar) para representar a combinação das potências, ela pode estar errada se levarmos em conta que as potências reativas, devidas às freqüências distintas, não são colineares, como representado, mas sim ortogonais, gerando uma representação espacial:

S1

P1

Q1

S3

P3

Q3

S

Figura 10. Soma em quadratura das potências médias.

Podemos agora perceber a dificuldade em definir o FP na presença de harmônicas. O que seria a relação seguinte?

S

PP

S

PFP 31 +

== (46)

Temos que lembrar que essas relações fasoriais correspondem apenas às parcelas médias por período (obtidas em função de valores eficazes das tensões e correntes). Os produtos cruzados nessa contas não são nulas instantaneamente, o que significa que podem existir interações entre freqüências que não estão sendo computadas através dos valores médios.

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6.1.2 Extensão dos conceitos para sistemas trifásicos balanceados Define-se como trifásico senoidal balanceado um sistema composto por três circuitos

iguais interligados entre si na forma estrela (Y) ou triângulo (∆), e alimentado por três fontes alternadas senoidais com mesmas amplitudes e defasadas de 120o entre si.

va

ia Fase A

ZG ZS

ZC ea

1 2

vb

ib Fase B ZG ZS

ZC eb

1 2

vc

ic Fase C ZG

ZC ec

1 2 ZS

Zn Neutro in

Figura 15. Sistema trifásico com retorno.

No caso senoidal balanceado, com seqüência a,b,c no sentido trigonométrico, teremos:

ea = 2 E senωt (62)

eb = 2 E sen(ωt-120o) (63)

ec = 2 E sen(ωt-240o) (64)

No sistema balanceado a soma das tensões e correntes instantâneas é zero:

ea+ eb+ ec = 0 (65)

ia+ ib+ ic = in = 0 (66)

va+ vb+ vc = 0 (67)

Como não há corrente de retorno, também não há queda de tensão no neutro. Aliás, o condutor de retorno pode ser eliminado, sem afetar a operação balanceada.

A potência trifásica no ponto de medição 2 será definida como a soma das potências instantâneas nas três fases a,b,c:

ccbbaa i.vi.vi.vp ++= (68)

Com base no caso monofásico podemos escrever essa soma como sendo:

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−−ω−+−ω−+ω−= )]240t(2cos1[)]120t(2cos1[]t2cos1[Pp

)]240t(2sen)120t(2sent2[senQ −ω+−ω+ω− (69)

ou ainda:

−−ω+−ω+ω−= )]240t(2cos)120t(2cost2[cosPP3p

)]240t(2sen)120t(2sent2[senQ −ω+−ω+ω− (70)

Figura 16 - Potências trifásicas instantâneas como vetores girantes no plano complexo.

É fácil verificar que cada soma entre colchetes em (70) resulta zero. Portanto, a potência trifásica reduz-se a:

p = 3P (71)

ou seja, a potência trifásica instantânea no caso equilibrado é constante e igual à potência média das três fases. Ao contrário do sistema monofásico, a potência instantânea transferida das fontes para as cargas no sistema trifásico senoidal balanceado não é oscilatória. Essa tem sido a grande motivação para se buscar manter o sistema trifásico senoidal e balanceado.

Notar que as partes oscilatórias, proporcionais a P e Q, somam zero, restando apenas o valor correspondente ao centro do círculo de raio P, sobre o eixo real, e que vale 3P.

6.1.2.1 Energia ativa: parcela consumida pela carga, perdas de geração e transmissão Da mesma forma que no caso monofásico, a parcela consumida pelas cargas é dada pelo

produto das tensões medidas junto à carga (ponto 2) pelas correntes das respectivas fases. Se as tensões forem medidas no ponto 1, estaremos incluindo as perdas de transmissão,

sobre ZS. Como o sistema é balanceado não há perdas no neutro (in = 0) e só haverá perdas nos condutores das fases.

Se utilizarmos as tensões das fontes no produto com as correntes, estaremos incluindo também as perdas de geração (ZG). Em todos os casos teremos potências trifásicas não oscilatórias (constantes), enquanto o sistema for senoidal e balanceado.

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6.1.2.2 Energia reativa: parcelas utilizadas pelas cargas, pela geração e transmissão Uma vez que o cálculo da potência instantânea fornece apenas a potência ativa P, como se obtém a potência reativa Q no sistema trifásico?

Para isso vamos fazer o cálculo da potência complexa utilizando fasores. Sabemos que o produto do fasor tensão de fase pelo conjugado do fasor corrente da mesma fase dá a potência aparente dessa fase. Portanto, no caso trifásico balanceado, devemos obter a soma das 3 fases:

***

3 Ic.VcIb.VbIa.VaScSbSaS ++=++= (72)

)240I).(240V()120I).(120V(I.V ϕ+∠−∠+ϕ+∠−∠+ϕ∠= (73)

)senjVIcosVI(3VI3 ϕ+ϕ=ϕ∠= (74)

Q3jP3 += (75)

Notar que essa soma é diferente da anterior (69) no domínio do tempo, onde as potências reativas das três fases se cancelavam ao longo do tempo. Nesta soma complexa se apresentam as demandas de potências ativa e reativa das três fases separadamente.

Discutir sobre a conveniência ou não dessa representação para o caso trifásico é importante, porque ela esconde o fato de que se pode compensar a demanda instantânea de reativos das fases sem a necessidade de elementos armazenadores de reativos, já que a soma instantânea é zero no caso senoidal balanceado. Essa interação entre fases também é um fenômeno complexo de se interpretar na presença de harmônicas.

Bastaria teoricamente utilizar chaves (eletrônicas) para fazer a transferência de reativos de uma fase para a outra, pois a todo instante se dispõe de reativos positivos (indutivos) e negativos (capacitivos) em alguma das fases. Através de uma lógica de chaveamento adequada se buscaria, a cada instante, os reativos necessários na fase onde estivessem disponíveis. Essa possibilidade só foi vislumbrada por Akagi/Nabae em 1983 [12], como será explorado adiante.

6.1.3 Potência e fator de potência em sistemas trifásicos desbalanceados No caso das tensões ou correntes estarem desbalanceadas temos que analisar se o sistema

tem ou não condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, haverá corrente nesse condutor, dada pela soma das correntes nas fases.

ia+ ib+ ic = in ≠ 0 (76)

Da análise de componentes simétricos [1], que essa soma corresponde a 3i0. Também sabemos que as componentes de seqüência positiva e negativa podem ser obtidas respectivamente pelas seguintes somas das tensões de fase:

( )c2

baa iai.ai3

1i ++=+ (77)

( )cb2

aa i.ai.ai3

1i ++=− (78)

onde a = e j120° é um operador de ganho unitário, que adianta a fase em 120°.

Pode-se mostrar que vale a soma:

0a aaa

iiii ++= −+ (79)

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Essa decomposição também pode ser aplicada para as tensões trifásicas desequilibradas. No caso de se medir as tensões de fase e de neutro com relação a uma referência comum qualquer (zero virtual), podemos expressar a potência trifásica em termos dos componentes simétricos, resultando:

)i.vi.vi.v(3i.vi.vi.vi.vp 0a

0aaaaannccbbaa ++=+++= −−++ (80)

ou, desenvolvendo a tensão e corrente de neutro:

)iii).(vvv(i.vi.vi.vp cbacbaccbbaa +++++++= (81)

)ii(v)ii(v)ii(v)i.vi.vi.v(2p baccabcbaccbbaa ++++++++= (82)

ou

)vv(i)vv(i)vv(i)i.vi.vi.v(2p baccabcbaccbbaa ++++++++= (83)

No caso balanceado, as somas duplas entre parênteses fornecem o negativo da terceira

variável (p.ex. ia+ib = -ic ou va+vb = -vc., de modo que essas parcelas se cancelam com a primeira parte, resultando a expressão usual da potência p=3P, vista anteriormente.

No caso desbalanceado, todas as parcelas resultam oscilatórias, cuja soma não é constante como no caso balanceado. Quanto mais desequilibrado maior a amplitude da oscilação de potência resultante. Como todos os termos em (83) são produtos de senóides com freqüência fundamental, essas oscilações tem o dobro da freqüência fundamental, como no caso monofásico.

6.1.3.1 Efeito do desbalanceamento sobre sistemas trifásicos Conclui-se que basta o sistema estar desequilibrado para que a potência trifásica se torne

oscilatória. Isto tem um sério e indesejável impacto sobre motores elétricos, que desenvolvem conjugado oscilatório, mesmo sob carga mecânica constante.

No caso de sistemas de proteção, o desbalanceamento pode causar desligamento por sub ou sobretensão, e nos sistemas de medição pode causar erros causados por mau funcionamento do instrumento (elementos de indução), como também pelo tipo de conexão dos TP´s (∆ ou Y), que filtram componentes de seqüência zero.

Com base na análise monofásica, podemos escrever as potências por fase como sendo:

−−ϕ+ω−+−ϕ+ω−+ϕ+ω−= )]240t2cos(1[P)]120t2cos(1[P)]t2cos(1[Pp ccbbaa

)240t2sen(Q)120t2sen(Q)t2sen(Q ccbbaa −ϕ+ω−−ϕ+ω−ϕ+ω− (84)

onde ϕa, ϕb, ϕc, são os ângulos entre as tensões e correntes das respectivas fases.

Pa = Va Ia cosϕa é a potência média na fase a

Qa = Va Ia senϕa é a potência reativa na fase a

A potência média corresponde à soma das potências ativas das 3 fases:

cba PPPp ++= (85)

Para assinalar que existe uma parcela oscilatória, costuma-se representar as partes como sendo:

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p~pp += (86)

Figura 17 - Representação das potências para o caso desequilibrado.

p

tempo

Pp =p~

Figura 18 - Potência trifásica média e oscilatória.

Uma vez que a potência trifásica não explicita as parcelas reativas. Para se achar tais valores, costuma-se recorrer ao cálculo por fasores, como no caso equilibrado:

***

3 Ic.VcIb.VbIa.VaScSbSaS ++=++= (87)

)IVI.VI.V cccbbbaaa ϕ∠+ϕ∠+ϕ∠= (88)

Por analogia ao caso equilibrado temos que:

)QcQbQa(jPcPbPajQPS 333 +++++=+= (89)

e, por conseguinte, teremos como fator de potência trifásico:

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ScSbSa

PcPbPa

S

PFP

3

33

++

++== (90)

Notar que esse valor pode ser calculado como uma média por período T em função dos valores eficazes das tensões, correntes e respectivas defasagens.

A equação (89) sugere uma soma direta das potências por fase, cuja representação gráfica é mostrada na figura seguinte:

S3 Qa+Qb+Qc

Pa+Pb+Pc

Q3

P3

Figura 19 - Potências trifásicas para o caso desbalanceado (no caso balanceado as potências por fase são iguais).

6.1.3.2 Compensação reativa trifásica Parece óbvio que a correção do FP trifásico, tanto no caso balanceado como

desbalanceado, requer o cancelamento das potências reativas das três fases. No caso balanceado isso pode ser obtido pela conexão de capacitores (iguais) em paralelo com a carga. No caso desbalanceado a compensação exigiria capacitores distintos por fase, e isso perpetuaria a condição de desequilíbrio da rede. O melhor que se pode fazer nesse caso é conectar capacitores iguais, calculados pela potência reativa média. Isso não compensa o FP de cada fase, porém não introduz novo desequilíbrio na rede. Pode-se perceber que a fase a será sobre-compensada enquanto que a fase b será sub-compensada.

b

a

Q3 /3 S3

P3 /3

Q3

P3

Figura 20. Compensação reativa pela média das 3 fases.

6.1.4 Potência e Fator de Potência em Sistemas Trifásicos Desbalanceados e com Formas de Onda Não-Senoidais

Ainda falta analisar o efeito de harmônicas no sistema trifásico, balanceado ou desebalanceado. No entanto, como vimos para o caso monofásico, as análises com componentes

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harmônicas são bem mais complexas, devido às interações entre freqüências. No caso trifásico, essa situação se complica ainda mais, pois existem também interações entre as fases.

A questão central é: como se pode medir e compensar a potência não-ativa e o FP nessas

condições? A teoria tradicionalmente mais aceita e utilizada, no tratamento deste caso geral, é a teoria

proposta por Budeanu em 1927 [3]. Muitas normas e recomendações para medição, tarifação e compensação de energia, assim como grande parte dos equipamentos disponíveis no mercado, baseiam-se nos conceitos definidos por este autor. Entretanto, como será discutido a seguir, tal teoria apresenta vários pontos equivocados e pode levar a conclusões enganosas, principalmente em relação à compensação de reativos e distorções do sistema. Desta forma, faz-se necessário o estudo de teorias alternativas e a definição e validação de novos conceitos.

6.2 TEORIAS DE POTÊNCIA PARA CIRCUITOS TRIFÁSICOS NÃO-LINEARES Ao longo dos últimos cem anos, mas sobretudo nas últimas três décadas, diversas

contribuições têm sido apresentadas e as principais propostas vêm de especialistas de três grandes grupos de estudos: o grupo de estudos do IEEE para Situações Não-Senoidais, o qual é presidido pelo professor Alexander E. Emanuel [5,13,14]; o grupo de estudos presidido pelo professor Alessandro Ferrero, o qual vem se reunindo na Itália a cada dois anos, desde 1991, em encontros específicos sobre definições de potência (International Workshop on Power

Definitions and Measurements under Non-sinusoidal Conditions) [6,15-20]; e por fim, apesar de não constituírem um grupo formal, destacam-se os esforços de vários pesquisadores sobre as propostas de teorias de potências instantâneas, principalmente relacionando definições de potência, com técnicas de filtragem ativa [12,21-25].

Buscando discutir, identificar as possíveis fontes de confusões e eventuais soluções para as questões anteriores, este capítulo apresenta um histórico detalhado de algumas teorias e o cálculo de potência sob condições não-ideais de transferência de energia.

As definições e comentários apresentados a seguir têm o objetivo de criar um contexto no qual se possa observar as diferentes linhas de pesquisa e identificar as semelhanças e diferenças entre elas, principalmente no que tange o objetivo pelo qual cada proposta de teoria de potência foi desenvolvida (medição, análise, tarifação ou compensação).

A seguir, as principais teorias serão analisadas de acordo com o domínio do equacionamento proposto, domínio da freqüência ou do tempo.

6.2.1 Ferramentas matemáticas básicas

Antes de iniciar o estudo das propostas de teoria de potência mais relevantes, faz-se necessário uma breve revisão de alguns conceitos matemáticos, os quais foram utilizados por diferentes autores para a definição de diversas parcelas de potência.

6.2.1.1 Valor Eficaz ou Valor RMS

O valor eficaz por fase e por freqüência harmônica é dado por:

2

0

1.

T

h hV v dt

T= ∫ (91)

Onde “V” representa o valor eficaz e “v” representa a variável instantânea.

O valor eficaz total por fase pode ser calculado como:

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∫=T

0

2 dt)t(vT

1V ( 92)

Note que este valor total é diferente da simples soma dos valores eficazes de cada componente espectral.

6.2.1.2 Série Trigonométrica e Transformada de Fourier

Através da Série Trigonométrica de Fourier pode-se decompor um sinal temporal periódico qualquer f(t), em um somatório de sinais temporais de freqüências distintas, múltiplas entre si, ou seja:

00 0

1

( ) [ cos( . . ) sin( . . )]2 h h

h

af t a h t b h tω ω

=

= + +∑ (93)

0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )hf t f t f t f t f t= + + +L (94)

Por outro lado, a Transformada de Fourier permite efetuar uma decomposição correspondente, mas neste caso, no domínio da freqüência, ou seja:

1 2( ) ( ) ( ) ( )hF j F j F j F jω ω ω ω= + + +L (95)

Figura 21 – Função temporal composta por fundamental e terceira harmônica

Figura 22 - Decomposição do espectro harmônico.

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6.2.1.3 Álgebra Vetorial

Considerando dois vetores tridimensionais instantâneos (v, i), tais como:

a

b

c

v

v v

v

=

a

b

c

i

i i

i

=

(96)

o produto escalar entre os dois vetores é definido como:

. . . ( )a a b b c cv i v i v i v i p t⋅ = + + = (97)

e equivale ao produto do vetor v pelo vetor i transposto: Tv.i

A Norma Euclidiana ou Norma 2 destes mesmos vetores pode ser calculada como:

2 2 2( ) a b cv v v v v v= ⋅ = + + . (98)

Outra definição importante é a de ortogonalidade de vetores. Diz-se que dois vetores são

ortogonais se satisfazem a seguinte relação (o valor médio do produto escalar é nulo):

0 0

1 1( ) ( . . . ) 0

T T

a a b b c cv i dt v i v i v i dt

T T⊥⋅ = + + =∫ ∫ (99)

Assim, se for possível decompor um sinal qualquer em uma parcela proporcional e outra

ortogonal ao sinal original, tem-se:

vvi i i⊥⇒ + (100)

onde:

2 2 2vv

i i i⊥= + (101)

vv vv i v i v i v i⊥⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ (102)

pois 0vv i⊥⋅ = (103)

6.2.1.4 Valores Coletivos (Buchholtz)

Instantâneos:

iiiic,b,a

2 ⋅== ∑=υ

υ∑ vvvvc,b,a

2 ⋅== ∑=υ

υ∑ (104)

Eficazes:

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∫ ⋅== ∑∑

T

0

22 iidtiT

1I ∫ ⋅== ∑∑

T

0

22 vvdtvT

1V (105)

6.2.2 Propostas no domínio da freqüência

A maioria destas propostas tem como motivação principal a definição de grandezas que possam ser aplicadas a sistemas de medição e tarifação de energia.

6.2.2.1 Definições propostas por Budeanu (1927)

O método proposto em [3], por sua simplicidade, ainda é a base de conceitos aceitos e utilizados, seja no universo acadêmico, nas concessionárias de energia ou na indústria. Originalmente, tal método foi proposto para sistemas monofásicos.

A proposta baseia-se na definição da Potência Aparente como:

2BD2

BQ2P1h

hI.

hV2S ++∑

=== (106)

onde Vh e Ih são as tensões e correntes eficazes da componente harmônica h. Assim, S deveria representar a máxima capacidade de geração ou transmissão de energia

em um dado sistema elétrico, com uma carga que consumisse uma Potência Ativa média P, dada por:

∫=∑∞

=φ=∑

==

T

0dti.v

T

1

1h hcoshI.hV1h hPP (107)

e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada por:

∑∞

=φ=∑

==

1h hsinhI.hV1h hQBQ (108)

sendo esta, ortogonal à Potência Ativa, por definição. Deve-se observar que o termo Potência Reativa, aqui é definido usando todo o conteúdo harmônico dos sinais. O ângulo Φh é a defasagem entre tensões e correntes da componente harmônica h. Budeanu também definiu a parcela de potência DB, a qual foi denominada de Potência Distorciva e seria expressa pela combinação quadrática:

2BQ2P2SBD −−= (109)

A Potência Distorciva é constituída por produtos cruzados de tensões e correntes harmônicas, de diferentes ordens e só será zero se as componentes harmônicas forem nulas. DB é uma formulação matemática que fecha o chamado “tetraedro de potências”.

A proposta de Budeanu é bastante interessante em se tratando da compreensão da existência de uma parcela de potência que contém os efeitos distorcivos do sistema em análise. Entretanto, uma vez que DB não parte diretamente dos sinais reais (mensuráveis) das tensões e correntes, depara-se com alguns problemas quando da sua implementação em sistemas de medição, análise ou compensação de energia.

• Principais dificuldades e inconsistências do método:

Uma das grandes dificuldades na implementação do método de Budeanu é baseada na necessidade de decompor as tensões e correntes medidas em componentes ortogonais (seno e

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cosseno). O que pode ser feito com facilidade para sinais puramente senoidais, mas no caso da presença de distorções, se torna uma tarefa complexa, principalmente porque deveria ser feita para cada freqüência, independentemente. Considerando que as ferramentas computacionais hoje disponíveis, simplesmente não existiam quando da proposta de Budeanu, pode-se imaginar a dificuldade da aplicação do método proposto.

Além disto, em determinados casos, a utilização do método de Budeanu resulta em inconsistências, como no caso de um circuito linear puramente reativo, sendo alimentado por uma tensão distorcida. Neste caso as correntes também serão distorcidas, mas DB indicará um valor igual a zero [26]. A falta de associação das componentes de potência com os fenômenos físicos que as originam, bem como o fato desta proposta ter sido desenvolvida para sistemas monofásicos, são algumas outras limitações do método.

Um dos objetivos mais perseguidos tem sido o cálculo de parcelas de potência que possam ser diretamente associadas com as perdas e eliminadas através de algum tipo de compensador, sem influir no valor das outras parcelas de potência. No caso da teoria de Budeanu, principalmente pelo fato de não isolar as correntes ativas e reativas das correntes harmônicas, tal objetivo não é facilmente atingido.

Entretanto, sabendo que o método de Budeanu é provavelmente o mais difundido e utilizado na engenharia elétrica, fica uma pergunta: Como pode tal método ter sido adotado e utilizado com bons resultados?

• Simplificações e a teoria convencional:

Na verdade a melhor resposta é que simplificações foram feitas no equacionamento anterior, de forma que apenas as componentes de freqüência fundamental fossem consideradas. E é fato que tal simplificação era válida e extremamente útil até algumas décadas atrás, quando as distorções de corrente e principalmente de tensão, podiam ser desprezadas. Assim:

1cos1I.1V1

P φ= (110)

e ainda demandasse na forma de campos eletromagnéticos uma dada Potência Reativa calculada por:

1sin1I.1V1BQ φ= (111)

21BQ

1PI.V

1S 11 +== (112)

Neste sistema senoidal, o tetraedro de potências é reduzido para o famoso “triângulo de potências”, onde DB = 0. Agora sim, o valor de QB1 poderia ser usado para o projeto de um compensador de energia passivo (capacitivo ou indutivo).

Outra definição extremamente importante em sistemas puramente senoidais, como os descritos pelo equacionamento anterior, é o fator de potência:

11

1

cosP

FPS

φ= = . (113)

o qual, nestas condições, também é conhecido como fator de deslocamento. Mesmo não tendo sido proposto pela primeira vez por Budeanu [2], o fator de potência tem sido utilizado em conjunto com suas definições e aplicado à tarifação de energia ou mesmo para projeto de instalações e sistemas de potência (por exemplo, projeto de cabos e transformadores).

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Além da consideração de sinais senoidais, outra simplificação bastante utilizada para sistemas multi-dimensionais, é a de sistemas equilibrados. Assim, os valores de P, QB e S, para sistemas trifásicos, por exemplo, podem ser definidos como:

1cos1I.f1V.33

1P φ=

φ (114)

1sin1I.f1V.331BQ φ=φ

(115)

11f I.V.33

1S =

φ (116)

onde o índice f representa tensões de fase. Nos sistemas elétricos atuais, nos quais distorções de forma de onda e assimetrias estão

quase sempre presentes, as simplificações acima discutidas perdem sua validade e as equações originais, as quais contemplam todo o espectro harmônico, deveriam ser utilizadas em conjunto com algum tipo de adaptação para sistemas polifásicos assimétricos, como por exemplo, as definições de médias aritméticas ou geométricas propostas pelo IEEE Standard Dictionary e discutidas em [27]. Entretanto, tem-se constatado e discutido que tais simplificações ou modificações não produzem resultados confiáveis nos sistemas elétricos atuais, especialmente no caso de circuitos com condutor de retorno e, deveriam ser abandonadas [5,6,9-11,18,26].

Interessantes propostas de aprimoramento da teoria de Budeanu podem ser encontradas em [28,29].

6.2.2.2 Definições propostas por Czarnecki (1988) Czarnecki é um dos grandes críticos no que se refere à utilização da teoria de Budeanu

[26]. Além disto, utilizando-se de uma abordagem vetorial bastante sofisticada, este autor defende uma proposta que busca associar as parcelas de potência ativa, reativa, harmônica, etc. com suas respectivas variáveis de origem (tensões e correntes) e os fenômenos físicos associados.

Apesar do método proposto em [30] utilizar a definição de corrente ativa apresentada por Fryze no domínio do tempo [4], sua abordagem foi desenvolvida no domínio da freqüência e se aplica tanto para sistemas monofásicos, quanto polifásicos.

A motivação, bem como as principais contribuições de Czarnecki, estão centradas na busca por uma metodologia de decomposição dos sinais de corrente e potência que estivesse tão relacionada quanto possível, aos fenômenos físicos do sistema elétrico que as origina. Como apresentado a seguir, sua proposta utiliza os valores das várias condutâncias (G), susceptâncias (B) e admitâncias (Y) dos circuitos elétricos, bem como procura encontrar as parcelas de corrente relacionadas com harmônicos, assimetrias, reativos, etc.

Inicialmente, o autor assume uma fonte trifásica senoidal equilibrada, alimentando um circuito trifásico assimétrico e define condutância e susceptância equivalente utilizando algumas das ferramentas matemáticas discutidas anteriormente, como segue:

Assim, partindo da norma da tensão RMS, que permite incluir harmônicas h∈N, de modo que:

2h

22

21 V...VVV +++= (117)

Vh é o valor eficaz de cada harmônica.

Czarnecki define condutância e susceptância equivalentes como:

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2eV

PG ≡ (118)

2eV

QB −≡ (119)

e, para um sistema trifásico (R,S,T), define as potências ativa e reativa totais como:

*TT

*SS

*RRe IVIVIVRP ++= (120)

*TT

*SS

*RRm IVIVIVIQ ++= (121)

As correntes trifásicas da fonte são decompostas em três componentes ortogonais:

iiii gra ++= (122)

v.Gi ea = (123)

)t(d

dv.Bi

1er

ω= (124)

rag iiii −−= (125)

Como essas componentes são mutuamente ortogonais, os valores RMS satisfazem:

2

g

2

r

2

a

2iiii ++= (126)

v.Gi ea = (127)

v.Bi er = (128)

( ) 22

e

2

e

2

g v.BGii +−= (129)

Neste modelo aparece a separação clara entre corrente reativa e corrente harmônica. O autor generaliza ainda mais, introduzindo distorção harmônica na fonte, e assumindo que as harmônicas introduzidas pela carga sejam distintas das existentes na fonte. Seguindo o caminho análogo ao anterior, o método é aplicado para cada harmônica e as parcelas correspondentes são então somadas, resultando uma decomposição em 5 componentes ortogonais de corrente, designadas por:

gusra iiiiii ++++= (130)

satisfazendo a relação de ortogonalidade:

2

g

2

u

2

s

2

r

2

a

2iiiiii ++++= (131)

de modo que 2

i corresponde ao valor da corrente CC que produz o mesmo efeito térmico que

as correntes das fases TR i,i,i S produziriam em um sistema trifásico simétrico.

Segundo Czarnecki, as diversas parcelas ortogonais têm as seguintes interpretações:

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ia: correntes ativas similares às de Fryze (como será discutido a seguir) para ondas não-senoidais:

v.Gi ea = (132)

ir: correntes reativas devido a indutores e capacitores nas diferentes freqüências harmônicas:

fonte da harmônicoconj.Nv.Bi u

21

2

nNn

2ner

u

=

= ∑

(133)

is: correntes devido à dispersão com a freqüência (scattered current):

( ) vGGi2

1

2

n

2

Nvnenes

−= ∑

(134)

iu: correntes de desequilíbrio:

( )[ ]2

1

Nvn

2

n2ne

2ne

2

nu v.BGii

+−= ∑

(135)

ig: correntes geradas devido à não-linearidade ou variação de parâmetros da carga:

carga da harmônicoconj.N ii g

21

Ngn

2

ng =

= ∑

(136)

Desta forma, multiplicando-se cada termo de norma das correntes identificadas pela norma da tensão em um PAC qualquer, resultaria em termos de potência a seguinte relação:

2 2 2 2 2 2r s u gS P Q D D D= + + + + (137)

A proposta de Czarnecki, apesar de interessante, não tem sido muito utilizada por outros autores, provavelmente pela complexidade do equacionamento no domínio da freqüência. No entanto, é interessante notar que tal proposta, além de auxiliar na compreensão dos fenômenos físicos que compõe o sistema elétrico, poderia ser implementada tanto em sistemas de análise e monitoração de energia, quanto em sistemas de condicionamento de energia, desde que utilizando sistemas adequados de processamento digital de sinais [31].

