84721616-Bombas-Centrifugas

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Bombas Centrífugas

e

Sistemas de Bombeamento

Trabalho sobre Bombas Centrífugas

e Sistemas de Bombeamento como

requisito parcial para aprovação na

disciplina de Estudos Dirigidos do

curso de mestrado em Engenharia

Térmica.

Aluno: Dirceu Pereira Filho

Orientador: Prof. Dr. Rigoberto E. M. Morales

LACIT / PPGEM / UTFPR

CURITIBA2010



2

Sumário

Lista de figuras ................................................................................................ 5

Lista de tabelas ............................................................................................... 12

Simbologia ...................................................................................................... 13

1. Introdução ........................................................................................ 19

2. Noções gerais sobre máquinas de fluxo geratrizes ......................... 21

2.1. Máquinas geratrizes de deslocamento positivo ............................... 21

2.2. Máquinas geratrizes de deslocamento não-positivo ....................... 25

2.3. Órgãos construtivos de uma bomba centrífuga ............................... 34

2.4. Princípio básico de funcionamento de uma bomba centrífuga ........ 35

3. Análise dos modos de energia cedida pela bomba ......................... 38

3.1. O trabalho específico interno eζ ...................................................... 38

3.2. Alturas de elevação ......................................................................... 40

3.3. Perdas hidráulicas internas em bombas centrífugas ....................... 49

3.4. Potências ......................................................................................... 50

3.5. Rendimentos ................................................................................... 52

3.6. Casos especiais de instalação ........................................................ 54

4. Mecanismos de fluxo no rotor da bomba centrífuga ....................... 58

4.1. Movimento absoluto e relativo ......................................................... 58

4.2. O conceito de pás ativas e inativas ................................................. 63

4.3. O princípio da quantidade de movimento angular ........................... 65

4.4. A equação de Euler para o caso das bombas centrífugas .............. 67

5. O caso real – número finito de pás com espessura definida ........... 79

5.1. Escoamento através do rotor .......................................................... 79



3

5.1.1. Entrada do rotor e pré-rotação ........................................................ 79

5.1.2. Distribuição de pressão e de velocidades ....................................... 81

5.1.3. Efeito do ângulo real de descarga ................................................... 835.1.4. Parte não ativa da pá ...................................................................... 84

5.1.5. Carga teórica com velocidade radial não uniforme ......................... 84

5.1.6. A influência da espessura das pás .................................................. 85

5.2. Correção devido ao rotor com número finito de pás ....................... 86

5.2.1. Aresta de pressão ou lado de descarga do rotor ............................ 87

5.2.2. Aresta de sucção ou lado de entrada do rotor ................................ 89

5.2.3. O método de Pfleiderer para o cálculo da redução de potência ..... 90

5.3. Correção devido às perdas hidráulicas ........................................... 93

5.4. A equação característica real da bomba centrífuga ........................ 96

5.5. A escolha do ângulo 2 β e a forma das pás .................................... 98

5.6. O grau de reação ............................................................................. 100

5.7. A forma do canal do rotor e peculiaridades do escoamento ........... 102

5.8. As curvas teóricas corrigidas para a bomba ................................... 104

6. A formulação diferencial do escoamento ........................................ 105

7. Tratamento vetorial da aceleração de uma partícula ...................... 113

8. As diversas formas de rotor – rotação específica ........................... 119

9. Leis de semelhança em bombas centrífugas .................................. 126

9.1. Semelhança geométrica .................................................................. 127

9.2. Semelhança cinemática .................................................................. 128

9.3. Semelhança dinâmica ..................................................................... 133

9.4. Formulário de similaridade .............................................................. 134

10. Cavitação em bombas centrífugas .................................................. 137



4

10.1. Definição geral ................................................................................. 137

10.2. Sinais de cavitação .......................................................................... 139

10.3. Nucleação de bolhas ....................................................................... 14310.4. Medição da cavitação ...................................................................... 144

10.5. Máxima altura de sucção e formação da altura crítica de pressão . 146

10.6. O parâmetro NPSH – net positive suction head .............................. 158

11. Sistemas de bombeamento ............................................................. 163

11.1. Variação das grandezas em função da rotação com H constante .. 163

11.2. Variação da altura com a vazão ...................................................... 164

11.3. Congruência das curvas HxQ .......................................................... 168

11.4. Curvas de igual rendimento ............................................................. 170

11.5. Variação da potência com a vazão ................................................. 171

11.6. As curvas reais ................................................................................ 172

11.7. Fatores que afetam as curvas características ................................. 17511.8. Curva característica do sistema de bombeamento ......................... 182

11.8.1. O número de Reynolds Re .............................................................. 182

11.8.2. O fator de atrito f .............................................................................. 183

11.8.3. A determinação da perda de carga da instalação ........................... 188

11.8.4. Cálculo do sistema de bombeamento e ponto de operação da

bomba .............................................................................................. 189

12. Parametrização das curvas de bombas .......................................... 200

Referências bibliográficas ............................................................................... 207



5

Lista de Figuras

Figura 2.1 - Trajetória da partícula de fluído dentro da câmara do

pistão ................................................................................. 22

Figura 2.2 - Tipos construtivos de máquinas de deslocamento

positivo .............................................................................. 24

Figura 2.3 - Tipos de rotor, de acordo com a trajetória do fluído .......... 26

Figura 2.4 - Bomba de rotor axial ......................................................... 27

Figura 2.5 - Bombas de simples e múltiplos estágios ........................... 27

Figura 2.6 - Rotores de entrada unilateral e bilateral ............................ 28

Figura 2.7 - Difusor tronco-cônico ......................................................... 29

Figura 2.8 - Bombas com diferentes tipos de difusores ........................ 30

Figura 2.9 - Posições de instalação da bomba em relação ao

nível da água ..................................................................... 32

Figura 2.10 - Bomba de eixo vertical ...................................................... 32

Figura 2.11 - Tipos construtivos de rotores ............................................ 32

Figura 2.12 - Faixa de aplicação das máquinas geratrizes .................... 33

Figura 2.13 - Principais componentes de uma bomba centrífuga .......... 35

Figura 3.1 - Trabalho específico sem perdas ....................................... 39

Figura 3.2 - Diagrama υ p ...................................................................... 39

Figura 3.3 - Balanço energético na instalação de uma bomba ............. 41

Figura 3.4 - Medição de H por instrumentos de medição de pressão .. 45

Figura 3.5 - Rendimentos considerados no conjunto motor-bomba ..... 54

Figura 3.6 - Instalação com extremidade de recalque sifonada ........... 55

Figura 3.7 - Reservatórios de sucção e descarga fechados ................. 56



6

Figura 4.1 - Representação das velocidades no rotor radial de uma

bomba ................................................................................ 59

Figura 4.2 - Triângulo de velocidades no rotor ..................................... 60

Figura 4.3 - Àrea de passagem da corrente fluida através dos

diversos tipos de rotores ................................................... 62

Figura 4.4 - Pás ativas e inativas .......................................................... 63

Figura 4.5 - Volume de controle fixo e velocidades para análise de

quantidade de movimento angular .................................... 69

Figura 4.6 - Superfície de controle, vetor velocidade absoluta e

tensões normal e cisalhante .............................................. 72

Figura 4.7 - Corte transversal do rotor de uma bomba centrífuga ........ 76

Figura 4.8 - Curva característica idealizada da bomba centrífuga ....... 77

Figura 5.1 - Triângulos de velocidade na entrada do rotor ................... 80

Figura 5.2 - Bomba Worthington D-1020 com indutor anterior ao

rotor ................................................................................... 81

Figura 5.3 - Circulação relativa dentro do canal do rotor ...................... 82

Figura 5.4 - Ângulos de entrada e saída, reais e teóricos .................... 83

Figura 5.5 - Distribuição de pressão dentro do canal do rotor .............. 84

Figura 5.6 - Distribuição da velocidade radial na saída do rotor ........... 85

Figura 5.7 - Movimentos relativo, teórico e real no rotor ...................... 87

Figura 5.8 - Diagrama de velocidades – rotor com número finito einfinito de pás .................................................................... 88

Figura 5.9 - Grandezas de espessura da pá na aresta de pressão ...... 88

Figura 5.10 - Diagrama de velocidades na aresta de sucção ................. 90

Figura 5.11 - Triângulos de velocidades, real e teórico, na aresta de

saída do rotor .................................................................... 90

Figura 5.12 - Curvas características da bomba: influência do 92



7

coeficiente do número de pás ...........................................

Figura 5.13 - Diferentes ângulos de entrada do líquido no rotor ............ 95

Figura 5.14 - Curva real de uma bomba centrífuga e discriminação dasperdas hidráulicas ............................................................. 97

Figura 5.15 - Diferentes formas de pás no rotor ..................................... 99

Figura 5.16 - Retificação dos canais de rotores de máquinas de

fluxo ................................................................................... 103

Figura 5.17 - Curvas teóricas corrigidas para bombas ........................... 104

Figura 6.1 - Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga comdetalhe do volume de controle infinitesimal em uma

posição genérica do rotor .................................................. 105

Figura 6.2 - Corte radial do rotor de uma bomba centrífuga com

detalhe do triângulo de velocidades, em uma posição

genérica no canal do rotor, dentro do volume de

controle .............................................................................. 105

Figura 6.3 - Volume de controle diferencial retificado, com as

velocidades e pressões nas faces de entrada e saída ...... 106

Figura 7.1 - Localização de uma partícula fluida nos referenciais

inercial (XYZ) e não-inercial (xyz) ..................................... 113

Figura 7.2 - Variação da direção do versor i devido à componente

zω da velocidade angular .................................................. 114

Figura 7.3 - Variação da direção do versor i devido à componente

yω da velocidade angular ................................................. 115

Figura 7.4 - Direção da força de Coriolis no escoamento dentro do

rotor de uma turbomáquina ............................................... 118



8

Figura 8.1 - Linhas geométricas do rotor radial lento (linhas cheias),

rotor radial de velocidade média (linhas traço--ponto) e

rotor semi-axial rápido (linhas tracejadas) ......................... 120

Figura 8.2 - Formas de rotor ................................................................. 121

Figura 8.3 - Perdas em função da rotação específica .......................... 124

Figura 8.4 - Posicionamento das diversas formas de rotores em

função da rotação específica ............................................. 124

Figura 8.5 - Rotação específica de bombas no sistema inglês ............ 125

Figura 9.1 - Dimensões geométricas de similaridade do rotor ............. 128

Figura 9.2 - Similaridade de operação de uma bomba centrífuga em

duas rotações distintas ...................................................... 132

Figura 9.3 - Similaridade de operação de uma bomba centrífuga, em

duas rotações distintas ...................................................... 132

Figura 10.1 - Cavitação em uma hélice de barco ................................... 137

Figura 10.2 - Queda de capacidade de carga e eficiência em bombas

de baixa rotação específica ............................................... 140


de alta rotação específica .................................................. 140


tipo propeller , de rotação específica muito elevada .......... 140

Figura 10.5 - Zonas de baixa pressão no dorso das pás do rotor .......... 141

Figura 10.6 - Cavitação em rotores de baixa rotação específica ............ 142

Figura 10.7 - Tipos de bolhas em cavitação ........................................... 144

Figura 10.8 - Cavitação em tubo tipo Venturi ......................................... 145

Figura 10.9 - Cavitação em perfil 2D NACA ........................................... 145

Figura 10.10 - Cavitação em um rotor de uma bomba com destaque

para a região erodida ........................................................ 145



9

Figura 10.11 - Cavitação em nuvem (“cloud cavitation” ) em um perfil

hidrodinâmico .................................................................... 145

Figura 10.12 - Janelas de visualização de cavitação no difusor e rotor

de uma bomba radial ......................................................... 146

Figura 10.13 - Esquema do sistema de bombeamento na sucção da

bomba ................................................................................ 147

Figura 10.14 - Rotor radial com aresta de sucção inclinada a1i1 .............. 150

Figura 10.15 - Relação entre o ângulo na entrada do fluxo no rotor a0 β

x índice de aspiração aΙ .....................................................155

Figura 10.16 - Comparação entre NPSH requerido teórico e prático ....... 162

Figura 11.1 - Curvas para uma bomba centrífuga com H = 30 m

constante ........................................................................... 164

Figura 11.2 - Diversas curvas características corrigidas ........................ 165

Figura 11.3 - Obtenção da curva HxQ teórica corrigida ......................... 166

Figura 11.4 - Tipos de curva conforme terminologia americana ............. 167

Figura 11.5 - Curva de bomba operando em diversas rotações ............. 169

Figura 11.6 - Curvas de igual rendimento de uma bomba centrífuga

KSB 80-200 ....................................................................... 170

Figura 11.7 - Curvas de potência em função da vazão .......................... 171

Figura 11.8 - Curva do tipo drooping , instável, com 2 β > 90º tipo rising ,

com 2 β < 90º ...................................................................... 172

Figura 11.9 - Curva do tipo rising , com 2 β < 90º ..................................... 172

Figura 11.10 - Bomba hélico-centrífuga .................................................... 172

Figura 11.11 - Bomba axial ....................................................................... 172



10

Figura 11.12 - Variação de H em função da porcentagem de vazão para

vários tipos de rotores ....................................................... 173

Figura 11.13 - Curvas H=f(Q) para igual potência .................................... 173

Figura 11.14 - Conjunto das curvas em um só gráfico ............................. 173

Figura 11.15 - Gráfico de aplicação e seleção de bomba Worthington

série D-1000 ...................................................................... 174

Figura 11.16 - Curvas correspondentes a rotores largos e estreitos ........ 175

Figura 11.17 - Variação das grandezas com o peso específico do

líquido ................................................................................ 177

Figura 11.18 - Curvas de uma bomba centrífuga para vários valores de

viscosidade ........................................................................ 178

Figura 11.19 - Variação das grandezas com a viscosidade, em stokes,

vazão constante 1500 gpm ............................................... 178

Figura 11.20 - Efeito do tempo de uso sobre as curvas características ... 180

Figura 11.21 - Diagrama de Moody .......................................................... 188

Figura 11.22 - Esquema de instalação de bombeamento ........................ 190

Figura 11.23 - Perda de carga na sucção do sistema de bombeamento

em função da vazão imposta ............................................. 192

Figura 11.24 - Perda de carga no recalque do sistema de bombeamento

em função da vazão imposta ............................................. 193

Figura 11.25 - Representação simultânea das curvas do fabricante da

bomba e do sistema .......................................................... 194

Figura 11.26 - Variação da curva característica do sistema ..................... 196

Figura 11.27 - Sistema com altura estática de elevação variável ............. 196

Figura 11.28 - Associação de bombas em série ....................................... 197

Figura 11.29 - Associação de bombas em paralelo .................................. 197

Figura 11.30 - Sistema fechado com ramificações em paralelo ............... 198



11

Figura 11.31 - Perdas de carga de elementos de um sistema em um

circuito fechado série-paralelo ........................................... 199

Figura 11.32 - Curva total do sistema ....................................................... 199

Figura 11.33 - Ponto de operação - circuito fechado série-paralelo ......... 199

Figura 12.1 - Curva adimensional da altura de elevação de uma

bomba modelo ETANORM 32-125 .................................... 202

Figura 12.2 - Curva de rendimento de uma bomba convencional,

modelo ETANORM 32-125, produzida pela KSB .............. 204

Figura 12.3 - Curva característica real de uma bomba centrífuga

modelo ETANORM 32-125 produzida pela KSB ............... 205

Figura 12.4 - Curva característica real da bomba ETANORM 32-125,

da KSB .............................................................................. 205

Figura 12.5 - Curva característica parametrizada de vazão x altura de

elevação manométrica ...................................................... 206

Figura 12.6 - Curva de eficiência x vazão ............................................... 206



12

Lista de Tabelas

Tabela 2.1 - Comparativo entre máquinas de fluxo geratrizes

dinâmicas e de deslocamento positivo .......................... 34

Tabela 3.1 - Valores recomendados para acréscimo de potência de

acionamento .................................................................. 51

Tabela 5.1 - Variação do coeficiente µ com o número de pás k de

um rotor radial ................................................................ 93

Tabela 5.2 - Grau de reação da bomba em função do ângulo 2 β ...... 102

Tabela 8.1 - Resumo das principais formas de rotor e suas

características principais ................................................ 123

Tabela 10.1 - Densidade e pressão de vapor da água a várias

temperaturas .................................................................. 156

Tabela 10.2 - Pressão de vapor para líquidos em várias

temperaturas .................................................................. 157

Tabela 11.1 - Valores da rugosidade absoluta para diversos tipos de

materiais ........................................................................ 183

Tabela 11.2 - Valores da rugosidade absoluta para diversos tipos de

materiais ........................................................................ 185

Tabela 11.3 - Valores de C para diversos tipos de materiais .............. 187

Tabela 12.1 - Condições operacionais da bomba modelo ETANORM

32-125 ............................................................................ 201

Tabela 12.2 - Condições operacionais adimensionalizadas da bomba

modelo ETANORM 32-125 ............................................ 201



13

Simbologia

Letras Latinas

A área da superfície de controle m²

b largura da pá do rotor m

c velocidade absoluta do fluído m/s

cd velocidade absoluta do fluído na saída da bomba m/s

cm componente radial (meridiana) da velocidade absoluta m/s

cs

velocidade absoluta do fluído na entrada da bomba m/s

cu componente tangencial da velocidade absoluta m/s

D diâmetro m

Da1 diâmetro no ponto a1 da aresta de sucção do rotor m

Dc diâmetro do cubo do rotor m

e energia específica total J/kg

Ed capacidade de trabalho específica do fluído na descarga

(constante de Bernoulli)

Nm/kg

Es capacidade de trabalho específica do fluído na sucção

(constante de Bernoulli)

Nm/kg

f fator de atrito

Fs força de superfície N

Fatr força de atrito N

g aceleração da gravidade local m/s²

H altura manométrica total m

h entalpia específica J/kg

Habs pressão absoluta m

Hatm pressão atmosférica m



14

hb desnível geométrico entre entrada e saída da bomba m

Hd altura dinâmica de recalque m

hd altura estática de descarga, ou de recalque mhc altura de pressão crítica m

Hdisp altura disponível de elevação m

He altura total de elevação m

hg altura geométrica m

Hm altura motriz de elevação m

hm diferença de altura entre manômetros de sucção e descarga m

Hman pressão manométrica total em altura de coluna de líquido m

hr altura de carga (pressão) no reservatório m

Hs altura dinâmica de sucção m

hs altura estática de aspiração, ou de sucção m

hsh altura de suction head mhsl altura de suction lift m

Hu altura útil de elevação m

Ja perda de carga acessória m

Jd perda de carga no recalque m

Jh somatório das perdas de carga internas de natureza hidráulica m

Jm somatório das perdas de carga mecânicas m

Js perda de carga na sucção m

Jt perda de carga distribuída m

k número de pás do rotor

K coeficiente de proporcionalidade - perdas de carga acessórias

K1 constante de proporcionalidade para perdas viscosas s²/m5



15

K2 constante de proporcionalidade para perda por choque s²/m5

L comprimento retificado do volume de controle no canal do rotor m

M massa total de um sistema kgm massa kg

m vazão mássica kg/s

n velocidade de rotação rpm

ns rotação específica

p pressão estática N/m²

pd pressão absoluta de descarga da bomba N/m²

pm pressão manométrica lida no manômetro na saída da bomba N/m²

ps pressão absoluta de sucção da bomba N/m²

pv pressão manométrica lida no vacuômetro (ou manômetro) na

entrada da bomba

N/m²

pv pressão manométrica lida no vacuômetro (ou manômetro) na

entrada da bomba

N/m²

Q vazão volumétrica m³/s

Qt vazão volumétrica teórica de projeto (sem choque de entrada) m³/s

Qd vazão de descarga m³/s

Qs vazão de sucção m³/s

Q

calor transferido ao fluído J/s

r raio do rotor m

Re número de Reynolds

s espessura da pá m

S área de entrada do rotor m²

t tempo s



16

u energia específica interna J/kg

u velocidade tangencial do rotor m/s

v velocidade m/svd velocidade de recalque na saída da bomba m/s

vliq velocidade do líquido na secção de saída do tubo de recalque m/s

vs velocidade de sucção na entrada da bomba m/s

W trabalho Nm

w velocidade relativa do fluído, congruente às pás do rotor m/s

eW potência de elevação W

mW potência motriz W

uW potência útil W

z altura referencial da coluna de líquido m

zd altura referencial da coluna de líquido no lado de descarga m

zs altura referencial da coluna de líquido no lado de sucção m

Letras Gregas

α ângulo entre as velocidades absoluta c e tangencial u º

ângulo entre as velocidades específica w e tangencial u º

cΩ coeficiente adimensional de carga

wΩ coeficiente adimensional de potência

tΩ coeficiente adimensional de torque

vΩ coeficiente adimensional de vazão

tσ coeficiente de cavitação de Thoma



17

µ coeficiente de redução de potência de Pfleiderer

rδ coeficiente de vorticidade relativa

λ coeficiente empírico de Pfleiderer para correção de potência

1λ coeficiente empírico para a altura de pressão crítica

2λ coeficiente empírico para a altura de pressão crítica

ϕ comprimento do arco entre duas pás consecutivas m

χ constante de proporcionalidade para choques de entrada

σ espessura da pá medida na direção tangencial ao rotor m

κ fator de estreitamento de secção devido ao cubo do rotor

aΙ índice de aspiração ou coeficiente de sucção

ρ massa específica do fluido [kg/m³]

Ε número de Euler

γ peso específico do fluído kgf/m³

dη rendimento do difusor ou do injetor do rotor

hη rendimento hidráulico

mη rendimento mecânico

tη rendimento total

meη rendimento total do motor elétrico

vη rendimento volumétrico

Ψ representa uma grandeza explícita qualquer

ψ representa uma grandeza implícita qualquer

τ tensão de cisalhamento N/m²

tτ tensão de cisalhamento do escoamento turbulento N/m²



18

pτ tensão de cisalhamento nas pás N/m²

vτ tensão de cisalhamento viscosa N/m²

Τ torque Nm

eζ trabalho específico interno Nm/kg

spζ trabalho específico sem perdas Nm/kg

trajetória do volume de controle no canal do rotor

ω velocidade angular rad/s

µ viscosidade absoluta Ns/m²

ν viscosidade cinemática m²/s

∀ volume m³

υ volume específico m³/kg



19

1 Introdução

A solução dos problemas ligados ao deslocamento dos líquidos tem sido umadas preocupações da Humanidade e um permanente desafio desde a antiguidade.1

Na medida em que se formavam núcleos populacionais cada vez maiores, mais

concentrados e mais afastados dos rios e fontes de água, enfrentavam-se maiores

dificuldades para sua captação, transporte e armazenamento, seja para consumo

humano, seja para usos diversos tais como irrigação de lavouras, asseio pessoal,

limpeza, trato confinado de animais e tantos outros, visto que tais assentamentos se

estabeleciam em locais mais elevados em relação ao nível dos rios ou a grandesdistâncias das fontes naturais. Passa, então, o gênio inventivo humano a atuar de

forma sistemática para a solução de tais contratempos criando soluções inteligentes

de acordo com os conhecimentos e tecnologias disponíveis em cada época,

colaborando inexoravelmente com o progresso da humanidade.

