7 eixos, chavetas e acoplamentos

Notas de Aula:

Prof. Gilfran Milfont

As anotações, ábacos, tabelas, fotos e gráficos

contidas neste texto, foram retiradas dos seguintes

livros:

-PROJETOS de MÁQUINAS-Robert L. Norton-

Ed. BOOKMAN-2ª edição-2004

-PROJETO de ENG. MECÂNICA-Joseph E.

Shigley-Ed. BOOKMAN -7ª edição-2005

-FUNDAMENTOS do PROJETO de COMP de

MÁQUINAS-Robert C. Juvinall-Ed.LTC -1ª

edição-2008

-PROJETO MECÂNICO de ELEMENTOS de

MÁQUINAS-Jack A. Collins-Ed. LTC-1ª edição-

2006

7 EIXOS

CHAVETAS

E

ACOPLAMENTO

ELEMENTOS DE MÁQUINAS AULAS PROF. GILFRAN MILFONT

7.1-INTRODUÇÃO

Os eixos estão presentes em várias máquinas e equipamentos, transmitindo

movimento de rotação ou torque de uma posição para outra, ou ainda como apoio

de rodas ou outros mecanismos.

Fixados ao eixo podemos ter engrenagens, polias, catracas, volantes, etc.

O projeto de eixos envolve:

• Seleção do Material;

• Layout da Geometria;

• Determinação das Tensões e Deformações (estáticas e de fadiga);

• Determinação das Deflexões (de flexão e de torção);

• Determinação das Declividades em Mancais de Apoio;

• Determinação das Velocidades Críticas.

Não existe nenhuma particularidade que requeira um tratamento especial para o

projeto de eixos, além dos métodos básicos já vistos. Porém, devido a presença de

eixos em tantas aplicações de máquinas, é vantajoso se fazer um estudo específico

para a sua concepção e a dos componentes a eles conectados.


7.2- CARGA EM EIXOS

Os eixos rotativos sujeitos a flexão estão submetidos a um estado de tensões

completamente reversas. Assim, o modelo de falha predominante para eixos

girantes é a falha por fadiga. Se as cargas transversais ou torques variam no tempo,

a carga de fadiga fica mais complexa, mas os princípios de projeto à fadiga

permanecem os mesmos.

Será abordado primordialmente o caso geral, que possibilita a existência de

componentes fixas e variáveis no tempo para as cargas de flexão e de torção.


7.3- CONEXÕES E CONCENTRAÇÃO DE TENSÕES

É comum que os eixos apresentem ressaltos, onde o diâmetro mude para acomodar

mancais, engrenagens, polias, catracas, volantes, etc. Além disso, a presença de

chavetas, anéis retentores e pinos transversais são comuns em eixos. Estes

elementos geram no eixo, concentrações de tensões e, portanto, boas técnicas de

engenharia devem ser utilizadas para minimizar estes efeitos.


7.4 – MATERIAIS PARA EIXOS

Para minimizar as deflexões, uma escolha lógica é o aço, que apresenta alta

rigidez, representada pelo seu módulo de elasticidade, que é essencialmente

constante para todos os aços. Algumas vezes se utiliza o ferro fundido ou nodular,

especialmente quando engrenagens ou outras junções forem integralmente

fundidas com o eixo. Em ambientes marítimos ou corrosivos, lança-se mão de

bronze, aço inoxidável, titânio ou inconel.

A maioria dos eixos de máquinas são construídos de aço de baixo e médio

carbono (ANSI 1020-1050: laminados a frio ou a quente). Se uma maior

resistência é necessária, aços de baixa liga como o AISI 4140, 4340 ou 8640

podem ser selecionados, utilizando-se tratamentos térmicos adequados para se

obter as propriedades desejadas.

Os aços laminados a frio têm sua maior aplicação em eixos de diâmetros abaixo

de 3 in (75mm) e os laminados a quente para diâmetros maiores. Os aços

laminados a frio têm propriedades mecânicas mais elevadas que os laminados à

quente, devido ao encruamento a frio, porém surgem tensões residuais de tração

na superfície, que são indesejáveis.


