7_1 - Espaco de Estado

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Introdução Espaço de Estado Variáveis de Estado Aula 6 Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Março de 2012. Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

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modelagem no dominio do tempo

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  • Introduo Espao de Estado Variveis de Estado

    Aula 6

    Carlos AmaralFonte: Cristiano Quevedo Andrea

    UTFPR - Universidade Tecnolgica Federal do ParanDAELT - Departamento Acadmico de Eletrotcnica

    Curitiba, Maro de 2012.

    Cristiano, Curitiba Sistema de Controle

  • Introduo Espao de Estado Variveis de Estado

    Resumo

    1 Introduo Espao de Estado

    2 Variveis de Estado

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    Existem duas modelagens para analisar e projetar sistemas de controle:-Anlise na frequncia, utiliza-se a transformada de Laplace. - Anlise no tempo, no qual descreve-se o sistema na formade espao de estado. A primeira desvantagem da modelagem na frequncia sua limitao de aplicabilidade. Neste caso s podemos utilizar a modelagem na frequncia em sistemas lineares, invariante no tempo ou em sistemas que podem ser aproximados a estas caractersticas.

    A maior vantagem da anlise no domnio da frequncia que podemos facilmente obter informaes sobre a resposta transitria e resposta de regime.

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    A modelagem em espao de estado, tambm referida como modelagem moderna, um mtodo unificado para anlise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. Esta modelagem consiste em determinar as equaes diferenciais que descrevem a dinmica do sistema analisado e posteriormente organiz-las na forma matricial.

    Considere o seguinte circuito eltrico,

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    A modelagem em espao de estado, tambm referida como modelagem moderna, um mtodo unificado para anlise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. Esta modelagem consiste em determinar as equaes diferenciais que descrevem a dinmica do sistema analisado e posteriormente organiz-las na forma matricial.

    Considere o seguinte circuito eltrico,

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    Ento, realizando-se o somatrio de tenso na malha do circuito eltrico ilustrado anteriormente temos,

    v (t ) = Ri(t ) + L di(t ) dt

    e

    + VC (t ) (3)

    i (t ) = C VC (t ) dt

    Reorganizando (3) e (4), obtm-se:

    di(t )

    (4)

    dtVC (t )

    dt

    = R +v(t) (5) L L

    = i(t) C

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    Ento, realizando-se o somatrio de tenso na malha do circuito eltrico ilustrado anteriormente temos,

    v (t ) = Ri(t ) + L di(t ) dt

    e

    + VC (t ) (3)

    i (t ) = C VC (t ) dt

    Reorganizando (3) e (4), obtm-se:

    di(t )

    (4)

    dtVC (t )

    dt

    = R +v(t) (5) L L

    = i(t) C

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    A equao (5) ainda pode ser organizada na forma matricial, conforme descrito posteriormente,

    [ ] di(t )

    dtVC (t )

    dt

    [ ][ L L i (t )

    = 1 0 VC (t ) C

    ] [ ] 1 + L v (t ) (6) 0

    Considerando-se que o sinal de sada deste sistema atenso no capacitor, ento podemos fazer,

    [ y (t ) = 0 1

    ] ][ i(t) VC (t ) (7)

    As equaes (6) e (7) proporcionam a descrio em espao deestado do circuito eltrico RLC srie.

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    O estado de um sistema o conjunto de variveis tais que o conhecimento do valor destas variveis e das funes de entrada, com as equaes que descrevem a dinmica, fornece os estados futuros e as sadas futuras do sistema.

    Um exemplo simples de varivel de estado a situao de um interruptor de luz liga-desliga. O interruptor pode estar na posio ligado ou na posio desligado e, por conseguinte, a posio da chave pode assumir um dos dois valores. Assim, se for conhecido o estado presente do interruptor em t0 e se for aplicado uma entrada, serpossvel determinar o valor futuro do estado do elemento.

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  • Equaes de Estado

  • Equaes de Sada

  • Modelamento da Equao de Estado

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    Exemplo de um sistema dinmico:

    Para ilustrar a modelagem em espao de estado vamos considerar o sistema massa-mola ilustrado a seguir:

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    No sistema massa-mola pode ser descrito por um conjunto de variveis de estado que inclui a posio e a velocidade da massa. Portanto define-se:

    x1(t )

    x2(t )

    = y(t)

    = dy (t ) dt

    (8)

    A equao diferencial que descreve o sistema massa-molailustrado anteriormente mostrada a seguir:

    Md2y(t) dt

    +bdy(t) + ky (t ) = u(t ) (9) dt

    Ento, utilizando a padronizao descrita em (8) temos,

    M dx2(t ) dt

    + bx2(t ) + kx1(t ) = u(t ) (10)

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    No sistema massa-mola pode ser descrito por um conjunto de variveis de estado que inclui a posio e a velocidade da massa. Portanto define-se:

    x1(t )

    x2(t )

    = y(t)

    = dy (t ) dt

    (8)

    A equao diferencial que descreve o sistema massa-molailustrado anteriormente mostrada a seguir:

    Md2y(t) dt

    +bdy(t) + ky (t ) = u(t ) (9) dt

    Ento, utilizando a padronizao descrita em (8) temos,

    M dx2(t ) dt

    + bx2(t ) + kx1(t ) = u(t ) (10)

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    Portanto a dinmica do sistema massa-mola abordadopode ser descrita por duas equaes diferenciais,

    dx1(t ) dt

    dx2(t ) dt

    = x2(t ) (11)

    = b (12) M x2(t ) M x1(t ) + M u(t )

    Assim, de (11) e (12), temos[ ]

    dx1(t ) dt

    dx2(t ) = dt

    [ ][ 0 1 x1(t )

    M M x2(t )

    ] [ ] 0 + 1 u(t ) (13) M

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    EQUAO DIFERENCIAL DE ESTADO

    Na forma matricial temos,

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    VETOR DE ESTADO

    A notao compacta de um sistema descrito na forma de espao de estado :

    x (t ) = Ax (t ) + Bu(t ) (14)

    E a equao de sada do sistema dada por,

    y (t ) = Cx (t ) + Du(t ) (15)

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    Implementao via AMP OP

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    A funo de transferncia para um sistema descrito na forma de espao de estado dado por:

    (16)

    Exerccio:Encontre a descrio em espao de estado do sistema abaixo:

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    Exerccio:Encontre a descrio em espao de estado do sistema abaixo:

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  • ContedoInformaes Professor Bibliografia

    Contedo do Curso Sistema de AvaliaoSistema de Controle APS

    O Projeto

    ENADE

    Compreender, analisar e projetar sistemas de controle contnuos utilizando mtodos clssicos e modernos.

    UTFPR - DAELT Sistemas de Controle

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    APS: Determinar a representao em espao de estado para o seguinte circuito eltrico dado como, como sugesto adote x1=v1, x2=v2 e x3 igual a corrente no indutor L

    Resposta: