7. Geometria Métrica espacial

No cotidiano, estamos cercados de objetos que têm formas diferentes.

Por exemplo, uma caixa de papelão; suas faces são retângulos, uma caixa é um paralelepípedo, uma lata de óleo tem a forma de um cilindro e sua base é um círculo.

Veja outros Exemplos:

● Poliedros

Define-se poliedro como o sólido geométrico limitado por polígonos que possuem, dois a dois, um lado comum.

● Elementos dos Poliedros

Os elementos de um poliedro são: faces, arestas e vértices.

Na figura, temos: 6 faces, 12 arestas , 8 vértices e 4 diagonais

7. Geometria Métrica espacial

De acordo com o número de faces, podemos classificar os poliedros em:

4 faces – tetraedro

5 faces – pentaedro

6 faces – hexaedro

7 faces – heptaedro

8 faces – octaedro

10 faces – decaedro

12 faces – dodecaedro . . . . . .

20 faces – icosaedro

● Poliedro Regular

Um poliedro é regular se suas faces são polígonos regulares com o mesmo número de lados.

Há somente cinco poliedros regulares.

Exemplos:

● Tetraedro regular Forma planificada

4 faces

● Hexaedro (cubo) Forma planificada

● Octaedro regular Forma planificada

7. Geometria Métrica espacial

● Dodecaedro regular Forma planificada

● Icosaedro regular Forma planificada

● Relação de Euler

Em todo poliedro convexo, vale a relação:

V – A + F = 2

Resumindo:

Nome V A F S

Tetraedro 4 6 4 720°

Hexaedro 8 12 6 2160°

Octaedro 6 12 8 1440°

Dodecaedro 20

30 12 6480°

Isocaedro 12

30 20 3600°

Em que S = (V – 2). 360° (soma dos ângulos de todas as faces).

7. Geometria Métrica espacial

Exemplos:

1) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de arestas é.

12. Qual é o número de vértices desse poliedro?

Solução:

Usando a relação de Euler, temos:

V + F = A + 2

V + 8 = 12 + 2

V = 6

O poliedro possui 6 vértices

2) Um poliedro convexo possui 2 faces triangulares e 3 faces quadrangulares.Determine o número de arestas e de vértices desse poliedro.

Solução: Número de arestas 2 faces triangulares 2 x 3 = 6

3 faces quadrangulares 3 x 4 = 1218 arestas

Uma aresta é comum a 2 faces, então 2A = 18 ⟹ A = 9.

Número de vértices:

V + F = A + 2 F = 2 + 3

V + 5 = 9 + 2 F = 5

V = 11 – 5

V = 6

O poliedro possui 9 arestas e 6 vértices.

7. Geometria Métrica espacial

● Nomenclatura:

P: Perímetro da base

Ab: Área da base

a: Apótema da base

d: Diagonal da base

D: diagonal maior

AFL: Área de uma face lateral

Al: Área lateral

At: Área total da superfície

V: Volume

l (lê-se hele): Aresta ou lado da base

h: Altura

S: Soma das arestas

AF: Área da face

L: Aresta lateral da pirâmide

AP: Apótema da pirâmide

Nl : Número de lados do polígono da base.

R: Raio

Recordando:

O teorema de Pitágoras é dado por :a2

= b2

+ c2

Polígono Regular Número de lados Polígono Numero de lados

Triângulo 3 Dodecágono 12

Quadrilátero 4 Tridecágono 13

Pentágono 5 Tetradecágono 14

Hexágono 6 Pentadecágono 15

Heptágono 7 Hexadecágono 16

Octógono 8 Heptadecágono 17

Eneágono 9 Octadecágono 18

Decágono 10 Eneadecágono 19

Undecágono 11 Icoságono 20

7. Geometria Métrica espacial

● Cubo ou hexágono regular e ou Hexaedro

Cubo é um paralelepípedo cujas dimensões são iguais: a = b = c.

a

Cubo é um tipo especial de paralelepípedo retângulo em que todas as faces são quadrados iguais.

