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COCITE - Lisboa1997 MECNICA II Problemas resolvidos COCITE 1994,1997 Vasco M. Almiro Simes 1 SUMRIO ICENTRO DE MASSA7 IIMOMENTO DE INRCIA25 IIIDINMICA DA PARTCULA:51 Trabalho, Teorema Das Foras Vivas, Foras Conservativas, Potncial IVTORSOR CINTICO ( sistemas discretos )69 Momento linear Momento angular Variao do momento angular. VTORSOR CINTICO, ENERGIA CINTICA83 TEOREMAS DE KOENIG VIPRINCPIO DE DALEMBERT. TRABALHO EM COORDENADAS105 GENERALIZADAS. PRINCPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

2 3 BIBLIOGRAFIA BSICA: Mecnica IIProf. Eng.J. Quadros e Costa( 3 Tomos ),COCITE BIBLIOGRAFIA ADICIONAL: Boas, Mary L.Mathematical Methods in the Physical Sciences,second edition1983, JohnWiley&Sons, Inc. Targ, S.lements de Mcanique Rationnelle, 1978, MIRMoscovo Landau, L.: Lifshits, E.Mecnica,1978,MIR Moscovo Fonseca, AdhemarCursodeMecnica,1976,C.L.B.eLivrosTcnicoseCintficosEditoraS.A. Irodov, I.Principes Fondamentaux de la Mecanique, 1981,MIRMoscovo Goldstein, H.ClassicalMechanics,1953,Addison-WesleyPublishingCompany, Inc. ,Cambridge42, Mass. 4 .

5 NOTAES Centro de massa ou centro de gravidade indicado pelos ndices CM ou g . Momento angular indicado r ourL que so duas designaes comuns para esta grandeza. ousignifica sempre"variao"ou"intervalo". o produto externo entre vectores. o produto interno entre vectores. Sinal de implicao. Quantificador universal. Um ponto sobre uma varivel indica a derivada total em relao ao tempo dessa varivel, por exemplo: &=d d t dois pontos indicam a segunda derivada, trs a terceira, etc... TouEcEnergia cintica. Perodo. rVelocidade angular. rQourq quantidade de movimento ou momento linear. M Por vezes representa "massa"outras refere-se a "momento das foras", no confundir. I ouJMomento de inrcia ( no confundir com a unidade de energia Joule, de smbolo tambm J ) rgAcelerao da gravidade na superfcie da Terra( = 9,8m/s2 ). W Trabalho. Gradiente. U funo de fora, Vpotencial escalar. .

6 Angulo. Chamadas assinaladas com o sinalremetem o leitor para as notas finais. 7 Centro de Massa 1- Considere as distribuies lineares de massa, com densidade constante, das figuras seguintes: Determine as coordenadas do centro de massa destas distribuies. 2- Considere as seguintes distribuies de massa superficiais planas de densidade constante: Determine as coordenadas do centro de gravidade de cada uma destas distribuies. 3-Determineascoordenadasdocentrodemassadosseguintesvolumes,supondoqueadistribuiodemassa apresenta densidade constante: (a) Semi esfera de raio R. (b) Cone recto de raio R e altura H (c) Semi superfcie esfrica. (d) Superfcie cnica de raio R e altura H. 4-Considere,noplanoZOYarectaY=z,enoplanoYOXaparbolaX2=2pY.Umarectaparalelaaoplano XOZmove-seapoiando-seconstantementesobrearectaeaparbolaconsideradas,gerandoumslidoque limitado pelos planos Y=0, Y=a, Z=0 e X=0. Calcule as coordenadas do centro de massa desse slido supondo: (a) A densidade constante. (b) A densidade proporcional coordenaday do ponto do slido considerado. 5- Dada a curvay = x2,dex=0ax=1, obter: (a) A rea sob a curva, acima do eixo OX. (b) A massa correspondente a essa rea se a densidade superficial for (x,y) = xy. (c) O comprimento da curva. (d) O centro de massa correspondente a essa rea. 8 6- Calcule o volume gerado por rotao da superfcie do problema anterior em torno do eixo OX: (a) Por integrao directa. (b) Evitando a integrao tripla dividindo o volume em "fatias" paralelas ao plano YOZ. (c) Por aplicao do teorema de Guldin. 7- Calcule as coordenadas do centro de massa de um quarto de circunferncia cuja densidade , em cada ponto, proporcional ao comprimento do arco contado a partir de uma extremidade. 8-Calculeascoordenadasdocentrodemassadovolumedafiguraaolado, constitudoporumasemi-esfera,umcilindroeumconerecto,supondoa densidade constante. 9- Dados os slidos da figura ao lado, constitudos por uma semi-esfera, um cone e um cilindro, se o raio da semi esfera for R e as alturas do cone e do cilindro forem h, determine a relao que deve existir entre R e h para que o centro de massa dos slidos se situe no centro da semi esfera. 10-AolongodeumcilindrodecomprimentoLeraiordeslizaumdiscode espessuraberaioRdomesmomaterial.Determineadistanciaedeformaaqueo centro de massa fique distncia L/n de A. 11- Considere a figura ao lado. (a) Ache o Centro de Massa da linha AB. (b)AcheocentrodeMassadasuperfcielimitadapelalinhaABepeloseixos coordenados. (c)CalculeareadasuperfciegeradapelalinhaABquandorodaemtornode OX. (d) Calcule o volume do slido gerado por essa rea quando esta roda em torno de OY. (e) O teorema de Guldin aplicvel a linhas e reas no homogneas ? Justifique. (1 teste 1994) 9 12- Considere o slido homogneo representado na figura ao lado em corte. O slido de revoluo em torno de OZ. (a) Calcule o Centro de massa do slido. (b) Faa rodar a seco do corte em torno de OX e calcule o volume do slido assim gerado. Verifique por clculo directo. (1 teste 94) 13- Considere a LINHA ABC da figura ao lado. (a) Calcule o centro de massa da linha. (b)Calculeareadasuperfciegeradaporessalinhaquandorodaemtornode OX: (i) por aplicao do teorema de Guldin. (ii) Por clculo directo. (c)CalculeovolumedoslidogeradoporrotaoemtornodeOYdarea compreendida entre a linha ABC, o eixo OX e as rectas x=0 e x=2a. (2 teste 94) 14- Calcule as coordenadas do centro de massa do slido compreendido entre as superfcies das duas semiesferas 22212222221 2x+y + z=Rx+y + z=Rz 0 , R< R que apresenta massa especfica dada por 1/r. (2 teste 94) 15- Um paralelippedo de arestas a, b e c, tem massa especfica proporcional distancia ao plano OXY (fig.ao lado). Calcule as coordenadas do centro de massa do paralelippedo. (2 teste 94) 16- Considere o volume, cortado da esferar a pelo cone 0 , ( t ) crescente o que absurdo nas condies do problema. Esta interpretao adicional do resultado seria evitada se escrevssemos de incioR M= R l=m l com positivo uma vez que o momento da fora de resistncia tem sentido oposto ao do momento angular. 10.O momento de inrcia do disco em relao ao eixo de rotao I=r r dr ddz=r dr ddz=R2 Hv20R3020H4 e como M RPg 2: I=M R2=P R2 g2 2 A velocidade angular inicial =100 rot/mn=2 10060=103 rad/segO momento angular em relao ao eixo de rotao L =I=P R2 g 2 e o momento da fora de atrito em relao ao eixo de rotao M =R FFa a ento, como d Ld t=MF 95 tem-se que d Ld t=MFa ou seja P R2 g d d t=R Fd=2 R F gP R dt2aa2 e integrando entret = 0e t = 60 seg vem: f ia2a2a2-4=2 R F gP R ( 60-0 )- 103=60 2 R F gP R F=103 P R2 R g 160= 4.4 10 N onde o sinal-indica que a fora se ope ao movimento. 11.A energia cintica de rotao E IC 122onde I o momento de inrcia do sistema em relao ao eixo de rotao. Tem-se I mdmd 22 2222 (=4 65 1048 2, kgm ) ento E IIIlIC 12 2 222 2 2 pois que o momento angular l I . Utilizando agora a quantificao do momento angular fica E n nhIn nhmdC + + ( ) ( ) 18142222 2 n 0 corresponder a no haver rotao, portanto, o primeiro nvel de energia rotacional corresponder an 1 e teremos: 1 nvel:E n nhmdJC + + ( ) ( )( , ), ( , ), 141 1 16 6 104 1 7 10 0 74 102 37 1022 234 22 27 10 221 2 nvel:E n nhmdJC + + ( ) ( )( , ), ( , ), 142 2 16 6 104 1 7 10 0 74 107 11 1022 234 22 27 10 221 12.Se a mola apresenta uma distenso de comprimento a , exerce uma fora elstica de mduloF ka Nel ( ) na extremidade da barra. Por sua vez, a barra est sujeita a essa fora elstica, a uma fora de reaco normal no ponto de contacto com o cilindro, e a uma reaco desconhecida no ponto de suspenso (alm do seu peso claro). Como a barra est em equilbrio, o sistema de foras nela aplicado deve ser nulo. Em relao ao ponto de suspenso Atemos ento que terr rM FA i( ) 0, portanto r rM F R RLF LR LkaLA i el( ) + 1 2203 30 portanto 96 R ka23 e a fora de atrito responsvel pela travagem do cilindro ser F R kaa 23e o seu momento em relao ao eixo de rotao M kaFa 32Como o momento angular do cilindro em relao ao seu eixo L I ma 122 a equao diferencial do movimento fica dLdtM maddtka dkmdtkmtFa f 1236 62 20 e, se f120ficatmk 12 13.(a)O momento do peso do pndulo em relao ao ponto de suspenso M mgl sinsendo I o momento de inrcia em relao ao ponto de suspenso, o momento angular do pndulo em relao ao eixo de rotao L I IddtdLdtIddt 22 ento, a equao diferencial do movimento ser ddtmglI22 sin Para ngulos pequenos (menores que 4), sin e podemos escrever ddtmglI220 + e resta resolver esta equao para obtermos a equao do movimento. A equao caracterstica 20 + t tmglImglIi k iportanto ( )&( )t Ae Bet ikAe ikBeikt iktikt ikt + ' Impondo as condies iniciais ( ) ;&( ) 0 0 00 podem calcular-se as constantes A e B : A B 02 e portanto ( ) cos t kt 0 O perodo do movimento ser tal que ( ) ( ) cos cos( ) t t kt kt k kkImgl + + 222Se este perodo mnimo tambm o seu quadrado o e isto acontece quando a derivada de2e ordem a l zero, isto dd l20 O momento de inrcia em relao a um eixo paralelo ao eixo de suspenso, que passa pelo centro de massaIC :I I ml I I mlC C +2 2 97 ento deve ter-se dd lddt mgI mll gddtImllC C 2 2 2 204040 +

_, +

_,

4041 02 2 2 222 gddt llg llC CC+

_, +

_, cqd. (b)J resolvido em (a). (c)O perodo do pndulo fsico , como vimos em (a): 2Imgl Para o pndulo matemtico o momento de inrcia em relao ao ponto de suspenso I mlm m2 ondelm o comprimento do pndulo matemtico.A equao diferencial do movimento ser idntica do pndulo composto substituindoI por Im : ddtmglIm220 + e o perodo s pode ser mmmmmmImglmlmgllg 2 2 22 e se mfica:2 2 ImgllglImlmm 14- Seja rA um vector de mdulo constante, que mantendo-se no plano XY roda em torno do eixo OZ com velocidade angular 1. No instante t o vector rA (t), no instante posterior t +tserrA (t + t ). A variao do vector ser por definio A=A ( t+ t )-A ( t )r r r A derivada de rA em ordem ao tempo , por definio d Ad t= A tt 0r rlim a direco deste vector perpendicular direco do vector rA, e o seu mdulo t 0t 01| A |=A ( t ) lim limr e, combinando os dois resultados d Ad t=A t t e t 01rr lim onde o vectorre o versor perpendicular a rA, ou seja, o versor segundo a direco do angulo polar . Tem-se portanto 98 d Ad t=A e 1rr 15-SejaxyzumreferencialdeinrciadeorigemOquesupomosfixono espao. Sejax'y'z'um referencial com a mesma origem O, mas que roda em torno do ponto O. Seja aindarAum vector que emx'y'z'tem coordenadasA1 , A2 , A3 . Do ponto de vista deOx'y'z'a derivada ser ( d Ad t) =d Ad t i + d Ad t j+ d Ad t kx y z1 2 3rr rr EmOxyz, no so s as coordenadas do vector que variam no tempo mas tambm os versoresrr ri j k , ,,logo ( d Ad t) =d Ad t i + A d id t+ d Ad t j+ A d jd t+ d Ad t k+ A d kd t =( d Ad t) + A d id t+ A d jd t+ A d kd txyz112233x y z 1 2 3rrrrrrrr r r r erestaobterasderivadasdosversores.Sendo ri vectorunitriodeOx,asuaderivadadeveencontrar-seno plano yz, pela mesma razo, a derivada de rjdeve encontrar-se no plano xz e a derivada de rkdeve encontrar-se no plano xy, portanto estas derivadas podem certamente escrever-se d id t=j+ kd jd t=k+ id kd t=i + j1 23 45 6rrrrrrrr r Por outro lado, sendor r ri j k , , perpendiculares entre si tem-se que r rrr rrij =0 d id t j+ id jd t=0 mas como rrr r r rrr r r r rid jd t=ik+ ii = d id t j =j j+ jk=3 4 41 2 1 obtm-se4 =- 1. De forma anloga se obtm: 5 =- 2

6 =- 3

ento 99 d id t=j + kd jd t=k-id kd t= -i -j1 23 12 3rr rrr rrr r e segue-se que 1 2 3 1 1 1 2 2 3 2 1 3 2 3 31 2 2 3 1 1 3 3 2 1 3 2Adid t+Ad jd t+Ad kd t=A j +A k +A kA i -Ai -A j= (-A-A )i(A-A ) j(A+A ) kr r rr r r r r rr rr + +e pode verificar-se que a expresso anterior se pode escrever det i j k- A A A3 2 11 2 3r r r

1]1111 ou, se escrevermos r =( , , )=( ,-, )1 2 3 3 2 1 temos det i j k- A A A=A3 2 11 2 3r r rrr

1]1111portanto vem finalmente ( d Ad t) =( d Ad t) + Axyz x y zr rrr 16-Seescolhermosparaeixosfixosaocorpo,eixosprincipaisdeinrcia,comversores r r ri j k , , ,omomento angular relativamente a esses eixos r r =[ I ] onde a matriz[ I ] diagonal, logo r r rr =I i + I j+ I k1 1 2 2 3 3 Nos eixos fixos, do problema anterior sabe-se que 100 ( d d t) =( d d t) + =I i + I j+ I k+ i j kI I I =[ I+ ( I-I ),I+ ( I-I ) +I+ ( I-I ) fixos moveis1 1 2 2 3 31 2 31 1 2 2 3 31 1 3 2 2 3 2 2 1 3 1 3 3 3 2 1 1r rr rr r rr r r

