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Apostilas Aprendizado Urbano

MATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICAMATEMÁTICA

1. Teoria dos conjuntos. Conjuntos numéricos. Relações. Funções e equações polinomiais e transcendentais(exponenciais, logarítmicas e trigonométricas). 2. Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica. 3. Matrizes, determinantes e sistemas lineares. 4. Geometria plana: Áreas e perímetros. 5. Geometria espacial: áreas e volumes. 6. Números complexos.7. Estatística básica. 8. Matemática financeira. 9. Aritmética.



Teoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntosTeoria dos conjuntos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros.

b. O conjunto de todos os números naturais.

c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.

b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais.

c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.

b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê:"pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais,escrevemos:

0 N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através deduas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u}

b. N={1,2,3,4,...}

c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.



a. A={x: x é uma vogal}

b. N={x: x é um número natural}

c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos oselementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contidoem B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. Oconjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjuntovazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamostrabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado poruma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou aoconjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e aoconjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.



Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A

B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A B, B A B, A B A, A

B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B

A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) C

A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A

A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião deconjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjuntoA, fornece o próprio conjunto vazio.



A Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção deconjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

10.Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C)

A (B C) = (A B) (A C)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A enão pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntosA e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem aoconjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra cposta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos apalavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.



Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares dessesconjuntos.

(A B)c = Ac Bc

2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementaresdesses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ...Anc

3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares dessesconjuntos.

(A B)c = Ac Bc

4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementaresdesses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ...Anc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reuniãodos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

A B = { x: x A B e x A B }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=A B.

2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.

3. A diferença simétrica é comutativa.

4. A diferença simétrica é associativa.

5. A A=Ø (conjunto vazio).

6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:

A (B C) = (A B) (A C)



7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta inclusão é própria, isto é:

A B (A C) (B C)

Conjunto dos Números NaturaisSão todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula N.Caso queira representar o conjunto dos números naturais não-nulos (excluindo o zero), deve-se colocar um* ao lado do N: N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, …}N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, …}

Conjunto dos Números InteirosSão todos os números que pertencem ao conjunto dos Naturais mais os seus respectivos opostos (negativos).São representados pela letra Z:

Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …}

O conjunto dos inteiros possui alguns subconjuntos, eles são:

- Inteiros não negativosSão todos os números inteiros que não são negativos. Logo percebemos que este conjunto é igual aoconjunto dos números naturais.É representado por Z+:

Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, …}

- Inteiros não positivosSão todos os números inteiros que não são positivos. É representado por Z-:

Z- = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- Inteiros não negativos e não-nulosÉ o conjunto Z+ excluindo o zero. Representa-se esse subconjunto por Z*+:

Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}

Z*+ = N*

- Inteiros não positivos e não nulosSão todos os números do conjunto Z- excluindo o zero. Representa-se por Z*-.

Z*- = {… -4, -3, -2, -1}

Conjunto dos Números RacionaisOs números racionais é um conjunto que engloba os números inteiros (Z), números decimais finitos (porexemplo, 743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete uma sequência de algarismos daparte decimal infinitamente), como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas periódicas.Os racionais são representados pela letra Q.

Conjunto dos Números IrracionaisÉ formado pelos números decimais infinitos não-periódicos. Um bom exemplo de número irracional é onúmero PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro), que vale3,14159265 …. Atualmente, supercomputadores já conseguiram calcular bilhões de casas decimais para o



PI.Também são irracionais todas as raízes não exatas, como a raiz quadrada de 2 (1,4142135 …)

Conjunto dos Números ReaisÉ formado por todos os conjuntos citados anteriormente (união do conjunto dos racionais com osirracionais).Representado pela letra R.

Relações e Funções

A função polinomial

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R

R definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é otermo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas emestudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obterp(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termodominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x)não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).



Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos maisavançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.

2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamadomônico.

3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor doque n+1.

6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais altoaté o termo constante.

7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamenten+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos ospolinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak=bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo éque todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak= 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn

tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:



p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima,possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxnq(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn

tal que:

ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de acom o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definidoacima, possui várias propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p · q) · r = p · (q · r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que



po · p = po

qualquer que seja p em P[x].

Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que

p1 · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominadaanel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinômios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos númerosnaturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulasde números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita dezeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual taissequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma doselementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma,multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...)q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)



a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

sendo que

ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro,identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q)gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe umpolinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )

então para

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

temos que

p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:



p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. Ozero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações Algébricas e Transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finitode operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos

1. 2x²+3x+7=0

2. 3x²+7x½=2x+3

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendopotências de x:

ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...

assim, a equação

x²+7x=ex

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segundanão é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equaçãopolinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízesda nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta novaequação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.



Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.

Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes noconjunto dos números complexos, dadas por:

x1=(-b+R[b²-4ac] / 2ax2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dosnúmeros complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes noconjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obtertodas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações comgrande precisão.

Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismocapaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.

Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemáticasubjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema Fundamental da Álgebra

Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite noconjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos,admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjuntodos números reais.

Algumas identidades polinomiais

Algumas desigualdades polinomiais

Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:



1. a²+b² > 2ab

2. (a+b)/2 > R[a.b]

3. a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

A função exponencial

A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmonatural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação àidentidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem dafunção exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos osnúmeros reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0 se x é real)2. 0<exp(x)<1 se x<03. exp(x)=1 se x=04. exp(x)>1 se x>0No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se afunção logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Para uma definição mais cuidadosa, veja Logaritmos.

Exemplos:

1. Ln[exp(5)]=5

2. exp[ln(5)]=5

3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2

4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2

5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³

6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk

7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7



A Constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dosprimeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e comexpoente x, isto é:

ex = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob acurva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y).

2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0.

3. Ln[exp(x)]=x para todo x real.

4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)

5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y)

6. exp(x.k)=[exp(x)]k

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais elogaritmos:

1. exp[Ln(3)]=3.



2. Ln[exp(20x)]=20x.

3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32.

4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(ar)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite deuma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

Leis dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

1. axay=ax+y

2. ax/ay=ax-y

3. (ax) y=ax.y

4. (a b)x=axbx

5. (a/b)x=ax/bx

6. a-x=1/ax

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

Algumas Aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela,como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentaralguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperaturaambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que



a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que atemperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelospontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32)C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funçõesexponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo deaprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equaçõesbásicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle ofPopulation" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do



tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipótesesque os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação dotempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presenteem um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie depopulação.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, aforma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie depopulação do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com estaequação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camadaem volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, apopulação obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente ofereceresistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidadedisponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se numcerto instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactériashaverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século porRutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, semqualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante estatransição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a



radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No onúmero de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento,então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que sãoobtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o temponecessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

SubstânciaSubstânciaSubstânciaSubstância Meia-vida TMeia-vida TMeia-vida TMeia-vida T

Xenônio 133Xenônio 133Xenônio 133Xenônio 133 5 dias5 dias5 dias5 dias

Bário 140Bário 140Bário 140Bário 140 13 dias13 dias13 dias13 dias

Chumbo 210Chumbo 210Chumbo 210Chumbo 210 22 anos22 anos22 anos22 anos

Estrôncio 90Estrôncio 90Estrôncio 90Estrôncio 90 25 anos25 anos25 anos25 anos

Carbono 14Carbono 14Carbono 14Carbono 14 5.568 anos5.568 anos5.568 anos5.568 anos

PlutônioPlutônioPlutônioPlutônio 23.103 anos23.103 anos23.103 anos23.103 anos

Urânio 238Urânio 238Urânio 238Urânio 238 4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos4.500.000.000 anos

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano

Equações logaritmicas são quaisquer equações que tenham a incógnita (normalmente é x) dentro de umsímbolo log.

Para resolver este tipo de equação não existe um mecanismo geral, algo que dê pra dizer, aplique isso e vocêacertará.

Uma regra que deve sempre ser seguida ao terminar a resolução de uma equação logaritmica, é a seguinte:

Todas as soluções encontradas devem ser TESTADAS na equação ORIGINAL, afim de verificar ascondições de existência.As soluções que não satisfizerem as condições de existência, devem ser DESCARTADAS!

Portanto, para aprendermos a resolver equações logaritmicas, vamos dar uma olhada em algumas questõeschave de vestibulares passados.



01) O conjunto solução da equação logaritmica é:

(A) {-1; 2} (B) {-2; 1} (C) {-2} (D) {1} (E) { }

Começamos aplicando apenas a equivalência fundamental:

Agora é só aplicar a fórmula de Bhaskara.

Chegando no valor de x devemos TESTAR AS SOLUÇÕES, como dito na única regra de resolução deequações logaritmicas.

Verificação, para : , OK

para : , OK

Portanto, as duas respostas são válidas. E a alternativa correta é a letra "B"

2) O número real x que satisfaz a equação é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Aplicamos a equivalência fundamental:

Agora caímos em uma equação exponencial do tipo II. Efetuando a troca de variáveis , temos:

Aplicamos Bhaskara e chegamos em:

Agora voltamos para x utilizando novamente a troca de variáveis feita inicialmente :

Absurdo!



Aplicamos a equivalência fundamental,

Agora devemos testar esta solução na equação original do enunciado. Substituindo este valor de x naequação:

Aplicamos a 4° conseqüência da definição do logaritmo:

Aplicamos a 3° propriedade operatória , OK. É válida!

Resposta correta, letra "E".

3) A equação tem duas raízes reais. O produto dessas raízes é:

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

Esta equação já envolve um truquezinho, igual às equações exponenciais do tipo II.Começamos vendo que o 9 na equação pode virar 3².

E aplicamos a 3° propriedade operatória:

O pulo do gato vem agora. Devemos ver que os dois logaritmos envolvidos na equação acima são um oinverso do outro (1° consequência da mudança de base).

Agora devemos mudar a variável. Efetuamos a troca :

Podemos multiplicar ambos os lados por y, ou efetuar MMC, tanto faz. Chegamos em:



Aplicamos Bhaskara e chegamos em . Estes são os valores de y, o exercício quer os

valores de x. Portanto, utilizamos a troca inicial novamente:

para y=2:

para y=-1:

O produto destes dois valores (como pedido no enunciado) é . Resposta, letra "E".

4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo:

(A) [-2; -1] (B) (-1; 0] (C) (0; 1] (D) (1; 2] (E) (2; 3]

Esta equação devemos apenas trazer todos os logs para o mesmo lado da igualdade e aplicar aspropriedades operatórias:

Aplicamos a 2° propriedade operatória dos logaritmos:

Aplicamos a equivalência fundamental:

Agora testamos na equação original (do enunciado) para ver as condições de existência. Psara isso,substituímos o valor de x encontrado na equação do enunciado:

Neste momento não precisamos continuar, só o que devemos saber é que, ao substituir o valor de x, nãoencontramos nenhuma falha nas condições de existência dos logaritmos envolvidos. Portanto, a resposta

é mesmo

Este valor encontra-se entre 0 e 1. Resposta correta, letra "C".

A representação gráfica da função logarítmica deve ser gravada por todos. Várias questões de vestibular exigem este conhecimento.

A representação gráfica de um logaritmo pode ser de duas formas. Veja os gráficos abaixo mostrando as duas

formas para a função :



CRESCENTE

base b > 1

DECRESCENTE

base 0 < b < 1

Nestes gráficos devemos observar, principalmente, duas propriedades. Note que os cortes no eixo x, emambos os gráficos, ocorre no ponto 1. Isso está de acordo com a 1° Consequência da Definição de logaritmos,que diz que logaritmo de 1 em qualquer base é ZERO.

E o eixo y é uma assíntota vertical, ou seja, a curva não toca o eixo y nunca, apenas vai chegando cada vezmais perto, sem tocar.

Veja um exercício do vestibular da UFRGS sobre este tema:



(UFRGS) A representação geométrica que melhor representa o gráfico da função real de variável real x,

dada por , é

(A) (B) (C)

(D) (E)

O enunciado nos diz que o logaritmo pedido possui base igual a , ou seja, sendo um valor entre 0 e 1 só

pode ser um logaritmo decrescente.Dentre as alternativas, somente as letras A e D são decrescentes, mas somente a alternativa A corta o eixox no ponto 1.Resposta correta, letra A.

Devemos saber também que, quanto maior a base de um logaritmo, mais próximo de ambos os eixos estaráseu gráfico. Veja a figura ao lado.

(UFRGS) Na figura, a curva S representa o cunjunto solução da equação e a curva T, o conjunto

solução da equação . Tem-se



(A) a < b < 1 (B) 1 < b < a (C) 1 < a < b (D) b < a < 1 (E) b < 1 < a

Os dois gráficos representam logaritmos crescentes, ou seja, ambas as bases são maiores do que 1. Ficamosentão entre as alternativas B e C.Devemos então saber qual a relação entre a e b. Como a curva S está mais próxima dos eixos x e y do quea curva T, então sua base é maior (a > b).Portanto, resposta correta, letra B.

Se, ao invés de termos uma igualdade entre dois logaritmos, tivermos um sinal de desigualdade (<, >, ≥, ≤)devemos nos atentar a algumas propriedades. Podemos efetuar todas as operações que fazemos com igualdades.

Em qualquer inequação, quando multiplicamos ou dividimos ambos os lados por um número negativo,devemos inverter a desigualdade. Por exemplo, a inequação:

1 - x < 0 Podemos passar o 1 para o outro lado:

-x < -1Agora, devemos multiplicar a inequação por (-1). Com isso, invertemos adesigualdade

x > 1 E com isso, chegamos ao intervalo da resposta.

Essa regra é para todas inequações.

Para inequações envolvendo logaritmos seguimos alguns passos:

1° Passo Aplicamos as condições de existência em todos os logaritmos que possuírem a incógnita emalguma de suas partes.Guardamos a interesecção destes intervalos encontrados.

2° Passo Aplicamos as propriedades dos logaritmos a fim de tentar deixar apenas um logaritmo de cadalado da desigualdade. Ambos com a mesma base.

3° Passo

"Cortamos" os logs dos dois lados, atentando-se para o fato de que se:

base > 1Mantém-se adesigualdade

0 < base < 1 Inverte-se a desigualdade

E guardamos também o intervalo encontrado.

4° Passo Computar a intersecção dos intervalos encontrados nos passos 1 e 3.



Veja o exemplo abaixo:

(CAJU) Qual o intervalo solução da inequação:

1° Passo - Pegamos um por dos logaritmandos que possuam "x", e aplicamos as condições deexistência:

Equações Trigonométricas

INTRODUÇÃO

Quando encontramos função trigonométrica da incógnita ou função trigonométrica de alguma funçãoda incógnita em pelo menos um dos membros de uma equação, dizemos que esta equação é trigonométrica.

Exemplos:

1) sen x + cos x = e sen 2x = cos2 x são equações trigonométricas.

2) x + ( tg 30º) . x2 e x + sen 60º = não são equações trigonométricas.

Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento dodomínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.

Na equação sen x - sen =0, por exemplo, os números são algumas de suas raízes e os

números não o são.

O conjunto S de todas as raízes da equação é o seu conjunto solução ou conjunto verdade.

Quase todas as equações trigonométricas, quando convenientemente tratadas e transformadas, podemser reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:

sen x = sen a cos x = cos a tg x = tg a Estas são as equações trigonométricas elementares ou equações trigonométricas fundamentais.



RESOLUÇÃO DA 1ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL

Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm o mesmo seno, então eles são côngruos ou suplementares.

Logo, podemos escrever que:

sen x = sen a

O conjunto solução dessa equação será, portanto:


cos x = cos a x = a +


RESOLUÇÃO DA 3ª EQUAÇÃO FUNDAMENTAL

Ela baseia-se no fato de que, se dois arcos têm a mesma tangente, então eles são côngruos ou têmsuas extremidades simétricas em relação ao centro do ciclo trigonométrico.





Função seno

Definição

Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R®R, f(x) = sen x

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio éunitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.

Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .

Sinal da Função:

Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:

f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)

• f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Função cosseno

Definição

Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno dessenúmero: f: R® R, f(x) = cos x.



O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio éunitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.

Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .

Sinal da Função:

Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)

• f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)

Função tangente

Definição

Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎZý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.

O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero)até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero)

Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .

Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.

Sinal da Função:

Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferênciatrigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)

f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)

Função secante

Definição

Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , ondekÎ Z.

Sinal da função

Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos dafunção cosseno.

Função cossecante

Definição



Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎZ.

Sinal da função

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmosda função seno.

Função cotangente

Definição

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmosda função seno.

Anexos

A função seno

Observe que esse gráfico é razoável.

Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.



Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.

Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.

Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]

A função cosseno

Observe que esse gráfico é razoável.

Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.

Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.

Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.

Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.



A função tangente

Observe que esse gráfico é razoável. De fato:

Em primeiro lugar

ou seja, quando , 1º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.

Em segundo lugar,

ou seja, quando , 2º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.

Em terceiro lugar,



ou seja, quando, 3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.

Finalmente,

ou seja, quando , 4º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.

Função secante

Temos:

Definição: .



Logo, o domínio da função secante é .

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada

, sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.

Da figura, observamos também que, para todo , , onde k é um númerointeiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.

A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme xaumenta, y aumenta;

e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme xaumenta, y aumenta;

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conformex aumenta, y diminui;

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme xaumenta, y diminui.

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico dafunção.



A função y=sec x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada eperiódica, de período 2p

função cossecante

Temos:

Definição: .

Logo, o domínio da função cossecante é

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada

, cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.



Da figura, observamos também que, qualquer que seja , ,onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.

A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme xaumenta, y diminui;

• e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme xaumenta, y diminui;

Observemos que as retas verticais de equação , para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico dafunção.

A função y=cotg x tem como imagem o intervalo . Ela é uma função não limitada e periódica.

Análise combinatória, progressão aritmética, progressão geométrica e probabilidade básica

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentesformados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementosde Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podemser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todoo cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!



Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sípela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 gruposque não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos osagrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp.

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condiçãoque deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letrasescolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa queeste subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão noconjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjuntoPABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sípela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.



Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que nãopodem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todosos agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição queexistem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra originaltrocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos doconjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos oselementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA,AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA,ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando umacircunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)!

Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderãosentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição dasposições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos,apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABCABDC=BDCA=DCAB=CABDACBD=CBDA=BDAC=DACBACDB=CDBA=DBAC=BACDADBC=DBCA=BCAD=CADB



ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintosentre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todosos agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendoaparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que jáapareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações comrepetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD}

Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos atravésde duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outroelemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m+nformas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento podecoincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentese se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, aescolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.



Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam emambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda scontem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçarsegmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos ospontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também nsegmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos(p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p.Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento paraa cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamossupor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agoraexistem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os quesobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmoso terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Pararetirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os númerosque aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades

1111 mmmm

2222 m-1m-1m-1m-1

3333 m-2m-2m-2m-2

............ ............

pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1

No.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjosNo.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)m(m-1)(m-2)...(m-p+1)



Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seucálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE,IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra doproduto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II,IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letrasiniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismosque podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementosdistintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela dearranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

RetiradaRetiradaRetiradaRetirada Número de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidadesNúmero de possibilidades

1111 mmmm

2222 m-1m-1m-1m-1

............ ............

pppp m-p+1m-p+1m-p+1m-p+1

............ ............

m-2m-2m-2m-2 3333

m-1m-1m-1m-1 2222

mmmm 1111

No.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesNo.de permutaçõesm(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-m(m-1)(m-2)...(m-

p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada



por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificara permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um númeronatural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para istopodemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um númeroreal, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da funçãoP=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? Onúmero de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos éP(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR,MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM,OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possívelescolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com pelementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal(H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há anecessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetiçãode elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito decombinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de melementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceramem outras coleções com o mesmo número p de elementos.



Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo deelementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com osmesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir onúmero A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em umaordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementostomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o númerototal de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordemdeterminada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentosrestantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades sãoC(10-3-2,5).



O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene esteselementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação comrepetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui ataxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos decombinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (ecolocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø servepara separar os objetos em função das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØCada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe umacorrespondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondoexatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode serfeito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade deelementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605



Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamadoCoeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reaise podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteironegativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação decombinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. ComoPi=3,1415926535..., então:

A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade eEstatística.

Teorema Binomial

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p).Então:

(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1



(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1=(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k

==== (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]

====a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk]+b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]

====ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk+akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1

====ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

====ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3+[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1

k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2

k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3

k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4

... ... ... ...

kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1

kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k

E assim podemos escrever:

(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3+(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk +kkbk+1

que é o resultado desejado.

Progressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PAProgressão Aritmética, PA

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos.Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma:(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ..., an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).



Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possívelescrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anteriormultiplicado por 3.A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, édenominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um númeronatural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente. Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).

Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.

2 - Conceito de Progressão Aritmética - PA

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, sãoiguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos:A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente)B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente)C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante)D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)

3 - Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever:a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r.....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . rA expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA.Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo daProgressão Aritmética – PA.

Exemplos:



Qual o milésimo número ímpar positivo?Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimotermo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever:a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemosgeneraliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA,poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever:a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?Temos r = 5, a20 = 8.Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

4 - Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é dotipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo:PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA



Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, daaplicação da segunda propriedade acima.

Temos:Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como:Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais àsoma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que:2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo:Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

Exercícios resolvidos e propostos:

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeirotermo, para que a soma seja negativa?*a) 9b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5

SOLUÇÃO:Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an:an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5)an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5

A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então:Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:(16n – 2n2) / 10 < 0



Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo.Logo, deveremos ter:16n – 2n2 < 0

Portanto, n(16 – 2n ) < 0Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acimaseja negativo, deveremos ter:16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem.O perímetro do triângulo vale:a) 8 b) 12c) 15 *d) 24 e) 33

SOLUÇÃO:Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 03x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:x2 – 3x – 4 = 0Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos:x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são asmedidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será iguala 5+8+11 = 24.O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, oque é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamentepositivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , dezero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x.Resp: 60

SOLUÇÃO:Teremos que:0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?).1 hora o relógio baterá 1 vez2 horas o relógio baterá 2 vezes3 horas o relógio baterá 3 vezes........................................................................................................



12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência:(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a1, a razão é 1 e o último termo é 12.

Portanto, a soma dos termos desta PA será:S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zerohora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90.Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número determos é 2. Calcule a razão dessa progressão.Resp: r = -1

SOLUÇÃO:Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo.Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é:a) 64376b) 12846 c) 21286 d) 112 *e) 61376

SOLUÇÃO:Números com 3 algarismos: de 100 a 999.Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13)Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8.Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimoé igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60.Resp: 965

SOLUÇÃO:Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60



Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever:a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem:3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem:2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.

Logo, o centésimo termo será:a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

Entenderemos por progressão geométrica - PG - como qualquer seqüência de números reais ou complexos,onde cada termo a partir do segundo, é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominadarazão.

Exemplos:

(1,2,4,8,16,32, ... ) PG de razão 2(5,5,5,5,5,5,5, ... ) PG de razão 1(100,50,25, ... ) PG de razão 1/2(2,-6,18,-54,162, ...) PG de razão -3

2 - Fórmula do termo geral

Seja a PG genérica: (a1, a2, a3, a4, ... , a n, ... ) , onde a1 é o primeiro termo, e an é o n-ésimo termo, ou seja,o termo de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos escrever:a2 = a1 . qa3 = a2 . q = (a1 . q) . q = a1 . q2a4 = a3 . q = (a1 . q2) . q = a1 . q3................................................................................................

Infere-se (deduz-se) que: an = a1 . qn-1 , que é denominada fórmula do termo geral da PG.Genericamente, poderemos escrever: aj = ak . qj-k

Exemplos:

a) Dada a PG (2,4,8,... ), pede-se calcular o décimo termo.Temos: a1 = 2, q = 4/2 = 8/4 = ... = 2. Para calcular o décimo termo ou seja a10, vem pela fórmula:a10 = a1 . q9 = 2 . 29 = 2. 512 = 1024

b) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razãodesta PG?Temos a4 = 20 e a8 = 320. Logo, podemos escrever: a8 = a4 . q8-4 . Daí, vem: 320 = 20.q4 Então q4 =16 e portanto q = 2.

Nota: Uma PG genérica de 3 termos, pode ser expressa como:



(x/q, x, xq), onde q é a razão da PG.

3 - Propriedades principais

P1 - em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos imediatamente anterior e posterior.Exemplo: PG (A,B,C,D,E,F,G)Temos então: B2 = A . C ; C2 = B . D ; D2 = C . E ; E2 = D . F etc.

P2 - o produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma PG é constante.Exemplo: PG ( A,B,C,D,E,F,G)Temos então: A . G = B . F = C . E = D . D = D2

4 - Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn , vamos considerar oque segue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:Sn . q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .q .

Logo, conforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão acima como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos a n = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerarque no limite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:



Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100Ora, o primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Daí, vem: x = 100 . 1/2 = 50

6 – Exercícios resolvidos e propostos

6.1 - Se a soma dos tres primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729 , então sendo a,b e c os tres primeiros termos , pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2 .

Solução:

Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua forma genérica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que:x3 = 729 = 36 = 33 . 33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica:9 + 9q2 – 30q = 0

Dividindo por 3 e ordenando, fica:3q2 – 10q + 3 = 0, que é uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos q = 3 ou q = 1/3.

Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar apenas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.Portanto, a PG é:9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819

6.2 - Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestascondições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:A)1*B) 10 C) 100 D) -1 E) -10

Solução:

Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + (10n – 1)S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)



Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é somado n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n , que é uma PG de primeiro termo a1 = 10,razão q = 10 e último termo an = 10n . Teremos:Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) / 9Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 – 10) / 9] – n

Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) = 10

6.3 - O limite da expressão onde x é positivo, quando o número de radicais aumentaindefinidamente é igual a:A)1/x *B) x C) 2x D) n.x E) 1978x

Solução:

Observe que a expressão dada pode ser escrita como:x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primeiro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2. Logo, a soma valerá: S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

6.4 - UEFS - Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica derazão 2. Um desses ângulos mede:a) 28° b) 32° c) 36° *d) 48° e) 50°

Solução:

Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em questão. Como os ângulos estão em ProgressãoGeométrica de razão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:



( x, 2x, 4x, 8x ).Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 360º . Logo,x + 2x + 4x + 8x = 360º15.x = 360ºPortanto, x = 24º . Os ângulos do quadrilátero são, portanto: 24º, 48º, 96º e 192º.O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

PROBABILIDADE

A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é omotivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria daprobabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.

Experimento Aleatório

É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes,ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, aabordagem envolve cálculo de experimento aleatório.

Espaço Amostral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa oespaço amostral, é S.

Exemplo:

Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12elementos:

S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}

1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um númeroprimo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.

2. Idem, o evento em que:

a) A ou B ocorrem;

b) B e C ocorrem;

c) Somente B ocorre.

3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos

Resolução:

1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: A={K2, K4,K6};

Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}

Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.

2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}



(b) B e C = B Ç C = {R3,R5}

(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;

B Ç Ac Ç Cc = {K3,K5,R2}

3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A Ç C = Æ

Conceito de probabilidade

Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrerum evento A é:

Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%

Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têmprobabilidades iguais de ocorrência.

Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:

Propriedades Importantes:

1. Se A e A’ são eventos complementares, então:

P( A ) + P( A' ) = 1

2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1(probabilidade do evento certo).

Probabilidade Condicional

Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que sedeseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrênciaalterada.

Fórmula de Probabilidade Condicional

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).

Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;

P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;



P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 eE2...En-1.

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada veze sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:

A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30

B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29

Assim:

P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87

Eventos independentes

Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer umdeles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.

Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:

P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)

Exemplo:

Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo asorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?

Resolução:

Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul nasegunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora,a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30.Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.

Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A)=P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já queela foi reposta na urna.

Probabilidade de ocorrer a união de eventos

Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:

P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)

De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) eP(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).



Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:

P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)

Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 nobranco?

Considerando os eventos:

A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6

B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6

Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:

n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36

Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um8 ou um Rei?

Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:

A: sair 8 e P(A) = 4/52

B: sair um rei e P(B) = 4/52

Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e reiao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos

Matrizes

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,...}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b sãonúmeros naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa umnúmero real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabelacontendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.



a(1,1)a(1,1)a(1,1)a(1,1) a(1,2)a(1,2)a(1,2)a(1,2) ............ a(1,n)a(1,n)a(1,n)a(1,n)

a(2,1)a(2,1)a(2,1)a(2,1) a(2,2)a(2,2)a(2,2)a(2,2) ............ a(2,n)a(2,n)a(2,n)a(2,n)

............ ............ ............ ............

a(m,1)a(m,1)a(m,1)a(m,1) a(m,2)a(m,2)a(m,2)a(m,2) ............ a(m,n)a(m,n)a(m,n)a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.

2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo parordenado (i,j).

3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].

4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) ondei=j.

5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.

8. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.

9. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.

10.Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.

11.Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora dadiagonal principal.

12.Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Algunselementos da diagonal principal podem ser nulos.

Exemplos de matrizes

Matriz 4x4 de números reais:

12121212 -6-6-6-6 7777 18181818

-23-23-23-23 -24-24-24-24 0000 0000

0000 0000 5555 0000

0000 0000 0000 9999

Matriz 4x4 de números complexos:

12121212 -6+i-6+i-6+i-6+i 7777 iiii

-i-i-i-i -24-24-24-24 0000 0000

0000 0000 5+i5+i5+i5+i 5-i5-i5-i5-i



0000 0000 0000 9999

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0000 0000

0000 0000

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0000 0000

0000 0000

0000 0000

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1111 0000 0000

0000 1111 0000

0000 0000 1111

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23232323 0000 0000 0000

0000 -56-56-56-56 0000 0000

0000 0000 0000 0000

0000 0000 0000 100100100100

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondenteselementos são iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

1111 2222

3333 4444

====

x-1x-1x-1x-1 y-1y-1y-1y-1

x+yx+yx+yx+y x2x2x2x2

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)],definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)




Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

-23-23-23-23 10101010

7777 9999

++++

10101010 5555

8888 9999

====

-13-13-13-13 15151515

15151515 18181818

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem,fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entreambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como umaoutra matriz C=k.A, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)


Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

-4-4-4-4

-2-2-2-2 10101010

7777 9999

====

-8-8-8-8 -40-40-40-40

28282828 36363636

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própriamatriz A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz



nula, isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k,tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizesA e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em Smr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3),devemos:

1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;

5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim:

c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeiramatriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a11a11a11a11 a12a12a12a12 a13a13a13a13 a14a14a14a14




××××

b1b1b1b11111

b1b1b1b12222

b1b1b1b13333

b14b14b14b14

b2b2b2b21111

b2b2b2b22222

b2b2b2b23333

b24b24b24b24

b3b3b3b31111

b3b3b3b32222

b3b3b3b33333

b34b34b34b34

b4b4b4b41111

b4b4b4b42222

b4b4b4b43333

b44b44b44b44

====

c1c1c1c11111

c1c1c1c12222

c1c1c1c13333

c14c14c14c14

c2c2c2c21111

c2c2c2c22222

c2c2c2c23333

c24c24c24c24

c3c3c3c31111

c3c3c3c32222

c3c3c3c33333

c34c34c34c34

c4c4c4c41111

c4c4c4c42222

c4c4c4c43333

c44c44c44c44

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual aonúmero de linhas da segunda.



Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto quesegue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

1111 2222 3333

2222 4444 6666

3333 6666 9999

××××

1111 2222

3333 5555

7777 9999

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade

A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0,embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0000 1111

0000 0000

××××

0000 2222

0000 0000

====

0000 0000

0000 0000

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiroque A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

0000 1111

0000 0000

××××

0000 5555

0000 0000

====

0000 2222

0000 0000

××××

0000 5555

0000 0000

mas as matrizes A e B são diferentes.

Matrizes com propriedades especiais

1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:

Ak = 0

2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:

Ak+1= A



3. Uma matriz A é idempotente, se:

A2 = A

4. As matrizes A e B são comutativas, se:

A B = B A

5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:

A B = - B A

6. A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando oproduto fizer sentido.

Id A = A

7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:

A B = Id e B A = Id

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz

At = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(At)t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pelatransposta da matriz.

(kA)t = k (At)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)t = At + Bt

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordemtrocada.

(A B)t = Bt At

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = -A



Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de umamatriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:

S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A - At)

Sistemas Lineares

As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas emcontainers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do RecipienteTipo do RecipienteTipo do RecipienteTipo do Recipiente IIII IIIIIIII IIIIIIIIIIII

AAAA 4444 3333 2222

BBBB 5555 2222 3333

CCCC 2222 2222 3333

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 423 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 272 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College deCambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtoresde materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundoele, as matrizes são desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas deequações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas emtermos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde



x1, x2, ..., xn são as incógnitas;

a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos);

b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 0

2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3

3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1

4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares

1. 3 x + 3y R[x] = -4

2. x2 + y2 = 9

3. x + 2 y - 3 z w = 0

4. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igualao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 naequação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equaçõeslineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2... ... ... ...am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas;



a11, a12, ..., amn são os coeficientes;

b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2... ... ... ...am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4x + 3y = 2x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os doismembros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de Sistemas Lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação àsua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado.

b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesianoque têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -12x - y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no planocartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 1008x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo,não existem pontos que pertençam às duas retas.



x + 3y = 4x + 3y = 5

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S1S1S1S13x + 6y = 423x + 6y = 423x + 6y = 423x + 6y = 422x - 4y = 122x - 4y = 122x - 4y = 122x - 4y = 12

S2S2S2S21x + 2y = 141x + 2y = 141x + 2y = 141x + 2y = 141x - 2y =1x - 2y =1x - 2y =1x - 2y = 6666

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equaçõesde forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequênciatrabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. Osegundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhasiniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3Troca a Linha 1 com a Linha 3Troca a Linha 1 com a Linha 3Troca a Linha 1 com a Linha 3

x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2x + 2y - z = 22x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=0

4x + y - 5z = 94x + y - 5z = 94x + y - 5z = 94x + y - 5z = 9~~~~

4x + y - 5z = 94x + y - 5z = 94x + y - 5z = 94x + y - 5z = 92x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=0x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3Multiplica a Linha 1 pelo número 3Multiplica a Linha 1 pelo número 3Multiplica a Linha 1 pelo número 3

x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2x + 2y - z = 2x + 2y - z = 22x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=04x+y-5z=94x+y-5z=94x+y-5z=94x+y-5z=9

~~~~3x + 6y - 3z = 63x + 6y - 3z = 63x + 6y - 3z = 63x + 6y - 3z = 6

2x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=04x+y-5z=94x+y-5z=94x+y-5z=94x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 1A equação resultante fica na linha 1A equação resultante fica na linha 1A equação resultante fica na linha 1

3. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3Adição da Linha 2 com a Linha 3Adição da Linha 2 com a Linha 3Adição da Linha 2 com a Linha 3

x+2y-z=2x+2y-z=2x+2y-z=2x+2y-z=22x -3y + 2z = 02x -3y + 2z = 02x -3y + 2z = 02x -3y + 2z = 04x + y - 5z = 94x + y - 5z = 94x + y - 5z = 94x + y - 5z = 9

~~~~3x+6y-3z=63x+6y-3z=63x+6y-3z=63x+6y-3z=62x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=02x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 96x - 2y - 3z = 96x - 2y - 3z = 96x - 2y - 3z = 9

A equação resultante fica na linha 3A equação resultante fica na linha 3A equação resultante fica na linha 3A equação resultante fica na linha 3



Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamosmostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 202x - y - z = -15-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j.Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L1Passo 1: L1-L2->L1Passo 1: L1-L2->L1Passo 1: L1-L2->L1

3x + 1y + 1z = 203x + 1y + 1z = 203x + 1y + 1z = 203x + 1y + 1z = 202x - 1y - 1z = -152x - 1y - 1z = -152x - 1y - 1z = -152x - 1y - 1z = -15-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41

~~~~1x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 35

2x-1y-1z=-152x-1y-1z=-152x-1y-1z=-152x-1y-1z=-15-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L2Passo 2: L2-2.L1->L2Passo 2: L2-2.L1->L2Passo 2: L2-2.L1->L2

1x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 352x - 1y - 1z = -152x - 1y - 1z = -152x - 1y - 1z = -152x - 1y - 1z = -15-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41

~~~~1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -850x - 5y - 5z = -850x - 5y - 5z = -850x - 5y - 5z = -85-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41-4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L3Passo 3: L3+4.L1->L3Passo 3: L3+4.L1->L3Passo 3: L3+4.L1->L3

1x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 350x-5y-5z=-850x-5y-5z=-850x-5y-5z=-850x-5y-5z=-85

-4x + 1y - 5z = -41-4x + 1y - 5z = -41-4x + 1y - 5z = -41-4x + 1y - 5z = -41~~~~

1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x-5y-5z=-850x-5y-5z=-850x-5y-5z=-850x-5y-5z=-85

0x + 9y + 3z = 990x + 9y + 3z = 990x + 9y + 3z = 990x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3

1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x - 5y - 5z = -850x - 5y - 5z = -850x - 5y - 5z = -850x - 5y - 5z = -850x + 9y + 3z = 990x + 9y + 3z = 990x + 9y + 3z = 990x + 9y + 3z = 99

~~~~1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 3y + 1z = 330x + 3y + 1z = 330x + 3y + 1z = 330x + 3y + 1z = 33

Passo 5: L3-3.L2->L3Passo 5: L3-3.L2->L3Passo 5: L3-3.L2->L3Passo 5: L3-3.L2->L3

1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 3y + 1z = 330x + 3y + 1z = 330x + 3y + 1z = 330x + 3y + 1z = 33

~~~~1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x+1y+1z=170x+1y+1z=170x+1y+1z=170x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -180x + 0y - 2z = -180x + 0y - 2z = -180x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L3Passo 6: (-1/2)L3->L3Passo 6: (-1/2)L3->L3Passo 6: (-1/2)L3->L3

1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x+1y+1z=170x+1y+1z=170x+1y+1z=170x+1y+1z=17

~~~~1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x+1y+1z=170x+1y+1z=170x+1y+1z=170x+1y+1z=17



0x + 0y - 2z = -180x + 0y - 2z = -180x + 0y - 2z = -180x + 0y - 2z = -18 0x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 9

Passo 7: L2-L3->L2Passo 7: L2-L3->L2Passo 7: L2-L3->L2Passo 7: L2-L3->L2

1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=350x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 1y + 1z = 170x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 9

~~~~1x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=351x+2y+2z=35

0x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x+0y+1z=90x+0y+1z=90x+0y+1z=90x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1

1x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 351x + 2y + 2z = 350x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 9

~~~~1x + 0y + 0z = 11x + 0y + 0z = 11x + 0y + 0z = 11x + 0y + 0z = 1

0x+1y+0z=80x+1y+0z=80x+1y+0z=80x+1y+0z=80x+0y+1z=90x+0y+1z=90x+0y+1z=90x+0y+1z=9

Passo 9: Simplificar coeficientesPasso 9: Simplificar coeficientesPasso 9: Simplificar coeficientesPasso 9: Simplificar coeficientes

1x + 0y + 0z = 11x + 0y + 0z = 11x + 0y + 0z = 11x + 0y + 0z = 10x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 1y + 0z = 80x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 90x + 0y + 1z = 9

~~~~x = 1x = 1x = 1x = 1y = 8y = 8y = 8y = 8z = 9z = 9z = 9z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todosistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim,todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente asolução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 04x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matrizX, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2... ... ... ...an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:



Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pelaletra A.

Matriz dos coeficientesMatriz dos coeficientesMatriz dos coeficientesMatriz dos coeficientes

a11 a12 ... a1j ... a1na11 a12 ... a1j ... a1na11 a12 ... a1j ... a1na11 a12 ... a1j ... a1na21 a22 ... a2j ... a2na21 a22 ... a2j ... a2na21 a22 ... a2j ... a2na21 a22 ... a2j ... a2n

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............an1 an2 ... anj ... ann an1 an2 ... anj ... ann an1 an2 ... anj ... ann an1 an2 ... anj ... ann

Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e tambémpelos termos independentes.

Matriz AumentadaMatriz AumentadaMatriz AumentadaMatriz Aumentada

a11 a12 ... a1j ... a1n b1a11 a12 ... a1j ... a1n b1a11 a12 ... a1j ... a1n b1a11 a12 ... a1j ... a1n b1a21 a22 ... a2j ... a2n b2a21 a22 ... a2j ... a2n b2a21 a22 ... a2j ... a2n b2a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............an1 an2 ... anj ... annan1 an2 ... anj ... annan1 an2 ... anj ... annan1 an2 ... anj ... ann

bn bn bn bn

Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelostermos independentes das equações do sistema.

Matriz da incógnita xjMatriz da incógnita xjMatriz da incógnita xjMatriz da incógnita xj

a11 a12 ... b1 ... a1na11 a12 ... b1 ... a1na11 a12 ... b1 ... a1na11 a12 ... b1 ... a1na21 a22 ... b2 ... a2na21 a22 ... b2 ... a2na21 a22 ... b2 ... a2na21 a22 ... b2 ... a2n... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ............

an1 an2 ... bn ... ann an1 an2 ... bn ... ann an1 an2 ... bn ... ann an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, écomum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada dosistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

2222 3333 4444

1111 -2-2-2-2 3333

3333 1111 7777

2222 3333 4444 27272727

1111 -2-2-2-2 3333 15151515



3333 1111 7777 40404040

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada sãonulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo odeterminante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2222 3333 27272727

1111 -2-2-2-2 15151515

3333 1111 40404040

Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 naúltima linha!)

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

2222 3333 4444

1111 -2-2-2-2 3333

3333 1111 7777

2222 3333 4444 27272727

1111 -2-2-2-2 3333 15151515

3333 1111 7777 42424242

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos,então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duasprimeiras e como estas duas primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, porexemplo, de x e y em função de z.

Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 271x - 2y + 3z = 153x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2222 3333 4444

1111 -2-2-2-2 3333

3333 1111 6666

27272727

15151515

40404040



Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay eAz, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termosindependentes das três equações, temos:

Ax=Ax=Ax=Ax=

27272727 3333 4444

15151515 -2-2-2-2 3333

40404040 1111 6666

Ay=Ay=Ay=Ay=

2222 27272727 4444

1111 15151515 3333

3333 40404040 6666

Az=Az=Az=Az=

2222 3333 27272727

1111 -2-2-2-2 15151515

3333 1111 40404040

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7y = det(Ay)/det(A) = 1/7z = det(Az)/det(A) = 14/7

Geometria plana: Áreas e perímetros.

Triângulo e região triangular

No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos ospontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A regiãotriangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontosdo interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Triângulo ABCTriângulo ABCTriângulo ABCTriângulo ABC Região triangular ABCRegião triangular ABCRegião triangular ABCRegião triangular ABC

Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é umsegmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares nãosobrepostas.

O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares(estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que umaregião triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter



"buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de váriasmaneiras

Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia,é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmentode reta.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.

2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.

3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a somadas áreas das n-regiões.

Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:

a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade deconfusão entre o polígono e a região.

b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar deexpressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal emregiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. Osegmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis



quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área doretângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelonúmero de unidades da altura BC.

O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A doretângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área doquadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e aárea A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5unidades.

A = b×hA = (8u)x(5u) = 40u²No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certaunidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...

Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar aárea em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.

1. Transformando as medidas em metros

Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:

A = b×hA = (1,20m)×(2m) = 2,40m²

2. Transformando as medidas em centímetros

Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:

A = b×hA = (120cm)×(200cm) = 24000cm²

Área do Paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas deretângulos podemos obter a área do paralelogramo.



Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmentoperpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto doparalelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquerum deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um delespode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é,A=b×h. Demonstração da fórmula

Área do Triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2.Demonstração da fórmula

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, ondeR[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² paraobter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:

A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possívelobter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre oscomprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABCÁrea de ABCÁrea de ABCÁrea de ABC ==== a²a²a²a² ==== b²b²b²b² ==== c²c²c²c²



Área de RSTÁrea de RSTÁrea de RSTÁrea de RST r²r²r²r² s²s²s²s² t²t²t²t²

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da basepela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração dafórmula

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura commedida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, istoé, A=(b1+b2).h/2.

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes.Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.

Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferênciacircunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém opolígono em seu interior.

Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita(por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que estácontida no polígono.

Elementos de um polígono regular

1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.

2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.



3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono aoponto médio de um dos lados.

4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vérticesconsecutivos do polígono.

Apótema: OM,Apótema: OM,Apótema: OM,Apótema: OM,Raios: OA,OFRaios: OA,OFRaios: OA,OFRaios: OA,OF

Ângulo central: AOFÂngulo central: AOFÂngulo central: AOFÂngulo central: AOF

Apótema: OX,Apótema: OX,Apótema: OX,Apótema: OX,Raios: OR,OTRaios: OR,OTRaios: OR,OTRaios: OR,OT

Ângulo central: ROTÂngulo central: ROTÂngulo central: ROTÂngulo central: ROT

5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, oângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regularmede 360/5=72 graus.

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono den-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.

Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto damedida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

A = a × Perímetro / 2

Demonstração da fórmula

Comparando áreas entre polígonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e Ltraçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.

Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificadodiretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade sejaválida para polígonos semelhantes com n lados.

Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número detriângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro



polígono.

Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar oseguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre oscomprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABCDE...Área de ABCDE...Área de ABCDE...Área de ABCDE...

Área de A'B'C'D'E'...Área de A'B'C'D'E'...Área de A'B'C'D'E'...Área de A'B'C'D'E'...

====

s²s²s²s²

(s')²(s')²(s')²(s')²

====

t²t²t²t²

(t')²(t')²(t')²(t')²

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

1. O apótema, aproximando-se do raio do cículo como um limite.

2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite.

3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construiruma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscritanum círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regularinscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonalinscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processoatravés de limites.

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos



regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumentaindefinidamente.

Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculoquando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Relações associadas ao perímetro

1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre operímetro e o diâmetro da circunferência:

A razão entre o perímetro e o diâmetrode uma circunferência é uma constante

2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razãoentre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobrodo raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.

A1A1A1A1

A2A2A2A2

====

D1D1D1D1

D2D2D2D2

====

r1r1r1r1

r2r2r2r2

3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma

constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que é um número irracional (nãopode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitosdecimais é:

= 3,1415926536....

Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nessecaso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:

Área = r² = ¼ D²

Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 ediâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a mesma que a razão entre os quadrados deseus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

A1A1A1A1====

(D1)²(D1)²(D1)²(D1)²====

(r1)²(r1)²(r1)²(r1)²



A2A2A2A2 (D2)²(D2)²(D2)²(D2)² (r2)²(r2)²(r2)²(r2)²

Arcos

O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco ABcontendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n pequenos arcos e também n pequenossegmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.

A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dosarcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.

O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentosdestas n cordas quando n cresce indefinidamente.

Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2 radianos.Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco damesma e é dado por:

Perímetro da circunferência = 2 r

Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida doângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento doarco pode ser obtido (em radianos) por:

Comprimento do arco AB = r m/180 = r m

Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… 2 Pi rm graus ……… Comprimento de ABlogo

comprimento do arco AB = m r / 180

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… 2 Pi rm rad ……… comprimento de ABassim

Comprimento do arco AB = r m radianos



Setor circular

Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:

1. OACB é um setor circular

2. OADB é um setor circular

3. r é o raio de cada um dos setores

4. ACB é o arco do setor OACB

5. ADB é o arco do setor OADB.

6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do setor circular OACB serádada por:

Área do setor circular OACB = r² m/360 = ½ m r²

Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… Área do círculom graus ……… Área do setor OACBlogo

Área(setor OACB) = Pi r² m / 360

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… Área do círculom rad ……… Área setor OACBassim

Área(setor OACB) = ½ m r² radianos

Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem doissegmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.

Área(segmento) = Área(setor OACB) - Área(triângulo AOB)

A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ousomando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.



Curiosidades sobre o número Pi

1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem:

"Fez também o mar de fundição; era redondoe media dez côvados duma borda à outra, cincocôvados de altura e trinta de circunferência."sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e ocomprimento da circunferência.

2. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento dacircunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

3. O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferênciasomente foi introduzido no século XVIII.

4. O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento dalinha do Equador terrestre.

5. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento decomprimento Pi através de régua e compasso.

6. O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências,predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informaçõessobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.

7. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais decem mil dígitos decimais.

Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonosregulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limitede polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.

Perímetro polígono inscritoPerímetro polígono inscritoPerímetro polígono inscritoPerímetro polígono inscrito

2r2r2r2r

< < < < < < < <

Perímetro polígono circunscritoPerímetro polígono circunscritoPerímetro polígono circunscritoPerímetro polígono circunscrito

2r2r2r2r

Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Número de ladosNúmero de ladosNúmero de ladosNúmero de ladosdo polígonodo polígonodo polígonodo polígono

Perímetro do polígonoPerímetro do polígonoPerímetro do polígonoPerímetro do polígonoinscrito dividido por 2rinscrito dividido por 2rinscrito dividido por 2rinscrito dividido por 2r

Perímetro do polígonoPerímetro do polígonoPerímetro do polígonoPerímetro do polígonocircunscrito dividido por 2rcircunscrito dividido por 2rcircunscrito dividido por 2rcircunscrito dividido por 2r



6666 3,000003,000003,000003,00000 3,464113,464113,464113,46411

12121212 3,105823,105823,105823,10582 3,215403,215403,215403,21540

24242424 3,132623,132623,132623,13262 3,159673,159673,159673,15967

48484848 3,139353,139353,139353,13935 3,146093,146093,146093,14609

96969696 3,141033,141033,141033,14103 3,142723,142723,142723,14272

192192192192 3,141453,141453,141453,14145 3,141883,141883,141883,14188

256256256256 3,141513,141513,141513,14151 3,141753,141753,141753,14175

512512512512 3,141573,141573,141573,14157 3,141633,141633,141633,14163

1024102410241024 3,141593,141593,141593,14159 3,141603,141603,141603,14160

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidempara obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com umpolígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Outra forma (lenta) para obter o número Pi, é:

A forma mais rápida que conhecemos para obter Pi, é:

Geometria espacial: áreas e volumes.

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base) h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V = pi r² h

Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto



Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é aaltura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base)A(total) = A(lateral) + 2 A(base)A(total) = A(lateral) + 2 A(base)A(total) = A(lateral) + 2 A(base)A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²

A(total) = 2 pi r(h+r)A(total) = 2 pi r(h+r)A(total) = 2 pi r(h+r)A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Nestecaso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r²A(lateral) = 4 pi r²A(lateral) = 4 pi r²A(lateral) = 4 pi r²A(base) = pi r²A(base) = pi r²A(base) = pi r²A(base) = pi r²

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r²A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r²A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r²A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r²Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Exercício: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total eo seu volume.

A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm²A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida.Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico)envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livroselementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade.De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado porduas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume temmedida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um casointeressante é a esfera na reta unidimensional:

So = {x em R: x²=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera



S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }

é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ouesféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir doconhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, elepossui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara comindicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e estamedida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, comoobservaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera evolumes em um sólido esférico.

A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesmadistância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:

S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }

Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:

S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico.Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entantonão se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamentode tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera.Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve osólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode servisto como toda a fruta.



Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera édada por:

x² + y² + z² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior,isto é:

x² + y² + z² < R²

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação daesfera é dada por:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior,isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R²

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ demodo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazerpassar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisférioNorte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e ohemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0,teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medidado raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferênciaserá:

x=0, y² + z² = R2

sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existeminfinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação epor este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q)tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calotaesférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólidogeométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para osólido e sem aspas para a superfície.



A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcossejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) asextremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremosuma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma "calotaesférica" superior e uma "calota esférica" inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvidapela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra"calota esférica" com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejamparalelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmentoesférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólidoenvolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamosrealizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e e A(total) será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

ObjetoObjetoObjetoObjeto Relações e fórmulasRelações e fórmulasRelações e fórmulasRelações e fórmulas

EsferaEsferaEsferaEsferaVolume = (4/3) Pi R³Volume = (4/3) Pi R³Volume = (4/3) Pi R³Volume = (4/3) Pi R³

A(total) = 4 Pi R²A(total) = 4 Pi R²A(total) = 4 Pi R²A(total) = 4 Pi R²

Calota esféricaCalota esféricaCalota esféricaCalota esférica(altura h, raio da base r)(altura h, raio da base r)(altura h, raio da base r)(altura h, raio da base r)

R² = h (2R-h)R² = h (2R-h)R² = h (2R-h)R² = h (2R-h)A(lateral) = 2 Pi R hA(lateral) = 2 Pi R hA(lateral) = 2 Pi R hA(lateral) = 2 Pi R hA(total) = Pi h (4R-h)A(total) = Pi h (4R-h)A(total) = Pi h (4R-h)A(total) = Pi h (4R-h)

V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6

Segmento esféricoSegmento esféricoSegmento esféricoSegmento esférico(altura h, raios das bases r1>r²)(altura h, raios das bases r1>r²)(altura h, raios das bases r1>r²)(altura h, raios das bases r1>r²)

R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]²A(lateral) = 2 Pi R hA(lateral) = 2 Pi R hA(lateral) = 2 Pi R hA(lateral) = 2 Pi R h

A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²)Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós noslimitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da"calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério Sul

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por:



x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) seráindicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertenceao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:

r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)

A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de:

0<m<R, 0<t<2Pi

A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por:

ou seja

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

ou seja:

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Após alguns cálculos obtemos:

VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h nointervalo [0,R], dada por:

VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério Norte



Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está nointervalo [R,2R]

Lançaremos mão de uma propriedades de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superiorassim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativaocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura talque: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia édado por:

VC(d) = Pi d²(3R-d)/3

e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em funçãode h:

VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da regiãoesférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:

V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3

que pode ser simplificada para:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em[0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinadosólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos osólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre asarestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.



Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma facelateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide epode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da basemede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da facelateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm²A(lateral) = 4.12 = 48 cm²A(lateral) = 4.12 = 48 cm²A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e aaltura 10 cm. Calcular a área lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamoscalcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal.Calcularemos o raio r da base.Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assimr=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base etêm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970



Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, asquais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidasescoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área dabase, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura dapirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de umapirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume deperfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duasinformações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de6cm.Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida daaltura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos queA(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de umcateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pelaaltura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é ametade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] eo volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. Aseção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. Arazão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:



1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razãoentre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima doplano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversaislocalizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

V(seção)V(seção)V(seção)V(seção)Volume da seção até o vérticeVolume da seção até o vérticeVolume da seção até o vérticeVolume da seção até o vértice(volume da pirâmide menor)(volume da pirâmide menor)(volume da pirâmide menor)(volume da pirâmide menor)

V(piram)V(piram)V(piram)V(piram) Volume da pirâmide (maior)Volume da pirâmide (maior)Volume da pirâmide (maior)Volume da pirâmide (maior)

A(seção)A(seção)A(seção)A(seção)Área da seção transversalÁrea da seção transversalÁrea da seção transversalÁrea da seção transversal(base da pirâmide menor)(base da pirâmide menor)(base da pirâmide menor)(base da pirâmide menor)

A(base)A(base)A(base)A(base) Área da base da pirâmide (maior)Área da base da pirâmide (maior)Área da base da pirâmide (maior)Área da base da pirâmide (maior)

hhhhDistância do vértice à seçãoDistância do vértice à seçãoDistância do vértice à seçãoDistância do vértice à seção(altura da pirâmide menor)(altura da pirâmide menor)(altura da pirâmide menor)(altura da pirâmide menor)

HHHH Altura da pirâmide (maior)Altura da pirâmide (maior)Altura da pirâmide (maior)Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção)V(seção)V(seção)V(seção)

V(base)V(base)V(base)V(base)

= = = =

A(seção)A(seção)A(seção)A(seção)

A(piram)A(piram)A(piram)A(piram)

····

hhhh

HHHH

A(seção)A(seção)A(seção)A(seção)

A(base)A(base)A(base)A(base)

= = = =

h²h²h²h²

H²H²H²H²

Então:

V(seção)V(seção)V(seção)V(seção)

V(base)V(base)V(base)V(base)

= = = =

h³h³h³h³

H³H³H³H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do troncodesta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a



altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³V(pirMenor)/108 = 6³/9³V(pirMenor) = 32então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

Áreas e Volumes

Poliedro regularPoliedro regularPoliedro regularPoliedro regular ÁreaÁreaÁreaÁrea VolumeVolumeVolumeVolume

Tetraedro a2 R[3]a2 R[3]a2 R[3]a2 R[3] (1/12) a³ R[2](1/12) a³ R[2](1/12) a³ R[2](1/12) a³ R[2]

Hexaedro 6 a26 a26 a26 a2 a³a³a³a³

Octaedro 2 a2 R[3]2 a2 R[3]2 a2 R[3]2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2](1/3) a³ R[2](1/3) a³ R[2](1/3) a³ R[2]

Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]}3a2 R{25+10·R[5]}3a2 R{25+10·R[5]}3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])(1/4) a³ (15+7·R[5])(1/4) a³ (15+7·R[5])(1/4) a³ (15+7·R[5])

Icosaedro 5a2 R[3]5a2 R[3]5a2 R[3]5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5])(5/12) a³ (3+R[5])(5/12) a³ (3+R[5])(5/12) a³ (3+R[5])

Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Volume de um prisma

O volume de um prisma é dado por:

V(prisma) = A(base).h

Área lateral do prisma reto com base poligonal regular

A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela somadas áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a árealateral como:

A(lateral) = n A(Face Lateral)

Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono regular den lados é tomar P como o perímetro desse polígono e h como a altura do prisma.

A(lateral) = P.h

Tronco de prisma



Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos dasbases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior eabaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular ovolume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestaslaterais do tronco de prisma pela área da base.

Números Complexos

Na resolução de uma equação algébrica, um fator fundamental é o conjunto universo que representa ocontexto onde poderemos encontrar as soluções. Por exemplo, se estivermos trabalhando no conjunto dosnúmeros racionais, a equação 2x+7=0, terá uma única solução dada por x=-7/2. assim, o conjunto soluçãoserá:

S = { 7/2 }

mas, se estivermos procurando por um número inteiro como resposta, o conjunto solução será o conjuntovazio, isto é:

S = Ø = { }

De forma análoga, ao tentar obter o conjunto solução para a equação x2+1=0 sobre o conjunto dos númerosreais, obteremos como resposta o conjunto vazio, isto é:

S = Ø = { }

o que significa que não existe um número real que elevado ao quadrado seja igual a -1, mas se seguirmos odesenvolvimento da equação pelos métodos comuns, obteremos:

x = R[-1] =

onde R[-1] é a raiz quadrada do número real -1. Isto parece não ter significado prático e foi por esta razãoque este número foi chamado imaginário, mas o simples fato de substituir R[-1] pela letra i (unidadeimaginária) e realizar operações como se estes números fossem polinômios, faz com que uma série desituações tanto na Matemática como na vida, tenham sentido prático de grande utilidade e isto nos leva àteoria dos números complexos.

Definição de número complexo

Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma

z = a + b i



onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexoz e o número real b é a parte imaginária do número complexo z, denotadas por:

a = Re(z) e b = Im(z)

Exemplos de tais números são apresentados na tabela.

Número complexoNúmero complexoNúmero complexoNúmero complexo Parte realParte realParte realParte real Parte imagináriaParte imagináriaParte imagináriaParte imaginária

2 + 3 i2 + 3 i2 + 3 i2 + 3 i 2222 3333

2 - 3 i2 - 3 i2 - 3 i2 - 3 i 2222 -3-3-3-3

2222 2222 0000

3 i3 i3 i3 i 0000 3333

-3 i-3 i-3 i-3 i 0000 -3-3-3-3

0000 0000 0000

Observação: O conjunto de todos os números complexos é denotado pela letra C e o conjunto dos númerosreais pela letra R. Como todo número real x pode ser escrito como um número complexo da forma z=x+yi,onde y=0 então assumiremos que o conjunto dos números reais está contido no conjunto dos númeroscomplexos.

Elementos complexos especiais

1. Igualdade de números complexos: Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, definimos aigualdade entre z e w, escrevendo

z = w se, e somente se, a = c e b = d

Para que os números complexos z=2+yi e w=c+3i sejam iguais, deveremos ter que c=2 e y=3.

2. Oposto de um número complexo: O oposto do número complexo z=a+bi é o número complexodenotado por -z=-(a+bi), isto é:

-z = Oposto(a+bi) = (-a) + (-b)i

O oposto de z=-2+3i é o número complexo -z=2-3i.

3. Conjugado de um número complexo: O número complexo conjugado de z=a+bi é o númerocomplexo denotado por z*=a-bi, isto é:

z* = conjugado(a+bi) = a + (-b)i

O conjugado de z=2-3i é o número complexo z*=2+3i.

Operações básicas com números complexos

Dados os números complexos z=a+bi e w=c+di, podemos definir duas operações fundamentais, adição eproduto, agindo sobre eles da seguinte forma:

z+w = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)iz.w = (a+bi).(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

Observação: Tais operações lembram as operações com expressões polinomiais, pois a adição é realizada de



uma forma semelhante, isto é: (a+bx)+(c+dx)=(a+c)+(b+d)x e a multiplicação (a+bx).(c+dx), é realizadaatravés de um algoritmo que aparece na forma:

a + b xc + d x X_________________ac + bcx adx + bdx²______________________ac + (bc+ad)x + bdx²de forma que devemos substituir x2 por -1.

Exemplos:

1. Se z=2+3i e w=4-6i, então z+w=(2+3i)+(4-6i)=6-3i.

2. Se z=2+3i e w=4-6i, então z.w=(2+3i).(4-6i)=-4+0i.

Potências e curiosidade sobre a unidade imaginária

Potências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma sequência de valores muito simples para as potências de i:

PotênciaPotênciaPotênciaPotência i2i2i2i2 i3i3i3i3 i4i4i4i4 i5i5i5i5 i6i6i6i6 i7i7i7i7 i8i8i8i8 i9i9i9i9

ValorValorValorValor -1-1-1-1 -i-i-i-i 1111 iiii -1-1-1-1 -i-i-i-i 1111 iiii

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem oresultado 1, logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um restoque poderá ser 0, 1, 2 ou 3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenasconhecendo o resto da divisão do expoente por 4.

Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) = -1

Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no planocartesiano, a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outronúmero complexo w=-b+ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.

Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultadoz1 por i para obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou entãouse a inteligência para descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar quevocê é inteligente, faça um desenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.

O inverso de um número complexo

Dado o número complexo z=a+bi, não nulo (a ou b deve ser diferente de zero) definimos o inverso de zcomo o número z-1=u+iv, tal que

z . z-1 = 1



O produto de z pelo seu inverso z-1 deve ser igual a 1, isto é:

(a+bi).(u+iv) = (au-bv)+(av+bu)i = 1 = 1+0.i

o que nos leva a um sistema com duas equações e duas incógnitas:

a u - b v = 1b u + a v = 0

Este sistema pode ser resolvido pela regra de Cramér e possui uma única solução (pois a ou b são diferentesde zero), fornecendo:

u = a/(a2+b2)v = -b/(a2+b2)

assim, o inverso do número complexo z=a+bi é:

Obtenção do inverso de um número complexo: Para obter o inverso de um número complexo, por exemplo,o inverso de z=5+12i, deve-se:

1. Escrever o inverso desejado na forma de uma fração

2. Multiplicar o numerador e o denominador da fração pelo conjugado de z

3. Lembrar que i2 = -1, simplificar os números complexos pela redução dos termos semelhantes, paraobter

Diferença e divisão de números complexos

Diferença de números complexos: A diferença entre os números complexos z=a+bi e w=c+di é o númerocomplexo obtido pela soma entre z e -w, isto é: z-w=z+(-w).

Exemplo: A diferença entre os complexos z=2+3i e w=5+12i é z-w=(2+3i)+(-5-12i)=(2-5)+(3-12)i=-3-9i.

Divisão de números complexos: A divisão entre os números complexos z=a+bi e w=c+di (w não nulo) édefinida como o número complexo obtido pelo produto entre z e w-1, isto é: z/w=z.w-1.

Exemplo: Para dividir o número complexo z=2+3i por w=5+12i, basta multiplicar o numerador e odenominador da fração z/w pelo conjugado de w:

Representação geométrica de um número complexo



Um número complexo da forma z=a+bi, pode ser representado do ponto de vista geométrico no planocartesiano, como um ponto (par ordenado) tomando-se a abscissa deste ponto como a parte real do númerocomplexo a no eixo OX e a ordenada como a parte imaginária do número complexo z no eixo OY, sendoque o número complexo 0=0+0i é representado pela própria origem (0,0) do sistema.

Módulo e argumento de um número complexo

Módulo de um número complexo: No gráfico anterior observamos que existe um triângulo retângulo cujamedida da hipotenusa é a distância da origem 0 ao número complexo z, normalmente denotada pela letragrega ro nos livros, mas aqui denotada por r, o cateto horizontal tem comprimento igual à parte real a donúmero complexo e o cateto vertical corresponde à parte imaginária b do número complexo z.

Desse modo, se z=a+bi é um número complexo, então r2=a2+b2 e a medida da hipotenusa será pordefinição, o módulo do número complexo z, denotado por |z|, isto é:

Argumento de um número complexo: O ângulo ø formado entre o segmento OZ e o eixo OX, édenominado o argumento do número complexo z. Pelas definições da trigonometria circular temos as trêsrelações:

cos(ø)=a/r, sen(ø)/r, tan(ø)=b/a

Por experiência, observamos que é melhor usar o cosseno ou o seno do ângulo para definir bem oargumento, uma vez que a tangente apresenta alguns problemas.

Forma polar e sua multiplicação

Forma polar de um número complexo: Das duas primeiras relações trigonométricas apresentadasanteriormente, podemos escrever:

z = a+bi = r cos(ø) + r i sen(ø) = r (cos ø + i sen ø)

e esta última é a forma polar do número complexo z.

Multiplicação de complexos na forma polar: Consideremos os números complexos:

z = r (cos m + i sen m)w = s (cos n + i sen n)

onde, respectivamente, r e s são os módulos e m e n são os argumentos destes números complexos z e w.

Realizamos o produto entre estes números da forma usual e reescrevemos o produto na forma:

z . w = r s [cos (m+n) + i sen (m+n)]

Este fato é garantido pelas relações:

cos(m+n) = cos(m) cos(n) - sen(m) sen(n)sen(m+n) = sen(m) cos(n) + sen(n) cos(m)



Potência de um número complexo na forma polar

Seguindo o produto acima, poderemos obter a potência de ordem k de um número complexo. Como

z = r [cos(m) + i sen(m)]

então

zk = rk [cos(km) + i sen(km)]

Exemplo: Consideremos o número complexo z=1+i, cujo módulo é a raiz quadrada de 2 e o argumento é

/4 (45 graus). Para elevar este número à potência 16, basta escrever:

z16 = 28[cos(720o)+isen(720o)]=256

Raiz quarta de um número complexo

Um ponto fundamental que valoriza a existência dos números complexos é a possibilidade de extrair a raizde ordem 4 de um número complexo, mesmo que ele seja um número real negativo, o que significa,resolver uma equação algébrica do 4o. grau. Por exemplo, para extrair a raiz quarta do número -16,devemos obter as quatro raízes da equação algébrica x4+16=0.

Antes de apresentar o nosso processo para a obtenção da raiz quarta de um número complexo w,necessitamos saber o seu módulo r e o seu argumento t, o que significa poder escrever o número complexona forma polar:

w = r (cos t + i sen t)

O primeiro passo é realizar um desenho mostrando este número complexo w em um círculo de raio r eobservar o argumento t, dado pelo angulo entre o eixo OX e o número complexo w.

O passo seguinte é obter um outro número complexo z(1) cujo módulo seja a raiz quarta de r e cujoargumento seja t/4. Este número complexo é a primeira das quatro raizes complexas procuradas.

z(1) = r1/4 [cos(t/4)+isen(t/4)]

As outras raízes serão:

z(2) = i z(1)z(3) = i z(2)z(4) = i z(3)

Todas aparecem no gráfico, mas observamos que este processo para obter as quatro raízes do númerocomplexo w ficou mais fácil pois temos a propriedade geométrica que o número complexo i multiplicadopor outro número complexo, roda este último de 90 graus e outro fato interessante é que todas as quatroraízes de w estão localizadas sobre a mesma circunferência e os ângulos formados entre duas raízesconsecutivas é de 90 graus.



Se os quatro números complexos forem ligados, aparecerá um quadrado rodado de t/4 radianos em relaçãoao eixo OX.

Raiz n-ésima de um número complexo

Existe uma importantíssima relação atribuída a Euler:

ei.t = cos(t) + i sen(t)

que é verdadeira para todo argumento real e a constante e tem o valor aproximado 2,71828... Para facilitar aescrita usamos frequentemente:

exp(i t) = cos(t) + i sen(t)

Observação: A partir da relação de Euler, é possível construir uma relação notável envolvendo os maisimportantes sinais e constantes da Matemática:

Voltemos agora à exp(it). Se multiplicarmos o número eit por um número complexo z, o resultado será umoutro número complexo rodado de t radianos em relação ao número complexo z.

Por exemplo, se multiplicarmos o número complexo z por exp(i /8)=cos( /8)+i sen(

/8), obteremos um número complexo z(1) que forma com z um ângulo /8=22,5graus,no sentido anti-horário.

Iremos agora resolver a equação xn=w, onde n é um número natural e w é um número complexo dado. Damesma forma que antes, podemos escrever o número complexo w=r(cos t + i sen t) e usar a relação de Euler,para obter:

w = r eit

Para extrair a raiz n-ésima, deve-se construir a primeira raiz que é dada pelo número complexo

z(1) = r1/n eit/n

Todas as outras n-1 raízes serão obtidas pela multiplicação recursiva dada por:

z(k) = z(k-1) e2i /n

onde k varia de 2 até n.

Exemplo: Para obter a primeira raiz da equação x8=-64, observamos a posição do número complexo w=-

64+0i, constatando que o seu módulo é igual a 64 e o argumento é igual a radianos (=180 graus).



Aqui, a raiz oitava de 64 é igual a 2 e o argumento da primeira raiz é /8, então z(1) pode serescrita na forma polar:

z(1) = 2 ei /8 = 2(cos 22,5o+i sen 22,5o) = R[2](1+i)

onde R[2] é a raiz quadrada de 2. Obtemos as outras raízes pela multiplicação do número complexo abaixo,através de qualquer uma das formas:

e2i /8 = 2(cos 45o + i sen 45o) = R[2](1+i)/2=0,707(1+i)

Assim:

z(2) = z(1) R[2](1+i)/2z(3) = z(2) R[2](1+i)/2z(4) = z(3) R[2](1+i)/2z(5) = z(4) R[2](1+i)/2z(6) = z(5) R[2](1+i)/2z(7) = z(6) R[2](1+i)/2z(8) = z(7) R[2](1+i)/2

Exercício: Construa no sistema cartesiano os 8 números complexos e ligue todas as raízes consecutivas paraobter um octógono regular rodado de 22,5 graus em relação ao eixo OX. Tente comparar este método comoutros que você conhece e realize exercícios para observar como aconteceu o aprendizado.

Número complexo como matriz

Existe um estudo sobre números complexos, no qual um número complexo z=a+bi pode ser tratado comouma matriz quadrada 2x2 da forma:

e todas as propriedades dos números complexos, podem ser obtidas através de matrizes, resultando emprocessos que transformam as características geométricas dos números complexos em algo simples.

ESTATÍSTICA

É uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análisee interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A coleta, a organização ,a descrição dos dados, o cálculo e a interpretação de coeficientes pertencemà ESTATÍSTICA DESCRITIVA, enquanto a análise e a interpretação dos dados, associado a uma margem deincerteza, ficam a cargo da ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL, também chamada como a



medida da incerteza ou métodos que se fundamentam na teoria da probabilidade.

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2. ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS

FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO

1º - DEFINIÇÃO DO PROBLEMA : Saber exatamente aquilo que se pretende pesquisar é o mesmoque definir corretamente o problema.

2º - PLANEJAMENTO : Como levantar informações ? Que dados deverão ser obtidos ? Quallevantamento a ser utilizado? Censitário? Por amostragem? E o cronograma de atividades ? Os custosenvolvidos ? etc.

3º - COLETA DE DADOS: Fase operacional. É o registro sistemático de dados, com um objetivodeterminado.

Dados primários: quando são publicados pela própria pessoa ou organização que os haja recolhido. Ex:tabelas do censo demográfico do IBGE.

Dados secundários: quando são publicados por outra organização. Ex: quando determinado jornal publicaestatísticas referentes ao censo demográfico extraídas do IBGE.

OBS: É mais seguro trabalhar com fontes primárias. O uso da fonte secundária traz o grande risco de errosde transcrição.

Coleta Direta: quando é obtida diretamente da fonte. Ex: Empresa que realiza uma pesquisa parasaber a preferência dos consumidores pela sua marca.

coleta contínua: registros de nascimento, óbitos, casamentos;

coleta periódica: recenseamento demográfico, censo industrial;

coleta ocasional: registro de casos de dengue.



Coleta Indireta: É feita por deduções a partir dos elementos conseguidos pela coleta direta, poranalogia, por avaliação,indícios ou proporcionalização.

4º - APURAÇÃO DOS DADOS: Resumo dos dados através de sua contagem e agrupamento. É acondensação e tabulação de dados.

5º - APRESENTAÇÃO DOS DADOS: Há duas formas de apresentação, que não se excluemmutuamente. A apresentação tabular, ou seja é uma apresentação numérica dos dados em linhas e colunasdistribuídas de modo ordenado, segundo regras práticas fixadas pelo Conselho Nacional de Estatística. Aapresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresentação geométrica permitindo uma visãorápida e clara do fenômeno.

6º - ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS: A última fase do trabalho estatístico é a maisimportante e delicada. Está ligada essencialmente ao cálculo de medidas e coeficientes, cuja finalidadeprincipal é descrever o fenômeno (estatística descritiva).