Ao recuar no tempo, notam-se imediatamente os esforços empreendidos pelo

homem para controlar o uso da água fora de seus locais naturais. Pode-se citar

como exemplos a Nora Chinesa , engenhoso dispositivo constituído por uma roda

dotada de caçambas para elevar a água a canais de irrigação; o sistema de

correntes e caçambas com o qual, três mil anos a.C, no poço de Josephus, no Cairo,

a água era retirada de um poço construído em duas plataformas com quase 100

metros de profundidade; a primitiva bomba de parafuso de Arquimedes (287 a 212

a.C); a bomba de êmbolo proposta por Ctesibus (270 a.C).1 Pode-se citar ainda, a

roda de pás, introduzida pelos romanos, em torno de 70 a.C, para extrair energia dos

cursos d água.2 São muitos os dispositivos hidráulicos que, ao longo dos séculos,

foram desenvolvidos para melhorar o cotidiano das pessoas proporcionando-lhes

ganhos em saúde, conforto, segurança, etc.

Hoje, a utilização das máquinas de fluxo está amplamente difundida no

cotidiano da população. Em um automóvel estão presentes máquinas de fluxo com

funções de lubrificação, abastecimento, limpeza, controle de direção, entre outras.

No ambiente doméstico tem-se como exemplos os secadores de cabelo, os

aspiradores de pó, os ventiladores e os condicionadores de ar. Existe uma infinidade



20

de equipamentos desenvolvidos para cumprir as mais diferentes funções, em

diversos segmentos da atividade humana, que se utiliza de máquinas de fluxo

operando com fluídos tais como água, ar, gases, óleos, produtos químicos, sólidos etantos outros. Setores como o automotivo, a indústria de óleo e gás, de geração de

energia, biomédico, construção civil, indústria em geral, coleta e abastecimento de

água, aeroespacial, agrícola, papel e celulose e muitos outros, são grandes usuários

e promotores da tecnologia do controle de fluídos, onde as máquinas de fluxo

desempenham importante papel.

Uma máquina de fluxo tem a finalidade de, como máquina motriz, transformar

um tipo de energia que a natureza nos oferece em trabalho mecânico, ou, comomáquina operadora (geratriz), fornecer energia a um fluído para, por exemplo,

transportá-lo de um local de baixa pressão para outro de alta pressão. Quando uma

máquina de fluxo trabalha como motriz, é chamada de turbina e, quando trabalha

como operadora, de bomba.3 Seus conceitos iniciais remontam a 1690, quando

Denis Papin, em sua obra intitulada “De Novis Quibusdam Machinis ”, por tradução

“Um Novo Tipo de Máquina ”, apresentou pela primeira vez o seu mecanismo de

funcionamento.

Este trabalho procura abordar os diferentes aspectos tecnológicos envolvidos

no projeto e operação de bombas centrífugas operando com fluídos líquidos e

pastosos, newtonianos e monofásicos, bem como estudar o fenômeno do

escoamento interno, em caráter unidimensional, uniforme e permanente, em ditas

máquinas. Tal ênfase se justifica pelo fato de serem as bombas centrífugas, as

máquinas de fluxo mais difundidas e utilizadas nos diversos segmentos de produção,

operando com os mais diversos tipos de fluídos podendo, inclusive, sob certas

condições, serem utilizadas como máquina motriz (ex: turbina). Além disso, este tipo

de máquina apresenta um mecanismo de fluxo bastante complexo e diferenciado em

relação aos demais tipos construtivos sendo, até hoje, objeto de numerosos estudos

em diversas aplicações.



21

2 Noções Gerais Sobre Máquinas de Fluxo Geratrizes

Máquinas geratrizes são máquinas de fluxo destinadas ao transporte defluídos, transformando energia mecânica, fornecida ao eixo da máquina, em energia

de pressão. Existe, atualmente, uma variedade considerável de máquinas geratrizes

para as mais diversas finalidades. Classificá-las e descrevê-las torna-se, portanto,

uma iniciativa longa e exaustiva que foge ao escopo deste trabalho. Porém, uma

visão de caráter geral sobre as mesmas se faz necessária de maneira a posicionar

as máquinas de fluxo geratrizes dentro deste vasto campo de estudo que é o

transporte de fluídos.São várias as formas de classificação possíveis, as quais procuram agrupar

referidas máquinas levando em consideração a forma com que trocam energia com

o fluído, o tipo de fluído empregado, as características de troca térmica, a trajetória

do fluído, as características construtivas internas, etc. Como ponto de partida,

considera-se que as máquinas de fluxo geratrizes podem ser classificadas em

relação à forma de conversão de energia aplicada sendo, então, divididas em

máquinas de deslocamento positivo e máquinas de deslocamento não-positivo . Apartir daí, e com boa variação de uma literatura à outra, pode-se classificar

individualmente estes dois grandes grupos de acordo com suas características

próprias.

2.1. Máquinas geratrizes de deslocamento positivo

São também conhecidas como volumógenas ou hidrostáticas. Possuem uma

larga variedade de tipos construtivos, caracterizados por sua especificidade deaplicação. Em função do fluído de trabalho, recebem nomes específicos: bombas,

para equipamentos que trabalham com líquidos, e compressores, para

equipamentos que operam com ar, gases ou vapor. A transferência de energia se dá

pela compressão do fluído confinado no interior da câmara, ou câmaras.

A característica principal desta classe de máquinas é que uma partícula de

fluído em contato com o órgão que comunica energia tem aproximadamente a

mesma trajetória que a do ponto do órgão com o qual está em contato, exceto nos



22

trechos de concordância próximos às tomadas de sucção e descarga, onde

apresentarão trajetórias distintas de acordo com as características construtivas da

máquina.1

A figura 2.1, representativa de uma bomba de pistão de duplo efeito,procura ilustrar este fato. Deve-se observar que o deslocamento da partícula de

fluído tende a se dar na mesma direção do movimento do pistão. Fora do volume V

indicado, o escoamento se dá em regime turbulento.

São máquinas destinadas quase que exclusivamente para transmissão de

potência visto que operam com deslocamento volumétrico constante por rotação,

independente da pressão de operação. A vazão varia por uma relação direta com a

rotação. Daí o termo “máquinas de deslocamento positivas”.

Figura 2.1 – Trajetória da partícula de fluído dentro da câmara do pistão.

A variedade construtiva é bastante grande, sendo que cada tipo pode

apresentar diversas formas visando atender as especificidades de cada aplicação.

Em caráter geral, ainda que não em sua totalidade, o mesmo tipo de máquina podeoperar como bomba (máquina geratriz) ou como motor (máquina motriz). Isto não

significa dizer que uma bomba de engrenagens, por exemplo, possa operar como

motor apenas invertendo-se o sentido de giro do eixo. Modificações internas de

fábrica são necessárias.

Devido às suas características construtivas e de aplicação, requerem

proteção contra sobrecargas. Para tal fim, são utilizadas válvulas reguladoras ou de

alívio de pressão.



23

A literatura, de maneira geral, classifica as máquinas geratrizes de

deslocamento positivo, conforme segue:

Deslizantes

OscilantesPalhetas

Flexíveis

Pistão rotativo

Elemento flexível

Rotor único

Parafuso simples

ExternasEngrenagens

Internas

Rotor lobular (gerotor)

Pistões oscilantes

Duplos

Rotativas

Rotores múltiplos

ParafusosMúltiplos

SimplexFixo Simples efeito

Multiplex

SimplexPistão radialVariável Simples efeito

Multiplex

SimplexSimples efeito

Multiplex

SimplexFixo

Duplo efeitoMultiplex

SimplexSimples efeito

Multiplex

Simplex

Pistão axial

Variável

Duplo efeitoMultiplex

Simplex

Alternativas

Diafragma Fixo Simples efeitoMultiplex

Simples efeito : quando apenas uma face do atuador em contato com o fluído atua

sobre o mesmo



24

Duplo efeito : quando as duas faces do atuador em contato com o fluído atuam

sobre o mesmo

Simplex : quando existe apenas uma câmara de confinamento do fluído

Multiplex : quando existem duas ou mais câmaras de confinamento do fluído

Fixo : o deslocamento volumétrico de fluído é constante

Variável : o deslocamento volumétrico de fluído pode variar sob determinadas

condições, mediante ajuste

O acionamento pode dar-se através de motores de combustão interna,

motores elétricos, turbinas hidráulicas, a gás ou a vapor, motores hidráulicos ou

mecanicamente por intermédio de correntes, correias, engrenagens, etc.

As figuras 2.2.a a 2.2.f mostram, de forma esquemática, alguns tipos

construtivos de uso mais difundido nas diferentes aplicações do mercado.

(a) (b) (c)

(d) (e) (f)

Figura 2.2 – Tipos construtivos de máquinas de deslocamento positivo.(a) de palhetas, (b) de parafusos, (c) de engrenagens externas, (d) de pistões radiais, (e) de pistõesaxiais, (f) rotor de lóbulos.Fonte: Manesmann Rexroth 4



25

2.2. Máquinas geratrizes de deslocamento não-positivo

São também conhecidas como máquinas geratrizes dinâmicas, rotodinâmicasou turbomáquinas. São construídas para transformar energia mecânica em energia

de pressão, destinada a vencer as resistências próprias do circuito e movimentar o

fluído. Não se prestam para transmissão de potência, como as de deslocamento

positivo, pois um pequeno aumento de pressão reduz consideravelmente sua

capacidade de vazão. Dependendo do tipo de fluído que movimentam, são

chamadas de bombas, no caso de escoamentos líquidos e pastosos, e ventiladores,

sopradores ou compressores, para unidades que lidam com gás ou vapor,

dependendo do aumento de pressão: os ventiladores geralmente têm pequeno

aumento de pressão (inferior a uma polegada de água) e os sopradores têm

aumento moderado (da ordem de uma polegada de mercúrio); bombas e

compressores podem ter aumentos de pressão muito grandes.2

Nas bombas, de modo geral, o elemento rotativo responsável por transferir

energia ao fluido é denominado impulsor ou rotor . Não há um volume de fluído

confinado e todas as interações de trabalho resultam de efeitos dinâmicos do rotor

sobre a corrente de fluído. O escoamento, em vista da mudança progressiva da

direção dos filetes de corrente, dá origem a uma variação na quantidade de

movimento do fluído, determinando conjugados de rotação que transformam a

energia mecânica em energia cinética e esta, por sua vez e em sua maior parte, em

energia de pressão. Como não existe um contato direto entre o rotor e a carcaça,

não existe uma boa vedação entre a sucção e a descarga, ocasionando uma grande

quantidade de vazamentos internos que concorrerão para uma baixa eficiência

volumétrica.5

O presente estudo será focado nas bombas centrífugas que operam com

fluídos líquidos e pastosos. Este tipo de máquina pode ser classificada de acordo

com a trajetória do fluído no rotor, com o número de rotores empregados, com o

número de entradas para aspiração, com o tipo de difusor, com a posição de

instalação em relação ao nível da água, com o posicionamento do eixo e com a

forma construtiva do rotor. Inúmeras outras formas de classificação são possíveis.



26

2.2.1. De acordo com a trajetória do fluído no rotor:

• bomba centrífuga pura ou radial : possui rotor com pás cilíndricas; o líquidopenetra no rotor paralelamente ao eixo, sendo dirigido pelas pás para a

periferia, segundo trajetórias contidas em planos normais ao eixo.

• bomba diagonal ou de fluxo misto : podem ser de dois tipos:

o bomba hélico-centrífuga : possui rotor com pás de dupla curvatura; o

líquido penetra axialmente no rotor, segue uma trajetória em curva

reversa e sai do rotor segundo um plano perpendicular ao eixo ou

segundo uma trajetória inclinada em relação ao plano perpendicular aoeixo.

o bomba helicoidal ou semi-axial : possui rotor com pás de dupla

curvatura; o bordo das pás é curvo e bastante inclinado em relação ao

eixo; a trajetória é uma hélice cônica reversa; o bordo de saída das pás

é uma curva bastante inclinada em relação ao eixo.

(a) rotor radial (b) rotor diagonal (a) rotor axial

Figura 2.3 – Tipos de rotor, de acordo com a trajetória do fluído.

As bombas de rotor axial, também conhecidas como propulsoras, não são

propriamente bombas centrífugas, uma vez que a força centrífuga decorrente da

rotação das pás não é a responsável pelo aumento da energia de pressão. Ao

escoamento axial, superpõe-se um vórtice forçado pelo movimento das pás. São

estudadas e projetadas segundo a teoria de sustentação das asas e da propulsão

das hélices ou ainda, segundo a teoria do vórtice forçado.1



27

Figura 2.4 – Bomba de rotor axial.

2.2.2. De acordo com o número de rotores empregados:

• bomba de simples estágio : apenas um rotor é utilizado; portanto, o

fornecimento de energia ao líquido é feito em um único estágio.

• bomba de múltiplos estágios : dois ou mais rotores são utilizados, dispostos

em série dentro de uma mesma carcaça e fixados ao mesmo eixo, porém,

com difusores individuais e separados para cada rotor; a passagem do líquido

em cada rotor e difusor constitui um estágio na operação de bombeamento;

são utilizadas quando se necessita grandes alturas de elevação, onde a

relação custo-benefício inviabiliza a utilização de somente um estágio ou

quando o espaço disponível é pequeno.

(a) bomba de um estágio (b) bomba de quatro estágios

Figura 2.5 – Bombas de simples e múltiplos estágios.



28

2.2.3. De acordo com o número de entradas para aspiração:

• bombas de aspiração simples ou de entrada unilateral : a entrada do líquido se

faz unilateralmente pela abertura circular na coroa do rotor; o principalcuidado em relação a este tipo construtivo está relacionado ao

desbalanceamento axial devido à desigualdade de pressão nas faces da

coroa do rotor; a figura 2.5a ilustra uma bomba deste tipo.

• bomba de aspiração dupla ou de entrada bilateral : o rotor possui coroas em

ambos os lados permitindo a admissão de fluído de forma bilateral em

sentidos opostos; são também chamados de rotores geminados, pois são

simétricos em relação a um plano normal ao eixo; equivale a dois rotoressimples montados em paralelo, sendo capaz de elevar, teoricamente, uma

descarga dupla; o empuxo longitudinal do eixo é equilibrado.

(a) entrada unilateral (b) entrada bilateral

Figura 2.6 – Rotores de entrada unilateral e bilateral.

2.2.4. De acordo com o tipo de difusor:

• bomba de difusor com pás guias ou de palhetas diretrizes : tem a função de

conduzir o líquido do rotor ao coletor com velocidade, direção e sentido tais

que a transformação da energia cinética em energia potencial de pressão se

processe com um mínimo de perdas por atrito, turbulências e choque do

fluído contra as paredes da carcaça;

• bomba com coletor tipo voluta ou caracol : é a mais comum, de construção

mais simples e mais barata; é, via de regra, a própria carcaça da bomba,



29

formando um canal de área de secção transversal crescente na periferia do

rotor, sendo o tipo de difusor empregado nas bombas de eixo horizontal e de

um único estágio; podem ser de:o simples voluta : de uso tradicional (figura 2.8b).

o dupla voluta : é a solução para as bombas onde a altura de recalque

e o diâmetro do rotor são muito grandes, provocando,

principalmente quando se opera fora do ponto de projeto, o

aparecimento de uma força radial sobre o rotor, devida à

distribuição não uniforme da pressão na periferia do mesmo; a

caixa espiral de dupla voluta caracteriza-se por possuir uma parede(língua ou lingueta) que divide o canal da caixa espiral próximo à

saída em duas partes, igualando as pressões e anulando o empuxo

radial (figura 2.8c).

• bomba com difusor tronco-cônico : empregado nas bombas verticais

constituindo-se de palhetas fundidas na própria carcaça da bomba (figura

2.7); pode-se considerar também como difusor tronco-cônico o trecho final da

caixa espiral, através do qual a bomba é acoplada à linha de recalque.

Figura 2.7 – Difusor tronco-cônico.

O líquido, após ser energizado no rotor adquire grande velocidade, não sendo

possível e nem recomendável a sua injeção direta na tubulação, pois a perda de

difusor tronco-cônico

rotor diagonal



30

carga seria intensa, uma vez que esta é função do quadrado da velocidade. Assim, o

líquido expelido pelo rotor é encaminhado ao difusor, a quem compete:

1) transformar a energia cinética do líquido em energia de pressão, o que seconsegue construindo o difusor com canal ou canais de secção crescente;

2) coletar o líquido expelido pelo rotor e encaminhá-lo à tubulação de recalque.

Uma observação importante a se fazer é que o uso de difusores de palhetas

diretrizes pode prejudicar as características hidráulicas da bomba. O líquido, com

grande velocidade na saída do rotor, só encontra as palhetas do difusor sem

choques quando a bomba está operando com a vazão de projeto, porque só então o

ângulo de saída do líquido do rotor coincide com o ângulo das palhetas do difusor.

Com qualquer outra vazão, originam-se choques e turbulência, de forma que a

bomba pode ter um funcionamento instável. Outro problema que se apresenta com o

uso de difusores de palhetas é a redução do campo de emprego da bomba. É claro

que os fabricantes de bombas procuram obter a maior aplicabilidade possível de um

modelo, para conservar em um mínimo o número de modelos de determinada linha

de fabricação. Com uma bomba de voluta pode-se diminuir o diâmetro do rotor em

até 20% do valor máximo, sem reduzir notavelmente a sua eficiência. Por outro lado,

uma redução idêntica no diâmetro do rotor de uma bomba com difusor de palhetas é

inaceitável. O aumento do espaço entre a periferia do rotor e a entrada das palhetas

do difusor, teria como resultado perdas hidráulicas excessivas. A redução, neste

caso, estaria limitada entre 5% a 10%.

(a) (b) (c)

Figura 2.8 – Bombas com diferentes tipos de difusores.(a) bomba de difusor com pás-guias, (b) bomba com coletor tipo voluta ou caracol, (c) bomba com

dupla voluta.



31

2.2.5. De acordo com a posição de instalação em relação ao nível da água:

• Sucção positiva : o eixo da bomba situa-se acima do nível do reservatório;deve ser escorvada antes da partida (figura 2.9a).

• Sucção negativa ou afogada : o eixo da bomba situa-se abaixo do nível do

reservatório (figura 2.9b).

2.2.6. De acordo com o posicionamento do eixo:

• bomba de eixo vertical : conforme figura 2.10, a qual apresenta uma bomba de

simples sucção, 3 estágios e rotores diagonais.• bomba de eixo horizontal : conforme figuras 2.5a e 2.5b.

2.2.7. De acordo com a forma construtiva do rotor:

• bomba de rotor fechado : são usados normalmente no bombeamento de

líquidos limpos; o rotor possui discos dianteiro e traseiro e palhetas fixas a

ambos; com esse tipo de rotor evita-se o retorno da água à boca de sucção,

sendo necessário para tal a existência de juntas móveis (anéis de desgaste)entre a carcaça e o rotor, separando a câmara de sucção da câmara de

descarga; é inadequado para o bombeamento de fluidos sujos porque, pela

própria geometria, pode ocasionar o seu próprio entupimento.

• bomba de rotor semi-aberto : possui apenas um disco ou parede traseira onde

se fixam as palhetas; se prestam ao recalque de líquidos pastosos ou com

impurezas.

• bomba de rotor aberto : as palhetas são presas no próprio cubo do rotor;

apresenta a grande desvantagem de possuir pequena resistência estrutural, o

que faz com que seja necessário uma pequena parede traseira quando as

palhetas são muito largas; o espaço livre entre as palhetas do rotor e as

paredes laterais permite a recirculação do líquido no interior da carcaça,

aumentando o desgaste e encarecendo a manutenção; são encontrados em

bombas pequenas, de baixo custo, ou em bombas que recalcam líquidos

abrasivos.



32

Figura 2.9 – Posições de instalação da bomba em relação ao nívelda água.

Figura 2.10 – Bomba de eixo vertical.

(a) rotor fechado (b) rotor semi-aberto (a) rotor abertoFigura 2.11 – Tipos construtivos de rotores.

A figura 2.12 situa os diferentes tipos de máquinas geratrizes em função de

suas capacidades de altura de elevação e vazão. Nota-se facilmente que as bombas

centrífugas podem ser utilizadas em baixas, médias e altas vazões e alturas de

elevação médias, com a característica de que, em vazões mais elevadas, menor é a

sua capacidade em termos de altura de elevação.



33

Figura 2.12 – Faixa de aplicação das máquinas geratrizes.

Como existem áreas de superposição entre os campos de aplicação dos

diferentes tipos de bombas, outros critérios como velocidade específica, viscosidade

do líquido bombeado, presença de sólidos em suspensão, variação ou não da vazão

em função da variação da resistência do sistema ao escoamento, facilidade de

manutenção, custos, etc., devem ser levados em consideração para a seleção da

máquina mais adequada para um determinado tipo de aplicação. É importante

ressaltar que as faixas de aplicação mostradas na figura 2.12 não são absolutas e

devem ser consideradas apenas em caráter orientativo, em uma primeira análise

mais superficial.

Na tabela 2.1 é apresentada uma comparação entre os dois tipos básicos demáquinas de fluxo, dinâmicas e de deslocamento positivo .



