6FB111- Cálculo I - 2010-1

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 FAAP – Faculdade de Computação e Informática Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1 Edição de 2010 Edição de 2010 Edição de 2010 Edição de 2010- - - -1 1 Cálculo Diferencial e Integral I

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Edição de 2010Edição de 2010Edição de 2010Edição de 2010----1111

CálculoDiferencial eIntegral I

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Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é,Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é,Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é,Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é,naturalmente, imperfeita na sua base.naturalmente, imperfeita na sua base.naturalmente, imperfeita na sua base.naturalmente, imperfeita na sua base.August Comte, 1798August Comte, 1798August Comte, 1798August Comte, 1798----1875187518751875

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Sumário

1. Limites............................................................................................................................................................. 7

1.1 Definição ....................................................................... ............................................................ .............. 7

1.2 Propriedades dos limites ............................................................ ...................................................... 9

1.3 Limites laterais ........................................................... ............................................................ ........... 111.4 Limites infinitos ................................................................................................................................ 15

1.5 Limites fundamentais ..................................................................................................................... 17

1.5.1 Limites trigonométricos ............................................................... ......................................... 17

1.5.2 Limites exponenciais .............................................................................................................. 20

1.6 Continuidade ...................................................................................................................................... 25

2. Derivada de uma função ........................................................... ............................................................ . 29

2.1 Conceito de derivada .......................................................... ............................................................ . 29

2.2 Propriedades das derivadas ................................................................ ......................................... 33

2.2.1 Derivada de uma constante ......................................................... ......................................... 332.2.2 Derivada da potência ........................................................... ................................................... 34

2.2.3 Derivada da soma e da diferença ....................................................................................... 36

2.2.4 Derivada do produto ............................................................ ................................................... 40

2.2.5 Derivada do quociente ........................................................................................................... 43

2.3 Regra da Cadeia ......................................................... ............................................................ ............ 45

2.4 Derivadas de Ordem Superior ............................................................ ......................................... 49

2.5 Derivada das Funções Trigonométricas .................................................................................. 51

2.5.1 Derivada da função seno ....................................................................................................... 51

2.5.2 Derivada da função cosseno ................................................................................................ 532.5.3 Derivada da função tangente ...................................................... ......................................... 57

2.5.4 Derivada da função cotangente .......................................................................................... 57

2.5.5 Derivada da função secante ................................................................................................. 58

2.5.6 Derivada da função cossecante ............................................................ ............................... 59

2.6 Derivada de funções logarítmicas ............................................................... ............................... 61

2.7 Derivada de funções exponenciais ............................................................................................ 67

2.8 Derivadas de Funções na Forma Implícita ............................................................................. 74

3. Aplicações da Derivada ............................................................. ............................................................ . 82

3.1 Máximos e mínimos de uma função .......................................................................................... 82

3.1.1 Teorema de Fermat ............................................................. .................................................... 83

3.1.2 Teste da derivada de segunda ordem .............................................................................. 84

3.1.3 Cálculo dos máximos e mínimos absolutos ................................................................... 86

3.1.4 Otimização: aplicações do cálculo de máximos e mínimos ...................................... 89

3.2 Esboço da curva de uma função ......................................................... ......................................... 93

3.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes ............................................................. ..................... 93

3.2.2 Análise da Primeira Derivada ............................................................... ............................... 93

3.2.3 Análise da Segunda Derivada .............................................................................................. 94

3.2.4 Procedimento para o esboço da curva de uma função .............................................. 95

Apêndices ...................................................................... ............................................................ .................... 101

A.1 Resumo de Fórmulas ....................................................................................................................101

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Poesia MPoesia MPoesia MPoesia MaaaatemáticatemáticatemáticatemáticaMillôr FernandesÀs folhas tantasDo livro matemáticoUm Quociente apaixonou-seUm diaDoidamentePor uma Incógnita.Olhou-a com seu olhar inumerávelE viu-a, do Ápice à Base.Uma figura ímpar:Olhos rombóides, boca trapezóide,Corpo ortogonal, seios esferóides.Fez da suaUma vida Paralela à delaAté que se encontraramNo infinito."Quem és tu?" indagou eleCom ânsia radical."Sou a soma do quadrado dos catetos.Mas pode me chamar de Hipotenusa."E de falarem descobriram que eram-- O que, em aritmética, correspondeA almas irmãs-- Primos-entre-si.E assim se amaramAo quadrado da velocidade da luzNuma sexta potenciaçãoTraçandoAo sabor do momento

E da paixãoRetas, curvas, círculos e linhas sinoidais.Escandalizaram os ortodoxos dasfórmulas euclideanasE os exegetas do Universo Finito.Romperam convenções newtonianas epitagóricas.E, enfim, resolveram se casarConstituir um lar.Mais que um lar,Uma Perpendicular.

Convidaram para padrinhosO Poliedro e a Bissetriz.E fizeram planos, equações e diagramaspara o futuroSonhando com uma felicidadeIntegralE diferencial.E se casaram e tiveram uma secante etrês conesMuito engraçadinhos.E foram felizesAté aquele diaEm que tudo, afinal,Vira monotonia.Foi então que surgiuO Máximo Divisor ComumFreqüentador de Círculos Concêntricos.Viciosos.Ofereceu-lhe, a ela,Uma Grandeza Absoluta,E reduziu-a a um Denominador Comum.Ele, Quociente, percebeuQue com ela não formava maisUm Todo Uma Unidade.Era o Triângulo.Tanto chamado amoroso.Desse problema ela era a fraçãoMais ordinária.

Mas foi então que Einstein descobriu aRelatividadeE tudo que era espúrio passou a serMoralidadeComo, aliás, em qualquerSociedade.

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IntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoIntroduçãoCaro aluno, seja bem-vindo!

Este material foi preparado para ajudá-lo durante todo o semestre. Ele contém osconhecimentos básicos necessários para você ter um bom aproveitamento dessadisciplina. Além disso, considerando a grande utilização da Matemática pelas demaisdisciplinas, é muito importante que você compreenda bem tudo o que vamos abordar.Para facilitar sua utilização desse material, saiba que ele está elaborado sempre em trêspartes:

1) Primeiro, é feita a apresentação conceitual do assunto, que pode ser a apresentaçãode um conceito, uma demonstração ou uma definição.2) Em seguida, são dados exemplos de como aplicar os conceitos na resolução deproblemas. São exercícios resolvidos passo a passo, e é importante você entender bemtodas as passagens. Por vezes, os problemas são de natureza prática, mas, outras vezes, aresolução será teórica e sua aplicação será vista nas aulas de Física, Mecânicas dos

Sólidos, Termodinâmica, etc.3) Finalmente, haverá uma lista de exercícios para você resolver. Parte deles seráresolvida por você em sala, onde poderá ter o apoio do professor. Entretanto, é muitoimportante que você reserve tempo além das aulas para resolver todos os exercícios domaterial; traga suas dúvidas sempre que surgirem.Não é demais enfatizar que a parte mais importante para seu aprendizado é a terceira. Aexperiência mostra que é ao fazer os exercícios que as dúvidas aparecem, sãoesclarecidas, e os conceitos consolidados.Uma dica importante: o curso é cumulativo, ou seja, os conceitos iniciais serãoimportantes para os próximos assuntos. Assim, não deixe que suas dúvidas seacumulem. Se você mantiver um bom ritmo de aprendizado, será sempre mais fácilacompanhar o curso.

Acima de tudo, saiba que pode sempre contar com o apoio e ajuda de seu professor.

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1111. Limites. Limites. Limites. Limites1111.1 Definição.1 Definição.1 Definição.1 Definição

A noção intuitiva de limitelimitelimitelimite pode ser constatada pela observação de algumas sucessõesnuméricas. Sejam, por exemplo, as seguintes sucessões:1) 1,2,3,4,5,6, …: uma vez que para qualquer valor imaginado será possível encontrar umtermo maior, podemos inferir que o limite dessa sucessão é infinito. Indica-se ∞.2) , , , , ,…neste caso, os termos também crescem, mas, à medida que o fazem, arazão entre eles aproxima-se sucessivamente de um. Dizemos que o limite destasucessão é 1. Indica-se 1.3) 1,2,3,4,5,…: esta sucessão tem como limite o infinito negativo, ou seja, ∞ .4) , , , , , …: neste caso, a sucessão aproxima-se de zero, o que pode ser indicado por

0 .Analogamente, uma função pode tender a certo limite ao passo que a variável seaproxima de certo valor. Por exemplo, seja a função: 2 5

É possível observar que à medida que se aproxima de

2, ) se aproxima de 6. Ou seja:lim 2 5 6Neste caso, de fato:

 2) 2 2 . 2 5 . 2 6

Observe que a função tende a 6 quando se aproxima de 2 tanto pela esquerda comopela direita. Somente quanto isso ocorre, isto é, somente quando os chamados limites

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laterais são iguais, é que o limite naquele ponto é definido. Matematicamente, temosentão que:

lim 2 5 l i m 2 5 6Portanto:lim 2 5 6

Nem sempre os limites laterais são iguais. Por exemplo, seja a função:

2 1 1  O gráfico ao lado demonstra que quando o valorde se aproxima de 1 pela esquerda, o valor dafunção tende a ∞, ao passo que quando seaproxima de 1 pela direita, a função tende a ∞.

Ao mesmo tempo, observa-se que à medida que se aproxima de ∞ ou ∞, o valor da função, ,tende a .

É possível observar também que quando se aproxima de 2 por qualquer lado, a funçãose aproxima de 5. Assim, o limite da função em 2 é definido, e vale 5. Por outro lado, olimite da função em 1 não existe.A notação matemática para esses fatos é:

lim 2lim ∞ e lim ∞ lim

lim lim 5 l i m 5

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Genericamente, escrevemos:lim  ) se para todo 0 existe um 0, tal que| ) | sempre que 0 | | .

1111.2 Propriedades dos limites.2 Propriedades dos limites.2 Propriedades dos limites.2 Propriedades dos limitesSeguem algumas propriedades básicas que serão necessárias para resolução dosproblemas envolmendo limites:

1)  lim , onde cccc é uma constante;2)  lim . ) . l im )3)  lim )) lim )lim )4)  lim ).) lim ).lim )5)  lim )) ) ) 6)  lim ) lim ) 7)

 

lim ) ), para funções contínuas8)  lim) lim ) O cálculo do limite de uma função pode levar a valores indeterminados. Sãoconsideradas indeterminações: , 0. ∞), , ∞ ∞ , 0, 1 e ∞. Nesses casos, podeser possível encontrar o limite através de operações algébricas, ou utilizando a Regra del’Hopital, que será estudada mais adiante.