DEFINIÇÕES BÁSICAS DA ESTATÍSTICA

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FENÔMENO ESTATÍSTICO: é qualquer evento que se pretenda analisar, cujo estudo seja possível aaplicação do método estatístico. São divididos em três grupos:

Fenômenos de massa ou coletivo: são aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação. Aestatística dedica-se ao estudo desses fenômenos. Ex: A natalidade na Grande Vitória, O preço médio dacerveja no Espírito Santo, etc.

Fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os fenômenos de massa. Ex: cada nascimento naGrande Vitória, cada preço de cerveja no Espírito Santo, etc.

Fenômenos de multidão: quando as características observadas para a massa não se verificam para oparticular.

DADO ESTATÍSTICO: é um dado numérico e é considerado a matéria-prima sobre a qual iremosaplicar os métodos estatísticos.



POPULAÇÃO: é o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.

AMOSTRA: é uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmosconclusões sobre a essa população.

PARÂMETROS: São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la. Paradefinirmos um parâmetro devemos examinar toda a população. Ex: Os alunos do 2º ano da FACEV têm emmédia 1,70 metros de estatura.

ESTIMATIVA: é um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.

ATRIBUTO: quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudosnecessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de estatística de atributo.

VARIÁVEL: É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.

VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seu valores são expressos por atributos: sexo, cor da pele,etc.

VARIÁVEL QUANTITATIVA: Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjuntodos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se portanto da estatística de variável e se dividem em :

VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA: Seus valores são expressos geralmente através de númerosinteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas deintrodução à estatística econômica no 1º semestre de 1997: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.

VARIÁVEL CONTÍNUA: Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seuspossíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente,qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com umtermômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as



temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo.

Exemplos -

. Cor dos olhos das alunas: qualitativa

. Índice de liquidez nas indústrias capixabas: quantitativa contínua

. Produção de café no Brasil: quantitativa contínua

. Número de defeitos em aparelhos de TV: quantitativa discreta

. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: quantitativa contínua

. O ponto obtido em cada jogada de um dado: quantitativa discreta

AMOSTRAGEM

MÉTODOS PROBABILÍSTICOS

Exige que cada elemento da população possua determinada probabilidade de ser selecionado.Normalmente possuem a mesma probabilidade. Assim, se N for o tamanho da população, a probabilidadede cada elemento ser selecionado será 1/N. Trata-se do método que garante cientificamente a aplicação dastécnicas estatísticas de inferências. Somente com base em amostragens probabilísticas é que se podemrealizar inferências ou induções sobre a população a partir do conhecimento da amostra.

� É uma técnica especial para recolher amostras, que garantem, tanto quanto possível, oacaso na escolha.

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AMOSTRAGEM CASUAL ou ALEATÓRIA SIMPLES

É o processo mais elementar e freqüentemente utilizado. É equivalente a um sorteio lotérico. Podeser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivoaleatório qualquer, x números dessa seqüência, os quais corresponderão aos elementos pertencentes àamostra.



Ex: Vamos obter uma amostra, de 10%, representativa para a pesquisa da estatura de 90 alunos de umaescola:

1º - numeramos os alunos de 1 a 90.

2º - escrevemos os números dos alunos, de 1 a 90, em pedaços iguais de papel, colocamos na urna e apósmistura retiramos, um a um, nove números que formarão a amostra.

OBS: quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muitotrabalhoso. Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismosde 0 a 9 são distribuídos ao acaso nas linhas e colunas.

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.AMOSTRAGEM PROPORCIONAL ESTRATIFICADA:

Quando a população se divide em estratos (sub-populações), convém que o sorteio dos elementos daamostra leve em consideração tais estratos, daí obtemos os elementos da amostra proporcional ao númerode elementos desses estratos.

Ex: Vamos obter uma amostra proporcional estratificada, de 10%, do exemplo anterior, supondo, que, dos90 alunos, 54 sejam meninos e 36 sejam meninas. São portanto dois estratos (sexo masculino e sexofeminino). Logo, temos:

SEXO POPULACÃO

10 % AMOSTRA

MASC. 54 5,4 5FEMIN. 36 3,6 4Total 90 9,0 9

Numeramos então os alunos de 01 a 90, sendo 01 a 54 meninos e 55 a 90, meninas e procedemos o sorteiocasual com urna ou tabela de números aleatórios.

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AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA:

Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir osistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc.Nestes casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por um sistema imposto pelopesquisador.



Ex: Suponhamos uma rua com 900 casas, das quais desejamos obter uma amostra formada por 50 casas parauma pesquisa de opinião. Podemos, neste caso, usar o seguinte procedimento: como 900/50 = 18,escolhemos por sorteio casual um número de 01 a 18, o qual indicaria o primeiro elemento sorteado para aamostra; os demais elementos seriam periodicamente considerados de 18 em 18. Assim, suponhamos que onúmero sorteado fosse 4 a amostra seria: 4ª casa, 22ª casa, 40ª casa, 58ª casa, 76ª casa, etc.

AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS (ou AGRUPAMENTOS)

Algumas populações não permitem, ou tornam extremamente difícil que se identifiquem seuselementos. Não obstante isso, pode ser relativamente fácil identificar alguns subgrupos da população. Emtais casos, uma amostra aleatória simples desses subgrupos (conglomerados) pode se colhida, e umacontagem completa deve ser feita para o conglomerado sorteado. Agrupamentos típicos são quarteirões,famílias, organizações, agências, edifícios etc.

Ex: Num levantamento da população de determinada cidade, podemos dispor do mapa indicando cadaquarteirão e não dispor de uma relação atualizada dos seus moradores. Pode-se, então, colher uma amostrados quarteirões e fazer a contagem completa de todos os que residem naqueles quarteirões sorteados.

MÉTODOS NÃO PROBABILÍSITCOS

São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possívelgeneralizar os resultados das pesquisas para a população, pois as amostras não-probabilísticas não garantema representatividade da população.

AMOSTRAGEM ACIDENTAL

Trata-se de uma amostra formada por aqueles elementos que vão aparecendo, que são possíveis de seobter até completar o número de elementos da amostra. Geralmente utilizada em pesquisas de opinião, emque os entrevistados são acidentalmente escolhidos.

Ex: Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas de grandes cidades;



AMOSTRAGEM INTENCIONAL

De acordo com determinado critério, é escolhido intencionalmente um grupo de elementos que irãocompor a amostra. O investigador se dirige intencionalmente a grupos de elementos dos quais deseja saber aopinião.

Ex: Numa pesquisa sobre preferência por determinado cosmético, o pesquisador se dirige a um grande salãode beleza e entrevista as pessoas que ali se encontram.

AMOSTRAGEM POR QUOTAS

Um dos métodos de amostragem mais comumente usados em levantamentos de mercado e emprévias eleitorais. Ele abrange três fases:

1ª - classificação da população em termos de propriedades que se sabe, ou presume, serem relevantes para acaracterística a ser estudada;

2ª - determinação da proporção da população para cada característica, com base na constituição conhecida,presumida ou estimada, da população;

3ª - fixação de quotas para cada entrevistador a quem tocará a responsabilidade de selecionar entrevistados,de modo que a amostra total observada ou entrevistada contenha a proporção e cada classe tal comodeterminada na 2ª fase.

Ex: Numa pesquisa sobre o "trabalho das mulheres na atualidade", provavelmente se terá interesse emconsiderar: a divisão cidade e campo, a habitação, o número de filhos, a idade dos filhos, a renda média, asfaixas etárias etc.

A primeira tarefa é descobrir as proporções (porcentagens) dessas características na população. Imagina-seque haja 47% de homens e 53% de mulheres na população. Logo, uma amostra de 50 pessoas deverá ter 23homens e 27 mulheres. Então o pesquisador receberá uma "quota" para entrevistar 27 mulheres. Aconsideração de várias categorias exigirá uma composição amostral que atenda ao n determinado e àsproporções populacionais estipuladas.

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SÉRIES ESTATÍSTICAS

TABELA: É um quadro que resume um conjunto de dados dispostos segundo linhas e colunas demaneira sistemática.

• De acordo com a Resolução 886 do IBGE, nas casas ou células da tabela devemos colocar :

� um traço horizontal ( - ) quando o valor é zero; � três pontos ( ... ) quando não temos os dados; � zero ( 0 ) quando o valor é muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada; � um ponto de interrogação ( ? ) quando temos dúvida quanto à exatidão de

determinado valor.

Obs: O lado direito e esquerdo de uma tabela oficial deve ser aberto..

SÉRIE ESTATÍSTICA: É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dadosestatísticos em função da época, do local ou da espécie.

Séries Homógradas: são aquelas em que a variável descrita apresenta variação discreta ou descontínua.Podem ser do tipo temporal, geográfica ou específica.

a) Série Temporal: Identifica-se pelo caráter variável do fator cronológico. O local e a espécie(fenômeno) são elementos fixos. Esta série também é chamada de histórica ou evolutiva.

ABC VEÍCULOS LTDA.

Vendas no 1º bimestre de 1996

PERÍODO UNIDADES VENDIDAS

JAN/96 20000



FEV/96 10000

TOTAL 30000

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b) Série Geográfica: Apresenta como elemento variável o fator geográfico. A época e o fato (espécie) sãoelementos fixos. Também é chamada de espacial, territorial ou de localização.

ABC VEÍCULOS LTDA.


FILIAIS UNIDADES VENDIDAS

São Paulo 13000

Rio de Janeiro 17000

TOTAL 30000

c) Série Específica: O caráter variável é apenas o fato ou espécie. Também é chamada de série categórica.

ABC VEÍCULOS LTDA.


MARCA UNIDADES VENDIDAS *

FIAT 18000

GM 12000

TOTAL 30000

SÉRIES CONJUGADAS: Também chamadas de tabelas de dupla entrada. São apropriadas àapresentação de duas ou mais séries de maneira conjugada, havendo duas ordens de classificação: umahorizontal e outra vertical. O exemplo abaixo é de uma série geográfica-temporal.

ABC VEÍCULOS LTDA.




FILIAIS Janeiro/96 Fevereiro/96

São Paulo 10000 3000

Rio de Janeiro 12000 5000

TOTAL 22000 8000

GRÁFICOS ESTATÍSTICOSG

São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas nunca substituir astabelas estatísticas.

Características: Uso de escalas, sistema de coordenadas, simplicidade, clareza e veracidade.

Gráficos de informação: São gráficos destinados principalmente ao público em geral, objetivandoproporcionar uma visualização rápida e clara. São gráficos tipicamente expositivos, dispensandocomentários explicativos adicionais. As legendas podem ser omitidas, desde que as informações desejadasestejam presentes.

Gráficos de análise: São gráficos que prestam-se melhor ao trabalho estatístico, fornecendo elementos úteisà fase de análise dos dados, sem deixar de ser também informativos. Os gráficos de análise freqüentementevêm acompanhados de uma tabela estatística. Inclui-se, muitas vezes um texto explicativo, chamando aatenção do leitor para os pontos principais revelados pelo gráfico.

• Uso indevido de Gráficos: Podem trazer uma idéia falsa dos dados que estão sendo analisados,chegando mesmo a confundir o leitor. Trata-se, na realidade, de um problema de construção deescalas.

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Classificação dos gráficos: Diagramas, Estereogramas, Pictogramas e Cartogramas.

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1 - Diagramas:



São gráficos geométricos dispostos em duas dimensões. São os mais usados na representação de sériesestatísticas. Eles podem ser :

1.1- Gráficos em barras horizontais.

1.2- Gráficos em barras verticais ( colunas ).

• Quando as legendas não são breves usa-se de preferência os gráficos em barras horizontais. Nessesgráficos os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporcionais aos respectivos dados.

� A ordem a ser observada é a cronológica, se a série for histórica, e a

� decrescente, se for geográfica ou categórica.

1.2- Gráficos em barras compostas.

1.4- Gráficos em colunas superpostas.

• Eles diferem dos gráficos em barras ou colunas convencionais apenas pelo fato de apresentar cadabarra ou coluna segmentada em partes componentes. Servem para representar comparativamentedois ou mais atributos.

1.5- Gráficos em linhas ou lineares.

• São freqüentemente usados para representação de séries cronológicas com um grande número deperíodos de tempo. As linhas são mais eficientes do que as colunas, quando existem intensasflutuações nas séries ou quando há necessidade de se representarem várias séries em um mesmográfico.

• Quando representamos, em um mesmo sistema de coordenadas, a variação de dois fenômenos, aparte interna da figura formada pelos gráficos desses fenômenos é denominada de área de excesso.

1.5- Gráficos em setores.

• Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar aparticipação do dado no total. O total é representado pelo círculo, que fica dividido em tantossetores quantas são as partes. Os setores são tais que suas áreas são respectivamente proporcionais aosdados da série. O gráfico em setores só deve ser empregado quando há, no máximo, sete dados.



• Obs: As séries temporais geralmente não são representadas por este tipo de gráfico.

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2 - Estereogramas:

São gráficos geométricos dispostos em três dimensões, pois representam volume. São usados nasrepresentações gráficas das tabelas de dupla entrada. Em alguns casos este tipo de gráfico fica difícil de serinterpretado dada a pequena precisão que oferecem.

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3 - Pictogramas:

São construídos a partir de figuras representativas da intensidade do fenômeno. Este tipo de gráficotem a vantagem de despertar a atenção do público leigo, pois sua forma é atraente e sugestiva. Os símbolosdevem ser auto-explicativos. A desvantagem dos pictogramas é que apenas mostram uma visão geral dofenômeno, e não de detalhes minuciosos. Veja o exemplo abaixo:

4- Cartogramas: São ilustrações relativas a cartas geográficas (mapas). O objetivo desse gráfico é o de figurar os dadosestatísticos diretamente relacionados com áreas geográficas ou políticas.

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as freqüências (repetições de seusvalores).



Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamenteorganizados. É difícil formarmos uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir dedados não ordenados.

Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41 ,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51

ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente).

Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45 ,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60

Distribuição de freqüência sem intervalos de classe: É a simples condensação dos dados conforme asrepetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência éinconveniente, já que exige muito espaço. Veja exemplo abaixo:

Dados Freqüência

41 3

42 2

43 1

44 1

45 1

46 2

50 2

51 1

52 1

54 1

57 1

58 2

60 2

Total 20

Distribuição de freqüência com intervalos de classe:Quando o tamanho da amostra é elevado, é maisracional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe.

Classes Freqüências

41 |------- 45 7

45 |------- 49 3



49 |------- 53 4

53 |------- 57 1

57 |------- 61 5

Total 20

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA (com intervalos de classe)

CLASSE: são os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classessimbolizada por k. Ex: na tabela anterior k = 5 e 49 |------- 53 é a 3ª classe, onde i = 3.

LIMITES DE CLASSE: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe ( li) e o maior número, limite superior de classe ( Li ). Ex: em 49 |------- 53,... l3 = 49 e L3 = 53. O símbolo|------- representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence aclasse 3 e sim a classe 4 representada por 53 |------- 57.

AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: é obtida através da diferença entre o limite superior einferior da classe e é simbolizada por hi = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs: Nadistribuição de freqüência c/ classe o hi será igual em todas as classes.

AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: é a diferença entre o limite superior da última classe e olimite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min). Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20.

AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo daamostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19.



Obs: AT sempre será maior que AA.

PONTO MÉDIO DE CLASSE: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. .......Ex:em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja x3=( l3 + L3 )/2.

Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe

1º - Organize os dados brutos em um ROL.

2º - Calcule a amplitude amostral AA.

� No nosso exmplo: AA = 60 - 41 = 19

3º - Calcule o número de classes através da "Regra de Sturges":

nIIIInº de classes

3 |-----| 5 3

6 |-----| 11 4

12 |-----| 22 5

23 |-----| 46 6

47 |-----| 90 7

91 |-----| 181 8

182 |-----| 362 9

Obs: Qualquer regra para determinação do nº de classes da tabela não nos levam a uma decisão final; estavai depender, na realidade de um julgamento pessoal, que deve estar ligado à natureza dos dados.

No nosso exemplo: n = 20 dados, então ,a princípio, a regra sugere a adoção de 5 classes.



4º - Decidido o nº de classes, calcule então a amplitude do intervalo de classe h > AA / i.

No nosso exemplo: AA/i = 19/5 = 3,8 . Obs: Como h > AA/i um valor ligeiramente superior para haver folgana última classe. Utilizaremos então h = 4

5º - Temos então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Podemos montar atabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 (zero).

No nosso exemplo: o menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será representada por ...... 41|------- 45. As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento.

O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe anterior.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE UMA DISTRIBUIÇÃO

Histograma, Polígono de freqüência e Polígono de freqüência acumulada

Em todos os gráficos acima utilizamos o primeiro quadrante do sistema de eixos coordenadoscartesianos ortogonais. Na linha horizontal (eixo das abscissas) colocamos os valores da variável e na linhavertical (eixo das ordenadas), as freqüências.

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Histograma: é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixohorizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe. Aárea de um histograma é proporcional à soma das freqüências simples ou absolutas.

Freqüências simples ou absoluta: são os valores que realmente representam o número de dados de cadaclasse. A soma das freqüências simples é igual ao número total dos dados da distribuição.

Freqüências relativas: são os valores das razões entre as freqüência absolutas de cada classe e afreqüência total da distribuição. A soma das freqüências relativas é igual a 1 (100 %).

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Polígono de freqüência: é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre perpendiculares aoeixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe. Para realmente obtermos umpolígono (linha fechada), devemos completar a figura, ligando os extremos da linha obtida aos pontosmédios da classe anterior à primeira e da posterior à última, da distribuição.

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Polígono de freqüência acumulada: é traçado marcando-se as freqüências acumuladas sobreperpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites superiores dosintervalos de classe.

Freqüência simples acumulada de uma classe: é o total das freqüências de todos os valores inferiores aolimite superior do intervalo de uma determinada classe.

Freqüência relativa acumulada de um classe: é a freqüência acumulada da classe, dividida pelafreqüência total da distribuição.

...CLASSE.. ......fi..... .....xi..... .....fri..... .....Fi..... ......Fri..... 50 |-------- 54 4 52 0,100 4 0,10054 |-------- 58 9 56 0,225 13 0,32558 |-------- 62 11 60 0,275 24 0,60062 |-------- 66 8 64 0,200 32 0,80066 |-------- 70 5 68 0,125 37 0,92570 |-------- 74 3 72 0,075 40 1,000Total 40 1,000

fi = freqüência simples; xi = ponto médio de classe; fri = freqüência simples acumulada;

Fi = freqüência relativa e Fri = freqüência relativa acumulada.

• Obs: uma distribuição de freqüência sem intervalos de classe é representada graficamente por umdiagrama onde cada valor da variável é representado por um segmento de reta vertical e decomprimento proporcional à respectiva freqüência.



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3. MEDIDAS DE POSIÇÃO

Introdução

São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição dadistribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência.

