627990_Aula 11 - Equação de Bernoulli
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Paulo FerreiraGraça Carvalho
.2012/13
Licenciatura em Engenharia Química e Química Industrial
Fenómenos de Transferência IDinâmica de Fluidos
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Aula 11
(Equação de Bernoulli)
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Daniel Bernoulli 1700–1782
Invíscido – Sem viscosidade, i.e., sem forças de corte
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Dedução da Equação de Bernoulli:
Elemento de fluido escoando em Regime Estacionário
Forças que actuam:• Força da gravidade (peso)• Forças que resultam da pressão
sobre a superfície de contorno do elemento
Desprezam-se forças devidas a:• Viscosidade*• Efeitos eléctricos• Efeitos magnéticos• Reacções químicas• Reacções nucleares
* - A viscosidade de facto só se faz sentir, na maioria dos casos, junto aos contornos sólidos do escoamento
Balanço de forças a um elemento de fluido em escoamento na mangueira
P1 > P2
Segmento de comprimento ds
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Dedução da Equação de Bernoulli:
Escoamento em regimeEstacionário
Balanço de forças a um elemento de fluido em escoamento na mangueira
P1 > P2
Segmento de comprimento ds
Na direcção do escoamento a força da gravidade pode ser expressa por:
As forças de pressão podem ser expressas por:
Aplicando um balanço de forças ao fluido em escoame nto num segmento de comprimento ds, tendo em conta as Forças de Pressão e a Força da Gravidade resulta:
6Em estado estacionário a aceleração total reduz-se ao termo convectivo
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Dedução da Equação de Bernoulli:
+ Fp
+ Fg
Balanço de forças a um elemento de fluido em escoamento na mangueira
P1 > P2
Segmento de comprimento ds
Tendo em conta que:
A 2ª lei de Newton pode escrever-se:
(1)
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Dedução da Equação de Bernoulli:
Combinando as expressões anteriores:
Pelas regras da diferenciação:
Substituindo em (2) resulta:
(2)
Integrando ao longo de ds(assumindo fluido incompressível):
Dividindo por g:
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Hteconsg
Pz
gu ==++ tan
.2
2
ρEq. de Bernoulli
(em termos de altura)
u2 /(2.g) – Altura Cinética (m)z – Altura geométrica, Cota
(em relação a um plano horizontal de referência) (m)P/(ρ.g) – Altura de Pressão, Altura Estática (m)H – Altura total (m)
Multiplicando pelo peso do elemento de fluido (m.g), e sabendo que a sua massa m é tal que m= ρ.V, resulta:
teconsPVzgmum
tan...2
. 2
=++Eq. de Bernoulli
(em termos de energia)
m.u2 /2 – Energia cinética (J)m.g.Z – Energia potencial (J)V.P – Trabalho (ou energia de escoamento) (J)
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Hteconsg
Pz
gu ==++ tan
.2
2
ρ
teconsPVzgmum
tan...2
. 2
=++
Altura (ou energia por unidade de peso) (m)
Energia (J)
• A energia mecânica total transportada por um elemento de fluido ao longo de uma linha de corrente é constante
• A energia fornecida para o escoamento mais a energia potencial (trabalho resultante das forças exteriores, pressão P e gravidade g ) éigual à energia cinética
Multiplicando (1) pelo peso do elemento de fluido (m.g), e sabendo que a massa m é tal que m= ρ.V, resulta:
(1)
(2)
Comoz + P/(ρ.g) = Cota + Altura de Pressão = Altura piezométrica
EntãoH – Altura total = Altura piezométrica + Altura Cinética (u2/2g))
(4)
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Energia por unidade de massa (J/kg) (m 2/s2)
teconsP
zgu
tan.2
2
=++ρ
Multiplicando (1) por g ou dividindo (2) por m resulta:
TotalPteconsPzgu ==++ tan..2
. 2
ρρ
Pressão (Pa)Multiplicando (3) por ρ resulta:
(3)
ρ.u2 /2 – Pressão Cinética (Pa)ρ.g.z – Pressão Hidrostática (Pa)P – Pressão Estática (m)
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
dsdu
udtdu
a .+=
Pressupostos de validade da Equação de Bernoulli :
• Fluido invíscido (não há tensões tangenciais)
• Escoamento em regime estacionárioSenão, na Equação (1):
não se teria:
Mas sim:
adsdz
gdsdP =−− ..
1
ρ
dsdu
ua .=
• Fluido incompressível
• Escoamento ao longo de uma linha de corrente• (pode aplicar-se a 2 pontos ao longo de uma mesma linha de corrente
e não a 2 pontos em linhas de corrente diferentes)
• Não há troca de calor entre o fluido e o exterior
• Não há sistemas mecânicos a trocar energia mecânica com o fluido
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI - APLICAÇÕES
Aviões:
A asa de um avião é mais curva na parte de cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo. De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na parte de baixo, criando uma força que sustenta o avião no ar.
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI - APLICAÇÕES
Vaporizadores:
Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado paralelamente aoextremo de um tubo que está imerso em um líquido . A pressão nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo do tubo empurra o fluido para cimaO ar rápido também divide o fluido em pequenas gotas, que são
empurradas para frente.
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI - APLICAÇÕES
Chaminé:
O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma diferença de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé.