7329772 Concreto Armado Apostila Vigas

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4 a edição abril de 2000 VIGAS DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO Henrique Innecco Longo email: [email protected]

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4a edição

abril de 2000

VIGAS DE EDIFÍCIOSDE CONCRETO ARMADO

Henrique Innecco Longoemail: [email protected]

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 1

Vigas de Edifícios de Concreto Armado

1 - Introdução

O projeto estrutural das vigas de edifício consiste em definir o modelo estrutural, determinaros carregamentos, calcular os esforços atuantes e detalhar as armaduras.

Qual o modelo estrutural mais adequado para representar uma viga de edifício?Como é feita a definição de sua seção transversal?

Conforme o modelo estrutural escolhido, as vigas podem ser representadas como elementosde pórticos (planos ou espacial), elementos de grelha ou como estruturas isoladas.

As vigas de edifício são normalmente calculadas com a seção transversal retangular e, casoseja considerada a contribuição da laje, podem ter a seção em forma de T ou de L (fig.1).

Como saber se a viga vai ser calculada com seção retangular ou em T?

fig.1 - Seções transversais das vigas

Em determinados casos, as vigas podem ser projetadas de uma forma invertida e sãorepresentadas na planta de fôrmas por linhas tracejadas.

2 - Dimensões das vigas T

Na figura 2 estão mostradas as dimensões para o cálculo das vigas de seção T.

fig.2 - Dimensões da viga T

bw

bf

b2

b1b3

hf

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 2

A norma NBR-6118 fornece alguns parâmetros para a obtenção da largura da mesa para aseção T. Como foram definidos estes valores?

De acordo com a NBR-6118, para o cálculo da resistência ou deformação, a parte da laje aser considerada como elemento da viga será:

bf = b3 + bw + b1 sendo bf - largura da mesa (flange)

b1 ≤ 0,10 a b3 ≤ 0,10 a 8 hf 6 hf

0,5 b2

Os valores de a são os seguintes:

viga simplesmente apoiada a = ltramo com momento em uma só extremidade a = 3. l / 4tramo com momentos em duas extremidades a = 3. l / 5viga em balanço a = 2. l

A seção T pode ser considerada em todas as seções da viga?

É importante salientar que a seção T só poderá ser considerada no cálculo da seção de ferrolongitudinal quando a mesa estiver comprimida. Em caso contrário, se a mesa estiver tracionada, aviga deve ser calculada com a seção transversal retangular.

3 - Carregamentos nas vigas

Nas vigas de edifício podem atuar os seguintes carregamentos:

• peso próprio da viga = b. h. γCA

• carga da parede sobre a viga = espessura x pé direito x γTIJ

• reações das lajes vizinhas

• carga de outras vigas que se apoiam na viga

• peso de equipamentos apoiados diretamente nas vigas

• outra cargas específicas

Para melhor visualização destas cargas, estes valores são assinalados no Esquema de Cargasde cada pavimento. Na fig. 3, por exemplo, estão indicadas as cargas na viga V2, que recebe ascargas das lajes vizinhas, peso próprio, carga da parede, seu peso próprio e a carga da V5,considerada como uma carga concentrada.

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fig.3 - Cargas atuantes na viga V2

De que maneira devem ser fornecidos os carregamentos nas vigas se o pavimento formodelado com elementos finitos de placa para representar as lajes e elementos lineares pararepresentar as vigas?

4 - Vão teórico das vigas

Como definir os vãos teóricos para o cálculo das vigas?

Pela NBR-6118, o vão teórico L das vigas é a distância entre os centros dos apoios, nãosendo necessário adotar valores maiores que:

viga isolada L = 1,05. Lo sendo Lo - vão livrevão extremo de viga contínua L = Lo + 0,5a + 0,03 Lo sendo a - largura do apoio internovão em balanço L = Lo + 0,5a ≤ 1,03 Lo

Na prática, se as larguras dos apoios não forem muito grandes, pode-se tomar o vão teóricoL a distância entre os centros destes apoios.

Como definir o vão teórico da viga se as larguras dos apoios forem grandes? Este seria ocaso de um pilar de elevador, por exemplo.

L1 L2

L3

V1

V2

V3

V5

V4a

V4b

V6a

V6b

qL2

qL3

PAR

PPq2

qL1

qL3

PAR

PPq1

PV5

PV5

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5 - Cálculo como viga isolada

É sempre possível calcular uma viga de edifício de uma maneira isolada?

A norma NBR-6118 permite que as vigas sejam calculadas como contínuas, sem ligaçõesrígidas com os apoios, devendo-se observar o seguinte:

a) não serão considerados momentos positivos, nos vãos intermediários, menores do que osque se obteriam se houvesse engastamento perfeito na viga nas extremidades destes vãos ou, nosvãos extremos, menores do que os obtidos com engastamento perfeito no apoio interno.

Como é feito isto na prática?Para atender a esta condição, será levado em conta no cálculo das armaduras o momento

positivo mínimo MMIN em cada vão da viga.

b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário, não poderá ser consideradomomento negativo de valor absoluto menor do que o engastamento perfeito neste apoio.

Isto pode ser aplicado sempre?Não, esta condição fornece o momento mínimo negativo no apoios intermediários que

atendam a seguinte relação: a / H > 1/5

sendo a - largura do apoio, medida na direção da vigaH - altura do pilar

c) quando não se fizer o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga,deverá ser considerado obrigatoriamente um momento fletor MEXT nos apoios extremos.

Como calcular este momento?A norma NBR-6118 fornece uma fórmula simplificada para cálculo deste momento.

6 - Esquema estrutural das vigas

Como representar o esquema estrutural das vigas?