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ExemplosExemplosExemplosExemplos1) lim34)

Neste caso, a simples substituição conduz à solução:lim 3 4 ) 3 . 2 4 1 02) lim  Se tentarmos a substituição neste caso, teremos:

lim

ou seja, um valor indeterminado.Fatorando o numerador, porém, verificamos que:

lim 4 2 lim 2) 2 ) 2 lim 2) 43) lim  )√   

Igualmente, a substituição resultaria em lim  )√  √ √  √ √   Multiplicando, porém, o numerador e denominador por   2) √ 2, ouconjugado, teremos:lim  )√  lim  )√ . )√ . )√  lim . )√ 

lim  )√  Substituindo agora 0, teremoslim  )√  √ √  √  √   

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ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosCalcular os limites:

1) lim . Resposta:  2) lim . Resposta:  3) lim . Resposta: 124) lim  ) . Resposta:  5)

lim

. Resposta: 126) lim . Resposta:  7) lim . Resposta: 18) lim √ √  . Resposta: √   9) lim . Resposta:  10)

lim

. Resposta:

 11) lim . Resposta: 2712) lim3 7 2). Resposta: 813) lim 4). 2 ). Resposta: 514) lim . Resposta: 515) lim . Resposta: -1

1111.3 Limites laterais.3 Limites laterais.3 Limites laterais.3 Limites lateraisComo vimos, pode acontecer que o limite obtido quando o valor se aproxima de peladireita é diferente do limite obtido quando o valor se aproxima pela esquerda.Suponha que, quando tende a pela esquerda,esquerda,esquerda,esquerda, isto é, por valores menores que , )tenda ao número . Este fato é indicado por:

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lim )  Por outro lado, suponha que, quando tende a pela direita,direita,direita,direita, isto é, por valores maioresque , ) tenda ao número . Este fato é indicado por:lim )  Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de ) em e limite à direita de ) em e referidos como limites lateraislimites lateraislimites lateraislimites laterais dededede ) emememem .Por exemplo, para a função , observamos que,quando o valor de se aproxima de 1 pela esquerda, ovalor da função tende a ∞, e quando se aproximade 1 pela direita, a função tende a ∞.Esses limites são indicados por:

lim 2 1

1 ∞

lim 2 1 1 ∞ Uma vez que a subsituição de por 1 resultaria numa divisão por zero, para calcular osresultados acima, uma forma é substituir por valores muito próximos de 1, um poucoacima e um pouco abaixo. Por exemplo, fazendo:

 ) 0,999) .,. 2998, o que nos permite inferir quelim ∞ ) 1,001) .,, 3002, o que nos permite inferir quelim ∞

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ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios1) lim . Resposta: ∞2) lim . Resposta: ∞3) lim1 √  2. Resposta: 14) lim1 √  2. Resposta: não pertence ao conjunto R.5) lim √  . Resposta: 16) lim √  . Resposta: não pertence ao conjunto R.7) lim ). Resposta: ∞8) lim . Resposta: ∞9) lim . Resposta: ∞Para as funções representadas a seguir, indique os limites solicitados que existirem,e, caso não existirem, explique por quê.10) a.  lim )b.  lim )c.  lim )  d.  lim ) e.   3)f.   0)

11) a. 

 ) 

b.   ) c.   )  d. 

 ) 

e.   5) f.   1) 

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12) a.  ) b.   )c.   ) d.   ) e.   ) f.   ) g.   ) h.   ) i.   )  j.    2) k.    2) l.   0)

13) a.  ) b.  ) c.   ) d.  ) 

e.  ) f.   ) g.  2) h.  ) 

14) a.  ) b.  ) c.   ) d.  ) e.  ) f.   ) g.  ) h.  0)

15) a.  ) 

b. 

 ) c.   ) d.  ) 

e.  )

f. 

 ) g.  ) h.  ) 16) Esboce o gráfico da função a seguir:

 ) 2 ) 1 1 1 1 ) 1

 

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17) Esboce o gráfico de uma função que satisfaça as seguintes condições:lim ) 4 , l i m ) 2 , l i m ) 2 , 3) 3 , 2) 1

1111.4 Limites infinitos.4 Limites infinitos.4 Limites infinitos.4 Limites infinitosSe nnnn é um número positivo, então: lim 0

Se n é um número positivo par, então: lim

∞Se n é um número positivo ímpar, então: lim ∞ e lim ∞Geometricamente, seguem alguns exemplos:

lim 0 lim 0 lim 0 lim 0lim ∞lim ∞ lim ∞ lim ∞lim ∞ lim ∞

Essas propriedades possibilitam a resolução de alguns limites infinitos.

ExemplosExemplosExemplosExemplos1) lim  

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A simples substituição de x por ∞ conduzirá à indeterminação ∞

∞. Assim,

faremos:lim 2 5 8

l i m2 5 8 l i m

2 51 8 lim 2 l i m 5lim 1 l i m 8 lim 2 5 . l i m 1lim 1 8 . l i m 1 2 5 . 01 8 . 0 2

2) lim  Neste caso, dividimos numerador e denominador pela maior potência de xxxx.lim 2 3 54 2 l i m

2 3 54 2 04 0

3) lim √   lim √  1 l i m lim √  l i m 1 0 0 ∞ ∞4) lim indeterminado.

Dividindo todos os termos por

: lim lim lim 0

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios

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1)  lim3 4 1). Resposta: ∞2)  lim 2 . Resposta: 2

3) 

lim. Resposta:

 4)  lim . Resposta:  5)  lim . Resposta:  

6)  lim . Resposta: 07)  lim . Resposta:  

8) 

lim

. Resposta: ∞9)  lim . Resposta: ∞10)  lim √  . Resposta: 0  11)  lim . Resposta: ∞12)  lim √  . Resposta: 1 

13) 

lim

1 ). Resposta:

 14)  lim √ 5 . Resposta:  15)  lim √  1 ). Resposta:  

1111.5 Limites fundamentais.5 Limites fundamentais.5 Limites fundamentais.5 Limites fundamentais

Existem alguns limites básicos, na forma trigonométrica e na forma exponencial, queserão usados para o cálculo dos limites especiais contendo expressões trigonométricas eexponenciais ou logarítmicas.1111.5.1 Limites trigonométricos.5.1 Limites trigonométricos.5.1 Limites trigonométricos.5.1 Limites trigonométricos

lim 1  Intuitivamente isto pode ser percebido da seguinte forma:

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Seja xxxx um arco em radianos, cuja medida seja próxima de zero, digamos x 0,0001 rad.Nestas condições, o valor de será igual a 0,00010,00009999.

Aplicando-se os valores no quociente acima, vem: 0,00010,0001 0,000099990,0001 0 ,9999 1Usando o mesmo raciocicínio com números cada vez menores, ou seja, quanto maispróximo de zero for o arco , mais o quociente se aproximará de 1111.

A observação do gráfico da função resulta na mesma conclusão.

Analogamente, podemos afirmar que:lim 1Por exemplo, supondo 0,0001, teremos:

tan0,00010,0001 0,00010000000030,0001 1 

O mesmo pode ser observado no gráfico da função ao lado.Essas propriedades serão usadas para problemas de limites envolvendo funçõestrigonométricas.

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ExemplosExemplosExemplosExemplos1) lim

 Para aplicar a propriedade, multiplicamos o numerador e o denominador por 5:lim lim . 5.l im 5 . 1 52) lim  

lim

lim))

) lim) lim ) lim . )

lim .lim ) 1. ) 03) lim  

lim lim lim ...  4) lim  

lim lim . 0 1 0

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios1)  lim . Resposta:  2)  Mostre que lim  3)  lim . Resposta:  4)  Mostre que lim  

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5)  lim . Resposta: 06)  lim . Resposta: 07)

 

lim . Resposta:  8)  lim . Resposta:  9)  lim . Resposta:  10)  lim ) . Resposta: -211)  lim )) . Resposta: 

12) 

lim

. Resposta: 413)  lim . Resposta:  14)  lim . Resposta: 1 lembrar que tan ) tan)15)  lim

. . Resposta: 0

1111.5.2 Limites exponenciais.5.2 Limites exponenciais.5.2 Limites exponenciais.5.2 Limites exponenciaisUma das constantes mais importantes na matemática é a constante , ou constanteneperiana. Ela é o resultado do limite:lim 1  

Demonstração:Seja lim 1 , com Como a substituição de por 0 nos levaria a 1, teremos que levantar a indeterminação.Lembrando que o Binômio de Newton é definido por:

)

 Ou seja:

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) Sendo que

!!)! Desenvolvendo cada coeficiente binomial, teremos !!)! !! 1

!!)!

)!)! !!)! ))!!)! )!  

!!)! )))!!)! ))!  ... etc.

Aplicando estes desenvolvimentos no binômio, teremos: ) . )! ))! Aplicando agora no binômio que queremos desenvolver, teremos:

1 1 . 1 )! 1 ))! 1 1 1 1 ! ! . . ) . ) …1 1 1 ! 1 ! 1 1

Calculando o limite de ambos os lados e aplicando as propriedades dos limites, teremos:

lim 1

lim 1 l i m 1 ! lim 1

! lim 1 lim 1

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lim 1 1 1 ! !

Trata-se de uma seqüência infinita, que pode ser calculada por aproximação:lim 1 1 1 2,71825397 

Este número é conhecido como constante neperiana, e é representado pela letra . Logo:lim 1

Pode-se ainda demonstrar essaproposição utilizando-se a representaçãogeométrica da função 1  ilustrada ao lado:

Tomando a afirmação acima, e fazendo, temos que quando ∞, 0.Logo, uma proposição conseqüenteda anterior é:lim 1 1 lim 1 )

Assim: lim 1 ) ExemplosExemplosExemplosExemplos1) lim 1  

lim

1

lim

1

 Outra solução

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lim 1 1 l i m 1 1 lim 1 1 .  

