7 coordenadas polares e curvas paramétricas

MATEMÁTICA II (Módulo de Análise Matemática)

Apontamentos das aulas

Problemas propostos

Soluções dos problemas propostos

Mestrado Integrado em Engenharia Química

FEUP

João M. M. Mendonça

Capítulo # 7

COORDENADAS POLARES E CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO

7.1 Coordenadas polares no plano 7.2 Curvas paramétricas no plano 7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas”

7.1 COORDENADAS POLARES NO PLANO ________________________________________________________________

1

7.1 Coordenadas polares no plano A posição de qualquer ponto P do plano pode ser representada pelas suas coordenadas polares (r,θ), depois de definirmos um ponto O como sendo o pólo, e uma semi-recta com origem em O como sendo o eixo polar. A coordenada radial r representa a distância do ponto P ao pólo O, enquanto que a coordenada angular θ representa o ângulo que o segmento

�

OP faz com o eixo polar:

Por definição, o sentido positivo para a marcação da coordenada angular ou ângulo polar é o sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. O valor de θ é arbitrário para o pólo O, já que este é o único ponto do plano cuja coordenada radial é igual a zero.

CAPÍTULO # 7: COORD. POLARES/CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO ________________________________________________________________

2

As coordenadas polares de um ponto, ao contrário das suas coordenadas rectangulares, não têm um valor único, pois o ponto P(r,θ) também pode ser representado por P(r, θ + 2kπ), com k ∈ Z. Por vezes, é conveniente utilizar coordenadas radiais negativas, definidas da seguinte forma: (r,θ) e (– r, θ + π) são representações alternativas do mesmo ponto em coordenadas polares. Como iremos ver mais à frente, esta definição é particularmente útil quando lidamos com curvas em coordenadas polares. 7.1.1 Relações entre coordenadas polares e rectangulares Em muitos problemas, há necessidade de utilizar simultaneamente coordenadas polares e coordenadas rectangulares no plano. Quando tal acontecer, considera- -se por convenção que o pólo do sistema de coordenadas polares é coincidente com a origem do sistema de coordenadas rectangulares, e que o eixo polar é coincidente com a parte positiva do eixo Ox:

Utilizando esta convenção, resultam imediatamente da figura as seguintes relações entre os dois sistemas de coordenadas:


3

�

x = r cos θy = r senθ⎧ ⎨ ⎩

e

�

r2 = x2 + y2

tg θ =yx, se x ≠ 0

θ = ± π /2 , se x = 0 e y ≠ 0

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

Se x > 0, o ponto P estará situado no 1º ou no 4º quadrantes, e então podemos escrever que θ = arctg (y/x); porém, se x < 0, o ponto P estará situado no 2º ou no 3º quadrantes, e deveremos escrever θ = π + arctg (y/x), já que, como é sabido, o contradomínio da função arctg é o intervalo ]– π/2, π/2[. Como a coordenada θ não está definida para a origem das coordenadas, este ponto pode ser representado em coordenadas polares por (0, θ), em que o ângulo θ é arbitrário.

Exemplo 7.1 Escrever todas as representações possíveis em coordenadas

polares do ponto com coordenadas rectangulares (1,

�

3).

�

x = 1y = 3⎧ ⎨ ⎩

⇒

�

r2 = 4tg θ = 3

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⇒

�

r = ± 2θ = π /3 ∨ θ = 4π /3⎧ ⎨ ⎩

Como o ponto em causa é do 1º quadrante (x > 0 ∧ y > 0), se utilizarmos o valor positivo para a coordenada radial, a correspondente coordenada angular deverá ser π/3:

(2, π/3) ou, mais geralmente, (2, π/3 + 2kπ), com k ∈ Z. Se, porém, utilizarmos o valor negativo para a coordenada radial, então a correspondente coordenada angular deverá ser 4π/3:

(– 2, 4π/3) ou, mais geralmente, (– 2, 4π/3 + 2kπ), com k ∈ Z.


4

7.1.2 Curvas em coordenadas polares Algumas curvas têm equações muito mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas rectangulares, o que justifica a utilização de coordenadas polares em muitos problemas que envolvam essas curvas. O gráfico da equação F(r,θ) = 0 é definido como sendo o conjunto de todos os pontos do plano Oxy em que cada ponto tem pelo menos um par de coordenadas polares (r,θ) que satisfaz aquela equação. Em muitos casos, verifica-se que a equação F(r,θ) = 0 pode ser resolvida em ordem a r, isto é, pode ser escrita na chamada forma explícita, r = f(θ). A curva correspondente poderá ser esboçada se prepararmos uma tabela com alguns valores de (r,θ) que satisfaçam a equação dada. Apresentamos a seguir três testes de simetria que poderão ser utilizados com vantagem para esboçar os gráficos de curvas em coordenadas polares. 7.1.2.1 Testes de simetria

Se a equação não se alterar quando se substitui θ por – θ, o gráfico é simétrico com respeito ao eixo Ox:


5

Se a equação não se alterar quando se substitui θ por π – θ, o gráfico é simétrico com respeito ao eixo Oy:

Se a equação não se alterar quando se substitui r por – r, o gráfico é simétrico com respeito à origem:

Estas são condições suficientes de simetria, mas não são necessárias; isto significa que as simetrias referidas podem ocorrer mesmo que estas condições não sejam satisfeitas.


6

7.1.2.2 Rectas em coordenadas polares As únicas rectas que têm uma representação simples em coordenadas polares são as rectas verticais, as rectas horizontais e as rectas que passam pela origem das coordenadas:

A recta vertical que passa pelo ponto de coordenadas rectangulares (a, 0) tem a seguinte equação em coordenadas polares:

r cos θ = a

ou

r = a sec θ em que θ ∈ ]– π/2, π/2[.

A recta horizontal que passa pelo ponto de coordenadas rectangulares (0, a) tem a seguinte equação em coordenadas polares:

r sen θ = a

ou

r = a cosec θ em que θ ∈ ]0, π[.


7

Uma recta que passe pela origem das coordenadas e que faça um ângulo θo com a parte positiva do eixo Ox tem a seguinte equação em coordenadas polares:

θ = θo

em que r ∈ ]– ∞, ∞[. 7.1.2.3 Circunferências em coordenadas polares As únicas circunferências com equações simples em coordenadas polares são as circunferências centradas na origem, e as circunferências centradas num dos eixos e tangentes ao outro eixo na origem das coordenadas

Uma circunferência com centro na origem e de raio igual a

�

a tem a seguinte equação em coordenadas polares:

r = a em que θ ∈ [0, 2π].


8

Uma circunferência com centro no ponto (a, 0) e de raio igual a

�


r = 2a cos θ em que θ ∈ [– π/2, π/2].

Uma circunferência com centro no ponto (0, a) e de raio igual a

�


r = 2a sen θ em que θ ∈ [0, π].


9

Exemplo 7.2 Mostre que a curva polar de equação r = – 4 sen θ é uma

circunferência, obtendo a sua equação em coordenadas rectangulares; em seguida, calcule as coordenadas polares de alguns pontos e faça um esboço da curva.

r = – 4 sen θ ⇒ r2 = – 4 r sen θ ⇒ x2 + y2 = – 4y ⇒ x2 + (y + 2)2 = 4 A equação r = – 4 sen θ representa uma circunferência de raio 2 centrada no ponto (0, – 2); calculemos as coordenadas polares de alguns pontos do gráfico:

θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 5π/6 π r 0 – 2 – 2

�

3 – 4 – 2

�

3 – 2 0

Se considerarmos o intervalo [π, 2π], obtemos exactamente os mesmos pontos:

θ π 7π/6 4π/3 3π/2 5π/3 11π/6 2π r 0 2 2

�

3 4 2

�

3 2 0 A circunferência é gerada quando θ percorre qualquer intervalo [α, π + α]:


10

7.1.2.4 Caracóis de Pascal Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:

r = a + b cos θ ou r = a + b sen θ Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o intervalo [0, 2π]. A forma do caracol de Pascal é determinada apenas pelo valor absoluto do quociente a/b:

�

0 < a /b < 1: caracol de Pascal com laçoa /b = 1: cardióide1 < a /b < 2 : caracol de Pascal com reentrânciaa /b > 2 : caracol de Pascal convexo

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Quanto à posição do caracol de Pascal em relação aos eixos coordenados, ela depende de a/b ser positivo ou negativo, e de aparecer cos θ ou sen θ na equação respectiva:

Caracol com laço de equação r = 1 + 2 cos θ:

�

a /b = 1/2


11

Cardióide de equação r = 2 + 2 cos θ:

�

a /b = 1

Caracol com reentrância de equação r = 3 + 2 cos θ:

�

a /b = 3/2


12

Caracol convexo de equação r = 5 + 2 cos θ:

�

a /b = 5/2 A resolução analítica de duas equações simultâneas em coordenadas polares nem sempre produz todos os pontos de intersecção dos respectivos gráficos, devido ao facto de cada ponto ter múltiplas representações em coordenadas polares. Assim, a única forma certa de visualizar todos os pontos de intersecção de duas curvas polares consiste em traçar os gráficos dessas curvas.

Exemplo 7.3 Determine as coordenadas polares de todos os pontos de

intersecção dos cardióides de equações r = 1 + cos θ e r = 1 – cos θ.

Comecemos por determinar as coordenadas polares de todos os pontos que satisfazem simultaneamente as duas equações dadas:

1 + cos θ = 1 – cos θ ⇒ 2 cos θ = 0 ⇒ θ = π/2 ∨ θ = 3π/2 ⇒ r = 1 As soluções encontradas algebricamente são portanto as seguintes, utilizando coordenadas polares:

A(1, π/2) e B(1, 3π/2)


13

A única forma certa de verificar se existem mais pontos de intersecção consiste em traçar as duas curvas no mesmo gráfico:

Claramente, há um terceiro ponto de intersecção, que é a origem. Porém, as coordenadas polares deste ponto não podem ser obtidas por métodos algébricos, já que essas coordenadas são (0, π) para o cardióide de equação r = 1 + cos θ, mas são (0, 0) para o cardióide de equação r = 1 – cos θ.

7.1.2.5 As rosáceas Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:

r = a cos nθ ou r = a sen nθ em que n ∈ IN . Trata-se de curvas fechadas, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer o intervalo [0, 2π] quando n for par, ou o intervalo [0, π] quando n for ímpar. A posição da rosácea em relação aos eixos coordenados, depende de a ser positivo ou negativo, e de aparecer cos nθ ou sen nθ na equação.


14

Se n for par, as rosáceas apresentam 2n “laços”, igualmente espaçados em torno da origem (em termos angulares); se n for ímpar, as rosáceas só apresentam n “laços”, também igualmente espaçados. O comprimento do diâmetro de cada um dos “laços”, medido a partir da origem até à sua extremidade, é igual a

�

a :

Rosácea de 4 laços de equação r = 2 cos 2θ



15




16

7.1.2.6 As espirais Este é o nome genérico que é dado a todas as curvas polares abertas que dão infinitas “voltas” em torno da origem à medida que θ aumenta ou diminui. Há vários tipos diferentes de espirais, dos quais mencionaremos apenas os três exemplos mais conhecidos:

• Espirais de Arquimedes: Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = aθ, em que θ ≥ 0 ou θ ≤ 0, e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ:

Espiral de Arquimedes de equação r = 2θ, com θ ≥ 0

• Espirais logarítmicas:

Estas são curvas que se obtêm como gráfico da equação r = eaθ, em que θ ∈ IR , e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem depende apenas do sinal de a:


17

Espiral logarítmica de equação r = eθ/5

• Espirais hiperbólicas:

Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico da equação r = a/θ , em que θ > 0 ou θ < 0, e a ∈ IR \ {0}. A forma como esta espiral se “enrola” em torno da origem depende apenas do sinal de a e de θ:

Espiral hiperbólica de equação r = 10/θ, com θ > 0 (notar a assímptota y = 10)


18

Note-se que a recta de equação y = a é uma assímptota horizontal do gráfico da espiral hiperbólica de equação r = a/θ, já que:

�

limθ→0

y =

�

limθ→0

r sen θ =

�

limθ→0

(a/θ) sen θ = a

�

limθ→0

�

sen θθ

= a (1) = a.

7.1.2.7 As lemniscatas (de Bernoulli) Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:

r2 = ± a2 cos 2θ ou r2 = ± a2 sen 2θ Trata-se de curvas fechadas “em forma de hélice”, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π/2, e considerando apenas os pontos em que r2 ≥ 0. A posição da lemniscata com respeito aos eixos coordenados depende de o sinal de a2 ser positivo ou negativo, e de aparecer cos 2θ ou sen 2θ na equação:

A lemniscata de equação r2 = 4 cos 2θ, com θ ∈ [– π/4, π/4]


19

A lemniscata de equação r2 = 4 sen 2θ, com θ ∈ [0, π/2]

7.1.2.8 As curvas “em forma de oito” Estas são as curvas polares que se obtêm como gráfico das seguintes equações:

r2 = ± a2 cos θ ou r2 = ± a2 sen θ Trata-se de curvas fechadas “em forma de oito”, que podem ser traçadas fazendo θ percorrer um intervalo de amplitude π, e considerando apenas os pontos em que r2 ≥ 0. A posição destas curvas com respeito aos eixos coordenados depende apenas de aparecer cos θ ou sen θ na equação:


20

A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 cos θ, com θ ∈ [– π/2, π/2]

A curva “em forma de oito” de equação r2 = 4 sen θ, com θ ∈ [0, π]


21

7.1.3 Área em coordenadas polares Para deduzir a fórmula integral que nos permite calcular a área delimitada por uma curva polar utiliza-se a conhecida expressão da área de um sector circular de raio r e ângulo-ao-centro ∆θ, ou seja:

Área do sector circular =

�

12r2 Δθ

Seja r = f(θ) uma função contínua e não-negativa de θ, em que α ≤ θ ≤ β e 0 < β – α ≤ 2π. Começamos por fazer uma partição regular de [α, β] em n sub-

-intervalos todos iguais, de comprimento ∆θ =

�

β − αn

. Em seguida, escolhemos

um ponto qualquer θ

�

i* ∈ [θi–1, θi], em que i = 1, ..... , n:

É evidente da figura junta que quanto maior for n e menor for ∆θ, mais as regiões obtidas com esta partição se assemelharão a sectores circulares.