34

Máquinas de fluxo geratrizes

dinâmicas de deslocamento positivo

Alta rotação Baixas e médias rotações

Potência específica elevada (potência/peso) Potência específica de média para baixa(potência/peso)

Não há dispositivos com movimentoalternativo

Várias têm dispositivos com movimento alternativo

Médias e baixas pressões de trabalho Altas e muito altas pressões de trabalho

Não operam eficientemente com fluidos deviscosidade elevada

Adequadas para operar com fluidos deviscosidade elevada

Vazão contínua Na maior parte dos casos possuem vazãointermitente

Energia cinética surge no processo de

transformação de energia

Energia cinética não exerce influência significativa

na transformação de energiaNa maioria dos casos, projeto hidrodinâmico ecaracterísticas construtivas mais complexasque as máquinas de deslocamento positivo

Na maioria dos casos, as característicasconstrutivas e o projeto hidrodinâmico são maissimples do que nas máquinas de fluxo dinâmicas

Tabela 2.1 – Comparativo entre máquinas de fluxo geratrizes dinâmicas e de deslocamento positivo.

2.3. Órgãos construtivos de uma bomba centrífuga

Visando o atendimento de condições particulares do bombeamento, as

bombas centrífugas podem apresentar variações com relação a seus órgãos

construtivos. Basicamente, podemos considerar que, de uma maneira geral, os

diferentes tipos de bombas centrífugas possuem os seguintes órgãos construtivos

principais:

• do ponto de vista hidráulico: rotor e difusor

• do ponto de vista mecânico: eixo, anéis de desgaste, caixa de gaxetas e selomecânico, rolamentos, acoplamento, carcaça e base da bomba.

A figura 2.13 ilustra uma bomba centrífuga de simples estágio com rotor radial

em balanço, modelo L025 da EH, mostrando seus principais componentes5. É um

modelo Indicado para serviços leves com água limpa, turva, desmineralizadas,

combustíveis, instalações residenciais, industriais, condicionadores de ar,



35

hidroterapias, cabine de pintura, etc. Pode-se observar o rotor radial tipo fechado e

difusor tipo voluta, típico para estas aplicações.

Figura 2.13 – Principais componentes de uma bomba centrífuga.Fonte: EH Bombas Hidráulicas 5 (com adaptações)



36

Por fim, pode-se dizer que as bombas centrífugas podem operar como

máquinas motrizes, pela inversão do seu sentido de rotação. O princípio de

funcionamento do rotor é o mesmo, baseado no conjugado de rotação. Porém, adiferença principal reside no fato de que as máquinas motrizes transformam energia

de fluído, em sua maior parte potencial, em energia mecânica e podem ser usadas

para acionamento de outras máquinas. Neste caso particular, as bombas centrífugas

passam a ser chamadas de turbinas.

2.4. Princípio básico de funcionamento de uma bomba centrífuga1

A bomba centrífuga necessita ser previamente enchida com o líquido abombear, isto é, deve ser escorvada . Quando em funcionamento, devido às folgas

entre o rotor, o coletor e o restante da carcaça, torna-se difícil a expulsão do ar do

corpo da bomba e do tubo de aspiração, podendo provocar o fenômeno da

cavitação. Ela, portanto, não é auto-aspirante ou auto-escorvante , a não ser que se

adotem recursos de construção especiais.

Logo que se inicia o movimento do rotor e do líquido contido nos canais

formados pelas pás, a força centrífuga decorrente deste movimento cria uma zonade maior pressão na periferia do rotor e uma de baixa pressão na sua entrada,

produzindo o deslocamento do líquido em direção à saída dos canais do rotor e à

boca de recalque da bomba. Estabelece-se, então, um gradiente hidráulico entre a

entrada e a saída da bomba em virtude da diferença de pressões nela reinante.

Admitamos que uma tubulação, cheia de líquido igual ao contido na bomba,

ligue a boca de aspiração a um reservatório submetido à pressão atmosférica (ou

outra suficiente) e que outra tubulação, nas mesmas condições, estabeleça a ligaçãoda boca de recalque a outro reservatório colocado a uma determinada altura onde

reine a pressão atmosférica (ou outra pressão qualquer). Em virtude da diferença de

pressões que se estabelece no interior da bomba, ao ter lugar o movimento de

rotação, a pressão à entrada do rotor torna-se inferior à existente no reservatório de

captação, dando origem ao escoamento do líquido através do encanamento de

aspiração para a bomba. Simultaneamente, a energia na boca de recalque da

bomba, tornando-se superior à pressão estática a que está submetida à base da



37

coluna líquida na tubulação de recalque, obriga o líquido a escoar para uma cota de

elevação superior ou local de pressão considerável. Estabelece-se então, com a

bomba em funcionamento, um deslocamento do líquido do reservatório inferior parao superior através da tubulação de aspiração, dos canais do rotor e difusor e da

tubulação de recalque.

É na passagem do líquido pelo rotor que se processa a transformação da

energia mecânica nas energias de pressão e cinética. Saindo do rotor, o líquido

penetra no difusor, onde parte apreciável de sua energia cinética é transformada em

energia de pressão, seguindo para a tubulação de recalque.

O nome de bomba centrífuga dado a esse tipo de máquina se deve ao fato deser a força centrífuga a responsável pela maior parte da energia que o líquido

recebe ao atravessar a bomba.



38

3 Análise dos modos de energia cedida pela bomba

3.1. O trabalho específico interno eζ

O fluído é levado de um ponto de baixa pressão, no lado de sucção, para um

ponto de pressão mais elevada, no lado de descarga da bomba. Portanto, o sistema

interno da bomba realiza trabalho sobre o fluído. Chama-se trabalho específico

interno à diferença da capacidade de trabalho entre as extremidades de pressão e

de sucção por unidade de massa do fluído que passa pela bomba. Se forem levadas

em consideração as perdas internas, o trabalho específico interno é igual ao trabalho

entregue no eixo por 1 kg de fluído menos o trabalho específico correspondentes às

perdas internas na bomba.

A energia, ou seja, a capacidade de trabalho específica que a partícula de

fluído de uma corrente possui, pode ser dada pela constante de Bernoulli que, no

caso de fluídos incompressíveis, é dada por:3

gz

2

cpE

2++=

ρ

(3.1)

Considerando-se as capacidades específicas de trabalho do fluído nas

tomadas de descarga e de sucção, vem:

( )sd

2s

2dsd

sde zzg2

ccppEE −+

−+

−=−=

ρ ζ (3.2)

( )sd

2s

2dsd

e zzg

2

ccpp−+

−+

−=

ρ

ζ (3.3)

b

2s

2dsd

e gh2

ccpp+

−+

−=

ρ ζ (3.4)

O primeiro termo do segundo membro da equação (3.4) representa o trabalho

específico spζ , sem perdas, que é necessário para transportar o fluído de um local

com pressão sp para outro com pressão dp . Assim, tem-se a equação abaixo,

válida para todas as máquinas de fluxo:



39

b

2s

2d

spe gh2

cc+

−+= ζ ζ (3.5)

Figura 3.1 – Trabalho específico sem perdas. Figura 3.2 – Diagrama υ p

Para determinação do trabalho específico sem perdas spζ , parte-se do

diagrama υ p , pressão x volume específico, da termodinâmica, conforme figura 4.2.

Se a curva AB representa uma transformação, sem perdas, da pressão sp à

pressão dp , então a área ABCD é igual ao valor de spζ . Vale, portanto:

ABCDáreadpdp

spsp == ∫ υ ζ (3.6)

No caso de fluídos incompressíveis, a curva AB é uma reta vertical, uma vez que

ρ υ 1= é constante, não variando com a pressão. Integrando, então, a equação

(3.6) para v constante, tem-se que:

( )sdsp pp1

−= ρ

ζ (3.7)



40

Na prática, no caso das máquinas de fluxo que se encontram fixas na terra e

que trabalham com fluídos condensáveis, ao invés de se trabalhar com o trabalho

específico interno, é comum utilizar o conceito de altura útil de elevação uH . Nestecaso vem:3

ue Hg=ζ (3.8)

3.2. Alturas de elevação

A operação normal de bombeamento consiste em fornecer energia ao líquido

para que o mesmo possa executar o trabalho representado pelo deslocamento de

seu peso entre duas posições que se considerem, vencendo as resistências que se

apresentarem em seu percurso.

A entrada da bomba geralmente fica bastante próxima da entrada do rotor, o

que permite admitir como iguais as condições de escoamento nessas secções e

considerar, sem erro sensível, o tubo de aspiração como terminando no plano

horizontal que passa pelo centro do rotor. A secção de saída da bomba muitas

vezes fica localizada acima do citado plano horizontal e a uma distância vertical bh ,mostrada na figura 3.3. Há bombas, porém, em que as secções de entrada e saída

estão no mesmo nível ( 0hb = ), assim como outras com o nível da boca de saída

abaixo do de aspiração.1

Para simplicidade das equações a serem apresentadas, será considerado

0hb = e admitido que a pressão nessa secção convencionada de saída da bomba

seja expressa por bd hp γ + .

A figura 3.3 apresenta, esquematicamente, arranjos típicos para instalação de

bombas centrífugas, destinadas a elevar o líquido de um reservatório inferior a outro,

de cota mais elevada, onde estão indicadas as diferentes alturas estáticas, ou

desníveis topográficos, e as alturas dinâmicas, ou totais. A figura 3.3a representa o

caso de bomba de sucção positiva , ou com escorva , com descarga livre para

atmosfera, enquanto a figura 3.3b, o caso de bomba de sucção negativa , ou

afogada , com descarga sob coluna líquida mais pressão atmosférica. Em



41

reservatórios fechados, deve-se considerar a pressão interna existente, ao invés da

pressão atmosférica.

(a) (b)

Figura 3.3 – Balanço energético na instalação de uma bomba centrífuga.

3.2.1. Alturas estáticas ou desníveis topográficos

3.2.1.1. Altura estática de aspiração ou sucção sh

É a diferença de cotas entre o centro do rotor da bomba e o nível da

superfície livre do reservatório de captação (ver figura 3.3).

3.2.1.2. Altura estática de recalque dh

É a diferença de cotas entre a linha de centro do tubo de recalque, onde o

líquido é abandonado no meio-ambiente, ou outro qualquer, e o centro do rotor da

bomba (ver figura 3.3). Para instalações com sifão, ver item 3.6.1.



42

3.2.1.3. Altura estática de elevação gh

É a soma das alturas estáticas de sucção e de recalque, no caso da figura

3.3a, e a diferença entre as mesmas, no caso da figura 3.3b. É também denominada

de altura topográfica ou altura geométrica.

dsg hhh += (3.9)

sdg hhh −= (3.10)

3.2.2. Alturas totais ou dinâmicas

3.2.2.1. Altura manométrica, ou total, de sucção sH

Para o caso de bomba de sucção positiva , conforme figura 3.3a, é a diferença

entre as alturas representativas da pressão atmosférica local atmH e da pressão

reinante na entrada da bomba, suposta ser igual à entrada do rotor, dada por γ sp .

γ s

atmsp

HH −= (3.11)

Aplicando a equação de Bernoulli entre a superfície livre no reservatório de

captação, supondo nula a velocidade neste ponto, e a secção de entrada da bomba,

tem-se:

s

2ss

atmsh

g2

vpHJ −−−=

γ (3.12)

sendo sJ a perda de carga no encanamento de sucção, ou seja, a parcela de

energia que deverá ser fornecida para cada kgf de fluído para que este vença as

resistências passivas encontradas na tubulação. Combinando as equações (3.11) e

(3.12), vem:

s

2s

ss J

g2

vhH ++= (3.13)



43

A altura manométrica de sucção é a energia que deve ser exercida sobre

cada kgf de líquido para que o mesmo atinja a entrada da bomba, vencendo a altura

estática de sucção sh , e o somatório das perdas de carga na sucção sJ , adquirindo

a energia cinética g2v 2s .

Pode-se, na prática, obter a altura manométrica de sucção, com a bomba em

funcionamento, através da instalação de um vacuômetro na entrada da bomba.

Neste caso:

jp

Hp s

atmv

+−=

γ γ

(3.14)

No caso de bomba de sucção positiva , graças à pressão atmosférica atmH , o

líquido escoa e penetra na bomba, não sendo correto dizer que a bomba “aspira ” ou

“puxa ” o líquido. Para bombas de sucção negativa , além da pressão atmosférica,

deve-se considerar também a altura estática de sucção disponível, descontado o

valor da perda de carga na tubulação de aspiração.

3.2.2.2. Altura manométrica, ou total, de recalque dH

É a diferença entre as alturas representativas da pressão dp na saída da

bomba e da pressão atmosférica atmH , suposta como reinante na entrada da

tubulação de recalque.

atmbd

d Hhp

H −

+=

γ (3.15)

Deve-se considerar dois casos:

(a) a tubulação de recalque abandona livremente o líquido na atmosfera;

(b) o líquido é conduzido ao reservatório, tendo sobre si uma velocidade contrária

liqv que aparece devido à tendência de retorno do fluído ali confinado pela

tubulação.



44

Para o caso (a), aplicando a equação da energia entre a boca de saída da

bomba e a secção de saída da tubulação de recalque, tem-se:

++−

++=

g2

vHh

g2v

hp

J2

liqatmd

2d

bd

dγ

(3.16)

ou seja, a perda de carga no recalque é igual à diferença entre a energia à saída da

bomba e a energia à saída do tubo de recalque. Se a tubulação tiver secção

constante, então, a velocidade na saída da bomba dv é igual à velocidade para o

ponto médio da secção de saída do encanamento de recalque Bv e, então:

ddd JhH += (3.17)

No caso (b), aplicando a mesma equação entre a secção de saída da bomba

e o nível livre do líquido no reservatório superior, onde se supõe ser nula a

velocidade, tem-se:

( )atmd

2d

bd'

d Hhg2

vh

pJ +−

++=

γ (3.18)

ou seja, a perda de carga no recalque é igual à diferença entre a energia à saída da

bomba e a energia no nível superior de água no reservatório. A perda de carga 'dJ é

a perda de carga na tubulação de recalque mais a perda de carga na entrada do

reservatório superior devido à absorção da velocidade Bv na saída do tubo.

Combinando as equações (3.15) e (3.18), pode-se escrever:

'd

2ddd Jg2

vhH +−= (3.19)

Em ambos os casos (a) e (b), a altura manométrica de recalque representa a

energia que a bomba deve fornecer a cada kgf de fluído (carga) para que este,

partindo da saída da bomba, atinja a boca de saída da tubulação de recalque,

vencendo o desnível estático dh e as perdas de carga no trajeto do líquido.



45

Pode-se, na prática, obter a altura manométrica de descarga, com a bomba

em funcionamento, através da instalação de um manômetro na saída da bomba.

Neste caso:

iHhpp

atmbdm +−+=

γ γ (3.20)

3.2.2.3. Altura manométrica de elevação ou simplesmente, altura manométrica Hman

É a diferença entre as alturas representativas das pressões na saída e na

entrada da bomba. Tem-se:

γ γ s

bd

manp

hp

H −

+= (3.21)

Combinando as equações (3.11) e (3.15), obtém-se:

dsman HHH += (3.22)

sendo, portanto, a altura manométrica Hman igual à soma das alturas manométricas

de sucção sH e descarga dH .

Figura 3.4 – Medição de H por instrumentos de medição de pressão.

A equação (3.22) emprega-se na fase de projeto da instalação. A equação

(3.21) é empregada na determinação da altura manométrica em instalações em

operação, com manômetros instalados. Neste caso, deve-se considerar, conforme a

figura 3.4:



46

mmv

man hpp

H ++

=γ

(3.23)

Na prática, procura-se fazer 0hm = e soma-se a leitura direta do vacuômetro

e do manômetro.

3.2.3. O conceito de suction lift e suction head

Os conceitos de suction lift e suction head são definidos pelo Hydraulic

Institute e pelo American Petroleum Institute (API) como:

3.2.3.1. Suction lift slh

É altura total de sucção na aspiração, ou seja, é igual à diferença entre a

leitura manométrica realizada à entrada da bomba e a altura representativa da

velocidade do líquido no mesmo ponto de medição. O conceito de suction lift está

relacionado ao fato da bomba estar instalada acima do nível do reservatório de

sucção (figura 3.3a). Quando existe suction lift , apenas a pressão atmosférica atmH

fornece energia para que o líquido se desloque até a bomba.

g2vp

h2

svsl −=

γ (3.24)

Das equações (3.14) e (3.24), pode-se concluir que:

jg2

vpHh

2ss

atmsl +

+−=

γ (3.25)

jhh ssl += (3.26)

Na figura 3.3a, pode-se observar a altura estática de sucção sh e distância j

do centro do tubo de sucção ao centro do vacuômetro. Na conceituação do suction

lift , a perda de carga na aspiração sJ é omitida.



47

3.2.3.2. Suction head shh

É igual à soma da altura representativa da pressão absoluta à entrada dabomba com a altura representativa da velocidade no mesmo ponto de medição. O

conceito de suction head está relacionado ao fato da bomba estar localizada abaixo

do nível do reservatório de sucção (figura 3.3b). Neste caso, a pressão na entrada

da bomba é maior do que a pressão atmosférica atmH , devendo-se considerar

também a altura estática de sucção shh .

atmssh Hhh += (3.27)

Da figura 3.3b tem-se que:

shatms

2ss hHhg2

vp=+=+

γ (3.28)

3.2.4. Altura útil de elevação uH

É definida como a energia que a unidade de peso de líquido adquire em sua

passagem pela bomba. Seu valor é medido aplicando-se a equação da conservação

da energia entre as secções de saída e de entrada da bomba. Graças a essa

energia, o líquido escoa pelo encanamento.1 É também conhecida como total head

ou dynamic head , termos estes definidos pela ASME e pelo Hydraulic Institute.

+−

++=

g2vp

g2v

hp

H2

ss2

db

du

γ γ (3.29)

Combinado com a equação (3.21), vem:

−+=

g2vv

HH2

s2

dmanu (3.30)

Da equação (3.5), pode-se concluir que manu HH = quando os diâmetros de

entrada e saída da bomba são iguais. De fato, a altura útil de elevação uH difere da

altura manométrica Hman por levar em consideração a variação da energia cinética



48

do líquido ao atravessar a bomba. Como em muitos casos, a diferença entre as

velocidades de entrada e saída não é muito grande, é comum considerar-se

manu HH = sem grande margem de erro. Por isso, muitos autores tratam-nas comosendo a mesma grandeza, nomeando, inclusive, a altura manométrica como total

head . É importante ter em mente que isto é uma simplificação que pode conduzir a

erros de interpretação e de cálculo, pois estas grandezas não tem o mesmo

significado físico.

3.2.5. Altura total de elevação eH

A altura total de elevação é definida como sendo a energia total que o rotor da

bomba deve fornecer a cada kgf de fluído, levando em conta as perdas internas de

natureza hidráulica hJ .

hue JHH += (3.31)

3.2.6. Altura motriz de elevação mH

A altura motriz de elevação é o trabalho exterior que é necessário fornecer aorotor da bomba, por kgf de fluído escoado, para que sejam vencidas as perdas

mecânicas mJ , desenvolvidas pelos mancais e outras partes do conjunto motor-

bomba, obtendo-se a energia uH realmente cedida ao líquido, representada pela

altura útil de elevação.

mum JHH += (3.32)

3.2.7. Altura disponível de elevação dispH

A altura disponível de elevação é a variação final de energia de cada kgf de

líquido bombeado ao passar do reservatório inferior para o superior, ou seja, é o

ganho de energia de cada kgf de líquido em conseqüência do bombeamento. Seu

valor é dado pela equação da conservação da energia aplicada na secção de saída

do tubo de recalque e no nível do reservatório inferior.1



49

g2

vhH

2liq

ddisp += (3.33)

Pode-se interpretar este conceito da seguinte forma: o líquido estava em

repouso no reservatório inferior e, após o bombeamento, encontra-se a uma altura

estática de recalque dh e com velocidade liqv .

Também se pode definir a altura disponível como:

( )hdsedisp JJJHH +++= (3.34)

3.3. Perdas hidráulicas internas em bombas centrífugas

As perdas internas têm a propriedade comum de transmitir calor ao fluído de

trabalho. Somadas à potência útil uP , elas resultam na potência de elevação eP que

deve ser entregue no eixo da bomba. Ao conjunto das perdas hidráulicas internas na

bomba dar-se-á a designação hJ . Afetam o rendimento volumétrico da bomba.

3.3.1. Perdas nas pás

São perdas que ocorrem dentro das bombas devidas ao atrito nas pás e nas

paredes externas do rotor e às variações de secção e de velocidade promovidas

pelas pás, que, em geral, reduzem a pressão. São conhecidas genericamente como

“perdas nas pás ” pelo fato de ocorrerem principalmente nos canais por estas

formados e no contato do líquido com as mesmas. Representam uma perda de

trabalho por kgf de fluído bombeado que deve ser transmitido pelas pás juntamente

com a altura útil de elevação uH , de maneira que se possa exercer trabalho útilsobre o líquido.

3.3.2. Perdas por fuga de fluído

Estas perdas não influem na pressão ou, pelo menos, tem uma influência de

menor importância. Devido às folgas construtivas internas, nem todo o fluído

aspirado é entregue à tubulação de recalque, ocasionando uma diminuição no

rendimento volumétrico da bomba, como será visto adiante. Tem-se, então, as



50

perdas no labirinto , que ocorrem devido à existência de um interstício entre o rotor e

a carcaça, denominado labirinto , devido à sua forma usual, que é necessário por

razões construtivas e, através do qual, uma parte do líquido flui de volta para o tubode sucção, evitando o rotor. Há também, uma perda de fluído através das gaxetas

ou selos mecânicos (ver figura 2.13). Em certos tipos construtivos, pode existir,

ainda, uma perda adicional no labirinto devido à compensação do empuxo.

3.3.3. Perdas por troca de fluído

Existe uma troca de fluído que ocorre entre o recinto atrás do rotor (recinto de

saída) e os canais das pás no caso da desaceleração do fluxo, pois, neste caso, acamada limite deve fluir contra pressão crescente. Há, então, a possibilidade de

retorno da camada limite ao rotor, havendo a necessidade de ser novamente

acelerada. Tem o mesmo caráter do atrito no rotor e causa uma perda adicional de

potência que, até o presente momento, não possui meios de ser calculada

corretamente. Entretanto, dentro dos limites de cargas normais, pode quase sempre

ser desprezada.