Formulas:

A área total da superfície do cubo do cubo é dada por: 6a2

A área lateral do cubo é dada por: 4a2

A área da face do cubo é dada por: a2

A diagonal maior do cubo é dada por: a√3A diagonal da base (diagonal menor) do cubo é dada por: a√ 2

A soma das arestas do cubo é dada por: 12a

O volume do cubo é dado por: a * a * a = a3

7. Geometria Métrica espacial

● Paralelepípedo

Paralelepípedo são prismas nos quais as seis faces são paralelogramos

● Paralelepípedo Retângulo ou ortoedro

Paralelepípedo retângulo é um paralelepípedo reto em que todas as faces são retângulos, iguais dois a dois.

a; comprimento b: largura c: altura D: diagonal d: diagonal menor

Fórmulas importantes:

área total da superfície do paralelepípedo é dada por: Al + 2Ab ou 2ab +2ac + 2bc).

A área lateral do paralelepípedo é dada por: 2ac + 2bc

A diagonal maior do paralelepípedo é dada por: a2

+ b2 + c

2

O volume do paralelepípedo é dado por: a * b * c

A diagonal da face ( diagonal menor) do paralelepípedo é dada por:

a2

+ c2

O perímetro do paralelepípedo retângulo é dado por : 2a + 2b

7. Geometria Métrica espacial

● Prisma

Prisma é um sólido delimitado por faces planas, em que as faces laterais são paralelogramos, e as bases são polígonos congruentes.

● Planificação de um Prisma

Considere um prisma pentagonal:

base

base

De acordo com o número de lados, os prismas classificam-se em:

Prisma Bases

Triangular Triângulos

Quadrangular

Quadriláteros

Pentagonal Pentágonos

Hexagonal Hexágonos

Exemplos:

Prisma Triangular Prisma Pentagonal (bases são triângulos) (bases são pentágonos)

7. Geometria Métrica espacial

● Prisma de base triangular

Base triangular (Ab)

Altura do prisma (h)

Base triangular (Ab)

Lembre a base de um prisma triangular é um triângulo

Conforme a inclinação das arestas laterais, os prismas classificam-se em retos e oblíquos.

Oblíquo Reto

Prisma oblíquo Prisma regular (quadrangular) (pentagonal)

7. Geometria Métrica espacial

● Prisma quadrangular regular

O prisma quadrangular regular é o sólido em que:

a) As bases são quadrados iguais;

b) As faces laterais são retângulos iguais.

Formulas do prisma quadrangular regular

A área de uma face lateral do prisma quadrangular regular é dada

por: l * hA área total da superfície do prisma quadrangular regular é dada

por: Al + 2Ab

A área da base do prisma quadrangular regular é dada por: l2

A área lateral de todos os prisma é o produto entre o número de

lados do polígono da base a aresta ou lado da base e a altura.

A área lateral do prisma quadrangular regular é dada por: Nl * l * h

Al VA altura do prisma quadrangular regular é dada por: ______ ou ___

4 * l Ab

A diagonal da base do prisma quadrangular regular é dada por: l√2

O perímetro do prisma quadrangular regular é dado por: 4l 1O apótema da base do prisma quadrangular regular é dado por: ------ 2

O volume do prisma quadrangular regular é dado por: Ab * h

7. Geometria Métrica espacial

Formulas do prisma hexagonal regular

A área de uma face lateral do prisma hexagonal regular é dada por:

l * hA área total da superfície do prisma hexagonal regular é dada por:

Al + 2Ab

6l2 √3

A área da base do prisma hexagonal regular é dada por: ______ 4

A área lateral de todos os prisma é o produto entre o número de

lados do polígono da base a aresta ou lado da base e a altura.

A área lateral do prisma hexagonal regular é dada por: Nl * l * h

Al VA altura do prisma hexagonal regular é dada por: ______ ou ___

6 * l Ab

O perímetro do prisma hexagonal regular é dado por: 6l l√3 O apótema da base do prisma hexagonal regular é dado por: ____ 2

O volume do prisma hexagonal regular é dado por: Ab * h

7. Geometria Métrica espacial

Formulas do prisma pentagonal regular

A área de uma face lateral do prisma pentagonal regular é dada

por: l * hA área total da superfície do prisma pentagonal regular é dada por:

Al + 2Ab

5l2 √3

A área da base do prisma pentagonal regular é dada por: ______ 4 A área lateral de todos os prisma é o produto entre o número de

lados do polígono da base a aresta ou lado da base e a altura.

