7-MEF_Funções de Forma
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(2014/2015)
Análise Estrutural Avançada
MEF – Funções de forma
Análise estrutural avançada (2014/2015)
Elementos da família Lagrangeana
(Azevedo, A., 2003)
Os elementos bidimensionais da família Lagrangeana são quadriláteros com p2
nós, sendo p o número de nós de um bordo
Elementos finitos bidimensionais da família Lagrangeana
Análise estrutural avançada (2014/2015)
Elementos da família Lagrangeana - Serempity
(Azevedo, A., 2003)
O número de nós de cada elemento da família serendipity é 4 ( p - 1 ), sendo p o
número de nós de um bordo.
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Critério de selecção de termos no triângulo de Pascal para o caso de
elementos da família serendipity
De cada vez que p é incrementado uma unidade, são acrescentados
quatro nós ao elemento finito (um em cada bordo) e são seleccionados
mais quatro termos no triângulo de Pascal. Este critério é extensível a
qualquer valor de p.
Elementos da família Lagrangeana - Serempity
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Na prática, os elementos finitos que apresentam um bom compromisso entre
o número de nós e a qualidade dos resultados obtidos são os da família
serendipity, com oito nós (p = 3). Tal como o apresentado na Figura que se
encontra representado no referencial (x1, x2).
Vantagens relativamente ao quadrilátero de quatro nós:
-maior precisão;
- boa adaptação a fronteiras curvilíneas.
Elementos da família Lagrangeana - Serempity
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Exemplo de um elemento
finito que apresenta mais nós
na direcção s2 do que na
direcção s1
Elementos da família Lagrangeana - Serempity
Termos do triângulo de Pascal
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Interpolação Hermitiana
Funções de forma:
- Valores nodais das funções (igual até agora)
- Derivadas das funções nos nós.
- Este tipo de interpolação tem interesse para a formulação de elementos finitos em
que são consideradas as rotações (e.g., vigas, lajes).
- A função u(x) corresponde ao deslocamento vertical, cujos valores nodais são Δ1 e Δ2.
Nos nós 1 e 2 a rotação é θ1 e θ2, respectivamente.
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Interpolação Hermitiana
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Interpolação Hermitiana
Deslocamentos generalizados:
Pretende-se determinar a
função u(x) que respeita as
condições, designando du/dx
por u′(x):
Uma vez que as
rotações são muito
pequenas, supõe-se
tanθ ≅ θ
Com esse objectivo, admite-se que a função
u(x) é o seguinte polinómio de grau 3
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Azevedo, A., 2003)
Interpolação Hermitiana
que em notação matricial corresponde a
n nós => 2n condições => 2n parâmetros
do polinómio de ordem 2n-1
Análise estrutural avançada (2014/2015)
(Delgado, R., 1990)
Interpolação Hermitiana
221)( n
ixix
n
ii LxixLdx
dxN
2' n
ii LxixxN
)1(2
12
1 xL )1(2
12
2 xL
n
iL - Função interpoladora de Lagrange
Análise estrutural avançada (2014/2015)
Interpolação Hermitiana
21 124
1xxN
22 124
1 xxN
2'
1 114
1xxN
2'
2 114
1xxN
(Delgado, R., 1990)
Análise estrutural avançada (2014/2015)
Bibliografia
• Azevedo, A. – Livro - Método dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da Universidade
do Porto. Abril 2003, Porto, Portugal.
• Delgado, R. –Texto de apoio às aulas de Método dos Elementos Finitos. Faculdade de
engenharia da Universidade do Porto. 1990, Porto, Portugal.
• Azevedo, A. –Apresentação -Método dos elementos finitos. Faculdade de engenharia da
Universidade do Porto. Abril 2003 Porto, Portugal.