7.5- TENSÕES NO EIXO

As tensões de interesse são calculadas para os pontos críticos do eixo. As tensões de

flexão média e alternada máximas estão na superfície e calculadas através das

expressões:

Para um eixo circular sólido:

Se uma componente de força axial Fz estiver presente, terá uma componente

média :

Lembrando que:

f

PPT

fTTP

2

2


7.5b- TENSÕES NO EIXO

Para carregamento combinado de flexão e torção, geralmente segue uma relação

elíptica e os materiais frágeis falham com base na tensão principal máxima.


7.6- PROJETO DO EIXO


7.6a- PROJETO DO EIXO


7.6b- PROJETO DO EIXO

PARA FLEXÃO ALTERNADA E TORÇÃO FIXA: este é um subconjunto do

caso geral de flexão e torção variadas. É considerado um caso de fadiga

multiaxial simples. O dimensionamento pelo método ASME, utiliza a curva

elíptica da figura abaixo como envelope de falha:

Partindo da eq. da elípse:

Introduzindo-se um coeficiente de

segurança:

Lembrando da relação de

von Mises (p/cis. Puro):

Substituindo a e τm,

encontramos:

Resolvendo para d:


7.6c- PROJETO DO EIXO

PARA FLEXÃO VARIADA E TORÇÃO VARIADA: quando o torque não é

constante, sua componente alternada cria um estado de tensão multiaxial

complexo no eixo.

Encontramos as tensões equivalentes de von Mises:

Estas tensões equivalentes são introduzida em um DMG para o

material escolhido, a fim de se encontrar o fator de segurança.

Para o propósito de projeto, deseja-se o diâmetro do eixo e, neste caso, várias

iterações são necessárias para encontrá-lo, o que torna a tarefa enfadonha, exceto

com o uso de programas computacionais. Se um caso particular de falha for

admitido para o DMG, as equações podem ser manipuladas para se encontrar uma

equação de projeto para d. Por exemplo, se supormos carga axial zero e uma

razão constante entre o valor da carga alternada e média, encontramos:


7.7- DEFLEXÃO DO EIXO

Eixos estão submetidos a deflexão por flexão e por torção, que precisam ser

controladas. No caso de flexão, ele é considerado como uma viga e o único fator

de complicação para integração da equação da linha elástica é que, em função dos

ressaltos, o momento de inércia também varia ao longo do comprimento do eixo .

Se os cargas e momentos variarem ao longo do tempo, devemos utilizar os

maiores valores para calcular as deflexões.

Para a Torção: (constante de mola)

Para a Flexão: o eixo é considerado como uma viga e calculamos a declividade

e a flecha a partir da equação do momento fletor.

Qualquer coleção de seções adjacentes, de diâmetros diferente, diferentes

momentos polares, podem ser consideradas como um conjunto de molas em série:


7.8- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS

Todos os sistemas que contêm elementos de armazenamento de energia possuirão

um conjunto de frequências naturais nas quais o sistema vibrará com amplitudes

potencialmente grandes. Quando um sistema dinâmico vibra, uma transferência

de energia ocorrerá repetidamente dentro do sistema, de potencial a cinética e

vice-versa. Se um eixo estiver sujeito a uma carga que varia no tempo ele vibrará.


7.8a- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS

A frequência natural é dada por:

Existem três tipos de vibrações de eixo preocupantes: vibração lateral, rodopio

do eixo e vibração torcional. Os dois primeiros se devem á deflexões por flexão e

o terceiro à deflexões torcionais.

Uma análise completa das frequências naturais de um eixo é um problema

complicado e é mais facilmente resolvido com ajuda de programas de Análise de

Elementos Finitos.

Vibração Lateral: O método de Rayleigh dá uma idéia aproximada de pelo

menos uma frequência natural e se baseia na igualdade da energia potencial e

cinética do sistema.


7.8b- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS

Rodopio do Eixo: é um fenômeno de vibração auto-excitada ao qual todos os

eixos estão potencialmente sujeitos.

Vibração Torcional: da mesma maneira que um eixo pode vibrar lateralmente,

ele também pode vibrar torcionalmente e terá uma ou mais frequências torcionais

naturais. Para um único disco montado em um eixo:


7.8c- VELOCIDADES CRÍTICAS DE EIXOS

Vibração Torcional: para dois discos em um mesmo eixo:

Vibração Torcional: para discos múltiplos em um mesmo eixo:


7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1)


7.9- EXEMPLO (NORTON 9-1-CONT)

1. Torque:

2. Forças na polia:

3. Força no dente da engrenagem:



4. Reações nos mancais:



5. Equações e Diagramas de

Esforço Cortante e Momento

Fletor:



6. Análise dos Pontos Críticos:

7. Escolha do Material e Determinação do Limite de Fadiga: partimos

inicialmente de um aço de baixo custo, como o AISI-1020, laminado a frio que

tem uma baixa sensibilidade ao entalhe: e

8. Sensibilidade ao Entalhe (Eq. 6.13

ou Fig. 6.36 do Norton), admitindo-se o

raio do entalhe r=0,01 in, teremos para

flexão e para torção, respectivamente:



9. Fatores de Concentração de Tensão por Fadiga para o Ponto B:

10. Para o ponto C, temos:

Pela eq. 6.17, devemos utilizar o mesmo fator para a

componente de tensão média torcional:



11. Para o ponto D:

12. Observamos que o menor diâmetro a ser

utilizado é de 0,531 in, calculado para o ponto C.

Como neste ponto do eixo existe um mancal de

rolamento, devemos encontrar o próximo diâmetro

padronizado para esta parte do eixo, que é de 0,591

in (15mm). A partir deste valor, podemos escolher:

d3=0,50 in, d1=0,625 in e, finalmente, escolhemos o

diâmetro do tarugo que será também o d0=0,75 in.

Os cálculos dos C.S. e concentrações de tensão

podem agora serem recalculados com base nas

dimensões reais.



O problema é igual ao do ex. 9.1, só que agora o torque e o momento variam no

tempo, de modo repetitivo, com suas componentes médias e alternadas de iguais

magnitudes, conforme mostrados nos diagramas abaixo:

Observe que temos os mesmos três pontos

de interesse: B, C e D. Porém, como as

cargas torcionais não são constantes, não

podemos utilizar o método da ASME e sim a

eq. 9.8.



- Ponto B:

- Ponto C:



- Ponto D:

Mais uma vez, o ponto C irá determinar o diâmetro do eixo, com 0,632 in, que em

função do mancal de rolamento deve ser padronizado em 0,669 in (17mm). A partir

deste valor, escolhemos: d3=0,531 in, d1=0,750 in e, finalmente, escolhemos o

diâmetro do tarugo que será também o d0=0,875 in.

Os cálculos dos C.S. e concentrações de tensão podem agora serem recalculados

com base nas dimensões reais.



Comparação dos diâmetros encontrados nos exemplos 9-1 e 9-2:



Projetar o mesmo eixo do

exemplo 9-2 para ter uma

deflexão máxima de 0,002 in e

uma declividade máxima de

0,5º entre a polia e a

engrenagem.

O carregamento é o mesmo do

ex. 9-2, o torque de pico é 146

lb.in. A fig. 9-9 mostra a

distribuição do momento de

pico ao longo do comprimento

do eixo. Os valores são 65,6

lb.in no ponto B, 127,9 lb.in

no ponto C e 18,3 lb.in no

ponto D.

Os comprimentos e o material

serão mantidos os mesmos do

exemplo 9-2.



1. Inicialmente vamos calcular o momento polar de inércia para cada trecho:


7.12- EXEMPLO (NORTON 9-8-CONT.)


7.13- CHAVETAS

As chavetas são

padronizadas pelo

tamanho e pela

forma em vários

estilos:

As chavetas

paralelas são

usualmente as mais

usadas. As

padronizações da

ANSI e ISO definem

suas dimensões. As

chavetas cônicas

tem a mesma largura

das paralelas e sua

conicidade é

padronizada em

1/8in por ft.


7.13a- CHAVETAS

As chavetas Woodruff (meia-lua) são usadas em eixos menores. São auto-

alinhantes, portanto são preferidas para eixos afunilados.


7.13b- CHAVETAS

As chavetas falham por cisalhamento ou por esmagamento. Se o torque for

constante, o coeficiente de segurança é calculado pelo quociente entre a tensão de

escoamento do material pela tensão de cisalhamento atuante na chaveta. Se

variável no tempo, o enfoque será calcular as componentes média e alternada da

tensão de cisalhamento, calcular as tesões média e alternada de von Mises e

utilizar um DMG para calcular o coeficiente de segurança.

Os materiais mais comumente utilizados para chavetas são os aços brandos de

baixo carbono. Se o ambiente for corrosivo, deve ser utilizado um material

resistente à corrosão.

Como a largura e a profundidade das chavetas são padronizados em função do

diâmetro do eixo, ficamos somente com o comprimento da chaveta como variável

de cálculo.


7.13c- CHAVETAS

Fatores de concentração de tensão para um assento de chaveta, produzido por

fresa de topo, em flexão.


7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4)


7.13d- EXEMPLO (NORTON 9-4-CONT.)



Tensão de Esmagamento:

Ponto D:

Tensão de Esmagamento:


7.14- ESTRIAS

São utilizadas quando é preciso transmitir mais torque do que pode ser passado

pelas chavetas. Podem ser estrias de seção transversal quadrada ou de involuta. A

SAE e a ANSI padronizam os eixos estriados.

A SAE considera que 25% dos

dentes estão em contato, logo o

comprimento da parte estriada é:

A área submetida a cisalhamento é:

A tensão de cisalhamento na

estria é calculado por:


7.14a- ESTRIAS


7.15- AJUSTES DE INTERFERÊNCIA

Também chamado de ajuste a pressão ou de encolhimento, são utilizadas

quando não se quer utilizar chavetas ou estrias para interligar um eixo a um cubo.

Pressão criada pela interferência:

Torque que pode ser

transmitido:


7.15a- EXEMPLO (NORTON 9-5)


7.15a- EXEMPLO (NORTON 9-5-CONT.)


7.16- VOLANTES

Os volantes são usados para minimizar as variações nas velocidades de

determinadas máquinas, tais como compressores, motores de combustão, prensas,

punções, esmagadores, etc., através do armazenamento e liberação de energia.


7.16a- PROJETO DE VOLANTES

A energia cinética em um sistema em rotação é dada por:

Onde Im é o momento de inércia da massa girante.

t é a espessura

do disco.

Variação de Energia em um Sistema em Rotação:


7.16b- PROJETO DE VOLANTES

Sendo:

N1= velocidade máxima em rpm

N2= velocidade mínima em rpm

N= velocidade média em rpm

O coeficiente de flutuação de velocidade é dado por:


7.16c- EXEMPLO (NORTON 9-6)


7.16c- EXEMPLO (NORTON 9-6-CONT)


7.16d- TENSÕES NOS VOLANTES

Tensão tangencial causada

pela força centrífuga:

Tensão radial:

Coeficiente de Segurança:


7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7)


7.16e- EXEMPLO (NORTON 9-7-CONT.)


7.17- ACOPLAMENTOS

São elementos utilizados para interligação de eixos, tendo as seguintes funções:

• Ligar eixos de mecanismos diferentes;

• Permitir a sua separação para manutenção;

• Ligar peças de eixos (que pelo seu comprimento não seja viável ou vantajosa a

utilização de eixos inteiriços);

• Minimizar as vibrações e choques transmitidas ao eixo movido ou motor;

• Compensar desalinhamentos dos eixos ou introduzir flexibilidade mecânica.

Os acoplamentos podem ser

divididos em duas categorias gerais:

os rígidos e os flexíveis ou

complacentes. Nos acoplamentos

rígidos, nenhum desalinhamento é

permitido entre os eixos e são

utilizados quando se necessita

precisão e fidelidade de transmissão

é requerida. São exemplos de

aplicação: máquinas automatizadas e

servomecanismos.


7.17a- ACOPLAMENTOS

Os acoplamentos flexíveis permitem algum desalinhamento. Os desalinhamentos

possíveis são: axial, angular, paralelo e torcional. Estes desalinhamentos podem

surgir isolados ou combinados.


7.17b- ACOPLAMENTOS


7.17c- ACOPLAMENTOS

7 eixos, chavetas e acoplamentos

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