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CAPÍTULO 4
VIGAS-COLUNA
4.2
ÍNDICE DE SEÇÕES 4.1 INTRODUÇÃO 4.3 4.2 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL CONCENTRADA 4.3 4.3 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL DISTRIBUÍDA 4.6 4.4 VIGA-COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE 4.8 4.5 VIGA-COLUNA CONTÍNUA 4.15
4.6 VIGAS COM CARGAS AXIAIS DE TRAÇÃO 4.20 4.7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA O PROJETO DE VIGA-COLUNA 4.20 4.8 EXERCÍCIOS 4.22
4.9 REFERÊNCIAS 4.24 BIBLIOGRAFIA ADICIONAL 4.24 ÍNDICE DE FIGURAS 4-1 VIGA-COLUNA 4.3 4-2 VIGA-COLUNA COMM CARGA CONCENTRADA 4.3 4-3 CARACTERÍSTICAS DE CURVA DE DEFLEXÃO EM VIGAS-COLUNA 4.5 4-4 VIGA-COLUNA COM CARGA DISTRIBUÍDA 4.6 4-5 EXEMPLO DE ANÁLISE DE VIGA-COLUNA DE SEÇÃO CONSTANTE 4.13 4-6 TEOREMA DOS TRÊS MOMENTOS MODIFICADO COM A INCLUSÃO DO EFEITO DA CARGA AXIAL 4.16 4-7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA VIGA-COLUNA 4.21
4.3
4 VIGAS-COLUNA 4.1 INTRODUÇÃO
Vigas-Coluna são membros que estão sujeitos a ambas, flexão e compressão. A flexão pode ser
causada tanto por momentos aplicados na extremidade do membro quanto por forças transversais
agindo diretamente no membro como mostrado na Fig. 4-1. A coluna carregada excentricamente,
analisada no Cap. 2, também é, na essência, uma viga-coluna. As preocupações da análise então,
entretanto, eram distintos das que serão tratadas aqui. A razão de estudar um membro carregado
excentricamente no Cap. 2 foi verificar qual o efeito que pequenas quantidades de flexão, causadas por
inevitáveis imperfeições, têm sobre colunas carregadas axialmente. Aqui serão tratados membros onde a
compressão e flexão são devidas a cargas aplicadas intencionalmente. Noutras palavras, a flexão é
agora o efeito primário, enquanto que no estudo anterior era apenas um efeito secundário.
4.2 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL CONCENTRADA Considere um membro simplesmente apoiado de comprimento L, submetido simultaneamente à
carga transversal Q e compressão P, como mostrado na Fig. 4-2. Suponha que o material seja elástico
linear, que as deformações permaneçam pequenas e que o membro é apoiado lateralmente de modo
que só possa fletir no plano vertical (i.e., não possa flambar lateralmente).
Se o sistema de coordenadas é aquele indicado na figura, o momento externo, a uma distância x da
origem, é
4.4
20
2"
2
2
2
2 Lx
EI
QxwkwPw
Qx
dx
wdEIM para (4.1)
com
EI
Pk 2
(4.2)
A solução geral da Eq. (4.1) é
P
QxkxBkxAxw
2cossen)( (4.3)
onde A e B são as constantes arbitrárias determinadas das condições de contorno
)2cos(
1
20)
2('
00)0(
kLPk
QA
Lw
Bw
e a Eq. (4.3) pode ser reescrita como
22cos
sen
2)(
kL
kL
kx
Pk
Qxw (4.4)
Concentrando a atenção na deflexão no centro da viga, = w(L/2) resulta em
22cos
2sen
2
kL
kL
kL
Pk
Q
ou
2
,tan2
kLuuu
Pk
Q com (4.5)
Multiplicando e dividindo a expressão (4.4) convenientemente por L
3/24EI resulta em
3
3
3
3
3
3 tan3
48tan
2
3
48tan
24
48 u
uu
EI
QLuu
kLEI
QLuu
kPL
EI
EI
QL (4.6)
O fator QL3/48EI que aparece nesta relação pode ser identificado como a deflexão que existiria na viga
se a carga Q estivesse agindo sozinha. Em conseqüência, introduzindo a notação
EI
QL
48
3
0 (4.7)
a Eq. (4.6) pode ser reescrita na forma
30
tan3
u
uu (4.8)
Para simplificar ainda mais esta expressão, considere a expansão de tan u numa série de potência:
...315
17
15
2
3tan 75
3
uuu
uu
A substituição desta série na Eq. (4.8) resulta em
4.5
...
105
17
5
21 42
0 uu (4.9)
Levando em consideração as expressões em (4.2) e (4.5),
cr
2
222 46,2
4 P
PL
EI
Pu
` (4.10)
de modo que a Eq. (4.9) pode ser posta na forma
...1...998,0984,01
2
crcr
0
2
crcr
0P
P
P
P
P
P
P
P (4.11)
A soma da série geométrica entre os colchetes é 1/[1-(P/Pcr)], de modo que a Eq. (4.11) reduz a
crPP
1
10 (4.12)
A equação (4.12) é uma muito boa aproximação para a deflexão máxima de um membro
simplesmente apoiado que é fletido simultaneamente por uma carga transversal Q e uma força axial P. A
equação indica que a deflexão máxima do membro é igual a 0, a deflexão máxima que ocorreria se
somente a carga transversal Q estivesse agindo sozinha, multiplicada por um fator de amplificação que
depende da razão P/Pcr. O efeito da carga axial é, portanto, o de ampliar a deflexão que existiria na viga
se esta carga não estivesse presente. A Eq. (4.12) indica também que a deflexão aumenta sem limite
quando P/Pcr tende para a unidade. Noutras palavras, a resistência do membro desaparece quando a
carga axial se aproxima da carga crítica. Isto significa que, além dos métodos vistos no Cap. 2, também
é possível determinar a carga crítica de um membro achando-se a carga axial sob a qual a rigidez em
flexão do membro se anula.
A variação de com Q, como dada pela Eq. (4.12), é mostrada na Fig. 4-3a para P = 0, P = 0,4 Pcr,
e P = 0,7 Pcr. Uma vez que a rigidez em flexão de um membro é proporcional à inclinação de sua curva
carga-deflexão, estas curvas claramente demonstram que um aumento na carga axial produz uma
diminuição na rigidez em flexão. As curvas também mostram que a relação entre a carga e a deflexão,
que é sabidamente linear quando P = 0, permanece linear mesmo quando P 0, desde que P seja
4.6
constante. Se é permitida a variação de P, entretanto, como no caso da Fig. 4-3b, a relação carga-
deflexão é não-linear. Isto é verdadeiro mesmo que a carga transversal Q permaneça constante (curva
cheia) ou cresça com o aumento de P (curva tracejada). A deflexão de uma viga-coluna, portanto, é uma
função linear de Q, mas não-linear de P. Se P e Q crescem simultaneamente, a relação carga-
deformação é não-linear.
Tendo determinado como a presença de uma carga axial afeta a deflexão lateral de um membro
carregado transversalmente, agora será estudado o efeito que a carga axial tem sobre o momento fletor.
O momento fletor máximo no membro é
crcr
maxPPEI
PLQL
PPEI
PQLQLP
QLM
1
1
121
41
1
4844
23
(4.13)
Mas
cr
2
22
2
82,01212 P
P
LEI
P
EI
PL
de modo que
cr
crmax
1
18,01
4 PP
PPQLM (4.14)
O fator fora dos colchetes na Eq. (4.14) é o momento que existiria na viga se não houvesse a carga
axial. Se este momento for designado por M0 = QL/4, a Eq. (4.14) pode ser posta na forma
cr
cr
0max1
18,01
PP
PPMM (4.15)
A equação (4.15) mostra que o efeito da compressão axial sobre o momento fletor é bastante
semelhante ao efeito que uma carga axial tem sobre a deflexão. Como a deflexão, o momento que existe
na ausência da carga axial é amplificado pela presença de uma carga axial. É também interessante notar
a semelhança entre o fator de amplificação para o momento e o correspondente fator para a deflexão.
4.3 VIGA-COLUNA COM CARGA LATERAL DISTRIBUÍDA Considere um membro simplesmente apoiado de comprimento L, submetido simultaneamente a
uma carga distribuída uniforme q e uma carga axial P, como mostrado na Fig. 4-4. Assuma, como
anteriormente, que o material é elástico linear, que as deformações permanecem pequenas e que a viga
4.7
é apoiada de forma tal a prevenir a flambagem lateral. A análise, na seção anterior, foi feita a partir da
formulação da equação de equilíbrio do corpo livre e posterior solução. Com o objetivo de ilustrar um
método alternativo de análise, se fará uso, aqui, do método de Rayleigh-Ritz.
A energia potencial total do sistema é
dxdx
dwPdxwqdx
dx
wdEIVU
LLL 2
00
2
0
2
2
22
(4.16)
Considerando as condições de contorno, a deflexão w(x) é assumida na forma
L
xxw
sen)( (4.17)
onde é a deflexão no centro da viga. Substituição desta expressão no potencial total resulta em
L
PqL
L
EIL
L
PLq
L
L
EI
dxL
x
L
Pdx
L
xqdx
L
x
L
EIVU
LLL
4
2
422
2
22
cos2
sensen2
22
4
24
2
42
4
42
0
2
2
42
00
2
4
42
(4.18)
Do princípio do valor estacionário da energia potencial total, para que o sistema esteja em equilíbrio é
necessário que a variação de U+V seja nula, ou seja
224
4
3
140
2
22
2
4)
LPEI
qL
L
PqL
L
EIVU
(4.19)
O numerador e denominador podem ser multiplicados por 5/384EI. Por outro lado, 2EI/L
2 = Pcr, de modo
que
crP
PEI
qL
EI
PLEI
qL
LPEI
EI
EI
qL
1
1
5
1536
384
5
1
1
5
1536
384
5
5
1536
384
55
4
2
25
4
224
4
(4.20)
A razão 1536/55 =1.00386 1. Por outro lado, a deflexão na viga quando não existe a carga axial P é
EI
qL
384
5 4
0 (4.21)
de modo que a Eq. (4.10) pode ser colocada na forma
crPP
1
10 (4.22)
A Eq. (4.22) fornece a deflexão máxima de uma viga simplesmente apoiada que é fletida
simultaneamente por uma carga distribuída uniforme q e uma carga axial P. Como a forma assumida
para a deflexão w(x) na Eq. (4.17) não é exata, a deflexão dada pela Eq. (4.22) é somente uma
aproximação. Entretanto, o erro cometido na aproximação é muito pequeno (Ref. 4.1). O momento
máximo na viga ocorre no centro e é dado por
4.8
cr
cr
2
crcr
2
cr
22
cr
422
max
1
03,01
81
103,11
8
1
1
48
51
81
1
384
5
88
PP
PPqL
PPP
PqL
PPEI
PLqL
PPEI
PqLqLP
qLM
(4.23)
O momento máximo numa viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga transversal
uniformemente distribuída agindo sozinha (sem a carga P) é M0 = qL2/8, de modo que
cr
cr0max
1
03,01
PP
PPMM (4.24)
A máxima deflexão na viga-coluna, dada pela Eq. (4.22), e o momento máximo, dado pela Eq.