2) lim 1

 Fazemos inicialmente2 1 2 2 Do acima, constatamos que se ∞, ∞. Portanto, podemos fazer:

lim 1 2 l i m 1 1 lim 1 1  3) lim  

lim lim lim lim 1

lim 1  4) lim 1 ) lim 1 ) lim 1 )  

5) lim)

 lim ) lim 1)lim 1 ) lim 1 ) 1

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ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 

Calcular os seguintes limites:1)  lim 1 . Resposta:  2)  lim 1 . Resposta:  3)  lim 1 . Resposta:  4)  lim 1 . Resposta:  

5) 

lim 1

. Resposta: 6)  lim . Resposta:  7)  lim14). Resposta:  8)  lim18). Resposta:  9)  lim2). Resposta: 210)  lim ) . Resposta: 10log11)  lim ) . Resposta:  12)  limln 1) l n . Resposta: ln 113)  lim 2). . Resposta: 414)  lim 2 1). . Resposta: 815)  lim 4 3). ln . Resposta: -8

16) 

lim. Resposta: 17)  lim . Resposta:  18)  lim √  . Resposta:  

19)  lim . Resposta:  20)  lim . Resposta: 4

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1111.6 Continuidade.6 Continuidade.6 Continuidade.6 ContinuidadeUma função é dita contínuacontínuacontínuacontínua num ponto aaaa se as três condições abaixo se verificarem:

1)  ) é definida;2)  lim ) existe, ou seja, lim ) lim );3)  lim ) )ExemploExemploExemploExemploVerificar se a função ) 3 2 é contínua em x2.

1) 2) . 2 3.2 2 6, o que satisfaz a primeira condição.2) lim 3 2 6 e lim 3 2 6 .Portanto lim ) 6, o que satisfaz a segunda condição.

3) lim

 ) 2), o que satisfaz a terceira condição.Assim, a função é contínua em x2, como podeser observado em seu gráfico.

As descontinuidades podem ser de três tipos, a saber:

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Por salto Por ponto Infinita

lim )lim ) lim  )) lim ) ∞

lim ) ∞ExemplosExemplosExemplosExemplos1) Estudar analiticamente a descontinuidade da função abaixo no ponto 1.

 ) 1 11 11 || 1

 a) 1) 1b) lim ) lim 1 0lim ) lim 1 || lim 1 0

Assim, lim

 ) 0c) lim )1) Portanto fx) é descontínua por ponto ouremovível em 1.

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2) Estudar analiticamente a descontinuidade da função abaixo no ponto x2:

 ) 3 2 24 23 8 2 a) 2) 4 

b) lim ) lim 3 2 4lim ) lim 3 8 4

Assim, lim )4c) lim ) 2)Portanto ) é contínua em 2.

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:

Demonstre a continuidade ou descontinuidade das funções abaixo, identificando o tipode descontinuidade. Faça um esboço do gráfico das funções1.   ) 12 1 em 1. Resposta: descontínua, infinita2.   ) 2 1 11 1 em 1. Resposta: contínua

3. 

 )

0 0 em 0. Resposta: descontínua, por salto

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4.   ) ))  11 12 1 1 em 1. Resposta: contínua

5.   )

11 1 em x1. Resposta: descontínua, por ponto6.   ) 3 1 11 4 ) 1 em x2. Resposta: contínua7.   ) 35 3 em x-3. Resposta: descontínua, por ponto.

8. 

 ) 1 14 1 em x1. Resposta: descontínua9.   ) 12 3 3 em x1. Resposta: contínua

10. Na função ) 1 1 1 determine o valor de aaaa para que ) sejacontínua em x1. Resposta: a3

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2222. Derivada de uma função. Derivada de uma função. Derivada de uma função. Derivada de uma função2222.1 Conceito de derivada.1 Conceito de derivada.1 Conceito de derivada.1 Conceito de derivada

A taxa de variação média de uma função representa o quanto a função variou em médiaem certo intervalo. Por exemplo, seja a função: )  

Podemos dizer que entre as abscissas 1 e 4,a função variou, em média:

∆∆ 1 6 14 1 153 5Esse valor significa que, entre 1 e 4, cadaunidade deslocada em correspondeu, emmédia, a 5 unidades em .

Esse raciocínio pode ser expresso genericamente da seguinte maneira:∆∆   ∆ ) )∆  Nesse exemplo:

1 ∆ 3

 ) 1) 1 1  ∆ ) 1 3) 4) 4 16Assim:

∆∆   ∆ ) )∆ 1 6 13 5

Enfatizando, esta foi a variação média. É possível observar que entre 1 e 2 a variação foirealmente de 3, ao passo que entre 3 e 4 a variação foi de 7.

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É possível observar também que o valor 5 corresponde ao coeficiente angular da retasecante aos pontos 1, 1) e 4, 16).

Porém, qual seria o procedimento para se obter a taxa de variação da função exatamentena abscissa 1?Uma solução, seria diminuir o intervalo na abscissa, aproximando o segundo valornesse exemplo 4) do segundo valor, 1. Geometricamente seria fazer:Verificamos que, ao passo que o valor de x∆ diminui, a retasecante se aproxima da tangente.No gráfico, temos as inclinações das retas, correspondendo a Δ 3, correspondendo a Δ 2, correspondendo a Δ 1 

Analisando o valor da taxa de variação da função para valores cada vez mais próximosde 1, podemos observar o seguinte comportamento:

154 1 3 16 1 15 5

3

83 1 2 9 1 8 42

32 1 1 4 1 3 3

1

1 251 5 1 0 5 2 25 1 1 25 2 5

0 5

0 2111 1 0 1 1 21 1 0 21 2 1

0 1

0 02011 01 1 0 01 1 0201 1 0 0201 2 01

0 01

y f(x x) f(x)x y f(x x) f(x) m

x x

,, , , , ,

,,

, , , , ,,

,, , , , ,

,

∆ + ∆ −∆ ∆ = + ∆ − = =

∆ ∆

− = − = =

− = − = =

− = − = =

− = − = =

− = − = =

− = − = =

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A partir dos valores observados, é possível inferir que nos aproximamos da taxa devariação 2, ao passo que o valor de Δ se aproxima de zero.

Utilizando o conceito de limite, podemos calcular exatamente a taxa de variação em 1,que é o valor para o qual a função tende. A função de exemplo é: )  Portanto, aplicando o limite ao cálculo acima, teremos:

lim∆ ∆))∆ lim∆ ∆))∆  lim∆ ∆∆∆ lim∆ 2 ∆

Para o valor em estudo, 1:lim∆ 2 ∆ 2 . 2 . 1 0 2

A este valor, isto é, ao valor obtido pelo limite, lim∆ ∆))

∆ chamamos dederivada da funçãoderivada da funçãoderivada da funçãoderivada da função ) em relação aem relação aem relação aem relação a . Há mais de uma forma de indicar a derivada,sendo que as mais comuns são a notação de Lagrange ), e a de Leibnz  ).Com essas notações, podemos escrever:

 

) lim∆ ∆

∆ , ou lim∆ ∆∆ No exemplo citado, foi estabelecido o valor 1 para o cálculo da derivada. Se este valornão for estabelecido, teremos como resultado a função derivadafunção derivadafunção derivadafunção derivada. Seria:

lim∆ 2 ∆ 2, ou 2

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Essa função fornece os valores da derivada para qualquer posição em .Assim, a derivada de uma função em certo ponto,representa a taxa de variação instantânea dessafunção no ponto. Em outras palavras, a derivadamede a inclinação da reta tangente à função nesseponto. Este é o significado geométrico da derivada.No nosso exemplo, dizemos que a derivada dafunção ) em 1 é igual a 2. Isso equivalea dizer que a inclinação da reta tangente à função

 ) na abcissa 1, é 2.Os conceitos acima podem ser resumidos na chamada “Regra dos Quatro Passos”, quesão:1)  ∆): calcular o valor da função mais um incremento ∆2)   ∆ ) ): subtrair a função3)  ∆))∆ : dividir pelo incremento ∆4)  lim∆ ∆))∆ : fazer ∆ 0

ExemploExemploExemploExemploCalcular pela Regra dos Quatro Passos a derivada da função

2 1, para x2Passo 1) ∆ ) 2 ∆ ) 1 2 2 ∆ ∆ ) 1 2 4∆2Δ 1Passo 2) Δ ) ) 2 4Δ2Δ 1 2 1 2 Δ 4Δ

Passo 3) ∆))∆ ∆

∆∆ 2 ∆ 4

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Passo 4) lim∆ ∆))∆ lim∆ 2 ∆ 4 4

Assim

4, e em 2,

2 4 8ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosCalcule pela Regra dos Quatro Passos a derivada das seguintes funções:

1) 

 ) 3

2. Resposta:

 ) 62)  ) 2 2. Resposta:  ) 4 23)  ) 2. Resposta:  ) 24)  ) 2 5. Resposta:  ) 25)  ) 1. Resposta:  ) 3 

2222.2 Propriedades das derivadas.2 Propriedades das derivadas.2 Propriedades das derivadas.2 Propriedades das derivadas2222.2.1 Derivada de uma constante.2.1 Derivada de uma constante.2.1 Derivada de uma constante.2.1 Derivada de uma constante 0 

Demonstração:Pela definição: ) lim∆ ∆))∆  Como

 ) ∆ ) Teremos

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 ) lim∆ ∆ lim∆ ∆ lim∆ 0 0Geometricamente, essa propriedade também pode ser demonstrada. Como a derivadarepresenta a taxa de variação, e, por conseguinte a inclinação da reta tangente à função,a derivada de uma constante terá que ser zero, conforme ilustrado abaixo. ) 3

A inclinação de uma reta tangente à reta ilustradaserá zero.

2222.2.2 Derivada da potência.2.2 Derivada da potência.2.2 Derivada da potência.2.2 Derivada da potência )  

Demonstração:A definição de derivada nos diz que: lim∆ ∆))∆  Como neste caso ) , pela Regra dos Quatro Passos, teremos:

lim∆ ∆))∆  Desenvolvendo o polinômio ∆) com o Binômio de Newton, teremos:∆) ∑ ∆) Onde !!)! 

Assim, ∆ ) ∆) ∆) )Δ ∆) 

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Desenvolvendo cada coeficiente binomial, teremos: !!)! !.! 1 !!)! .)!)! !!)! .))!!)! .)!  ...

!

)!)! .)!

