7 Implementações numéricas adicionais visando à análise de estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

7.1. Considerações gerais

Problemas de estabilidade de taludes constituem uma linha de pesquisa que

tem sido bastante explorada nos últimos anos, sobretudo pelas recentes mudanças

climáticas que originam eventos extraordinários de chuva. As águas destas chuvas

podem produzir um fluxo subsuperficial, no interior do talude, e superficial, sobre

o talude.

Os processos de fluxo subsuperficial produzem uma redução na sucção, ou

um incremento na poropressão, nos solos que constituem o talude. Em ambos os

casos, se geram mecanismos de deformação e cisalhamento, podendo provocar a

ruptura de taludes que permaneceram estáveis por muito tempo.

Por outro lado, os processos de fluxo superficial não têm impacto direto na

estabilidade do talude; entretanto, podem afetar o fluxo subsuperficial em função

do balanço hídrico que se estabelece na superfície do talude.

Neste capítulo são abordados ambos os tipos de escoamento, visando futuras

aplicações da ferramenta computacional GEOFLUX3D à estabilidade de taludes

parcialmente saturados.

Inicialmente, os principais tipos de análise para avaliação da estabilidade de

taludes são discutidos. Discute-se também a importância de uma formulação

acoplada para este tipo de problema propondo-se uma forma de avaliar fatores de

segurança a partir dos resultados obtidos de uma análise acoplada.

Posteriormente, são discutidos os principais aspectos relacionados à origem

do escoamento superficial, assim como sua ligação com os processos de

escoamento subsuperficial. A equação governante para o desenvolvimento do

fluxo superficial é apresentada, assim como algumas relações constitutivas que

podem ser adotadas a fim de se obter uma solução aproximada.

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

138

7.2. Análise do fenômeno de fluxo subsuperficial aplicado à estabilidade de taludes

A maioria dos taludes naturais permanece estável pela presença de zonas

não saturadas nas quais a resistência do solo do talude é superior. No entanto, com

a ocorrência de chuvas de forte intensidade, estas zonas podem desaparecer e a

estabilidade do talude pode ser comprometida. Mecanismos de falha podem ser

originados pelo umedecimento do talude através de uma frente de saturação que

se desenvolve ao longo do tempo, mudando a distribuição das poropressões dentro

do talude. Estas poropressões são fundamentais para avaliar a resistência do solo

através de uma formulação em tensões efetivas.

Diversos autores desconsideram os processos mecânicos que se

desenvolvem no talude pela infiltração das águas de chuva, utilizando análises de

fluxo desacoplado para determinar as poropressões, como nos trabalhos de Cai &

Ugai (2004), Chien-Yuan et al. (2005), Miqueletto (2007), Huang & Jia (2009),

Nian et al. (2011a), Hamdan & Schweiger (2011), entre outros.

Embora estas análises sejam muito atrativas por sua simplicidade e rápida

resposta, podem fornecer respostas divergentes da realidade, já que à medida que

o talude é umedecido, as tensões totais podem apresentar mudanças significativas,

violando uma das hipóteses fundamentais para o uso da equação de fluxo

desacoplado. Apesar disto, alguns autores afirmam que esta violação não

influencia sobremaneira a previsão dos fatores de segurança nos taludes. Desta

forma, nessas abordagens se realiza uma análise da estabilidade do talude

empregando uma estratégia de acoplamento explícita, determinando primeiro as

poropressões e depois verificando a estabilidade do talude.

Análises hidromecânicas com acoplamento implícito durante o processo de

infiltração em taludes ainda são pouco difundidas. Smith (2003) apresentou uma

formulação empregando o modelo de Mohr-Coulomb estendido para solos não

saturados. Nuth (2009) apresentou outra formulação na mesma linha de

abordagem, mas utilizando uma variante do modelo Cam-Clay Modificado para

solos parcialmente saturados. Em ambas as contribuições, o comportamento

hidromecânico do solo do talude frente às precipitações é modelado de maneira

mais fiel à realidade. No entanto, nestas pesquisas não se fornecem os fatores de

segurança necessários para avaliar a estabilidade do talude ao longo do tempo.

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

139

Basicamente, as análises de estabilidade de taludes podem ser conduzidas

por duas aproximações; a primeira é baseada nos métodos de equilíbrio limite

(Bishop, 1955; Morgenstein & Price, 1965; Janbu, 1973) e a segunda é baseada

nas relações tensão-deformação.

Os métodos de equilíbrio limite têm tido bastante aceitação por sua

simplicidade; no entanto apresentam algumas limitações devido às hipóteses

adotadas nas forças laterais das fatias do talude e à forma pré-definida da

superfície de ruptura do talude (Chang & Huang, 2005).

Por outro lado, as análises de tensão-deformação baseadas no método dos

elementos finitos podem capturar o desenvolvimento progressivo das superfícies

de falha sem nenhuma hipótese adicional, apenas considerando a geometria do

talude e suas propriedades mecânicas. Várias opções têm sido apresentadas neste

tipo de análise, destacando-se a técnica da redução da resistência. Nesta técnica,

os parâmetros de resistência originais são reduzidos até propiciar a falha do

talude. No entanto, a grande dificuldade desta técnica encontra-se na escolha de

um critério específico para definir a instabilidade do talude quando este se

aproxima do colapso.

De acordo com Nian et al. (2011b) existem quatro critérios para definir a

instabilidade do talude na falha: 1) acompanhamento da extensão da zona plástica,

do pé ao topo do talude; 2) acompanhamento das deformações plásticas ao longo

da superfície potencial de falha; 3) acompanhamento dos deslocamentos em nós

característicos do talude e 4) a não convergência da solução não linear.

Entre estes critérios, os três primeiros precisam de dados geométricos

especiais, já que devem ser especificadas regiões nas quais as deformações

plásticas ou os deslocamentos devem ser conferidos. Por outro lado, o critério da

não convergência da solução não linear não precisa estes dados; no entanto, pode

gerar um processo muito demorado, dependente do tipo de solução não linear

adotada.

Precisamente, através do método de solução não linear (MNRA),

implementado no GEOFLUX3D, foi possível determinar o fator de segurança de

um talude através da técnica da redução dos parâmetros de resistência de Mohr-

Coulomb. O critério de convergência foi adotado em função do incremento de

carga mínimo (equivalente ao incremento de tempo mínimo tmin). Ante o

iminente colapso do talude, verificou-se que os subincrementos de carga são

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

140

reduzidos até que, abaixo do incremento de carga mínimo, a solução páre de

convergir. O esquema apresentado na figura (7.1) foi adotado para determinar o

fator de segurança de um talude em função do critério de convergência baseado no

subincremento de carga mínimo.

Para esta finalidade, foram implementadas sub-rotinas especificas dentro do

processador de dados do GEOFLUX3D capazes de determinar fatores de

segurança a partir das tensões constitutivas obtidas de uma análise hidromecânica.

Basicamente segue-se o esquema apresentado na figura (7.1). Observe que as

matrizes eD , uB , D e epK são aquelas mesmas definidas no capítulo 3 desta tese.

Ingresse 0'σ , Fsmax, Fsmin, TOLFs

Calcule 01

e0 'σDε

Calcule 01

1' εDσ

Calcule

e

ed)''( 10Tug σσBF

Fazer enquanto (Fsmax-Fsmin > TOLFs) 2/)FsFs(Fs minmax

Determine 1D (utilizando parâmetros de resistência reduzidos com Fs)

Solucione gep FuK

Se a solução converge, faça Fsmax = Fs Se a solução não converge, faça Fsmin = Fs

Fim do processo iterativo Figura 7.1.- Esquema para determinação do fator de segurança através da técnica da

redução da resistência.

Observe que para determinar o fator de segurança, emprega-se o algoritmo

da bissecção, sendo necessário definir os parâmetros TOLFs (uma tolerância que

define a precisão do fator de segurança), Fsmax e Fsmin (os limites, máximo e

mínimo, entre os quais a busca do fator de segurança deve ser realizada).

A implementação desta metodologia foi relativamente simples já que se

utilizaram a maior parte das sub-rotinas do processador GEOFLUX3D. Para sua

verificação, empregou-se a geometria e a malha apresentadas na figura (7.2). No

total, foram empregados 262 elementos tipo QUAD8 e 961 nós. Os parâmetros

utilizados também são apresentadas na tabela (7-1). As tensões iniciais foram

estabelecidas pelo GEOFLUX3D através da aplicação das forças de corpo. Como

tolerância empregou-se TOLFs = 0,001 e limites Fsmax = 1,5 e Fsmin = 1,0.

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

141

Figura 7.2.- Geometria e malha de elementos finitos do talude simulado para validação

do GSLOPE.

Tabela 7-1.- Propriedades do solo do talude simulado para validação do GSLOPE.

Parâmetros Valores Unidades Módulo de Young (E) 2x105 [kPa] Módulo de Poisson ( ) 0,25 [-] Coesão (c’) 10,0 [kPa] Ângulo de atrito (’) 20,0 [DEG] Peso específico do solo () 20,0 [kN/m3]

As deformações plásticas equivalentes, obtidas no instante prévio ao

colapso do talude, são apresentadas na figura (7.3). Nesta figura também se

observa a definição da superfície de falha, partindo do pé em direção ao topo do

talude. O fator de segurança teve um valor igual a 1,36. Já o fator de segurança

empregando o método simplificado de Bishop fornece um valor de 1,37.

Figura 7.3.- Deformação plástica equivalente do talude simulado no GSLOPE.

7.3. Análise do fenômeno de fluxo superficial aplicado à estabilidade de taludes

Quando modelagens de fluxo para análises da estabilidade de taludes são

realizadas, considera-se que as taxas de infiltração são iguais às taxas de

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

142

precipitação. Esta consideração simplifica os processos de infiltração que ocorrem

na superfície do solo de um talude. No entanto, estes processos também podem ser

influenciados pela ocorrência do escoamento superficial como ilustra a figura

(7.4).

Figura 7.4.- Balance hídrico para um sistema composto por água superficial.

Considerando esta figura, o balanço hídrico em condições naturais de um sistema

composto unicamente por água, sobre a superfície do solo, pode ser representado

por

0 IRP (7.1)

em que P é a taxa de precipitação, R é a taxa do escoamento superficial e I é a

taxa de infiltração.

Nos taludes parcialmente saturados, as taxas de infiltração dependem das

taxas de precipitação e da capacidade de infiltração, que por sua vez, depende da

umidade e da permeabilidade do solo presente no talude. Quando as taxas de

precipitação são menores que a capacidade de infiltração do solo, toda a água

penetra no solo, sendo neste caso válida a hipótese assumida nas análises de

estabilidade de taludes. No entanto, ao longo do tempo ocorre uma queda

progressiva da capacidade de infiltração, já que se incrementa a umidade do solo,

reduzindo as taxas de infiltração. Neste caso, se as taxas de precipitação

continuam elevadas, parte da água pode não penetrar no solo, provocando as taxas

de escoamento superficial.

O escoamento superficial trata do fluxo de água na superfície do solo e de

acordo com sua ocorrência, pode ser diferenciado em dois tipos: escoamento

Hortoniano e escoamento por exfiltração. O escoamento hortoniano, em referência

ao trabalho de Horton (1933), ocorre quando a intensidade das chuvas excede a

capacidade de infiltração do solo em estado não saturado. Por outro lado, o

escoamento por exfiltração ocorre pela completa saturação do solo.

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

143

A equação da conservação da massa que descreve o escoamento superficial

é descrita por

0)(2 IPhh Dss V (7.2)

em que sh é a altura de água sobre a superfície do solo, sh é a taxa de variação

temporal desta altura, }//{T2D yx é o operador gradiente bidimensional

e, }{ wywx vvV é o vetor de velocidade d’água.

Para determinar cada uma das componentes deste vetor de velocidade

parte-se da equação de conservação de momento assumindo-se que a distribuição

de pressão d’água na superfície do solo é hidrostática (Morita & Yen, 2002).

Desta forma tem-se

0)()()(

0

fxx

swxwy

wxwx

wx gSgSx

hg

y

vv

x

vv

t

v (7.3)

0)()()(

0

fyy

swywx

wywy

wy gSgSy

hg

x

vv

y

vv

t

v (7.4)

I II III IV V

Os termos em I referem-se à aceleração local do sistema, os termos em II

referem-se à aceleração convectiva do sistema, os termos em III referem-se aos

gradientes da carga de pressão, os termos em IV referem-se aos gradientes da

carga de elevação e os termos em V referem-se à ação do atrito da água com a

superfície do solo.

As equações anteriores são conhecidas como equações da onda dinâmica.

Várias simplificações dessas equações são utilizadas para aproximar sua solução

(Jobson & Harbaugh, 1999; Panday & Huyakorn, 2004; Morita & Yen, 2002;

Castagnoli, 2007). A mais simples é a relação da onda cinemática que ignora os

termos em I, II e III, aceitável somente em canais com elevadas inclinações. Uma

melhor aproximação é a da onda difusiva, que ignora apenas os termos em I e II.

Neste caso, com os gradientes de carga de pressão mantidos, a relação da onda

difusiva supera a limitação da relação da onda cinemática. Segundo Morita & Yen

(2002), na maioria de casos em que os termos de aceleração não são muito

elevados, a relação da onda difusiva simplifica sobremaneira os esforços

computacionais sem sacrificar a precisão da solução.

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

144

Sabendo que os gradientes de carga de elevação são dados por

xzS x /0 e yzS y /0 , a equação da onda difusiva pode ser escrita como

fxs Sx

zh

)(

(7.5)

fys Sy

zh

)(

(7.6)

em que z é a carga de elevação. Os termos que representam a ação do atrito

d’água com a superfície do solo podem ser aproximados a partir de analogias com

relações empíricas utilizadas em canais abertos pela engenharia hidráulica. Entre

estas relações constitutivas podem-se citar as de Darcy-Weisbach, a de Chezy e a

de Manning. Esta última é bastante utilizada por sua simplicidade, sendo definida

em cada direção por

wxwywx

s

sfx vvv

h

nS

2/1223/4

2

(7.7)

wywywx

s

sfy vvv

h

nS

2/1223/4

2

(7.8)

em que sn [T/L1/3] é o coeficiente de Manning em função da rugosidade da

superfície do solo em contato com a água (Akan, 2006).

Substituindo estas equações naquelas da onda difusiva e realizando algumas

operações é possível determinar cada uma das componentes de velocidade como

x

zh

y

zh

x

zhn

hv s

sss

swx

)(

)()(4

22

3/2

(7.9)

y

zh

y

zh

x

zhn

hv s

sss

swy

)(

)()(4

22

3/2

(7.10)

Estas equações também podem ser reescritas de forma simplificada por

)(2Dd zhh ss

k

V (7.11)

em que

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

145

4

22

3/5

4

22

3/5

d

)()(0

0)()(

y

zh

x

zhn

h

y

zh

x

zhn

h

sss

s

sss

s

k (7.12)

Observe que as unidades de cada uma das componentes da matriz dk são

similares àquelas empregadas para a transmissibilidade [L2/T]. Finalmente,

substituindo a equação (7.11) na equação (7.2) chega-se à equação governante

para escoamento superficial

0)()]([ 2Dd2D IPzhh ss k (7.13)

Esta equação diferencial parcial não linear é bastante similar àquela deduzida no

capítulo 2 para escoamento subsuperficial desacoplado.

De forma similar à solução das equações de acoplamento hidromecânico, a

equação anterior pode ser discretizada espacialmente empregando o método de

elementos finitos. Considerando que h’s representa a solução aproximada da

profundidade de água superficial, tem-se

)'(Res)()'(' 2Dd2D sss hIPzhh k (7.14)

em que )'(Res sh representa o resíduo desta solução aproximada.

Assumindo que sh' e sh' podem ser aproximadas pelas funções de interpolação

( sN ), tem-se

ss' hNsh (7.15)

ss' hN sh (7.16)

Ao substituir as equações anteriores na equação (7.14), considerando s2Ds NB

e seguindo os procedimentos de solução por elementos finitos similares àqueles

apresentados no capítulo 2, pode-se obter

piqsssss QQhHhS (7.17)

sendo

esT

ss )( de

NNS (7.18)

esdT

ss )( de

BkBH (7.19)

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

146

vsTsqs dqNQ (7.20)

piTspi )( dIP NQ (7.21)

Em todas estas equações, os sinais de somatório indicam que as matrizes são

determinadas para cada elemento e agrupadas para formar as matrizes globais.

Observe que a unidade de cada elemento da matriz sS é [L2], da matriz sH é

[L2/T] e dos vetores taxa qsQ e piQ é [L3/T].