22

Portanto, se ∆θ ≈ 0, podemos afirmar que a área de cada uma dessas regiões é praticamente igual à área de um sector circular de raio f

�

θ i*( ) e ângulo-ao-centro

∆θ, ou seja:

∆Ai ≈

�

12

�

f θ i*( )⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2

∆θ ⇒ A =

�

i=1

n∑ ∆Ai ≈

�

i=1

n∑

�

12

�

f θ i*( )⎡

⎣ ⎢ ⎤ ⎦ ⎥ 2

∆θ

No limite, quando n

�

→ ∞ e ∆θ

�

→ 0, esta soma de Riemann dá-nos o valor exacto da área delimitada pela curva polar de equação r = f(θ) no intervalo α ≤ θ ≤ β, valor esse que pode ser calculado por meio do seguinte integral:

A =

�

α

β∫

�

12

�

f θ( )[ ]2 dθ =

�

α

β∫

�

12

r2 dθ

Frequentemente, a aplicação prática desta fórmula é facilitada se se entrar em linha de conta com as possíveis simetrias do gráfico da equação r = f(θ) que delimita a região cuja área se pretende calcular. Como regra geral, o intervalo de integração [α, β] deverá ser o intervalo mais pequeno que permita calcular a área pretendida; note-se em particular a restrição β – α ≤ 2π. Deverá ainda ter-se especial cuidado nos casos em que r2 for negativo, o que obviamente não faz qualquer sentido.

Exemplo 7.4 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação

r = 3 + 2 cos θ. Já vimos atrás que o caracol de Pascal é uma curva fechada que é completamente traçada quando θ percorre o intervalo [0, 2π[:

θ 0 π/4 π/2 3π/4 π 5π/4 3π/2 7π/4 2π r 5 3+

�

2 3 3–

�

2 1 3–

�

2 3 3+

�

2 5


23

A =

�

0

2π∫

�

12

(3 + 2 cos θ)2 dθ = (por simetria) = 2

�

0

π∫

�

12

(3 + 2 cos θ)2 dθ =

=

�

0

π∫ (9 + 12 cos θ + 4 cos2 θ) dθ =

�

0

π∫ (9 + 12 cos θ + 4

�

1 + cos 2θ2

) dθ =

=

�

0

π∫ (11 + 12 cos θ + 2 cos 2θ) dθ =

�

⎛ ⎝

�

0

π∫ cos θ dθ =

�

0

π∫ cos 2θ dθ = 0

�

⎞ ⎠

=

�

0

π∫ 11 dθ = 11π

Acontece muitas vezes que a curva que delimita a região cuja área se pretende calcular “começa” na origem das coordenadas. Neste caso, o valor do ângulo α terá de ser determinado por resolução da equação r = f(θ) = 0. Se esta equação tiver mais do que uma solução, deverá ser escolhida aquela que for adequada, atendendo à posição no plano Oxy da região cuja área se pretende calcular.


24

Considerações análogas são válidas para a determinação do ângulo β, quando a curva “acabar” na origem das coordenadas, ou então para a determinação dos dois limites, quando a curva “começar” e “acabar” na origem das coordenadas:

α é uma solução da equação f(θ) = 0

β é uma solução da equação f(θ) = 0

Se r = f(θ) e r = g(θ) forem as equações de duas curvas polares contínuas tais que 0 ≤ g(θ) ≤ f(θ) no intervalo α ≤ θ ≤ β, com 0 < β – α ≤ 2π, a área da região delimitada pelas duas curvas naquele intervalo será dada pela diferença entre as áreas das regiões delimitadas pela curva mais afastada da origem, r = f(θ), e pela curva mais próxima da origem, r = g(θ), ou seja:

A =

�

α

β∫

�

12

�

f θ( )[ ]2 − g θ( )[ ]2{ } dθ


25

Todas as considerações feitas para o caso anterior são ainda aplicáveis neste caso, nomeadamente no que diz respeito a:

• possíveis simetrias dos gráficos; • intervalo de integração [α, β] mais adequado, sempre com β – α ≤ 2π; • casos em que r2 for negativo.

Exemplo 7.5 Calcule a área interior ao caracol de Pascal de equação

r = 1 + 2 cos θ e exterior à circunferência r = 2. Comecemos por fazer um esboço da região cuja área se quer obter, fazendo θ percorrer o intervalo [0, 2π[:

θ 0 π/3 π/2 2π/3 π 4π/3 3π/2 5π/3 2π r 3 2 1 0 – 1 0 1 2 3

É possível observar a simetria com respeito ao eixo Ox da região cuja área se pretende calcular:

Neste caso, os dois pontos de intersecção podem ser obtidos algebricamente:

r = 1 + 2 cos θ = 2 ⇒ cos θ = 1/2 ⇒ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3 (θ = – π/3)


26

Devido à simetria com respeito ao eixo Ox, a área pretendida será dada por:

A =

�

− π/3

π/3∫

�

12

(1 + 2 cos θ)2 − 22{ } dθ =

= 2

�

0

π/3∫

�

12

(1 + 2 cos θ)2 − 22{ } dθ =

=

�

0

π/3∫ (1 + 4 cos θ + 4 cos2 θ – 4) dθ =

=

�

0

π/3∫ (1 + 4 cos θ + 4

�

1 + cos 2θ2

– 4) dθ =

=

�

0

π/3∫ (– 1 + 4 cos θ + 2 cos 2θ) dθ =

�

15 3 − 2π6

.

Problemas propostos / Secção 7.1 1. Determine as coordenadas rectangulares dos pontos cujas coordenadas

polares são: (a) (1, – π/3); (b) (– 2, 2π/3); (c) (– 2, – 7π/6).

2. Determine duas representações em coordenadas polares, uma com r > 0 e

outra com r < 0, para os pontos cujas coordenadas rectangulares são: (a) (– 1, – 1); (b) (

�

3 , – 1); (c) (– 3,

�

3). 3. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas polares:

(a) x = 3y; (b) xy = 1; (c) y = x2.


27

4. Exprima cada uma das equações seguintes em coordenadas rectangulares: (a) r = – 5 cos θ; (b) r = 1 – cos 2θ; (c) r = 3 sec θ.

5. Esquematize o gráfico de cada uma das curvas polares indicadas a seguir,

referindo possíveis simetrias com respeito aos eixos principais ou à origem: (a) r = 2 cos θ; (b) r = 1 + cos θ; (c) r = 2 + 4 cos θ; (d) r2 = 4 sen 2θ; (e) r = 2 sen 2θ; (f) r = 3 cos 3θ.

6. Determine todos os pontos de intersecção das curvas polares a seguir

indicadas: (a) r = 2 e r = cos θ; (b) r = sen θ e r = cos 2θ; (c) r = 1 – cos θ e r2 = 4 cos θ.

7. Determine a área delimitada pelas curvas polares a seguir indicadas:

(a) r = 1 + cos θ; (b) r = 2 – cos θ; (c) r = – 4 cos θ; (d) r = 2 cos 2θ; (e) r2 = 4 sen 2θ.

8. Determine a área das regiões do plano abaixo descritas:

(a) Interior a r = cos θ e a r =

�

3 sen θ; (b) Interior a r = 3 + 2 cos θ e exterior a r = 4; (c) Interior a r2 = cos 2θ e a r2 = sen 2θ.

Soluções dos problemas propostos / Secção 7.1

1. (a) (1/2, –

�

3/2); (b) (1, –

�

3);


28

(c) (

�

3 , – 1). 2. (a) (

�

2 , 5π/4) e (–

�

2 , π/4); (b) (2, 11π/6) e (– 2, 5π/6); (c) (2

�

3 , 5π/6) e (– 2

�

3 , 11π/6).

3. (a) θ = arctg

�

13

;

(b) r2 sen 2θ = 2, com θ ∈ ]0, π/2[; (c) r = tg θ sec θ, com θ ∈ [0, π/2[ ∪ ]π/2, π].

4. (a) (x + 5/2)2 + y2 = (5/2)2;

(b) (x2 + y2)3 = 4y4; (c) x = 3.