Nos esquemas estruturais das vigas são indicadas as condições de apoio, carregamentosatuantes, e os comprimentos dos vãos. O esquema estrutural e as cargas na viga V2 do ProjetoPiloto estão mostrados na fig. 4. Nesta figura, podemos observar que esta viga é contínua com doisvãos e se apoia nos pilares P4, P5 e P6. Nos apoios de extremidade desta viga também estãoindicados os momentos fletores M1 e M2 que representam a solidariedade desta viga com os pilaresP4 e P6. A carga concentrada P é proveniente da viga V7.

fig. 4 - Esquema estrutural e os carregamentos da viga V2 do Projeto Piloto

q1 q2 M2M1

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Na figura 5, está mostrada a viga V7, simplesmente apoiada nas vigas V1 e V2. Por quenão aparecem os momentos na extremidade neste caso?

fig..5 - Esquema estrutural e os carregamentos da viga V5 do Projeto Piloto

7 - Momentos fletores de solidariedade com os pilares de extremidade

O cálculo de uma viga isolada é uma simplificação. A viga está ligada aos pilares e estasolidariedade deve ser considerada no projeto. O que significa esta solidariedade entre a viga e ospilares de extremidade?

Quando a viga for calculada isoladamente, a norma NBR-6118 recomenda que deve-se levarem conta obrigatoriamente um momento fletor MVIG nos apoios extremos da viga (fig.6) dado pelaseguinte equação:

rINF + rSUP

MVIG = MENG . -------------------------- rVIG + rINF + rSUP

sendo rINF = IINF / lINF índice de rigidez do pilar na seção inferiorrSUP = ISUP / lSUP índice de rigidez do pilar na seção superiorrVIG = IVIG / lVIG o índice de rigidez da viga

I - inércia do elementol - vão do elemento

MENG - momento de engastamento perfeito na viga

Fig. 6 - Momentos fletores devido a solidariedade entre a viga e o pilar

MVIG

MINF

MSUP

VIGA

PILAR

q4

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Esta fórmula é interessante pois dá uma noção do grau de engastamento da viga no pilarextremo. A viga deve ser calculada com o momento MVIG aplicado no apoio de extremo. Na prática,para evitar que o momento positivo no tramo diminua, pode-se calcular a viga sem este momento ecolocar nas extremidades a armadura para este momento.

Como deve ser considerada a solidariedade entre a viga e os pilares intermediários?

Exemplo: Calcular o momento de solidariedade da viga V1 (12x50) com o pilar P1(50x20),conforme mostrado na figura 7.

fig.7 - Momento de solidariedade no extremo da viga com o pilar

Neste caso, o índice de rigidez da parte superior do pilar será igual ao da parte inferior:

rINF = rSUP = (50 . 203 /12) /300 = 111 cm3

rVIG = (12 . 503 /12) / 400 = 312,5 cm3

O momento no apoio de extremidade da viga será:

2 x 111MVIG = MENG . ---------------------- 312,5 + 2 x 111

MVIG = 0,41 MENG

Este resultado mostra que o momento na extremidade é 41% do momento de engastamentoperfeito. Se considerarmos que a carga no vão igual a q = 20 kNm/m, teremos:

MENG = 20. 4,02 / 12 = 26,7 kNm.

O momento na extremidade da viga será:

MVIG = 0,41 x 26,7 = 10,9 kNm

q1 = 20 kN/m q2 q3

2 m 3m

3m

MVIG

4 m 3 m

P1P2

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A direção do pilar iria influenciar este momento na extremidade?

Se o pilar estivesse invertido, ou seja, com as dimensões 20x50, teríamos um índice derigidez diferente:

rINF = rSUP = (20 . 503 /12) / 300 = 694 cm3

2 x 694MVIG = MENG . ------------------------ 312,5 + 2 x 694

MVIG = 0,82 MENG

MVIG = 0,82 x 26,7 = 21,9 kNm

Assim, por causa da mudança da direção do pilar, o momento na extremidade da vigaaumentou de 41% para 82% do momento de engastamento perfeito.

O que aconteceria com este grau de engastamento se o pilar fosse ainda mais comprido?

8 - Hipóteses de cálculo para grandes sobrecargas

Se as sobrecargas forem grandes é preciso considerar as suas posições mais desfavoráveis etraçar a envoltória de momentos fletores e esforços cortantes. As seções de ferro são entãocalculadas para este valores máximos. A posição mais desfavorável da sobrecarga deve ser indicadapela linha de influência na seção considerada. Assim sendo, para o momento máximo positivo,deve-se carregar o vão e descarregar os vãos vizinhos. Para o momento máximo negativo, é precisocarregar os vizinhos e descarregar o seguinte. Por quê?

Na figura 8, por exemplo, estão mostradas as hipóteses de cálculo para a determinação dosmomentos fletores máximos positivos nas seções S1 e S2 e momento máximo negativo na seçãoS3. Nesta figura p é a carga permanente e s é a sobrecarga.

fig. 8 - Hipóteses de cálculo para a determinação dos momentos fletores máximos

p

p

s

S1

S3

s

p

s

S2

s

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Nas vigas com balanços na extremidade, muito comum em edifícios com varandas, deve-seconsiderar as hipóteses de cálculo mostradas na figura 9 para a obtenção do momentos máximosnegativo e positivo.

fig.9 - Hipóteses de cálculo para uma viga com um balanço

9 - Diagramas de momentos fletores

Como analisar os esforços ao longo de uma viga?

A análise dos esforços ao longo da viga pode ser feita pelos diagramas dos momentosfletores. O traçado destes diagramas pode ser feito por programas de computadores. Na fig.10, porexemplo, está mostrado o diagrama de momentos de uma viga contínua. Neste caso, este diagramafoi traçado sem o momento de extremidade que foi introduzido posteriormente.

fig. 10 - Diagrama de momentos fletores de uma viga contínua

Como saber se o programa de computador calculou corretamente os momentos?

A visualização do traçado do diagrama de momentos dá ao engenheiro meios para saber se oprograma fez os cálculos corretamente. Qualquer erro grosseiro pode ser detectado pelo aspecto dodiagrama. Daí a importância do traçado do diagrama. Além disso, é fundamental fazer umacomparação dos momentos calculados pelo programa com os valores estimados no pré-dimensionamento. A experiência do engenheiro também é um fator importante para avaliar osresultados numéricos.

S2

p

s

p

s

S1

P

M1

M2 M3

X1

X2

MVIGMVIG

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10 - Momentos fletores mínimos nas vigas

No projeto, deve-se armar as vigas para determinados valores mínimos positivos e negativospara garantir a segurança da estrutura e evitar que a viga apresente fissuras indesejáveis.

Momento positivo mínimo

De acordo com a norma NBR-6118, as vigas podem ser calculadas como contínuas, semligações rígidas com os apoios, desde que se considere os seguintes momentos positivos mínimos:

nos vãos intermediários - momento positivo com as extremidades do vão engastadonos vãos extremos - momento positivo com o apoio interno engastado

Em cada vão da viga, o momento positivo para o cálculo das armaduras longitudinais deveser pelo menos igual a um valor mínimo. Por exemplo, na figura 11 estão indicados os momentosmínimos positivos para uma viga contínua, considerando que em cada vão a carga sejauniformemente distribuída.

fig.11 - Momentos fletores positivos mínimos

Como calcular o momento fletor positivo mínimo para o caso de uma carga concentradaaplicada no vão?

M1M2

M3

M3MIN =q3 l32 / 14,22

M1MIN =q1 l12 / 14,22

M2MIN =q2 l22 / 24

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Momento negativo mínimo

Pela NBR-6118, quando a viga for solidária com o pilar intermediário, o momento mínimonegativo será o momento de engastamento perfeito neste apoio se a relação entre a largura do apoio,medida na direção da viga, e a altura do pilar for maior do que 1:5.

Neste caso, pela figura 12 teremos a seguinte condição:

a/H > 1/5 ou seja a > H /5

Por exemplo, se H = 3m o momento negativo mínimo será o momento de engastamentoperfeito quando a largura do apoio intermediário for a > 60 cm

fig.12 - Momento mínimo negativo em um vão interno de uma viga

11 - Arredondamento do diagrama de momentos fletores

Algumas vigas podem estar apoiadas em apoios monolíticos. Não haveria uma redução domomento negativo neste caso?

A NBR-6118 permite arredondar o diagrama de momentos (fig.13) sobre os apoiosmonolíticos, tomando-se para valor máximo do momento negativo a média entre o máximocalculado e a semi-soma dos momentos nas faces do pilar.

a H

pilarintermediário

viga

a

XMINXMIN

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Pela fig.13, o momento negativo arredondado XR, será dado em função dos momentos nasfaces do pilar e do momento máximo negativo:

XR = (XMAX + XMED) / 2 sendo XMED = (XA + XB) / 2

fig. 13 - Arredondamento do diagrama de momentos

12 - Verificação das dimensões das vigas

Como verificar se as dimensões das vigas estão compatíveis com o projeto de arquitetura?

Após a determinação do diagrama de momentos fletores, é importante verificar se as alturasdas vigas estão interferindo no projeto arquitetônico, principalmente quando a viga está passandoem cima de uma porta ou de uma janela (fig.14).

fig.14 - Viga passando por cima de uma porta e de uma janela

PORTA

JANELA

pédireito

hVIGA

LAJEVIGA

XA XB

XMAX

XR

apoio monolítico

viga

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Para que a viga não tenha armadura de compressão (armadura dupla), o valor de kmd (valorde entrada tabela de dimensionamento) correspondente ao momento máximo Mmax ,deve serlimitado:

Mdmax

kmd = ----------- ≤ kmdmax sendo kmdmax = 0,219 para o aço CA-50 b d2 fcd

Mas se o valor de kmd for maior do que o seu valor máximo, o que o engenheiro deve fazer?

Se esta condição não for satisfeita, pode-se aumentar as dimensões da viga. Se o momentofor positivo, a viga pode ser calculada como seção T aproveitando-se assim a mesa comprimida. Oaumento da resistência fck do concreto à compressão nem sempre é viável na prática poisnormalmente este fck é único para toda a estrutura. Se nenhuma destas possibilidades for possível,deve-se então usar mesmo a armadura de compressão.

13 - Cálculo das seções de ferro das armaduras longitudinais

As seções de ferro das armaduras longitudinais podem ser calculadas pelas tabelas dedimensionamento, com o seguinte valor de entrada: Md

kmd = ----------- ≤ kmdmax

b d2 fcd

Com este valor de kmd, pode-se obter kz da tabela e a seção de ferro será então:

Md

As = ----------- kz d fyd

Com é feita a escolha das barras das armaduras longitudinais?

A escolha das barras da armadura é feita considerando-se os espaçamentos entre as barras,o número de camadas e as condições para se evitar as fissuras nocivas. A tabela 1 mostra osdiâmetros φ das bitolas padronizadas em milímetros e em polegadas, bem como os valores nominaispara cálculo das seções de ferro As (cm2) da norma EB-3/1980:

φ (mm) φ (pol) As(cm2)5 3/16 0,200

6,3 1/4 0,3158 5/16 0,510 3/8 0,8

12,5 1/2 1,2516 5/8 2,020 3/4 3,1525 1 5,0

Tabela 1 - Seções de ferro (valores nominais) para as bitolas padronizadas

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A armadura mínima para as vigas é dada pela NBR-6118:

Asmin = 0,15% bw h para os aços CA-40,50 e 60

0,25% bw h para os aços CA-25 e 32

A armadura máxima pode ser o valor recomendado pelo CEB:

Asmax = 4 % bw h

14 - Modelo da treliça de Mörsch

Como representar uma viga de concreto armado no estado limite último?

Uma viga de concreto armado pode ser representada no estado limite último pelo modelo datreliça idealizada por Mörsch. Esta treliça é formada por bielas (concreto) e tirantes (armaduras),que representam os campos de tensões de compressão e de tração. Na fig.15a está mostrada umatreliça com barras dobradas e na fig.15b uma treliça com estribos verticais. Nesta figura, os tirantesestão representados por linhas cheias e as bielas por linhas pontilhadas.

(a)

(b)

fig. 15 - Modelos da treliça para vigas em concreto armado

Como é possível calcular a força de tração na haste inferior da treliça?

A força de tração Td de cálculo no ponto médio M da haste inferior da treliça pode sercalculada pelas equações de equilíbrio, considerando a seção SS de Ritter passando por este pontoM, conforme mostrado na fig.16.

θ

tirante

θ α

M

z

z (cotg θ + cotg α)

bielas

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fig.16 - Esforços na seção SS na treliça de Mörsch

Pela fig.16, a força de tração Td pode ser obtida fazendo-se a soma dos momentos no nó A:

Td= Vd .( x + al ) / z

donde: Td = Md /z + Vd. al / z

Esta equação mostra que neste modelo de treliça a força de tração deve ser majorada. Paraisto, o diagrama de forças de tração é deslocado do valor al. Observando as figs.15a e 16, podemosobter o valor de al :

al = z cotg θ - z (cotg θ + cotg α) / 2al = z (cotg θ - cotg α) / 2

Para θ = 45o e estribos verticais α = 90o, teremos:al = z / 2

A norma NBR-6118 fornece o valor al levando em conta a parcela do concreto:

al = (1,5 - 1,5η) d ≥ 0,2 d se a armadura transversal for inclinada de 45o

al = (1,5 - 1,2η) d ≥ 0,5 d nos outros casos

sendo η o cociente da área da seção da armadura transversal efetiva pela área calculadacom tensão igual a 1,15 τwd, isto é , sem considerar a redução τc devido ao concreto. Deste modo,teremos:

1,15 τwd - τc

η = -------------------- ≤ 1 sendo τc dado no item 7.23 1,15 τwd

Para simplificar, a NBR-6118 permite considerar os seguintes valores, quando se usaestribos verticais:

al = d η ≤ 0,6al = 0,75 d 0,6 < η < 0,8al = 0,5 d η ≥ 0,8

Nas vigas usuais de edifícios, pode-se considerar um valor médio: al = 0,75 d

S

S

Td

Vd

x al

z

A

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15 - Distribuição das armaduras longitudinais pelo diagrama deslocado

De que maneira as armaduras longitudinais são distribuídas ao longo da viga?

As armaduras longitudinais são distribuídas de acordo com o diagrama de esforços detração. Na prática, para se levar em consideração a majoração das forças de tração, o diagramadestas forças deve ser deslocado de al com uma translação paralela ao eixo da viga no sentidodesfavorável. Deste modo, pode-se obter o ponto de interrupção (ou de dobramento no caso debarras dobradas) das barras longitudinais.

No caso de vigas usuais de edifício, pode-se utilizar o diagrama de momentos fletoresdeslocado em vez do diagrama de forças de tração deslocado, ou seja, é como se o braço dealavanca z se mantivesse constante ao longo da viga.

Na fig.17 está mostrado a distribuição das barras a partir de um trecho do diagrama demomentos fletores escalonado, obtida da seguinte maneira:

• desloca-se de al o diagrama de momentos fletores• divide-se a ordenada máxima do trecho considerado em um determinado número de partes. (na fig. 7.17, por exemplo, o diagrama foi dividido em 3 partes iguais).• traça-se o diagrama escalonado levando-se em conta o diagrama deslocado e as divisões

definidas anteriormente• as barras devem cobrir a área do diagrama escalonado, dando-se um comprimento de ancoragem

lb a partir do ponto em que tais barras não sejam mais necessárias. Na fig.7.17, a barra N2 estácobrindo o trecho do diagrama compreendido entre os pontos A e B, sendo que o comprimentode ancoragem é dado a partir do ponto B.

Desta maneira, obtém-se o comprimento, a distribuição e a posição das barras longitudinais.

fig.17 - Distribuição das barras longitudinais a partir de um diagrama de momentos escalonado

Aal

lb

N1- 2φ 10

N2- 2φ 10

N3 - 2φ 10

Blb

lb

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Pelo critério da NBR-6118, o comprimento de ancoragem da barra N2 teria início no pontoA (e não do ponto B) do diagrama deslocado e se estenderia pelo menos até 10φ além do ponto B.No caso em que a inclinação da tangente ao diagrama é pequena (ver condições da NBR-6118), otrecho de ancoragem tem início em B, dispensando-se neste caso o acréscimo 10φ.

Por que as barras das armaduras estão sendo colocadas com tamanhos diferentes? Elaspoderiam ter tamanhos iguais?

16 - Comprimento de ancoragem das barras tracionadas

De acordo com a NBR-6118, o comprimento de ancoragem reta das barras tracionadas serádefinido a partir do ponto A (fig.17) e terá o seguinte valor:

Ascal lb1 /3 lb = lb1 -------- ≥ 10 φ Ase 10cm

sendo

φ fyd

lb1 = ------- . ---------- 4 τbu

φ - diâmetro da barra longitudinalAscal - área da seção da armadura calculadaAse - área da seção da armadura existente

A tensão τbu de aderência última para as zonas de boa aderência (barras inferiores) será:

τbu = 0,28 √ fcd em MPa para ηb ≤ 1,0 (aços CA-25,32 e 40) 3τbu = 0,42 √ fcd

2 em MPa para ηb ≥ 1,5 (aços CA-50 e 60)

Para zonas de má aderência (barras superiores), os valores τbu devem ser divididos por 1,5.