)!! !!)! !!! 1Aplicando esses desenvolvimentos no binômio, teremos: ∆ ) 1∆) ! ∆) )∆) 1∆) 

∆ ) ∆ 1)2! ∆) ∆) ∆) Aplicando agora esses desenvolvimentos na derivada, teremos: lim∆ ∆)! ∆)∆)∆)∆ lim∆

∆)! ∆)∆)∆)

∆ lim∆ ∆)! ∆)∆)∆)∆ lim∆ )! ∆)∆) ∆)  

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ExemplosExemplosExemplosExemplos:1) )  

7 2) ) √   ) √  ) 12 12 12√  

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios: :: : 

Derivar as seguintes funções:1)   ) 4 2)   ) 7 

3) 

 )  

4)   ) √  5)   ) √  6)   ) √

 7)   )  8)   )  

9) 

 )   

10)  ) √   

2222.2.3 Derivada da soma e da diferença.2.3 Derivada da soma e da diferença.2.3 Derivada da soma e da diferença.2.3 Derivada da soma e da diferença

)

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) Demonstração:Seja ) e )  Assim, ∆ ∆ ) ) e ∆ ∆ ) ).Fazendo ) ) ), é possível afirmar que:

∆ ) ∆ ) ∆ ) ∆ ) ) ∆ ) ∆ )  ) ) ∆ ∆ ) ) ∆ ) )∆ ∆ ∆ Dividindo ambos os termos por x∆ , e calculando o limite, teremos:

∆∆ ∆∆ ∆∆ lim∆ ∆∆ lim∆ ∆∆ lim∆ ∆∆ Ou seja,

Para a subtração, a demonstração pode ser feita do mesmo modo que na soma.ExemplosExemplosExemplosExemplos:1) Calcular a derivada da função ) 2 3 

 ) 8 21 

2) Calcular a derivada da função f x) 3x 10x 

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 ) 27 40 

3) 

Derivar a função fx) 3x

4x

, para x 2. ) 3. 13 4. 25 1 85 12 85. 2 0,107 

4) Dada a função y x 3, determinar a equação da tangente à curva dada no ponto1, 4).

Inicialmente, calculamos a equação da reta tangente, que corresponde à derivadada função nesse ponto: 2Para 1, 2.1 2, que é o coeficiente angular dareta.Sabendo o coeficiente angular e um ponto, podemosusar a equação angular da reta: 2 4 1 2 1) 4 2 2 4Isolando teremos a equação da reta procurada: 2 2

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:A.  Calcular a derivada das expressões abaixo para o valor fornecido

1)  32. Resposta: 02)  , para 2. Resposta: 80

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3)  , para 2. Resposta: 2,1214)  , para 1. Resposta: -4

5) 

6

, para 1. Resposta: 1206)  , para 2. Resposta: -0,2197)  √  , para 1. Resposta: - 5/38)  100. Resposta: 09)  , para . Resposta: 2,73410)  √  , para 1. Resposta:  11)

 

, para 2. Resposta:  12)  3 5 , para 1. Resposta: 35013)  , para 1. Resposta: -67614)  √ , para 2. Resposta: -0,53015)  . √  , para 2. Resposta: -0,6945

16) 

. √ 

, para 1. Resposta:

 17)  √ , para 2. Resposta: 0,70718)  √ . √  , para 1. Resposta: -4,919)   ) 3 10, para 1. Resposta: -1320)   ) 3 4, para 1. Resposta: -0,621)   ) 3 2 6, para 2. Resposta: 3822)

 

 ) 2

3

, para 1. Resposta: 2923)   ) 13 2, para . Resposta: 324)   ) 4 2 3, para . Resposta: 0,7525)   ) , para 1. Resposta: -526)   ) , para 1. Resposta: 227)   ) , para 1. Resposta: -3,06728)   ) √  , para 1. Resposta:  

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I40 

29)   ) , para 1. Resposta: 230)   ) √  √  √  √  , para 1. Resposta: 0

B.  Determinar a equação da reta tangente à curva dada no ponto dado31)  3 4; 1,1). Resposta:67 32)  2 3 ; 2,7). Resposta:911 33)  4 3 2 ; 1,3).Resposta:52 34)  3 8 1 0 ; 2,16). Resposta:424 35)  2 3; 2,5). Resposta:811 

36) 

5 3 2 ; 1,10). Resposta:133 

37)  4 7 5 ; 3,20). Resposta:1731 38)  2 4 7 ; 2,7).Resposta:415 39)  3 4 5 ; 1,12). Resposta:102 40)  2 2 7 ; 3,31). Resposta:1411 

2222.2.4 Derivada do produto.2.4 Derivada do produto.2.4 Derivada do produto.2.4 Derivada do produto . ) . .  Demonstração:Considerando ) e ), eremos que:

∆ ∆ ) ) ∆ ) ∆ )∆ ∆ ) ) ∆ ) ∆ )Fazendo ) ) ), podemos afirmar que:

∆ ) ∆ ) · ∆ ) ∆ ) ) ∆ ) · ∆ ) ) ·)

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Fazendo agora:∆ ∆ ) )∆   ∆ ) · ∆ ) )∆ ∆) · ∆) ) ·)∆ ∆ · ∆ ∆ · ) ) · ∆ ) · ) ) ·)∆ ∆ · ∆ ∆ · ) ) · ∆

Dividindo os dois termos por ∆∆∆ ∆. ∆∆ ). ∆∆ ) · ∆∆ ∆. ∆∆ ) · ∆∆ ). ∆∆ ou

∆∆

∆. ∆∆

. ∆∆

. ∆∆

 Aplicando o limite com Δ0 em ambos os membros, teremos:lim∆ ∆∆ lim∆ ∆. ∆∆ lim∆ . ∆∆ lim∆ . ∆∆ 

lim∆ ∆∆ lim∆ ∆.lim∆ ∆∆ .lim∆ ∆∆ .lim∆ ∆∆ 

) lim∆ ∆. .

.

 O limite lim∆ ∆ 0, pois:

lim∆ ∆ l i m∆ ∆))   0 ) )) 0Assim:

. ) . .  

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I42 

ExemplosExemplosExemplosExemplos:1) ) . 1)

3  1 2 ) . 2 1). 3 2 3 3 5 3 

2)  ) 2). 2  2) 3 2 2 23 4

 ) 2). 23 4 2 · 3 2)  ) 113 10 103   12 3) ) 4)2 ) 

4 2 0 2 2 0 9 9 

 ) 4). 9) 2 ) · 2

 ) 11

36

4

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I43 

2222.2.5 Derivada do quociente.2.5 Derivada do quociente.2.5 Derivada do quociente.2.5 Derivada do quociente

.  Demonstração:

Resolvendo a fração acima como um produto, aplicando a propriedade da potência,teremos: . ) . ) ) . ) .   . ) Portanto:  

ExemplosExemplosExemplosExemplos:1)   1 0 1 1

2 )1) 1 ).2)) 2 2 2   2  

2)

 

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3 1 0 1

1 0 2 1. 1 ) 3).2)1 ) 6 11 )   6 11 )  

3)

  5 6 2 5 0 2 5 7 2 0 2

2 5).

7)

5 6).2) 7)   5 2 6 3 5 7)  

Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:Calcular as derivadas das seguintes funções:1)  1 ).Resposta: 4 6.

2)  2 1) 5).Resposta: 4 21 2 0 1 .3)  √  .Resposta: 1.

4) 

3)3 1).Resposta: 9

2 9 .5)  , para 1. Resposta .

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6)  ,para 1. Resposta: .7)  , para 0. Resposta: ) 1.8)  ) ,para 1. ))  9)  ,para 2. Resposta: .10)  3 4) 4). Resposta: 5 12 2 4 1 6

2222.3 Regra da Cadeia.3 Regra da Cadeia.3 Regra da Cadeia.3 Regra da CadeiaSe ) e ) e ambas as derivadas e existem, então podemos afirmarque: ·  

Essa regra simplifica a resolução de muitos casos. Por exemplo, se tivermos afunção) 1), podemos, sem dificuldades, fazer: 2Igualmente, se ) 1) podemos expandir a função e depois derivar utilizandoas regras que já conhecemos, ou seja:

 ) 2 1 ) 4 4 4 1)Porém, para expoentes maiores esse método seria trabalhoso.

A Regra da Cadeia tornará o processo mais simples.

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ExemplosExemplosExemplosExemplos:1) 1) 

Chamaremos: 1Assim: 1 2, e

100 Logo: . 100 1).2 2 0 0 1) 

2) √ 3 2Chamaremos: 3 2 6Assim:

√  12

 Logo:

. 12 3 2)633 2)Dos exemplos acima, verificamos que a regra da cadeia resulta na seguinte propriedade,

onde ):

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I47 

·  

De fato, supondo: , e )E lembrando que:

.  

Podemos fazer ·   · ·  

Podemos ainda demonstrar a fórmula acima da seguinte maneira. Se tivermos ,sendo ), substituindo por no desenvolvimento do limite lim∆ ∆))∆ , chegaremos a:

lim∆ ∆)! ∆)∆)∆)∆  Daí, colocando ∆em evidência, teremos:

lim∆ ∆∆))! ∆)∆)∆   lim∆ ∆∆ l im∆ ∆. ∆∆ . )! ∆) Δ O limite lim ∆ é igual a zero, pois:

lim ∆ lim  ∆ ) ) 0Assim, o limite todos os termos acima com o fator Δ serão zero, e ficaremos com:

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lim∆ ∆∆ l i m∆).lim

 Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:Calcular as seguintes derivadas

1)

√  24. Resposta:

√ 2) 8 10). Resposta: 204 8) 8 1 0 ).

3) √  . Resposta: ) 4) √  ,para 3. Resposta: ) 2.5)   . Resposta: √  6) 4 2 ). Resposta: 824) 4 2 ).7) √  2 1 . Resposta: ).8) 3 1). √ 25. Resposta: ))√  .9) 8 7) .Resposta: ).10)

8

15)

. Resposta:

44

16)

8

15)

.11) 6 7).8 9) Resposta: 1867)8 9) 3267)8 9)12) √ 8 27 . Resposta:

).13) √  . Resposta: ).14)

√ 

,para 0. Resposta:

)

)

 15) . Resposta: .

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16) ) . Resposta: )) 17) 4 3)√ 21. Resposta: : √   18) 1)23) 3 2), para 1. Resposta: 756 648 765 88 99 3 1 6 2 2 8 3 0 019) √ ), para 1. Resposta: )√   20) √  , para 1. Resposta: )  

2222.4 Derivadas de Ordem Superior.4 Derivadas de Ordem Superior.4 Derivadas de Ordem Superior.4 Derivadas de Ordem SuperiorSe uma função ) é diferenciável, e sua derivada é também uma função, então épossível derivar a derivada. A derivada da derivada é chamada de derivada segunda, ouderivada de segunda ordem. A indicação é feita como segue:

 Se, por sua vez, a derivada segunda for derivável, podemos ter:

 Esse processo pode continuar sucessivamente, enquanto for possível derivar a funçãoresultante da derivação anterior.