Seja do ponto de vista de análise, quanto de controle, a proposta parece muito interessante se o objetivo for a identificação, tarifação ou compensação das “correntes” de distúrbio, entretanto, ainda deixa algumas dúvidas como, por exemplo: como atribuir responsabilidades ou compensar distúrbios na “tensão” de fornecimento, ou ainda, o que mudaria nas decomposições propostas se a tensão fundamental do sistema for assimétrica (este tipo de distúrbio parece não ter sido abordado)? Além disto, destaca-se que, por se tratar de uma definição no domínio da freqüência, eventuais inter-harmônicos presentes nos sinais de tensão e corrente, podem não ser interpretadas corretamente. Para isto, a complexidade matemática e implementacional das análises seriam ainda maiores.

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No entanto, é importante destacar que Czarnecki tem sido um dos autores mais ativos nas discussões sobre teorias de potência. Como resumido, sua abordagem objetiva subdividir a corrente de um sistema ou circuito elétrico em várias sub-parcelas, cada qual associada com um tipo diferente de fenômeno físico e conseqüentemente, responsável por uma componente de potência distinta. Czarnecki também tem contribuído para discussões como a necessidade ou não da definição de potência aparente, visto que esta é muito mais uma interpretação matemática do que física; bem como para estudos de compensadores ativos ou passivos; e ainda para desmistificar determinadas teorias [26,32,33] ou questionar sobre quais seriam os verdadeiros requisitos para uma “teoria de potências”.

Uma vez que o foco de sua proposta é a associação com os fenômenos físicos, em trabalhos recentes o autor vem denominando tal proposta de Teoria das Componentes Físicas de Corrente, do inglês, Theory of the Current's Physical Components (CPC) [33].

Como será visto adiante, a abordagem de Czarnecki no domínio da freqüência tem muitas semelhanças com as definições de Depenbrock no domínio do tempo [17].

6.2.2.3 Definições da IEEE Standard 1459 (2000) Desde o princípio da década de 90, o IEEE definiu um “Grupo de Trabalho'” (Working

Group) para Situações Não-Senoidais. Tal grupo é presidido pelo professor A. Emanuel, um dos grandes responsáveis pela publicação em 2000, da recomendação IEEE STD 1459-2000 [34].

Em 1990, um tutorial foi organizado, contendo 12 trabalhos de autores como o próprio Emanuel, Czarnecki, Arseneau, Cox, Filipski, Baghzouz, Gunther, dentre outros, os quais abordavam os problemas das definições e instrumentação usuais, sob formas de onda distorcidas ou assimétricas, bem como novas propostas [5]. De certa forma, os trabalhos deste tutorial formaram a base para os trabalhos seguintes do grupo. Provavelmente os dois trabalhos mais referenciados do grupo são de 1996. No primeiro deles, as principais questões sobre as definições de potência em condições não-ideais foram explicitadas em um questionário distribuído para várias concessionárias de energia e depois discutidas ponto a ponto [13]. No segundo, uma metodologia alternativa foi proposta para adequar as definições de potência para o caso geral com distorções e assimetrias [14].

Assim, em [14] o grupo sugere algumas definições como, por exemplo, a utilização de valores de tensão e corrente “equivalentes” para o sistema trifásico, bem como a “Potência Aparente Efetiva”, como uma alternativa ao cálculo da potência aparente de forma “vetorial” ou “aritmética”, como proposta pelo próprio IEEE anteriormente. Neste trabalho o grupo também defende a separação da contribuição das ondas fundamentais de seqüência positiva, das outras parcelas de potência, bem como define várias parcelas de potência como, por exemplo, as potências não-ativa (tudo que não gera P) e não-fundamental ( 1h ≠ ), parcela atribuída aos harmônicos, inter-harmônicos e suas interações.

A seguir, os principais conceitos e definições apresentadas na proposta da STD 1459 são resumidos e discutidos.

Sistemas trifásicos equivalentes:

Os sistemas elétricos trifásicos normalmente são projetados para gerar, transmitir e distribuir a energia elétrica, sob formas de ondas senoidais e em condições praticamente equilibradas e simétricas, conectadas em delta ( ∆ ) ou em estrela ( Υ ), como ilustrado na Figura 23.

Quando duas cargas, uma ligada em Y e outra em ∆ , são equivalentes em termos de potência consumida, isto pressupõe que ambas causam as mesmas perdas de transmissão. Em condições balanceadas e sob tensões simétricas resulta a conhecida relação entre os valores das

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impedâncias das duas formas de conexão (Z∆ = 3ZY). Essa hipótese também é feita para analisar sistemas desbalanceados, sob condições não-senoidais.

No caso de correntes desequilibradas deve-se analisar se o sistema possui ou não condutor de retorno. Caso haja condutor de retorno, Figura 23a, poderá haver corrente nesse condutor, dada pela soma das correntes nas 3 fases.

r lb Ibvb

r lc Icvc

r laIa

va

rn lnn

CARGA

0In ≠≠≠≠

r lbIe

vb

r lcIe

vc

r laIe

va

rn lnnIn=0

R

R

RR

R

R

VeVe Ve

a) Sistema com carga desbalanceada b) Sistema equivalente

Figura 23 - Sistema trifásico com condutor de retorno.

É claro que se a resistência e a corrente eficaz na rede forem conhecidas, é possível calcular as perdas em cada fase através da seguinte relação:

rIP 2=∆ (138)

Assim, a perda total para o sistema da Figura 23a será definida como as soma das perdas nas três fases mais a perda no condutor de retorno (neutro):

2nn

2c

2b

2at Ir)III(rP +++=∆ (139)

Para uma dada potência na carga e condições otimizadas de operação, as correntes nas linhas serão mínimas se a carga for resistiva e balanceada, resultando FP = 1 (Figura 23b). Nessas condições, as intensidades das correntes eficazes serão dadas por ecba IIII === e

0In = . Para as mesmas perdas de transmissão, tem-se a seguinte relação:

2et rI3P =∆ (140)

onde a corrente eficaz equivalente ( eI ) é definida em função das perdas do sistema real,

aplicadas a um sistema equivalente balanceado. Logo, igualando as equações (139) e (140) tem-se:

)IIII(3

1I 2

n2c

2b

2ae ρ+++= (141)

onde r

rn=ρ é a relação entre a resistência do condutor de retorno (rn) e a resistência dos

condutores das fases (r), as quais em geral, não são iguais.

Uma análise semelhante é feita para a tensão eficaz equivalente ( eV ), obtida considerando

que a carga no circuito real (Figura 23a) consiste de grupos de cargas conectadas em Υ e em ∆ . Cada grupo é caracterizado por uma resistência equivalente ΥR e ∆R respectivamente (Figura 23b), e a potência absorvida no sistema real, é dada em função das tensões eficazes de fase e de linha:

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+++

++=

R

VVV

R

VVVP

2ca

2bc

2ab

Y

2cn

2bn

2an

T (142)

e, no modelo equivalente fictício, é dada em função da tensão eficaz equivalente:

+=R

V9

R

V3P

2e

Y

2e

e (143)

Dado que R

VP

2

= , para o circuito da Figura 23b (equivalente) resulta:

Υ

Υ =R

V3P

2e , e

∆ =R

V9P

2e

e, assim, tem-se a relação das potências absorvidas entre os grupos de cargas ligadas em ∆ e Y:

Υ

Υ

Υ

∆ ===ξR

R3

R

V3

R

V9

P

P2e

2e

(144)

Substituindo a equação (142) nas equações (143) e (144) e igualando estas duas equações obtém-se:

ξ

+=

ξ

+++

++

ΥΥ R3

V9

R

V3

R3

VVV

R

VVV 2e

Y

2e

2ca

2bc

2ab

Y

2cn

2bn

2an

( ) ( )

)1(9

VVVVVV3V

2ca

2bc

2ab

2cn

2bn

2an

eξ+

ξ+++++=

(145)

considerando 1=ξ que, segundo a equação (144), implica potências iguais dos grupos de cargas

em Y e em ∆ ou que Υ∆ = PP e Υ∆ = R3R , resulta da equação (145):

( ) ( )

18

VVVVVV3V

2ca

2bc

2ab

2cn

2bn

2an

e

+++++= (146)

Para sistemas trifásicos com três condutores sem neutro ( 0=nI ) a equação (141) é

simplificada para:

)III(3

1I 2

c2b

2ae ++= (147)

Para a tensão equivalente efetiva com três condutores considera-se 0=ΥP , ∞→ξ ,

∞→ΥR , 3/∆= RRe , e assim a equação (146) é simplificada para:

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)VVV(9

1V 2

ca2bc

2abe ++= (148)

Os valores Ve e Ie calculados dessa maneira representam valores por fase do sistema equivalente balanceado. A potência aparente efetiva total é definida como:

eee IV3S = (149)

Esta definição de potência aparente é diferente das usadas nas definições clássicas, por incluir a corrente e resistência do condutor de retorno (neutro), além de considerar o sistema trifásico como um sistema polifásico de fato, e não um somatório de sistemas monofásicos.

Quanto à definição de potência ativa (P) existe um consenso de que seja calculado como o valor médio, sobre um ou mais períodos do sinal, do produto das tensões de fase-neutro pelas respectivas correntes:

( )dtvivivikT

1P

kTt

t

ccbbaa∫+

++= (150)

onde T é o período das tensões e correntes, “t” é o instante inicial de integração e k é um número inteiro de períodos para o cálculo da média (em geral k=1).

Desta forma, o fator de potência efetivo é definido como a razão entre a potência ativa equação (150) e a potência aparente efetiva (149):

e

e S

PFP = (151)

Sistemas trifásicos equivalentes sob condições distorcidas

Como já discutido, as análises na presença de harmônicos ficam bem mais complexas, devido às interações entre freqüências. No caso polifásico, essa situação se complica ainda mais, pois aparecem também interações entre as fases.

Desta forma, a corrente e tensão efetiva foram separadas em duas componentes, as componentes fundamentais e harmônicas, ou seja:

2eH

21ee III += (152)

e

2eH

21ee VVV += (153)

onde o índice “1” representa a componente fundamental 60/50Hz e “H” o conjunto das componentes harmônicas do sistema.

As componentes fundamentais equivalentes por fase da corrente e tensão por fase podem ser obtidas por:

( )21n

21c

21b

21a1e IIII

3

1I ρ+++= (154)

e

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( )[ ]21ca

21bc

21ab

21c

21b

21a1e VVVVVV3

18

1V +++++= (155)

Assim, conhecendo eV e 1eV , pode-se calcular a parcela correspondentes às harmônicas da

tensão:

21e

2eeH VVV −= (156)

Da mesma forma para a parcela de correntes tem-se:

21e

2eeH III −= (157)

Portanto, a potência aparente efetiva pode ser expressa por:

2eN

21e

2e SSS += (158)

onde o primeiro termo corresponde à potência aparente efetiva fundamental:

1e1e1e IV3S = (159)

e o segundo termo é a potência efetiva não-fundamental:

21e

2eeN SSS −= (160)

Notar que essa parcela de potência, causada pela presença de componentes harmônicos e inter-harmônicos distintos nas tensões e correntes, tem caráter oscilatório.

Sistemas trifásicos equivalentes em condições desequilibradas

Para cargas desbalanceadas, define-se a potência aparente fundamental de desequilíbrio, pela diferença:

21

21e1U )S(SS +−= (161)

onde +1S é a potência aparente fundamental de seqüência positiva, dada por:

+++++ =+= 112

12

11 IV3)Q()P(S (162)

Sendo:

++++ φ= 1111 cosIV3P (163)

e

++++ φ= 1111 sinIV3Q (164)

Estas definições de potência ativa de seqüência positiva e potência reativa de seqüência positiva são similares às usadas em sistemas trifásicos senoidais equilibrados.

Assim, define-se também o fator de potência fundamental de seqüência positiva, como a relação entre a potência ativa e a potência aparente, ambas de seqüência positiva.

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+

++ =

1

11 S

PFP (165)

Esta relação pode ser associada com o fator de deslocamento ( 1cosφ ) dos sistemas elétricos senoidais e equilibrados.