3.3.4. Perdas volumétricas exteriores

São devidas à fuga ou vazamentos através da folga entre eixo e caixa da

bomba. Consegue-se reduzir tais perdas através de vedações apropriadas, de modo

que a parcela de descarga perdida é pequena.

3.4. Potências

3.4.1. Potência útil uW

Nem toda energia cedida pelo rotor é aproveitada pelo líquido para realização

do trabalho do escoamento. Uma parte se perde no interior da própria bomba em

conseqüência das diversas perdas hidráulicas já vistas. A potência útil é, então,

aquela que corresponde à energia aproveitada pelo líquido para seu escoamento

fora da própria bomba. É também conhecida como pump output ou liquid

horsepower .



51

uu QHW γ = (3.35)

3.4.2. Potência de elevação eW

Uma vez que parte da potência motriz é gasta para superar as perdas

mecânicas no conjunto motor-bomba (mancais, gaxetas, etc), apenas uma parte é

utilizada para realizar trabalho sobre o fluído. Esta parcela utilizada para transmitir

energia ao líquido é a altura total de elevação eH .

ee QHW γ = (3.36)

3.4.3. Potência motriz mW

É a potência fornecida pelo acionamento (motor elétrico, turbina, motor diesel,

etc) ao eixo da bomba, também denominada consumo de energia da bomba.

mm QHW γ = (3.37)

No levantamento experimental da potência, substitui-se o valor da altura útil

de elevação uH pela altura manométrica total Hman. Pode-se então calcular a

potência motriz, em cavalo-vapor (cv) pela equação:

t

man)cv(m 75

HQ1000W

η =

(3.38)

mW

calculadaAcréscimo recomendado

até 2 cv 50%

3 a 5 cv 30%

6 a 10 cv 25%

11 a 25 cv 15%

acima de 25 cv 10%

Tabela 3.1 – Valores recomendados para acréscimo de potência de acionamento.



52

Na seleção dos equipamentos de acionamento para as bombas centrífugas,deve ser prevista uma margem de segurança que, normalmente, é apresentada nascurvas e tabelas elaboradas pelos fabricantes. Na falta de dados do fabricante,

Macintyre1

apresenta a tabela 3.1, que recomenda tais acréscimos.3.5. Rendimentos

3.5.1. Rendimento hidráulico hη

É também conhecido como “rendimento das pás ”, caracterizando somente as

perdas de pressão. Relaciona a potência útil uW e a potência de elevação eW .

Também é descrita em função das alturas útil e de elevação.

e

u

e

uh H

H

W

W==

η (3.39)

De acordo com Macintyre1, este tipo de rendimento varia de 0,50 em bombas

pequenas até 0,90 em bombas grandes, bem projetadas e com fabricação

esmerada. No projeto, admitem-se valores de rendimento hidráulico entre 0,85 a

0,88. Segundo Pfleiderer3, este tipo de rendimento pode variar entre 0,85 e 0,93.

Não pode ser obtido por ensaios, devendo ser calculado a partir do

rendimento total tη , pela eliminação das perdas que não são de pressão.

3.5.2. Rendimento do difusor ou do injetor do rotor dη

Este tipo de rendimento caracteriza as perdas que ocorrem no rotor durante a

transformação da energia de velocidade em energia de pressão. É dado por:

utilizadacinéticaenergiarotornoganhapressãodeenergiad =η (3.40)

3.5.3. Rendimento volumétrico vη

É a relação entre a vazão de descarga dQ que efetivamente sai da bomba

para a tubulação de recalque e a vazão de sucção sQ na entrada da bomba.



53

s

dv Q

Q=η (3.41)

A diferença entre as vazões de sucção sQ e de descarga dQ representa o

somatório de todas as perdas volumétricas internas e externas da bomba.

3.5.4. Rendimento mecânico mη

É a relação entre a potência de elevação eP e a potência motriz mP .

m

e

m

em H

H

W

W==

η (3.42)

Macintyre1 considera que o rendimento mecânico varia de 0,92 a 0,95 nas

bombas modernas, correspondendo os valores maiores às bombas de maior

dimensão. Por sua vez, Pfleiderer3 estabelece que este rendimento possa chegar a

0,99 e recomenda que estes números sejam considerados apenas como

orientativos.

3.5.5. Rendimento total tη

É a relação entre a potência útil uW e a potência motriz mW . Alguns autores

designam por rendimento global (overall efficiency ).

m

u

m

ut H

H

W

W==

η (3.43)

Para grandes bombas centrífugas, este rendimento ultrapassa 0,85. Naspequenas bombas, pode cair para menos de 0,40, dependendo do tipo e das

condições de operação. Uma estimativa razoável é de 0,60 em bombas pequenas e

0,75 em bombas médias. Pode-se também obter valor deste rendimento através da

equação (3.38), onde todas as demais grandezas são obtidas experimentalmente.

Graficamente, o rendimento tη é obtido nas curvas da bomba no ponto de

trabalho ou operação.



54

Na figura 3.5, procura-se mostrar de forma mais clara os diferentes

rendimentos vistos, aplicados ao conjunto bomba-motor elétrico. Os pontos 4 e 5

são, respectivamente, a entrada e saída da bomba. O ponto 1 representa a entradade potência elétrica no motor.

Figura 3.5 – Rendimentos considerados no conjunto motor-bomba.

• rendimento do motor:1

2me

W

W

=η (3.44)

• rendimento mecânico:2

3m

WW

=η (3.45)

• rendimento hidráulico:4

5h

W

W

=η (3.46)

• rendimento da bomba2

5b

W

W

=η ou vhmb η η η η ⋅⋅= (3.47)

• rendimento total:1

5t

WW

=η ou mebt η η η ⋅= (3.48)

3.6. Casos especiais de instalação

3.6.1. Instalações com sifão no recalque

A extremidade da tubulação de recalque pode ser construída em forma de

sifão em dois casos distintos: extremidade livre (caso 1) e extremidade imersa no



55

reservatório (caso 2), conforme mostra a figura 3.6.

Figura 3.6 – Instalação com extremidade de recalque sifonada.

Durante a fase de partida da bomba, até que a água escoe para o interior do

reservatório superior, é preciso considerar a altura estática de recalque dh .

Quando a bomba está em regime, para compensar o “efeito sifão” nos trechos

ABC, a altura estática de recalque a considerar é: 'dh , na boca de saída do tubo

para o caso 1, e ''dh , no nível da água para o caso 2.

3.6.2. Reservatórios fechados

Uma bomba centrífuga pode ser usada para transportar um líquido de um

reservatório de sucção fechado, onde a pressão manométrica é dada por ''manH ,

maior ou menor que a atmosférica, para um reservatório de descarga fechado, onde

a pressão manométrica é dada por 'manH , conforme ilustra a figura 3.7.



56

Figura 3.7 – Reservatórios de sucção e descarga fechados.

As pressões absolutas correspondentes são:

a) reservatório de sucção:

atm''man

''abs HHH += (para atm

''abs HH > ) (3.49)

''vacatm

''abs HHH −= (para atm

''abs HH < ) (3.50)

b) reservatório de descarga:

atm'man

'abs HHH += (3.51)

Aplicando-se a equação da conservação da energia (Bernoulli) entre a

superfície livre do líquido no reservatório inferior, onde se admite velocidade nula, e

a entrada da bomba, vem:



57

s

2ss

s''abs J

g2vp

h0H0 +++=++γ

s

2s

s''abs

s Jg2

vhH

p−−−=

γ (3.52)

Aplicando-se a equação da conservação da energia (Bernoulli) entre a saída

da bomba e a superfície livre do líquido no reservatório superior, vem:

'absdd

2d

bd HJh

g2v

hp

++=+

+

γ

Combinando a equação anterior com as equações (3.21) e (3.52), tem-se:

''abs

'abs

2d

2s

gman HHg2vv

JhH −+

−++= (3.53)

Analisando-se o termo ''abs

'abs HH − da equação (3.53), pode-se concluir que:

a) se atm''abs HH > , tem-se que ''

man'man

''abs

'abs HHHH −=− (3.54)

a pressão atmosférica não terá influência sobre o resultado.

b) se atm''abs HH < , tem-se que ''

man'man

''abs

'abs HHHH +=− (3.55)

''manH tem sinal positivo, a altura manométrica a vencer será maior e a bomba,

evidentemente, consumirá mais energia do que se houvesse pressão auxiliando o

escoamento para a entrada da mesma ( ''manH com sinal negativo).



58

4 Mecanismo de fluxo no rotor da bomba centrífuga

As bombas centrífugas podem ser estudadas e calculadas de acordo comvários métodos. O primeiro, que também é o mais antigo, consiste em considerar

uma representação na qual o rotor teria um número infinito de pás infinitamente

delgadas e, posteriormente, tratar o caso real – número finito de pás com

determinada espessura – por um método de aproximação. O segundo método parte

de uma representação totalmente oposta, ou seja, considera uma pá única no

espaço infinito e trata o caso das pás próximas também por um processo de

aproximação. Este método baseia-se nos resultados obtidos do estudo das asas desustentação dos aviões conduzindo a resultados úteis somente no caso das

máquinas axiais. Outros métodos partem dos processos matemáticos da mecânica

dos fluídos aplicados aos fenômenos de fluxo, desprezando-se ou não o atrito do

fluído.3 Na abordagem que se segue, considera-se apenas o primeiro método -

número infinito de pás infinitamente delgadas – com posterior aproximação para o

caso real.

O modo como se vai abordar um problema da mecânica dos fluidos depende,obviamente, do tipo de resultado que se quer. Quando se deseja obter valores

médios de vazão, torque de eixo ou potência transferida ao fluido, uma formulação

de volume de controle fixo integral se mostra como uma alternativa mais conveniente

para o caso de turbomáquinas. Entretanto, quando se deseja identificar detalhes do

escoamento no interior do rotor como, por exemplo, campo de pressão local no

intuito de avaliar possível cavitação, uma abordagem diferencial é mais

recomendável.

4.1. Movimento absoluto e relativo

Seja considerado o fluxo através de um rotor radial, mostrado na figura 4.1,

admitindo um número infinito de pás infinitamente delgadas. O fluxo visto por um

observador solidário ao rotor e que se move com este, é completamente diferente

daquele visto por um observador externo parado em relação ao rotor. O primeiro vê

uma partícula de fluído movimentando-se em uma trajetória definida pelo vetor



59

velocidade relativa w

, enquanto o segundo percebe a trajetória desta mesma

partícula segundo o vetor velocidade absoluta c

.

Os seguintes sub-índices são aplicados aos componentes geométricos e

cinemáticos da figura 4.1:

0 - lado da sucção, imediatamente antes da entrada do canal das pás do rotor;

1 - lado da sucção, na entrada do canal das pás do rotor;

2 - lado da pressão, na saída do canal das pás do rotor;

3 - lado da pressão, imediatamente após a saída do canal das pás do rotor.

A utilização de dois índices diferentes para cada aresta da pá é necessária,

pois ocorre uma mudança de estado do fluxo na passagem do rotor ao espaço

exterior, como será visto posteriormente. Nas posições 0 e 3, o fluxo é dito não

perturbado , enquanto nas posições 2 e 3 o mesmo é chamado de congruente às

pás.

Figura 4.1 – Representação das velocidades no rotor radial de uma bomba.

Fonte: Pfleiderer 3 (com adaptações)



60

A velocidade absoluta c

resulta da adição vetorial da velocidade relativa w

e

da velocidade tangencial u , formando um paralelogramo cuja área define o módulo

da velocidade absoluta c

. Estas três velocidades formam também, os lados de um

triângulo, representados nas figuras 4.2a e 4.2b.

(a) lado da sucção (b) lado da pressão

Figura 4.2 – Triângulo de velocidades no rotor.

Pode-se considerar as linhas de corrente congruentes com as pás e o fluxo

como sendo unidimensional, em vista de se estar considerando um número infinito

de pás infinitamente delgadas. A trajetória das partículas fluídas tem a forma da pá

AB na figura 4.1. O início da pá está, portanto, no caso de entrada sem choque, na

direção da velocidade relativa de entrada, ou seja, na direção de 1w , formando o

ângulo 1 β com a direção tangencial 1u . As direções da velocidade relativa e da

extremidade da pá coincidem também na aresta de saída, pois o fluxo deixa o canal

das pás tangencialmente à sua extremidade. Isto termina fazendo um ângulo 2 β

igual ao da velocidade relativa de saída 2w com a direção tangencial 2u .3

A trajetória descrita por uma partícula fluída vista por um observador parado

nas proximidades da máquina, ou seja, seu movimento absoluto AB’ na figura 4.1,

começa na direção da velocidade absoluta 1c com o ângulo 1α e termina na saída

na direção da velocidade absoluta 2c com o ângulo 2α . Quando a partícula fluída

alcança o ponto B do rotor, ela estará, na realidade, no ponto B’ com relação ao

ambiente. Assim, o arco de círculo BB’ é a trajetória que o ponto B do rotor percorre



61

durante o tempo t que a partícula fluída leva para ir de A até B, de maneira que o

ângulo central ϕ do arco de círculo BB’ é igual a tω no caso de velocidade angular

ω constante.3

É interessante observar, a partir da definição dos ângulos α e , que o

ângulo , nesta idealização do escoamento, está fixado a partir do momento em

que se define a curvatura das aletas, isto é, projeto mecânico do rotor, desde sua

entrada até sua saída. O ângulo α , por seu lado, é função das características

operacionais da bomba (rotação e vazão, entre outras). Isto é, se há variação de

rotação da bomba, há variação do ângulo α , pois a alteração velocidade tangencial

u do rotor altera o triângulo de velocidades. O mesmo ocorre se a vazão da bomba é

alterada, abrindo-se ou fechando-se uma válvula do sistema de bombeamento ao

qual a bomba está conectada, por exemplo. Como a vazão está relacionada com a

magnitude da velocidade absoluta do fluido, ela também impõe variações nos

triângulos de velocidades quando é alterada.

Dos triângulos de velocidade da figura 4.2, tem-se as componentes da

velocidade absoluta nas direções radial,m

c , e tangencial,u

c , em relação ao rotor,

desprezando-se os índices de posição. Cada componente tem importante função no

processo de conversão de energia do fluído no rotor. Assim, a componente

tangencial uc está relacionada à energia específica trocada entre o rotor e o fluído

enquanto a componente radial mc , também conhecida como componente meridiana,

está relacionada ao processo de descarga no rotor, ou seja, vinculada à vazão da

máquina por meio da equação da continuidade.

Sabe-se que vazão é mcAQ = . Pela condição de obtenção da equação da

continuidade, a componente meridiana mc da velocidade absoluta c deve ser

sempre perpendicular à área A.

Para as máquinas radiais, figura 4.3a, a componente meridiana possui a

direção radial enquanto a área de passagem A, desprezando a espessura das pás,

corresponde à superfície lateral de um cilindro, ou seja:

bDA π = (4.1)



62

onde:

D = diâmetro do rotor na secção considerada;

b = largura do rotor na secção considerada.

(a) rotor radial (b) rotor axial (c) rotor de fluxo misto

Figura 4.3 –Área de passagem da corrente fluida através dos diversos tipos de rotores.

Para as máquinas axiais, figura 4.3b, a componente meridiana tem a direção

do eixo do rotor e a área de passagem é a superfície de uma coroa circular

calculada por:

( )2i

2e DD

4A −=

π (4.2)

onde:

De = diâmetro exterior do rotor;

Di = diâmetro interior do rotor.

Já, nas máquinas diagonais ou de fluxo misto, figura 4.3c, a componente

meridiana encontra-se numa direção intermediária entre a radial e a axial; a área de

passagem corresponde à superfície lateral de um tronco de cone, que pode ser

expressa por:

b2

DDA ie

+= π (4.3)

Da análise dos triângulos de velocidade, podemos obter as seguintes

relações trigonométricas, válidas tanto para a entrada quanto para a saída do rotor:



63

α cosuc2ucw 222−+= (4.4)

α cosccu = (4.5)

β wsencm = (4.6)

α csencm = (5.2)

α tancc um = (4.6)

Todas estas observações valem independentemente da forma da superfície

de rotação, na qual as linhas de corrente transcorrem (superfície de fluxo), ou seja,

independentemente de ser a admissão radial ou axial.3

4.2. O conceito de pás ativas e inativas

Para melhor definir o conceito de pás ativas e pás inativas, considera-se um

rotor formado por um disco e uma coroa circular, concêntricos e paralelos, não

dotados de pás, conforme mostra a figura 4.4.

Figura 4.4 – Pás ativas e inativas.Fonte: Macintyre1 (com adaptações)

O rotor tem movimento de rotação constante ω . O líquido escoa livremente com

direção radial ea → , entrando pelo centro e saindo pela periferia do rotor, sem



64

sofrer influência de resistências passivas. Logo, a trajetória natural de uma partícula

do líquido, vista por um observador inercial externo, será aquela definida pelo vetor

velocidade v

, que decresce uniformemente em módulo, de forma a manter a vazãoconstante, já que a área periférica do rotor entre o disco e a coroa circular, dada por

br2π , muda em função do raio. A mesma partícula, referenciada ao rotor descreve

uma trajetória relativa 'ea → , com perfil Ι , cuja forma depende da velocidade

angular do rotor e da velocidade linear v

.

Seja, agora, considerado o mesmo rotor contendo uma pá com o mesmo

perfil Ι dessa trajetória relativa 'ea → . Esta pá não interferirá no escoamento. De

fato, enquanto a partícula segue a trajetória radial ba → , haverá um ponto da pá

que descreverá um arco b'b ; enquanto a partícula percorre o trajeto ca → , haverá

um ponto da pá que descreverá um arco c'c , e assim por diante. Os pontos da pá

apenas alcançam a partícula, mas não modificam sua trajetória. Ao deixar o rotor, o

líquido terá uma velocidade relativa relv

, tangente a pá imaginária que, somada

vetorialmente à velocidade tangencial u

do rotor, dará a velocidade absoluta v

na

direção radial. Diz-se, então que a pá é inativa .

Por sua vez, seja a pá, vista anteriormente, sendo substituída por outra com

perfil ΙΙ , infinitamente delgada e em quantidade infinita, tal que a partícula descreva

uma trajetória segundo "ea → . Neste caso, a trajetória natural não será mais radial

e sim, uma curva tangenciando o perfil ΙΙ , chamada de trajetória forçada . Estas

novas pás não serão mais sem ação. Elas imprimirão às partículas líquidas uma

aceleração em virtude da ação de forças decorrentes do movimento de

arrastamento, forçando-as a mudarem de direção. Na saída do rotor, a partícula teráuma velocidade relativa w

, tangencial a pá, que somada vetorialmente à velocidade

tangencial u

do rotor, fornecerá a nova velocidade absoluta c

. O módulo da

velocidade c

deverá ser superior ao da velocidade v

, já que a componente radial

(meridiana) 2mc terá que igualar-se ao módulo da velocidade v

de maneira a não

haver variação na vazão, que foi assumida constante para esta análise. Por

promoverem tais mudanças, estas pás são chamadas de ativas .



65

4.3. O princípio da quantidade de movimento angular

As bombas centrífugas apresentam um rotor com movimento de rotação puro.Assim, torna-se apropriado discutir o comportamento destas máquinas em função do

torque e do momento da quantidade de movimento.

O trabalho pode ser expresso como o produto escalar de uma força por uma

distância ou pelo produto de um torque por um deslocamento angular. Assim, se o

torque do eixo, ou seja, o torque que o eixo aplica no rotor, e a rotação do rotor

apresentam o mesmo sentido de giro, a energia é transferida do eixo para o rotor e

do rotor para o fluido, caracterizando a máquina como uma bomba. Considere omovimento de uma partícula fluida no rotor mostrado na figura 4.1. Admite-se, para

efeito de simplificação de análise, que a partícula entra no rotor somente com

velocidade radial, ou seja, sem componente tangencial. Após ter sofrido a ação das

pás, durante sua passagem da seção de entrada (1) para a de saída (2), a partícula

sai do rotor com uma velocidade absoluta c que apresenta componentes na direção

radial mc , também conhecida como componente meridiana da velocidade absoluta,

e tangencial uc . Nesta condição, o momento da quantidade de movimento dapartícula em relação ao eixo na seção de entrada do rotor é nulo, porém, com

momento da quantidade de movimento não nulo em relação ao eixo na seção de

saída do rotor.

O princípio da quantidade de movimento angular, ou momento da quantidade

de movimento linear, para um sistema inercial é:

sistemadtd

Φ=Τ

(4.7)

onde Τ

é o torque total exercido sobre o sistema pela sua vizinhança e Φ

é a

quantidade de movimento angular do sistema, dada por:

∫∫ ∀

∀⋅×=⋅×=Φ)sistema()sistema(M

dcrdmcr ρ

(4.10)

sendo:



66

=r

vetor posição que localiza cada elemento de massa ou volume do sistema com

respeito ao sistema de coordenadas adotado;

=c vetor velocidade absoluta;

=∀ volume da partícula de fluído;

=m massa da partícula de fluído.

Todas as quantidades na equação de sistema devem ser formuladas com

respeito ao referencial inercial.

O torque Τ

aplicado a um sistema pode, então, ser escrito da seguinte forma:

( ) ∫ ⋅×+×+Τ=Τ)sistema(M

seixo dmgrFr

(4.11)

onde sF

é a força de superfície exercida sobre o sistema.

A relação entre as formulações de sistema e de volume de controle fixo é:

Adcdtdt

dSCVC

sistema

⋅+∀

∂

∂=

Ψ

∫∫ ρ ψ ρ ψ

onde ∫=Ψ)sistema(M

sistema dmψ

e

VC = volume de controle

SC = superfície de controle

A grandeza Ψ representa qualquer uma das propriedades extensivas dosistema e ψ é o seu correspondente, representando uma propriedade intensiva

qualquer, ou seja, uma propriedade extensiva Ψ por unidade de massa.

Fazendo Φ=Ψ

, então cr

×=ψ . Logo:

Adccrdcrtdt

dSCVC

sistema

⋅×+∀×∂

∂=

Φ

∫∫ ρ ρ (4.12)



67

Combinando as equações (4.7), (4.11) e (4.12), obtém-se:

( ) Adccrdcrt

dmgrFrSCVC)sistema(M

seixo

⋅×+∀×

∂

∂=⋅×+×+Τ

∫∫∫ρ ρ

Considerando que o sistema e o volume de controle coincidem no tempo 0t ,

tem-se que VCΤ=Τ

e, portanto:

( ) Adccrdcrt

dmgrFrSCVCVC

seixo

⋅×+∀×

∂

∂=⋅×+×+Τ ∫∫∫ ρ ρ (4.13)

A equação (4.13) é uma formulação geral do princípio da quantidade de

movimento angular para um volume de controle inercial e estabelece que o momentodas forças superficiais e das forças de campo, mais o torque aplicado, levam a uma

variação na quantidade de movimento angular do escoamento. O termo esquerdo da

equação expressa todos os torques que atuam sobre o volume de controle. No

termo direito da equação, o primeiro membro expressa a taxa de variação da

quantidade de movimento angular dentro do volume de controle, enquanto o

segundo membro, a taxa líquida de fluxo da quantidade de movimento angular

atravessando a superfície do volume de controle. 2

As forças superficiais devem-se ao atrito e à pressão, a força de campo

resulta da ação da gravidade, o torque aplicado pode ser positivo ou negativo e a

variação na quantidade de movimento angular pode aparecer como variação na

quantidade de movimento angular no interior do volume de controle ou como fluxo

de quantidade de movimento angular através da superfície de controle.2

4.4. A equação de Euler para o caso das bombas centrífugas

Para análise da bomba centrífuga, torna-se conveniente escolher um volume

de controle fixo englobando o rotor, a fim de avaliar o torque no eixo. Como se

consideram volumes de controle para os quais são esperados grandes torques de

eixo, são assumidas as seguintes premissas:



68

1. a força de campo gravitacional ∫ ⋅×VC

dmgr

pode ser desprezada; em máquinas

rotativas, a força centrífuga é muitas vezes maior que a força gravitacional;2. as partes mecânicas apresentam deformação desprezível, ou seja, a robustez

construtiva desses equipamentos implica em uma variação de volume ∀d

desprezível no interior da máquina, tornando nulo o membro ∀×∂

∂

∫ dcrt VC

ρ

;

3. o momento angular das forças superficiais é desprezível, ou seja, o momento

aplicado no eixo da bomba é muitas vezes superior ao momento resistivo sFr

×

produzido pelas forças superficiais sF

;

4. o escoamento é permanente e uniforme em cada secção (0) e (3).

Eliminando-se, portanto, da equação (4.13), os termos acima desprezados,

obtém-se:

AdccrSC

eixo

⋅×=Τ ∫ ρ (4.14)

A equação (4.14), equação de Euler, estabelece que, no caso de bombas

centrífugas, com realização de trabalho sobre o fluído, o torque produzido deve-se a

uma variação na quantidade de movimento angular do mesmo.

A equação de Euler pode ser escrita na forma escalar. Considere-se o

diagrama de velocidades de uma partícula no rotor, esquematizado na figura 4.1, e

as velocidades apresentadas na figura 4.5, que mostra um volume de controle fixo

delimitado pelos círculos tracejados (0) e (3) englobando um rotor genérico de umabomba.

O sistema de coordenadas fixas é escolhido com o eixo “z” alinhado com o

eixo de rotação da máquina. O fluído entra no rotor em (1) com velocidade absoluta

uniforme 1c e sai em (2) com velocidade absoluta 2c .



69

69

Figura 4.5 – Volume de controle fixo e velocidades para análise de quantidade de movimento angular.

Integrando-se a equação (4.11), para escoamento uniforme entrando no rotorna secção (1) e saindo na secção (2), vem:

k)AccrAccr(Adccr 11m1u122m2u2SC

eixo ρ ρ ρ −=⋅×=Τ ∫

(4.15)

Aplicando a conservação de massa ao volume de controle, tem-se que:

0Adc0Adcdt SCSCVC

=⋅⇒=⋅+∀∂

∂

∫∫∫

ρ ρ ρ

Logo: mAcAc 11m22m== ρ ρ

Assim, a equação (4.12) fica:

km)crcr( 1u12u2eixo

−=Τ (4.16)

onde m é a vazão mássica. Portanto, o fluxo líquido de quantidade de movimento

angular através de uma superfície de controle é igual ao torque no eixo.



70

A forma escalar da equação (4.16) é dada por:

m)crcr( 1u12u2eixo−=Τ (4.17)

A equação (4.17) é a relação básica entre torque e momento da quantidade

de movimento para todas as turbomáquinas e é comumente chamada de equação

de Euler das turbomáquinas .2 As velocidades que aparecem na equação são as

componentes tangenciais das velocidades absolutas do fluído cruzando as

superfícies de controle. Tais velocidades são admitidas como positivas quando no

mesmo sentido das velocidades tangenciais “u” da pá e fornecem 0eixo >Τ para

bombas centrífugas.A taxa de trabalho realizado (potência de elevação) por um rotor de uma

bomba sobre um fluído é dada pelo produto escalar da velocidade angular ω do

rotor pelo torque aplicado no eixo eixoΤ

. Aplicando na equação (4.16), vem:

km)crcr(kkkW 1u12u2eixoeixoe

−⋅=Τ⋅=Τ⋅= ω ω ω

Assim, tem-se que a potência de elevação eW é:

m)crcr(W 1u12u2eixoe

−=Τ⋅= ω ω (4.18)

De acordo com a equação (4.18), a adição de trabalho de eixo aumenta o

momento da quantidade de movimento do fluído, no caso de uma bomba. Segundo

Pfleiderer3, a grandeza )crcr( 1u12u2 − representa o aumento do vórtice ucr no rotor.

Existem outras duas formas úteis de se apresentar a equação (4.18):

• introduzindo a velocidade tangencial u do rotor, conforme figura 4.5:

m)cucu(W 1u12u2e

−= (4.19)

• dividindo por gm , obtendo uma quantidade com as dimensões de comprimento

que pode ser entendida como a altura motriz de elevação, vista em 3.2.6:

)cucu(g1

gmW

H 1u12u2e

e −==

(4.20)



71

As equações (4.18), (4.19) e (4.20) mostram que somente as diferenças urc∆

e uuc∆ entre as secções de entrada e saída do rotor são importantes na

determinação do torque aplicado ao rotor ou da potência motriz. Nenhuma restrição

geométrica é feita, mesmo com 12 rr > .

A equação da conservação da energia para um volume de controle integral é

dada por:

∫∫ ⋅+∀∂

∂=−

SCVCe Adcede

tWQ

ρ ρ (4.21)

onde Q é o calor transferido ao fluido por unidade de tempo, eW é o trabalho

realizado no volume de controle por unidade de tempo (potência de elevação) e “e”,

a energia específica total, definida como sendo:

outraspotencialcinéticaernaint eeeee +++= (4.22)

A potência de elevação compreende a potência útil, a potência de

escoamento, isto é, aquela associada ao trabalho de escoamento, e a potência

dissipada no trabalho viscoso. O trabalho útil, como o nome explicita, é aquele que amáquina efetivamente torna disponível, através de um eixo girante. O trabalho de

escoamento resulta do escoamento do fluido através de um campo de pressão; o

trabalho viscoso resulta da ação das tensões cisalhantes e normais, originadas pela

viscosidade do fluido. Então:

ocosvisescoamentoue WWWW ++= (4.23)

onde:

∫∫ ⋅+∀∂

∂=

SCVCescoamento Adcede

tW

ρ ρ (4.24)

∫ ⋅⋅−=SC

ocosvis AdcW τ (4.25)

O cálculo do trabalho viscoso é bastante complexo. As tensões viscosas

estão representadas pelo tensor viscoso τ

e a integral na superfície de controle é



72

aplicada ao produto escalar do tensor viscoso com o vetor velocidade absoluta do

escoamento c

⋅τ . Entretanto, como as tensões viscosas se subdividem em tensões

normais normalτ e tensões cisalhantes cisalhanteτ , pode-se utilizar o artifício deselecionar um volume de controle apropriado, tal que a superfície de controle seja

sempre normal ao vetor velocidade do escoamento c

. Desta forma, somente o

produto escalar da velocidade com a componente normal do tensor viscoso não se

cancela. Porém, como a componente normal do tensor viscoso é normalmente muito

pequena se comparada à pressão termodinâmica do escoamento, a integral na

superfície de controle do produto escalar cnormal

⋅τ é desprezível frente aos outros

termos da equação como, por exemplo, o termo do trabalho de escoamento. Pode,

portanto, sem desconsiderada nos cálculos, sem qualquer erro apreciável.

Figura 4.6 – Superfície de controle, vetor velocidade absoluta e tensões normal e cisalhante.

Utilizando a definição de potência de elevação da equação (4.23), a equação

de conservação da energia (4.21) pode ser reescrita como:

∫∫∫∫ ⋅+∀∂

∂=⋅⋅+⋅⋅+−

SCVCSCtocisalhamen

SCnormalu Adcede

tAdcAdcWQ

ρ ρ τ τ

Adicionando-se o trabalho específico interno υ p à energia específica e:

( )∫ ⋅+=−SC

u AdcpeWQ

ρ υ (4.26)

desprezível zero zero



73

Da equação (4.22), consideram-se somente as energias interna, cinética e

potencial. Outras formas de energia tais como nuclear, magnética, etc, não são de

interesse para o presente estudo. Assim, a equação (4.26) assume a forma:

∫ ⋅

+++=−

SC

2

u Adcpgz2c

uWQ

ρ υ (4.27)

Da termodinâmica, sabe-se que a entalpia específica h é dada por:

υ puh += (4.28)

Substituindo (4.28) em (4.27), vem:

∫ ⋅

++=−

SC

2

u Adcgz2

chWQ

ρ (4.29)

Integrando a equação (4.29) ao longo do volume de controle da figura 4.5,

vem:

1

2

2

2

u gz2c

hmgz2

chmWQ

++−

++=− (4.30)

No caso de bombas centrífugas, os processos ocorrem sem variação

apreciável de energia interna. Assim, na equação (4.30), somente a variação de

pressão é considerada, ou seja:

( )

−+

−+−=− 12

21

22

12u zzg2

cchhmWQ

( )

−+−+−+−=− 12

21

221212u zzg

2cc)pp()uu(mWQ υ

Logo:

( )

−+

−+−=− 12

21

22

12u zzg2

cc)pp(mWQ υ , ou ainda:

desprezível



74

( ) gmzzg2cc

g)pp(

WQ 12

21

2212

u

−+

−+

−=−

ρ (4.31)

A equação (4.31) representa a formulação da conservação da energia para

um fluido incompressível, para um volume de controle integral.

Baseado na figura 4.5, pode-se avaliar o valor das componentes 1uc e 2uc

em função das velocidades absolutas 1c e 2c , através da equação (4.5):

111u coscc α = (4.32)

222u coscc α = (4.33)

Substituindo as relações dadas por (4.32) e (4.33) na equação (4.16), do

torque no eixo do rotor da bomba, tem-se:

k)coscrcoscr(m 111222eixo α α −=Τ

(4.34)

ou, em módulo:

)coscrcoscr(m 111222eixo α α −=Τ (4.35)

Com a equação (4.35) pode-se determinar a altura de elevação da bomba,

através de parâmetros do escoamento e dimensões características do rotor.

Portanto, combinando a equação (4.35) com as equações (4.18) e (4.20), vem:

)coscrcoscr(g

H 111222e α α ω

−= (4.36)

As duas idealizações contidas na equação (4.36) serão progressivamente

eliminadas, na medida em que alguns fatores corretivos forem sendo introduzidos na

modelagem, de maneira a aproximar essa formulação ao fenômeno real.

Da análise da equação (4.36), pode-se notar que a energia transferida ao

fluido varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto maior a magnitude

da rotação do rotor, maior é a quantidade de energia transferida ao fluido). Os dois

membros entre parênteses têm sinal invertido; desta forma, suas contribuições à

quantidade de energia transferida são opostas. Assim, a quantidade de energia eH



75

transferida ao fluido será máxima quando o membro negativo for nulo. Isto ocorre

quando o ângulo α1 = 90°. Isso faz com que a velocidade absoluta do fluido, na

entrada do rotor seja perpendicular à direção tangencial. Na prática, devido àsperdas envolvidas no processo de transferência de energia, α1 não é exatamente

igual a 90°. Porém, é próximo desse valor, fazendo com que o termo negativo da

equação (4.36), correspondente ao fluxo de quantidade de movimento angular na

entrada do rotor, seja pequeno quando comparado ao fluxo de quantidade de

movimento angular na saída do rotor. Dessa forma, tem-se:

2u2

222e c

g

ucoscr

g

H == α ω

(4.37)

onde 2u é a velocidade periférica do rotor devido à rotação ω .

Observando a figura 4.2 e a equação (4.37), pode-se notar que quanto maior

a rotação, ou o tamanho do rotor, maior será 2u e que, quanto maior for a

componente tangencial da velocidade absoluta da bomba 2uc , na saída do rotor,

maior a altura de elevação eH .

A equação (4.37) ainda não leva em conta as características operacionais tais

como vazão, nem mesmo aquelas construtivas do rotor, como o valor do ângulo β ,

responsável pela geometria da pá do rotor. Para explicitar esses parâmetros na

equação (4.37), com o auxílio da figura 4.2, pode-se escrever a componente

tangencial 2uc da velocidade absoluta c em função de sua componente normal

2mc , utilizando-se das relações trigonométricas disponíveis:

2

2m2222m sen

cwsenwc β

β =⇒= (4.38)

22m22u2222u gcotcuccoswuc β β −=⇒−= (4.39)

Substituindo a equação (4.39) na equação da altura de elevação ideal (4.37):

( )22m22

222e gcotcug

ucoscr

gH β α

ω −== (4.40)



76

A componente normal 2mc da velocidade absoluta na saída do rotor está

relacionada com a vazão mássica que flui pela bomba, conforme visto

anteriormente. A figura 4.7 apresenta um corte transversal esquemático de um rotorde uma bomba centrífuga. Utilizando-se a equação da conservação da massa e os

dados fornecidos na figura, pode-se escrever que:

22m22m22m22m A

QcAcQAc

mAcm =⇒=⇒=⇒=

ρ ρ

Como 222 br2A π = , tem-se que:

222m br2

Qcπ

= (4.41)

Figura 4.7 – Corte transversal do rotor de uma bomba centrífuga.

Substituindo (4.41) em (4.40), vem:

−= 2

222

2e gcot

br2Q

ug

uH β

π (4.42)

ou,

−=

2222

2e tgbr2

Qug

uH β π

(4.43)

Tendo em vista que 22 ru ω = , as equações (4.42) e (4.43) são interessantes

do ponto de vista prático, pois apresentam, explicitamente, as principais variáveis

operacionais da bomba: vazão, geometria e rotação. Analisando esta equação,

pode-se notar que a altura de elevação recebe uma influência quadrática da

variação de rotação. Nessa formulação simplificada, a altura de elevação varia



77

linearmente com o aumento da vazão. A forma da pá, ditada pelo ângulo 2 β ,

determina a influencia da vazão Q na altura de elevação eH . Se º902 < β , um

aumento na vazão produzirá uma diminuição na altura de elevação; se º902 > β , um

aumento na vazão produzirá um aumento na altura de elevação. Quando º902 = β ,

a vazão não influenciará na magnitude do valor da altura de elevação. A figura 4.8

mostra a relação entre a altura de elevação e a vazão volumétrica da bomba, dados

2r , 2b e ω , para diferentes ângulos 2 β .

Figura 4.8 – Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga.

A curva característica de uma bomba centrífuga é, por definição, a curva que

representa a dependência que existe entre a quantidade de energia idealizada

transferida pela máquina e a vazão do fluido, ou seja, a curva QHe × . Ela se aplica a

uma bomba de características geométricas conhecidas operando com rotação

especificada.

A formulação unidimensional apresentada representa uma simplificação do

fenômeno real e pode ser aplicada no cálculo de sistemas de bombeamento onde se

deseja calcular as grandezas ditas "macro", tais como: o fluxo de massa no sistema

dado o gradiente de pressão, a distribuição de fluxo entre as ramificações de um

sistema complexo, perdas de pressão, ou perdas de carga, em dispositivos

específicos de um sistema, etc. Mas conduz também a bons resultados quando



78

aplicada no projeto de bombas centrífugas, mesmo que o escoamento seja

claramente tridimensional. Somente equipamentos de grande porte, críticos do ponto

de vista operacional e de consumo ou de geração de energia, são projetadosutilizando-se formulações bi ou tridimensionais do escoamento. Um exemplo típico

são as turbinas hidráulicas que têm um projeto individualizado, onde técnicas

modernas utilizam modelos matemáticos sofisticados do escoamento (3D) e

métodos numéricos para a solução do sistema de equações diferenciais resultantes.



79

5 O caso real – número finito de pás com espessura definida

No dimensionamento de bombas, os resultados obtidos com o método vistoaté aqui diferem substancialmente do caso real. Logo, serão demandadas correções

importantes ao se considerar um número finito de pás. O trabalho específico interno,

de elevação, realizado pelas pás sobre o fluído, aplicado ao caso real, não

alcançaria o trabalho específico interno útil desejado, uma vez que diversos

fenômenos causadores de perdas não foram considerados no cálculo pelo número

infinito de pás. Esta diferença decorre de que as distâncias finitas entre as várias

pás causam desigualdade de fluxo ao longo de um círculo paralelo e, assim, o fluxorelativo não acompanha toda a variação de direção prevista pelas pás. A velocidade

relativa w do fluido não é mais tangente às pás, desde a aresta de entrada até a de

saída do rotor. Com isso, os triângulos de velocidade idealizados não representam a

cinemática do escoamento real. Outra questão a ser observada é que o escoamento

real no interior da bomba é tridimensional, e não unidimensional como foi postulado.

Ademais, a distribuição de velocidades, na seção do canal formado por aletas

consecutivas, não é uniforme. Levando-se em consideração a cinemática e a não-

uniformidade do escoamento real no rotor, pode-se especular um coeficiente de

ajuste, na equação fundamental, para se determinar a energia transferida por um

rotor com número finito de aletas.

Antes de partir para a apresentação de um método de correção para o caso

real, faz-se necessária uma melhor compreensão dos fenômenos de escoamento no

rotor que contribuem para uma diminuição em seu trabalho específico interno.

5.1. Escoamento através do rotor

5.1.1. Entrada do rotor e pré-rotação

Para este estudo, é recomendável levar-se em consideração uma parcela da

tubulação de sucção, pois a reação do rotor no escoamento pode se estender a uma

distância considerável da entrada do mesmo. Stepanoff 6 sustenta que a pré-rotação

no tubo de sucção é causada pela tendência do líquido se mover segundo a



80

trajetória de menor resistência em seu caminho até a entrada do rotor. Desta forma,

a entrada do líquido no rotor não se faz radialmente ( º901 =α com 0c 1u = ) e os

filetes líquidos relativos, que deveriam entrar tangenciando as pás, sofrem um desvioem virtude da ação das mesmas se estender até certa distância na boca de sucção.

Como, então, º901 ≠α , haverá uma componente 111u coscc α = agindo no fluxo e

desta forma, o termo subtrativo da equação (4.36) não será mais nulo, diminuindo a

magnitude da altura de elevação eH . O líquido adquire pré-rotação para poder entrar

nas passagens do rotor com um mínimo de perturbação e a direção depende do

ângulo de entrada 1 β , da vazão e da velocidade periférica do rotor, todas as três

contribuindo para a formação do triângulo de velocidades de entrada. A figura 5.1

mostra os triângulos de velocidade para diferentes situações de entrada de líquido

no rotor.

(a) (b) (c)

Figura 5.1 – Triângulos de velocidade na entrada do rotor.(a) entrada radial, (b) pré-rotação na mesma direção, (c) pré-rotação em direção contrária.Fonte: Stepanoff 6 (com adaptações)

Para uma dada rotação do rotor, há somente uma vazão na qual o líquido

entrará radialmente no rotor, ou seja, sem pré-rotação, com componente tangencial

1uc nula e ângulo de entrada do filete líquido muito próximo do ângulo de entrada 1 β

da pá, proporcionando resistência mínima ao escoamento. Esta vazão é definida

como aquela de funcionamento normal ou de projeto do rotor. Para vazões abaixo

da normal, haverá pré-rotação do líquido na direção de rotação do rotor, tal que o

fluxo, na entrada da pá, possa dar-se em um ângulo próximo de 1 β . Para vazões



81

acima da normal, a pré-rotação será na direção oposta à do rotor, necessária para

que o líquido satisfaça a condição de escoamento de menor resistência.

Deve estar claro que a pré-rotação do líquido na entrada do rotor não édevida à ação direta do mesmo, uma vez que este não pode impor rotação de

líquido contrária à sua própria.

Para reduzir o efeito da pré-rotação, melhorando as condições de aspiração,

utilizam-se certos recursos construtivos no projeto da carcaça da bomba e na boca

de entrada. Também se utiliza indutores com rotor helicoidal colocado na

extremidade do eixo antes do rotor, conforme figura 5.2. É senso comum que este

fenômeno deve ser reduzido ao máximo no projeto da bomba.

Figura 5.2 – Bomba Worthington D-1020 com indutor anterior ao rotor.Fonte: Macintyre 1

5.1.2. Distribuição de pressão e de velocidades

Quando o rotor gira com a velocidade angular ω , o fluxo relativo deve girar

com velocidade oposta à do rotor, ou seja, - ω . Na figura 5.3, as velocidades da

turbulência relativa do canal na frente da pá estão no sentido contrário ao da

velocidade relativa imposta pelo rotor e, as no dorso, no sentido desta velocidade.