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O gráfico ao lado ilustra uma função e suasduas primeiras derivadas:

2 6 2 1 6 1 2 2 1 2 1 2

ExemplosExemplosExemplosExemplosCalcular as três primeiras derivadas das funções abaixo:1) ) 4 2 ) 8 16 2

 ) 56 48   ) 336 962) ) 4 2 4 0 √ 

 ) 8 2 1 2 0

12

   ) 8 2 4 0 14    ) 2 4 0 38  

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ExercíciosExercíciosExercíciosExercíciosCalcular a derivada de terceira ordem das funções abaixo

1)  4 5 3 11, para 1. Resposta: 840 300  2)  . Resposta:  3)  15, para 1. Resposta: 336  

4) 

. Resposta:

 5)  2 6 2 1. Resposta: 12

2.52.52.52.5 Derivada das Funções TrigonométricasDerivada das Funções TrigonométricasDerivada das Funções TrigonométricasDerivada das Funções Trigonométricas2.5.1 Derivada da função seno2.5.1 Derivada da função seno2.5.1 Derivada da função seno2.5.1 Derivada da função senoSeja a função ) . É possível demonstrar que: Demonstração:

Pela definição de derivada, na Regra dos Quatro Passos, temos: ) l i m∆  ∆ ) )∆   l i m∆ ∆ ) ∆  

Aplicando a regra do seno da soma:

) .cos.cos

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Temos:

l i m

.∆Δ.) ∆

  l i m∆ .∆1)∆ ∆.∆ l i m∆ .∆1)∆ l i m∆ ∆.∆  

.lim∆ ∆1

∆.lim∆ ∆

∆ 

Desenvolvendo cada parcela:lim∆ ∆1∆ l i m∆ ∆1∆ · ∆1∆1

l i m∆ ∆ 1∆∆1) l i m∆ ∆∆∆1)

l i m∆ ∆∆ · ∆∆1) 1 · 02 0lim∆ ∆∆ 1

Assim:

.0.1 Para a função

 ) Fazendo , e derivando em relação a , teremos:

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Aplicando a Regra da Cadeia

.

, vem: .  

.  

ExemploExemploExemploExemplo:::: ) 2 3 2 ) 3 2) cos2 3 2) . 4 3 )

2.5.2 Derivada da função cosseno2.5.2 Derivada da função cosseno2.5.2 Derivada da função cosseno2.5.2 Derivada da função cossenoSeja a função cos . É possível demonstrar que:

Demonstração::::

Pela identidade trigonométrica fundamental: 1 1 ) Portanto 1 ) 

Fazendo

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1 2 cos

Portanto c o s 1 )  c o s 12 1 )2 . cos )

c o s . cos

1 )

  .)   c o s .cos  

E pela Regra da Cadeia  

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:Calcular as derivadas de:1) 1)

cos 1) 2 2

1)2) √ 

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√ . 12  

12√  √ 3) 1) 2)  1) 20 1). 2 2)

3. cos 2)

Assim .   1). 3 cos 2) 2).20 1). 2

3 1) cos 2) 40 1) 2)4)   . 

2  2) )

2  

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2.  

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:Calcular a derivada das funções abaixo para o valor indicado.1)  7, para . Resposta 02)  5, para . Resposta  3)  3 2), para . Resposta 14,454)  2 4), para . Resposta 1,345)  5, para . Resposta 06)  2cos 3), para . Resposta 1,98

7) 

cos

2

3), para . Resposta 1,00958)  3cos 4), para . Resposta 1,489)  2 3), para . Resposta 0,12

10)  1), para . Resposta -3,1311)  cos 4), para . Resposta 21,53

12) 

4 3 ), para . Resposta 37,5513)  cos 3, para . Resposta114)  · 5, para . Resposta 015)  2) ·, para 0. Resposta 216)  2 ) · cos 3), para . Resposta -1,55617)  3)5 2), para . Resposta 10,15

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18)   4 3 cos 2), para . Resposta 5,2519)  , para . Resposta 3,1820)  , para . Resposta 2,0921)  3) 4, para 0. Resposta -322)  32, para . Resposta

2.52.52.52.5.3 Derivada da função tangente.3 Derivada da função tangente.3 Derivada da função tangente.3 Derivada da função tangenteSeja a função . É possível demonstrar que:

Demonstração:Como , fazemos

 ) 1 E pela Regra da Cadeia 2  

2.52.52.52.5.4 Derivada da função cotangente.4 Derivada da função cotangente.4 Derivada da função cotangente.4 Derivada da função cotangenteSeja a função . É possível demonstrar que:

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Demonstração:Como , fazemos

 ) 1 E pela Regra da Cadeia

.  

2.52.52.52.5.5 Derivada da função secante.5 Derivada da função secante.5 Derivada da função secante.5 Derivada da função secanteSeja a função sec . É possível demonstrar que: .

Demonstração:Demonstração:Demonstração:Demonstração: 1 1) 1cos · cos .

Pela Regra da Cadeia:

s e c · t a n ·  

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2.52.52.52.5.6 Derivada da função cossecante.6 Derivada da função cossecante.6 Derivada da função cossecante.6 Derivada da função cossecanteSeja a função csc . É possível demonstrar que:

c s c c s c · c o t Demonstração:

c s c 1

1) . c o s cos c s c . c o t Pela Regra da Cadeia c s c c s c . c o t .  

Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:Calcular as derivadas de:1) tan 2 1 ) 2 2) 2 1 )

2)   .

csc.

t a n . c s c . c o t csc  

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csc t an.cot )csc  

1

csc  ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios 

Calcular a derivada das funções abaixo:

1) 

3, para . Resposta: 33 32)  √  , para .Resposta: √  ·√  · √  5,1 6 99

3)  2, para . Resposta:  

4) 

√ 5, para xπ/4. Resposta: 55)  7), para . Resposta: 77) ·7) 1 4 · √ 36)  , para . Resposta: ) 1,36447)  4, para . Resposta:  8)  , para . Resposta: ) ) 2,029)  cot 3 7), para . Resposta: 63 7) 56,20.10)  3 sec 1), para . Resposta: 332

1) tan 1) 4,190311)  tan 4), para . Resposta: 3sec 4) 18,45

12) 

2 3, para

. Resposta:  

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13)  3csc 3 4), para . Resposta: 9csc3 4) cot3 4) 10,27

14)  ), para . Resposta: cos) 115)  4sec ), para /2. Resposta:  16)  sec 2), para . Resposta: 017)  5 2), para . Resposta: 10tan5 2) 5 2)

5,535.18)  tan ), para . Resposta: ) 119)  7, para . Resposta: 020)  cos ), para . Resposta: .) 4,54021)  4 2, para . Resposta: 2422  

22) 

), para . Resposta: 2·) · cos ) 0,698523)  , para . Resposta: 12 6,54724)  ), para . Resposta: 025)  tan ), para . Resposta: 4 · · · ) ·

) 3,3637.2.2.2.2.6666 Derivada de funções logarítmicasDerivada de funções logarítmicasDerivada de funções logarítmicasDerivada de funções logarítmicasAntes de iniciarmos a demonstração da derivação das funções logarítmicas, convémrelembrarmos da definição e algumas propriedades dos logaritmos:Definição

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, pois Propriedades

1) · ) 2)  3) ·  4) log  

DerivadaDerivadaDerivadaDerivadaÉ possível demonstrar que log 1 log .  

Demonstração:Seja a função: ) log Então:

  ∆ ) log

∆)Pela definição de derivada Regra dos Quatro Passos): ) l i m∆ log ∆ ) log)∆   ) l i m∆

log ∆ ∆  

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 ) l i m∆log1 ∆ )∆  

 ) l i m∆ log 1 ∆ ∆   ) log lim∆ 1 ∆ ∆  Fazendo:

∆ 1 ∆ ∆ Portanto, se ∆0,∞, e podemos reescrever o limite como: ) log lim∆ 1 1 

 ) log 1 .log Se chamarmos log , podemos escrever que:

log 1 .log E, usando a Regra da Cadeia . , teremos que log 1 .log .  

Caso , teremos log 1 ·log · 1 ·log

log 1 ·log

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Caso , teremos:

1

.log .

1

. 1.

 

1 .  Caso e , teremos:

log 1 .log . 1  1  

Resumo das fórmulas de derivadas de logaritmosResumo das fórmulas de derivadas de logaritmosResumo das fórmulas de derivadas de logaritmosResumo das fórmulas de derivadas de logaritmos log 1 .log .   log 1 .log

1 .   1 Exemplos:Exemplos:Exemplos:Exemplos:1)  

1

. 2 2

2 2) √ 

1 . 12 . 1 . 12 . 1 12 3) log √ 

log 1. .log . 12 . 12 . 3 123 

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Exercícios:Exercícios:Exercícios:Exercícios:Derivar as seguintes expressões1)  log 4 3), para 3. Resposta: 0,193.

2)  log 1), para 2. Resposta: 0,579.3)  l o g 3, para 4. Resposta: 0,3606.

4)  l o g5 2), para 0. Resposta: 1,285.5)  ln2 3), para 4. Resposta: 0,7608.6)  l n 4), para 3. Resposta: .7)  l n3), para radianos. Resposta: 6.

8) 

ln), para . Resposta: 2,995.9)  ln ), para radianos. Resposta: 0,637.10)  l n 2), para . Resposta: 1,910.11)  √ 3 2, para 1. Resposta: ) .

12) 

l n

1)

, para 2. Resposta:

.13)  , para 2. Resposta: ) .14)  , para 2. Resposta: .15)  tan ), para . Resposta: ) 1,260.16)  ln )sen ), para . Resposta: 0,850.17)  ln ln ), para . Resposta: 0,3679.

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18)  ln 3 2), para 2. Resposta: .19)  √ 6 1 . 4 5), para 2. Resposta: 1,364.20)    , para 2. Resposta: .21)  )) , para 1. Resposta: .22)  ln √ 1) para 2. Resposta: 0,577.23)  , para . Resposta: 31) 1 4 1

28,56.24)  . Resposta: .25)  3 . Resposta: .26) .. Resposta: .

27)  . Resposta: 4 3 4.28)  √  . Resposta: 1 .29)  3 , para 2. Resposta: 336,223.30)  )

, para 0. Resposta: )) 2.31)  3 1)) , para  1 . Resposta:  1276,49 

32)  ), para  . Resposta:  22,83. 33)  3)), para  . Resposta:  0,1289 

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2.2.2.2.7777 Derivada de funções exponenciaisDerivada de funções exponenciaisDerivada de funções exponenciaisDerivada de funções exponenciaisÉ possível demonstrar que:

..  Demonstração:Seja a função

, sendo “” um valor constante e )Então, pela definição de logaritmo, log , teremos que: l o g   1 . 1 

. . Aplicando a Regra da Cadeia . , teremos:

..    Para

.. 