(4.24), sãoportanto o resultado do produto de dois termos: a deflexão ou momento máximo que existiria
se a carga axial não estivesse presente, e um fator de amplificação que leva em consideração o efeito da
carga axial. O que talvez seja mais marcante nestas relações é a sua semelhança com as expressões
correspondentes para a deflexão e momento obtidas anteriormente para o caso da carga concentrada. É
pelo menos parcialmente devido a esta semelhança que um critério de projeto relativamente simples
pode ser formulado para vigas-coluna.
4.4 VIGA-COLUNA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE Esta seção é uma transcrição do que está disposto na Ref. 4.2, incluindo a convenção de sinais e
exemplo.
Como foi visto, vigas-coluna em compressão axial sempre falharão sob uma carga axial menor do
que a carga crítica de flambagem. À medida que as cargas axiais e momentos crescem e a carga axial
se aproxima da carga crítica, as deflexões laterais aumentarão e a flexão tende a dominar. Tipicamente,
portanto, a condição de falha será dada equacionando-se a soma das tensões de compressão devidas à
carga axial e aquelas resultantes do momento fletor nas fibras extremas, com a tensão admissível.
Como visto na seção 4.2, a análise de uma viga-coluna é complicada porque há um acoplamento
não-linear entre a carga axial e a flexão. A flexão pode ser causada por uma aplicação excêntrica da
carga axial, cargas laterais, gradientes térmicos ou uma combinação de condições. Este acoplamento
não-linear amplifica o momento fletor que resultaria na viga sem a carga axial de compressão. Uma
conseqüência do momento fletor não ser proporcional às cargas axiais é que não pode ser utilizado o
princípio da superposição, isto é, os efeitos combinados de duas ou mais cargas axiais não pode ser
obtido a partir da superposição dos efeitos das cargas agindo separadamente. Se as cargas axiais
permanecem constantes, entretanto, os momentos fletores originados de qualquer sistema de cargas
laterais são proporcionais a estas cargas. As deflexões e momentos para dois ou mais sistemas de
cargas laterais podem portanto ser superpostas se a carga axial é a mesma em cada sistema.
O momento fletor M, numa viga-coluna carregada lateralmente e submetida a uma carga axial P,
pode ser comparado ao momento fletor M0 que resultaria na viga sob a ação do mesmo carregamento
lateral atuando sozinho (sem a carga axial) pela seguinte expressão aproximada:
4.9
crPPMM
1
10 (4.25)
A Eq. (4.25) pode ser utilizada para calcular a diferença aproximada entre M e M0, com o objetivo de
determinar se uma análise completa da viga-coluna é necessária. A diferença entre M e M0 é
normalmente pequena em membros que são projetados primariamente para suportar flexão e uma
análise de viga-coluna mais complexa pode não ser necessária.
O primeiro passo na análise de uma viga-coluna é calcular a sua carga crítica. Se a carga axial for
menor do que a carga crítica, os efeitos combinados são, então, examinados. As seguintes equações
são utilizadas para calcular o efeito das cargas combinadas em vigas de um único vão:
a) Momento Fletor
)(cossen)( 2
21 xfjj
xC
j
xCxM (4.26)
b) Esforço Cortante
dx
xdfj
j
x
j
C
j
x
j
C
dx
dMxV
)(sencos)( 221 (4.27)
onde C1 e C2 são constantes de integração, f(x) é uma função que depende das cargas distribuídas na
viga e
P
EIj (4.28)
Para vigas simplesmente apoiadas, as expressões para as deflexões e inclinações são dadas,
respectivamente, por
P
xVxVx
P
xMxMx
)()()(
)()()( 00
; (4.29)
onde M0 e V0 são, respectivamente, o momento fletor e o esforço cortante na viga quando submetida
somente a cargas laterais (P = 0).