Isto acarreta pressões mais elevadas na face frontal da pá e pressões mais baixas

em seu dorso devido ao gradiente de velocidades resultantes rw ao longo de uma

trajetória circular entre a face frontal de uma pá e o dorso da pá adjacente. A



82

turbulência relativa é devida ao efeito de inércia das partículas líquidas, sem atrito,

as quais tendem a reter sua orientação espacial adquirindo somente movimento de

translação segundo uma trajetória circular imposta pelo rotor. Adiciona-se a isto, oefeito conjunto da força centrífuga e da força de Coriolis. Este fenômeno é chamado

de circulação relativa .

Figura 5.3 – Circulação relativa dentro do canal do rotor.

Para transmitir potência ao líquido, a pressão na face frontal da pá deve ser

maior do que a pressão em seu dorso. A força exercida pela pá sobre o líquido

recebe uma reação igual e oposta deste e isto somente pode acontecer como uma

diferença de pressão entre os dois lados da pá. O efeito imediato de tal distribuição

de pressão é que as velocidades relativas próximas ao dorso das pás são maiores

do que aquelas próximas à face frontal destas. O triângulo de velocidades da figura

4.2b mostra que, para um dado ângulo de saída 2 β da pá, a altura de elevação será

menor quanto maior a componente radial 2mc da velocidade absoluta 2c , pois a

componente tangencial 2uc diminui. Portanto, se a velocidade relativa 2w no dorso

da pá aumenta devido à diminuição da pressão nesta região, então, menor será

altura de elevação obtida.

Segundo Stepanoff,6 a circulação relativa é menor na medida em que se

aumenta o número de pás. Logo, a altura de elevação será maior. É razoável se

admitir que a circulação relativa seja menor em rotores mais estreitos. A superfície



83

de atrito das faces do rotor tem um efeito decisivo em suprimir a circulação relativa

dentro do canal do rotor e em impor movimento de rotação ao líquido, desse modo,

aumentando a componente tangencial 2uc da velocidade absoluta 2c .

5.1.3. Efeito do ângulo real de descarga

Um estudo dos triângulos de velocidade da figura 5.4 revela que a circulação

relativa do líquido dentro dos canais do rotor tem o efeito de diminuir o ângulo de

descarga de líquido de 2 β para '2 β . O ângulo de entrada 1 β , por sua vez, é

aumentado para '1 β , permitindo maior pré-rotação do que o indicado pelo triângulo

de velocidade de Euler.

(a) triângulo de velocidades de entrada (b) triângulo de velocidades de saída

Figura 5.4 – Ângulos de entrada e saída, reais e teóricos.Fonte: Stepanoff 6

Com líquidos reais, a potência não pode ser aplicada pela pá se o líquido se

mover segundo uma trajetória de mesmo ângulo relativo 2 β daquela. Neste caso, o

líquido se moveria para fora do canal com a mesma velocidade em que a pá se

arrasta em distâncias radiais enquanto gira. Uma pá deve se mover mais rápido do

que a velocidade de escoamento do líquido de maneira a exercer uma força sobre

este, na mesma direção. Em outras palavras, a pá deve ter uma ação de impulso .



84

5.1.4. Parte não ativa da pá

A diferença de pressão entre as duas faces da pá desaparece nas bordas deentrada e saída da mesma, onde as correntes dos canais adjacentes se encontram.

Isto significa que parte da pá não é ativa.

Stepanoff 6 cita as pressões nas pás medidas por Uchimaru, conforme figura

5.5, as quais mostram que a diferença de pressão entre as faces frontal e do dorso

tem um máximo próximo da entrada do canal e diminui tendendo a zero na saída do

canal. Tal distribuição de pressão em bombas reais não implica em nenhuma perda

adicional; simplesmente significa que cada pá pode somente transmitir uma parcelafixa de energia que é menor do que aquela dada pela Equação de Euler.

Figura 5.5 – Distribuição de pressão dentro do canal do rotor – (teste de Uchimaru). Fonte: Stepanoff 6

5.1.5. Carga teórica com velocidade radial não uniforme

A distribuição de velocidade radial ao longo de uma secção transversal do

rotor, conforme figura 5.6, não é uniforme. Segundo Stepanoff,6 sob tais condições,

a altura de elevação teórica desenvolvida pelo rotor será menor do que aquela

calculada com base em uma velocidade radial média.



85

Figura 5.6 – Distribuição da velocidade radial na saída do rotor. Fonte: Stepanoff 6

Partindo da equação (4.43), Stepanoff concluiu que a altura teórica de

elevação calculada com base em uma distribuição de velocidades linear como

mostrada na figura 5.6 é:

( )

−+−=

2m

212

2

m22

2e

c12

cc1

gtgcu

gu

H β

(5.1)

Comparando as equações (4.43) e (5.1) pode-se notar que o termo subtrativo

da equação (5.1) é superior ao termo subtrativo da equação (4.43). Isto leva aconclusão de que se for considerada uma variação de velocidade radial ao longo da

secção transversal do rotor, ao invés de uma velocidade radial média, ter-se-á uma

menor altura de elevação teórica. Quanto maior a diferença entre as velocidades

radiais, maior será a diferença na altura de elevação. Para qualquer outra relação

entre a velocidade radial mínima e máxima que não a linear apresentada, o

significado da expressão permanecerá o mesmo, ainda que o fator de correção

mude em sua magnitude.

5.1.6. A influência da espessura das pás

As pás do rotor em sua entrada possuem uma espessura apreciável, em

geral, se adelgaçando em direção ao bordo de saída. Isto produz uma diminuição na

secção de escoamento, provocando aumentos nas velocidades absoluta e relativa.

Isto provoca perdas de energia, uma vez que estas crescem com a velocidade.

Portanto, a velocidade na entrada do rotor é superior à velocidade que o líquido



86

possui imediatamente antes de atingir os bordos das pás. Isto leva ao conceito de

um coeficiente de contração que será visto adiante.

Após esta análise geral dos fenômenos que induzem perdas no trabalhoespecífico interno desenvolvido pelo rotor, passa-se a analisar os meios de correção

dos cálculos teóricos, levando-se em conta os fenômenos acima discutidos.

5.2. Correção devido ao rotor com número finito de pás

A formulação apresentada no capítulo 4 foi desenvolvida com base em duas

hipóteses muito fortes, quais sejam:

a. consideração de que haviam infinitas pás infinitamente delgadas no rotor;

b. todas as perdas envolvidas no processo de transferência de energia ao fluido

eram desprezíveis.

Conforme já visto, a primeira conseqüência do rotor possuir um número finito

de pás é que a velocidade relativa w do fluido não é mais tangente à pá, desde a

aresta de entrada até a de saída do rotor. Com isso, os triângulos de velocidade

idealizados não representam a cinemática do escoamento real. Portanto, aformulação teórica não expressa de forma adequada o processo de transferência de

energia no interior do rotor. Outra questão a ser observada é a de que o escoamento

real no interior da bomba é tridimensional, e não unidimensional como foi postulado.

Ademais, a distribuição de velocidades, na seção do canal formado por aletas

consecutivas, não é uniforme. Levando-se em consideração a cinemática e a não-

uniformidade do escoamento real no rotor, pode-se especular um coeficiente de

ajuste, na equação fundamental, para determinar a energia transferida por um rotorcom número finito de aletas.

A figura 5.7 ilustra de forma bastante simples a trajetória relativa do fluido,

teórica e real, ao longo de duas pás consecutivas. No escoamento teórico (infinitas

pás), a velocidade relativa w é sempre tangente à pá, para qualquer posição radial.

No caso real, isso não ocorre, o que é evidenciado na saída do rotor, onde a

velocidade relativa apresenta uma defasagem em relação à angulação teórica, ou

seja, teórico2real2 β β < .



87

Figura 5.7 – Movimentos relativo, teórico e real no rotor de uma máquina de fluxo.

No movimento absoluto teórico, caracterizado pela trajetória T, a variação

angular do escoamento é maior quando comparada à variação angular real. No

escoamento real, pás em número limitado não conseguem impor a mesma variação

angular à partícula de fluido que percorre o rotor (observe que a velocidade absoluta

real tem inclinação menos acentuada que a velocidade absoluta teórica, em relação

à velocidade absoluta na entrada do rotor). Com isso, a energia transferida pelo rotor

ao fluido é menor em um escoamento real. Como foi mencionado anteriormente, oescoamento no rotor apresenta um perfil de velocidades não-uniforme devido a

efeitos hidrodinâmicos. Há, também, uma defasagem do campo de velocidades real

em relação ao teórico devido a efeitos da força de Coriolis.

5.2.1. Aresta de pressão ou lado de descarga do rotor

Com número finito de pás, o triângulo de velocidades 222 CBA , que foi

deduzido para o fluxo congruente com número infinito de pás, se transforma no

triângulo de velocidades 22'2 CBA , conforme mostra a figura 5.8. Os vértices 2A e

'2A dos triângulos situam-se em uma paralela a 2u porque, devido à continuidade do

fluxo, o componente 2mc deve permanecer igual. A redução de potência em bombas

aparece devido à redução do componente tangencial '2u2u

'22 ccAA −= , ou seja,



88

devido a uma diferença entre o ângulo de saída da pá e o ângulo de saída formado

pelos filetes de corrente líquida, '22 β β − , ou seja, '

realteórico β β − da figura 5.7.

Figura 5.8 – Diagrama de velocidades – rotor com número finito e infinito de pás.

Deve-se considerar também, que juntamente com o número finito de pás, vem

o aumento da espessura das mesmas que acaba por estreitar o canal de saída do

rotor alterando o perfil de velocidades. Seja a figura 5-9, sendo k o número de pás

do rotor.

Figura 5.9 – Grandezas de espessura da pá na aresta de pressão.

O comprimento do arco de circunferência entre duas pás sucessivas é:

k

D2

2

π ϕ = (5.2)



89

A espessura da pá, medida na direção tangencial é:

2

22

sen

s

β

σ = (5.3)

onde 2s é a espessura da parede da pá.

A componente meridiana 3mc da velocidade absoluta fora do rotor será menor

do que a componente meridiana 2mc na saída do rotor e dada por:

2

222m3m cc

ϕ

σ ϕ −= (5.4)

A componente tangencial '2uc não se altera fora do rotor, uma vez que nesta

região não há conjugado disponível para tal. Assim, tem-se que '2u3u cc = .

Desta forma, o triângulo de velocidades 223 CBA define o fluxo no exterior do

rotor. Seu vértice 3A está situado abaixo de '2A , na mesma vertical deste último.

Evidentemente, a mudança de estado de escoamento de '2A para 3A ocorre a certa

distância fora do rotor, a qual não pode ser visualizada no triângulo de velocidades.

5.2.2. Aresta de sucção ou lado de entrada do rotor

Neste caso, é necessário considerar somente a espessura das pás, as quais

reduzem o canal de entrada do rotor. Analogamente, tem-se:

kD1

1π

ϕ = (5.5)

1

11 sen

s β

σ = (5.6)

11

10m1m cc

σ ϕ

ϕ

−= (5.7)

onde 0mc é a componente meridiana da velocidade absoluta do líquido antes de sua

entrada no rotor.



90

Figura 5.10 – Diagrama de velocidades na aresta de sucção.

A figura 5.10 mostra o diagrama de velocidades na aresta de sucção para um

ângulo de fluxo qualquer 0α . Em muitos casos, º900 =α , quando então se temº901 =α , 1u0u cc = , 0m0 cc = e 1m1 cc = .

5.2.3. O método de Pfleiderer para o cálculo da redução de potência

Da figura 5.11 pode-se notar que o ângulo real '2 β é menor que o teórico 2 β ,

enquanto que o ângulo real '2α é maior do que o teórico 2α . Também se pode notar

que a componente tangencial'2uc da velocidade absoluta é menor do que aquela

2uc do triângulo teórico.

Figura 5.11 – Triângulos de velocidades, real e teórico, na aresta de saída do rotor.

Assim, lembrando que a energia específica transferida de uma máquina de

fluxo para o fluido é dada pela equação (4.37), para o caso de uma de uma bomba

com infinitas pás, pode-se escrever que:



91

'2u2

'e cu

g1

H = (5.8)

onde 'eH é a altura de elevação desenvolvida para uma bomba centrífuga,

considerando-se um rotor real, com número finito de pás com espessura s. Com o

objetivo de continuar utilizando a mesma modelagem para rotores de infinitas pás,

define-se um coeficiente do número de pás como sendo a razão entre as

componentes tangenciais das velocidades absolutas, real e teórica:

2u

'2u

cc

= µ (5.9)

Com isso a equação que rege o escoamento em um rotor, considerando um

número finito de pás é dada por:

e'e HH µ = (5.10)

Das equações (4.42) e (5.10), pode-se escrever que:

−=

2222

2'

egcot

br2

Qu

g

uH β

π µ (5.11)

A equação (5.11) apresenta uma relaxação em relação à hipótese,

inicialmente imposta de infinitas pás. Obviamente, como o valor de µ será sempre

0< µ <1, a altura de elevação real 'eH , considerando o caso de um rotor com um

número finito de pás, será sempre inferior à altura de elevação teórica eH , como

mostra a figura 5.12.

A avaliação do valor de µ pode ser feita em laboratório ou por meio de

expressões disponíveis na literatura. Essas expressões são resultado de ensaios em

laboratórios realizados em institutos de pesquisa ou universidades. As expressões

propostas por Pfleiderer são conhecidas. O pesquisador postulou que as condições

operacionais das bombas (vazão, altura de elevação e rotação) não influenciam o

coeficiente do número de pás, sendo este uma função do número de pás k, do



92

ângulo de saída 2 β , e do comprimento das pás L ou, no caso de rotores radiais, da

razão D1 /D2 ou r1 /r2.

Figura 5.12 – Curvas características da bomba: influência do coeficiente do número de pás.

Portanto, o coeficiente do número de pás é uma função apenas de

características geométricas do rotor. Para rotores radiais de bombas, Pfleiderer

propõe:

−

+

=

2

2

1

rr

1k

21

1λ

µ (5.12)

Os valores de λ recomendados são:

• para bombas com difusor de aletas na saída do rotor:

2sen6,06,0 β λ += (5.13)

• para bombas com difusor espiral na saída do rotor e com21

rr

2

1 < e º902 < β :

( )( )2sen6,06,03até1 β λ += (5.14)

• para bombas com difusor espiral na saída do rotor e com21

rr

2

1 > e º902 > β :



93

( )( )

+=

2

1

2 r

rsen12,1até1 β λ (5.15)

Para rotores axiais, tem-se:

Lkr

1

1λ

µ

+

= (5.16)

( )( )2sen12,1até1 β λ += (5.17)

onde r é o raio médio do rotor e L é o comprimento axial da pá.

A título de ilustração, a tabela a seguir mostra o valor do coeficiente do

número de pás µ em função do número de pás k para um rotor radial, de acordo

com a proposição de Pfleiderer.

k 4 6 8 10 12

µ 0,624 0,714 0,768 0,806 0,834

Tabela 5.1 – Variação do coeficiente µ com o número de pás k de um rotor radial.

5.3. Correção devido às perdas hidráulicas

A equação (5.11) representa a altura de elevação desenvolvida por uma

bomba centrífuga considerando um número finito de pás com espessura definida e

desprezando as perdas envolvidas no processo de transferência de energia (perdas

viscosas). Portanto, para se determinar a altura de elevação real, é necessário

contabilizar as perdas hidráulicas oriundas do fato do fluido possuir viscosidade.

Pode-se escrever que:

∑−= J'e

"e HHH (5.18)



94

onde ∑ JH representa a altura de elevação desperdiçada devido às

irreversibilidades presentes no processo de transferência de energia no interior do

rotor. A relação entre a altura de elevação corrigida 'eH com a real "

eH define a

eficiência hidráulica do rotor, ou seja:

'e

J'e

'e

"e

hH

HH

H

H ∑−==η (5.19)

A eficiência hidráulica é, evidentemente, maior que a eficiência total tη da

bomba, pois esta considera ainda as perdas volumétricas e mecânicas. Substituindoa equação (5.11) em (5.19), tem-se:

e

"e

'e

"e

h HH

H

H µ

η == (5.20)

Para facilitar a análise e, conseqüentemente, a determinação das perdas

hidráulicas, é conveniente tratá-las como a superposição de duas parcelas: “perdas

hidráulicas ordinárias ” e “perdas por choque ” na entrada do rotor. Dessa forma é

possível escrever equações apropriadas para cada um dos fenômenos que as

representam. As perdas hidráulicas ordinárias decorrem da dissipação viscosa do

escoamento do fluido nos canais formados pelas pás, difusores e/ou pás diretrizes

de entrada e saída do rotor, e da dissipação viscosa que ocorre na parte posterior do

rotor, denominado de atrito de disco . Como o escoamento turbulento é um regime

usual nas bombas, as perdas hidráulicas ordinárias são proporcionais ao quadrado

da vazão (ou da velocidade) e podem ser expressas por:

21Jh QKH = (5.21)

sendo 1K a constante de proporcionalidade dada em função das características

construtivas e dimensionais da bomba (radial ou axial, acabamento polido ou bruto,

etc.).

As perdas por choque na entrada do rotor requerem uma análise um pouco

mais apurada. Considerando uma bomba convencional, onde º901 =α , e



95

conhecidas a rotação e a vazão, na condição de operação de projeto, o valor do

ângulo de entrada 1 β fica completamente definido. Define-se a vazão de projeto

como sendo Q. Deve-se observar que se a bomba operar sob condições diferentesdas previstas em projeto, ou seja, com vazões ou rotações diferentes, o ângulo 1 β

pode variar, fazendo com que o fluido não entre no canal do rotor tangenciando a

pá. Se a incidência não é tangencial, haverá perturbação no escoamento com a

formação de vórtices, regiões de recirculação, descolamento da camada limite,

formação de espaços mortos, etc, como já visto anteriormente. A dissipação de

energia nos casos em que a entrada de líquido não tangencia a páconstitui o que se

denomina de perda por choque . Não se deve confundir este choque com o choquemecânico entre as moléculas de fluido com a aresta do canal.

São três as possibilidades de escoamento na entrada do rotor, conforme

mostrado na figura 5.13.

(a) (b) (c)

Figura 5.13 – Diferentes ângulos de entrada do líquido no rotor.

(a) 1010 ww =→= β β : não há perda por choque, pois a velocidade relativa étangencial à pá na entrada do rotor;

(b) 1'01

'0 ww >→< β β : o escoamento será acelerado devido à diminuição na

área de entrada (S’ < S); logo, haverá uma aumento na velocidade relativa; a

dissipação de energia que ocorre nesta condição operacional é denominada de

choque de aceleração ; há formação de vórtices, basicamente, na região frontal das

pás;



96

(c) (b) 1"01

"0 ww <→> β β : o escoamento será retardado, pois a seção

transversal do escoamento aumenta (S’ > S) e a velocidade relativa diminui, sendo

denominado de choque de retardamento . Há formação de vórtices, principalmente,

na região dorsal das pás.

As perdas por choque podem ser calculadas por uma expressão do tipo:

2w

H2c

Jc χ = (5.22)

onde 10c www −= e , uma constante de proporcionalidade que varia entre 0,5 e

0,7 dependendo do tipo de choque: aceleração ou retardamento. Uma modificaçãoda equação (5.22) pode ser feita em função da vazão. Com isso, por conveniência,

tem-se que:

( )2t2Jc QQKH −= (5.23)

onde ( )tQQ − representa o desvio da vazão de operação Q em relação a vazão

teórica de projeto tQ , que é a vazão com a qual não há choques na entrada do

rotor. Com as equações (5.21) e (5.23), as perdas envolvidas no processo de

transferência de energia podem, então, ser avaliadas por:

( )2t22

1J QQKQKH −+=∑ (5.24)

5.4. A equação característica real da bomba centrífuga

Com as equações (5.11), (5.18) e (5.24), pode-se, finalmente, avaliar a altura

de elevação real em função da vazão e rotação de projeto, vazão de operação, eparâmetros geométricos do rotor, conforme segue:

( )2t22

1222

22"

e QQKQKgcotbr2

Qu

gu

H −−−

−= β

π µ (5.25)

Para ilustrar a característica real de uma máquina de fluxo dinâmica, a figura

5.14 mostra a curva da altura de elevação real de uma bomba centrífuga

convencional ( º902<

β e º901=

α ).



97

Figura 5.14 – Curva real de uma bomba centrífuga e discriminação das perdas hidráulicas.

Observe que foram traçadas as curvas das duas componentes das perdas

hidráulicas: ordinárias e por choque. É fácil mostrar que a máxima altura de elevação

de uma bomba é desenvolvida para uma vazão Qmax menor do que Qt (vazão teórica

de projeto), quando a entrada do escoamento no rotor se dá sem choque. Ou ainda,

que a vazão Qmín, correspondente à perda hidráulica mínima, também é inferior à

vazão teórica de projeto Qt: basta derivar as curvas correspondentes em relação a Q

e achar os respectivos pontos de derivada nula. Para a curva da figura 5.14, a vazão

de projeto se dá em 31,04m3 /h, ponto em que a perda hidráulica por choque tende a

zero, uma vez que a bomba está operando na condição para qual foi desenvolvida.

Na secção 5.8 será mostrado como levantar essas curvas, bem como determinar os

valores de K1, K2, Q e µ , da equação (5.25), a partir de dados de operação

fornecidos pelo fabricante desse tipo de equipamento.



98

5.5. A escolha do ângulo 2 β e a forma das pás

A curva característica real de uma bomba centrífuga difere substancialmentedas curvas teóricas, qualquer que seja o valor do ângulo 2 β . A curva para º902 < β

apresenta a mesma tendência da curva teórica, ou seja, redução da altura de

elevação na medida em que cresce a vazão. No entanto, as curvas para º902 = β e

º902 > β têm comportamento inverossímil. Na medida em que a vazão aumenta, é

de se esperar que, nos escoamentos reais (viscosos), a energia dissipada (em

perdas hidráulicas, por exemplo) aumente com o quadrado da vazão. Assim, parcela

substancial da potência disponível no eixo é irreversivelmente dissipada e a energiaespecífica transferida não pode, indefinidamente, aumentar ou mesmo se manter

constante com o aumento da vazão.

A influência da magnitude do ângulo 2 β sobre a curva característica da

bomba e sobre as formas construtivas das pás dos rotores, entretanto, deve ser

objeto de análise. As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores com

pás curvadas para trás em relação ao sentido de rotação do rotor, ou seja, º902 < β .