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.

Para ..   .  

Para e ..    

Para o caso geral , sendo ) e )Tomamos o logaritmo natural dos dois termos . . 

Derivando .. .) . · 1 · · Como . , podemos fazer:

·

·

· · ·  

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Finalmente: .

.

.  Resumo das fórmulas de derivação de funções exponenciaisResumo das fórmulas de derivação de funções exponenciaisResumo das fórmulas de derivação de funções exponenciaisResumo das fórmulas de derivação de funções exponenciais

  .   . ..   . . .  

ExemplosExemplosExemplosExemplos:Derivar:

1)

   2) 2  

2 22

3) 2   2 2 .2.24)  

. 2

5)  

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. . . 1)

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:1)  . Resposta: 5  2)  2 , para . Resposta: 63)  4 . Resposta: 12  4)  , para 0. Resposta: 35)  1 0 . Resposta:  6)  4 , para . Resposta: 1,9617)  . Resposta:  8)  , para . Resposta: 0,8509)  √ . Resposta: √ √  10)  √ , para 1. Resposta: 4,07711)  . Resposta: ·  

12) 

5 , para . Resposta: 5,48113)  6 , para 1. Resposta: 1814)  , para 1/2. Resposta: 1,55815) ) . Resposta: 6)

16) 

3

para . Resposta:

9,21517)  l n ). Resposta: 5  

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18)  t a n , para . Resposta: 0,50019)  . Resposta:  20)  , para 1. Resposta: 021)  . Resposta: ))  22) 

, para 1. Resposta: 1,51023)  ) , para . Resposta: 224)  √ . Resposta: √ . √ 25)  . Resposta: .26)  , para 2. Resposta:  27)  . Resposta: 1)28)  . Resposta: 1)29)  √ . Resposta: √ √  √  1 )30)  1 . Resposta: 1 1

31) 

√ 

. Resposta:

1)32)  3). Resposta: 3)ln 3) 2 3 33)  ). Resposta: ) √  )34)  . Resposta: 3 35)  . Resposta: 2) 36)  . Resposta: 1)  

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37)  . Resposta: √  38) arctan). Resposta: ) 39)  l n). Resposta: √ · 40) senln√ x 1.Resposta:  

Exercícios de Revisão de Derivação

Calcular as derivadas para os valores dados:1)  √  , para 3. Resposta: ) ) 22)  √  , para 1. Resposta: )  3)  6 7). 8 9), para 1,2. Resposta: 186 7)8

9) 326 7)8 9) 309,474)  1)2 3) 3 2), para 1. Resposta: 92 3)2 3) 1) 42 3 )2 3) 1) 22 3 )2 3) 5405)  2 4), para . Resposta: 3 4 4) cos 2 4) 7,91526)

 

cos 2 3), para . Resposta: 4 4) 2 3) 1,0097)  c o s 1), para . Resposta: 8 1) 1) 8,138)  · 3, para .Resposta: cos) cos3) 3)3) 1

9) 

√ 4 3cos 2), para . Resposta: )√  2√ 43 2) 5,2547

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10)  3) 4, para 0. Resposta: 2 3) cos 3) 44) 3

11) 

para . Resposta:

)

)

2,02012)  tan 4), para . Resposta: 3 sec 4) 2,83513)  sec 2 ), para . Resposta: 2sin) sec2cos)) tan2cos)) 014)  cos ), para . Resposta: csc) sincotx)) 1,68315)  2)csc 3 2), para . Resposta:

2 s ec2) tan2) csc3 2) 62) cot3 2) csc3 2) 1,50316)  t a n 1), para . Resposta: 12 1) tan 1) 4,791917)  c o t2 1), para . Resposta: 122 1) csc2 1) 4,55618)

 

s e c 1), para . Resposta: 6 1) tan 1) 19,05219)  log 1), para 2. Resposta: ) 0,57920)  ln 2 3), para 1. Resposta: 621)  ln ), para . Resposta: 2tan) 2,995

22) 

l n

1)

, para 2. Resposta:

)

 23)  ln 3 2), para 2. Resposta: 2  24)    , para x2. Resposta: )  

25)  , para 0. Resposta: 2 3) 326)  , para 0. Resposta: 6

27) 

√ , para 1. Resposta:

√ 

√   28)  6 , para 1. Resposta: 6 2 0

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29)  3 ·  , para 0. Resposta: 3 6 1,10430)  3 , para 1. Resposta: 18 6 24 482,05 

2222....8888 Derivadas de Funções na Forma ImplícDerivadas de Funções na Forma ImplícDerivadas de Funções na Forma ImplícDerivadas de Funções na Forma ImplícitaitaitaitaConsidere a equação:

25

Podemos isolar y em função de x: 2 5    2 5  

Ficam definidas duas funções:

)  2 5 )  2 5  Dizemos que ) √ 2 5 e ) √ 2 5 são funções na formaexplícita em função de ), enquanto 25 é uma função na forma implícita.Para calcular na equação acima, poderíamos isolar a variável dependente , e fazercomo fizemos até agora. Porém, em algumas equações, isolar em função de é muitotrabalhoso, como, por exemplo, na equação: 6Entretanto, mesmo sem isolar y, é possível obter por derivar os dois lados daequação. Por exemplo, encontrar a derivada da função:

25Fazemos

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25

22. 0 22  Lembrando que o significado geométrico da derivada de uma função em certo ponto é ainclinação da reta tangente à função nesse ponto, e tomando o ponto 3, 4) comoexemplo, podemos fazer:

34 Portanto, 34 

Usando a equação angular da reta, , teremos:

34 4 3 3 3) 4 ) 3 9 4 1 6

34

254  Esta é a equação da reta tangente à função 25, no ponto 3, 4), cuja representação geométrica estáao lado.

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ExemplosExemplosExemplosExemplos:Calcular para as funções dadas abaixo:1) 3 0  3 0

3 12. 0

312 4 2) 4 4

.24 0 2 4 0 4 2

4) 2 2 4) 3)  

 

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4)  

4

)  4) Encontrar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da curva 1 noponto1, √  .1º Passo: calcular a função derivada

4 9 114 2 19 2 02 29 · 0

229   94 

2º Passo: substituir os valores do ponto dado e calcular o valor numérico da derivada:Ponto 1, √  9.1

4 3√ 32 96√ 3 √ 32  3º Passo: substituir o valor da derivada na equação angular da reta:

Reta tangente: √   

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√ 32 3√ 32 1   1)√ 3 2 3√ 32 √ 3 √ 3 2 3√ 3

√ 3 √ 3 3√ 3 2 √ 32 2√ 3Reta normal, lembrando que duas retas são normais quando · 1

2

√ 3 2√ 3

 2√ 33 3√ 32 1  

2√ 3 1) 3 3√ 32 2√ 3 2√ 3 3 9√ 32  2√ 3 2√ 3 9√ 32 3

2√ 33 5√ 36  

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Interpretação Geométrica:

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:Calcular para as seguintes funções:

1) 

5 4 2 3 0. Resposta:  2)  . Resposta:  3)  . Resposta:  4)  . Resposta: ) 

5) 

ln ) 6. Resposta:

 6)  2 3 0. Resposta:  7)  2 0. Resposta:  8)  2) 4). Resposta:  

9) 

4) 2 3 2). Resposta:

))  

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I80 

10)  4 0. Resposta:  11)  2. Resposta:  12)  1) 4 3. Resposta: ) 13)  2) 2 3). Resposta:

)  14)  120. Resposta:  15)  0. Resposta:  16)  ln) 4 9. Resposta: ) 17)  4 4 3 2 1 0. Resposta:  18) 

35. Resposta:  

19) 

ln

)   1. Resposta:

√  20)  2 1. Resposta:  21)  2 0. Resposta:  22) 

1. Resposta:  

23) 

3 0. Resposta:

 24) √ √ . Resposta:  25) Encontrar a derivada de ) 27 ) no ponto 2, 1). Resposta: 0.26) Encontrar a equação da reta tangente à função 3 4, no ponto 2, 2).

Resposta: .

27) 

Encontrar a equação da reta tangente à função 3

5

4, no ponto1, 4). Resposta: 22 18

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28) Qual a equação da reta tangente à curva de equação 3 2 2 2 0 no ponto 1, -2)? Resposta: 5 3 1 0

29) 

Achar a derivada da função , no ponto 1, 1). Resposta:  30) Determinar a equação das retas tangentes à função 3 4 5 0nos seguintes pontos -2, -1), -1, -1), -2, -3) e -1, -3). Respostas: ; ; 4 ;  

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I82 

3333. Aplicações da Derivada. Aplicações da Derivada. Aplicações da Derivada. Aplicações da Derivada3333.1 Máximos e mínimos de uma função.1 Máximos e mínimos de uma função.1 Máximos e mínimos de uma função.1 Máximos e mínimos de uma função

Algumas das aplicações mais importantes do cálculo diferencial na engenharia estãorelacionadas à determinação de valores máximos ou mínimos, e são chamadosproblemas de otimização.

Exemplos:•  Que dimensões de um recipiente resultam no maior volume para a mesma

quantidade de material utilizado?•  Quais os valores máximos de tensão na seção transversal de uma viga?•  Qual o valor máximo da corrente elétrica gerada por um campo eletromagnético?Definições:Uma função ) tem máximo absolutomáximo absolutomáximo absolutomáximo absoluto oumáximo globalmáximo globalmáximo globalmáximo global) em se ) ) paratodo em D, onde D é o domínio da função ).O número ) é chamado valor máximoabsoluto de ) em D. Analogamente, ) temum mínimo absolutomínimo absolutomínimo absolutomínimo absoluto em se ) )para todo em D e o número ) é denominadovalor mínimo de ) em D.

Uma função ) tem máximo relativomáximo relativomáximo relativomáximo relativo ou máximo localmáximo localmáximo localmáximo local) em se ) ) quando estiver num intervalo de proximidade de valores próximos de . Similarmente, elaterá um mínimo relativomínimo relativomínimo relativomínimo relativo ou mínimo local) em se ) ) para os valores queestiverem no intervalo I, de valores próximos de .Por exemplo, para a função ) 3 16 18, no domínio 1 4 temosque:

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•  -1, 37) é um máximo absoluto•  0, 0) é um mínimo relativo• 

1, 5) é um máximo relativo•  3, -27) é tanto um mínimo relativo comoabsoluto

O cálculo dos pontos máximos e mínimos relativos de uma função consiste nos seguintespassos:1.  Determinar as abscissas dos pontos críticos, pelo teorema de Fermat;2.  Determinar se o valor é um máximo ou um mínimo relativo na abscissa calculada,pelo teste da segunda derivada.3333.1.1 Teorema de Fermat.1.1 Teorema de Fermat.1.1 Teorema de Fermat.1.1 Teorema de Fermat

Podemos calcular os valores dos pontos críticos de uma função utilizando o Teorema deFermat 1.Teorema de FermatTeorema de FermatTeorema de FermatTeorema de Fermat: “Se uma função tiver um máximo 

ou mínimo local num ponto e a derivada da função 

nesse ponto existir, ela será igual a zero.” 

Podemos interpretar geometricamente essaafirmação, lembrando que a derivada representa ainclinação da reta tangente à função num certo ponto.

1 Pierre Fermat ( 1601 – 1665), advogado francês, tinha a matemática por passatempo. Foi, junto com Descartes,

um dos inventores da geometria analítica e precursor de Newton na criação do cálculo diferencial.

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ExemploExemploExemploExemplo:Encontrar os pontos críticos máximos e/ou mínimos) da função:

 ) 3 16 18 Calculando a derivada temos: ) 12 48 36

A seguir, igualamos a derivada a zero e calculamos as raízes:12 48 3 6 012 4 8 3 6) 0 0 , 1 , 3

Observe que essas são as abscissas ou valores em ) dos pontos críticos. Paradeterminar se o ponto crítico é um máximo ou um mínimo relativo, fazemos o teste dasegunda derivada.3333.1.2 Teste da derivada de segunda ordem.1.2 Teste da derivada de segunda ordem.1.2 Teste da derivada de segunda ordem.1.2 Teste da derivada de segunda ordemAtravés da segunda derivada, podemos saber adireção da concavidade da expressão original.

Na figura ao lado, a linha cheia representa afunção ) 3 16 18, e a linhatracejada, sua derivada de segunda ordem , ) 36 9636.

Observe que sempre que a derivada de segunda ordem é positiva, a concavidade dafunção é para cima, e sempre que a derivada de segunda ordem é negativa, aconcavidade da função é para baixo.

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Disso podemos afirmar que: )0, concavidade para cima, portanto um mínimo relativo )0, concavidade para baixo, portanto um máximo relativo

Assim, o teste consiste em calcular a derivada de segunda ordem da função, e substituiros valores dos pontos críticos. Verificaremos que se o resultado por positivo trata-se deum mínimo relativo. Se for negativo trata-se de um máximo relativo.

No exemplo acima, a derivada de segunda ordem da função ) 3

16

18

 é:  ) 36 9 6 3 6Para os valores críticos 0, 1 e 3, teremos:

 0) 3 6 .0

96.0 36 36 0, portanto um mínimo relativo. 1) 3 6 .1 96.136240, portanto um máximo relativo. 3) 36.2 96.3 36 72 0, portanto um mínimo relativo.

Para calcular as respectivas ordenadas o valor em ), podemos substituir as abscissas

dos pontos críticos na função: 0) 3 . 0 16.0 18.0 0, ponto 0, 0) 1) 3 . 1 16.1 18.1 5, ponto 1, 5) 3) 3 . 3 16.3 18.3 27, ponto 3, -27)

Em resumo, o procedimento para o cálculo dos máximos e mínimos relativos de umafunção consiste em:

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1.  Calcular a derivada da função2.  Igualar a derivada a zero e calcular os valores críticos3.  Calcular a segunda derivada e determinar se são máximos ou mínimos4.  Substituir na função original e determinar as ordenadas3333.1.3 Cálculo dos máximos e mínimos.1.3 Cálculo dos máximos e mínimos.1.3 Cálculo dos máximos e mínimos.1.3 Cálculo dos máximos e mínimos absolutosabsolutosabsolutosabsolutos

Para o cálculo dos valores máximos e mínimos absolutos, necessitamos estabelecer umdomínio, e utilizaremos o seguinte procedimento:1.  Calcular o os pontos críticos no intervalo, conforme procedimento anterior;2.

 

Calcular os valores da função nos extremos do intervalo;3.  Comparar os resultados. O maior será o máximo absoluto e o menor o mínimoabsoluto.ExemploExemploExemploExemplo:Seja a função:

 ) 3 1Calcule os valores máximo e mínimo absolutos no intervalo 4 .Como a função é contínua nesse intervalo, podemos usar o método acima:1. Calcular os pontos críticos

 ) 3 1 ) 3 63 6 0 0, 2 2

 0) 0 3 . 0 1 1 Ponto crítico 0, 1)

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 2) 2 3 . 2 1 3 Ponto crítico 2, 3)2. Calcular o valor da função nos extremos

 ) 3 1  12 12 3 12 1 18  4) 4 3 . 4 1 1 7

3. Comparando os valores, temos que:Máximo absoluto: 4) 17Mínimo absoluto: 2) 3

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:Encontre os pontos críticos das seguintes funções, e indique se é um máximo ou mínimo.Quanto o intervalo for informado, calcular os máximos e mínimos absolutos.

1)   ) 5 4. Resposta: ,0,8,í.2)   ) . Resposta: 1,1),á; ,0,185,í.

3) 

 )

3

24. Resposta: 4,80),á; 2,28),í.4)   ) . Resposta: 0, 1),á;2, ,í.5)   ) 2, entre . Resposta: 2,2),á; ,2),í.6)   ) . Resposta: ,0,368,í.7)   03 12 5, no intervalo 0,3. Resposta:

0, 5),á; 2,7),í.

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8)   ) 2 3 12 1, no intervalo 2,3. Resposta:1,8),á; 2,19),í.

9) 

 ) 2 3. Resposta: 1, 2),í.10)  ) 2 3 1. Resposta: 1, ,á; 3, 1),í.11)  ) 9 15 3. Resposta: 1,10),á; 5,22),í.12)  ) 8 2. Resposta:

0, 2),á; 2,14) 2,14),í.

13) 

 )   1 ) . Resposta: 1,296,0,852),í.14)  ) 2 . Resposta: ln √  ,2,828,í.15)  ) , para 1. Resposta: , ),á.16)  )cos) ), para – . Resposta: ,1,4142,á.

17) 

 ) 2) , para –π/2xπ/2. Resposta: ,0,3424,á; ,0,3424,í.18)  ). Resposta: 1,0,368),á.19)  ) . Resposta: 0,577,1,470),á; 0,577,06805),í.20)  ) . Resposta: 0,4),í.

21) 

 )

)) . Resposta:0,577,3,248),á; 0,577,3,248),í.22)  ) 3. Resposta:

0,721,1,268),á; 1,387,3,417) í.23)  ) 3 1) 2)5). Resposta:

0,947,24,05) á; 3,169,80,51)í.

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24)  ) 2, para – . Resposta: ,0,685,á; ,0,685í.

25)  ) ))))) . Resposta:2,19,24,19),á; 1,523,1,378)í.

3333.1.4 Otimização: aplicações do.1.4 Otimização: aplicações do.1.4 Otimização: aplicações do.1.4 Otimização: aplicações do cálculo de máximos e mínimoscálculo de máximos e mínimoscálculo de máximos e mínimoscálculo de máximos e mínimosEm muitas aplicações, devemos identificar para quais valores têm-se um máximo oumínimo de alguma grandeza em estudo. Nesses casos, devemos inicialmente construir asfunções cujos valores máximos e mínimos se procuram, para permitir a aplicação docálculo acima.Não há uma regra única para todos os casos, mas o exemplo abaixo ilustrará oprocedimento, que pode ser assim resumido:1. Definir uma função que contenha a variável em estudo em função da outra.2. Usando as derivadas, calcular os valores máximos e mínimos, identificando os que têmsignificado físico, se for o caso.ExemploExemploExemploExemplo

Pretende-se construir uma caixa sem tampa a partir de um quadrado de lata, cujo ladomede , cortando-se 4 quadrados iguais nos cantos, de lado . Pergunta: qual o valor de de modo que o volume da caixa seja máximo?

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1º passo) Definir funçãoSendo a medida da lateral do quadrado cortado, elaserá também a medida da altura da caixa. A lateral dabase será dada por: 2 Assim, o volume da caixa poderá ser calculado como:

2 )

4 4

)

4

4

 Essa é a expressão cujo máximo procuramos. Aplicando o Teorema de Fermat, fazemos: 812  812 0

2 , e 6 O valor refere-se ao mínimo, já que nesse caso a lata toda é cortada.O valor é então o valor procurado, que resultará no volume máximo.

ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios1. Pretende-se fazer uma caixa aberta de uma peça quadrada de alumínio de 30 cm delado, cortando quadrados iguais de cada canto e então dobrando os lados. Determinar asdimensões da caixa que deverá ter o maior volume possível, e qual o valor desse volume.Resposta: Dimensões: base 20 x 20, altura 5. Volume 2000 cm3.

2. A soma de dois números positivos é 56. Determinar os dois números se o seu produtodeve ter ser um máximo. Resposta: 28 e 28

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3. Admitindo-se que a resistência de uma viga de seçãotransversal retangular varia na razão direta da largura e doquadrado da profundidade , que dimensões deve ter umaviga a ser serrada de um tronco de árvore de diâmetro paraque seja a mais resistente possível? Resposta:   ,   4. Um homem pretende cercar um lote retangular situado perto de um rio. Não é

necessária nenhuma cerca ao longo da margem do rio. Se ele tiver 800 m de cerca e seele quiser que a área seja um máximo, determinar as dimensões do desejado lotedelimitado. Resposta: 200 x 4005. Quais devem ser as dimensões de um jardim retangular de área 432 m2 de área paraque ao murá-lo gaste-se o mínimo possível, sabendo-se que o vizinho do lado paga ametade pelo muro que limita sua propriedade. Resposta: 18 m x 24 m. 

6. Determinar um número positivo tal que a soma desse número com seu inverso sejaum mínimo. Resposta: 17. Determinar o ponto na curva √  que está mais próximo do ponto 1, 0). Resposta: , √  )8. Determinar a inclinação máxima da curva 3 2. Resposta:  

9. O trabalho realizado por um solenóide ao mover um induzido varia de acordo comw2t3- 3t4 joules. Determinar a maior potência desenvolvida em função de , sabendo-seque . Resposta: t1/310. A carga transmitida através de um circuito varia de acordo com 4 Coulombs. Determinar o tempo quando a corrente atinge um valor mínimo.Resposta: t2

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11. Determinar a maior corrente i ii i num capacitor com capacitância . 10 Farads,se a voltagem aplicada for dada por 250 200 Volts, sabendo-se que .