Várias outras parcelas de potência ou relações entre estas, ainda podem ser extraídas da abordagem proposta em [34], no entanto, já é possível tecer alguns comentários sobre vantagens, desvantagens e semelhanças desta proposta em relação a outras referências:

Vantagens:

• O fato de separar as componentes fundamentais e de seqüência positiva das demais parcelas da tensão, corrente e potência, é um ponto importante no que tange à compreensão dos fenômenos físicos, bem como em relação à medição e tarifação das potências envolvidas no processo de fornecimento de energia;

• Por utilizar as definições de grandezas equivalentes de Buchholz, o método procura tratar de forma adequada sistemas trifásicos com três ou quatro fios (embora trabalhos recentes apontem algumas inconsistências [10]);

• O método permite uma certa flexibilidade em relação a quantas e quais parcelas de potência se deseja calcular, dependendo da necessidade ou objetivo do usuário;

• As novas definições têm uma estreita relação com os conceitos convencionais para o caso senoidal e balanceado;

• A definição de Potência Aparente Efetiva parece mais rigorosa e útil do que as definições convencionais;

Desvantagens:

• Uma vez que o foco principal dos trabalhos desenvolvidos pelos autores em questão sempre foi a normalização dos protocolos de medição e tarifação de energia em condições não-senoidais e/ou desbalanceadas, todas as definições são baseadas em valores eficazes, quando na verdade poderiam ter sido generalizadas no domínio do tempo e, então, aplicadas para tarifação;

• Mesmo permitindo a identificação de parcelas de potência que poderiam ser compensadas (eliminadas) através de compensadores ativos (SeN) ou passivos (Q1

2), por não ser este o objetivo principal do grupo, tais vertentes da proposta ainda não foram suficientemente exploradas;

• Um ponto crítico em quase todas as propostas de teoria de potência é a identificação do sentido do fluxo de potência harmônico, o que nesta proposta também não foi solucionado;

• Outro ponto que ainda requer aprimoramento, tratando-se de uma recomendação IEEE, é o fato de que os algoritmos e protocolos para os cálculos das componentes fundamentais, harmônicas ou de seqüência positiva não foram abordados;

Discussão:

Baseado nos comentários anteriores, pode-se afirmar que a proposta atual do grupo do IEEE apresenta inovações em relação às recomendações anteriores do próprio IEEE. Tal proposta também traz várias semelhanças com as propostas de outros autores contemporâneos,

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principalmente com os trabalhos de Czarnecki e Depenbrock (apresentado na próxima seção). Semelhanças estas que vem sendo moldadas ao longo das duas últimas décadas através das várias publicações e discussões de artigos destes autores.

6.2.3 Propostas no domínio do tempo

Nos últimos anos, várias propostas têm sido apresentadas baseadas em abordagens no domínio do tempo. Diferente das propostas no domínio da freqüência, a maioria destas tem como motivação principal a compensação de distúrbios. Entretanto, isto tem sido uma grande fonte de confusões e distorções sobre o que deveria contemplar uma “teoria de potências”, sendo algumas propostas extremamente úteis do ponto de vista de compensação, mas impraticáveis em aplicações como análise, medição ou tarifação de energia. Outro problema de interpretação oriundo destas propostas é a utilização do termo “instantâneo” no contexto das teorias de potência: tal termo vem sendo empregado para demonstrar que determinadas parcelas de corrente podem ser calculadas ou mesmo compensadas de forma “instantânea”, no entanto, de forma geral, não deveria ser empregado na definição dos nomes das diferentes componentes de corrente ou potência. A não ser em condições muito especiais, tais componentes podem ser calculadas no domínio do tempo, mas não sem algum tipo de pré-processamento, média temporal ou filtro (não-instantâneo).

6.2.3.1 Definições propostas por Fryze (1932) Apesar de não ter sido adotada em escala mundial, a teoria proposta em [4] apresenta

vários aspectos interessantes, uma vez que trata de uma decomposição no domínio do tempo, não necessitando da decomposição do sinal em seus harmônicos. Sendo este último fator especialmente importante por volta de 1930, pela indisponibilidade de instrumentos que fizessem tais análises. Considerando variáveis periódicas (T) uni-dimensionais instantâneas v e i, Fryze propõe a decomposição da corrente total em duas componentes, iw que corresponde à parte ativa da corrente e ib que corresponde à parcela denominada de reativa (corrente não-ativa). São elas:

2( ). .w

w e

Pi v G v

V= = (166)

a qual corresponde à parcela que efetivamente transfere potência para a carga e possui a mesma forma de onda da tensão (como já definido, Pw é a potência ativa média e V é o valor RMS da tensão). E

b wi i i= − (167)

a qual representa uma corrente adicional de ocupação do sistema elétrico. É importante destacar que, desde que seja assumida uma dada periodicidade para os sinais

de tensão e corrente, as expressões anteriores são válidas para qualquer forma de onda. A corrente ativa é obtida através da “condutância equivalente” (Ge) do sistema, e

representa a corrente de uma carga puramente resistiva, a qual, para uma mesma tensão, absorve a mesma potência ativa (Pw) da carga realmente utilizada. Se a corrente ib fosse completamente eliminada ou compensada, o fator de potência seria unitário.

Uma vez que estas duas componentes de corrente são ortogonais, o produto escalar entre elas é igual a zero e seus valores RMS podem ser associados como:

2 2 2w b

I I I= + (168)

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Desta forma, a Potência Aparente (Ps) seria composta por:

2 2 2s w b

P P P= + (169)

sendo (Pw) a Potência Ativa dada por:

0

1. .

T

w wP V I v i dt

T= = ∫ (170)

a qual, obviamente, está associada à transferência de energia em um determinado período e

.b b

P V I= (171)

que é a Potência Reativa de Fryze e também pode ser encontrada na literatura com o nome de Potência Fictícia ou Não-Ativa.

Além disto, utilizando a desigualdade de Schwartz que diz que:

dx)x(gdx)x(fdx)x(g).x(fb

a

2b

a

22b

a ∫∫∫ ⋅≤

(172)

Fryze pôde mostrar que:

PS ≥ Pw = λ.VI (173)

onde λ = cosϕ no caso particular de funções senoidais, e que a igualdade de Schwartz só ocorre

se a relação )x(g

)x(f for constante.

Isso significa que Ps = Pw apenas no caso em que a corrente é proporcional à tensão (carga resistiva) e a relação v/i se mantiver constante no período:

cteRi

v== (174)

ou seja, corresponde a uma resistência invariante no tempo. Devemos, portanto, a Fryze a prova de que a potência aparente de um resistor invariante coincide com a potência ativa, qualquer que seja a forma de onda (pois a corrente é proporcional à tensão).

Vantagens:

• Uma grande contribuição da teoria de Fryze foi a introdução do conceito de ortogonalidade não entre as parcelas de potência, mas sim em sua origem, ou seja, às componentes da corrente ativa e residual;

• O fato de calcular a corrente ativa diretamente a partir da condutância equivalente também deve ser ressaltado, uma vez que evitava a necessidade das análises em freqüência, como vinha sendo proposto por autores da época;

• Se o objetivo é quantificar o total de energia supérflua (não-ativa) de um sistema elétrico, as componentes ib e Pb podem ser utilizadas com bastante precisão;

• A proposta permite o projeto de filtros ativos de potência, para eliminação de ib, mesmo se em seu tempo, tal solução ainda não fosse uma realidade.

Desvantagens:

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• Pelo fato de agrupar todos os “distúrbios” de corrente na parcela ib ou conseqüentemente na potência Pb, tal teoria não permite o aprofundamento dos estudos sobre cada tipo de fenômeno físico envolvido na transferência de energia, bem como não permite a monitoração para fins de tarifação ou compensação “seletiva” de determinadas parcelas de corrente e potência;

• Não separa nem mesmo as contribuições das fundamentais do sistema, das demais componentes. Portanto, não permite o projeto em separado de compensadores de energia passivos, usualmente econômicos e ainda de utilidade para muitas instalações;

• Foi definido para sistemas monofásicos.

Discussão:

É importante ressaltar que algumas das definições de Fryze, como por exemplo, a definição de corrente e potência ativa, vem sendo utilizadas e aprimoradas por vários outros autores, dos quais pode-se destacar [15-18,30,34].

O resultado destes novos trabalhos foi a expansão da teoria de Fryze para sistemas multi-dimensionais [15-17,35], bem como propostas para o cálculo instantâneo da parcela de corrente ativa (iw) [15-17], o que possibilitou o desenvolvimento de filtros ativos de potência, para maximização do fator de potência de uma instalação.

Outros trabalhos permitiram a expansão das parcelas de corrente ativa e não-ativa em sub-parcelas que possibilitam estudos sobre os fenômenos ou distúrbios presentes em um determinado sistemas [16,17,22,25,35], de forma similar à proposta apresentada no domínio da freqüência em [34].

Como será discutido adiante, a linha de trabalho baseada no aprimoramento da proposta de Fryze, bem como a possibilidade de separar as tensões e correntes em suas várias possíveis sub-parcelas, parece a forma mais adequada de se encontrar uma teoria de potências aplicável seja para os estudos, como também para tarifação e compensação, de sistemas elétricos sob condições não-ideais.

6.2.3.2 Definições propostas por Depenbrock (1962/1992) – Método FBD Apesar da proposta de Depenbrock ter sido formulada em 1962 [38], a mesma só passou a

ser referenciada e utilizada por outros autores, após a sua publicação no IEEE [39]. Baseando-se nos trabalhos de Fryze [4] e Buchholz [37], o autor apresentou a teoria que ele batizou como o método FBD “Fryze-Buchholz-Depenbrock”.

Seu trabalho busca considerar algumas premissas básicas ao desenvolvimento adequado de uma teoria de potências [39] e no contexto de condicionamento de energia. Pode-se destacar:

• o fato de que correntes não-ativas não contribuem para a transferência de energia de um sistema, sendo relacionadas apenas com perdas e problemas de interferência eletromagnética;

• a demanda de informações sobre as funções temporais, para avaliar ou mesmo compensar os efeitos das correntes não-ativas;

• o fato de que normas e recomendações deveriam trazer regras claras sobre como determinar tais funções temporais, sendo que tais regras deveriam ser aplicáveis para sistemas genéricos, sem restrições e da forma mais simples possível;

• “potências” não-ativas são grandezas de importância secundária, uma vez que são derivadas das ``correntes'' não-ativas e não o contrário;

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• a única componente de corrente que possui uma definição livre de contradições, é a corrente ativa, no entanto, a decomposição da corrente não-ativa em sub-componentes pode ser de importância em determinadas aplicações. Assim, as normas deveriam definir os métodos e algoritmos necessários para tais decomposições, permitindo que o número de parcelas a serem calculadas varie de acordo com a aplicação final.

O autor utiliza variáveis chamadas coletivas instantâneas de tensão e corrente como:

)t()t(iim

1

2 ii ⋅== ∑=υ

υ∑ )t()t(vv **

m

1

2** vv ⋅== ∑

=υυ∑ , (175)

onde “m” indica o número de condutores que ligam a fonte à carga e o * indica que os valores das tensões foram medidos em relação à referência virtual.

O método FBD considera como ativos todos os condutores do sistema polifásico, inclusive o condutor neutro (usualmente considerado retorno). Para o cálculo das tensões, toma como referência um “ponto virtual”, Figura 23b, e não o condutor de neutro (retorno) como é realizado usualmente, inclusive na proposta da STD 1459-2000.

r lbIb

vb

r lcIc

vc

r laIa

va

r ln

In

CARGA

r l bib

vb

r l cic

vc

r l aia

va

r ln

in

CARGA

Va* Vb* Vc* Vn*

(*) referência virtual a) Condição inicial b) Circuito equivalente (ponto virtual)

Figura 23: Sistema trifásico com m=4 condutores.

Da forma como foi definido o ponto virtual (centro de “gravidade” das tensões), valem as seguintes relações:

0im

1

=∑=υ

υ 0vm

1* =∑

=υυ (176)

A potência instantânea coletiva é dada pelo produto escalar:

)t()t(p * iv ⋅=∑ . (177)

Assim, para condições periódicas, os valores “eficazes coletivos” quadráticos da corrente e tensão são, respectivamente os valores quadráticos médios por período, dados por:

∫ ⋅== ∑∑

T

0

22 )t()t(dt)t(iT

1I ii (178)

∫ ⋅== ∑∑

T

0

**2

*2

* )t()t(dt)t(vT

1V vv (179)

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E a potência média ou ativa é dada por:

∫ ⋅== ∑∑

T

0

* )t()t(dt)t(pT

1P iv (180)

A equação (180) é igual à da potência ativa convencional, porém com as tensões medidas em relação ao ponto virtual. A potência aparente coletiva total é dada pela seguinte expressão:

∑∑∑ = IVS * (181)

Esta potência foi introduzida por Buchholz, e considera todas as tensões e correntes do sistema elétrico. A partir, das equações (180-181) pode-se obter o fator de potência como sendo:

∑Σ =

S

PFP (182)

O autor também sugere a decomposição da corrente em parcelas proporcionais e ortogonais à tensão, definindo assim:

• Corrente Ativa ( aiυ ): responsável pela transferência de energia para a carga. Esta

corrente é igual à corrente ativa definida por Fryze:

* *2*

. .a a

Pi v G v

Vν ν ν

Σ

Σ

= = (183)

• Correntes de Potência ( piυ ): responsáveis pela potência instantânea, incluindo a

potência ativa e possíveis oscilações relacionadas com harmônicos e desequilíbrios:

* *2*

. .p p

pi v G v

vν ν ν

Σ

Σ

= = (184)

• Correntes de Potência Zero ( ziυ ): não contribuem para a transferência de energia. Estas

correntes podem ser compensadas sem a necessidade de armazenadores de energia [38,39]:

z pi i iν ν= − ∑

=Σ =⋅=

m

1vvz*vz 0P iv (185)

• Correntes Não-Ativas ( niυ ): associadas aos vários tipos de distúrbios e oscilações que

afetam a potência instantânea, mas não transferem energia para as cargas:

n a z vi i i i iν ν ν ν= − = + (186)

onde viυ é a componente de corrente responsável pelas “variações” (quando presentes) da

condutância equivalente em torno de Ga, ou ainda, variações de pΣ em torno de PΣ . Esta parcela

( viυ ) poderia ser utilizada para o projeto de armazenadores de energia para compensadores ativos

com a finalidade de eliminar niυ , o que resultaria na maximização do fator de potência do

circuito (FP=1). Além das componentes de corrente descritas, Depenbrock destaca a possibilidade de ainda

decompor a tensão e a corrente em outras sub-parcelas (porções) [39], tais como: componente

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fundamental, componente residual (harmônica), componentes de seqüência positiva, componentes média e oscilatória, etc. Na verdade, o autor tem defendido a idéia de que o número de parcelas da decomposição de corrente não deve ser fixado por norma, mas sim definido em função da aplicação na qual se deseja aplicar a metodologia proposta. Assim, poder-se-ia calcular, por exemplo, a corrente ativa fundamental de seqüência positiva, a qual seria proporcional à tensão fundamental de seqüência positiva. Da mesma forma, diversas parcelas de potência poderiam ser evidenciadas em função das parcelas de tensão e corrente.