• As medidas de posições mais importantes são as medidas de tendência central ou promédias(verifica-se uma tendência dos dados observados a se agruparem em torno dos valores centrais).

• As medidas de tendência central mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediana. Outrospromédios menos usados são as médias: geométrica, harmônica, quadrática, cúbica e biquadrática.

• As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: a própria mediana, os decis, osquartis e os percentis.

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MÉDIA ARITMÉTICA =

É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.

......

onde xi são os valores da variável e n o número de valores.



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Dados não-agrupados: Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas defreqüências, determinamos a média aritmética simples.

Ex: Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e12 kilos, temos, para venda média diária na semana de:

.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 kilos

Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a médiaaritmética, ou seja:.

. di = Xi -

No exemplo anterior temos sete desvios:... d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 =15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e. .. d7 = 12 - 14 = - 2.

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Propriedades da média aritmética

1ª propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.

• No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0



2ª propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, amédia do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante.

• Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos:

Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 kilos ou

Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 kilos

3ª propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por umaconstante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante.

• Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos:

Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou

Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos

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Dados agrupados:

Sem intervalos de classe Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomandopara variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos porfamília:

Nº de meninos freqüência = fi



0 2

1 6

2 10

3 12

4 4

total 34

• Como as freqüências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elasfuncionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada,dada pela fórmula:

..xi. ..fi. ..xi.fi .

0 2 0

1 6 6

2 10 20

3 12 36

4 4 16

total 34 78

onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família

Com intervalos de classe Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em umdeterminado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritméticaponderada por meio da fórmula:

..

onde Xi é o ponto médio da classe.

Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.

Estaturas (cm) freqüência = fi ponto médio = xi ..xi.fi.



50 |------------ 54 4 52 208

54 |------------ 58 9 56 504

58 |------------ 62 11 60 660

62 |------------ 66 8 64 512

66 |------------ 70 5 68 340

70 |------------ 74 3 72 216

Total 40 2.440

Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo... = 61 cm

Média Geométrica = g

É a raiz n-ésima do produto de todos eles.

Média Geométrica Simples: ou .

Ex.: - Calcular a média geométrica dos seguintes conjuntos de números:E

a) { 10, 60, 360 }.: = ( 10 * 60 * 36 0) ^ (1/3) ....R: 60

b) { 2, 2, 2 }........: = (2 * 2 * 2 ^ (1/3) .. .R: 2

c) { 1, 4, 16, 64 }: = (1 * 4 * 16 * 64 ) ^(1/4) ....R: 8

.

Média Geométrica Ponderada :

ou ..

Ex - Calcular a média geométrica dos valores da tabela abaixo:



...xi... ...fi...

1 2

3 4

9 2

27 1

Total 9

= (12 * 34 * 92 * 271) (1/9)........R: 3,8296

.

MÉDIA HARMÔNICA - h

É o inverso da média aritmética dos inversos.

.

Média Harmônica Simples:. (para dados não agrupados)

.. ou

.

Média Harmônica Ponderada : (para dados agrupados em tabelas de freqüências)

..



Ex.: Calcular a média harmônica dos valores da tabela abaixo:

classes ....fi.... ....xi.... ........fi/xi........

1 |--------- 3 2 2 2/2 = 1,00

3 |--------- 5 4 4 4/4 = 1,00

5 |--------- 7 8 6 8/6 = 1,33

7 |--------- 9 4 8 4/8 = 0,50

9 |--------- 11 2 10 2/10 = 0,20

total 20 4,03

Resp: 20 / 4,03 = 4,96

OBS: A média harmônica não aceita valores iguais a zero como dados de uma série.

• A igualdade g = h.= ....só ocorrerá quando todos os valores da série forem iguais.

OBS: Quando os valores da variável não forem muito diferentes, verifica-se aproximadamente a seguinterelação:

g = ( .+ h ) /.2

• Demonstraremos a relação acima com os seguintes dados:

z = { 10,1 ; 10,1 ; 10,2 ; 10,4 ; 10,5 }

Média aritmética = 51,3 / 5 = 10,2600

Média geométrica= = 10,2587



Média harmônica = 5 / 0,4874508 = 10,2574

Comprovando a relação: 10,2600 + 10,2574 / 2 = 10,2587 = média geométrica

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MODA - Mo

É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

• Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o saláriorecebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.

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A Moda quando os dados não estão agrupados

• A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais serepete.

Ex: Na série { 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 } a moda é igual a 10.

• Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes queoutros.

Ex: { 3 , 5 , 8 , 10 , 12 } não apresenta moda. A série é amodal.

• .Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série temdois ou mais valores modais.

Ex: { 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 } apresenta duas modas: 4 e 7. A série é bimodal.

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A Moda quando os dados estão agrupados

a) Sem intervalos de classe: Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda:basta fixar o valor da variável de maior freqüência.

Ex: Qual a temperatura mais comum medida no mês abaixo:

Temperaturas Freqüência

0º C 3

1º C 9

2º C 12

3º C 6

Resp: 2º C é a temperatura modal, pois é a de maior freqüência.

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b) Com intervalos de classe: A classe que apresenta a maior freqüência é denominada classe modal. Peladefinição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre oslimites da classe modal. O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio daclasse modal. Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Mo = ( l* + L* ) / 2

onde l* = limite inferior da classe modal e L* = limite superior da classe modal.

Ex: Calcule a estatura modal conforme a tabela abaixo.

Classes (em cm) Freqüência

54 |------------ 58 9

58 |------------ 62 11

62 |------------ 66 8

66 |------------ 70 5



Resposta: a classe modal é 58|-------- 62, pois é a de maior freqüência. l* = 58 e L* = 62

Mo = (58+62) / 2 = 60 cm ( este valor é estimado, pois não conhecemos o valor real da moda).

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Método mais elaborado pela fórmula de CZUBER: Mo = l* + (d1/(d1+d2)) x h*

l* = limite inferior da classe modal..... e..... L* = limite superior da classe modal

d1 = freqüência da classe modal - freqüência da classe anterior à da classe modal

d2 = freqüência da classe modal - freqüência da classe posterior à da classe modal

h* = amplitude da classe modal

Mo = 58 + ((11-9) / ((11-9) + (11 – 8)) x 4 Mo = 59,6

Obs: A moda é utilizada quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição ou quandoa medida de posição deva ser o valor mais típico da distribuição. Já a média aritmética é a medida de posiçãoque possui a maior estabilidade.

MEDIANA - Md

A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é ovalor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.

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A mediana em dados não-agrupados

Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }



De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente oudecrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }

O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9.

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Método prático para o cálculo da Mediana:

Se a série dada tiver número ímpar de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pelafórmula :

.( n + 1 ) / 2

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }

n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana

A mediana será o 5º elemento = 2

.

Se a série dada tiver número par de termos: O valor mediano será o termo de ordem dado pelafórmula :....

.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2

Obs: n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.

Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }

1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }



n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2

[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2

5º termo = 2

6º termo = 3

A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6ºtermos da série.

Notas:

• Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana comum dos elementos da série.

• Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da medianacom um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centraisda série.

• Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor.

• A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma dadiferenças marcantes entre mediana e média ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valoresextremos). Vejamos:

Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10

Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10

• isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dosvalores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.

A mediana em dados agrupados

a) Sem intervalos de classe: Neste caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamentesuperior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a talfreqüência acumulada.

Ex.: conforme tabela abaixo:



Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada

0 2 2

1 6 8

2 9 17

3 13 30

4 5 35

total 35

• Quando o somatório das freqüências for ímpar o valor mediano será o termo de ordem dado pelafórmula :

.

• Como o somatório das freqüências = 35 a fórmula ficará: ( 35+1 ) / 2 = 18º termo = 3..

• Quando o somatório das freqüências for par o valor mediano será o termo de ordem dado pelafórmula:

Ex: Calcule Mediana da tabela abaixo:

Variável xi Freqüência fi Freqüência acumulada

12 1 1

14 2 3

15 1 4

16 2 6

17 1 7



20 1 8

total 8

• Aplicando fórmula acima teremos:[(8/2)+ (8/2+1)]/2 = (4º termo + 5º termo) / 2 = (15 + 16) / 2 = 15,5

b) Com intervalos de classe: Devemos seguir os seguintes passos:

1º) Determinamos as freqüências acumuladas ;

2º) Calculamos ;

3º) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente superior à . Talclasse será a classe mediana ;

4º) Calculamos a Mediana pela seguinte fórmula:. M Md = l* + [( - FAA ) x h*] / f*

l* = é o limite inferior da classe mediana.

FAA = é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana.

f* = é a freqüência simples da classe mediana.

h* = é a amplitude do intervalo da classe mediana.

Ex:

classes freqüência = fi Freqüência acumulada

50 |------------ 54 4 4

54 |------------ 58 9 13

58 |------------ 62 11 24

62 |------------ 66 8 32

66 |------------ 70 5 37

70 |------------ 74 3 40

total 40



= 40 / 2 =.20........... logo.a classe mediana será 58 |---------- 62

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54

OBS: Esta mediana é estimada, pois não temos os 40 valores da distribuição.

Emprego da Mediana

• Quando desejamos obter o ponto que divide a distribuição em duas partes iguais. • Quando há valores extremos que afetam de maneira acentuada a média aritmética. • Quando a variável em estudo é salário.

SEPARATRIZES

Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não sãomedidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de separar asérie em duas partes que apresentam o mesmo número de valores.

Essas medidas - os quartis, os decis e os percentis - são, juntamente com a mediana, conhecidas pelo nomegenérico de separatrizes.

.

QUARTIS - Q

Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. Precisamosportanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3) para dividir a série em quatro partes iguais.

Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual a mediana da série.



Quartis em dados não agrupados

O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis. Na realidadeserão calculadas " 3 medianas " em uma mesma série.

Ex 1: Calcule os quartis da série: { 5, 2, 6, 9, 10, 13, 15 }

- O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13,15 }

- O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2 = 9

- Temos agora {2, 5, 6 } e {10, 13, 15 } como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pelamediana ( quartil 2 ). Para o cálculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguaisprovenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2).

Logo em { 2, 5, 6 } a mediana é = 5 . Ou seja: será o quartil 1 = Q1 = 5

em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3 = Q = 13

Ex 2: Calcule os quartis da série: { 1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13 }

- A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = Md = (5+6)/2 = 5,5

-

- O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de Md : { 1, 1, 2, 3, 5, 5 }

Q1 = (2+3)/2 = 2,5



- O quartil 3 será a mediana da série à direita de Md : {6, 7, 9, 9, 10, 13 }

Q3 = (9+9)/2 = 9

Quartis para dados agrupados em classes

Usamos a mesma técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana,

E fi / 2.... por ... k . E fi / 4 ... sendo k o número de ordem do quartil.

Assim, temos:

Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Ex 3 - Calcule os quartis da tabela abaixo:

classes freqüência = fi Freqüência acumulada

50 |------------ 54 4 4

54 |------------ 58 9 13

58 |------------ 62 11 24

62 |------------ 66 8 32

66 |------------ 70 5 37

70 |------------ 74 3 40

total 40



- O quartil 2 = Md , logo:

= 40 / 2 =.20........... logo.a classe mediana será 58 |---------- 62

l* = 58........... FAA = 13........... f* = 11........... h* = 4

Q2 = . l* + [(2.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

- Substituindo esses valores na fórmula, obtemos:

Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 = 60,54 = Q2

- O quartil 1 : E fi / 4 = 10

Q1 = . l* + [(E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q1 = 54 + [ (10 - 4) x 4] / 9 = 54 + 2,66 = 56,66 = Q1

.

- O quartil 3 : 3.E fi / 4 = 30

Q3 = . l* + [(3.E fi / 4 - FAA ) x h*] / f*

Q3 = 62 + [ (30 -24) x 4] / 8 = 62 + 3 = 65 = Q3

DECIS - D



A definição dos decis obedece ao mesmo princípio dos quartis, com a modificação da porcentagemde valores que ficam aquém e além do decil que se pretende calcular. A fórmula básica será : k .E fi / 10onde k é o número de ordem do decil a ser calculado. Indicamos os decis : D1, D2, ... , D9. Deste modoprecisamos de 9 decis para dividirmos uma série em 10 partes iguais.

• De especial interesse é o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo,oquinto decil é igual ao segundo quartil, que por sua vez é igual à mediana.

Para D5 temos : 5.E fi / 10 = E fi / 2

Ex: Calcule o 3º decil da tabela anterior com classes.

k= 3 onde 3 .E fi / 10 = 3 x 40 / 10 = 12.

Este resultado corresponde a 2ª classe.

D3 = 54 + [ (12 - 4) x 4] / 9 = 54 + 3,55 = 57,55 = D3

PERCENTIL ou CENTIL

Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma série em100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99. É evidente que P50 = Md ; P25 = Q1 e P75 = Q3.

• O cálculo de um centil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém a fórmula será : k .E fi/ 100 onde k é o número de ordem do centil a ser calculado.



Dispersão ou Variabilidade: É a maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de umvalor de tendência central ( média ou mediana ) tomado como ponto de comparação.

• A média - ainda que considerada como um número que tem a faculdade de representar uma série devalores - não pode, por si mesma, destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existeentre os valores que compõem o conjunto.

• Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis X, Y e Z:

X = { 70, 70, 70, 70, 70 }

Y = { 68, 69, 70 ,71 ,72 }

Z = { 5, 15, 50, 120, 160 }

- Observamos então que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética = 350/5 = 70

• Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que todos osvalores são iguais à média. O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois hámenor diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa.

• Concluímos então que o conjunto X apresenta dispersão nula e que o conjunto Y apresenta umadispersão menor que o conjunto Z.

MEDIDAS DE DISPERSÃO ABSOLUTA

Amplitude total: É a única medida de dispersão que não tem na média o ponto de referência.

• Quando os dados não estão agrupados a amplitude total é a diferença entrE o maior e o menor valorobservado:



AT = X máximo - X mínimo.

Ex: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 a amplitude total será: AT = 70 - 40 = 30

Quando os dados estão agrupados sem intervalos de classe ainda temos :

AT = X máximo - X mínimo.

Ex:

xi fi

0 2

1 6

3 5

4 3

� AT = 4 - 0 = 4

* Com intervalos de classe a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última classe e o limiteinferior da primeira classe. Então:

AT = L máximo - l mínimo

Ex:

Classes fi

4 |------------- 6 6

6 |------------- 8 2

8 |------------- 10 3

� AT = 10 - 4 = 6

• A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série,descuidando do conjunto de valores intermediários. Faz-se uso da amplitude total quando se quer



determinar a amplitude da temperatura em um dia, no controle de qualidade ou como uma medidade cálculo rápido sem muita exatidão.

Desvio quartil: Também chamado de amplitude semi-interquatílica e é baseada nos quartis.

Símbolo: Dq e a Fórmula: Dq = (Q3 - Q1) / 2

Observações:

1 - O desvio quartil apresenta como vantagem o fato de ser uma medida fácil de calcular e deinterpretar. Além do mais, não é afetado pelos valores extremos, grandes ou pequenos, sendo recomendado,por conseguinte, quando entre os dados figurem valores extremos que não se consideram representativos.

2- O desvio quartil deverá ser usado preferencialmente quando a medida de tendência central for amediana.

3- Trata-se de uma medida insensível ã distribuição dos itens menores que Q1, entre Q1 e Q3 e maioresque Q3.

Ex: Para os valores 40, 45, 48, 62 e 70 o desvio quartil será:

Q1 = (45+40)/2 = 42,5 Q3 = (70+62)/2 = 66 Dq = (66 - 42,5) / 2 = 11,75

Desvio médio absoluto - Dm

Para dados brutos: É a média aritmética dos valores absolutos dos desvios tomados em relação a uma dasseguintes medidas de tendência central: média ou mediana.



• para a Média = Dm = E | Xi - | / n

• para a Mediana = Dm = E | Xi - Md | / n

• As barras verticais indicam que são tomados os valores absolutos, prescindindo do sinal dos desvios.

Ex: Calcular o desvio médio do conjunto de números { - 4 , - 3 , - 2 , 3 , 5 }

= - 0, 2 e Md = - 2

Tabela auxiliar para cálculo do desvio médio

Xi Xi - | Xi - | Xi - Md | Xi - Md |

- 4 (- 4) - (-0,2) = -3,8 3,8 (- 4) - (-2) = - 2 2

- 3 (- 3) - (-0,2) = -2,8 2,8 (- 3) - (-2) = - 1 1

- 2 (- 2) - (-0,2) = -1,8 1,8 (- 2) - (-2) = 0 0

3 3 - (-0,2) = 3,2 3,2 3 - (-2) = 5 5

5 5 - (-0,2) = 5,2 5,2 5 - (-2) = 7 7

E = 16,8 E = 15

Pela Média : Dm = 16,8 / 5 = 3,36 Pela Mediana : Dm = 15 / 5 = 3



DESVIO PADRÃO - S

É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dosvalores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-senos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a raiz quadradada média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por S .

• A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.

Ex: Calcular o desvio padrão da população representada por - 4 , -3 , -2 , 3 , 5

Xi

- 4 - 0,2 - 3,8 14,44

- 3 - 0,2 - 2,8 7,84

- 2 - 0,2 - 1,8 3,24

3 - 0,2 3,2 10,24

5 - 0,2 5,2 27,04

E = 62,8

Sabemos que n = 5 e 62,8 / 5 = 12,56.

A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54



Obs: Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas, partindo da amostra, visamostirar inferências válidas para a respectiva população, convém efetuar uma modificação, que consiste em usaro divisor n - 1 em lugar de n. A fórmula ficará então:

• Se os dados - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 representassem uma amostra o desvio padrão amostral seria a raizquadrada de 62,8 / (5 -1) = 3,96

• O desvio padrão goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos:

1ª = Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio padrãonão se altera.

2ª = Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente dezero), o desvio padrão fica multiplicado ( ou dividido) por essa constante.

• Quando os dados estão agrupados (temos a presença de freqüências) a fórmula do desvio padrãoficará :

ou quando se trata de uma amostra

Ex: Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo:



Xi f i Xi . f i . f i

0 2 0 2,1 -2,1 4,41 8,82

1 6 6 2,1 -1,1 1,21 7,26

2 12 24 2,1 -0,1 0,01 0,12

3 7 21 2,1 0,9 0,81 5,67

4 3 12 2,1 1,9 3,61 10,83

Total 30 63 E = 32,70

- Sabemos que E fi = 30 e 32,7 / 30 = 1,09.

- A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão = 1,044

- Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padrão seria : a raiz quadrada de 32,7 /(30 -1) = 1,062

Obs: Nas tabelas de freqüências com intervalos de classe a fórmula a ser utilizada é a mesma do exemploanterior.

