7ª Lista Resumo. Gráficos
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UNIVERSIDADE S ÃO JUDAS TADEU DATA: CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM: DISCIPLINA: CÁLCULO I Prof. Ms Rogério Lobo Máximos e Mínimos RESUMO 07 Observe a função y = f(x), contínua e derivável, cujo gráfico está representado abaixo. A função no ponto A passa de crescente para decrescente e no ponto B de decrescente para crescente. O ponto A é chamado de ponto de máximo relativo ou máximo local de f(x). O ponto B é chamado de ponto de mínimo relativo ou mínimo local de f(x). Os pontos A e B são os extremos da função y = f(x). Nos extremos, a derivada primeira é nula: Para saber se o ponto é máximo ou mínimo, calcule-se a 2ª derivada: Ponto de máximo: f´(x)=0 e f´´(x)<0 Ponto de mínimo: f´(x)=0 e f´´(x)>0 Na figura acima, o ponto C indica um ponto de inflexão. A curva no ponto de inflexão muda a concavidade. Ponto de inflexão: f´´(x) = 0 e f´´´(x) 0 Dizemos que uma função admite pontos críticos se tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão. Exemplos: 1) estudar a função . 3 3 ) ( x x x f Solução: Pontos extremos: ) 2 , 1 ( ) ( 0 6 ) 1 ´´( 1 ) 2 , 1 ( ) ( 0 6 ) 1 ´´( 1 6 ) ´´( 1 0 3 2 3 3 2 3 ) ´( MIN mínimo F X MAX máxima f x x x f x x x x f Ponto de inflexão: ) 0 , 0 ( 0 0 6 ) ´´( INF x x x f 2) De todos os retângulos de perímetros igual a 2p, ache o que tem área máxima. Solução: S = x h 2x + 2h = 2p h = p – x Substituindo-se em S = x h: S = x(p – x) = px - 2 x S`= p – 2x = 0 x = 2 p e S`` = -2 A altura h = p - 2 p = 2 p A área S = 4 2 p .
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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU DATA:
CURSO: ENGENHARIA TURMA: Nº DE ORDEM:
DISCIPLINA: CÁLCULO I Prof. Ms Rogério Lobo
Máximos e MínimosRESUMO 07
Observe a função y = f(x), contínua e derivável,cujo gráfico está representado abaixo. A funçãono ponto A passa de crescente paradecrescente e no ponto B de decrescente paracrescente.O ponto A é chamado de ponto de máximorelativo ou máximo local de f(x).O ponto B é chamado de ponto de mínimorelativo ou mínimo local de f(x).
Os pontos A e B são os extremos da função y =f(x).
Nos extremos, a derivada primeira é nula:
Para saber se o ponto é máximo ou mínimo,calcule-se a 2ª derivada:
Ponto de máximo: f´(x)=0 e f´´(x)<0Ponto de mínimo: f´(x)=0 e f´´(x)>0
Na figura acima, o ponto C indica um ponto de
inflexão. A curva no ponto de inflexão muda aconcavidade.
Ponto de inflexão: f´´(x) = 0 e f´´´(x) 0
Dizemos que uma função admite pontos críticosse tiver pontos de máximo, mínimo ou inflexão.
Exemplos:
1) estudar a função .33
)( x x x f Solução:
Pontos extremos:
)2,1(
)(06)1´´(1
)2,1(
)(06)1´´(1
6)´´(103
233
23)´(
MIN
mínimo F X
MAX
máxima f x
x x f x x x x f
Ponto de inflexão:
)0,0(
006)´´(
INF
x x x f
2) De todos os retângulos de perímetros igual a2p, ache o que tem área máxima.
Solução:
S = x h2x + 2h = 2p h = p – x
Substituindo-se em S = x h:
S = x(p –
x) = px -
2
x S`= p – 2x = 0 x =
2
pe S`` = -2
A altura h = p -2
p=
2
p
A área S =4
2 p.
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Exercícios
1. Calcule o extremo de cada função, indicandose o ponto é máximo ou mínimo.
a) 122 x x y
b) x x y 62
c) 74
2
x x y d) 82 x y
e) x x y 102
f) x x y 22
2. Quais são os pontos de inflexão, máximo e
mínimo de ?263)( x x x f
3. Encontre os pontos de máximo, mínimo einflexão da função
.93)( 23 x x x x f
4. Para que valor de a, a função 12 ax x y ,
terá ponto de mínimo em x = 1?
5. Para que valor de a, a função
xax x x f 18232)( admite extremo em x = -
1?
6. Quais são os extremos de ?133)( x x x f
7. Dada a função 315293)( x x x x f ,
quais são as coordenadas dos pontos demáximo, de mínimo e inflexão?
8. Ache as coordenadas dos pontos de máximo,mínimo e inflexão da função
103263 x x x y .
9. Qual é a área máxima do retângulo deperímetro igual a 20m?
10. A partir de uma chapa quadrada com 12 dmde lado, quer-se construir uma caixa semtampa, cortando-se um quadrado em cadacanto da chapa e depois dobrando-seconvenientemente. Qual deve ser o tamanhodos quadrados a serem cortados para que acaixa encerre o maior volume possível?
11) Determine o número real positivo cujadiferença entre ele e seu quadrado sejamáxima?
12) A Cia. Preço Bom Ltda produz determinadoproduto e vende-o a um preço unitário de R$13,00. Estima-se que o custo total c paraproduzir e vender q unidades é dado por
.243 23 qqqc Supondo que toda a
produção seja absorvida pelo mercadoconsumidor, que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo?
13) Dois números estritamente positivos temsoma 60. Quais são esses números se oproduto de um deles pelo quadrado do outro é o
máximo possível?
14)Determinar dois números positivos cujoproduto seja 16 e a soma seja a menor possível.
15)Quer-se construir um cercado retangular aproveitando-se uma parede já existente. Seexiste material suficiente para se construir 100m de cerca, quais as dimensões do cercadopara se ter a maior área cercada possível?
16) Prove que os seguintes conjuntos admitemmáximo ou mínimo:
a)
22
1/
12 x x
x A
b)
22/1 2
x x
x A
c)
11/
12
2
x
x
x x A
17) Seja ]1;1[: f dada por 2
2
1)(
x
x x x f
.
a-)Prove que )1( f é o valor máximo de f .
b-)Prove que existe 1 x ]-1;0[ tal que )( 1 x f é
o valor mínimo de f .
Respostas:1. a) Min(1, 0) b) Min (3,-9)
c) Max (2, 11) d) Min (0,-8)e) Max (5, 25) f) Max (1, 1)
2) (2,-16)3) Não existem4) – 25) – 66) Max (- 1,3);Min(1,-1)7) Max (1, 10);Min(5,-22)8)(2,0)
9)25 2m
10)2 dm