Vantagens:

• permite o cálculo instantâneo da corrente ziυ , a qual representa a parte da corrente não-

ativa que poderia ser compensada sem armazenadores de energia;

• sugere o cálculo no domínio do tempo de diversas parcelas de tensão e corrente, como por exemplo, componentes fundamentais e harmônicas, ativas e não-ativas, etc;

• sugere o cálculo de parcelas da potência aparente relacionadas com os sinais de tensão e corrente decompostos;

• permite o projeto de compensadores passivos ou ativos, com ou sem armazenadores de energia.

Desantagens:

• Ao usar o ponto virtual para as medições das tensões, no caso de sistemas desequilibrados e desbalanceados, torna-se difícil identificar sinais para a compensação, seja de corrente ou de tensão.

• O processamento das equações leva a cálculos de componentes de corrente (baseado em subtrações de valores medidos e outros calculados) que apresentam componentes espectrais injustificáveis.do ponto de vista físico.

Discussão:

As definições de piυ e ziυ propostas por Depenbrock, possuem algumas semelhanças com

as correntes ativa e reativa de Akagi et al. [12], apesar de realizadas de forma completamente distinta. Propostas similares a esta de Depenbrock, foram apresentadas quase que simultaneamente no contexto internacional por Tenti et al. [15] e Willems [40], onde estes autores exploraram a utilização do “Multiplicador de Lagrange” para o cálculo das corrente piυ .

Uma análise detalhada de tal método também pode ser encontrada em [36]. Depenbrock também tem tentado demonstrar que a definição de uma teoria e a sua

implementação em sistemas de medição e controle no domínio do tempo, nada tem a ver com as chamadas Teorias de Potência Instantâneas [41], apresentadas, por exemplo, em [12,21-25].

6.2.3.3 Definições propostas por Akagi e Nabae (1983/1993) Os trabalhos apresentados por Akagi et al. [12,21] contém contribuições às áreas de

cálculo de potências instantâneas e filtragem ativa, sobretudo sem a necessidade de elementos armazenadores de energia. Os conceitos e definições publicados nestes trabalhos e impulsionaram desenvolvimentos nas áreas de eletrônica de potência, filtragem ativa, dispositivos FACTS e qualidade de energia.

A teoria original proposta pelos autores ficou conhecida como Teoria pq e tem como base a transformação algébrica de coordenadas de um sistema trifásico para um sistema bifásico

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( , ,a b c αβ→ ), também conhecida como Transformação de Clarke [42]. Através de contribuições de vários autores ao longo das quase duas décadas de utilização da teoria [22,23,25], as publicações mais recentes de Akagi trazem uma teoria estendida, na qual a presença de 4 fios no sistema trifásico foi incorporada ao método de cálculo de suas variáveis, além de outras considerações [43].

Baseados na definição de vetores instantâneos, as tensões e correntes trifásicas dadas nas coordenadas (a,b,c), as quais se encontram defasadas de 120º podem ser transpostas para as coordenadas ( 0αβ ), onde αβ são ortogonais entre si, pelas seguintes equações algébricas:

−−=

β

α

c

b

a0

v

v

v

23

230

21

211

21

21

21

3

2

v

v

v

. (187)

−−=

β

α

c

b

a0

i

i

i

23

230

21

211

21

21

21

32

i

i

i

. (188)

A Teoria pq define duas potências “reais” instantâneas ( pαβ e p0) e uma potência

“imaginária” instantânea ( qαβ ) para o sistema trifásico a quatro fios:

=

β

α

αβ

βα

αβ

αβ

i

i

i

.

vv0

vv0

00v

q

p

p 000

. (189)

Observando-se a Figura 24, pode-se concluir que a potência instantânea real seria formada pela componente de seqüência zero ( 0 0 0.p v i= ), que circula por um “circuito monofásico de

seqüência zero”, o qual é independente, e pela componente pαβ definida pelo produto das

tensões instantâneas em uma fase pelas correntes instantâneas correspondentes às mesmas fases (produto escalar), ou seja:

ββαααβ += ivivp (190)

e desta forma, representaria a potência real ativa instantânea (em Watts) que circularia pelo sistema bifásico formado pelos circuitos αβ [43].

A potência formada pela soma dos produtos de tensões de uma fase, pelas correntes em outra fase (produto vetorial) é definida como uma nova grandeza elétrica, a potência imaginária instantânea ( qαβ ), dada em Volt-Ampère-Imaginário (VAI):

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βααβαβ −= ivivq (191)

Assim como proposto em [23], a potência imaginária definida acima tem sinal contrário do

proposto originalmente por Akagi et al. e pode ser associada a vários aspectos:

• o fato de que pela álgebra vetorial adotada e sendo a potência imaginária ortogonal à potência real, a qual é definida sobre eixo real das coordenadas, a potência imaginária resulta no eixo imaginário das coordenadas;

• também pelo fato que, ao contrário das potências instantâneas reais, esta componente não participa da transferência de potências entre fontes geradoras e as cargas, conforme indicado na Figura 25;

• por fim, pelo fato de ser apenas uma definição matemática, a qual é utilizada para quantificar as parcelas de potência instantâneas que correspondem a interações de energia, entre as fases do sistema, sejam elas constantes ou não.

Figura 24 - Circuitos que contribuem para o fluxo de potência instantânea - Teoria pq.

A equação a seguir traz uma analogia ao cálculo convencional de potência instantânea para um sistema trifásico a quatro fios, com a teoria apresentada:

3 0 0 0. . . . . .a a b b c c

p v i v i v i v i v i v i p pφ α α β β αβ= + + = + + = + (192)

Com isso, observa-se que a potência instantânea trifásica é dada pela soma das potências instantâneas reais de Akagi, ressaltando que a presença da componente de seqüência zero (p0) é indesejada no sistema elétrico.

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Figura 25 - Fluxo instantâneo de potência real e imaginária no sistema - Teoria pq.

Principal Contribuição:

Embora Depenbrock tenha recentemente chamado a atenção da comunidade científica para o fato de que já em 1962, seu trabalho de doutorado teria tratado de assunto similar [38,41], a principal contribuição da Teoria pq relaciona-se com o desenvolvimento de uma técnica de compensação ativa de distúrbios sem a necessidade de armazenadores de energia.

Observando a existência desta parcela de potência que é trocada a todo instante entre as fases do sistema e que, se calculada a contribuição desta potência em cada fase, sua soma instantânea resulta nula, foi possível então o desenvolvimento de um conjunto de equações que permite encontrar correntes de referência para o controle dos filtros ativos, os quais utilizavam a energia de uma dada fase para compensar os distúrbios das outras e assim sucessivamente, sem a necessidade de elementos passivos (indutores ou capacitores) para armazenarem energia.

Assim as correntes ortogonais iα e iβ são decompostas em parcelas “ativas” (p

iα e p

iβ ) e

“reativas” (q

iα e q

iβ ) através da matriz inversa de transformação: 2 2

0 0

0 02 20

0 0

( ) 0 01

0 . . ..( )

0 . .

v vi p

i v v v v pv v v

i v v v v q

α β

α α β αβ

α ββ β α αβ

+

= − +

(193)

o que ainda pode ser expandido em:

0 00

1 1 1. .( ) .

3 3a b c neutro

i p i i i iv

= = + + = (194)

2 2.

( )p

vi p

v v

αα αβ

α β

=+

(195)

2 2.

( )q

vi q

v v

βα αβ

α β

= −+

(196)

2 2.

( )p

vi p

v v

ββ αβ

α β

=+

(197)

2 2.

( )q

vi q

v v

αβ αβ

α β

=+

(198)

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o que deixa claro que a corrente de seqüência zero faz parte de um circuito independente e contribui somente para o fluxo de potência fonte-carga, mesmo que sempre acompanhada de oscilações. No entanto, segundo esta abordagem, as correntes αβ são constituídas por parcelas ativas e reativas, sendo esta última relacionada com a potência imaginária.

Usando as expressões das correntes iα e iβ decompostas para retornar ao cálculo das

componentes de potência, tem-se que: . . . .

p q p q p q p qp v i v i v i v i p p p pαβ α α α α β β β β α α β β= + + + = + + + . (199)

A soma das potências instantâneas p

pα , p

pβ e 0p coincide com a potência trifásica de

um sistema a quatro fios, ou seja:

0 3p pp p p pα β φ+ + = (200)

por isso receberam a denominação de componentes de potência ativa instantânea. Por outro lado, a soma das potências instantâneas

qpα e

qpβ resulta nula a todo instante

como segue: 0

q qp pα β+ = (201)

por isso foram denominadas como componentes de potência reativa instantânea, e estão relacionadas ao conceito de potência imaginária, já que estas parcelas de potência circulam entre as fases do sistema elétrico, sem contribuir para o fluxo real. O fato das potências reativas instantâneas se anularem quando somadas entre si, levou os autores a concluírem que se um compensador eletrônico (ativo) criasse a interação entre as fases, estaria eliminando (confinando para o lado da carga e impedindo assim sua circulação pelo sistema de fornecimento de energia) estas parcelas de potência que são indesejadas ao sistema elétrico, uma vez que só contribuem para o acréscimo de perdas. Considerando as correntes reativas instantâneas como as referências para os compensadores, automaticamente a potência imaginária seria eliminada, reduzindo as perdas do sistema e elevando o fator de potência. Destaca-se que pela transformação inversa de (196), pode-se calcular o valor instantâneo das correntes reativas nas coordenadas originais a,b,c.

Seguindo a abordagem proposta [12], as potências poderiam ser decompostas ainda como:

p p p q q qαβ αβ αβ αβ αβ αβ= + = +% % (202)

onde o sinal barrado representa as componentes médias (CC) de pαβ e qαβ , as quais se

originariam, respectivamente, da corrente ativa fundamental e da corrente reativa fundamental. O sinal oscilatório representa os componentes CA das potências, os quais seriam originados de componentes harmônicas e componentes assimétricas (seqüência negativa). Assim, utilizando expressões similares as equações de (202)-(206), seria possível calcular as correntes “instantâneas” relacionadas com cada parcela de potência média ou oscilatória. Tais correntes poderiam ser utilizadas nos algoritmos de controle para que a potência resultante após a conexão de um compensador fosse apenas p . Neste ponto, algumas considerações devem ser feitas:

• se as tensões do sistemas não forem perfeitamente senoidais, as potências médias p e q não são provenientes apenas das correntes fundamentais ativa e reativa, mas sim de uma composição harmônica que depende da forma de onda da tensão e do tipo de carga envolvida. Neste caso, a compensação de pαβ

% e q não significa que a corrente que circula

pelo sistema compensado seja senoidal;

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• uma vez que as parcelas médias e oscilatórias são separadas por meio de filtros passa-baixas, os quais normalmente possuem uma dinâmica lenta, as correntes derivadas desta decomposição não deveriam ser relacionadas com o termo “instantâneo”, como será discutido novamente mais adiante.

Discussão:

A Teoria pq pode ser bastante eficiente para o projeto de compensadores eletrônicos, no entanto, existem limitações e desvantagens desta proposta quando formalizada como uma “teoria de potência”, a qual deveria ser geral o suficiente para ser aplicada nas mais diversas áreas da engenharia elétrica. Alguns pontos podem ser destacados:

• a necessidade da transformação de coordenadas por si, já é uma desvantagem do ponto de vista da teoria de potência, uma vez que não permite a associação direta dos fenômenos físicos, com suas respectivas contribuições nas grandezas elétricas de tensão, corrente e potência em seu sistema de coordenadas original (a,b,c);

• do ponto de vista de instrumentação para monitoração de distúrbios na qualidade de energia, esta teoria não permite separar e identificar a origem da deterioração quando vários fatores estão presentes simultaneamente;

• não é possível sua aplicação em sistemas monofásicos;

• a compensação baseada na eliminação das correntes reativas instantâneas não é geral a ponto de minimizar as perdas de energia no sistema, ou seja, esta técnica só funciona perfeitamente se as tensões de alimentação forem simétricas e senoidais;

• no caso das tensões de alimentação não seguirem a condição anterior, é necessária a escolha de uma técnica de controle para o dispositivo de compensação que possibilite atingir os objetivos desejados, sejam eles: eliminar a potência imaginária, eliminar a contribuição de harmônicos, manter a potência ativa constante no ponto de acoplamento comum (PAC), manter as correntes do PAC senoidais e equilibrada, eliminar a corrente de seqüência zero, dentre outras. Ressaltando que a escolha de um dos objetivos de controle acima para a filtragem ativa, não significa que os outros estarão sendo satisfeitos, ou seja, o controle do dispositivo pode estar garantindo um objetivo e prejudicando outro [44];

• mesmo que se faça uma escolha correta no momento de projetar o controle de um compensador, fica quase impossível ter visão e controle “seletivo” dos distúrbios envolvidos, já que foram agrupados nas parcelas αβ ;

• não prevê a separação das contribuições dos sinais fundamentais daqueles com distorções harmônicas.

O trabalho desenvolvido por Akagi et al. foi uma das maiores contribuições dos últimos anos, no campo de compensação de distúrbios, mas não pode ser tratada como uma teoria de potências simples e geral a ponto de ser incorporada, por exemplo, aos conceitos básicos no ensino de engenharia elétrica ou mesmo para aplicações como monitoração ou tarifação de energia. O espaço dado ao seu estudo neste capítulo, baseia-se no fato de que sua ampla divulgação e utilização em sistemas de condicionamento de energia podem criar a imagem de que sua generalização para outras áreas da engenharia elétrica se daria de forma simples e direta, o que não é verdade.