5. (a) Circunferência de raio 1 e centro em (1, 0); simetria com respeito

ao eixo Ox; (b) Cardióide; simetria com respeito a Ox; (c) Caracol de Pascal com laço; simetria com respeito a Ox; (d) Lemniscata; simetria com respeito à origem; (e) Rosácea de 4 pétalas; simetrias com respeito a Ox, Oy e à origem; (f) Rosácea de 3 pétalas; simetria com respeito a Ox.


29

6. (a) {

�

∅}; (b) (1/2, π/6), (1/2, 5π/6), (1, π/2) e (0, 0); (c) (2 (

�

2 – 1), arccos (3 – 2

�

2 )), (2 (

�

2 – 1), – arccos (3 – 2

�

2 )), (2, π) e (0, 0).

6.(b)

6.(c)

7. (a) 3π/2;

(b) 9π/2; (c) 4π; (d) 2π; (e) 4.


30

8. (a)

�

5π − 6 324

;

(b)

�

39 3 − 10π6

;

(c)

�

2 − 22

.

7.2 CURVAS PARAMÉTRICAS NO PLANO ________________________________________________________________

31

7.2 Curvas paramétricas no plano Qualquer curva no plano Oxy pode sempre ser representada analiticamente se exprimirmos as coordenadas rectangulares x e y como funções contínuas de uma terceira variável t, normalmente designada por parâmetro, o qual toma valores num dado intervalo I ⊆ IR :

�

x = f(t)y = g(t)⎧ ⎨ ⎩

, com t ∈ I ⊆ IR

O conjunto de todos os pontos do plano Oxy que satisfazem estas duas equações simultâneas é designado por curva paramétrica plana, e as equações acima escritas são chamadas equações paramétricas dessa curva plana. Se o intervalo I for um intervalo fechado do tipo [a, b], os pontos A

�

f(a),g(a)( ) e B

�

f(b),g(b)( ) são chamados pontos terminais da curva. Se estes dois pontos coincidirem, a curva plana diz-se fechada. Se a curva não tiver pontos onde se auto-intersecta, dizemos que é uma curva simples. 7.2.1 Orientação de uma curva paramétrica A mesma curva plana pode ser representada por infinitos pares de equações paramétricas do tipo {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}. É costume dizer-se que cada uma destas representações constitui uma parametrização diferente da mesma curva. Portanto, quando nos referimos a uma curva paramétrica plana, estamos a falar de uma curva plana com uma parametrização bem definida. Definição: A orientação de uma curva paramétrica plana é o sentido em

que a curva é percorrida quando o parâmetro da curva aumenta. A orientação de uma curva está intimamente associada à parametrização utilizada para descrever essa curva, e poderá ser invertida se utilizarmos uma parametrização diferente para a mesma curva.


32

Se for possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas, perde-se a informação acerca da orientação da curva, e pode mesmo acontecer que a extensão do gráfico da curva seja alterada. 7.2.2 Equações paramétricas da recta Qualquer recta do plano Oxy pode sempre ser representada pelas suas equações paramétricas, que exprimem x e y como funções lineares do parâmetro t:

�

x = xo + a ty = yo + b t⎧ ⎨ ⎩

, com t ∈ IR

em que (xo, yo) são as coordenadas rectangulares de um ponto arbitrário da recta, e em que a e b são duas constantes relacionadas com o seu declive:

Se a ≠ 0 e b ≠ 0, o parâmetro t pode ser facilmente eliminado daquelas duas equações, obtendo-se a equação da recta em coordenadas rectangulares:

�

x − xoa

=y − yob

⇒ y − yo =ba(x − xo)


33

pelo que o declive da recta é exactamente igual a

�

ba

. Se a = 0 e b ≠ 0, obtém-se

a recta vertical x = xo; se a ≠ 0 e b = 0, obtém-se a recta horizontal y = yo. 7.2.3 Equações paramétricas da elipse (circunferência) Qualquer elipse de semieixos paralelos aos eixos coordenados pode sempre ser representada pelas equações paramétricas

�

x = xo + a cos ty = yo + b sen t⎧ ⎨ ⎩

, com t ∈ [0, 2π], a > 0 e b > 0

em que a e b representam o comprimento dos semieixos da elipse na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente, e (xo, yo) são as coordenadas rectangulares do seu centro. A orientação associada a esta representação paramétrica equivale a percorrer a elipse no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:

O parâmetro t pode agora ser eliminado utilizando a identidade fundamental da Trigonometria, obtendo-se a equação em coordenadas rectangulares de uma elipse centrada em (xo, yo) e com os eixos paralelos a Ox e a Oy:


34

cos2 t + sen2 t = 1 ⇒

�

(x − xo)2

a2 +

�

(y − yo)2

b2 = 1

Se a = b, as equações acima escritas (quer as equações paramétricas, quer a equação em coordenadas rectangulares) representam uma circunferência de raio a centrada no ponto de coordenadas rectangulares (xo, yo).

Exemplo 7.6 Orientação associada a duas parametrizações diferentes da

circunferência de raio 1 centrada na origem, de equação x2 + y2 = 1:

Se utilizarmos a parametrização

�

x = cos ty = sen t⎧ ⎨ ⎩

, 0 ≤ t ≤ 2π, a circunferência é

descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio:

t 0 π/2 π 3π/2 2π x 1 0 – 1 0 1 y 0 1 0 – 1 0

Se, porém, utilizarmos a parametrização

�

x = cos ty = − sen t⎧ ⎨ ⎩

, 0 ≤ t ≤ 2π, a mesma

circunferência é descrita a partir do ponto de coordenadas (1, 0) no sentido dos ponteiros do relógio:

t 0 π/2 π 3π/2 2π x 1 0 – 1 0 1 y 0 – 1 0 1 0


35

7.2.4 Equações paramétricas do ciclóide O ciclóide é a curva descrita por um ponto fixo P da periferia de um círculo de raio a, quando esse círculo roda sem deslizar ao longo do eixo Ox:

As equações paramétricas do ciclóide são (ver exemplo seguinte):

�

x = a (t − sen t)y = a (1 − cos t)⎧ ⎨ ⎩

, com t ∈ IR e a ∈ IR+

Exemplo 7.7 Dedução geométrica das equações paramétricas do ciclóide:


36

As equações paramétricas do ciclóide podem ser deduzidas geometricamente se interpretarmos o parâmetro t como sendo o ângulo de rotação do círculo, expresso em radianos (ver figura anterior):

1. arco

�

PT =

�

OT, porque o círculo roda sem deslizar, e o ponto P encontrava-se inicialmente em O;

2. arco

�

PT = at, porque é o comprimento de um arco de circunferência de raio a e ângulo-ao-centro t;

3.

�

PQ =

�

OT –

�

Ox = at – x (evidente da figura); 4.

�

PQ = a sen t, do triângulo rectângulo PQC; 5. at – x = a sen t ⇒ x = at – a sen t = a (t – sen t), de 3. e 4.; 6.

�

CQ =

�

Oa –

�

Oy = a – y (evidente da figura); 7.

�

CQ = a cos t, do triângulo rectângulo PQC; 8. a – y = a cos t ⇒ y = a – a cos t = a (1 – cos t), de 6. e 7.

