UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ - UTFPR

Campus Ponta Grossa

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II

4ª LISTA: MÁXIMO E MÍNIMO DE VÁRIAS VARIÁVEIS

1. Uma determinada empresa produz dois produtos cujas quantidades são indicadas por x e y .

Tais produtos são oferecidos ao mercado consumidor a preços unitários 1p e 2p ,

respectivamente, que dependem de x e y conforme equações: xp 21201 −= e yp −= 2002 .

O custo total da empresa para produzir e vender quantidades x e y dos produtos é dado por

xyyxC 22 22 ++= . Admitindo que toda produção da empresa seja absorvida pelo mercado,

determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro máximo?

Resposta: (10, 30) � 3.600

2. Uma industria produz dois produtos denotados por A e B. O lucro da indústria pela venda de

x unidades do produto A e y unidades do produto B é dado por:

xyyxyxyxL −−−+= 22

2

3

2

310060),(

Supondo que toda a produção da indústria seja vendida, determinar a produção que maximiza o

lucro. Determine, também, esse lucro.

Resposta: (10, 30) � 1.600

3. Para produzir determinado produto cuja quantidade é representada por z , uma empresa

utiliza dois fatores de produção (insumos) cujas quantidades serão indicadas por x e y . Os

preços unitários dos fatores de produção são, respectivamente, 2 e 1. O produto será oferecido

ao mercado consumidor a um preço unitário igual a 5. A função de produção da empresa é dada

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por yxyxz 4132900 22 ++−−= . Determine a produção que maximiza o lucro. Qual o lucro

máximo?

Resposta: (15,8; 20,4) �1.576, 20

4. Quais as dimensões de uma caixa retangular sem tampa com volume 3 4m e com a menor

área de superfície possível? Resposta: (2, 2,1)

5. Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:

a) 121023),( 22 +++++= yxyxyxyxf Resposta: Ponto de mínimo � (-2, 1)

b) xyyxyxf 6),( 32 −+= Resposta: Ponto de sela � (0; 0) e Ponto de mínimo � (18, 6)

6. Determine e classifique todos os pontos críticos das seguintes funções de duas variáveis.

a) 422),( 22 +−−−−= yxyxxyyxf Resposta: )2 ,2( −−

b) xyyx

yxf 493

),( 33

−+= Resposta:

9

4 ,

3

4 e )0 ,0(

c) yeyxf x cos.),( 2−= Resposta: Não tem ponto crítico

d) ).ln(2),( 2 yxxxyyxf −+= com 0>x e 0>y Resposta: Ponto de mínimo � (1/2, 2)

7. Determine os extremos e os pontos de sela de f :

a) 124),( 22 −+−−−= yyxxyxf Resposta: Ponto de máximo: 4)1 ,2( =−f

b) 22 32),( yxyxyxf ++= Resposta: Ponto de mínimo: 0)0 ,0( =f

c) 33 3),( yxyxyxf −+= Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f e Ponto de mínimo:

1)1 ,1( −=−f

d) 234 422

1),( yxyxxyxf ++−=

Resposta: Ponto de sela: 0)0 ,0( =f ; Ponto de mínimo: 64)8 ,4( −=−f ;

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Ponto de máximo:2

3)2 ,1( −=−f

d) yeyxf x sen.),( = Resposta: Não existem pontos críticos.

8. Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições

indicadas:

a) 1 ;324 22 =+−−= yxyxz

b) 4 ;2 22 =++= yxyxz

c) 1 x;22 =++= yyxz

d) 16 2 ; 22 =+= yxxyz

Resposta:

a) Ponto de mínimo �

13

3,

13

2 e Ponto de máximo �

−−13

3,

13

2

b) Ponto de mínimo �

−−5

2,

5

4 e Ponto de máximo �

5

2,

5

4

c) Ponto de mínimo �

2

1,2

1

d) Ponto de mínimo � ( )22,2 − e ( )22,2− e Ponto de máximo � ( )22,2 e ( )22,2 −−

1) Encontre o valor máximo de xyyxf =),( , sujeita á restrição 1=+ yx .

Resposta:4

1

2

1,2

1=

f

9. Encontre os valores máximo e mínimo da função xyyxf =),( , sujeita á restrição

122 =+ yx .

Resposta:

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10. Encontre o valor mínimo da função 22),( yxyxf += , sujeita á restrição 1=xy .

Resposta: 2)1- ,1()1 ,1( =−= ff

11. Encontre o valor mínimo da função 22 2),( yxyxyxf +−= , sujeita á restrição 222 =+ yx .

Resposta:

12. Encontre o valor mínimo de 22),( yxyxf −= , sujeita á restrição 422 =+ yx .

Resposta: 4)2- ,0()2 ,0( −== ff

13. O departamento de estrada está planejando construir uma área de piquenique para

motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser retangular, com uma área de

5.000 metros quadrados, e cercada nos três lados não-adjacentes à auto-estrada. Qual é a

quantidade mínima de cerca que será necessária para realizar o trabalho?

Solução:

000.5 : .

2),(

=

+=

xyas

yxyxfMin

Portanto, a quantidade mínima é : 100 m + 50 m + 50 m = 200

m

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14. Há 320 metros de cerca disponíveis para cercar um campo retangular. Como a cerca deve

ser usada de tal forma que a área incluída seja a máxima possível?

Solução:

32022 : .

),(

=+

=

yxas

xyyxfMáx

Portanto, o campo deve ser um quadrado com 40 metros de

lado.

15. Deseja-se construir um aquário, na forma de um paralelepípedo retangular de volume 1 m3

(1.000 L). Determine as dimensões do mesmo que minimizam o custo, sabendo que o custo do

material usando na confecção do fundo é o dobro do da lateral e que o aquário não terá tampa.

Solução: 1 :.

222

=

++

xyzas

yzxzxyMín, usando os multiplicadores de Lagrange.

Portanto, deve-se construir um cubo de aresta 1 m.

16. Projete uma caixa retangular de leite com largura x , comprimento y e altura z , que

contenha 512 cm3 de leite. Os lados da caixa custam 3 centavos/cm

2 e o topo e o fundo custam

5 centavos/cm2. Ache as dimensões da caixa que minimizem o custo total.

Solução: 512 :.

2yz2xzxy2

=

++

xyzas

Mín, usando os multiplicadores de Lagrange.

Portanto, as dimensões devem ser: Largura ≅ 6,75 cm; Comprimento ≅ 6,75 cm e Altura ≅

11,24 cm