Nas equações acima, um momento positivo produz compressão na fibra superior da viga e um
deslocamento positivo está na direção da carga lateral aplicada. A Tab. 4-1 fornece os valores de C1, C2
e f(x) para os casos mais comuns, bem como a localização e valor do momento máximo na viga quando
disponíveis.
Casos que envolvem mais de um sistema de carregamento lateral podem ser tratados somando-se
os coeficientes individuais para cada sistema e usando o total nas equações fornecidas acima. Os
momentos em vários pontos ao longo do vão podem ser computados e uma curva suave pode ser
traçada através destes pontos para a determinação do momento máximo.
Dados e fórmulas adicionais para a análise de vigas-coluna de seção constante podem ser
encontrados nas Refs. 4-1, 4-3, 4-4 e 4.5.
4.10
TABELA 4.1 Fórmulas para Viga-Coluna sob Cargas Combinadas Axial e Transversal
CARREGAMENTO C1 C2 f(x) LOCALIZAÇÃO DE Mmax Mmax
j
Lwj
2tan2
2wj
w
Lx 5,0
1
j2
Lsec2
max wjM
2
wjL
j2Ltan2
wjL
w
Lxx e 0
1
j2Ltan
22max
jL
wjM
Lx 5,0
1
j2Lsen
22max
jL
wjM
jLwj
jL
jL
jL
jL
wLj
2tan
tan
22tan
2
2tantan
2tan
2wj
j
L
jL
jL
jL
jL
wLj
w
0x
j
L
jL
jL
jL
jL
wLjM tantan
2tan
2max
wLj
j
Ltansec2
j
L
j
Lwj
w
0x
j
Ltan1sec2
maxj
L
j
LwjM
ax
jL
jWj
para sen
bsen
0
0
j
bj
Lx
se 2
jL
jaWj
Msen
sen
max
ax
jL
jaWj
para tan
sen
j
aWj sen
0
j
bax
se j
b
jL
jaWj
M sensen
sen
max
ax
j
L
j
L
j
L
j
b
j
L
j
b
Wj
para
sencos
sencos
ax
j
L
j
L
j
L
j
L
j
b
j
b
j
L
Wj
para
sencos
sensen
0
0x
sencos
sensen
max
j
L
j
L
j
L
j
L
j
b
j
b
j
L
WjM
ax
j
L
j
L
j
L
j
b
j
a
j
L
j
asin
j
L
Wj
para
sencos
coscos
ax
j
L
j
L
j
L
j
b
j
a
j
a
j
L
j
L
Wj
para
sencos
sencossen
0
ax
sencos
sencos
senmax
j
L
j
L
j
L
j
a
j
b
j
a
j
L
j
bWjM
b
W
a
x
W
W P P
w
P
x
P w
P
x
P
w
w
PP
x
P
a b
W
x
W
W P P
1
2
3
4
5
6
x
P b
4.11
TABELA 4.1 Fórmulas para Viga-Coluna sob Cargas Combinadas Axial e Transversal (Continuação)
CARREGAMENTO C1 C2 f(x) LOCALIZAÇÃO DE Mmax Mmax
2
para 2
Lx
Wj
2 para
4tan
2
Lx
j
LWj
0
0x
j
LWjM
4tan
2max
2/Lx
j
LWjM
4tan
2max
Wj
j
LWj tan
0
0x
j
LWjM tanmax
ax
j
L
j
bM a
para sen
cos
0
0
2
se j
bax
j
L
j
b
j
aM
Ma
sen
cossen
max
ax
j
L
j
aM a
para tan
cos
j
aM a cos
0
2 se
2
jb
jLx
j
L
j
aM
M
a
sen
cos
max
sen
cos12
j
L
j
LMM
1M
0
j
LM
j
LMM
jx
sen
cos
tan arc
1
12
ou x = 0 ou x = L
j
L
Mj
LMMM
M
sen
cos2
21
2121
22
max
ou M1 ou M2
j
L
wj
sen
2
0
L
wx
jL
jLjx
sencosarc
Ache o valor de x e substitua
na equação geral
P P
L/2
W
w P P
x
M2 M1
P P
x
Ma
P P
a b
a < b
x
P P W
x
7
8
9
10
11
4.13
EXEMPLO
O projeto preliminar de uma viga simplesmente apoiada de 50 in de comprimento, submetida a momentos M1 e M2 em suas extremidades, uma carga W, a uma distância a de sua extremidade esquerda, e uma carga axial P, foi baseado na equação de interação para vigas-coluna dada por (vide seção 4.7):
1
1
crcr PPM
M
P
P
u
(a)
onde M é o momento máximo devido às cargas laterais atuando sozinhas (P = 0), P é a carga axial aplicada, Mu é o momento admissível para as cargas laterais agindo sozinhas e Pcr é a carga crítica de flambagem em torno de eixo compatível com as deflexões produzidas por M (y-y, no caso).