Resposta: t0,41712. O custo total para fazer unidades de certo artigo é dado por 0,005 0,45 12,75. Todas as unidades feitas são vendidas a U$ 36,75 por unidade. O lucro é dado por 36,75 . Determinar o número de unidades que devem ser feitas demodo a obter o lucro máximo. Resposta: 2013. Determinar as dimensões e doretângulo de maior área que pode serinscrito num semicírculo de raio .Resposta: √  , √ 214. Uma fábrica produz milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o

custo da produção é dado por

3

96 e o valor obtido na venda é dadopor 600 12, determinar o número ótimo de unidades mensais que maximiza olucro L V –C. Resposta: 9,915. Um fazendeiro deve cercar dois pastos retangulares de dimensões a e b, com um ladocomum a. Se cada pasto deve medir 400 2m de área, determinar as dimensões a e b deforma que o comprimento da cerca seja mínimo. Resposta: 10√ 3 √  lado

comum).16. Um fio de comprimento é cortado em dois pedaços. Com um deles se fará umcírculo e com o outro um quadrado. Como devemos cortar o fio a fim de que a soma dasduas áreas compreendidas pela figura seja mínima? Resposta:

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3333.2 Esboço da curva de uma função.2 Esboço da curva de uma função.2 Esboço da curva de uma função.2 Esboço da curva de uma funçãoJá verificamos que, utilizando o Teorema de Fermat e o teste da segunda derivada,podemos conhecer os pontos máximos e mínimos relativos de uma função. A utilizaçãodos conceitos de derivada permite ainda conhecer o comportamento gráfico de umafunção sem que seja necessário que seu gráfico seja traçado.3333.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes.2.1 Funções Crescentes e Decrescentes.2.1 Funções Crescentes e DecrescentesUma função pode comportar-se como:

•••• CrescenteCrescenteCrescenteCrescente: Uma função ) é dita crescente num intervalo quando para qualquerpar de pontos e , com , tem-se ) ).

••••  DecrescenteDecrescenteDecrescenteDecrescente: Uma função ) é dita decrescente num intervalo quando paraqualquer par de pontos e , com , tem-se ) ).••••  Estritamente crescenteEstritamente crescenteEstritamente crescenteEstritamente crescente: Uma função ) é dita estritamente crescente numintervalo quando para qualquer par de pontos e , com , tem-se ) ).•••• 

Estritamente decrescente:Estritamente decrescente:Estritamente decrescente:Estritamente decrescente: Uma função ) é dita estritamente decrescente numintervalo quando para qualquer par de pontos e , com , tem-se ) ).

3333.2.2 Análise da Primeira Derivada.2.2 Análise da Primeira Derivada.2.2 Análise da Primeira Derivada.2.2 Análise da Primeira DerivadaConsiderando que a derivada de uma função em um ponto é a inclinação da reta

tangente a esse ponto, é possível observar que a derivada será positiva para todos osintervalos estritamente crescentes, e será negativa para todos os intervalos estritamentedecrescentes.

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Por exemplo, seja a função: 3 1

Sua derivada é 3 3, cujocomportamento quanto ao sinal estárepresentado ao lado.

De fato, representando as derivadas em termosde algumas retas tangentes, observaremos queas inclinações positivas correspondem aosintervalos em que a função é crescente. Ocontrário também é verdade.

Representando a função junto com suaderivada, teremos o gráfico abaixo, em que alinha cheia representa a função original e atracejada sua derivada.

É possível observar que sempre que a derivada é positiva, a função é crescente, e sempreque a derivada é negativa, a função é decrescente.Pelo Teorema de Fermat, já sabemos também que a derivada nos pontos críticos é iguala zero, conforme se pode observar no gráfico acima.3333.2.3 Análise da Segunda Derivada.2.3 Análise da Segunda Derivada.2.3 Análise da Segunda Derivada.2.3 Análise da Segunda Derivada

Vimos também que a segunda derivada nos informa a direção da concavidade da funçãooriginal. Ou seja

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, ) 0, concavidade para cima;

, ) 0, concavidade para baixo.Isso pode ser constatado no mesmo gráfico, se adicionarmos a segunda derivada de 3 1, que será 6, representada pela linha pontilhada.Repare que sempre que a segundaderivada é negativa, a concavidade da

função é para baixo, e sempre que épositiva a concavidade é para cima.Outro ponto importante revelado pela segunda derivada é chamado Ponto de Inflexãoque é aquele em que a concavidade muda de direção. Ele ocorrerá quando a segundaderivada for igual a zero. Em nosso exemplo:

66 0 0

Substituindo na função original:

3 1 0) 0 3 . 0 1 1Assim, o ponto de inflexão é 0, 1)3333.2.4 Procedimento para o esboço da curva de uma função.2.4 Procedimento para o esboço da curva de uma função.2.4 Procedimento para o esboço da curva de uma função.2.4 Procedimento para o esboço da curva de uma função

Usando desses conhecimentos, podemos esboçar uma curva utilizando os passos abaixo,nos quais usaremos a seguinte função como exemplo:

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3 2 1º passo: Determinar os pontos críticos1º passo: Determinar os pontos críticos1º passo: Determinar os pontos críticos1º passo: Determinar os pontos críticosUtilizar o Teorema de Fermat para identificar as abscissas em que a derivada é nula 3 2 

6 6  6 6 06 0 01 0 1

Substituir esses valores na função original para calcular o valor correspondente em . 0) 3 . 0 2 . 0 0, portanto 0, 0) 1) 3 . 1 2 . 1 1, portanto 1, 1)2º passo: Determinar se e onde a função está crescendo ou decrescendo.2º passo: Determinar se e onde a função está crescendo ou decrescendo.2º passo: Determinar se e onde a função está crescendo ou decrescendo.2º passo: Determinar se e onde a função está crescendo ou decrescendo.

Usar a primeira derivada e verificar seu sinal antes e depois dos pontos críticos.•  Para 0, 6 6 0, portanto a função é decrescente nesse intervalo;• 

Para 1, 6 6 0,portanto a função é crescente nesseintervalo;

•  Para 1, 6 6 0, portanto a função é decrescente nesse intervalo.

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3º passo: Determinar pontos) de inflexão3º passo: Determinar pontos) de inflexão3º passo: Determinar pontos) de inflexão3º passo: Determinar pontos) de inflexãoCalcular a segunda derivada e igualar a zero

6 1 2 6 1 2 12 

Substituir na função original para calcular o valor de y.

  3 2 . , portanto , .Com esse valor, é possível conhecer a direção das concavidades por fazermos, porverificar o sinal da segunda derivada antes e depois dos) pontos) de inflexão.Para ,6120, portantoconcavidade para cima;Para , 6 12 0, portantoconcavidade para baixo.4º passo: Esboçar a curva4º passo: Esboçar a curva4º passo: Esboçar a curva4º passo: Esboçar a curvaReunindo todas as informações obtidasnos passos anteriores, é possível agoraesboçar a curva, com suas principaiscaracterísticas.

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ExercíciosExercíciosExercíciosExercícios:Usando o procedimento acima, faça o esboço da curva das seguintes funções:

1)  2 2 1. v Resposta:

:

2) 

4 Resposta:

3)  3 1)2) Resposta:

4)  7 1 0 Resposta:

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5)  1)3)2) Resposta:

6)  4 2 1 Resposta:

7)  3 )  Resposta:

8)  Resposta:

9)  4 2 Resposta:

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10)  2 4  Resposta:

11)  5 5  Resposta:

12)  5 5 5 Resposta:

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AAAApêndicespêndicespêndicespêndicesA.1 Resumo de FórmulasA.1 Resumo de FórmulasA.1 Resumo de FórmulasA.1 Resumo de Fórmulas

Fórmulas Básicas

√  42   ) 3 3   ) ) 

)  Retas paralelas:    Retas normais: . 1 Identidades Trigonométricas

12

) )  12 ) )  12 ) ) 

12

12)  12 12) 22.  

Relações Trigonométricas 

  1  1  

1   1  1  , ,

 

Principais valores trigonométricos 

sen cos tan cot sec csc

0 0 1 0 ∞  1 ∞ 

  1/2  √ 3 2   √ 3 3   √3  2√ 3 3   2

  √ 2 2   √ 2 2   1 1 √2  √2 

  √ 3 2   1/2  √3  √ 3 3   2 2√ 3 3  

  1 0

∞  0

∞  1

  0 -1 0 ∞ -1 ∞ 

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FAAP – Faculdade de Computação e Informática

Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I102 

Limites

1  1  ∞

1 1   1 )  Assíntotas:

 )  ∞ )   ∞ )  Fórmulas de Derivação            

1

√ 1

 

1√ 1

 

1

1

 

11   1  1)   1  1)         1 log   1  

 

·  

  0, onde constante 

Fórmulas de Integração

1 , 1   

   

|| ||   || ||  

||  

||  

   

.  .  

1√    1 1  

  .  

 

1 ||  

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Código da Disciplina: 6FB111 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I103

Métodos de Integração

Casos de ,cos · c o s  

Pelo menos um dos expoentes é

ímpar

Decompor o fator com o expoente ímpar para obter um ou um

cos

, e usar

c o s

Todos os expoentes são paresDecompor os fatores para obter um ou um , e substituir

ambos por 12) ou 12) 

Casos de tan e cot ou sec e csc  

Onde é: Onde  é: Usar:

Par ou Ímpar Decompor deixando um tan , e usar tan s e c 1 

Par Decompor deixando um sec , e usar sec t a n 1 

Ímpar Integração por partes

Casos de

tan

· s e c

 ou

cot

· c s c

(regras abaixo para

tan

· s e c

; se for

cot

· c s c

, usar

Par Par Decompor , deixando sec , e usar sec t a n 1 

Ímpar Ímpar Decompor os dois, deixando , e usar tan s e c 1 

Ímpar Par Um dos métodos acima

Par Ímpar Integração por partes

Substituição Trigonométrica Integração por Partes√  , fazer 

 

√  √   , fazer 

 √   , fazer 

 

 

Aplicações da Integração

Área Valor Médio Volume de Rotação

   ) )   1  )

 

) , )