É possível eliminar o parâmetro t das equações paramétricas e relacionar directamente x com y, mas o resultado que se obtém por este processo é muito mais complicado do que as equações paramétricas acima escritas. 7.2.5 Funções definidas por representações paramétricas Definição: Uma curva plana representada pelo par de equações paramétricas

{x = f(t),y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR}, diz-se uma curva suave (ou

curva lisa) se as derivadas

�

dxdt

e

�

dydt

forem contínuas e não se

anularem simultaneamente para nenhum valor de t ∈ I. Mostremos que uma curva paramétrica suave pode sempre ser considerada como sendo o gráfico de uma função do tipo y = F(x) numa certa vizinhança de

qualquer ponto da curva onde

�

dxdt

≠ 0:

�

dxdt

> 0 (ou < 0), ∀t ∈ I ⇒ x = f(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒

⇒ Existe a função inversa t = f–1(x) ⇒ y = g(t) = g(f–1(x)) = F(x)


37

Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:

Repare-se bem que, se

�

dxdt

≠ 0, apenas podemos garantir que a função y = F(x)

existe, mas isso não significa que possamos saber qual é essa função! Para isso acontecer, teríamos de ser capazes de eliminar o parâmetro t das duas equações paramétricas, o que na maior parte dos casos é impossível. 7.2.5.1 Derivação de funções do tipo y = F(x)

definidas por representações paramétricas

Se for verificada a condição

�

dxdt

≠ 0 num intervalo contido em I, a derivada da

função y = F(x) nesse intervalo poderá ser obtida directamente das equações paramétricas, sem que seja necessário eliminar o parâmetro t para conhecer a função y = F(x).

De facto, se

�

dxdt

≠ 0, mostrámos acima que t = f–1(x) ⇒ y = g(f–1(x)) = F(x).

Aplicando as conhecidas regras de derivação da função composta e da função inversa, obtém-se o seguinte resultado para a derivada de F(x):

F´(x) =

�

g f−1(x)( )⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ ′=

�

g ′ f−1(x)( )

�

f−1(x)( )′ =

�

g ′ f−1(x)( )

�

1

f ′ f−1(x)( ) =

�

g ′ f−1(x)( )f ′ f−1(x)( )


38

Substituindo agora f–1(x) por t na última expressão, vem o resultado pretendido:

F´(x) =

�

g ′(t)f ′(t)

, se f´(t) ≠ 0

Repare-se que nesta fórmula o símbolo de derivação se refere à variável x no 1º membro e à variável t no 2º membro! Se utilizarmos a notação diferencial para as derivadas, o resultado é muito mais “intuitivo” e fácil de memorizar:

�

dydx

=

�

dydtdxdt

, se

�

dxdt

≠ 0

Para calcularmos F´´(x), basta repetir o procedimento anterior, derivando

�

g ′(t)f ′(t)

em ordem a x por intermédio de t:

F´´(x) =

�

ddx

�

g ′(t)f ′(t)

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ =

�

ddt

g ′(t)f ′(t)

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

dxdt

=

�

g ′(t)f ′(t)

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ′

f ′(t) , se f´(t) ≠ 0

Este resultado também pode ser escrito utilizando apenas a notação diferencial:

�

d2y

dx2 =

�

ddx

�

dydx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

�

ddt

dy/dtdx/dt

⎛ ⎝

⎞ ⎠

dxdt

, se

�

dxdt

≠ 0

Exemplo 7.8 Considere a curva paramétrica seguinte:

�

x = 2t2 + 1y = 3t3 + 2

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ , com t ∈ IR .

(a) Escreva a equação da tangente à curva no ponto onde o parâmetro t toma o valor 1;

(b) Determine o sinal da concavidade no mesmo ponto.


39

(a)

�

dxdt

= 4tdydt

= 9t2

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

⇒

�

dydx

=

�

9t2

4t =

�

9 t4

, se t ≠ 0

Para t = 1, obtém-se x = 3, y = 5 e

�

dydx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ t = 1

=

�

94

, logo a equação da tangente à

curva no ponto correspondente a t = 1 será: (y – 5) =

�

94

(x – 3).

(b)

�

d2y

dx2 =

�

ddx

�

9 t4

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

�

ddt

9 t4

⎛ ⎝

⎞ ⎠

dxdt

=

�

944t

=

�

916 t

, se t ≠ 0 ⇒

⇒

�

d2y

dx2⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ t = 1

=

�

916

> 0 ⇒ concavidade positiva.

7.2.5.2 Integração de funções do tipo y = F(x)

definidas por representações paramétricas Suponhamos que era dada a curva paramétrica suave de equações {x = f(t), y = g(t)}, com a ≤ t ≤ b; para garantir que esta curva representa o gráfico de uma função não-negativa y = F(x) no intervalo [c,d] correspondente, vamos admitir

que

�

dxdt

≠ 0 e que y = g(t) ≥ 0 em [a,b]:

Podemos então calcular directamente a área delimitada pelo gráfico de y = F(x) e pelo eixo Ox entre c e d, utilizando as equações paramétricas da curva, mesmo sem conhecermos a função F(x):


40

A =

�

c

d∫ F(x) dx =

�

c

d∫ y dx =

�

y = g(t)

dx =dxdtdt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

�

*

**∫ y(t)

�

dxdt

dt

em que a notação y(t), aqui utilizada pela primeira vez, significa que devemos exprimir y em função de t (y = g(t)) para calcularmos o integral, e em que * = a

e ** = b se

�

dxdt

> 0, mas * = b e ** = a se

�

dxdt

< 0, como se depreende facilmente

das duas figuras abaixo representadas:

Note-se pois que a integração com respeito a t poderá ser feita de a para b ou de b para a, conforme a orientação da curva paramétrica que representa o gráfico de y = F(x); em qualquer dos casos, independentemente dessa orientação, isto corresponde a uma integração com respeito a x feita de c para d. O volume dos sólidos de revolução que se obtêm por rotação da mesma região do plano em torno de Ox ou de Oy também pode ser calculado directamente a partir da representação paramétrica, sem termos de eliminar o parâmetro t:

• Rotação em torno de Ox (método das secções rectas):

Vx = π

�

c

d∫ [F(x)]2 dx = π

�

c

d∫ y2 dx =

=

�

y = g(t)

dx =dxdtdt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = π

�

*

**∫ [y(t)]2

�

dxdt

dt


41

• Rotação em torno de Oy (método das cascas cilíndricas):

Vy = 2π

�

c

d∫ x F(x) dx = 2π

�

c

d∫ x y dx =

=

�

x = f(t)y = g(t)

dx =dxdtdt

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

= 2π

�

*

**∫ x(t) y(t)

�

dxdt

dt

Nestes integrais, mais uma vez, a notação x(t) e y(t) significa que devemos exprimir estas duas variáveis em função do parâmetro t, e os limites * e ** têm

o significado já explicado: * = a e ** = b se

�

dxdt

> 0, ou * = b e ** = a se

�

dxdt

< 0.

Exemplo 7.9 Calcule a área delimitada pelo arco de ciclóide de equações

paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t, 0 ≤ t ≤ 2π} e pelo eixo Ox, e o volume que se obtém rodando essa região do plano Oxy em torno do eixo Ox.