Inicialmente será mostrado que, de fato, a viga foi projetada com base na eq. (a). A carga crítica de flambagem em torno do eixo y é:
kips 712,21kips 50
514,0700.102
2
2
2
cr
L
EIP
y (b)
O momento admissível Mu é calculado de forma que a fibra extrema da viga atinja a tensão de escoamento Fy:
inkips 093,37in kips97,0
514,070
c
IFM
I
cMF
yy
u
y
uy (c)
O momento máximo na viga sujeita às cargas laterais atuando sozinhas pode ser calculado do diagrama de momentos. Sejam RA e RB as reações (positivas para cima), respectivamente, nas extremidades A e B. Nestas condições:
kip 605,050
3575,0412 0 :B em 21
AA RWbbaRMMM
kip 145,0 0 BBAz RRRWF
O momento máximo é claramente no ponto de aplicação da carga W:
in-kip 075,1715605,081 aRMM A (d)
Usando os valores encontrados em (b), (c) e (d) na eq. (a), tem-se
712,2171093,37
075,17
712,21
71,0018
4.14
O que se deseja, através de uma análise apurada, é conhecer o momento máximo que se desenvolverá na viga e a margem de segurança do projeto.
Passo 1: Determine se P > Pcr , considere P agindo sozinho:
kips 153,8762,07,10 ksi 7,10
4,99
700.10
'
4,99503,0
50' in; 50' in; 503,0
762,0
193,0
A
crcr2
2
2
2
cr
minmin
AFPL
EF
LLL
I
(e)
Como P < Pcr , a coluna não flambará sob a carga P atuando sozinho
Passo 2: Determine o nível de tensão devido à carga P atuando sozinho e a margem de segurança em relação à flambagem
165,01186,9
7,101.. ; ksi 186,9
762.0
7 cr c
cf
FSM
A
Pf (f)
Passo 3: Determine as expressões para o momento ao longo da viga
03,287
514,0700.10
P
EIj
y (g)
Use uma combinação dos casos (10) e (5) da Tabela 4.1 de modo que C = Ccaso 10 + Ccaso 5
Para x < a:
4100,34
03,28
50sen
03,28
35sen03,2875,0
03,28
50cos812cos12
1
j
Lsen
j
bwjsen
J
Lsen
j
LMM
C
8012 MC , 000)( 2 jxf de modo que
axj
x
j
xsenxM ; cos841,34)( (h)
Para x > a:
3265,16
03,28
50tan
03,28
1503.2875.0
03,28
50
03,28
50cos812
tan
cos12
1
sen
senj
L
j
bwjsen
J
Lsen
j
LMM
C
7207,1803,28
15sen03,2875,0812
j
aWjsenMC , 000)( 2 jxf , de modo que
axj
x
j
xxM ; cos7207,18sen3265,16)( (i)
Passo 4: Determine o momento máximo
O momento máximo se dará ou numa das extremidades A e B, ou no ponto C de aplicação da carga, ou em algum ponto entre A e C, ou em algum ponto entre C e B.
in-kip 429,2403,28
15cos8
03,28
15sen41,34
;in -kip 12 ;in -kip 8 21
C
BA
M
MMMM
4.15
Verificação se está em algum ponto entre A e C:
63,37 rad 3424,1 3013,48
41,34tan 0sen
8cos
41,34 x
j
x
j
x
j
x
jj
x
jdx
dM
como x > a = 15, não há mínimo local no intervalo.
Verificação se está em algum ponto entre C e B:
in-kips 839,2403,28
10,20cos7207,18
03,28
10,20sen3265,16
10,20 rad 7172,0 8721,0tan 07207,18
cos3265,16
max
M
xj
x
j
x
j
xsen
jj
x
jdx
dM
O diagrama de momentos está esboçado na figura, podendo-se verificar que Mmax = 24,840 kips-in.
Passo 5: Calcule a tensão total e a margem de segurança
1. do passo 2, tensão de compressão: fc = - 9,186 ksi
2. tensão normal máxima de flexão: fb = Mc / I = 24,840x0,97/0,514 = 46,877 ksi
3. tensão combinada: ftotal = | fc | + | fb| = 56,063 ksi
4. M.S. = Fy / ftotal – 1 = 70/56,063 – 1 = + 0,249
Como pode ser notado, o projeto da viga é mais crítico em relação à flambagem em torno do eixo z e a margem de segurança é + 0,165 .
4.5 VIGA-COLUNA CONTÍNUA Uma grande percentagem da estrutura primária de uma aeronave pode ser classificada nesta
categoria. Cargas aerodinâmicas, de combustível, pressurização, etc., dão origem às cargas laterais. As
nervuras e cavernas fornecem os suportes contínuos à estrutura primária.
Vigas-coluna contínuas com rigidez uniforme em cada vão podem ser resolvidas por uma adaptação
do teorema dos três momentos, como mostrado na Fig. 4-6.
A continuidade sobre quatro, ou mais vãos, pode ser resolvida escrevendo-se uma equação dos
três momentos para cada par de vãos e resolvendo-se o sistema de equações simultâneas decorrente.
Uma extremidade engastada pode ser tratada a partir da adição de um vão fictício com rigidez EI e
fazendo P = 0 neste vão. Um sistema complexo de cargas em qualquer vão pode ser aproximado
através da aplicação repetida de cargas concentradas.