VARIÂNCIA - S2

É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma medida que tem pouca utilidade comoestatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações deamostras.

MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA

Coeficiente de Variação de Pearson - CVP



� Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem grandes limitações. Assim, um desvio padrãode 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; noentanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.

� Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu empregoquando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ouvariabilidade, quando expressas em unidades diferentes.

� Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dosdados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada de CVP: Coeficiente deVariação de Pearson (é a razão entre o desvio padRão e a média referentes a dados de uma mesmasérie).

CVP = (S / ) x 100

� o resultado neste caso é expresso em percentual, entretanto pode ser expresso tambématravés de um fator decimal, desprezando assim o valor 100 da fórmula.

Ex: Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:

Discriminação M É D I A DESVIO PADRÃO

ESTATURAS 175 cm 5,0 cm

PESOS 68 kg 2,0 kg

- Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade ?

Resposta: Teremos que calcular o CVP da Estatura e o CVP do Peso. O resultado menor será o de maiorhomogeneidade ( menor dispersão ou variabilidade).

CVP estatura = ( 5 / 175 ) x 100 = 2,85 %



CVP peso = ( 2 / 68 ) x 100 = 2,94 %.

Logo, nesse grupo de indivíduos, as estaturas apresentam menor grau de dispersão que os pesos.

Coeficiente de Variação de Thorndike - CVT

� É igual ao quociente entre o desvio padrão e a mediana.

CVT = ( S / Md ) x 100 %

Coeficiente Quartílico de Variação - CVQ

� Esse coeficiente é definido pela seguinte expressão:

CVQ = [(Q3 - Q1) / (Q3 + Q1)] x 100 %.

Desvio quartil Reduzido – Dqr

Dqr = [(Q3 - Q1) / 2Md ] x 100 %.



5. MEDIDAS DE ASSIMETRIA

Introdução:

� Uma distribuição com classes é simétrica quando :

Média = Mediana = Moda

Uma distribuição com classes é :

Assimétrica à esquerda ou negativa quando : Média < Mediana < Moda

Assimétrica à direita ou positiva quando : Média > Mediana > Moda

Coeficiente de assimetria: A medida anterior, por ser absoluta, apresenta a mesma deficiência do desviopadrão, isto é, não permite a possibilidade de comparação entre as medidas de duas distribuições. Por essemotivo, daremos preferência ao coeficiente de assimetria de Person:

As = 3 ( Média - Mediana ) / Desvio Padrão

Escalas de assimetria:

| AS | < 0,15 assimetria pequena

0,15 < | AS | < 1 assimetria moderada



| AS | > 1 assimetria elevada

Obs: Suponhamos AS = - 0,49 a assimetria é considerada moderada e negativa

Suponhamos AS = 0,75 a assimetria é considerada moderada e positiva

MEDIDAS DE CURTOSE

Introdução:

� Denominamos curtose o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuiçãopadrão, denominada curva normal (curva correspondente a uma distribuição teórica deprobabilidade).

� Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais fechada que a normal (ou mais agudaou afilada em sua parte superior), ela recebe o nome de leptocúrtica.

� Quando a distribuição apresenta uma curva de freqüência mais aberta que a normal (ou maisachatada em sua parte superior), ela recebe o nome de platicúrtica.

A curva normal, que é a nossa base referencial, recebe o nome de mesocúrtica.

Coeficiente de curtose

C1 = (Q3 - Q1) / 2(P90 - P10)



• Este coeficiente é conhecido como percentílico de curtose.

• Relativamente a curva normal, temos:

C1 = 0,263 curva mesocúrtica

C1 < 0,263 curva leptocúrtica

C1 > 0,263 curva platicúrtica

� O coeficiente abaixo ( C2 )será utilizado em nossas análises:

onde S é desvio padrão

C2 = 3 curva mesocúrtica

C2 > 3 curva leptocúrtica

C2 < 3 curva platicúrtica

Matemática Financeira



A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos oufinanciamentos de bens de consumo. A idéia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixae empregar alguns procedimentos matemáticos.

Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como:Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em língua inglesa, usa-se Present Value, indicadonas calculadoras financeiras pela tecla PV.

Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os jurospodem ser capitalizados segundo os regimes: simples ou compostos, ou até mesmo, com algumas condiçõesmistas.

RegimeRegimeRegimeRegime Processo de funcionamentoProcesso de funcionamentoProcesso de funcionamentoProcesso de funcionamento

SimplesSimplesSimplesSimples Somente o principal rende juros.

CompostosCompostosCompostosCompostosApós cada período, os juros são incorporados ao Capital,proporcionando juros sobre juros.

Notações comuns que serão utilizadas neste material

CCCC Capital

nnnn número de períodos

jjjj juros simples decorridos n períodos

JJJJ juros compostos decorridos n períodos

rrrr taxa percentual de juros

iiii taxa unitária de juros (i = r / 100)

PPPP Principal ou valor atual

MMMM Montante de capitalização simples

SSSS Montante de capitalização composta

Compatibilidade dos dados

Se a taxa de juros for mensal, trimestral ou anual, os períodos deverão ser respectivamente, mensais,trimestrais ou anuais, de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis, coerentesou homogêneos. Situações onde isto não ocorre, serão estudadas à parte e deverão ser feitas conversões deunidades.

Exemplo: Na fórmula

F(i,n) = 1 + i n

a taxa unitária de juros i deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, ouseja, se a taxa é i=0,05 ao mês, então n deverá ser um número indicado em meses.

Juros simples



1. Se n é o numero de períodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os jurossimples são calculados por:

j = P i n

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao anosão dados por:

j = 1.250,00 x 0,14 x 4 = 700,00

2. Se a taxa ao período é indicada percentualmente, substituímos i por r/100 e obtemos a fórmula:

j = P r n / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos à taxa de 14% ao anosão dados por:

j = 1.250,00 x 14 x 4 / 100 = 700,00

3. Se a taxa é r % ao mês, usamos m como o número de meses e a fórmula:

j = P r m / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 4 anos (48 meses) à taxa de 2%ao mês são dados por:

j = 1.250,00 x 2 x 48 / 100 = 1.200,00

4. Se a taxa é r% ao dia, usamos d como o número de dias para obter os juros exatos (número exato dedias) ou comerciais simples com a fórmula:

j = P r d / 100

Exemplo: Os juros simples obtidos por um capital P=1.250,00 durante 6 meses (180 dias) à taxa de0,02% ao dia são dados por:

j = 1.250,00 x 0,02 x 180 / 100 = 45,00

Exemplo: Os juros simples exatos obtidos por um capital P=1.250,00 durante os 6 primeiros meses doano de 1999 (181 dias), à taxa de 0,2% ao dia, são dados por:

j = 1.250,00 x 0,2 x 181 / 100 = 452,50

Montante simples

Montante é a soma do Capital com os juros. O montante também é conhecido como Valor Futuro. Emlíngua inglesa, usa-se Future Value, indicado nas calculadoras financeiras pela tecla FV. O montante é dadopor uma das fórmulas:

M = P + j = P (1 + i n)

Exemplo a: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar umcapital aplicado através de capitalização simples?

Objetivo: M=2P

Dados: i=150/100=1,5; Fórmula: M=P(1+in)

Desenvolvimento: Como 2P=P(1+1,5 n), então 2=1+1,5 n, logo



n = 2/3 ano = 8 meses

Exemplo b: Qual é o valor dos juros simples pagos à taxa i=100% ao ano se o valor principal é P=R$ 1.000,00e a dívida foi contraída no dia 10 de janeiro, sendo que deverá ser paga no dia 12 de abril do mesmo ano?

Contagem do tempo:

PeríodoPeríodoPeríodoPeríodo Número de diasNúmero de diasNúmero de diasNúmero de dias

De 10/01 até 31/01De 10/01 até 31/01De 10/01 até 31/01De 10/01 até 31/01 21 dias21 dias21 dias21 dias




TotalTotalTotalTotal 92 dias92 dias92 dias92 dias

Fórmula para o cálculo dos juros exatos:

j = P r (d / 365) / 100

Cálculo:

j = (1000×100×92/365)/100 = 252,05

Fluxo de caixa

Apresentaremos aqui, apenas alguns elementos sobre fluxo de caixa.

Fluxo de Caixa é um gráfico contendo informações sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas emdeterminados períodos. O fluxo de caixa pode ser apresentado na forma de uma linha horizontal (linha detempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmasindicações.

A entrada de dinheiro para um caixa em um sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixoenquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima. A inversão das setas é umacoisa comum e pode ser realizada sem problema.

Consideremos uma situação em que foi feito um depósito inicial de R$5.000,00 em uma conta que rendejuros de 4% ao ano, compostos mensalmente e que se continue a depositar mensalmente valores deR$1.000,00 durante os 5 meses seguintes. No 6º. mês quer-se conhecer o Valor Futuro da reunião destesdepósitos.



Para obter o Valor Futuro deste capital depositado em vários meses, usamos o fluxo de caixa e conceitosmatemáticos para calcular o valor resultante ou montante acumulado.

Juros compostos

Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicaçãode um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos.

Exemplo preparatório: Consideremos uma situação hipotética que, em 1994 a correção da caderneta depoupança tenha sido de 50% em cada um dos 5 primeiros meses do ano. Se uma pessoa depositou $100,00em 01/01/94, poderiamos montar uma tabela para obter o resultado acumulado em 01/06/94.

TempoTempoTempoTempo DataDataDataData Valor PrincipalValor PrincipalValor PrincipalValor Principal JurosJurosJurosJuros MontanteMontanteMontanteMontante

0000 01/01/9401/01/9401/01/9401/01/94 100,00100,00100,00100,00 0000 100,00100,00100,00100,00

1111 01/02/9401/02/9401/02/9401/02/94 100,00100,00100,00100,00 50,0050,0050,0050,00 150,00150,00150,00150,00

2222 01/03/9401/03/9401/03/9401/03/94 150,00150,00150,00150,00 75,0075,0075,0075,00 225,00225,00225,00225,00

3333 01/04/9401/04/9401/04/9401/04/94 225,00225,00225,00225,00 112,50112,50112,50112,50 337,50337,50337,50337,50

4444 01/05/9401/05/9401/05/9401/05/94 337,50337,50337,50337,50 168,75168,75168,75168,75 506,20506,20506,20506,20

5555 01/06/9401/06/9401/06/9401/06/94 506,25506,25506,25506,25 253,13253,13253,13253,13 759,38759,38759,38759,38

Observamos que os juros foram calculados sobre os Principais nos inícios dos meses que correspondiam aosmontantes dos finais dos meses anteriores.

Juros Compostos são juros sobre juros (anatocismo)

A situação apresentada acima, pode ser analisada do ponto de vista matemático, com P=100,00 e i=50%=0,5.Assim:

S1=100(1,5)1S1=100(1,5)1S1=100(1,5)1S1=100(1,5)1 S2=100(1,5)2S2=100(1,5)2S2=100(1,5)2S2=100(1,5)2 S3=100(1,5)3S3=100(1,5)3S3=100(1,5)3S3=100(1,5)3 S4=100(1,5)4S4=100(1,5)4S4=100(1,5)4S4=100(1,5)4 S5=100(1,5)5S5=100(1,5)5S5=100(1,5)5S5=100(1,5)5

Em geral:

Sn = P (1+i)n

onde

SnSnSnSn Soma ou montante

PPPP Valor Principal aplicado inicialmente

iiii taxa unitária

nnnn número de períodos da aplicação

Observação: Relembramos que a taxa e o número de períodos devem ser compatíveis ou homogêneos comrespeito à unidade de tempo.

Montante composto

A fórmula para o cálculo do Montante, em função do valor Principal P, da taxa i ao período e do número deperíodos n, é dada por:



S = P (1+i)n

Exemplo: Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quanto tempo será necessário para dobrar o capitalaplicado através de capitalização composta?

Objetivo: S=2P

Taxa anual: i=150/100=1,5. A fórmula é dada por:

S=P(1+i)n

Solução: 2P=P(1+1,5)n, logo

(2,5)n = 2

Para resolver esta última equação, aplicamos logaritmos a ambos os lados da igualdade, para obter:

n = log(2) / log(2,5) = 0,7564708 de 1 ano

Observação: Tábua de logaritmo imediata

Fator de Acumulação de Capital (Fator de P para S)

Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, definimos o Fator de Acumulação de Capital ou Fator deP para S, denotado por FAC(i,n) ou FPS(i,n), como:

FAC(i,n) = FPS(i,n) = (1 + i)n

Agora, podemos escrever o montante composto S como o produto do valor Principal P por FAC(i,n):

S = P FAC(i,n) = P FPS(i,n)

Utilidade: O FAC(i,n)=(1+i)n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente nãoexecutam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e a seguir tecla-se o sinalde igualdade n-1 vezes.

Existem algumas variações da fórmula do Montante Composto, que estão apresentadas abaixo:

S = P (1 + i)nS = P (1 + i)nS = P (1 + i)nS = P (1 + i)n

P = S (1+i)-nP = S (1+i)-nP = S (1+i)-nP = S (1+i)-n

Uma variação da fórmula de Montante composto é usada na obtenção do Valor Atual P de um capital futuroconhecido S.

P=S(1+i)-n



Fator de Valor Atual

Se i é a taxa ao período, n é o número de períodos, o Fator de Valor Atual ou Fator de S para P ou Fator deDesconto, denotado por FVA(i,n) ou FSP(i,n) como o inverso de FAC(i,n)=FPS(i,n):

FVA(i,n) = FSP(i,n) = (1+i)-n

Utilidade: O FVA(i,n)=(1+i)-n pode ser obtido com uma calculadora simples, dessas que normalmente nãoexecutam potências. Digita-se i, soma-se 1, aperta-se o sinal X (de multiplicação) e o sinal = (igual) n-1vezes para obter FAC(i,n) e a seguir teclamos o sinal de divisão e finalmente o sinal = (igual) para obter oFVA(i,n), que é o inverso do FAC(i,n).

Cálculo de juros Compostos

J = P [(1+i)n-1]

Exemplo: Qual é o valor dos juros compostos pagos à taxa i=100% ao ano se o Principal é R$1.000,00 e adívida foi contraída no dia 10/01/94 e deverá ser paga em 12/04/94?

Solução: A contagem dos dias corresponde a d=92 dias.

Dúvida: Qual será a fórmula para juros compostos quando a taxa é anual e o período está indicado em umaunidade diferente de 1 ano? A idéia é transformar 92 dias em unidades anuais para obter:

n = 92/365 de 1 ano = ~ 0,252055 = 1/4 ano

Principal: P=1000; Taxa anual: i=100/100=1. A fórmula empregada é:

J = P [(1+i)n-1]

Solução:

J=1000[(1+1)1/4-1]=1000(1,189207-1)=189,21

Teste: Você saberia obter a raiz quarta de um número com uma calculadora que só extrai a raiz quadrada? Ea raiz oitava de um número que só extrai a raiz quadrada?

Taxas

Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operaçãofinanceira.

Taxas: (Matemática Financeira, Introdução ao Cap.6, José Dutra Vieira Sobrinho: "No mercado financeirobrasileiro, mesmo entre os técnicos e executivos, reina muita confusão quanto aos conceitos de taxas dejuros principalmente no que se refere às taxas nominal, efetiva e real. O desconhecimento generalizadodesses conceitos tem dificultado o fechamento de negócios pela consequente falta de entendimento entre aspartes. Dentro dos programas dos diversos cursos de Matemática Financeira existe uma verdadeira'poluição' de taxas de juros."

Não importando se a capitalização é simples ou composta, existem três tipos principais de taxas:



Taxa Nominal: A taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital nãocoincide com aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

1. 1200% ao ano com capitalização mensal.

2. 450% ao semestre com capitalização mensal.

3. 300% ao ano com capitalização trimestral.

Taxa Efetiva: A taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincidecom aquele a que a taxa está referida.

Exemplos:

1. 120% ao mês com capitalização mensal.

2. 450% ao semestre com capitalização semestral.

3. 1300% ao ano com capitalização anual.

Taxa Real: Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.

Conexão entre as taxas real, efetiva e de inflação: A taxa Real não é a diferença entre a taxa efetiva e a taxada inflação. Na realidade, existe uma ligação íntima entre as três taxas, dadas por:

1+iefetiva = (1+ireal) (1+iinflação)

Exemplo: Se a taxa de inflação mensal foi de 30% e um valor aplicado no início do mês produziu umrendimento global de 32,6% sobre o valor aplicado, então o resultado é igual a 1,326 sobre cada 1 unidademonetária aplicada. Assim, a variação real no final deste mês, será definida por:

vreal = 1 + ireal

que pode ser calculada por:

vreal = resultado / (1 + iinflação)

isto é:

vreal = 1,326 / 1,3 = 1,02

o que significa que a taxa real no período, foi de:

ireal = 2%

Aplicação em caderneta de poupança: Se o governo anuncia que a Caderneta de Poupança proporciona umrendimento real de 0,5% ao mês (=0,005), significa que o seu dinheiro deve ser corrigido pela taxa dainflação iinflação, isto é, deve ser multiplicado por 1 + iinflação e depois multiplicado por 1+0,5%=1,005.

Exemplo: Se uma pessoa possuia numa caderneta de poupança o valor de CR$ 670.890,45 no dia 30/04/93 ea taxa da inflação desde esta data até 30/05/93 foi de 35,64% entao ele terá em sua conta no dia 30/05/93, o



valor de:

V = 670.890,45 x 1,3564 x 1,005 = 914.545,77

Taxas equivalentes

Duas taxas i1 e i2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo,através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final.

Exemplo: A aplicação de R$1.000,00 à taxa de 10% ao mês durante 3 meses equivale a uma única aplicaçãocom a taxa de 33,1% ao trimestre. Observemos o Fluxo de caixa da situação.

Tomando P=1.000,00; i1=0,1 ao mês e n1=3 meses, seguirá pela fórmula do Montante composto, que :

S1=P(1+i1)3=1000(1+0,1)3=1000.(1,1)3=1331,00

Tomando P=1.000,00; i2=33,1% ao trimestre e n2=1 trimestre e usando a fórmula do Montante composto,teremos:

S2=C(1+i2)1=1000(1+0,331)=1331,00

Logo S1=S2 e a taxa de 33,1% ao trimestre é equivalente à taxa capitalizada de 10% ao mês no mesmotrimestre.

Observação sobre taxas equivalentes: Ao afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 300% ao anocapitalizada mensalmente, estamos entendemos que a taxa é de 25% ao mês e que está sendo aplicada mês amês, porque:

i = 300/12 = 25

Analogamente, temos que a taxa nominal de 300% ao ano corresponde a uma taxa de 75% ao trimestre,aplicada a cada trimestre, porque:

i = 300/4 = 75

É evidente que estas taxas não são taxas efetivas.