Os valores usuais para 2 β estão por volta dos 30º. Em bombas mais antigas, de

pequena potência e baixa responsabilidade, pode-se ainda encontrar rotores com

pás radiais inteiramente retas, com º9021 == β β . Porém, estão se tornando

raridade, pois só eram fabricados devido à facilidade de execução de sua forma com

meios tecnológicos disponíveis à época.

A figura 5.15 ilustra exemplos de possibilidade construtiva de rotores, com as

pás curvadas para trás ( º902 < β ), com pás curvas radiais na saída do canal

( º902 = β ), com pás curvadas para frente ( º902 > β ) e, finalmente, com pás retas

radiais ( º9021 == β β ). Note que estão, também, representados nessas figuras os

respectivos triângulos de velocidades, nas arestas de entrada e saída do rotor. Os

desenhos foram feitos de modo que a rotação fosse a mesma em todos os rotores

mostrados, bem como os raios de entrada e saída. Também foi mantida constante a

velocidade na direção radial entre entrada e saída de todos os rotores. Isto implica



99

em afirmar que, se a largura do rotor for a mesma para todos os casos, a vazão

descarregada por cada um deles é aproximadamente a mesma. Dessa forma, fica

evidente que quando se compara o escoamento através de cada um dos rotoresmostrados, pás curvadas para frente impõem ao escoamento as maiores

velocidades absolutas 2c na saída do rotor.

Figura 5.15 – diferentes formas de pás no rotor(a) curvada para trás, (b) curvada saída radial, (c) curvada para frente, (d) radial reta

Portanto, se as grandezas geométricas são semelhantes e as características

operacionais tais como vazão e rotação são as mesmas, a maior velocidade 2c

( º902 > β ) é resultado somente da curvatura da pá. Quanto maior a velocidade,

maior a dissipação viscosa do escoamento, implicando em menor eficiência no

processo de transferência de energia do rotor ao líquido na bomba. Conclui-se,

então, que da potência disponível no eixo da bomba, uma parcela bastante

considerável será dissipada em perdas hidráulicas se o rotor tiver º902 > β .



100

5.6. O grau de reação

O grau de reação de uma bomba centrífuga é um conceito intimamente

relacionado com a forma e curvatura das pás, bem como com a eficiência do

processo de transferência de energia que se processa no interior do rotor.

A altura de elevação da bomba pode ser expressa em termos de variáveis do

escoamento nas regiões de entrada e saída do rotor, definindo-se um volume de

controle que o envolva (vide figura 4.5). Aplicando a 1ª lei da termodinâmica a este

volume de controle, tem-se que:

b

21

2212

e hg2cc

gpp

H +−

+−

= ρ

(5.26)

onde p representa a pressão, c a velocidade absoluta e bh representa da diferença

média de cota entre entrada e saída do rotor. Porém, qualquer que seja a

configuração de montagem da bomba (e do rotor), com eixo vertical ou horizontal, o

termo pode ser desprezado. A altura de elevação teórica infinita é então reescrita daseguinte forma:

cEp

21

2212

e HHg2cc

gpp

H ∆∆ +=−

+−

= ρ

(5.27)

sendo pH∆ a energia específica transferida sob a forma de variação de pressão e

cEH∆ a energia transferida sob a forma de variação de energia cinética. Dividindo-se

todos os termos da equação acima por eH e rearranjando, tem-se:

e

cE

e

p

H

H1

H

H ∆∆−= (5.28)

A razão ep HH∆ é denominada grau de reação da bomba centrífuga.

Representa a fração da energia total que é transferida no rotor sob a forma de

variação de pressão. Pode-se desenvolver mais a equação do grau de reação e

expressá-lo em termos de características geométricas do rotor:



101

e

21

22

e

p

gH2cc

1H

H −−=

∆ (5.29)

Trabalhando os termos das velocidades absolutas com a relação de

Pitágoras, tem-se:

21u

21m

22u

22m

21

22 cccccc +−+=− (5.30)

Para rotores convencionais, com º901 =α , tem-se que 0c 1u = . Logo:

21m

22u

22m

21

22 ccccc −+=− (5.31)

No projeto de rotores das bombas é usual adotar-se, como critério, a

igualdade das velocidades radiais, ou meridianas, na entrada e saída do rotor, isto é,

2m1m cc = , de forma a atender ao critério de conservação de massa. É o que

comumente se denomina "manter a velocidade meridional constante ". Se este

critério é considerado, a equação (5.32) assume a forma:

22u

21

22 ccc =− (5.32)

Substituindo a equação (5.32) na equação (5.29), tem-se:

e

22u

e

p

gH2c

1H

H−=

∆ (5.33)

ou ainda:

−=

∆

22

2m

e

p

tguc

121

H

H

β (5.34)

Da análise da equação (5.34), pode-se concluir que quanto menor o ângulo

2 β , maior será a fração da energia específica transferida como incremento de

pressão ao escoamento, isto é, maior será o grau de reação da bomba. Em

contrapartida, quanto maior 2 β , maior será a fração da energia transferida como

variação de energia cinética. Neste caso, têm-se maiores velocidades do

escoamento na saída do rotor, o que implica em maiores perdas viscosas e menor

eficiência do equipamento, como já foi discutido. O grau de reação de uma máquina



102

de fluxo está assim associado à forma do rotor e à eficiência no processo de

transferência de energia. A tabela 5.2 apresenta os graus de reação para três

condições gerais para o ângulo 2 β .

Ângulo de saída 2 Grau de reação ep HH∆

< 90º > 1/2= 90º = 1/2> 90º < 1/2

Tabela 5.2 – Grau de reação da bomba em função do ângulo 2 β .

O conceito do grau de reação é utilizado, inclusive, para classificar máquinas

de fluxo. Uma máquina de fluxo é dita "de reação " se o seu grau de reação é maior

do que zero, isto é, se a pressão de saída do escoamento é maior que a pressão de

entrada. É o caso geral das bombas. Se o processo de transferência de energia

ocorre à pressão constante, ou seja, grau de reação zero, a máquina de fluxo é

denominada "de ação ", como é o caso da uma turbina Pelton, onde toda energia

cinética advinda do movimento do fluido é transformada em energia de rotação do

rotor da turbina.

5.7. A forma do canal do rotor e peculiaridades do escoamento

A forma do canal formado por duas pás consecutivas do rotor é estabelecida

pela magnitude do ângulo 2 β . Dependendo do valor escolhido, algumas

particularidades são impostas ao escoamento do fluido, como será mostrado a

seguir.

Considere um rotor de uma bomba centrífuga radial com aletas curvadas para

trás em relação ao sentido de giro do rotor ( º902 < β ). A linha média do canal

formado por duas pás consecutivas está representada por a-b, conforme figura 5.16.

Quando se retifica o canal (isto é, a linha média a-b é "esticada" para se tornar uma

reta), a forma resultante fica como mostrado na figura 5.16a. O canal é comprido, o



103

que implica em uma mudança gradual de largura, desde a entrada até a saída do

rotor.

(a) (b) (c)

Figura 5.16 – Retificação dos canais de rotores de máquinas de fluxo.

Se o rotor tem pás com ângulo º902 = β , o canal retificado tem a forma

mostrada na figura 5.16b. É o canal mais curto e, portanto, apresenta uma variação

mais acentuada da área da seção transversal ao longo do escoamento.

Conseqüentemente, é um canal desfavorável do ponto de vista dos escoamentos

hidrodinâmico e aerodinâmico, com maiores possibilidades de ocorrência de

descolamento de camada limite à medida que a vazão de fluido aumenta.

Se o rotor tem aletas com ângulo º902 > β , o canal retificado tem a forma

mostrada na figura 5.16c. É um canal de comprimento intermediário, mas comconfiguração ainda mais desfavorável do que com º902 = β . Impõe variação súbita

de direção da velocidade relativa w em uma posição intermediária do rotor com a

conseqüente variação brusca da área transversal nesta posição.

Da análise qualitativa do escoamento, do ponto de vista de processos

relacionados à hidrodinâmica ou à aerodinâmica, rotores com aletas curvadas para



104

trás devem operar mais eficientemente do que rotores com aletas radiais na saída

ou rotores com canais curvados para frente.

As pás dos rotores de bombas são, em geral, curvados para trás. O ângulo desaída 2 β tem, em média, 40º.

5.8. As curvas teóricas corrigidas para a bomba

A curva característica principal não é uma reta, conforme mostra a figura 4.8.

De fato, ela é uma curva, resultado das seguintes influências:

a. o número de pás é finito e não são infinitamente delgadas. Há um desvio dastrajetórias à saída das pás e uma variação das componentes meridianas das

velocidades. Portanto, o valor da altura de elevação será menor do que o teórico,

começando numa ordenada inferior à g2u 22 ;

b. perdas de energia devidas ao atrito do líquido no rotor, condução imperfeita das

veias líquidas, transformação de elevada parcela de energia cinética em energia

de pressão, choques de entrada e saída e perdas volumétricas nos interstícios,

labirintos e espaços entre o rotor, difusor e coletor.

A figura 5.17 mostra as curvas teóricas corrigidas H = f(Q) para uma bomba

operando à rotação constante. As linhas retas tracejadas demonstram as curvas

teóricas idealizadas (ver figura 4.8).

Figura 5.17 – Curvas teóricas corrigidas para bombas.



105

6 A formulação diferencial do escoamento

O objetivo deste capítulo é desenvolver uma equação que descreva atransferência de energia ao longo do rotor utilizando o enfoque diferencial, ou seja,

uma equação fundamental pela forma diferencial.

Considere um volume de controle infinitesimal no canal do rotor de uma

bomba centrífuga como apresentado na figura 6.1. O volume de controle está em

uma posição genérica em um dos canais do rotor que gira com a velocidade angular

ω . Note que a velocidade de uma partícula fluida em relação ao volume de controle

mostrado é w. Essa partícula fluida percorre o rotor ao longo da trajetória , sempre

tangente às pás do rotor que são as fronteiras do volume de controle. O volume de

controle mostrado na figura 6.2, tem sua posição determinada pelo sistema de

coordenadas (r, β ).

Figura 6.1– Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga com detalhe do volume de controleinfinitesimal em uma posição genérica do rotor.

Figura 6.2 – Corte radial do rotor de uma bomba centrífuga com detalhe do triângulo de velocidades,em uma posição genérica no canal do rotor, dentro do volume de controle.



106

Retificando o volume de controle, temos a figura 6.3. O comprimento

retificado desse volume de controle é ∆L. As pressões e velocidades relativas são:

• na entrada do volume de controle: p e w, respectivamente;

• na saída do volume de controle: LdLdp

p ∆+ e LdLdw

w ∆+ , respectivamente.

Também estão mostradas na figura 6.3 a força centrífuga 2rω ρ e a tensão de

cisalhamento τ nas faces do volume de controle que estão em contato com as pás

do rotor.

Figura 6.3 – Volume de controle diferencial retificado, com as velocidades e pressões nas faces de

entrada e saída.

As hipóteses aplicadas a essa formulação diferencial são semelhantes às

aplicadas à formulação integral: escoamento unidimensional em , de forma que p e

w são uniformes na secção transversal ao escoamento, ou seja, não dependem de

β , mas tão somente do raio r. O fluido de trabalho será considerado como sendo

incompressível. Uma simplificação importante é considerar que não há variação de

área ao longo da trajetória , isto é, 0ddA = . É considerado também, que ovolume de controle infinitesimal tem a forma de um paralelepípedo regular, conforme

mostra a figura 6.3.

Adotando o princípio da conservação da massa que atravessa o volume de

controle infinitesimal, pode-se escrever a variação do fluxo de massa como segue:

0ddA

ALdLdw

pwwA =

∆+

∆++−

ρ ρ (6.1)



107

Considerando de que não há variação de área na direção , tem-se:

0LdL

dwAwAwA =∆++− ρ ρ ρ

0LdLdw

A =∆ ρ (6.2)

Escrevendo a equação (6.2) na forma de fluxo mássico por unidade de

volume, tem-se que:

0dLdw

= ρ (6.3)

A equação da conservação da quantidade de movimento na direção é

determinada por um balanço de forças no volume de controle. Assim, tem-se:

∑ = maFs

LdLdw

AwLbLgALsenArALdLdp

ppA 2∆=∆−∆+∆+

∆+− ρ τ ρ β ω ρ

LdLdwAwLbLgALsenArL

dLdpA 2 ∆=∆−∆+∆+∆ ρ τ ρ β ω ρ

Ab

gsenrdLdp

dLdw

w 2 τ ρ β ω ρ ρ −++−= (6.4)

Assim, pode-se dizer que o fluxo líquido de quantidade de movimento através

do volume de controle é igual à resultante das forças superficiais associadas à

pressão e à viscosidade e das componentes em das forças campo gravitacional e

centrífuga. Deve-se lembrar que não há aceleração associada à variação davelocidade angular ω do rotor ou que o referencial do rotor não se desloca em

relação a um referencial inercial. A componente gravitacional é desprezível frente à

força centrífuga, pois rotores de bombas giram com velocidades angulares elevadas

e o último termo no segundo membro da equação (6.4) pode ser considerado

pequeno frente à força de campo centrífuga.



108

A força de atrito atrF resulta dos efeitos da viscosidade, a qual gera tensões

viscosas vτ e turbulentas tτ no escoamento. Há, ainda, a tensão de cisalhamento

que atua nas paredes laterais das pás, representada por pτ . Dessa forma, pode-se

escrever que:

( ) ph

tvatr D1

dLd

F τ τ τ ++= (6.5)

onde Dh é o diâmetro hidráulico do canal. No caso específico do escoamento no

canal do rotor de bombas centrífugas operando com fluidos de baixa viscosidade, a

tensão viscosa vτ é desprezível frente à tensão turbulenta tτ . A tensão cisalhante

pτ é usualmente calculada por:

=

2,p w

21

f ρ τ ω β (6.6)

onde ω β ,f é o fator de atrito associado. No caso de bombas, o fator de atrito deve

considerar os efeitos de curvatura da geometria considerada, além de considerar a

rotação do canal. Isto posto, a equação (6.5) assume a forma:

2

h,

tatr w

21

D1

fdLd

F ρ τ

ω β += (6.7)

Substituindo a equação (6.7) na equação da conservação da quantidade de

movimento (6.4), tem-se:

dLd

w21

D1

fdLdp

senrdLdw

w t2

h,

2 τ ρ β ω ρ ρ ω β −−−=− (6.8)

Pela hipótese imposta de que a velocidade relativa não varia ao longo de , o

primeiro termo do primeiro membro da equação (6.8) pode ser desconsiderado. Isso

ocorre porque, no caso de bombas centrífugas, é comum projetar-se rotores onde a

velocidade na direção radial se mantenha constante. Com isso tem-se:

0)sen(d)wsen(d

0dr

dcm ≅⇒≅ β

(6.9)



109

Em bombas centrífugas, com as pás curvadas para trás, o ângulo β varia

poucos graus entre entrada e saída. Isso faz com que a hipótese assumida de que a

velocidade relativa se mantenha constante ao longo de seja razoável. Umaimplicação importante dessa hipótese é de que o termo de tensões turbulentas

também tende a zero. Assim:

dLd

w21

D1

fdLdp

senrdLdw

w t2

h,

2 τ ρ β ω ρ ρ ω β −−−=−

2

h,

2 w21

D1

fsenrdLdp

ρ β ω ρ ω β −= (6.10)

Pela equação (6.10), em uma bomba centrífuga radial com pás curvadas para

trás, o gradiente de pressão é gerado predominantemente pela força centrífuga.

Porém, devido a perdas por atrito viscoso, a transformação de energia não é total.

Vale ressaltar que essa equação só é valida para bombas onde o ângulo β varia

pouco entre a entrada e saída do canal do rotor. Para o caso onde o ângulo β varie

muito, como em um rotor com pás curvadas para frente, a velocidade w pode

diminuir ao longo do canal e o termo inercial dado pelo primeiro membro da equação

(6.8) poderá contribuir na redução da pressão. Ademais, a força associada à tensão

turbulenta não será mais desprezível, contribuindo também para reduzir a pressão e

aumentando o fator de atrito associado ω β ,f , pois o canal apresenta curvatura

acentuada. Estes efeitos são indesejáveis, evidentemente, e fazem com que a

grande maioria das bombas tenha rotores com pás curvadas para trás, pois do ponto

de vista da conservação da energia, não se deseja uma dissipação acentuada

provocada pela viscosidade do fluido.Imaginando que somente o termo de pressão contribui significativamente para

a formação da altura de elevação H, pode-se escrever que:

gpp

H 12

ρ

−= (6.11)

0 0



110

Pela equação (6.11), é necessário determinar a diferença de pressão

existente entre a entrada e a saída do rotor. Isso pode ser feito através da equação

(6.10), da seguinte forma:

dLw21

D1

frsendp 2

h,

2∫ ∫

−= ρ β ω ρ ω β

∫∫ −=− dLw21

D1

fdLrsenpp 2

h,

212 ρ β ω ρ ω β

( )122

h,

212 LLw

21

D1

fsen

drrsenpp −−=− ∫ ρ

β β ω ρ ω β

( )

−−−=−

1

1

2

22

h,

21

22

2

12 senr

senr

w21

D1

frr2

pp β β

ρ ω ρ

ω β

−−

−=−

12

1

2

2

h

2,2

2

21

22

2

12 sen1

rr

sen1

w21

Dr

fr

r1

2r

pp β β

ρ ω ρ

ω β (6.12)

Substituindo a equação (6.12) em (6.11), tem-se:

−−

−=

12

1

2

2

h

2,2

2

21

22

2

sen1

rr

sen1

wg21

Dr

fr

r1

g2r

H β β

ω ω β (6.13)

ou ainda:

−−

−=

12

1

2

2

h

2,2

2

21

22

sen1

rr

sen1

wg21

Dr

fr

r1

g2u

H β β

ω β (6.14)

A equação (6.14) é similar àquela já obtida com a formulação integral,

utilizando a equação de conservação da quantidade de movimento linear. Portanto,

valores numéricos calculados com as duas expressões (integral ou diferencial)

deverão ser muito próximos. Observe que a equação (6.14) ainda não inclui uma

correção de efeitos decorrentes da não unidimensionalidade do escoamento, o que

pode ser obtido com o coeficiente do número de pás µ , multiplicando o primeiro

termo à direita do sinal de igualdade:



111

−−

−=

12

1

2

2

h

2,2

2

21

22

sen1

rr

sen1

wg21

Dr

fr

r1

g2u

H β β

µ ω β (6.15)

Nota-se, também, que na equação da altura de elevação obtida pela

formulação diferencial, o termo de dissipação viscosa (perda hidráulicas envolvidas

na transferência de energia) está explícito. Na formulação integral, as perdas foram

subdividas em duas parcelas (perdas viscosas e perdas por choques). A diferença

agora está justamente na determinação do fator de atrito ω β ,f que contabilize o

efeito de curvatura das pás e também os efeitos de rotação do rotor.

É possível e conveniente obter-se uma adimensionalidade na equação (6.15).Para tanto, divide-se todos os termos por uma pressão dinâmica de referência, por

exemplo, associada à velocidade sv do escoamento na sucção da bomba. A

escolha da referência é livre. Dessa forma tem-se que:

−−

−=

−

12

1

22

s

2

h

2,2

2

21

2s

22

2s

12

sen1

rr

sen1

v

wDr

fr

r1

v

u

v21

pp β β

µ

ρ ω β (6.16)

O parâmetro à direita do sinal de igualdade é denominado número de Euler Ε

e representa a razão entre as forças associadas ao gradiente de pressão e à inércia

do escoamento. Esse parâmetro também é conhecido como coeficiente de pressão

ou de carga cΩ Na equação (6.16), o primeiro termo à direita do sinal da igualdade

é a razão entre a força de campo centrífuga na saída do rotor e a força de inércia do

escoamento na sucção da bomba, ou ainda, é o quadrado do inverso do número de

Rossby dado por 2so rvR ω = . Finalmente, aparece no segundo termo à direita, a

razão entre a força de atrito do escoamento no canal e a recém mencionada força

de inércia. A razão entre as velocidades w e vs será denominada de número de

velocidade Nw. Substituindo esses vários parâmetros e definições na equação (6.16),

tem-se:

−−

−

=Ε

12

1

2

2w

h

2,2

2

21

2

o sen1

rr

sen1

NDr

fr

r1

R1

β β µ ω β (6.17)



112

Se as simplificações foram razoáveis, a curva teórica de uma bomba

centrífuga será bem representada, ou ajustada, por esta equação. Da mesma forma,

a parametrização para a altura de elevação em função da vazão, obtida com aformulação integral, também será bem sucedida. Com isso, pode-se representar a

equação real de uma bomba centrífuga em termos da altura de elevação versus

vazão (HxQ) ou em termos do número de Euler Ε (coeficiente de pressão cΩ )

versus uma função que engloba os números de Rossby e o número de velocidade,

dada por )N,R(f woΕ . O gradiente de pressão (ou a energia específica) desenvolvido

por uma bomba centrífuga varia linearmente com o campo centrífugo gerado pela

rotação do rotor e é uma função quase-quadrática da vazão descarregada, expressano número de velocidade Nw. A parametrização das curvas em termos destas

variáveis indicará a qualidade do modelo.



113

7 Tratamento vetorial da aceleração de uma partícula

Pelo fato do rotor ser um elemento rotativo, é preciso estabelecer umamodelagem que contabilize os efeitos de tal rotação. Considere-se o sistema de

referência não-inercial “xyz” mostrado na figura 7.1, que gira com velocidade angular

ω

. O vetor R

representa a posição do sistema de coordenadas não-inercial em

relação ao sistema de coordenadas inercial “XYZ”. O vetor r

representa a posição

de uma partícula fluida em relação ao sistema de referências não-inercial. Dessa

forma, pode-se escrever que rRS

+= . Para efeito de simplificação, adotar-se-á:

• para o referencial inercial XYZ, o sub-índice i;

• para o referencial não inercial xyz, o sub-índice ni.

Para determinar a velocidade dessa partícula fluida em relação ao sistema de

coordenadas inercial, basta derivar o vetor S

em relação ao tempo. Desta forma:

dtrd

dtRd

dtSd

ci

+== (7.1)

Figura 7.1 – Localização de uma partícula fluida nos referenciais inercial (XYZ) e não-inercial (xyz).