Por que as barras superiores da viga estão em zona de má aderência?

Na tabela 2 estão indicados os valores de lb1 em função do diâmetro φ para valores de fck :

fck

(MPa) lb1

boa aderência lb1

máaderência

15 54φ 81φ18 47φ 70φ20 44φ 66φ

Tabela 2 - Valores do comprimento de ancoragem reta

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 17

Quando a barra terminar em gancho fora do apoio (fig.18), o comprimento de ancoragem lb

será dado por:

lb -15φ ≥ lb1 /3 para ηb < 1,5 (aços CA-25,32 e 40) 10cm

lb -10φ ≥ lb1 /3 para ηb ≥ 1,5 (aços CA-50 e 60) 10cm

Por que o gancho reduz o comprimento de ancoragem das barras?

fig.18 - Comprimento de ancoragem reta e com gancho

A norma NBR-6118 dá os comprimentos dos ganchos (com ponta reta) das extremidadesdas barras das armaduras de tração:

ganchos semi-circulares

ganchos em ângulo de 45o

gancho em ângulo reto

17 - Armadura longitudinal nos apoios extremos de uma viga

Como saber se as barras longitudinais que chegam ao apoio extremo da viga estãoancoradas?

Quando a barra termina em gancho no apoio, o comprimento de ancoragem será o mesmovalor anterior mas a barra deve ser prolongada além da face do apoio de um comprimento mínimoigual a : r + 5,5φ ≥ 6cm

lb

A

lb - nφ

A

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A fig.19 mostra o comprimento de ancoragem da barra terminada em gancho noapoio extremo de uma viga.

fig.19 - Comprimento de ancoragem de barras que terminam em ganchos nos apoios

Se o ponto A estiver na face do apoio ou além desta face e a força de tração diminuir emdireção ao centro do apoio (fig.20), o trecho da ancoragem será medido a partir dessa face.

Neste caso, a força a ancorar será (modelo de treliça da fig.20):

Rst = Vd . al / z

Considerando que z ≅ d e supondo que V seja o cortante na face do apoio, temos a fórmularecomendada pela NBR-6118:

al

Rst = --------- Vd ≥ 0,5 Vd

d

sendo Vd o valor do cortante de cálculo na face do apoio

fig.20 - Armaduras nos apoios extremos da viga e o modelo de treliça correspondente

lb - nφ

r + 5,5φ ≥ 6cm

A

lb - nφ

A

al

A

Rst

Vd al

zθA

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 19

Pela NBR-6118, deve-se prolongar até cada um dos apoios das vigas pelo menos 1/3 daarmadura de tração correspondente ao momento máximo no tramo. Na fig. 21, por exemplo, aarmadura correspondente ao momento máximo no tramo é igual a 9φ12,5 e a armadura até osapoios deve ser de 3φ 12,5.

fig.21 - Armaduras que chegam até o apoio extremo de uma viga

Como a armadura no apoio extremo da viga deve também resistir a força de tração Rst , aarmadura deve atender a :

Rst As tramo

As apoio = -------- ≥ --------- fyd 3

E se a armadura que chega até o apoio extremo não for suficiente?

Caso a armadura calculada no apoio extremo não for suficiente, pode-se aumentar aarmadura que vai até o apoio ou então colocar uma armadura adicional para ancorar a força detração Rst

N1- 3 φ12,5

N2- 3 φ12,5

N3- 3 φ12,5

As apoio As tramo

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 20

18 - Armadura longitudinal nos apoios internos de uma viga contínua

Se o ponto A estiver na face do apoio interno ou além desta face (fig.22), o trecho daancoragem será medido a partir dessa face. Neste caso, não é conveniente colocar ganchos nasbarras para evitar os vazios durante a concretagem nesta região.

fig.22 - Ancoragem das barras inferiores em apoios intermediários de viga contínua

Se o ponto A estiver fora do apoio, as barras deverão ultrapassar a face do apoio de umcomprimento no mínimo igual a 10φ, conforme mostrado na fig.23.

fig.23 - Ancoragem das barras quando o ponto A está fora do apoio intermediário

Nos apoios internos, é conveniente prolongar também pelo menos 1/3 da armadura inferiorde tração correspondente ao momento máximo no tramo, conforme mostrado na fig. 24.

fig.24 - Armadura que chega até o apoio intermediário de uma viga

lb

A

As apoioAs tramo

As (-)

N3- 3 φ12,5

N2- 3 φ12,5

N1- 3 φ12,5

≥ 10φ

A

lb

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 21

19 - Disposição das armaduras na seção transversal

Após a definição da distribuição das armaduras longitudinais, é preciso saber com asbarras ficam na seção transversal da viga.

As armaduras devem ser dispostas convenientemente na seção transversal. Para isto, a NBR-6118 recomenda os seguintes espaços livres mínimos entre duas barras (fig.25):

2cmespaço livre horizontal eH ≥ φ

1,2 Dmax sendo Dmax dimensão máxima do agregado

2cmespaço livre vertical eV ≥ φ

0,5 Dmax

Por que deve haver este espaço livre mínimos entre as barras?

fig.25 - Disposição das barras na seção transversal da viga

Existe alguma limitação quanto ao número de camadas das barras na seção transversal?