O vetor sq constitui as vazões nodais de entrada ou saída no sistema. No

caso de vazões de saída, estas podem ser consideradas seguindo um

comportamento similar ao da boca de um rio (Kollet & Maxwell, 2006). Nestes

casos, dois tipos de condição de contorno podem ser utilizados: o gradiente de

profundidade nulo, dado por

3/5,outs

s

outout h

n

Sq (7.22)

e a profundidade crítica dada por

3/5,outsout ghq (7.23)

em que g é a gravidade e outS e outsh , são a inclinação da superfície e a altura

d’água no contorno de saída, respectivamente.

Observe que o sistema de equações (7.17) apresenta a forma do sistema

geral (3.32); por tanto é possível solucionar este problema empregando os

mesmos métodos de solução apresentados no capítulo 4.

Com o objetivo de verificar esta implementação, simulou-se um problema

de escoamento superficial unidimensional, comparando os resultados com a

solução analítica, possível somente na base da equação da onda cinemática.

Este problema foi apresentado por Weill (2009) e consiste na simulação de

uma chuva, com taxas de 1,4x10-5 m/s por um período de 30 minutos sobre uma

estrada impermeável de 183m de comprimento, como ilustrado na figura (7.5). A

estrada apresenta uma inclinação de 0,0016 e seu coeficiente de Manning é de

0,025 sm-1/3. Na base do modelo aplica-se uma condição de contorno de gradiente

de profundidade nulo. Duas malhas de elementos finitos foram utilizadas, a

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

147

primeira foi composta por 50 elementos tipo QUAD4 de 102 nós, a segunda foi

composta por 84 elementos tipo TRIA3 de 65 nós.

As tolerâncias utilizadas foram ITOL = 10-5 e DTOL = 10-3. Os incrementos

de tempo adotados foram t0 = 10-2min; tmin = 10-5min e tmax = 10-1min. O

tempo total de simulação foi Timetotal = 70min.

Figura 7.5.- Modelo unidimensional do escoamento superficial.

A figura (7.6) apresenta a vazão no ponto de observação A durante o

período simulado para cada malha utilizada. Os resultados das simulações e os da

solução analítica são confrontados, apreciando-se uma excelente concordância

entre ambos. Verifica-se que os resultados da simulação atingem suavemente a

vazão de pico obtida pela equação da onda cinemática. De acordo com Weill

(2009), as aproximações baseadas na onda difusiva não conseguem representar

exatamente esta vazão de pico pela presença do termo difusivo nas equações.

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo (minutos)

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Vaz

ão

(10-3

m/s

)

Solução analítica

QUAD4

0 10 20 30 40 50 60 70

Tempo (minutos)

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

2.50

3.00

Va

zão

(10-3

m/s

)

Solução analítica

TRIA3

Figura 7.6.- Vazão no ponto de observação A durante o período de simulação.

A fim de obter um balanço hídrico adequado para um sistema, o fluxo

superficial deve interagir com o fluxo subsuperficial através de um novo processo

de acoplamento.

Como no caso do acoplamento hidromecânico, a opção ideal é fazer um

acoplamento implícito das equações governantes através de um único sistema. No

Implementações numéricas adicionais visando à análise da estabilidade de taludes com solos parcialmente saturados

148

entanto, este sistema é retangular, gerando uma série de dificuldades numéricas.

Nestes casos as estratégias de acoplamento parecem ser as melhores alternativas.

No caso de um acoplamento iterativo, um fluxo de interação é aplicado na

interface dos dois sistemas através de um esquema iterativo que se repete até que

o balanço hídrico entre ambos seja estabelecido.

No caso de um acoplamento explícito, os dois sistemas são solucionados em

separado utilizando os resultados do sistema superficial como condições de

contorno para o modelo de fluxo subsuperficial.

Outra alternativa, ainda mais simplificada, corresponde aos modelos

baseados na visão hortoniana (Green & Ampt, 1911; Horton, 1933; Philip, 1957).

Estes modelos utilizam soluções analíticas para o cálculo da taxa de infiltração

assumindo que existe uma pequena e constante lâmina d’água na superfície do

solo, enquanto que o fluxo subsuperficial é simplificado por um fluxo 1D na

direção vertical.

Um resumo de vários trabalhos que empregam estas estratégias de

acoplamento pode ser encontrado em Morita & Yen (2002). No entanto, todos

estes trabalhos têm sido orientados à análise do fenômeno de fluxo. Aplicações

diretas do acoplamento de fluxo superficial-subsuperficial para estabilidade de

taludes ainda não tem tido a atenção necessária, talvez pela elevada complexidade

deste problema.