1]1111& & & det& & & ]2 17- Como d d t=Mrr ou seja [d d t,d d t,d d t] = ( M , M , M )1 2 31 2 3 usando as coordenadas da derivada do momento angular obtidas no problema anterior sai directamente o sistema de equaes do movimento de Euler. 18- Nas condies do problema, o momento das foras exteriores que actuam o corpo em relao ao ponto fixo zero, logo r rM 0. Como um eixo de simetria eixo principal de inrcia, escolhendo o referencialfixoaocorpocomumeixo coincidente com o eixo de simetria, digamos o eixo de versorrk , tem-seI1 = I2 , e as equaes de Euler ficam 0 =I0 = )I-I( +I0 = )I-I( +I3 33 1 3 1 2 23 2 1 3 1 1 &&& Da ltima equao vem imediatamente 3te=C=A e as duas primeiras equaes ficam, depois de divididas porI1 13 112+ I-II A=0 & (1) 21 311+ I-II A=0 & (2) Derivando(2)em ordem ao tempo obtemos 21 311+ I-II A=0 && & e usando a equao (1)vem 101 21 313 11221 31222222+ I-II A (-I-II A )=0+ ( I-II)A=0+ k=0&&&&&& onde se fez k=I-II A1 31 A equao caracterstica 2 2+ k=0=k i tlogo 2 1i k t2- i k t ( t )=C e+ C e=B kt+ Bktcos sin Escolhendo a escala dos tempos por forma a quet = 0implique 2 = 0vem 0=B 0+ B0 B=0 cos sin portanto 2=Bkt sin Usando agora este resultado em(2): Bk kt+ k=0= -Bkt1 1cos cos portanto, a velocidade angular r=(-Bkt , Bkt , A ) cos sin segue-se pois quer tem mdulo constante =B+ A 2 2 mas tem um movimento de precesso em torno do eixo de direco rk . Vamos calcular a frequncia da precesso. Se foro perodo tem-se 1 1( t )=( t+ ) kt=k ( t+ ) k=2 =2 k cos cos e a frequncia de precesso f=1=k2 =I-I2 I A1 31 102 19- O eixo de rotao do disco coincide em certo instante com o eixo Ox, eladistanciaentreasarticulaesaeb.Seja a velocidade angular do discoemtornodoseueixoe1 a velocidade angular de rotao do suporte, temos ento que, em relao ao centro do disco 000 o M=d d tcom=I rr Omomentoangulardodisconumreferencialsolidriocomele, r0 , roda com velocidade angular1em torno do eixo Oz de um referencial fixo, portanto, do problema18vem que e=t dd1 00 rr ou, em mdulo 000 1 M=d d t=I O momento angular r0 tem a direco Ox( direco do vectorr), e o momentorM0 perpendicular ao momento angular e ter a direco dosynegativos. Este momento aplicado ao disco por intermdio das foras de reaconasarticulaesaeb.Portanto,supondoasreacesiguaisem mdulo: a b R=R=R ter-se- 0 M=2 R l2=R l logo R l=I R=I l0 10 1 O momentorM0 chamado momento giroscpico e tende a impedir que o plano do disco em rotao mude de direco. Este resultado permite reinterpretar as equaes de Euler. Com efeito, em cada equao de Euler temos um termo que a variao do momento angular numa das direces principais, e um segundo termo que representa a contribuio para o momento deste efeito giroscpico. 1 1 3 2 2 3 1 I+ ( I-I )=M& variao domomento momento exterior momento angular giroscpico na direco 1. direco 1. na direco 1. 20- O problema em tudo idntico ao anterior, temos pois 103 R=I l0 1 e, como 0 02I=m k vem R=k m l021 Obteno do resultado v = I r I+ m r02da pagina 99. I I mvI I mrcom v v r 02 2 2022 2 2 2 + +' + + + +' + ++'I I mv m rI I mrI I mv m rII mr 02 2 2 2 20202 2 2 2 202 com este valor de a primeira equao fica I III mrmv mrII mr 022022 22 22022 2++ ++ ( ) ( ) mv III mrmrII mr ++2023022 222022 2 ( ) ( ) mv II mr II mr ++202302 2 2022 2 ( ) mv II I mrI mrIII mr ++ +202202 22 2022022 ( )( ) [ ]mvI I mr II mrI I mr II mr + ++ +2 02 2 202202 22 ( ) mvI mrI mrvI rI mrvI rI mr + + +2 02 222 02 2202 finalmente ! 104 105 PrincipiodeDAlember.Trabalhoemcoordenadasgeneralizadas.Princpiodostrabalhos virtuais. 1-Durante a acelerao de um vago, um peso suspenso por meio de um fio ao teto do vago afasta-se da vertical um angulo . Determine a acelerao do vago. 2-Umcorpo,depesoP,suspensodeumfiodecomprimentoL,afastadodaverticalumangulo,sendo colocadonumaposioM0apartirdaqualdeixadolivre.Determineatensodofionomomentoemqueo corpo passa na sua posio mais baixa M1. 3- Uma barra homognea AB de comprimento L e peso P articulada em A a umveioverticalquerodacomvelocidadeangular.Acheatensonofio mantmabarradeformaaqueelaformecomoveioverticalumhorizontal que angulo . 4- Obtenha a relao entre as foras rP e rQ no mecanismo da figura ao lado quando ele est em equilbrio. O mecanismo constitudo por 8 barras rgidas articuladas. 5-Achearelaoquedeveexistirentreomomento rM dobinrioqueage sobreOA(fig.aolado)eaforadepresso rPparaqueosistemaestejaem equilbrio. Considere OA = reAB = l . 6- Observe o mecanismo da figura ao lado. Quefora rQdeveseraplicadanaextremidadeCdabarra, perpendicularmente barra, por forma que o sistema esteja em equilbrio ? 106 7-Doiscilindrosderaiosr1