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6.2.3.4 Definições propostas por Tenti e Mattavelli (2004)2 Uma proposta mais recente, denominada Teoria de Potência Conservativa (Conservative

Power Theory, CPT) foi mais recentemente proposta por Tenti et al. [50]. Baseia-se numa definição de potência instantânea complexa sob condições não-senoidais e representa uma extensão da potência complexa usua, definida para condições senoidais. Embora inicialmente apresentada para circuitos monofásicos, esta teoria facilmente se estende para sistemas polifásicos [51].

Os autores introduziram as, assim chamadas, homo-variáveis (integral e derivada), as quais podem ser definidas para sinais periódicos e são homogêneas à corrente, à tensão e à potência. Como tanto a homo-tensão quanto a homo-corrente obedecem às leis de Kirchhoff, as conseqüentes homo-potências obedecem ao principio da conservação de energia em qualquer circuito. Isso permite introduzir o conceito de conservação da potência complexa sob situações não-senoidais. Adicionalmente, a decomposição da corrente proposta, na qual cada termo é relacionado a algum fenômeno físico (potência absorvida, potência armazenada, distorção de corrente ou de tensão). Além disso, outros artigos apresentaram o uso desta metodologia na aplicação de compensação de harmônicos e reativos por meio de filtros ativos e outros compensadores [52,53].

Assumindo um sistema multidimensional, as seguintes definições fazem uso dos mesmos símbolos aplicados no método FBD. O índice “µ” designa as variáveis de cada m-fase. Em relação ao referencial de tensão, os autores sugerem utilizar o condutor de retorno, caso exista, e o ponto virtual, caso contrário [51]. Assim, as homo-integrais de tensão e corrente são definidas como:

(203)

Onde , , são as integrais no tempo da tensão, e

correntes, , enquanto , são os valores médios de cada e , em um período T (isso é feito para eliminar o valor médio proveniente da integração de um valor inicial diferente de zero). Note que e são dimensionalmente homogêneos à tensão e à corrente, respectivamente. Isso significa que a operação de integração não influencia a amplitude dos sinais resultants, uma vez que são multiplicados pela frequência angular. De forma análoga, a tensão e a corrente em homo-derivadas são:

(204)

Assim como e , as variáveis e também são dimensionalmente homogêneas às tensões e correntes originais, respectivamente. Neste caso as derivadas são multiplicadas pelo inverso da frequência angular.

Considerando quantidades periódicas com período T e frequência angular fundamental , é bem conhecido que o produto interno dos vetores de tensão e de corrente é definido

como:

(205) 2 O texto original, bem como as figuras, foram obtidos, com autorização do autor, nas referências [54, 55].

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Da mesma forma, as normas de tensão e corrente são:

(206)

o que resulta em valores eficazes coletivos iguais ao do método FBD ( ). Para circuitos monofásicos, ou considerando cada fase de um sistema m-dimensional:

(207)

As homo-variáveis apresentam as seguintes propriedades:

(208)

Ainda mais, se e forem quantidades senoidais com valores eficazes respectivamente

iguais a e e defasagem ϕ, as seguintes propriedades são válidas:

(209)

que exatamente corresponde às definições tradicionais de potência ativa e reativa em circuitos monofásicos.

Para comportamento periódico, as seguintes quantidades foram definidas, as quais são válidas para formas de onda senoidais ou distorcidas, em condições balanceadas ou não:

Potência ativa: que representa a potência média entregue à carga. Tal defnição é idêntica às

definições tradicionais (Steinmetz, Budeanu, Fryze, Buchholz).

(210)

Potência reativa: que está associada à energia media acumulada em uma rede e foi definida como:

(211) O significado físico destes termos de potência são largamente discutidos em [50]. A corrente pode ser decomposta em algumas parcelas, de acordo com sua associação com

os termos de potência. A corrente ativa é a mínima corrente (isto é, com norma mínima) que é capaz de fornecer a potência ativa P à carga e é definida como:

(212)

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Condicionamento de Energia Elétrica e Dispositivos FACTS S. M. Deckmann e J.A.Pomilio

LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 45

A corrente reativa é a mínima corrente que transfere a potência reativa , e está relacionada com a energia média que circula pelo circuito:

(213)

Ambas correntes têm um significado físico claro. Estão associadas com a presença de potência ativa e reativa e permitem estabelecer valores médios para a condutância , e susceptância da carga.

A corrente residual (void current) não se relaciona nem a nem a :

(214)

De acordo com os autores [50], a corrente residual pode existir apenas na presence de distorção na corrente, no entanto, como mostrado em [54, 55] ela também é influenciada por desbalanços.

Por definição, todos os termos de corrente são ortogonais.

(215)

6.2.4 Algumas comparações entre as teorias no domínio do tempo A análise que se segue considera apenas circuitos a três fios [54], embora resultados

semelhantes sejam obtidos também para quatro fios [55]. O principal objetivo é o de comparar os diferentes termos das decomposições de corrente de cada método. Três casos foram simulados (PSIM).

6.2.4.1 Caso I: Sistema com carga resistiva desbalanceada – alimentador com baixa impedância

A figura 26 mostra o circuito considerado, enquanto na tabela I têm-se os parâmetros. A figura 27 mostra as tensões e correntes calculadas no PAC.

TABELA I – TENSÕES E IMPEDÂNCIAS PARA O CASO I. Fonte Linha Carga (Y)

Va = 127∠0º Vrms RLa = 1mΩ LLa= 10 µH Ra = 9,3405Ω

Vb = 127∠-120º

Vrms RLb = 1mΩ LLb=10µH Rb = 6,2270Ω

Vc = 127∠120º Vrms RLc = 1mΩ LLc=10µH Rc =3,1135Ω

va* vc*vb*

va

vb

vc

ia

ib

ic

RLa LLa

RLb LLb

RLc LLc

Rb

Rc

Ra

SOURCE LOADLINE PCC

*Virtual start point

Figura 26: Circuito para o caso I – carga resistiva desbalanceada.

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 46

1.97 1.975 1.98 1.985 1.99 1.995 2-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

v [V] i [A]

Time [s]

a

a

b

b

c

c

Figura 27: Tensões e correntes no PAC para o caso I.

Note que tensões e correntes das respectivas fazes não estão exatamente em fase, uma vez que as tensões são medidas em relação ao ponto virtual, o que, na prática, representa que as tensões estão referenciadas ao ponto neutro das fontes, ao invés do pnto neutro das cargas. Além disso, as tensões resultam balanceadas uma vez que este procedimento de medição elimina a componente homopolar (sequência zero) das tensões da carga.

A figura 28 mostra a decomposição da corrente pelos métodos FBD (a), teoria pq (b) e CPT (c). Neste caso, a corrente ativa baseada na teoria FBD e na CPT são exatamente as mesmas, pois ambas são baseadas nas definições de Fryze. Adicionalmente, elas coincidem com a parte media da corrente ativa definida por Akagi ( ) e estão em fase com as respectivas tensões, uma vez que tem-se uma situação de tensões senoidais e balanceadas ( ).

Há, no entanto, outros resultados que divergem de uma análise para outra. Por exemplo, as components e resultam distorcidas, mesmo sem que haja qualquer distorção nas tensões, nem mesmo cargas não-lineares. Isso poderia indicar que tais componentes da corrente não são uma boa representação dos fenômenos de potência, em tais condições. Também a parte oscilatória da corrente ativa de Akagi ( ) é distorcida, o que significa que a corrente ativa total não é senoidal. Mesmo para uma carga puramente resistiva, a decomposição indica a existência de corrente reativa!

Finalmente, a figura 28-c mostra a decomposição da corrente baseada na CPT. Note que as correntes reativas resultam nulas ( ), indicando a ausência de elementos armazenadores

de energia. As componentes residuais de corrente são senoidais ( ) e representam o desbalanceamento da carga.

A figura 29 mostra os espectros das correntes nas diferentes decomposições, permitindo estabelecer as seguintes relações:

(216) Czarnecki [33] demonstrou que as componentes ativa e reativa totais da teoria pq apresentam

um conteúdo de terceira harmônica originado pela decomposição em si. Das figuras 28 e 29 pode-se verificar que tais harmônicas estão presentes nas componentes oscilatórias ( ) e

( ). Em [54] mostra-se que um comportamento análogo ocorre com a FBD. Em termos de interpretação física dos fenômenos, estes resultados sugerem que a CPT é

mais apropriada e consistente, tomando como base as definições tradicionais para sinais senoidais. O desbalanço da carga aparece refletido na componente residual de corrente. Note que tais correntes são de sequência negativa ( ).

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 47

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i a [A]

1.97 1.98 1.99 2-20

-10

0

10

20

i z [A]

1.97 1.98 1.99 2-20

-10

0

10

20

Time [s]

i v [A]

a

a

b c

c b a

c

bc

a

b

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

ip-

[A]

1.97 1.98 1.99 2-20

-10

0

10

20

ip~

[A]

1.97 1.98 1.99 2-20

-10

0

10

20

Time [s]

iq [

A]

a

a

a

b

b

b

ab

c

c

c

c

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-50

-25

0

25

50

i a [A]

1.97 1.98 1.99 2-20

-10

0

10

20

i r [A]

1.97 1.98 1.99 2-20

-10

0

10

20

Time [s]

i v [A]

a

a

a

b

b

bc

c

c

a) FBD-decomposição b) pq-decomposição c) CPT-decomposição

Figura 28: Decomposições da corrente para o Caso I.

abc

060

120180

240300

360

0

2

4

6

8

10

F [Hz]

i z [A]

abc

060

120180

240300

360

0

2

4

6

8

10

F [Hz]

i v [A]

abc

060

120180

240300

360

0

2

4

6

8

10

F [Hz]

ip~

[A]

abc

060

120180

240300

360

0

2

4

6

8

10

F [Hz]

iq [

A]

a) FBD-decomposição b) pq-decomposição Figura 29: Espectro de alguns componentes de corrente nas decomposições FBD e pq Caso I.

6.2.4.2 Caso II – Cargas não-lineares – baixa impedância do alimentador Para o mesmo alimentador, a figura 30 mostra o circuito para o caso II, e a Tabela II

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 48

apresenta detalhes das cargas..

TABELA II – CARGAS PARA O CASO II. RL Retificador RC Retificador RL

LCC = 8mH RCC = 5Ω CCC = 8mΩ RCC = 4Ω Lac = 8mH Rac = 5Ω

Novamente, os resultados das teorias FBD e pq são equivalentes (Fig. 31):

(217)

va* vc*vb*

*

va

vb

vc

ia

ib

ic

RLa LLa

RLb LLb

RLc LLc

SOURCE

LOAD

LINE PCC

Rcc

Lcc

RccCcc

Ls

Rca

Lca

Virtual start point

Figure 30: Circuito para o Caso II – carga não-linear desbalanceada.

As componentes ativas estão em fase e com a mesma forma de onda das tensões no PAC. As demais componentes da decomposição FBD são distorcidas e desbalanceadas (Fig. 31-a). O mesmo ocorre com as componentes oscilatória da potência ativa e a componente reativa da teoria pq (Fig. 31-b).

1.97 1.98 1.99 2-100

-50

0

50

100

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i a [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i z [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

Time [s]

i v [A]

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c

c

c

1.97 1.98 1.99 2-100

-50

0

50

100

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

ip-

[A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

ip~

[A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

Time [s]

iq [

A]

a

a

a

b

b

c

c

b c

c ab

1.97 1.98 1.99 2-100

-50

0

50

100

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i a [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i r [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

Time [s]

i v [A]

a

a b

ba

b

b

c

c

c

ca

a) FBD-decomposição b) pq-decomposição c) CPT-decomposição

Figura 31: Decomposições de corrente para o caso II.

Para a CPT a decomposição também identifica a componente ativa da corrente ( ,

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 49

relacionada com o consumo de potência ativa, a corrente reativa ( ), relacionada a capacitores e indutores presentes no circuito (equivalente à susceptância média) e a corrente residual, relacionada ao desbalanceamento e não-linearidades ( ). Note que ( ) e ( ) são balanceadas e praticamente senoidais (Fig. 31-c), pois as impedâncias do alimentador são pequenas e, consequentemente, as tensões no PAC são praticamente senoidais.

(218)

6.2.4.3 Case III – Cargas não-lineares – alta impedância do alimentador Considerando o mesmo circuito da figura 30, mas alterando a impedância do alimentador

para RL = 10mΩ and LL= 2mH, que representa um baixo nível de curto-circuito, a figura 32 mostra as tensões e correntes no PAC. Note que as tensões estão desbalanceadas e distorcidas, devido à queda de tensão ao longo do alimentador.

1.97 1.98 1.99 2-200

-100

0

100

200

v [V] i [A]

Time [s]

a

a

b

b

c

c

Figura 32: Tensão e corrente no PAC para o caso III.

Das figuras 33 e 34 pode-se obter as seguintes relações:

(219) Observe que a parte média da corrente ativa de Akagi ( ) difere das correntes ativas da teoria FBD e da CPT. Isso se deve ao fato de que em caso de tensões não-senoidais ou desbalanceadas o denominador de (195) e (197) não é constante.

Outra observação e que as correntes reativas da teoria CPT são levemente distorcidas (veja figura 34), o que está condizente com a situação de distorção na tensão junto à carga. No caso II isso também ocorre, mas como a distorção é muito pequena, passa desapercebida.

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 50

1.97 1.98 1.99 2-100

-50

0

50

100

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i a [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i z [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

Time [s]

i v [A]

a

a

a

b

a b

b

b

c

c

c

c

1.97 1.98 1.99 2-100

-50

0

50

100

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

ip-

[A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

p~ [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

Time [s]

iq [

A]

a

a

a

b

bc

cb

c

a b c

1.97 1.98 1.99 2-100

-50

0

50

100

i [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i a [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

i r [A]

1.97 1.98 1.99 2-80

-40

0

40

80

Time [s]

i v [A]

a

a

a b

b

b

ba

c

c

c

c

a) FBD-decomposição b) pq-decomposição c) CPT-decomposição

Figura 33: Decomposições das correntes para o caso III.

abc

060

120180

240300

360420

480540

600

0

10

20

30

40

50

60

F [Hz]

i a[A]

abc

060

120180

240300

360420

480540

600

0

5

10

15

20

25

30

35

F [Hz]

i z[A]

abc

060

120180

240300

360420

480540

600

0

1

2

3

4

5

6

7

F [Hz]

i v[A]

abc

060

120180

240300

360420

480540

600

0

10

20

30

40

50

60

F [Hz]

ip-

[A]

abc

060

120180

240300

360420

480540

600

0

1

2

3

4

5

F [Hz]

ip~

[A]

abc

060

120180

240300

360420

480540

600

0

5

10

15

20

25

30

35

F [Hz]

iq [

A]

a b c

060

120180

240300

360420

480540

600

0

5

10

15

20

25

30

F [Hz]

i r [A]

a) FBD-decomposição b) pq-decomposição c) CPT-decomposição

Figura 34: Espectro de algumas components de corrente - Caso III

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 51

6.3 ANÁLISE SELETIVA DE COMPONENTES DE POTÊNCIA ELÉTRICA

Com base no exposto até aqui e nas discussões e contribuições apresentadas em [11,36,45,46], pode-se afirmar que dentre as diversas propostas apresentadas nos últimos anos, as mais importantes começam a dar sinais de convergência para a definição de uma abordagem unificada ou generalizada [17,30,34,39,47].

Desta forma, considerando essencialmente a abordagem da STD 1459-2000 e as considerações da FBD e CPT, esta seção apresenta uma metodologia para implementação no domínio do tempo capaz de tratar o caso geral (assimetrias e distorções) por meio da decomposição seletiva dos efeitos provocados por cada distúrbio, possibilitando assim, a identificação, a medição e a compensação seletiva dos mesmos. Tal metodologia foi proposta em [11].

Considerando-se que uma teoria generalizada deveria ser aplicável às mais diversas áreas da engenharia elétrica (projetos, compensação, instrumentação, tarifação, etc), a proposta seletiva para identificação das diversas componentes da tensão, corrente e potência foi baseada nas condições ideais de fornecimento e consumo de energia CA para um circuito elétrico, sejam elas:

• Tensões e correntes senoidais;

• Tensões com amplitudes nominais constantes;

• Tensões equilibradas e simétricas;

• Freqüência constante;

• Fator de potência unitário nas cargas.

Tal metodologia permite o cálculo das parcelas associadas com tais condições ideais, bem como o cálculo das parcelas responsáveis pela deterioração da qualidade da energia, ou seja, aquelas relacionadas com o afastamento dos sinais elétricos destas condições ideais.

A identificação de tais parcelas de forma seletiva pode permitir o projeto de compensadores seletivos de distúrbios [11,44,48], bem como a definição de grandezas e indicadores para sistemas de medição, tarifação ou para fins de normalização [9,46].

6.3.1 Decomposições Ordenadas Assumindo um sistema polifásico genérico, no qual as tensões de alimentação podem não

ser senoidais e simétricas e as cargas podem ser quaisquer (lineares ou não), a Figura 35 ilustra como, através da aplicação seqüencial de três decomposições de sinais, é possível identificar o sub-sistema que corresponderia às condições ideais de operação.

Assim, a primeira decomposição busca extrair dos sinais de tensão e corrente, as ondas senoidais fundamentais, as quais ainda podem conter assimetrias; a segunda decomposição busca identificar as componentes senoidais correspondentes à chamada seqüência positiva; e a terceira decomposição é responsável por identificar a parcela de corrente proporcional à tensão senoidal equilibrada, a qual é equivalente ao consumo de uma carga resistiva equilibrada, com alimentação senoidal.

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 52

Sistema não-senoidale desequilibrado

Sistema senoidale desequilibrado

Sistema senoidale equilibrado

1

2

3Correntesativas

Figura 35 – Processo de decomposição em subsistemas.

6.3.1.1 Identificação da fundamental – Decomposição I Uma das condições ideais na geração, transmissão, distribuição e consumo de energia é

que as tensões e correntes sejam senoidais, dada a estrutura eletromagnética baseada nas leis de Faraday, segundo as quais os sistemas elétricos de potência em CA foram propostos. Esta condição é de extrema importância para minimização de perdas, além de garantir o funcionamento adequado de equipamentos sensíveis a distorções na forma de onda dos sinais de tensão e corrente.

Esta condição vem sendo desrespeitada pelo crescente número de cargas variáveis e não-lineares de pequeno porte (eletrodomésticos, computadores, retificadores, etc.), médio porte (compressores e máquinas de solda industriais, no-breaks, conversores de freqüência, etc.) e grande porte (conversores de alta potência, fornos de arco e de indução, etc.).

Com isso, os sinais de tensão e corrente passaram a apresentar um conteúdo harmônico e inter-harmônico bastante variado, sobretudo a corrente elétrica. Daí a necessidade de separar a contribuição da componente fundamental, das distorções responsáveis pela deterioração da qualidade da energia elétrica [34].

No entanto, ao contrário da análise de Fourier, que pressupõe periodicidade para todos os componentes de uma série harmônica, esta decomposição considera apenas as ondas fundamentais como periódicas, o que é uma imposição do próprio sistema elétrico que deve operar com freqüência nominal fixa.

Assim, a idéia é decompor os vetores multi-dimensionais de tensões e correntes instantâneas ( v e i ) em parcelas denominadas fundamentais (v1 e i1), as quais são senoidais, e parcelas denominadas residuais (vres e ires), as quais representam o conteúdo harmônico, inter-harmônico e sub-harmônico dos sinais, ou seja:

1

1 1

1

a ares

res b bres

c cres

v v

v v

v v

= + = +

v v v , 1

1 1

1

a ares

res b bres

c cres

i i

i i

i i

= + = +

i i i (220)

Tal separação é tipicamente baseada em uma decomposição no domínio da freqüência. No entanto, sugere-se inicialmente a sua realização no domínio do tempo. Por outro lado, vale destacar que o termo “instantâneo” deve ser evitado, já que a dinâmica temporal desta decomposição está estritamente relacionada com a técnica de implementação (digital) adotada para sua realização, ou seja, com o algoritmo utilizado.

A utilização do termo “residual” (res) não é apenas para criar uma “nova” nomenclatura, mas sim para diferenciar do índice “h” utilizado freqüentemente para representar as componentes harmônicas do domínio da freqüência. Notar que neste caso não é necessária uma análise em

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LCEE-DSCE-FEEC-UNICAMP 53

freqüência (FFT), basta calcular a componente fundamental e pela diferença com a entrada (vide Figura 35), obtém-se o termo residual responsável por harmônicos e “inter-harmônicos” com bastante precisão. A Figura 36 indica uma forma alternativa para obtenção das parcelas residuais e fundamentais (algoritmo dual).

Desta forma, se o objetivo for quantificar as distorções de forma de onda presentes nos sinais de tensão e corrente, seja para avaliação, compensação ou tarifação, vres e ires seriam as variáveis que devem ser monitoradas ou eliminadas. É claro que neste caso não é possível saber quais e quanto de cada harmônico ou inter-harmônico está presente no sinal, visto que para isto seria necessária uma varredura completa no domínio da freqüência.

Do ponto de vista de compensação, a eliminação destas duas parcelas residuais significa a compensação de toda distorção nas formas de onda dos sinais, o que pode ser atingido usando tais parcelas como erro para o projeto do compensador escolhido.

X XresX1

-+

Identificaçãoda

Fundamental

Figura 35 – Separação em fundamental e resíduo.

X Xres X1

-+

Eliminaçãoda

Fundamental

Figura 36 – Separação em fundamental e resíduo (algoritmo dual).

6.3.1.2 Identificação da seqüência positiva – Decomposição II A obtenção dos componentes fundamentais através da Decomposição I não elimina as

assimetrias nos sinais de tensão ou corrente, quando existentes. Portanto, os sinais senoidais obtidos após a primeira decomposição podem conter desequilíbrios, sejam por problemas com as tensões de alimentação do sistema ou por desbalanços nas cargas.

Sempre com o intuito de identificar os sinais ideais para a operação do sistema elétrico, a segunda decomposição permite encontrar as tensões e correntes fundamentais balanceadas, ou seja, as componentes de seqüência positiva dos sinais fundamentais.

Em [1], foi definido um método para o cálculo destas componentes baseado numa análise fasorial (vetores complexos), no qual a seqüência positiva é obtida através da soma média dos valores eficazes dos sinais elétricos, deslocados de um operador defasador unitário que depende do número de fases do sistema elétrico em análise. Para um sistema trifásico, por exemplo, a seqüência positiva da tensão referida à fase “a”, é calculada por:

2 4. . . .3 31

( )3

j j

a a b cV V V e V e

π π+

= + + . (221)

Em [11], foi proposto o cálculo de tais componentes no domínio do tempo. Assim, assumindo um sistema trifásico qualquer, os vetores tri-dimensionais que representam as componentes temporais de seqüência positiva da tensão e da corrente fundamental, serão:

1

1

1

a

b

c

v

v

v

+

+

+

=

+

1v

1

1

1

a

b

c

i

i

i

+

+

+

=

+

1i (222)

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Destaca-se o termo “fundamental”, uma vez que todo este processo poderia, se necessário, ser aplicado a cada freqüência harmônica, ou seja, poderiam ser calculadas as componentes de seqüência para qualquer freqüência harmônica [1].

Neste ponto já se pode, por exemplo, definir um vetor auxiliar de tensões como:

1d

+= −v v v (223)

o qual pode ser denominado de tensão de distúrbio, e representa todas as distorções e assimetrias presentes no sinal de tensão. A eliminação desta parcela de tensão faz com que a tensão em um determinado PAC respeite as condições ditas ideais de fornecimento e pode ser efetuada, por exemplo, através de Restauradores Dinâmicos de Tensão (DVR) ou Filtros Ativos Série.

Tomando as componentes fundamentais da tensão e da corrente, poder-se-ia estimar os vetores das componentes de desequilíbrio ou assimetria (u do inglês, unbalanced) como:

1 1u

+= −1v v v (224)

1 1u

+= −1i i i (225)

os quais poderiam ser usados tanto para medir e monitorar o valor das assimetrias, quanto para controlá-las isoladamente de outros distúrbios (seletividade). Diversos trabalhos têm ressaltado a importância do efeito destas assimetrias no sistema elétrico, que muitas vezes podem ser mais prejudiciais do que as distorções de forma de onda [49]. O diagrama da Figura 37 ilustra o procedimento sugerido.

X1Xu1X1

+

-+

SequênciaPositiva

X Xd

-+

Figura 37 – Identificação das componentes fundamental de seqüência positiva, desbalanço e distúrbio.

6.3.1.3 Identificação da corrente ativa – Decomposição III A terceira decomposição é baseada no método dos Multiplicadores de Lagrange, o qual

vem sendo utilizado na identificação da corrente proporcional à tensão [4,11,15-17,36,40]. Considerando os vetores temporais de tensão e corrente (v e i), pode-se encontrar a menor

projeção da corrente (i) sobre a tensão (v), através do cálculo do Multiplicador de Lagrange (λ):

e

pgλ

⋅= = =

⋅ ⋅

i v

v v v v, (226)

onde o numerador e o denominador correspondem respectivamente, à potência e à norma quadrática do vetor de tensões, sendo a norma de um vetor definido por:

= ⋅v v v . (227)

Observando a equação (226) pode-se concluir que o Multiplicador de Lagrange representa um fator de proporcionalidade tal como uma condutância equivalente do sistema (λ=ge). Logo, a corrente calculada através da expressão a seguir pode ser associada à parcela resistiva da corrente (i):

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' .r eg= =i i v . (228)

Vale destacar que as expressões anteriores podem ser calculadas de forma quase-instantânea, considerando-se sistemas discretos com elevadas taxas de amostragem ou através de valores médios por período (ou períodos).

Considerações sobre o valor de ge:

É interessante observar que no caso do valor de ge ser variável no tempo, as correntes resultantes da minimização não terão a mesma forma de onda das tensões. Tal condição pode ocorrer em vários casos práticos, sendo os principais:

• sistemas com cargas não-lineares;

• cargas desbalanceadas, com tensões de alimentação equilibradas;

• cargas desbalanceadas, com tensões de alimentação desequilibradas.

Nestes casos, a potência instantânea (p) deve variar de forma não-proporcional à norma

quadrática das tensões (2

⋅v v ) e, conseqüentemente, o valor de ge não é uma constante e,

portanto, não representa um conjunto de cargas lineares e equilibradas. Este é um dos principais motivos para identificação da condutância equivalente média (Ga) e sua respectiva parcela de corrente (ia). Para isto, basta efetuar as expressões (217) e (218) utilizando os valores médios por período da fundamental (T), ou seja:

2

. . .

. . .

a a b b c c

a

a a b b c c

1 1i v i v i v

T T PG

1 1v v v v v v

T T

⋅ + +

= = =

⋅ + +

∫ ∫

∫ ∫

T T

0 0

T T

0 0

i v

Vv v

(229)

a qual representa um conjunto de resistências lineares e equilibradas. Assim:

.

aa

a a ba

ca

i

G i

i

=

i v = (230)

coincide com a corrente ativa definida por Fryze [4], expandida por Depenbrock para o caso polifásico e também usada na CPT. A forma de onda é exatamente proporcional à da tensão. Tal corrente representa a mínima corrente necessária para representar a potência ativa média (P) em uma dada instalação.

Uma vez que ia depende do valor médio da potência instantânea e do valor eficaz quadrático das tensões, sugere-se desvincular esta componente do termo instantâneo, denominando-a apenas de corrente ativa [4,30]. Vale lembrar que ia não precisa ser senoidal, apenas periódica. Como conseqüência, pode conter contribuições tanto da componente fundamental, quanto de eventuais harmônicos presentes na tensão.