De acordo com a NBR-6118, a resultante T nas armaduras de tração só pode ser consideradaconcentrada no centro de gravidade de As se a distância deste centro ao ponto da seção da armaduramais afastado da linha neutra for menor do que 5% de h. A fig.7.25 está mostrando o CG daresultante T dos esforços de tração e a distância.

x

x

eV

eH

CG

x < 5% h

C

T

C ≥ φ

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 22

20 - Cobrimento de concreto

Qual a importância do cobrimento de concreto?

O cobrimento de concreto nas vigas, que é a distância entre a face externa da viga e a faceexterna do estribo, deve ter uma espessura suficiente para proteger as armaduras contra os efeitosnocivos da corrosão.

Quais os fatores que influenciam o cobrimento ?

O cobrimento (fig.25) deve ser pelo menos igual ao diâmetro da barra da armadura, ou seja,C ≥ φ e ser definido de acordo com o tipo de revestimento do concreto, a localização da viga e omeio em que se encontra a estrutura.

A norma NBR-6118 fornece os seguintes valores mínimos para o cobrimento C:

a) para concreto revestido com argamassa de espessura mínima de 1cmC ≥ 1,5 cm vigas no interior de edifícioC ≥ 2 cm vigas ao ar livre

b) para concreto aparenteC ≥ 2 cm no interior de edifíciosC ≥ 2,5 cm ao ar livre

c) para concreto em contato com o soloC ≥ 3cm

d) para concreto em meio fortemente agressivoC ≥ 4cm

O que pode acontecer com as armaduras da viga se estes valores mínimos do cobrimentonão forem respeitados? Como garantir este cobrimento durante a concretagem?

21 - Armadura de pele

Qual a finalidade da armadura de pele? Onde ela é colocada?

Para evitar que apareçam fissuras na zona tracionada de vigas altas, isto é, com alturasmaiores do que 60cm, é preciso colocar uma armadura longitudinal em cada face lateral da viga.Pela NBR-6118, a seção transversal desta armadura de pele (fig.26) deve ser igual a:

As pele = 0,05 % bw h (em cada face da viga)

O espaçamento entre as barras não deve ultrapassar a d/3 e 30 cm, sendo que a barra maispróxima da armadura de tração deve distar mais de 6cm e menos de 20cm (fig. 26).

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fig. 26 - Armadura de pele em vigas altas (h ≥ 60 cm)

As armaduras de pele aparecem com muita freqüência nas vigas usuais de edifício?

22 - Verificação da tensão de cisalhamento

Para que não ocorra esmagamento do concreto, deve-se também verificar se a tensãoconvencional de cisalhamento é menor do que a tensão de cisalhamento última τwu:

Vdmax

τwd = ----------- ≤ τwu sendo Vdmax maior cortante de cálculo atuante na viga bw d bw largura da nervura da viga

Pela NBR-6118, a tensão de cisalhamento última será:

τwu = 0,25 fcd ≤ 4,5 MPa para peças lineares (bw ≤ 5h) com estribos

0,30 fcd ≤ 5,5 MPa para peças lineares (bw ≤ 5h) com barras dobradas e estribos inclinados a 45o

O que deve ser feito se a tensão convencional de cisalhamento for maior do que a tensãoúltima? Em que situação isto ocorre?

Se a viga estiver submetida a uma torção, a tensão de cisalhamento τTd devido ao momentode torção T deve ser limitada a um valor último:

Td

τTd = -------------- ≤ τTu

2. Ae. he

sendo: he - espessura da parede fictícia em torno da seção transversal (definida pela NBR-6118)Ae - área limitada pela linha média da parede fictícia

e ≤ d/3 30cm

6cm < ei < 20 cm

heAe

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 24

Pela NBR-6118, a tensão última de cisalhamento τTu devido ao momento de torção será:

τTu = 0,22 fcd ≤ 4 MPa para torção simples com armaduras paralela e normal ao eixo da peça 0,27 fcd ≤ 5 MPa para torção simples com armadura inclinada a 45o

Se a viga estiver submetido a um momento a torção e a um esforço cortante, é precisoverificar as tensões combinadas de cisalhamento pela seguinte relação dada pela NBR-6118:

τwd τTd

---------- + --------- ≤ 1 τwu τTu

Em que situações a viga está submetida a um momento de torção?

7.23 - Taxa de armadura transversal

A taxa de armadura transversal ρw pode ser calculada pelo modelo da treliça de Mörsch eintroduzindo a tensão τc no concreto. Para o caso de estribos verticais α = 90o e com a inclinaçãoda biela θ = 45o teremos:

1,15 τwd - τc

ρw = ---------------------- fyd

Pela NBR-6118, a tensão τc para o caso de flexão simples vale:

τc = ψ1 √ fck (em MPa)

ψ1 = 0,07 para ρ1 ≤ 0,001ψ1 = 0,14 para ρ1 ≥ 0,015

No intervalo entre dois valores;ψ1= 5 ρ1 + 0,065 0,001< ρ1 < 0,015

ρ1 - menor taxa de armadura longitudinal de tração no trecho 2h da face do apoio (fig.27)

fig.27 - Trecho para a definição da taxa de armadura ρ1

2h 2h

h

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 25

Por que aparece na equação da taxa de armadura a tensão τc no concreto?

A norma NBR-6118 recomenda os seguintes valores mínimos para a taxa de armadura ρw:

ρw min = 0,14% aços CA-40,50 e 60ρw min = 0,25% aços CA-25 e 32

24 - Seção da armadura transversal

A seção Asw da armadura transversal total, compreendendo todos os ramos que cortam oplano neutro, é calculada em função da taxa de armadura transversal ρw :

Asw = ρw bw s sen α (não se tomando para bw valores maiores do que d)

Para o caso de estribos verticais α = 90o, temos:

Asw = ρw bw s

sendo s - espaçamento dos estribos

A armadura transversal por metro (s = 100 cm) e se tomarmos bw em centímetros, será:

Asw / m = ρw bw . 100 (cm2/m)

Se for utilizado um estribo com dois ramos, por exemplo, a seção transversal do estribo será: Asw / m

Asw / ramo = ---------- 2

A seção de ferro transversal pode ser absorvida por barras dobradas e por estribos.

Por que atualmente os estribos são mais utilizados do que as barras dobradas?Elas não seriam mais econômicas?Não existe casos em que as barras dobradas são mais indicadas?

25 - Estribos

Nas vigas, é sempre conveniente utilizar estribos pouco espaçados e ancorados comganchos. Além disso, como os estribos devem ser colocados em toda a extensão da viga, érecomendável usar estribos fechados e evitar estribos abertos na parte superior pois estes não seriamcapazes de envolver as armaduras superiores das vigas contínuas.

Nos cantos dos estribos fechados e nos ganchos dos estribos abertos, se não houver barraslongitudinais determinadas pelo cálculo, devem ser colocadas barras de amarração de bitola pelomenos igual à do estribo.

Os diâmetros φt das barras dos estribos (fig.28) não devem ser muito grandes e devemrespeitar os seguintes valores:

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φt ≤ bw /12 ≥ 5mm

O espaçamento et dos estribos (fig.28), medido paralelamente ao eixo da peça, deve ser:

et ≤ 0,5 d30 cm21 φ se houver armadura longitudinal de compressão para aços CA-25 e 3212 φ se houver armadura longitudinal de compressão para aços CA-40,50 e 60

Por que o espaçamento dos estribos deve ser limitado?

fig.28 - Estribos para uma viga de seção transversal retangular

Os ganchos dos estribos (fig.29) podem ser semi-circulares, em ângulo de 45o e em ânguloreto.

Qual a finalidade do gancho nos estribos?

fig. 29 - Tipos de ganchos para os estribos

5φ 10φ5φ

et

φ

A

A

CORTEAA

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 27

Em vigas mais largas, podem ser empregados estribos duplos, conforme mostrado na fig.30.

fig.30 - Viga larga com estribos duplos

Os estribos duplos poderiam também ser usados em vigas comuns não muito largas?

26 - Distribuição dos estribos na viga

Com se faz na prática a distribuição dos estribos na viga?

A distribuição dos estribos ao longo do eixo da viga é feita a partir do diagrama de esforçoscortantes. Na prática, a viga é dividida trechos, sendo que em cada trecho o espaçamento édiferente.

Na fig.31, por exemplo, está mostrado o diagrama DV de esforços cortantes de um tramo deuma viga contínua, dividido em três trechos. Neste caso os estribos de cada trecho foram calculadospara o cortante V1 na face do apoio da esquerda, para V2 no tramo e para V3 na face do apoio dadireita. No 1o e no 3o trecho foi utilizado um espaçamento de 10cm e no 2o trecho, onde o cortante émenor, um espaçamento igual a 20cm. É importante observar que os estribos são colocados a partirda face da viga, conforme indicado na fig.31.

É possível se fazer uma outra divisão para a distribuição dos estribos na viga?

Alguns engenheiros costumam calcular o cortante correspondente a armadura mínima ecolocar estribos nos trechos em que os esforços cortantes são menores do que este valor mínimo.

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 28

fig. 31 - Distribuição dos estribos em um tramo de uma viga contínua

Exemplo - Determinar o cortante correspondente a armadura mínima para uma viga (12 x 50)(concreto fck = 20 Mpa e aço CA-50B).

O cortante mínimo pode ser obtido a partir da taxa de armadura mínima:

1,15 τwd min - τc min

ρw min = -------------------------- = 0,14 % (aço CA-50) fyd

Se tomarmos ρ1min = 0,15% igual a armadura mínima longitudinal, o valor de τc min, temos:

τc min = ψmin √ fck = 0,0725 √ 20 = 0,32 MPa = 320 kN/m2

pois ψ min = 5 ρ1min+ 0,065 = 0,0725

O valor τwd min pode ser então calculado por:

0,14 % . 500.000 / 1,15 + 320τwd min = ------------------------------------------- = 808 kN/m2

1,15

O cortante Vmin correspondente a armadura mínima será:

Vmin = τwd min . bw d / 1.4 = 577 bw d

Vmin = 35 kN

DV

1o trecho 2o trecho 3o trecho

V1

V2V3

φ 8c 10 φ 8c 10φ 8c 20

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27 - Apoio indireto de vigas

O apoio indireto de vigas acontece quando a viga não estiver apoiada em pilares, mas emuma outra viga. A viga V6 da fig.32, por exemplo, está apoiada na viga V4.

fig.32 - Trecho do pavimento tipo onde aparece a viga V6 apoiada na viga V4

Como é feita a transmissão de carga de uma viga para a outra? Como seria o modelo detreliça para estas vigas?

A figura 33 está mostrando a transmissão da carga da viga V1 para a viga V2 através dasbielas de compressão. É importante observar que a reação R da viga V1 é aplicada na parte inferiorda viga V2. Assim, é preciso colocar estribos de suspensão bem ancorados na parte de cima da vigaV2 para suspender a carga que chega em baixo.

fig.33 - Transmissão da carga da viga V1 para a viga V2

estribos desuspensão

V2

V1

h2

h1 R

P11

V3a

V3b

P7

P8

P9

P10

V4

V5a

V7a

V6a

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 30

Na fig.34 aparece a distribuição em planta dos estribos de suspensão recomendado porLEONHARDT para as vigas V1 e V2 da fig.7.33. Os modelos da treliça para as vigas V2 e V1estão na fig.35.

fig.34 - Distribuição dos estribos de suspensão em viga com apoio indireto

fig.35 - Modelos de treliça para as vigas V2 e V1

A força de suspensão é calculada em função das alturas das vigas e da reação R: h1

F susp = -------- . R sendo R a reação da viga que se apoia h2

A armadura de suspensão, distribuída no trecho indicado na fig.34, vale:

A susp = 1,4 F susp / fyd

R

R

VIGA V1

VIGA V2

b2

h2 / 2 ≥ b1 /2

h2 / 2 ≥ b1 /2

h1 / 2 ≥ b2 /2

b1 VIGA V1

VIGA V2

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 31

28 - Carregamentos próximos aos apoios

O que acontece quando a carga concentrada está muito próxima ao apoio de uma viga?

Quando houver uma carga concentrada muito próxima ao apoio de uma viga, a resistênciaao cisalhamento cresce devido ao efeito de arco. Neste caso, o modelo da treliça apoiada pode ser omostrado na fig.36, conforme proposto por SCHAICH. Pela figura podemos observar que umaparcela da carga é transmitida pela biela C1 e uma outra parcela pela biela C2 e pelo tirante(estribo) T1.

fig.36 - Modelo da treliça para uma viga bi-apoiada com uma carga concentrada próxima ao apoio

Neste caso, a NBR-6118 permite que a força cortante seja reduzida, tendo em vista que umaparcela desta carga vai diretamente para o apoio. Desta maneira, o cortante reduzido pode sercalculado por:

aVred = ---------- V sendo a distância da carga até o apoio (a ≤ 2h) 2h

Na fig. 37 está mostrado o cortante reduzido para uma viga simplesmente com uma cargaconcentrada próxima ao apoio.

fig.37 - Cortante reduzido para uma carga concentrada próxima ao apoio

P

a ≤ 2h

Vred

P

a ≤ 2h

C1 C2

T1

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 32

Os estribos verticais podem ser empregados neste caso para garantir a segurança aocisalhamento. Se a carga concentrada for muito grande, pode-se usar grampos horizontais adicionais(fig.38) para combater o fendilhamento

.

fig.38 - Detalhe das armaduras para grandes cargas próximas ao apoio extremo

Se a carga for distribuída, o cortante reduzido será o cortante distante h/2 da face da viga,conforme mostrado na fig.39 para o caso de uma viga simplesmente apoiada com uma cargadistribuída.

fig.39 - Cortante reduzido para cargas uniformemente distribuídas

Esta redução do cortante pode ser feita para a verificação da tensão de cisalhamento?

Este cortante reduzido não pode ser utilizado na verificação da tensão de cisalhamento doconcreto (τwd ≤ τwu). Esta redução somente pode ser feita para o cálculo das armaduras transversais.Por quê?

A A

CORTE AA

DV

Vre

h /2

Vface

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 33

29 - Plantas de armaduras

A fig.40 mostra uma planta das armaduras (longitudinal e transversal) de uma viga contínua.Nesta figura, as barras N3, N5 e N6 foram colocadas para absorver os esforços de traçãoproveniente dos momentos fletores negativos. As barras N7 a N11 para os momentos fletorespositivos. Os momentos de solidariedade entre a viga e os pilares de extremidade foram absorvidospelas barras N1 e N4. As barras N2 são de amarração para evitar que este trecho fique semarmadura. Os estribos N12 são distribuídos com espaçamentos menores nos trechos de maioresesforços cortantes. Por que as barras N6 e N7 estão colocadas na segunda camada?

A fig.41 mostra uma viga simplesmente apoiada com um balanço na extremidade esquerda.As barras N1, N3 e N4 absorvem os esforços de tração proveniente do momento negativo dobalanço e as barras N6 para o momento positivo no tramo. As barras N2 para garantir asolidariedade com o pilar de extremidade. As barras N5 são de amarração e as barras N7 formamos estribos. Por que a armadura inferior desta viga está bem menor do que a armadura superior?

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 34

fig. 40 - Planta das armaduras de uma viga contínua

VIGA V23 (20x50)

N10- 2 φ10 - 460 - 1a cam

N8 - 2 φ10 - 320 - 1a cam

N7- 2 φ10 - 250 - 2a cam

N11- 2 φ 10 -330 - 1a cam

N9 - 2 φ10 - 230 - 1a cam

6 φ12,5

4 φ106 φ10

2 φ10 2 φ 6,3

N3- 2 φ12,5 - 330 - 1a cam

N5- 2 φ12,5 - 260 -1a cam

N6- 2 φ12,5 - 205 - 2a cam

N1- 2 φ 10 -115N4- 2 φ 6,3 -150

N2- 2 φ 6,3 -130

12 φ N12 c 10 12 φ N12 c 109 φ N12 c 20 9φ N12 c 15 7φ N12 c 22,5

120 120170 130 160

A

A

CORTEAA

N12 - 49 φ 6.3 -130

46

16

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 35

fig.41 - Planta das armaduras de uma viga simplesmente apoiada com um balanço

VIGA V34 (20x 60)

CORTEAA N7 - 43 φ 10 -145

56

16

N1- 2 φ12,5 - 560 - 1a cam

N4- 2 φ12,5 - 260 -2a cam

N2- 2 φ 6,3 -130

N5- 2 φ6,3 -370 N6 - 2 φ 12,5 -300

6 φ12,5

2 φ10

2 φ 6,3

8φ N7 c 15 7φ N7 c 2017 φ N7 c 7,511 φ N7 c 20

130220 120 140

A

A

N3- 2 φ12,5 - 380 - 1a cam

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Vigas de Edifícios de Concreto Armado - Henrique Longo 36

Bibliografia

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[4] FUSCO Péricles B., "Técnicas de Armar as Estruturas de Concreto", 1994, Ed. Pini.

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[9] CEB-FIP Model Code 1990, Bulletin d'Information no 203, Final Draft, jul. 1991