�

x = t − sen ty = 1 − cos t⎧ ⎨ ⎩

, com 0 ≤ t ≤ 2π

�

dxdt

= 1 – cos t

A =

�

0

2π∫ y(t)

�

dxdt

dt =

�

0

2π∫ (1 – cos t) (1 – cos t) dt =


42

=

�

0

2π∫ (1 – 2 cos t + cos2t) dt =

�

0

2π∫ (

�

32

– 2 cos t +

�

12

cos 2t) dt = 3π

Vx = π

�

0

2π∫ [y(t)]2

�

dxdt

dt = π

�

0

2π∫ (1 – cos t)2 (1 – cos t) dt =

= π

�

0

2π∫ (1 – 3 cos t + 3 cos2t – cos3t) dt =

�

cos t dt = 00

2π∫

cos3 t dt = 00

2π∫

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

=

= π

�

0

2π∫ (1 + 3 cos2t) dt = π

�

0

2π∫ (

�

52

+

�

32

cos 2t) dt = 5π2

Podemos calcular o comprimento do arco de curva suave, que constitui o gráfico da função y = F(x) em [c,d], sem eliminar t das equações {x = f(t), y = g(t)}:

s =

�

c

d∫

�

1 + F′(x)[ ]2 dx =

�

c

d∫

�

1 +dydx⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

dx =

=

�

dydx

=

dydtdxdt

; dx =dxdtdt

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

=

�

*

**∫

�

dxdt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

+dydt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

dxdt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

�

dxdt

dt =

=

�

*

**∫

�

dxdt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

+dydt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

�

dxdtdxdt

dt =

�

a

b∫

�

dxdt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

+dydt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

dt

A justificação da última passagem é a seguinte: (* = a e ** = b) se

�

dxdt

> 0 ⇒

⇒

�

dxdt

=

�

dxdt

, mas (* = b e ** = a) se

�

dxdt

< 0 ⇒

�

dxdt

= –

�

dxdt

. Portanto,

neste caso, a integração é sempre feita de a para b, quer

�

dxdt

> 0, quer

�

dxdt

< 0.


43

Exemplo 7.10 Calcule o comprimento do arco de ciclóide de equações

paramétricas {x = t – sen t, y = 1 – cos t}, em que 0 ≤ t ≤ 2π.

�

x = t − sen ty = 1 − cos t⎧ ⎨ ⎩

, com 0 ≤ t ≤ 2π

�

dxdt

= 1 – cos t ;

�

dydt

= sen t

s =

�

0

2π∫

�

dxdt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

+dydt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ 2

dt =

�

0

2π∫

�

1 − cos t( )2 + sen t( )2 dt =

=

�

0

2π∫

�

2 − 2 cos t dt = [porque 1 – cos t ≡ 2 sen2 (t/2)]

=

�

0

2π∫

�

4 sen2 (t /2) dt =

�

0

2π∫ 2

�

sen (t /2) dt =

[porque 0 ≤ t ≤ 2π ⇒ 0 ≤ t/2 ≤ π ⇒

⇒ sen (t/2) ≥ 0 ⇒

�

sen (t /2) = sen (t/2)]

= 2

�

0

2π∫ sen (t/2) dt = 8


44

7.2.5.3 Derivação e integração de funções do tipo x = G(y) definidas por representações paramétricas

Uma curva paramétrica suave de equações {x = f(t), y = g(t), com t ∈ I ⊆ IR} pode sempre ser considerada como sendo o gráfico de uma função do tipo x =

= G(y) numa certa vizinhança de qualquer ponto da curva onde

�

dydt

≠ 0:

�

dydt

> 0 (ou < 0), ∀t ∈ I ⇒ y = g(t) é crescente (ou decrescente), ∀t ∈ I ⇒

⇒ Existe a função inversa t = g–1(y) ⇒ x = f(t) = f(g–1(y)) = G(y)

Os dois gráficos seguintes mostram estas situações para o caso em que I = [a,b]:

É possível escrever fórmulas análogas às que deduzimos atrás para calcular derivadas ou integrais (por exemplo áreas, ou volumes de sólidos de revolução, ou comprimentos de arcos de curva), sem termos necessidade de eliminar o parâmetro t, ou seja, sem termos de conhecer a função x = G(y). Por exemplo, a derivada da função x = G(y) será agora dada pela fórmula:

�

dxdy

=

�

dxdtdydt

, se

�

dydt

≠ 0


45

Se

�

dydt

> 0 ou

�

dydt

< 0, e se adicionalmente for x = f(t) ≥ 0 em [a,b], a área que é

delimitada pelo gráfico de x = G(y) em [c,d] e pelo eixo Oy é dada por:

A =

�

c

d∫ G(y) dy =

�

c

d∫ x dy =

�

x = f(t)

dy =dydtdt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ =

�

*

**∫ x(t)

�

dydt

dt

em que (* = a e ** = b) se

�

dydt

> 0, mas (* = b e ** = a) se

�

dydt

< 0. As fórmulas

para o cálculo de volumes de sólidos de revolução e comprimentos de arcos de curva no caso em que x = G(y) podem ser facilmente deduzidas. 7.2.6 Representação paramétrica de curvas

em coordenadas polares Uma curva plana também pode ser representada se exprimirmos as coordenadas polares (r, θ) de um ponto “corrente” da curva como funções contínuas de um parâmetro t qualquer:

�

r = r(t)θ = θ(t)⎧ ⎨ ⎩

, com t ∈ I ⊆ IR

Esta representação paramétrica em coordenadas polares pode sempre ser transformada numa representação paramétrica da mesma curva em coordenadas rectangulares, com a mesma parametrização:

�

x = r cos θ = r(t) cos (θ(t)) = f(t)y = r sen θ = r(t) sen (θ(t)) = g(t)⎧ ⎨ ⎩

, com t ∈ I ⇒

⇒

�

dxdt

=drdtcos (θ(t)) − r(t) sen (θ(t)) dθ

dt

dydt

=drdtsen (θ(t)) + r(t) cos (θ(t)) dθ

dt

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪


46

Supondo que as equações paramétricas acima escritas definem uma função y = F(x) (ou x = G(y)) num intervalo contido em I, podemos agora utilizar as

expressões de x = f(t), y = g(t),

�

dxdt

e

�

dydt

acima obtidas para calcular derivadas

e/ou integrais (áreas, volumes, etc.) envolvendo essa função, sem termos de saber exactamente qual é a função, conforme foi explicado atrás.

Exemplo 7.11 A trajectória de uma partícula material no plano Oxy pode

ser representada pelas equações paramétricas

�

r = cos t

θ =12t

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ,

com t ≥ 0, em que t é o tempo. Qual a forma da trajectória da partícula? Quais as componentes da velocidade segundo os eixos Ox e Oy em cada instante t?

�

r = cos t

θ =12t

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ ⇒ t = 2θ ⇒ r = cos 2θ (rosácea de 4 laços)

A partícula inicia o seu movimento no instante t = 0 no ponto de coordenadas rectangulares (1, 0), e percorre a rosácea de 4 laços representada na figura junta, voltando ao ponto de partida quando t = 4π (θ = 2π), e recomeçando novamente a percorrer a mesma trajectória.


47

As componentes da velocidade da partícula em cada instante t são

�

dxdt

e

�

dydt

:

�

x = r cos θ = cos t cos 12t⎛

⎝ ⎞ ⎠

y = r sen θ = cos t sen 12t⎛

⎝ ⎞ ⎠

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⇒

⇒

�

dxdt

= − sen t cos 12t⎛

⎝ ⎞ ⎠ −

12cos t sen 1

2t⎛

⎝ ⎞ ⎠

dydt

= − sen t sen 12t⎛

⎝ ⎞ ⎠ +

12cos t cos 1

2t⎛

⎝ ⎞ ⎠

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

7.2.7 Utilização da coordenada θ como parâmetro Sempre que uma curva polar puder ser representada por uma equação explícita do tipo r = r(θ), a escolha mais natural para o parâmetro t da curva polar é a própria coordenada angular θ:

r = r(θ) ⇒

�

x = r cos θ = r(θ) cos θ = f(θ)y = r sen θ = r(θ) sen θ = g(θ)⎧ ⎨ ⎩

⇒

⇒

�

dxdθ

=drdθ

cos θ − r(θ) sen θ

dydθ

=drdθ

sen θ + r(θ) cos θ

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Supondo que a curva polar de equação r = r(θ) representa uma função y = F(x) (ou x = G(y)) no intervalo considerado, podemos agora utilizar as expressões acima obtidas para calcular derivadas e/ou integrais (áreas, volumes, etc.) envolvendo essa função, sem termos de saber exactamente qual é a função. Por

exemplo, se quisermos calcular

�

dydx

= F´(x):


48

�

dydx

=

�

dydθdxdθ

=

�

drdθ


drdθ

cos θ − r(θ) sen θ

desde que

�

dxdθ

≠ 0, ou seja,

�

drdθ

cos θ ≠ r(θ) sen θ.