As funções e , são conhecidas como funções de Berry. Tabelas de Ψ e , em
função do parâmetro L / j podem ser encontradas em alguns textos, como a Ref. 4.2.
4.16
Fig. 4-6 Teorema dos Três Momentos Modificado com a Inclusão do Efeito da Carga Axial
EXEMPLO 1 – Viga-Coluna sobre três suportes
Considere a viga-coluna da figura, apoiada em três suportes. A viga está sujeita a uma carga axial constante ao longo de seu comprimento, momentos distintos em suas extremidades, uma carga
4.17
concentrada no primeiro vão e uma carga uniformemente distribuída no segundo vão. Solicita-se o valor do momento no suporte central. Os dados relevantes são dados na figura.
Passo 1: Inicie com os cálculos preliminares:
9171,071,32
30 ; 7643,0
71,32
25 ;in 71,32
5
5,0700.10
j
L
j
L
P
EIj RL
Passo 2: Calcule o valor das funções de Berry relevantes à solução do problema:
0919,1
9171,0
29171,029171,0tan24
22tan24
0610,1 ; 0412,17643,0tan
1
7643,0
1
7643,0
3
tan
113
1076,1 ; 0726,17643,0
1
7643,0sen
1
7643,0
6
116
33
R
RL
RL
jL
jLjL
jLjLL
j
jLjLsenL
j
Passo 3: Calcule as funções F:
4
R
4 10346,95,0700.10
30 ; 10788,7
5,0700.10
25
6
FFEI
LF L
Passo 4: Calcule as funções H:
233
3
10592,45,0700.1024
0919,1302.0
24
10774,725
5,12
7643,0sen
27643,0
5
1
EI
wLH
senH
L
b
jLsen
jbsen
P
WH
R
LL
Passo 5: Substitua na fórmula geral e resolva para M2
143,2810605,3
101456,10 103694,5107762,410605,3ou
10592,410774,71076,110346,930
0610,110346,90412,110788,720726,110788,720
3
2
2
22
2
3
234
44
2
4
MM
M
M2 = - 28,143 kips-in
EXEMPLO 2 – Viga-Coluna sobre quatro suportes
Considere a viga-coluna da figura, sobre quatro suportes. Como no exemplo 1, há uma carga axial constante através de todo o comprimento da coluna e momentos distintos aplicados nas extremidades. A viga tem um carregamento distribuído que cresce linearmente no vão da esquerda, permanece uniforme no vão central e decresce linearmente no vão da direita. O procedimento de solução consiste em separar o problema de três vãos em dois problemas de dois vãos e resolver o sistema resultante para os momentos nos suportes 2 e 3, como realizado no exemplo 1. Duas equações, onde os dois momentos nos suportes centrais aparecem como incógnitas, são montadas e posteriormente resolvidas.
4.18
Passo 1: Separe a estrutura em duas equações dos três momentos (1-2-3 e 2-3-4) e faça os cálculos preliminares
Vão 1-2 2-3 2-3 3-4
L / j 0,4586 0,6114 0,6114 0,7643
1,0251 1,0454 1,0454 1,0726
1,0143 1,0258 1,0258 1,0412
- 1,0389 1,0389 -
F 4,673x10-4
6,231x10-4
6,231x10-4
7,788x10-4
H -7,153x10-3
-3,236x10-2
-3,236x10-2
-3,437x10-2
Passo 2: Monte as equações dos três momentos para cada lado:
Para o lado esquerdo:
20x4,673x10-4
x1,0251 + 2M2 (4,673x10-4
x1,0143 + 6,231x10-4
x1,0258) +
+ M3x6,231x10-4
x1,0454 = -(0,7153 + 3,236)x10-2
Para o lado direito:
M2x6,231x10-4
x1,0454 + 2M3 (6,231x10-4
x1,0258 + 7,788x10-4
x1,0412) +
+ 30x7,788x10-4
x1,0726 = -(3,236 + 3,437)x10-2
Passo 3: Resolva o sistema de equações para M2 e M3:
in -kips 575,28
693,13
1792,9
9096,410
002,29513,6
513,6263,22
3
22
3
2
M
M
M
M
4.19
EXEMPLO 3 – Viga-Coluna com engastamento
Considere a viga-coluna do exemplo 1, onde o suporte da esquerda (e momento aplicado na extremidade da esquerda) foi substituído por um engaste. O procedimento de solução consiste em adicionar um vão fictício à esquerda da viga, com rigidez infinita e carga axial nula. O problema de três vãos resultante é depois separado em dois problemas de dois vãos, como no exercício anterior.