A área lateral do prisma pentagonal regular é dada por: Nl * l * h

Al VA altura do prisma pentagonal regular é dada por: ______ ou ___

5 * l Ab

O perímetro do prisma pentagonal regular é dado por: 5l O apótema da base do prisma pentagonal regular é dado por:

O volume do prisma pentagonal regular é dado por: Ab * h

7. Geometria Métrica espacial

Formulas do prisma triangular regular

A área de uma face lateral do prisma triangular regular é dada por:

l * hA área total da superfície do prisma triangular regular é dada por: Al

+ 2Ab

l2 √3

A área da base do prisma triangular regular é dada por: ______ 4 A área lateral de todos os prisma é o produto entre o número de

lados do polígono da base a aresta ou lado da base e a altura.

A área lateral do prisma triangular regular é dada por: Nl * l * h

l √3 A altura da base do prisma triangular regular é dada por: _____ 2 O perímetro do prisma triangular regular é dado por: 3l l √3 O apótema da base do prisma triangular regular é dado por: _____ 6

O volume do prisma triangular regular é dado por: Ab * h

7. Geometria Métrica espacial

● Cilindro

R

Definimos cilindro como o sólido formado pelos infinitos segmentos de reta de extremidades nos dois círculos dados e paralelos à reta s.

Elementos do cilindro

● Os círculos de centro 0 e 0’ e raio r são as bases.

● Os segmentos paralelos a s com extremidades nas circunferências das

bases são as geratrizes.

● A distância entre α e β, planos das bases, é a altura.

● Cilindro Reto ou de Revolução

O cilindro reto ou de revolução é aquele cujas geratrizes são perpendiculares às bases (g = h) é chamado de cilindro reto.

Chama-se Cilindro de Revolução ou Cilindro Circular Reto ao sólido que se obtém girando-se o retângulo em torno de um de seu lados.

h g

7. Geometria Métrica espacial

● Cilindro Oblíquo

Cilindro oblíquo é aquele em que as geratrizes não são perpendiculares às bases.

● Cilindro Eqüilátero

Um cilindro reto é eqüilátero quando a altura é igual ao dobro do raio das bases.

h = 2r

Lembre-se: A base de um cilindro circular é um círculo.

Formulas:

O perímetro do cilindro reto de altura h é dado por: 2πR

A área total do cilindro reto de altura h é dada por Al + 2Ab ou 2πR (R + h).

A área da base do cilindro reto de altura h é dada por: πR2

A área lateral do cilindro reto é dada por: 2πRg ou 2πRh VA altura (h) do cilindro reto eqüilátero é dada por: h = 2r, ----- ou h = g Ab

A geratriz é altura do cilindro reto ou de revolução são iguais (g=h).

O volume do cilindro reto é dado por; V = πR2h

O volume do cilindro reto é dado por; Ab * g

O volume do cilindro reto é dado por; Ab * h

O diâmetro do cilindro reto é dado por: 2R ∅O raio do cilindro reto é dado por: ---------- 2

7. Geometria Métrica espacial

● Cone

g

R

Cone é um sólido geométrico formado por segmentos que têm uma extremidade no V (vértice) e a outra é um ponto do círculo.

Elementos do cone

● V é o vértice.

● A distância entre o vértice V e o plano α é a altura do cone (h). ___● OV é o eixo.

● Os segmentos com uma extremidade na circunferência da base e a

outra no ponto V são as geratrizes.

● Cone de Revolução ou Cone Circular Reto

Chama-se Cone de Revolução ou Cone Circular Reto ao sólido que se obtém girando-se um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

O eixo do cone de revolução ou cone circular reto é perpendicular ao

plano da base.

h

h

7. Geometria Métrica espacial

●Cone Oblíquo

O eixo não é perpendicular ao eixo da base.

● Cone Eqüilátero

Um cone é eqüilátero quando a geratriz é igual ao dobro do raio da base.

g = 2r h = r√3

g é a geratriz

Formulas:

O perímetro do cone é dado por: 2πR A área total do cone é dada por: Al + Ab ou por πR (R + g)

A área da base do cone é dada por: πR2

A área lateral do cone é dada por: πRg

Num cone circular reto, podemos estabelecer a relação: g2 = h

2 + r

2

O diâmetro (∅ ) do cone é dado por: 2R ∅ O raio do cone é dado por: _____ 2 Ab * h O volume do cone pode ser dado por: ______ 3

πR2 * h

O volume do cone pode ser dado por: ___________ 3 1

O volume do cone pode ser dado por: ____ x (Ab * h) 3A geratriz do cone equilátero é dada por: 2R

7. Geometria Métrica espacial

A altura do cone equilátero é dada por: R √3

1

O volume do cone pode ser dado por: ___ x (πR2*

h) 3

Lembre-se: A base de um cone circular também é um círculo.

● Esfera

Chama-se esfera ao sólido que se obtém girando-se um semi-círculo em torno do seu diâmetro.

Seja um ponto 0 (centro) e um segmento qualquer AO.

A reunião de todos os segmentos AO é um sólido denominado esfera.

● Elementos da esfera

• Centro: ponto 0.

• Raio: medida de qualquer segmento AO.

• Diâmetro: intersecção com qualquer reta que corte a esfera e passe pelo seu centro.

Formulas

4πR3 4

O volume da esfera é dado por: --------- ou ----- πR3

3 3

A área da esfera é dada por: 4πR2

O diâmetro da esfera é dado por: 2R ∅O raio da esfera é dado por: ------ 2

7. Geometria Métrica espacial

● Secção da esfera

A intersecção da esfera e um plano é um círculo.

Em que:

R2 = r2 + d2

R – raio da esfera

r – raio do círculo

d – distância do círculo ao centro da esfera.

● Pirâmide

Pirâmide é um sólido delimitado por faces planas, em que suas faces laterais são triângulos e a base é um polígono.

h

● Classificação

As pirâmides são classificadas de acordo com o número de lados dos polígonos da base.

Pirâmide Base

Pirâmide Triangular Triângulo

Pirâmide Quadrangular Quadrilátero

Pirâmide Pentagonal Pentágono

Pirâmide Hexagonal Hexágono

7. Geometria Métrica espacial

● Pirâmide Regular

Uma pirâmide é regular quando sua base é um polígono regular

Área da Superfície Total

h

h

O apótema do polígono regular da base é chamado apótema da base (m).

A altura de uma face lateral é chamada apótema da pirâmide (g).

O volume de uma pirâmide é calculado da seguinte maneira: 1------ área da base x altura 3● Pirâmide

As faces laterais da pirâmide são triangulares.

Lembre-se: A altura da pirâmide é a distância entre a base e o vértice oposto.

Lembre-se: A base de uma pirâmide triangular é um triângulo.

Lembre-se: A base de uma pirâmide retangular é um retângulo.

Vejamos algumas pirâmides

● Pirâmide de base Retangular ● Pirâmide de base Triangular

Base retangular (Ab) Base triangular (Ab)

7. Geometria Métrica espacial

● Pirâmide quadrangular regular

Pirâmide quadrangular regular é o solido que:

a) A base é um quadrado;

b) As faces laterais são triângulos iguais.

● Pirâmide triangular regular

Pirâmide triangular regular é o solido que:

a) A base é um triângulo equilátero;

b) As faces laterais são triângulos iguais.

7. Geometria Métrica espacial

● Pirâmide hexagonal regular

Pirâmide hexagonal regular é o sólido em que:

a) A base é um hexágono regular;

b) As faces laterais são triângulos iguais.

● Formulas da pirâmide hexagonal regular:

A área total da superfície da pirâmide hexagonal regular é dada por: Al + Ab.

A área de uma da face lateral da pirâmide hexagonal regular é dada por:

l * Ap______

2

Nl * l * ApA área lateral da pirâmide hexagonal regular é dada por: ---------------- 2

6l2 √3

A área da base da pirâmide hexagonal regular é dada por: ________ 4

V * 3A altura da pirâmide hexagonal regular é dada por: _____ , Ab

L2 – R

2 ou Ap

2 – a

2

7. Geometria Métrica espacial

Formulas da pirâmide hexagonal regular:

O apótema da base da pirâmide hexagonal regular é dada por:

l√3

______ ou Ap2

– h2.

2

O apótema da pirâmide hexagonal regular é dado por: h2 + a

2

A aresta lateral da pirâmide hexagonal regular é dada por:

h2 + R2

A raio da pirâmide hexagonal regular é dado por: L2

– h2

O perímetro da pirâmide hexagonal regular é dado por: 6l

Ab * h O volume da pirâmide hexagonal regular é dado por: ________ ou 3 1

_____ x ( Ab * h) 3

7. Geometria Métrica espacial

● Formulas da pirâmide pentagonal regular

A área total da superfície da pirâmide pentagonal regular é dada por: Al + Ab.

