7.1 - Deslocamentos.pdf

Estruturas IsostáticasDeslocamentos em Estruturas

Profª.: Erika Marinho

Departamento de Tecnologia em Engenharia Civil, Computação e Humanidades

Créditos:

Profª. Dalilah Pires - UFSJ

Prof. Ricardo Azoubel - UFOP

2015/1

Introduçãoa. Origem dos deslocamentos (FLECHAS E ROTAÇÕES) nas estruturas:

� Cargas;� Temperatura;� Erros de fabricação e montagem;� Movimentos (recalques) de apoios.

b. Importância da avaliação dos deslocamentos nas estruturas:

� Projeto: os deslocamentos devem ser pequenos no sentido de seevitar fissuras e fraturas;

� Conforto: pequenas vibrações e deflexões;� Método das Forças: para análise de estruturas estaticamente

indeterminadas (fundamentos baseados no MÉTODO DACARGA UNITÁRIA).

IntroduçãoDeslocamentos causados pelo carregamento:

IntroduçãoDeslocamentos causados pela variação de temperatura:

Princípio de d’Alembert

Considere um ponto material m em equilíbrio, isto é,

submetido a um conjunto de forças Pi, tais que sua resultante R é nula.

Suponha que, a este ponto, seja dado um deslocamento δ, sem

introduzir nenhum outra força, ou seja, R continua sendo zero.

Pn

Pi

P2P1

mm1

δ

Nestas condições (R=0), o deslocamento δ

não pode ser real, caso contrário, deveria

ser causado por alguma outra força.

Portanto, δ é uma entidade puramente

matemática, chamada de:

DESLOCAMENTO VIRTUAL.

Princípio de d’Alembert

O trabalho realizado pelo sistema de forças Pi quando o ponto

m sofre o deslocamento virtual δ é nulo:

Pn

Pi

P2P1

mm1

δ

W = R δ = 0

“O trabalho virtual realizado pelo

sistema de forças que atua sobre

um ponto material é nulo para um

deslocamento virtual arbitrário

imposto qualquer”.

Princípio dos Trabalhos Virtuais

A partir do Princípio de d’Alembert aplicado a corpos

elásticos, temos o Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV) a seguir:

“Para um corpo elástico que atingiu sua configuração de equilíbrio, o

trabalho virtual total das forças externas que sobre ele atuam é igual ao

trabalho virtual das forças internas nele atuantes, para todos os

deslocamentos arbitrários (compatíveis com os vínculos do corpo) que

lhe imponhamos”.


Seja o corpo abaixo, submetido às cargas reais P1, P2 e P3

aplicadas na estrutura. Em se tratando de um corpo elástico, ele sedeformará devido a estas cargas, adquirindo a configuração tracejadana figura.

P1

P2

∆

P3δ

Suponhamos que se deseja avaliar δ, que é o deslocamento do ponto A na direção Δ.


Tem-se agora, o mesmo corpo, sob aplicação da carga P’=1,que coincide com a configuração descarregada do corpo da figuraanterior.

P’ = 1

A


P1

P2

∆

P3δ

P’ = 1

A

Apliquemos ao corpo 2, deslocamentos virtuais exatamenteiguais aos provocados pelo carregamento do corpo 1. Ou seja, ocorpo 2 ficará com a configuração tracejada mostrada no corpo 1(configuração deformada virtual).

Ou seja, estamos considerando que o deslocamento δ doponto A, é causado por uma carga P’=1.

Corpo 1 Corpo 2


Aplicando o PTV no corpo 2, sob os deslocamentos virtuaisimpostos, temos:

Wext = Wint

onde:

Wext = P’ δ (as reações não realizam trabalho);Wint = soma dos trabalhos virtuais de deformação de todos os elementosde comprimento ds ao longo do corpo, que é a soma dos trabalhos virtuaisde deformação devidos a cada um dos esforços atuantes na estrutura.

Wint = � ��ϕ�

+ � ��Δ��

+ � ��

Ou: Wint = � � ��

��+ �

��

��+ �

��

��

Igualando o trabalho externo e interno:

P’ δ = ��

��+ �

��

��+ �

!!��

"��


Observação 1:Pode-se substituir a expressão Wint = � ��ϕ

�+ � ��Δ�

�+ � ��

�por Wint =

� � ��

��+ �

��

��+ �

��

��, como foi feito, porque, da Resistência dos Materiais,

sabemos que:

dϕ =��

��→ rotação relativa de duas seções distantes de ds devida a M;

Δds =��

��→ deslocamento axial relativo de duas seções distantes de ds, devido a N;

dh = !��

"�→ deslizamento relativo de duas seções distantes de ds, devido a Q.

Onde:E = módulo de elasticidade longitudinal;G = módulo de elasticidade transversal;I = momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro;A = área da seção transversal;χ = coeficiente de redução, resultante da distribuição não uniforme das tensõescisalhantes, cujo valor varia com o tipo de seção.


Observação 2:

A Figura do corpo 1 nos forneceu as deformações, e do corpo 2 nosforneceu os esforços, por isso, são denominadas:

P1

P2

∆P3

δ

P’ = 1

A

Estado de Deformações Estado de Carregamento

O Estado de Deformação pode ser provocado por: carregamentoexterior, variação de temperatura, movimentos (recalques) de apoios oumodificações impostas na fabricação e montagem.


A escolha do Estado de Carregamento deve ser tal que a carga P’associada à deformação δ, que se deseja calcular, nos forneça um trabalhovirtual de forças externas P’ δ. Ou seja, o estado de carregamento é função dadeformação que se deseja calcular.

Para os casos usuais, temos os estados de carregamento mostradosna Tabela 1.

Tabela 1: Escolha do Estado de

Carregamento

Fórmula de Mohr

No caso mais geral (estruturas no espaço), teríamos queacrescentar ao trabalho virtual das forças internas, o trabalho domomento de torção.

Assim, o cálculo de deslocamentos em estruturas devidos acarregamento exterior atuante, seria dado pelo FÓRMULA DEMOHR:

1 ∙δ = ��

��+ �

%%��

"&'�+ �

��

��+ �

!!��

"��

onde:Jt = momento de inércia à torção da seção.

Simplificações

Para as estruturas usuais, algumas parcelas podem serdesconsideradas:

1 – A parcela � !!��

"��pode ser desprezada na presença das demais

(exceto em vãos muito curtos e cargas muito elevadas);

2 – A parcela ��

��também pode der desprezada em peças que

não trabalhem fundamentalmente ao esforço normal (mas deve serconsiderada em peças como arcos, escoras, tirantes, treliças, pilaresesbeltos e barras protendidas em geral).

* Em caso de dúvida, devem ser computadas todas as parcelas.

Exemplo 1Determine o deslocamento vertical do ponto C da treliça metálica

mostrada na figura abaixo.Dados: E = 29 x103 k/in² e A = 0,5 in2.

A

10 ft

4 k

B

4 k

CD

EF

10 ft 10 ft

10 ft

Exemplo 2Determine o deslocamento horizontal do ponto D do pórtico

abaixo.Dados: EI = 2,0 x 104 tf.m² para todas as barras.

Para estruturas cujas barras têm inércia constante, adeformação devida ao trabalho à flexão vale:

δ = ��

��= ∑�

��)*++*)*++*

Tirando EIbarra da integral, pois é constante, temos:

EIbarraδ = ∑� ��)*++*

Em função dos diagramas de M e M’, os valores de

� ��)*++*

serão tabelados. Quando somados para todas as barras

da estrutura, nos fornecem o valor E.Ibarra.δ, a partir do qual se obtém

o valor da deformação δ desejada.

Uso de Tabelas para � ��

Pode-se demonstrar que:

A integral � ��)*++*

é numericamente igual ao produto da áreado diagrama M (do estado de deformação) pela ordenada dodiagrama M’ (do estado de carregamento) na abscissa do centro degravidade do diagrama M.

� ��)*++*

= AM ,-

Uso de Tabelas para � ��

Tabela 2 – Cálculo de � ��./

0, para barras de comprimento L

Exemplo 3Refaça o exemplo 2 usando a tabela de � ��.

/

0.

Exemplo 3Barra 1

Exemplo 3Barra 2

Exemplo 4Determine a rotação θ no ponto B da viga metálica mostrada abaixo.

Dados: E = 200 GPa e I = 60 x 106 mm4.

A

B

3 kN

5 m 5 m

C

Exemplo 4

Exemplo 5Determine o deslocamento horizontal no ponto C do pórtico

metálico mostrado abaixo.

Dados: E = 4176 x 103 k/ft², I = 28,935 x 10-3 ft4 para ambos os membros.

A

B

4 k/ft

C8 ft

10 ft

Exemplo 5Barra AB

Exemplo 5Barra BC

Variação de TemperaturaSeja a estrutura abaixo, cujas fibras superiores tiveram uma

variação de temperatura T1 e as fibras inferiores tiveram variação T2, em relação à temperatura da época de sua execução.

c

dxTd m∆α

=θ

dx

T1

T2

T1 > T2

T1

T2

c

c

dxδx

δx

c

c

M

∆T

∆T

1 2m

T TT

2

+=

Rotação positiva

dθ

Variação de TemperaturaEsta variação de temperatura causa, em duas seções distantes de dx,

um movimento relativo composto de:

a) um deslocamento axial relativo de Δdx = α Tm

dx (onde Tm é a variação de

temperatura no CG em relação ao dia de execução);

b) uma rotação relativa dϕ = 1 %23%4 �.

45= 16%7�.

5.

dx

T1

T2

T1 > T2

T1

T2

c

c

dxδx

δx

c

c

M

∆T

∆T

1 2m

T TT

2

+=

Rotação positiva

dϕ

Variação de TemperaturaEntão, aplicando o PTV, temos:

P’ δ = � ��16%�

�. 9��16%7�.

5�

dx

T1

T2

T1 > T2

T1

T2

c

c

dxδx

δx

c

c

M

∆T

∆T

1 2m

T TT

2

+= dϕ

onde:M’ = momento virtual interno nas barra causado pela força virtual externa unitáriaα = coeficiente de dilatação térmicaΔTm = diferença entre a temperatura média e a temperatura do topo ou base da seção da vigac = metade da altura da seçãoL = comprimento da barra

Variação de TemperaturaEm barras de seção transversal constante, temos:

P’ δ = 16%� ��

�. 916%75

� ��.�

Mas as integrais � ��

�.e � ��.�

se identificam com as áreas

dos diagramas de esforço normal e de momento fletor no estado decarregamento e temos, então:

P’ δ = α ΔT AN’ +αΔTm 5

AM’

Exemplo 6A viga mostrada abaixo está sujeita a duas temperaturas diferentes.

Se a temperatura do topo da seção é 80°F e a da base é 160°F, determine o

deslocamento vertical no meio da viga devido a esse gradiente de

temperatura.

Dado: α = 6,5 x 10-6 / oF.

80º F

160º F

120in

10 in

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