Passo 1: Adicione o vão virtual com rigidez infinita e carga axial nula
Passo 2: Separe a estrutura em duas equações dos três momentos (0-1-2 e 1-2-3) e faça os cálculos preliminares
Vão 0-1 1-2 1-2 2-3
j 32,71 32,71 32,71
L / j 0 0,7643 0,7643 0,9171
1 1,0726 1,0726 1,1076
1 1,0412 1,0412 1,0610
- - - 1,0919
F 0 7,788x10-4
7,788x10-4
9,346x10-4
H 0 -0,7774x10-2
-0,7774x10-2
-4,592x10-2
1 2 3
4.20
Passo 2: Monte as equações dos três momentos para cada lado:
Para o lado esquerdo:
0 + 2M1 (0 + 7,788x10-4
x1,0412) + M2x7,788x10-4
x1,0726= -(0 + 0,7774)x10-2
Para o lado direito:
M1x7,788x10-4
x1,0726+ 2M2 (7,788x10-4
x1,0412 + 9,346x10-4
x1,0610) +
+ 30x9,346x10-4
x1,1076 = -(0,7774 + 4,592)x10-2
Passo 3: Resolva o sistema de equações para M1 e M2:
in -kips 433,25
306,8
4749,8
7774,010
050,36353,8
353,8218,16
3
22
2
1
M
M
M
M
OBSERVAÇÃO: Em aplicações aeronáuticas, o número de suportes é normalmente grande e a solução
manual seria tediosa. Uma solução por computador seria mandatória. Para análise preliminar, entretanto,
a Ref. 4.6 apresenta figuras que permitem estimar o momento máximo no vão central de vigas contínuas
de 3, 5 e 7 vãos.
4.6 VIGAS COM CARGAS AXIAIS DE TRAÇÃO O tratamento de vigas submetidas a cargas transversais e cargas axiais de tração é realizado de
forma análoga. A equação de equilíbrio para o caso típico pode ser escrita como
)(" 2 xfwkw , com EI
Pk (4.30)
A solução geral é da forma
)(coshsenh)( xwkxBkxAxw p (4.31)
onde wp(x) é uma solução particular e A, B constantes arbitrárias determinadas a partir das condições de
contorno. Tabelas de formulas para os casos mais comuns, semelhantes àquelas dispostas na Tab. 4-1,
podem ser encontradas nas Refs. 4.2, 4.3, 4.5 e 4.6. A diferença matemática entre os casos de carga
axial em compressão e tração é que este último envolve funções hiperbólicas em vez de funções
circulares. Fisicamente, a carga axial de tração, ao contrário daquela em compressão que diminui a
rigidez do membro, aumenta a rigidez do membro, tendo, em conseqüência, um efeito redutor sobre os
deslocamentos e momentos desenvolvidos sob o carregamento transversal.
4.7 EQUAÇÃO DE INTERAÇÃO PARA O PROJETO DE VIGA-COLUNA Quando um membro está sujeito a um carregamento combinado, tal como compressão axial e
flexão, uma equação de interação fornece um meio adequado para a aproximação do estado de falha.
Conhecendo-se a resistência do membro em compressão pura e em flexão pura e sabendo-se que o
membro pode suportar menor compressão e flexão quando estes carregamentos estiverem agindo de
forma combinada do que suportaria se qualquer um destes carregamentos estivesse agindo sozinho,
4.21
pode-se estimar quanto de compressão e flexão o membro pode resistir se ambos estiverem presentes.
Tal aproximação pode ser verificada experimentalmente.
Para desenvolver uma equação de interação para flexão e compressão combinadas, considere as
razões P/Pu e M/Mu, onde
P = carga axial agindo no membro no momento da falha quando ambas, a compressão axial e
flexão estão presentes;
Pu = carga última no membro quando somente a compressão axial está presente, isto é, a carga de
flambagem do membro;
M = momento primário máximo agindo no membro no instante da falha quando ambas, a
compressão axial e flexão estão presentes; este momento exclui a amplificação devido à
presença da carga axial, ou seja, é o momento devido ao carregamento transversal somente;
Mu = momento último do membro sob flexão somente; na condição final, este momento é o
momento plástico da seção; na condição limite, é o momento sob o qual a fibra extrema atinge
a tensão de escoamento.
A equação de interação mais simples que poderia ser derivada é a reta,
1uu M
M
P
P (4.32)
mostrada pela linha tracejada na Fig. 4.7. Como pode ser notado, entretanto, todas as cargas de falha
obtidas experimentalmente ou teoricamente (também mostradas na figura) caem abaixo desta reta. Em
conseqüência pode-se concluir que a Eq. (4.32) fornece uma estimativa não conservativa para o projeto
de vigas-coluna e não é, portanto, um critério satisfatório de projeto.
4.22
Ma
EI P P
Mb
A razão para a discrepância entre a Eq. (4.32) e as cargas reais de falha em vigas-coluna é que M,
na equação, é somente a parte primária do momento total que age no membro. Noutras palavras, M não
inclui o momento secundário produzido pela carga axial e deflexão lateral. Foi mostrado na seção 4.2
que a presença de uma carga axial amplifica o momento fletor primário, aproximadamente pela razão
1/[1-(P/Pcr)]. Se este fator é incorporado na Eq. (4.32) obtém-se
1
1
crP
PM
M
P
P
u
u
(4.33)
Esta relação é mostrada pela linha cheia na Fig. 4-7. É evidente que a Eq. (4.33) se correlaciona muito
melhor com as cargas de falha reais e, de fato, parece oferecer um critério bastante satisfatório de
projeto. É evidente que a Eq. (4.33) nada mais é que a Eq. (4.32) onde os efeitos secundários no
momento Mu são considerados. Em alguns textos (como Ref. 4.6) a equação de interação é dada como
em (4.32). Neste caso, entretanto, a definição de Mu deve incorporar os efeitos da carga axial.