Exemplo 7.12 Obtenha as coordenadas polares dos pontos do cardióide de

equação r = 1 – cos θ onde a tangente ao gráfico é vertical.

Tangente vertical ⇒

�

dydx

→ ± ∞ ⇒

�

dxdy

= 0

�

x = r cos θ = (1 − cos θ) cos θy = r sen θ = (1 − cos θ) sen θ⎧ ⎨ ⎩

⇒

�

dxdθ

= sen θ (2 cos θ − 1)dydθ

= cos θ − cos 2θ

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

�

dxdy

=

�

dxdθdydθ

= 0 ⇒

�

dxdθ

= 0 ∧

�

dydθ

≠ 0 ⇒


49

⇒ sen θ (2 cos θ – 1) = 0 ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒

⇒ (sen θ = 0 ∨ cos θ = 1/2) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒

⇒ (θ = 0 ∨ θ = π ∨ θ = 2π ∨ θ = π/3 ∨ θ = 5π/3) ∧ cos θ – cos 2θ ≠ 0 ⇒

⇒ θ = π/3 (r = 1/2) ∨ θ = π (r = 2) ∨ θ = 5π/3 (r = 1/2)

Se a curva polar de equação r = r(θ) passar pela origem das coordenadas quando

θ = θo (isto é, se r(θ) = 0 ⇒ θ = θo), e se

�

drdθ

≠ 0 no mesmo ponto, então,

substituindo r(θ) = 0 e θ = θo na equação

�

dydx

=

�

drdθ


drdθ

cos θ − r(θ) sen θ e

simplificando, obtemos imediatamente

�

dydx

⎛ ⎝

⎞ ⎠ r = 0

= tg θo, o que significa que a

recta θ = θo é tangente à curva polar r = r(θ) na origem (r = 0):

Exemplo 7.13 A rosácea de equação r = 2 cos 3θ, com 0 ≤ θ ≤ π, passa três vezes pela origem das coordenadas. Calcule o declive das três rectas tangentes à rosácea na origem.

Na origem das coordenadas, r = 0 ⇒ cos 3θ = 0 ⇒ 3θ = (2k + 1)

�

π2

, k ∈ Z ⇒

⇒ θ = (2k + 1)

�

π6

, k ∈ Z. Como 0 ≤ θ ≤ π, as três soluções possíveis são:


50

θ =

�

π6

(k = 0) ; θ =

�

3π6

=

�

π2

(k = 1) ; θ =

�

5π6

(k = 2)

Verifiquemos se

�

drdθ

≠ 0 em cada um destes três pontos:

�

drdθ

= – 6 sen 3θ ⇒

�

drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ θ = π /6

= − 6 sen (π /2) = − 6 ≠ 0

drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ θ = π /2

= − 6 sen (3π /2) = 6 ≠ 0

drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ θ = 5π /6

= − 6 sen (5π /2) = − 6 ≠ 0

⎧

⎨

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪ ⎪ ⎪

Podemos então concluir que as rectas de equações θ =

�

π6

, θ =

�

π2

e θ =

�

5π6

são

tangentes à rosácea de equação r = 2 cos 3θ na origem das coordenadas:

A fórmula que permite calcular o comprimento de um arco de curva suave tem um aspecto muito simples para uma curva polar de equação explícita r = r(θ):

�

dxdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 +

�

dydθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 =

�

drdθ

cos θ − r(θ) sen θ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 +

�

drdθ

sen θ + r(θ) cos θ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2


51

Desenvolvendo o 2º membro e simplificando (verificar!), obtém-se:

�

dxdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 +

�

dydθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 = [r(θ)]2 +

�

drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

Substituindo este resultado na fórmula que foi obtida atrás para o cálculo do comprimento de um arco de uma curva paramétrica suave, com t = θ, a = α e b = β, obtém-se a fórmula pretendida:

s =

�

α

β∫

�

r(θ)[ ]2 +drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 dθ

Exemplo 7.14 Calcular o comprimento do cardióide de equação r = 1 – cos θ.

r(θ) = 1 – cos θ ⇒

�

drdθ

= sen θ ⇒

⇒ [r(θ)]2 +

�

drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 = (1 – cos θ)2 + (sen θ)2 = 2 – 2 cos θ =

= 2 (1 – cos θ) = [1 – cos θ ≡ 2 sen2 (θ/2)] = 4 sen2 (θ/2) ⇒

⇒

�

r(θ)[ ]2 +drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2= 2 sen2 (θ/2) = 2 sen (θ/2)

0 ≤ θ ≤ 2π ⇒ 0 ≤ θ/2 ≤ π ⇒ sen (θ/2) ≥ 0 ⇒

�

r(θ)[ ]2 +drdθ

⎛ ⎝

⎞ ⎠

2 = 2 sen (θ/2)

s =

�

0

2π∫ 2 sen (θ/2) dθ = [– 4 cos (θ/2)]

�

2π0

= – 4 cos π + 4 cos 0 = 8.


52

Problemas propostos / Secção 7.2 1. Em cada caso, elimine o parâmetro t e represente graficamente a

correspondente curva, indicando qual a sua orientação: (a) x = 3t – 4, y = 6t + 2, t ∈ IR ; (b) x = 2 cos t, y = 5 sen t, 0 ≤ t ≤ 2π; (c) x = t2, y = t3, t ∈ IR ; (d) x = t2, y = 2 ln t, t ≥ 1.

2. Para cada uma das curvas paramétricas abaixo referidas, escreva a

equação da tangente à curva no ponto indicado, e verifique em seguida se a concavidade é positiva ou negativa no mesmo ponto, tudo isto sem eliminar o parâmetro t: (a) x = 2t3 + 2 , y = 3t2 + 1, quando t = 1; (b) x = t sen t, y = t cos t, quando t = π/2;

(c) x =

�

3t

1 + t3 , y =

�

3t2

1 + t3 , quando t = 1.

3. Em cada caso, determine a área delimitada pela curva paramétrica dada e

pelo eixo Ox, e calcule em seguida o volume que se obtém ao rodar essa região em torno do eixo Ox: (a) x = t3, y = 2t2 + 1, – 1 ≤ t ≤ 1; (b) x = e3t, y = e–t, 0 ≤ t ≤ ln 2; (c) x = cos t, y = sen2 t, 0 ≤ t ≤ π; (d) x = cos t, y = et, 0 ≤ t ≤ π.

4. Em cada caso, determine o comprimento da curva paramétrica dada:

(a) x = 2t, y =

�

23

t3/2, 5 ≤ t ≤ 12;

(b) x =

�

12

t2, y =

�

13

t3, 0 ≤ t ≤ 1;

(c) x = sen t – cos t, y = sen t + cos t, π ≤ 4t ≤ 2π; (d) x = et sen t, y = et cos t, 0 ≤ t ≤ π.


53

5. Para cada uma das curvas polares abaixo referidas, escreva a equação da tangente à curva no ponto indicado: (a) r = exp (

�

3θ), quando θ = π/2; (b) r = sen 3θ, quando θ = π/6;

(c) r =

�

1θ

, quando θ = 2.

