74247686 APOST Matematica Solucao e Gabarito 001

download 74247686 APOST Matematica Solucao e Gabarito 001

of 136

  • date post

    09-Aug-2015
  • Category

    Documents

  • view

    125
  • download

    23

Embed Size (px)

Transcript of 74247686 APOST Matematica Solucao e Gabarito 001

Apresentao

Caros professores orientadores e alunos do Estgio 2a edio da OBMEP Este um nmero especial da Revista do Professor de Matemtica RPM, elaborado para utilizao no Estgio 2a edio da OBMEP, a ser realizado a partir do primeiro semestre de 2007. A RPM, como seu nome diz, uma revista dedicada aos professores de Matemtica da educao bsica, a alunos e professores de cursos de licenciatura em Matemtica e a todos aqueles que se interessam pela Matemtica do nvel mdio. O tratamento dado aos temas abordados procura ser acessvel e agradvel, sem sacrificar o rigor. A revista uma publicao da Sociedade Brasileira de Matemtica SBM e tem sido editada e distribuda sem interrupes desde 1982. A revista publica crnicas, artigos e sees, como Problemas, O leitor pergunta, Livros, Olhando mais de cima, etc. Nos artigos, temas interessantes de nvel elementar ou avanado so apresentados de modo acessvel ao professor e ao aluno do ensino mdio ou de cursos de Licenciatura em Matemtica. Uma experincia interessante em sala de aula, um problema que suscita uma questo pouco conhecida, uma histria que merea ser contada ou at uma nova abordagem de um assunto conhecido podem compor um artigo da revista. Nas sees, a revista conversa com os leitores, publicando problemas e/ou solues propostas por eles, cartas, resenhas de livros, erros encontrados em textos didticos, etc., sempre visando ao aperfeioamento do trabalho do professor na sua sala de aula.i

Para este exemplar especial, o Comit Editorial da RPM escolheu artigos que pretendem ampliar o conhecimento dos alunos em diferentes tpicos, bem como temas que motivem discusses ou satisfaam a curiosidade terica e histrica de alunos interessados em Matemtica. Por exemplo, as cnicas so tratadas de modo prtico no texto Sorrisos, sussurros, antenas e telescpios; a intuio desafiada em diferentes situaes no texto Quando a intuio falha; a anlise combinatria utilizada para discutir a funcionalidade da brincadeira Amigo oculto (ou secreto), etc. Apresentamos tambm uma seleo de 30 problemas, cuidadosamente escolhidos entre os publicados na seo Problemas, que abrangem a maioria dos tpicos do ensino mdio. As solues dos problemas propostos esto no fim da revista. Para o ensino fundamental, e tambm para o ensino mdio, selecionamos 30 ...probleminhas, parte integrante da seo Problemas dos nmeros usuais da revista. Os probleminhas so caracterizados por exigir muito pouco conhecimento de contedo especfico, apenas raciocnio lgico-dedutivo e domnio de operaes elementares. a parte ldica, permitindo que professores e alunos se divirtam, resolvendo problemas desafiadores, e se sintam realizados ao obter as solues. As respostas dos probleminhas tambm esto no final da revista. Os artigos aqui apresentados no esto com as referncias bibliogrficas, que podem ser encontradas nos exemplares originais da RPM. Comit Editorial da RPM

ii

ContedoComo escolher namorada pelo horrio dos trens ................ 1 3

Quando a intuio falha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Eleies preferncia transitiva? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A divisibilidade e o dgito verificador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 O tamanho da Terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problema das idades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fraes egpcias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . As dzimas peridicas e a calculadora Mania de Pitgoras ....................... ................................... ............ 16 21 27 30 34 40 45 54 65

A ilha dos sapatos gratuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Usando reas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometria e um antigo problema de otimizao

Vale para 1, para 2, para 3, ... Vale sempre? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Semelhanas, pizzas e chopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A Matemtica do GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sorrisos, sussurros, antenas e telescpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 O problema do amigo oculto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 O princpio da casa dos pombos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Probabilidade geomtrica: os problemas dos ladrilhos, do encontro e do macarro . . . . . . . . Alguns problemas clssicos sobre grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Srie harmnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 87 95 104