A área da base da pirâmide pentagonal regular é dada por: Sp * a

A área de uma face lateral da pirâmide pentagonal regular é dada por:

l * Ap______

2

Nl * l * ApA área lateral da pirâmide pentagonal regular é dada por: --------------- 2

V * 3A altura da pirâmide pentagonal regular é dada por: _____ , Ab

L2 – R

2 ou Ap

2 – a

2

O apótema da pirâmide pentagonal regular é dado por: h2 + a

2

O apótema da base da pirâmide pentagonal regular é dado por:

Ab

____ ou Ap2

– h2

Sp

A aresta lateral da pirâmide pentagonal regular é dada por:

h2 + R2

A raio da pirâmide pentagonal regular é dado por: L2

– h2

O perímetro da pirâmide pentagonal regular é dado por: 5l

Ab * h O volume da pirâmide pentagonal regular é dado por: ________ ou 3 1

_____ x ( Ab * h) 3 7. Geometria Métrica espacial

● Pirâmide pentagonal regular

Exemplo:

A figura representa uma pirâmide de base pentagonal com lados regulares medindo 12 metros e a apótema da base medindo 8,2 metros,

aproximadamente. Sabendo que a altura dessa pirâmide é igual a 20 metros,

qual será sua capacidade sabendo que 1 m³ corresponde a 1000 litros?

Dados:

l : 12m a : 8,2m h : 20m P = 5l P = 5 x 12 P = 60

V: ?

Ab *

h p

V = ______ Ab = Sp * a Sp = ____ 3 2

60

Sp = ------- Sp = 30 2

Ab = Sp * a → 30 x 8,2 Ab = 246 m2

Ab * h 246 *

20 4920

V = _______ → V = ________ → ______ V = 1640m3

3 3 3

l = 1640 x 1000 l = 1.640.000 litros de capacidade 7. Geometria Métrica espacial

● Formulas da pirâmide quadrangular regular

A área total da superfície da pirâmide quadrangular regular é dada por: Al + Ab.

A área de uma face lateral da pirâmide quadrangular regular é dada por:

l * Ap______

2

A área lateral da pirâmide quadrangular regular é dada por:

Nl * l * Ap ___________ 2

A área da base da pirâmide quadrangular regular é dada por: l2

V * 3A altura da pirâmide quadrangular regular é dada por: _____ , Ab

L2 – R

2 ou Ap

2 – a

2

O apótema da base da pirâmide quadrangular regular é dada por:

1

______ ou Ap2

– h2.

2

O apótema da pirâmide quadrangular regular é dado por: h2 + a

2

A aresta lateral da pirâmide quadrangular regular é dada por:

h2 + R2

A raio da pirâmide quadrangular regular é dado por: L2

– h2

O perímetro da pirâmide quadrangular regular é dado por: 4l

Ab * h O volume da pirâmide quadrangular regular é dado por: ________ 3 1

ou _____ x ( Ab * h) 3 7. Geometria Métrica espacial

● Formulas da pirâmide triangular regular

A área total da superfície da pirâmide triangular regular é dada por: Al + Ab.

A área de uma face lateral da pirâmide triangular regular é dada por:

l * Ap______

2

Nl * l * ApA área lateral da pirâmide triangular regular é dada por: ________ 2

l2 √3

A área da base da pirâmide triangular regular é dada por: ______

4

V * 3A altura da pirâmide triangular regular é dada por: _____ Ab

L2 – R

2 ou Ap

2 – a

2

O apótema da base da pirâmide triangular regular é dada por:

4 3 Ap2

– h2

_________ ou 6

O apótema da pirâmide triangular regular é dado por: h2 + a

2

A aresta lateral da pirâmide triangular regular é dada por: h2 + R2

A raio da pirâmide triangular regular é dado por: L2

– h2

O perímetro da pirâmide triangular regular é dado por: 3l

Ab * h O volume da pirâmide triangular regular é dado por: ________ ou 3 1

--------- x (Ab * h) 3

7. Geometria Métrica espacial

● Tetraedro

Tetraedro é uma pirâmide de base triangular em que todas as faces são triângulos eqüiláteros. Portanto, todas as arestas de um tetraedro regular são iguais e vamos representar cada uma por l.

a

O perímetro do tetraedro regular é dado por: 3l l√6 A altura da pirâmide do tetraedro é dada por: ______ 3

l2√3

A área da base do tetraedro é dada por: ----------- 4

A área total da superfície do tetraedro é dada por: l2√3

3l2√3

A área lateral do tetraedro é dada por: _______ 4

l3√2

O volume do tetraedro é dado por: ---------- 12 l√3 O apótema da pirâmide do tetraedro é dado por: ____ 2 A soma das arestas do tetraedro é dada por: 6l