6. Determine as coordenadas rectangulares de todos os pontos da curva

polar r = 1 – 2 sen θ em que a tangente à curva é horizontal. 7. Em cada caso, determine o comprimento da curva polar dada:

(a) r = eθ/2, 0 ≤ θ ≤ 4π; (b) r = θ, 2π ≤ θ ≤ 4π.

Soluções dos problemas propostos / Secção 7.2

1. (a) y = 2x + 10;

(b) 25 x2 + 4 y2 = 100;

(c) y2 = x3; (d) y = ln x, x ≥ 1.


54

2. (a) y = x e concavidade negativa;

(b) y =

�

π2

π2

− x⎛ ⎝

⎞ ⎠ e concavidade negativa;

(c) y = – x + 3 e concavidade negativa.

3. (a)

�

225

e

�

358π35

;

(b)

�

92

e 3π;

(c)

�

43

e

�

16π5

;

(d)

�

12eπ + 1( ) e

�

π5

e2π + 1( ) .


55

4. (a)

�

743

;

(b)

�

132 2 − 1( );

(c)

�

2 π4

;

(d)

�

2 eπ − 1( ).

5. (a) y = e

�

3 π /2 –

�

3 x; (b) y = 2 –

�

3 x;

(c)

�

y −sen 22

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

�

tg 2 − 22 tg 2 + 1

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

�

x −cos 22

⎛ ⎝

⎞ ⎠ .


56

6. (0, – 1), (0, – 3),

�

15 /8, 1/8( ) e

�

− 15 /8, 1/8( ).

7. (a)

�

5 e2π − 1( );

(b)

�

2π 1 + 16π2 +12ln 4π + 1 + 16π2⎛

⎝ ⎞ ⎠

⎡ ⎣ ⎢ –

–

�

π 1 + 4π2 −12ln 2π + 1 + 4π2⎛

⎝ ⎞ ⎠ ⎤ ⎦ ⎥ .

7.A: CURVAS PLANAS DO 2º GRAU OU “CÓNICAS” ________________________________________________________________

57

7.A Curvas planas do 2º grau ou “cónicas” Se exceptuarmos os chamados “casos degenerados” (por exemplo, x2 + y2 = 0, ou y2 – x2 = 0) há apenas três tipos de curvas planas do 2º grau, que também são chamadas (secções) “cónicas”: a parábola, a elipse (de que a circunferência é um caso particular), e a hipérbole. Iremos aqui recordar a representação analítica destas três curvas do 2º grau, mas apenas no caso mais simples em que os eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados no plano Oxy. Se for este o caso, pode-se mostrar que não aparece o termo em xy na equação da curva do 2º grau, ou seja, ela será do tipo seguinte: Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0. 7.A.1 Parábola

A equação

(x – h)2 = ± 4p (y – k) representa uma parábola com vértice em (h,k) e eixo de simetria paralelo a Oy, “abrindo” na direcção positiva ou na direcção negativa do eixo Oy, conforme o sinal ± no 2º membro.

O número positivo p, que aparece nesta equação e na seguinte, representa a distância entre o vértice e o foco da parábola, em que ambos os pontos estão situados sobre o eixo de simetria da parábola.


58

A equação

(y – k)2 = ± 4p (x – h) representa uma parábola com vértice em (h,k) e eixo de simetria paralelo a Ox, “abrindo” na direcção positiva ou na direcção negativa do eixo Ox, conforme o sinal ± no 2º membro.

7.A.2 Elipse

A equação

�

(x − h)2

a2 +

�

(y − k)2

b2 = 1

com a > 0 e b > 0, representa uma elipse com centro em (h,k) e semieixos de comprimentos a e b, na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente.

No caso particular em que a = b, resulta uma circunferência com centro em (h,k), de raio a = b, cuja equação é (x – h)2 + (y – k)2 = a2.


59

7.A.3 Hipérbole

A equação

�

(y − k)2

b2 –

�

(x − h)2

a2 = 1

com a > 0 e b > 0, representa uma hipérbole com centro em (h,k) e eixo focal paralelo a Oy, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a b.

O eixo focal duma hipérbole é a recta sobre a qual estão situados os dois focos, assim como os dois vértices e o centro da hipérbole.

A equação

�

(x − h)2

a2 –

�

(y − k)2

b2 = 1

com a > 0 e b > 0, representa uma hipérbole com centro em (h,k) e eixo focal paralelo a Ox, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a a.


60

Para decidirmos qual destas curvas é que é representada por uma equação do tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, temos em 1º lugar de “completar o quadrado” nas variáveis x e/ou y, para em seguida podermos comparar com as equações acima escritas:

Exemplo 7A.1 Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das

equações do 2º grau a seguir indicadas: (a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0; (b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0; (c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0.

(a) y2 – 8x – 6y – 23 = 0 ⇒ y2 – 6y = 8x + 23 ⇒

⇒ y2 – 6y + 9 = 8x + 32 ⇒ (y – 3)2 = 8 (x + 4).

Esta equação representa uma parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria paralelo a Ox, “abrindo” na direcção positiva do eixo Ox. (b) 16x2 + 9y2 – 64x – 54y + 1 = 0 ⇒ 16 (x2 – 4x) + 9 (y2 – 6y) = – 1 ⇒

⇒ 16 (x2 – 4x + 4) + 9 (y2 – 6y + 9) = – 1 + 64 + 81 ⇒

⇒ 16 (x – 2)2 + 9 (y – 3)2 = 144 ⇒

�

(x − 2)2

9+

(y − 3)2

16= 1.

Esta equação representa uma elipse com centro em (2, 3) e com semieixos de comprimentos 3 e 4 na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente. (c) x2 – y2 – 4x + 8y – 21 = 0 ⇒ (x2 – 4x) – (y2 – 8y) = 21 ⇒

⇒ (x2 – 4x + 4) – (y2 – 8y + 16) = 21 + 4 – 16 ⇒


61

⇒ (x – 2)2 – (y – 4)2 = 9 ⇒

�

(x − 2)2

9−

(y − 4)2

9= 1.

Esta equação representa uma hipérbole com centro em (2, 4) e eixo focal paralelo a Ox, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 3.

Problemas propostos / Secção 7.A Descreva de forma sucinta o gráfico no plano Oxy das equações do 2º grau a seguir indicadas: (a) x2 – 4x + 2y = 1; (b) x2 + 9y2 + 2x – 18y + 1 = 0; (c) 4x2 – 9y2 – 16x – 54y – 29 = 0; (d) y2 – 6y – 2x + 1 = 0; (e) 5x2 + 9y2 + 20x – 54y = – 56; (f) x2 – 4y2 + 2x + 8y – 7 = 0.

Soluções dos problemas propostos / Secção 7.A (a) Parábola com vértice em (2, 5/2) e eixo de simetria paralelo a Oy,

“abrindo” na direcção negativa do eixo Oy; (b) Elipse com centro em (– 1, 1) e com semieixos de comprimentos 3 e 1 na

direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente; (c) Hipérbole com centro em (2, – 3) e eixo focal paralelo a Oy, sendo a

distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2; (d) Parábola com vértice em (– 4, 3) e eixo de simetria paralelo a Ox,

“abrindo” na direcção positiva do eixo Ox; (e) Elipse com centro em (– 2, 3) e com semieixos de comprimentos 3 e

�

5 , na direcção dos eixos Ox e Oy, respectivamente;

(f) Hipérbole com centro em (– 1, 1) e eixo focal paralelo a Ox, sendo a distância dos vértices ao centro da hipérbole igual a 2.

7 coordenadas polares e curvas paramétricas

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