4.8 EXERCÍCIOS
EXERCÍCIO 4.1
Obtenha expressões para a deflexão máxima e momento máximo de uma viga-coluna uniforme de comprimento L e rigidez a flexão EI, cujas extremidades estão engastadas e que está sujeita a uma carga concentrada transversal em seu ponto médio igual à carga de compressão P.
EXERCÍCIO 4.2
Obtenha expressões para a deflexão de uma viga-coluna simplesmente apoiada, submetida a momentos nas extremidades;
Ache expressões para as derivadas da deflexão nas extremidades.
Ache o momento máximo na viga, quando: Mb = - Ma = M0 para
a) P/PE = 0,2 b) P/PE = 0,8
onde PE = 2EI/L
2
EXERCÍCIO 4.3
Uma viga simplesmente apoiada em ambas as extremidades está sujeita a um carregamento uniforme w /unidade de comprimento.
A força longitudinal de compressão P é aplicada à uma distância e do centróide da seção, e colocada de forma a se opor ao efeito de flexão do carregamento lateral, como mostrado na figura. A excentricidade e pode ser variada de forma a, dados valores de P e w, minimizar o momento fletor máximo na viga.
Ache, em função de P, w, EI e L, a expressão de e que minimiza este momento máximo.
P EI
P
L
P
L
e
P P
EI
L
w
wL/2 wL/2
e
4.23
EXERCÍCIO 4.4 A carga P para a qual o escoamento inicia nas fibras
extremas da viga-coluna mostrada na figura, é dada pela relação implícita
EA
PLec
A
PFy
2sec1
2 (a)
Notando que
I
cM
A
PFFy
max
max
derive a relação (a). Os termos usados nas relações são definidos como: A = área da seção transversal c = distância da fibra extrema do eixo central
= raio de giração da seção Fy = tensão de escoamento Fmax = tensão máxima admissível
EXERCÍCIO 4.5
Calcule o momento máximo na viga-coluna da figura. Dados: L = 40 in ; I = 0,64 in
4
E = 10.700 ksi P = 10 kips; w = 0,4 kips/in; M = 30 kips-in
EXERCÍCIO 4.6
Calcule o momento máximo na viga-coluna da figura. Dados: L = 60 in; a = 40 in; b = 20 in A = 0,81 in
2 ; I = 0,64 in
4
E = 10.700 ksi P = 10 kips; W = 5 kips M = 30 kips-in
EXERCÍCIO 4.7
Calcule os momentos atuantes no engastamento e suportes. Dados: a = 40 in ; b = 60 in; c = 40 in; d = 20 in A = 0,81 in
2 ; I = 0,64 in
4
E = 10.700 ksi P = 10 kips; w = 0,4 kips/in; W = 5 kips M = 30 kips-in
max
e
P P
EI e
L
w
a b
P W
M
d c
w
L
P
M
L
P W
M
a
4.24
4.9 REFERÊNCIAS
4.1 Timoshenko, S.P. & Gere, J.M.: Theory of Elastic Stability, McGraw-Hill, New York, NY, 1961.
4.2 Boeing Design Manual, BDM-6255, Classical Beam Columns, The Boeing Co., Seattle, Jan 1994
4.3 Roark, J.R.: Formulas for Stress and Strain, 4th ed., McGraw-Hill, New York, 1965.
4.4 Niles, A.S. & Newell, J.S.: Airplane Structures, Vol II, 4th ed., John Wiley & Sons, 1954.
4.5 NASA, Astronautics Structures Manual, Vol. 1, Section B.4.6, Structures and Propulsion Laboratory, NASA Marshall Space Flight Center, AL 35812, August 1975 – também disponível para download em http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p6.pdf e http://trs.msfc.nasa.gov/mtrs/75/tmx73305v1p7.pdf
4.6 Structural Design Manual, Vol. I, Section B6.2.2, Beam Column, McDonnell Douglas Co., Aug 1982.
BIBLIOGRAFIA ADICIONAL
4.7 ESDU, Information on the Use of Data Sheets 01.06, ESDU Data Item no. 01.06.00, November, 1956.
4.8 ESDU, Struts with Lateral Loads, ESDU Data Item no. 78030, November, 1978.
4.9 ESDU, Form Factors for Circular Sections under Combined Bending and Axial Load, ESDU Data Item no. 01.06.01, October, 1956.
4.10 ESDU, Form Factors for Flanged Sections under Combined Bending and Axial Load., ESDU Data Item no. 01.06.02, October, 1956.
4.11 ESDU, Form Factors for Channel Sections under Combined Bending and Axial Load., ESDU Data Item no. 01.06.03, October, 1956.