O equacionamento anterior sugere, portanto, que a corrente resistiva instantânea (ir) é composta por:

r a v= +i i i (231)

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onde iv representa a corrente responsável pelas variações da potência instantânea p em torno do valor médio P e pode ser calculada pela expressão anterior ou como a seguir:

( ).v e ag G= −i v . (232)

Existem apenas dois casos em que a condutância equivalente instantânea (ge) será constante, são eles:

• Circuitos polifásicos resistivos, lineares e equilibrados ( ga = gb = gc ), no qual as tensões de alimentação podem ser quaisquer (inclusive assimétricas e não-senoidais);

• Circuitos polifásicos reativos, lineares e equilibrados, no qual as tensões de alimentação são puramente senoidais e equilibradas. Esse é um caso particular de interesse em sistemas de energia, onde cada ramo do circuito pode ser representado por uma condutância e uma susceptância em série ou paralelo, formando um circuito balanceado.

Nos sistemas elétricos atuais, tanto um caso como outro são bastante específicos e difíceis de ocorrer. Entretanto, o segundo caso representa o subsistema formado após as Decomposições I e II, ou seja, um subsistema de tensões ( 1

+v ) e correntes ( 1+i ) senoidais e equilibradas, mas

podendo estar defasadas entre si, devido ao comportamento não-resistivo das cargas. Daí o interesse e a necessidade das duas decomposições anteriores.

6.3.1.4 Condições ideais e associação das decomposições Resgatando a discussão sobre as condições ideais de operação e, considerando-se que para

a máxima transferência de energia em um sistema elétrico, seria interessante que as tensões e correntes fundamentais de seqüência positiva estivessem em fase (como em uma carga resistiva equilibrada), a terceira decomposição é então aplicada tomando como referência o vetor de tensão 1

+v . Tal vetor representa as condições ideais de alimentação das cargas CA.

Considerando que o produto escalar a seguir, define a potência polifásica devida aos componentes de seqüência positiva fundamental:

1 1 1.p+ + += v i (233)

a projeção do vetor 1+i sobre o vetor 1

+v é calculada pelo método do Multiplicador de Lagrange

de forma que o vetor instantâneo resultante

1 1 1 1 1 1 1 1 1

11 1 1 2

11 1 1 1 1 1 1 1 1 1

. . .

. .

. . .

a a b b c c

a

a a b b c c

1 1 1p i v i v i v

T T T Pi v v

1 1 1v v v v v v

T T T

+ + + + + + + + +

++ + +

++ + + + + + + + + +

⋅ + +

= = = =

⋅ ⋅ + +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

T T T

0 0 0

T T T

0 0 0

i v

Vv v v v

(234)

seja denominado de corrente fundamental ativa de seqüência positiva ( 1ai+ ), o qual representa

a corrente ideal de um sistema elétrico, sendo que:

1 1 1 1. . a

+ + + +=v i v i . (235)

Seguindo o raciocínio da metodologia seletiva de decomposição e identificação de parcelas de tensão e corrente, outras parcelas de corrente podem ser definidas após a terceira decomposição, tais como o vetor instantâneo:

1d a

+= −i i i (236)

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que define a parcela denominada corrente de distúrbio, a qual representa todas as formas de deterioração do sinal de corrente (reativos, distorções, desequilíbrios, não-linearidades, etc.).

Uma vez eliminada ou compensada a parcela di , a corrente resultante seria apenas a

corrente ideal 1a

+i . Desta forma di pode ser usada como referência de controle para dispositivos

de compensação, entretanto, deve-se ressaltar que esta corrente não pode ser completamente compensada sem a utilização de armazenadores ou fontes auxiliares de energia.

Através desta última decomposição, também é possível identificar, no domínio do tempo, a parcela de corrente convencionalmente relacionada com as cargas reativas lineares (indutores e capacitores) balanceadas:

1 11 aq

+ += −+i i i (237)

a qual embora possa ser completamente compensada eletronicamente, sem elementos armazenadores de energia, de acordo com as teorias convencionais, também pode ser compensada por elementos puramente passivos, como por exemplo, bancos de capacitores ou indutores.

Do ponto de vista de monitoração e até mesmo de tarifação em qualidade da energia, esta decomposição possibilita identificar e quantificar parcelas importantes que compõem a corrente do sistema elétrico. Aplicando seqüencialmente as três decomposições, o diagrama da Figura 30 ilustra o cálculo de algumas das parcelas sugeridas após a terceira decomposição.

V1+

idi1a+

- +

Multiplicadorde

Lagrangei1+

+

-i1q

+

i

Figura 38 – Decomposição da corrente após a terceira decomposição.

Apesar da utilização seqüencial das três decomposições, destaca-se a possibilidade de utilizar a Decomposição III em diferentes ordens, de forma a obter novas parcelas de interesse. O diagrama da Figura 39 ilustra as possibilidades.

Cada uma destas parcelas poderia ser utilizada em algoritmos de controle de compensadores eletrônicos, tais como filtros ativos, de forma que possibilitassem sua compensação ou minimização. Além disto, várias outras sub-parcelas da potência aparente podem ser calculadas através dos valores coletivos de cada parcela de tensão ou corrente provenientes da metodologia seletiva, a fim de, por exemplo, monitorar ou mesmo quantificar/taxar determinados distúrbios ou fenômenos específicos de uma instalação.

Discussão:

Como já mencionado, a metodologia de decomposição seletiva das grandezas elétricas, como proposta nas seções anteriores, segue as recomendações do IEEE através da STD 1459-2000, no entanto, todas as decomposições são propostas no domínio do tempo. Além disto, várias das sugestões de Depenbrock, Tenti, Czarnecki, Akagi, etc. foram incorporadas, o que indica a possibilidade de uma convergência das teorias estudadas com a metodologia proposta. A vantagem do método proposto é a possibilidade de separar no domínio do tempo os vários efeitos e distúrbios que afetam o sistema elétrico e desta forma permitir sua identificação e eventualmente, correção ou tarifação.

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Identificaçãoda

fundamental

Identificaçãoda sequência

positiva

Multiplicadorde Lagrange

Multiplicadorde Lagrange

Multiplicadorde Lagrange

3ºDecomposição 3ºDecomposição

+

+

+

+

+

+

+ +

-

-

-

-

-

-

-

-

-

+

3ºDecomposição1ºDecomposição 2ºDecomposição

V1+

V

i

Vres

V1

i1

ires

i1+

V1u

i1u

V

Vd

i1a+

i

id

i1q+

iz

ir i1r

i1z

Figura 39 – Metodologia de decomposição seletiva.

6.3.1.5 Metodologia Seletiva: Potência e Fator de Potência no Caso Geral Com base na proposta anterior, é de se esperar que diversas parcelas de potência possam

ser calculadas utilizando as parcelas de tensão e corrente decompostas através da metodologia seletiva e desta forma, distintas topologias de compensadores (passivos, ativos, sintonizados, fixos, variáveis) poderiam ser propostas, em função da presença dos diferentes tipos de distúrbios.

Algumas das parcelas que podem ser calculadas são, por exemplo, as potências ativa, aparente e fator de potência para o sinal de entrada (distorcido ou não), para os sinais fundamentais após a Decomposição I e para os sinais de seqüência positiva fundamental, após a Decomposição II.

Grandezas Coletivas:

Seja através de variáveis coletivas [39] ou equivalentes [34], já é praticamente consenso que o sistema polifásico deve ser interpretado não como vários sistemas monofásicos, mas sim como um todo. Desta forma, os cálculos de potência propostos utilizam o conceito de grandezas coletivas. Assim, o valor instantâneo da tensão coletiva é dado por:

nnccbbaa vvvvvvvvv ⋅+⋅+⋅+⋅=Σ . (238)

Utilizando a equação anterior, o valor eficaz coletivo pode ser expresso por:

2

0

1.

T

V v dtT

Σ Σ= ∫ , (239)

onde T é o período da fundamental. As mesmas equações são válidas para o cálculo das correntes coletivas instantâneas e

eficazes.

Cálculo das Componentes de Potência:

Na abordagem proposta, a potência instantânea (p) é calculada através do produto escalar dos vetores de tensão e corrente:

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a a b b c c n np v i v i v i v i= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ , (240)

Notar que neste caso a potência do neutro também entra no equacionamento.

A potência ativa (P) é dada pela média da potência instantânea implementada, ou seja:

0

1 T

P pT

= ∫ . (241)

De posse dos valores eficazes da tensão coletiva e corrente coletiva é possível definir a potência aparente como:

S V IΣ Σ Σ= ⋅ . (242)

Assim, define-se o Fator de Potência Equivalente ( )eFP como segue:

e

PFP

= . (243)

Após a Decomposição I e de posse das grandezas fundamentais, calcula-se a tensão e corrente coletivas fundamentais, bem como os seus respectivos valores eficazes.

1 1 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c n nv v v v v v v v vΣ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (244)

21

0

1.

T

V v dtT

Σ Σ= ∫ (245)

1 1 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c n ni i i i i i i i iΣ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (246)

21

0

1.

T

I i dtT

Σ Σ= ∫ (247)

Na seqüência, calcula-se a potência fundamental (p1) e a potência ativa fundamental (P1) como:

1 1 1 1 1 1 1 1 1a a b b c c n np v i v i v i v i= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ (248)

1 10

1 T

P pT

= ∫ . (249)

A potência aparente fundamental será calculada através do produto entre a tensão coletiva fundamental eficaz e a corrente coletiva fundamental eficaz, ou seja:

1 1 1S V IΣ Σ Σ= ⋅ . (250)

Assim, pode-se definir o Fator de Potência Equivalente Fundamental como:

11

1e

PFP

= . (251)

Seguindo a linha das decomposições, após a Decomposição II a tensão e corrente coletivas fundamentais de seqüência positiva, bem como os seus respectivos valores RMS, são dadas por:

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1 1 1 1 1 1 1a a b b c cv v v v v v v+ + + + + + +Σ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (252)

21 1

0

1.

T

V v dtT

+ +Σ Σ= ∫ (253)

1 1 1 1 1 1 1a a b b c ci i i i i i i+ + + + + + +Σ = ⋅ + ⋅ + ⋅ (254)

21 1

0

1.

T

I i dtT

+ +Σ Σ= ∫ . (255)

Novamente, os valores da potência fundamental de seqüência positiva e as potências ativa e aparente relativas a mesma, podem ser calculadas como:

1 1 1 1 1 1 1a a b b c cp v i v i v i+ + + + + + += ⋅ + ⋅ + ⋅ (256)

1 10

1 T

P pT

+ += ∫ . 1 1 1S V I+ + +Σ Σ Σ= ⋅ . (257)

Neste caso, o Fator de Potência Equivalente Fundamental de Seqüência Positiva é dado por:

11

1e

PFP

S

++

= . (258)

6.4 Discussão Geral

Não obstante os vários trabalhos e autores que defendem a necessidade de escolher um domínio ou outro (tempo e freqüência) para formular uma teoria de potências geral e eficiente para representar o sistema elétrico em qualquer situação, existe uma reciprocidade muito grande em trabalhos nos dois domínios de análise. A presença de sinais fundamentais, harmônicos e inter-harmônicos, assimetrias, correntes ativa e não-ativas, pode ser considerada em ambos os domínios, mesmo que de forma mais complexa para o domínio da freqüência. Neste caso, os sinais precisam ser decompostos por séries e transformadas matemáticas, mas muitas vezes fazendo com que a compreensão de fenômenos se torne mais direta.

Embora sabendo que uma teoria devesse ser genérica em termos de suas possíveis aplicações, já está claro que grande parte das confusões a respeito das teorias de potência está relacionada com o objetivo para qual seus autores as desenvolveram e as disponibilidades tecnológicas para sua implementação. Ou seja, enquanto as definições voltadas à tarifação e instrumentação de energia nem sempre podem ser aplicadas a objetivos como projeto de compensadores ou mesmo identificação de algumas parcelas de corrente de distúrbio; aquelas voltadas para compensação de energia, destacando as ditas teorias de potências instantâneas e suas extensões, não são interessantes para aplicações em medição, tarifação e monitoração da qualidade de energia.

Outra provável fonte de equívocos a respeito das teorias de potência é a questão da nomenclatura. Como se pôe observar na revisão das teorias mencionadas, variáveis com significados físicos ou matemáticos distintos possuem denominações similares de acordo com as diferentes propostas. Basta observar as definições das correntes ativa (real, ativa instantânea,

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ativa média) e reativa (fictícia, não-ativa, imaginária, reativa instantânea, etc.) para se ter uma idéia das variações no significado e definição matemática.

Uma definição generalizada de teoria de potências não deve conter nenhum tipo de restrição quanto às variáveis ou sistemas a analisar. Portanto, deve permitir não só o controle da qualidade da energia (compensação ativa ou passiva), mas também medição, monitoração, tarifação e identificação das diferentes parcelas da tensão, corrente e suas respectivas componentes de potências.

Assim, embora muito ainda possa ser discutido ou detalhado em função de uma abordagem unificada, acredita-se na possibilidade de formalização de uma teoria de potência, a qual poderia ser implementada tanto em aplicações de medição e tarifação, quanto compensação de energia, sejam em sistemas monofásicos ou polifásicos.

6.5 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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[8] F. Ghassemi, “New Concept in AC Power Theory”. IEE Proceedings on Generation, Transmission and Distribution, Vol.146, No. 6, pp. 414-424, 2000.

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[10] J.L. Willems, “Reflections on Apparent Power and Power Factor in Nonsinusoidal and Polyphase Situations”, IEEE Transaction On Power Delivery, Abril de 2004.

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[13] A. Emanuel, IEEE Working Group on Nonsinusoidal Situations, “A survey of north American electric utility concerns regarding nonsinusoidal waveforms, IEEE Transaction on Power Delivery Vol. 11, No. 1, pp. 73–78, 1996.

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[17] M. Depenbrock, “Quantities of a multi-terminal circuit determined on the basis of Kirchhof's laws”, Fourth International Workshop on Power Definitions and Measurements under Non-sinusoidal Conditions, pp. 29-36, Milan-Italy, 1997.

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