O que tem mais: racionais ou naturais? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 ...probleminhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Solues dos problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Respostas dos ...probleminhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131iii

iv

Como escolher namorada pelo horrio dos trens

Joo amava Lcia, que amava Joo. S que Joo, alm de amar Lcia, tambm amava Letcia e tentava namorar as duas ao mesmo tempo. Durante a semana, at que dava, mas quando chegava o sbado noite era terrvel. As duas queriam Joo e este no possua o dom da presena ao mesmo tempo em dois lugares. Assim, alternadamente, ou Lcia ou Letcia ficava sem sair com Joo, nos embalos de sbado noite. Honesto, Joo decidiu informar Lcia sobre a existncia de Letcia e Letcia sobre Lcia. Com choros e lamrias de todos os lados, Joo continuou dividido, sem saber quem escolher. Joo usava como meio de transporte os trens metropolitanos. Para visitar Lcia, Joo pegava trens que iam no sentido da direita e para visitar Letcia pegava trens que iam para a esquerda. Quanto a horrios no havia dvidas: trens para cada lado de meia em meia hora. Mas como escolher entre Lcia e Letcia? Letcia, que era professora de Matemtica, props a Joo um critrio justo, equnime, salomnico para escolher entre as duas namoradas. A proposta foi: Joo iria para a estao de trens sem nenhuma deciso. Ao chegar pegaria o primeiro trem que passasse, fosse para a direita, fosse para a esquerda. Proposta aceita, Joo comeou a usar esse critrio aparentemente justo e aleatrio. Depois de usar o critrio por cerca de trs meses, descobriu que visitara Letcia muito mais que Lcia, e, se a sorte quis1

assim, ficou com Letcia e com ela se casou sem nunca haver entendido por que a sorte a privilegiara tanto. S nas bodas de prata do seu casamento que Letcia contou a Joo a razo de o trem a ter escolhido muito mais vezes que a concorrente. Letcia estudara os horrios dos trens e verificara que os horrios eram: Trens para a esquerda (Letcia): 8h00; 8h30; 9h00; 9h30; ... Trens para a direita (Lcia): 8h05; 8h35; 9h05; 9h35; ...

Ou seja, considerando, por exemplo, o intervalo de tempo, 8h00 8h30, o horrio H de chegada na estao, que faria Joo tomar o trem para a direita, deveria ser tal que 8h00 < H < 8h05. Se 8h05 < H < 8h30, Joo pegaria o trem para a esquerda. A situao se repete em qualquer outro intervalo de 30 minutos: 25 minutos so favorveis ao trem da esquerda e 5 minutos ao da direita. Na guerra como no amor tudo vale..., at usar Matemtica.

Baseado no artigo Como escolher namorada pelos horrios do trem do subrbio Manoel Henrique Campos Botelho, RPM 14

2

Quando a intuio falha

Problema 1 Suponhamos que seja possvel colocar uma corda circundando a Terra, ajustando-a ao equador. Em seguida, retiramos essa corda, aumentamos 1 m no seu comprimento e a recolocamos em volta da Terra, formando uma circunferncia concntrica com o equador. Sabendo que o raio da Terra aproximadamente igual a 6 355 000 m, teramos substitudo uma corda de aproximadamente 2 x 3,14 x 6 355 000 m = 39 909 400 m por uma de 39 909 401 m. Assim, teremos um vo entre o equador e a corda, ou melhor, uma diferena d entre os raios das duas circunferncias. Ento, perguntamos: usando-se somente a intuio, qual o valor aproximado de d? Ou seja, qual a largura aproximada desse vo entre o equador e a corda? Cremos que o leitor dir: no existe vo algum... desprezvel essa diferena... Como a Terra to grande e s se aumentou um metro na corda, claro que o vo muito pequeno e, por conseguinte, desprezvel... Ser? Soluo Vamos calcular o valor de d: 2R 2RT = 1 ou d = R RT = 1/2 0,16 m = 16 cm! Notamos que d independente do raio, independente, portanto, do comprimento da circunferncia. Que tal fazer algumas experincias?3

Problema 2 Passemos, agora, ao segundo exemplo: consideremos um crculo com raio igual ao raio da Terra. Suponhamos ser possvel cobrir toda a superfcie desse crculo por uma outra superfcie, modelvel, ajustada a ele. Retiramos, em seguida, essa segunda superfcie, aumentamos sua rea de 1 m2 e a remodelamos, at se transformar novamente num crculo, com rea 1 m2 maior. Em seguida, justapomos os dois discos de modo a obter dois crculos concntricos. Assim, haver uma diferena D entre os raios dos dois crculos. Perguntamos novamente: usando-se apenas a intuio, qual o valor aproximado de D? Cremos que o leitor, dessa vez, alertado pelo problema anterior, teria maior cautela para emitir um juzo, baseado apenas em sua intuio. Deixamos o clculo de D para o leitor que deve concluir que, agora, D depende do raio e que decresce na medida em que o raio cresce. Problema 3 Tome uma corda esticada, medindo 400 km, unindo dois pontos, A e B, um em SP e outro no RJ. Tome outra corda com 1 m a mais do que a anterior e fixe suas extremidades nos mesmos pontos A e B. Como ela fica bamba, coloque uma estaca de modo a mant-la e