Cálculos de taxas equivalentes: Como vimos, taxas equivalentes são aquelas obtidas por diferentes processosde capitalização de um mesmo Principal P para obter um mesmo montante S.

Consideraremos ia uma taxa ao ano e ip uma taxa ao período p, sendo que este período poderá ser: 1semestre, 1 quadrimestre, 1 trimestre, 1 mês, 1 quinzena, 1 dia ou outro que se deseje. Deve ficar claro quetomamos 1 ano como o período integral e que o número de vezes que cada período parcial ocorre em 1 anoé indicado por Np.

Exemplo: 1 ano = 2 semestres = 3 quadrimestres = 4 trimestres = 12 meses = 24 quinzenas = 360 dias.

A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é:

1 + ia = (1+ip)Np



onde

iaiaiaia taxa anual

ipipipip taxa ao período

NpNpNpNp número de vezes em 1 ano

Situações possíveis com taxas equivalentes

FórmulaFórmulaFórmulaFórmula TaxaTaxaTaxaTaxa PeríodoPeríodoPeríodoPeríodo Número de vezesNúmero de vezesNúmero de vezesNúmero de vezes

1+ia = (1+isem)21+ia = (1+isem)21+ia = (1+isem)21+ia = (1+isem)2 isemisemisemisem semestresemestresemestresemestre 2222

1+ia = (1+iquad)31+ia = (1+iquad)31+ia = (1+iquad)31+ia = (1+iquad)3 iquadiquadiquadiquad quadrimestrequadrimestrequadrimestrequadrimestre 3333

1+ia = (1+itrim)41+ia = (1+itrim)41+ia = (1+itrim)41+ia = (1+itrim)4 itrimitrimitrimitrim trimestretrimestretrimestretrimestre 4444

1+ia = (1+imes)121+ia = (1+imes)121+ia = (1+imes)121+ia = (1+imes)12 imesimesimesimes mêsmêsmêsmês 12121212

1+ia = (1+iquinz)241+ia = (1+iquinz)241+ia = (1+iquinz)241+ia = (1+iquinz)24 iquinziquinziquinziquinz quinzenaquinzenaquinzenaquinzena 24242424

1+ia =1+ia =1+ia =1+ia =(1+isemana)24(1+isemana)24(1+isemana)24(1+isemana)24

isemanisemanisemanisemanaaaa

semanasemanasemanasemana 52525252

1+ia = (1+idias)3651+ia = (1+idias)3651+ia = (1+idias)3651+ia = (1+idias)365 idiasidiasidiasidias diadiadiadia 365365365365

Exemplo: Qual será a taxa efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano capitalizada mês a mês?

Vamos entender a frase: "12% ao ano capitalizada mês a mês". Ela significa que devemos dividir 12% por 12meses para obter a taxa que é aplicada a cada 1 mês. Se estivesse escrito "12% ao ano capitalizadatrimestralmente" deveriamos entender que a taxa ao trimestre seria igual a 12% dividido por 4 (número detrimestres de 1 ano) que é 3%.

Vamos observar o fluxo de caixa da situação:

Solução: A taxa mensal é i1=12%/12=1%=0,01, assim a taxa efetiva pode ser obtida por

1+i2 = (1,01)12 = 1,1268247

logo

i2 = 0,1268247 = 12,68247%

Observação: Se iinflação=0, a taxa real equivale à taxa efetiva.

Exemplo: Qual é a taxa mensal efetiva que equivale à taxa de 12% ao ano? Neste caso, a fórmula a ser usadaé:

1+ia = (1 + imes)12

Como ia=12%=0,12 basta obter i(mes) com a substituição dos valores na fórmula acima para obter:

1,12 = [1 + i(mes)]12

Existem outras maneiras para resolver esta equação exponencial mas aplicaremos o logaritmo na base 10 aambos os lados da igualdade para obter:



log(1,12) = 12 log[1+i(mes)]log(1,12)/12 = log[1 + i(mes)]0,04921802267018/12 = log[1 + i(mes)]0,004101501889182 = log[1+i(mes)]assim

100,004101501889182 = 10log[1+i(mes)]

Desenvolvendo a potência obtemos:

1,009488792934 = 1 + i(mes)0,009488792934 = i(mes)i(mes) = 0,9488792934%Observação: Interprete os últimos exemplos com muito cuidado!

Descontos

Notações comuns na área de descontos:

DDDD Desconto realizado sobre o título

AAAA Valor Atual de um título

NNNN Valor Nominal de um título

iiii Taxa de desconto

nnnn Número de períodos para o desconto

Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título (futuro) N e o Valor Atual A deste mesmotítulo.

D = N - A

Há dois tipos básicos de descontos: Comerciais (por fora) ou Racionais (por dentro).

Tipos de descontos

Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculosexponenciais.

Desconto Simples Comercial (por fora): O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples,substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título.

Desconto por foraDesconto por foraDesconto por foraDesconto por fora Juros simplesJuros simplesJuros simplesJuros simples

D = N i nD = N i nD = N i nD = N i n j = P i nj = P i nj = P i nj = P i n

N = Valor NominalN = Valor NominalN = Valor NominalN = Valor Nominal P = PrincipalP = PrincipalP = PrincipalP = Principal

i = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de desconto i = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de juros

n = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodos n = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodosn = no. de períodos

O valor atual no desconto por fora, é calculado por:



A = N-D = N-N.i.n = N(1-i.n)

Desconto Simples Racional (por dentro): O cálculo deste desconto funciona análogo ao cálculo dos jurossimples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título.

O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título.

Desconto por dentroDesconto por dentroDesconto por dentroDesconto por dentro Juros simplesJuros simplesJuros simplesJuros simples

D = A i nD = A i nD = A i nD = A i n j = P.i.nj = P.i.nj = P.i.nj = P.i.n

N = Valor AtualN = Valor AtualN = Valor AtualN = Valor Atual P = PrincipalP = PrincipalP = PrincipalP = Principal

i = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de descontoi = taxa de desconto i = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de juros


O valor atual, no desconto por dentro, é dado por:

A = N / (1 + i n)

Desconto Comercial composto (por fora): Este tipo de desconto não é usado no Brasil e é análogo ao cálculodos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título.

Desconto composto por foraDesconto composto por foraDesconto composto por foraDesconto composto por fora Juros compostosJuros compostosJuros compostosJuros compostos

A = N(1-i)nA = N(1-i)nA = N(1-i)nA = N(1-i)n S = P(1+i)nS = P(1+i)nS = P(1+i)nS = P(1+i)n

A = Valor AtualA = Valor AtualA = Valor AtualA = Valor Atual P = PrincipalP = PrincipalP = PrincipalP = Principal

i = taxa de desconto negativai = taxa de desconto negativai = taxa de desconto negativai = taxa de desconto negativa i = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de jurosi = taxa de juros


Apenas para fins didáticos, iremos obter a fórmula para o cálculo deste desconto. Ela é obtida por aplicaçõesrepetidas do desconto simples para 1 período.

Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, logo:

A1 = N(1-i)

onde A1 é o valor atual do título com valor nominal N. Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo,substituindo agora N por A1, para obter A2, isto é:

A2 = A1(1-i) = N(1-i)2

Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n:

An = N(1-i)n

Esta fórmula é similar à formula do montante composto, dada por:

S = P(1+i)n

Desconto Racional composto (por dentro): Este tipo de desconto é muito utilizado no Brasil.

Como D = N - A e como N = A(1 + i)n , então



D = N-N(1+i)-n = N.[1-(1+i)-n]

O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como ocapital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação, levando emconsideração que as taxas e os tempos funcionam de forma similar nos dois casos.

Exemplo a: Qual é o desconto racional composto de um título cujo valor nominal é R$10.000,00, se o prazode vencimento é de n=5 meses e a taxa de desconto é de 3,5% ao mês.

Solução:

D = 10.000,00 [(1,035)5-1]/1,0355 = 1.580,30

Exemplo b: Uma empresa emprestou um valor que deverá ser pago 1 ano após em um único pagamento deR$ 18.000,00 à taxa de 4,5% ao mês. Cinco meses após ter feito o empréstimo a empresa já tem condições deresgatar o título. Se a empresa tiver um desconto racional composto calculado a uma taxa equivalente à taxade juros cobrada na operação do empréstimo, qual será o valor líquido a ser pago pela empresa?

Dados: Valor nominal: N=18.000,00; taxa mensal: i=4,5%=0,045

Número de períodos para o desconto: n=12-5=7

Fórmula: D = N.[(1+i)n-1]/(1+i)n

Financiamento pelo Sistema Price

No estudo do financiamento de um bem de consumo, percebe-se que a Matemática Financeira é muito maisútil no nosso cotidiano do que outras "matemáticas". Aqui se vê a força do estudo de sequências geométricas(PG), fato que não é possível explicitar facilmente a alunos de níveis elementares. No entanto, praticamentetodos os indivíduos estão envolvidos com compras de bens de consumo no seu dia-a-dia e este ponto setorna fundamental pois transforma o estudo de Progressões Geométricas em algo extremamente útil.

O sistema Price (Richard Price), também chamado Sistema Francês (pois foi a França o primeiro país queutilizou este sistema do ponto de vista comercial), corresponde a um financiamento onde todos ospagamentos sao iguais.

A idéia essencial neste contexto é construir um fluxo de caixa e descobrir o Valor Atual ou Valor Presentede uma série uniforme de pagamentos.

Antes de continuar, iremos mostrar uma situação para identificar o que está escondido sob os cálculos deum financiamento.

Exemplo: Suponhamos que uma pessoa compre um carro para pagar em 4 prestações mensais consecutivas eiguais de R$8.000,00, sem entrada e com taxa de 10% ao mês. Qual será o Valor Atual (real) deste carro?

Fluxo de caixa do problema

O que se deve fazer é calcular o valor atual de cada prestação e realizar a soma desses valores para obter oValor Atual do bem financiado.



A1 = 8000/(1+0,1)1A2 = 8000/(1+0,1)2A3 = 8000/(1+0,1)3A4 = 8000/(1+0,1)4

Assim o Valor Atual será a soma dos valores atuais parciais

A = 8000.(1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4)

que pode ser escrito como:

A = 8000 x 3,169865435 = 25.358,92

que é o valor à vista que custa o carro.

Um fato curioso é o aparecimento da expressão:

K = 1,1-1 + 1,1-2 + 1,1-3 + 1,1-4

que representa a soma dos termos de uma sequência geométrica (PG) com 4 termos.

Na sequência, analisaremos a situação geral quando temos n prestações num modelo semelhante,considerando agora um financiamento cujo Valor Atual A na data inicial (tempo=0) será pago em nprestações iguais a R ao final de cada um dos n meses seguidos, a taxas mensais iguais a i.

Fluxo de caixa do problema

O problema é similar ao anterior e pode ser resolvido do ponto de vista matemático, como :

A = R[(1+i)-1+(1+i)-2+...+(1+i)-n]

Evidenciando o termo (1+i)-n, segue que:

A = R[1+(1+i)1+...+(1+i)n-1] / (1 +i)n

e o termo dentro dos colchetes corresponde à soma dos n primeiros termos de uma PG cujo primeiro termoé igual 1 e cuja razão é igual a (1+i).

A fórmula abaixo é a expressão matemática procurada por tantas pessoas para saber como são realizados oscálculos de taxas de juros em financiamentos.

Esta não é uma expressão matemática simples! Quando se conhece a taxa i, o número de períodos n e ovalor de cada prestação R é bastante fácil obter o Valor Atual A.

Quando conhecemos o Valor Atual (preço à vista) A, Prestação R e Número de períodos n, não é fácil obtera taxa de juros porque além de ser matematicamente difícil, o governo, as empresas e financeiras em geral,embutem muitas outras taxas a títulos diversos que mascaram o valor real da taxa!

Esta fórmula matemática pode ser escrita como:

A = R FVAs(i,n)

onde FVAs é o Fator de Valor Atual para uma série uniforme, definido por:



Esta é a fórmula utilizada nas tabelas financeiras que encontramos no comércio em geral. Através destafórmula podemos obter a taxa de um financiamento em prestações com pagamentos iguais.

Para o próximo exemplo, vamos admitir que o dono de uma loja te garantiu o valor certo para a taxa aoperíodo, o que eu não acredito em geral.

Para se calcular o valor da prestação R de um bem cujo preço à vista é A e será pago em n prestações iguaissem entrada, à taxa i ao período, sendo que a primeira prestação será paga no final do primeiro período,divide-se o valor atual A pelo FVAs(i,n), isto é:

R = A / FVAs(i,n)

Exemplo: Determinar a prestação R da compra de uma geladeira que custa à vista A=$1.000,00 e que serápaga em 12 meses, sem entrada, com um taxa de 5% ao mês.

Aritmética

As operações aritméticas tradicionais são a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão, emboraoperações mais avançadas (tais como as manipulações de porcentagens, raiz quadrada, exponenciação efunções logarítmicas) também sejam por vezes incluídas neste ramo. A aritmética desenrola-se emobediência a uma ordem de operações.

A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os númerosnaturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais. Tais operações, no entanto, podem ser realizadascom o uso de ferramentas como calculadoras, computadores ou o ábaco, o que não lhes tira o caráteraritmético.

O termo aritmética também é usado em referência à teoria dos números. Isto inclui as propriedades dosinteiros relacionados com a primalidade, a divisibilidade e a solução de equações em inteiros, bem como apesquisa moderna que tem surgido deste estudo. É neste contexto que se pode encontrar coisas como oteorema fundamental da aritmética e funções aritméticas.

Média aritmética

A média aritmética entre dois números reais positivos x e y, é definida como:

a(x,y)a(x,y)a(x,y)a(x,y) ====

x+yx+yx+yx+y

2222



Exemplo: A média aritmética entre x=6 e y=9 é igual a a(6,9)=(6+9)/2=7,5.

Em teoria dos números, uma função aritmética é uma função f(n) de valor real ou complexa definida sobreo conjunto dos números naturais (i.e. inteiros positivos) que "expressam alguma propriedade aritmética den."[1].

Um exemplo de uma função aritmética é o caráter não-principal (mod 4) definido por

onde é o símbolo de Kronecker. Para enfatizar que representam funções, em vez de seqüências, os valores de uma função aritmética sãonormalmente identificados por a(n) ao invés de an.

Existe uma classe maior de funções em teoria dos números que não se encaixam na definição acima, porexemplo, e.g., as funções de contagem de primos. Este artigo fornece ligações para as funções de ambas asclasses.

Funções multiplicativas e aditivasFunções multiplicativas e aditivasFunções multiplicativas e aditivasFunções multiplicativas e aditivasUma função aritmética a é

• completamente aditiva se a(mn) = a(m) + a(n) para todos os números naturais m e n;

• completamente multiplicativa se a(mn) = a(m)a(n) para todos os números naturais m e n;

Dois números inteiros m e n são chamados coprimos se seu máximo divisor comum é 1; i.e., se não hánúmero primo que divida ambos.

Então uma função aritmética a é

• aditiva se a(mn) = a(m) + a(n) para todos os números naturais coprimos m e n;

• multiplicativa se a(mn) = a(m)a(n) para todos os números naturais coprimos m e n.

Ω(n), ω(n), νp(n) - decomposição de potências de primos Ω(n), ω(n), νp(n) - decomposição de potências de primos Ω(n), ω(n), νp(n) - decomposição de potências de primos Ω(n), ω(n), νp(n) - decomposição de potências de primosO teorema fundamental da aritmética estabelece que qualquer inteiro positivo n pode ser fatorado

unicamente como um produto de potências de primos: onde p1 < p2 < ... < pk sãoprimos e aj são inteiros positivos. (1 é dado pelo produto vazio.)

É frequentemente conveniente escrever isto como um produto infinito sobre todos os primos, onde todosmas um número finito tem um expoente zero. Define-se νp(n) como o expoente da mais alta potência doprimo p que divide n. I.e. se p é um dos pi então νp(n) = ai, caso contrário, é zero. Então

Em termos do acima as funções ω e Ω são definidas por

ω(n) = k, Ω(n) = a1 + a2 + ... + ak.

Para evitar repetição, sempre que possível, as fórmulas para as funções listadas neste artigo são dadas emtermos de n e as correspondentes pi, ai, ω, e Ω.



Funções multiplicativasFunções multiplicativasFunções multiplicativasFunções multiplicativas

σk(n), τ(n), d(n) - somas divisorasσk(n), τ(n), d(n) - somas divisorasσk(n), τ(n), d(n) - somas divisorasσk(n), τ(n), d(n) - somas divisoras

σk(n) é a soma das kth potências dos divisores positivos de n, incluindo 1 e n, onde k é um númerocomplexo.

σ1(n), a soma dos dividores (positivos) de n, é normalmente notada por σ(n).

Já que um número positivo levado à potência zero é um, σ0(n) é consequentemente o número de dividores(positivos) de n; é normalmente notado por d(n) or τ(n) (do alemão Teiler = divisores).

Fazendo k = 0 no segundo produto temos

φ(n) - Função totiente de Eulerφ(n) - Função totiente de Eulerφ(n) - Função totiente de Eulerφ(n) - Função totiente de Euler

φ(n), a função totiente de Euler, é o número de inteiros positivos não maiores que n que são coprimos a n.

μ(n) - Função de Möbiusμ(n) - Função de Möbiusμ(n) - Função de Möbiusμ(n) - Função de Möbius

μ(n), a função de Möbius, é importante por causa da fórmula da inversão de Möbius. Ver convolução deDirichlet, abaixo.

Isto implica que μ(1) = 1. (Porque Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ(n) - Função tau de Ramanujanτ(n) - Função tau de Ramanujanτ(n) - Função tau de Ramanujanτ(n) - Função tau de Ramanujan

τ(n), a função tau de Ramanujan, é definida por sua identidade da função geradora:

Embora seja difícil dizer exatamente o que "propriedade aritmética de n" "expressa",(τ(n) é (2π)−12 vezes ocoeficiente de Fourier nth na expansão q da forma modular da função discriminant modular)que sejaincluída entre as funções aritméticas, porque é multiplicativa e ocorre em identidades envolvendo certasfunções σk(n) e rk(n) (porque estas são também coeficientes na expansão das formas modulares).

cq(n) - Soma de Ramanujan cq(n) - Soma de Ramanujan cq(n) - Soma de Ramanujan cq(n) - Soma de Ramanujan

cq(n), a soma de Ramanujan, é a soma de nth potências das raízes da unidade qth:



Mesmo que seja definido como uma soma de números complexos (irracionais para a maioria dos valores deq), é um número inteiro. Para um valor fixo de n multiplicativo em q:

Se q e r são coprimos,


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