O primeiro termo do lado direito da equação (7.1) representa a variação

temporal da posição do sistema de coordenadas não-inercial em relação ao inercial.

Escrevendo o vetor r

como função de suas componentes, tem-se:



114

kz jyixr ++=

(7.2)

Com isso, pode-se escrever que:

( )kz jyixdtd

dtrd

++=

(7.3)

Os versores i , j e k também são dados em função do tempo devido à

rotação do sistema de coordenadas não-inercial. Portanto a equação (7.3) assume a

forma:

+++

++= dt

kdzdt

jdydt

idxdt

dzkdt

dy jdt

dxidt

rd

(7.4)

onde o primeiro termo entre parênteses representa a velocidade da partícula fluida

em relação ao sistema de coordenadas não-inercial nic

. O problema central consiste

em avaliar como os versores i , j e k variam com o tempo. Para esta avaliação,

considera-se a rotação de cada versor com relação às três componentes da

velocidade angular do referencial não inercial.

No plano xy, o versor i girará por causa da componente zω , conforme mostra

a figura 7.2.

Figura 7.2 – Variação da direção do versor i devido à componente zω da velocidade angular.



115

Na figura 7.2, considerando que a variação angular θ ∆ é pequena, pode-se

utilizar o conceito de comprimento de arco que diz que θ ∆= r , onde é o

comprimento do arco, r o raio e θ ∆ a variação angular. Assim, tem-se que:

( ) ( ) ( ) θ θ ∆−=−∆+=∆= titittir (7.5)

O módulo de um versor é sempre unitário. Logo, tem-se que:

( ) ( ) θ θ ∆=−∆+=∆= tittir (7.6)

Dividindo ambos os membros da equação (7.6) por t∆ e aplicando o limite de

0t →∆ , tem-se:

( ) ( ) j

dtid

tlim

ttitti

lim z

z0t0t

ω θ

ω

=⇒∆

∆=

∆

−∆+

→∆→∆

(7.7)

De maneira análoga, no plano xz, o versor i girará devido a uma rotação no

eixo y, ou seja:

Figura 7.3 – Variação da direção do versor i devido à componente yω da velocidade angular.

Com base na figura 7.3, repetem-se as equações (7.5) e (7.6), obtendo-se:

kdt

idy

y

ω

ω

−= (7.8)



116

A razão do sinal negativo na equação (7.8) é devida a variação do versor i

com o tempo estar no sentido negativo de z (parcela ( ) ( )titti −∆+ da figura 7.3),

considerando uma rotação em y e um t∆ muito pequeno.

Com a influência das componentes de rotação nas direções y e z, o termo

dtid assume a forma:

k jdt

idyz ω ω −= (7.9)

Para as demais parcelas dt jd e dtkd , usando-se procedimento semelhante,

pode-se obter:

ikdt jd

zx ω ω −= (7.10)

jidtkd

xy ω ω −= (7.11)

Uma vez determinada a variação de cada versor unitário com relação ao

tempo, pode-se reescrever a equação (7.4) da seguinte forma:

( ) ( ) ( )kxy jzxiyzcdtrd

yxxzzyni ω ω ω ω ω ω −+−+−+=

(7.12)

Analisando o resultado da equação (7.12), pode-se notar que os três últimos

termos dessa equação podem ser condensados sob a forma de um produto externo

entre a velocidade angular ω

e o vetor posição r

. Com isso, o vetor velocidade ic

da partícula de líquido em relação ao referencial inercial pode ser completamentedeterminado:

( ) ( ) ( )kxy jzxiyzcdtRd

c yxxzzynii ω ω ω ω ω ω −+−+−++=

(7.13)

rcdtRd

c nii

×++= ω (7.14)



117

Para se determinar a aceleração de uma partícula fluida em relação ao

sistema de coordenadas inercial “XYZ”, basta derivar a equação (7.14) em relação

ao tempo:

( )rdtd

dtcd

dt

Rddtcd ni

2

2i

×++= ω (7.15)

Pelo fato da velocidade nic

ser referenciada ao sistema de coordenadas não-

inercial, os mesmos cuidados com relação à derivada temporal dos versores devem

ser tomados nesse passo da dedução. Com isso, tem-se:

( )rdtd

dtcd

dtRda

dtcd ni

22

ii

×++== ω

( ) ( ) ( )[ ]dtrd

rdtd

kc jcicdtd

dt

Rda zniynixni2

2

i

×+×++++= ω ω

( )rcrcadt

Rda ninini2

2

i

×+×+×+×++= ω ω ω ω

rrc2adt

Rda nini22

i

××+×+×++= ω ω ω ω (7.16)

Uma breve descrição de cada termo da equação (7.16) é feita a seguir:

:dt

Rd2

2

aceleração retilínea da origem do sistema de coordenadas não-inercial em

relação ao inercial;

nia

: aceleração retilínea de uma partícula fluida em relação ao sistema decoordenadas não-inercial;

nic2

×ω : aceleração de Coriolis decorrente do movimento da partícula dentro do

sistema de coordenadas não-inercial;

r

×ω : aceleração tangencial da partícula devido a aceleração angular do sistema de

coordenadas não-inercial;



118

r

××ω ω : aceleração centrípeta devida à rotação do sistema de coordenadas não-

inercial.

Para o caso de escoamento em bombas, o sistema de coordenadas não-

inercial é inserido exatamente no eixo de rotação da bomba, juntamente com o

sistema de coordenadas inercial. Dessa forma, o termo 0dtRd 22=

. Se a rotação

do rotor for mantida constante, ter-se-á 0r =×

ω .

A aceleração de Coriolis resulta do produto vetorial da velocidade angular do

sistema de coordenadas não-inercial (rotação do rotor, ˆˆ ˆ0 0i j k ω ω = + + ) com o vetor

velocidade relativa, w , utilizando a nomenclatura de máquinas de fluxo. A forçaresultante da aceleração de Coriolis é transversal ao escoamento, como está

mostrado na Figura .

Figura 7.4 – Direção da força de Coriolis no escoamento dentro do rotor de uma turbomáquina.



119

8 As diversas formas de rotor – rotação específica

Uma forma de rotor usada frequentemente na prática é a de rotor radial,conforme mostra a figura 8.1. Sua forma básica é representada pelas linhas cheias.

A partir desta forma, pode-se desenvolver as várias formas de construção, inclusive

rotores axiais, os quais são importantes devido a serem adequados ao uso com

grandes forças centrífugas e permitirem construção de bombas de vários estágios

com pequeno tamanho construtivo e mínimas perdas adicionais. Na análise que será

feita a seguir, considera-se fixo o ângulo de saída das pás 2 β , bem como se

estabelece o ângulo de entrada do escoamento como º900 =α .

Com estas simplificações, os triângulos de velocidade na aresta de pressão

serão sempre semelhantes (ver figura 5.8). Considerando a equação fundamental

(4.20) apresentada abaixo em suas diversas formas:

)coscucoscu(g1

)cucu(g1

gmgmW

H 1112221u12u2eixoe

e α α ω

−=−=Τ==

Pode-se tirar da equação (4.4), as sequintes equações específicas para asarestas de sucção e pressão:

1112

12

12

1 coscu2cuw α −+= (8.1)

2222

22

22

2 coscu2cuw α −+= (8.2)

Combinando as equações (8.1) e (8.2), tem-se:

( )2

12

22

12

22

22

1111222 uuccww21

coscucoscu −+−+−=− α α (8.3)

Com a equação (8.3), a equação (4.20) pode ser rescrita como:

( ) ( ) ( )[ ]21

22

21

22

22

21e uuccww

g21

H −+−+−= (8.4)

Pela equação (8.4), pode-se concluir que a altura de elevação teórica ideal, e

consequentemente, a altura de elevação real de uma bomba, é proporcional à

diferença dos quadrados das velocidades que constituem o triângulo de velocidades



120

na entrada e saída do rotor. De forma inversa, pode-se afirmar que as velocidades

são proporcionais a eH , ou ainda, que a velocidade tangencial 2rω é proporcional

a eH , ou seja:

Na entrada do rotor, os triângulos de velocidade terão valores que variarão

proporcionalmente a vazão Q. A equação da conservação da massa estabelece que

a largura do rotor 2b e a velocidade absoluta 0c do fluido na região de sucção

definem a vazão Q.

Dessa maneira, obtém-se três relações de proporcionalidade para associar as

condições de operação com a forma do rotor: a rotação n, dada em função da

velocidade angular ω , a vazão Q e a altura de elevação eH .

e22 HnDu ∝∝ (8.5)

2m22 cbrQ ∝ (8.6)

0cQ ∝ (8.7)

Figura 8.1 – Linhas geométricas do rotor radial lento (linhas cheias), rotor radial de velocidade média(linhas traço-ponto) e rotor semi-axial rápido (linhas tracejadas).Fonte: Pfleiderer 3 (com adaptações)



121

Inicialmente, considera-se a altura de elevação eH e a vazão Q constantes,

variando a rotação n. Assim, os tamanhos dos triãngulos de velocidade não podem

mudar, uma vez que 2u deve permanecer constante devido à equação (8.5). Desta

forma, D2 varia de modo inversamente proporcional à rotação e os rotores radiais,

que apresentam grandes diâmetros externos, da ordem de 2 a 3 vezes o diâmetro

de sucção, passam a ser rotores lentos, sendo classificados na forma I. Se a rotação

aumentar, a aresta externa da pá deve se mover para dentro até, por exemplo, o

diâmetro '2D da figura 8.1, de forma a manter 2u constante. Para que não haja

diminuição da superfície da pá, a qual é determinante para a transmissão de

trabalho ao líquido, deve-se mover a aresta de sucção para baixo, chegando a

mesma a ultrapassar a boca de sucção do rotor. Neste caso devido ao aparecimento

da curvatura das linhas de corrente, a pá fica duplamente curvada. O rotor, então,

toma a forma II chamada de rotor radial misto ou de média velocidade. Se a rotação

aumentar ainda mais, a aresta de pressão somente poderá se aproximar do eixo se

for situada de forma inclinada. Aparece, então, o rotor semi-axial da forma III,

conhecido como rotor rápido, no qual o valor médio do diãmetro externo fica menor

devido à colocação inclinada da aresta de pressão. Se a aresta de pressão for ainda

mais inclinada, obtém-se, como caso extremo, o rotor axial, ou de hélice, da forma

IV, na qual a aresta de pressão é praticamente radial. A figura 8.2 mostra as quatro

formas de rotor descritas.

Figura 8.2 – Formas de rotor.Fonte: Pfleiderer 3 (com adaptações)



122

Estas quatro formas de rotor podem também ser obtidas quando se mantém

constantes a rotação n e a altura de elevação eH , aumentando-se a vazão Q. Da

mesma forma, tem-se resultados semelhantes quando se mantém a rotação n e a

vazão Q constantes , reduzindo-se a altura de elevação eH . As propriedades das

formas de rotor de I a IV são assim caracterizadas na tabela 8.1.

Torna-se interessante definir um coeficiente para caracterizar o tipo de forma

do rotor devido às diferenças existentes entre as várias formas. Tal coeficiente de

forma deve ser independente do tamanho do rotor, de maneira que rotores comforma geometricamente semelhante tenham o mesmo coeficiente de forma do rotor.

Logo, este coeficiente de forma deve apresentar uma relação entre a rotação n, a

vazão Q e a altura de elevação eH que seja independente do tamanho da máquina

e fiquem constantes para rotores de forma geometricamente semelhante.

Sabe-se que a vazão Q é sempre igual a uma secção do fluxo multiplicada

pela velocidade correspondente. Assim:

322

222

22 nDuDcDQ ∝∝∝ (8.8)

Da equação (8.5), pode-se tirar quen

HD e

2 ∝ . Combinando com a equação

(8.8), tem-se:

tetanconsQn

n4

3

e

s ==

ζ

(8.9)

tetancons

H

Qnn

43

e

s == (8.10)

As equações (8.9) e (8.10) expressam o coeficiente de forma do rotor ,

também conhecido como rotação específica sn . A equação (8.9) é um número

adimensional, desde que trabalhado em unidades coerentes; o valor numérico do

coeficiente é o mesmo, independente do sistema de unidades usado no cálculo. A



123

grandeza eζ , como já visto, é o trabalho específico interno. Entretanto, em

engenharia, é comum dimensionalizar os termos da equação em unidades não

coerentes, utilizando-se n em rpm, Q em m³/s e eH em m. Tal é feito utilizando-se a

equação (8.10). Segundo Pfleiderer 3, a rotação específica sn pode ser definida

como “a rotação de um rotor semelhante em tudo ao rotor sendo considerado, que

tem um fluxo volumétrico de 1 m³/s para uma queda ou elevação de 1 m ”. Ele

representa simultaneamente a capacidade de aceleração, a capacidade de

escoamento e o inverso da capacidade de trabalho da bomba. Para as formas de

rotores vistos, valem os seguintes intervalos aproximados de variação dos valores

da rotação específica, conforme tabela 8.1:

Forma Rotor Tipo n Q eH sn

I radial lento baixa baixa alta 10 a 30

II misto médio média média média 30 a 60

III semi-axial rápido alta alta baixa 50 a 110

IV axialmuito

rápido

muito

alta

muito

alta

muito

baixa

110 a 150 ou

mais

Tabela 8.1 – Resumo das principais formas de rotor e suas características principais.Fonte: Pfleiderer 3 (com adaptações)

O limite inferior dado para a forma de rotor I é determinado pelo fato de que a

relação de diâmetros D2 /Ds não deve ultrapassar algo entre 2,5 e 3. Do contrário, oscanais das pás seriam muito longos e estreitos, assim como a superfície externa do

rotor. Com isto, as perdas por atrito ficariam muito grandes. Para o caso específico

de bombas, caso se necessite de uma construção mais lenta, deve-se apelar para

uma construção com vários estágios de forma a se garantir um rendimento

satisfatório.



124

Figura 8.3 – Perdas em função da rotação específica.Fonte: Pfleiderer3

A figura 8.3 mostra o balanço de potência de bombas rotativas e axiais de

estágio simples para diferentes rotações específicas, considerando-se um fluxo de

0,1 m³/s e uma rotação de 25 rps, operando no ponto de melhor rendimento. Pode-

se notar que as perdas no labirinto e as perdas por atrito aumentam

consideravelmente para pequenas rotações específicas, enquanto as perdas

mecânicas não se alteram. As perdas nas pás inicialmente diminuem para rotações

específicas entre 10 e 30, com pequena variação, passando em seguida a aumentar

substancialmente de valor. Isto indica que para maiores rotações específicas, o

líquido não flui tão bem quando comparado a rotações específicas menores.

Levando-se em consideração todas as perdas, o melhor rendimento geral ocorre a

uma rotação específica da ordem de 50.

A figura 8.4 procura ilustrar melhor a classificação dos rotores quanto à forma

apresentada na tabela 8.1.

Figura 8.4 – Posicionamento das diversas formas de rotores em função da rotação específica.



125

A figura 8.5 ilustra o rendimento das bombas centrífugas em relação à rotação

específica, no sistema inglês, apresentando as curvas características das mesmas,operando com a rotação constante.

Figura 8.5 – Rotação específica de bombas no sistema inglês.



126

9 Leis de semelhança em bombas centrífugas

No projeto de uma bomba centrífuga, muitos fatores, cujas grandezas não sãoexatamente conhecidas, interferem no processo levando a certa insegurança nas

tomadas de decisão. Em se tratando de uma bomba de grande porte, tal

insegurança pode redundar em um fracasso e, assim, provocar grandes prejuízos

econômicos para o fabricante.

A lei de semelhança mecânica, de similaridade ou teoria dos modelos

compreende um conjunto de leis e conhecimentos através dos quais se torna

possível prever o comportamento de uma bomba de grande porte a partir da atuação

ou desempenho de uma bomba menor e mais econômica. No seu sentido mais

amplo, a semelhança mecânica permite aferir o comportamento de um protótipo a

partir do desempenho ou atuação de uma máquina modelo desde que, entre uma e

outra, sejam cumpridos determinados requisitos.

Um problema que freqüentemente surge na mecânica dos fluidos é de como

relacionar os dados de desempenho, obtidos em laboratório em um modelo em

escala reduzida, com o equipamento no tamanho original. Um exemplo desse

problema é o de uma usina hidroelétrica, onde a empresa que está incumbida de

construir a turbina deve antes projetar um modelo diversas vezes menor para testar

se os requisitos de projeto (eficiência, potência, torque, etc) estão sendo alcançados

e por fim, levantar, de alguma maneira, correlações desses resultados com a turbina

no tamanho original. O ensaio do modelo de laboratório é, de certa forma, uma

garantia de que o projeto está adequado, ou servirá de balizamento para a

identificação de problemas e desenvolvimento dos ajustes necessários. Note que, se

for possível estabelecer relações de similaridade entre condições operacionais de

equipamentos geometricamente similares, ou seja, prever a operação de

equipamentos em escalas geométricas diferentes, a partir do conhecimento das

condições operacionais de um único equipamento, haverá uma grande economia no

projeto ou no ensaio dos equipamentos da família similar. Basta projetar e ensaiar

um equipamento. Os demais, desde que geometricamente similares, terão suas



127

condições operacionais determinadas a partir das relações de similaridade. Isto é o

que efetivamente ocorre na área de máquinas de fluxo. Fabricantes de bombas,

ventiladores e mesmo turbinas, usualmente fornecem os equipamentosdiscriminados por modelos, ensaiados em laboratório, que nada mais são que uma

família de equipamentos similares.

Para que se possam relacionar as condições de operação de bombas

centrífugas geometricamente similares, duas outras condições de similaridade

devem ser cumpridas: a similaridade cinemática e a similaridade dinâmica do

escoamento. A similaridade cinemática dos escoamentos implica na semelhança

entre as linhas de corrente dos escoamentos entre modelo e protótipo e,conseqüentemente, em relações constantes entre as magnitudes da velocidade em

todos os conjuntos de pontos correspondentes dos dois escoamentos, além de

manterem sentido e direção análogos. A similaridade dinâmica requer uma relação

constante entre todas as forças presentes no escoamento. No caso do escoamento

em bombas, as forças dominantes são as forças de inércia e as forças associadas

às tensões viscosas. Conseqüentemente, para cumprir com a similaridade dinâmica,

os escoamentos no modelo e no protótipo devem ter o mesmo número de Reynolds.O objetivo da analise de similaridade é encontrar uma relação de

proporcionalidade entre as condições de operação dos dois equipamentos. Serão

utilizados os subscritos m, designando modelo, e p, designando protótipo, que

identificarão as bombas geometricamente similares operando também em condições

de similaridade cinemática e dinâmica.

9.1. Semelhança geométrica

Considerando duas bombas centrífugas com rotores geometricamente

semelhantes, conforme mostrado na figura 9.1. Existe semelhança geométrica entre

duas bombas quando entre suas dimensões lineares homólogas existir sempre a

mesma relação ε , dita “razão de semelhança geométrica ”. Desta forma,

considerando os dois rotores da figura 9.1, existirá semelhança geométrica entre

ambos quando:



128

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )ε =====

mi

pi

m2

p2

m1

p1

m2

p2

L

L.......

b

b

D

D

D

D(9.1)

onde Li é uma dimensão geométrica qualquer válida para esta análise.

Figura 9.1 – Dimensões geométricas de similaridade do rotor.

9.2. Semelhança cinemática

A similaridade cinemática dos escoamentos implica na similaridade

geométrica dos triângulos de velocidade na saída do rotor de ambas as bombas, ou

seja:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )m2

p2

m2

p2

m2m

p2m

m2u

p2u

m2

p2

m2

p2

D

D

w

w

c

c

c

c

c

c

u

u

ω ===== = constante (9.2)

A vazão de cada uma das bombas analisadas é dada por:

p2m22p cbDQ π = (9.3)

m2m22m cbDQ π =

(9.4)

Pela condição de similaridade geométrica, é necessário que os parâmetros

geométricos sejam proporcionais, conforme equação (9.1). Dela se tem:

( )

( )

( )

( )m2

p2

m2

p2

b

b

D

D= (9.5)

A relação de proporcionalidade entre as vazões das duas bombas similares é,

então:



129

m

32

p

32

m2m

22

p2m

22

m2m22

p2m22

m

p

D

D

cD

cD

cbD

cbD

Q

Q

ω

ω

π

π === (9.6)

A altura de elevação teórica ideal eH desenvolvida pela bomba centrífuga é

proporcional ao produto da velocidade tangencial 2u do rotor com a componente

tangencial 2uc da velocidade absoluta 2c na saída do rotor, conforme visto na

equação fundamental ou de Euler. A relação de proporcionalidade entre a altura de

elevação teórica ideal das bombas similares é dada por:

m

22

2

p222

m2u2

p2u2

)m(e

)p(e

D

D

cu

cu

H

H

ω

ω == (9.7)

O coeficiente do número de pás µ , conforme a equação (5.10), é a razão

entre a altura de elevação real 'eH , não descontado as perdas hidráulicas, e a altura

de elevação teórica ideal eH . Este coeficiente, como já visto, é função do ângulo de

saída das pás 2 β , da razão r1 /r2 ou D1 /D2 e número de pás k. Bombas similares,evidentemente, terão os mesmos valores de µ . Portanto:

m

22

2

p

22

2

me

pe

')m(e

')p(e

D

D

H

H

H

H

ω

ω

µ

µ == (9.8)

Lembrando que a altura de elevação real, descontadas as perdas hidráulicas,

é dada pela equação (5.20), se o requisito de similaridade dinâmica entre as bombas

for cumprido, pode-se afirmar que as eficiências hidráulicas de bombas similares são

iguais. Com isso, tem-se que:

m

22

2

p

22

2

m

'eh

p

'eh

")m(e

")p(e

D

D

H

H

H

H

ω

ω

η

η == (9.9)

A hipótese da equação (5.20) é forte e é nesse ponto que os desvios entre

teoria e prática se iniciam. Nem sempre é possível cumprir rigorosamente com a



130

similaridade geométrica entre os equipamentos. Considere uma grande variação na

escala geométrica entre as bombas. Se, por exemplo, a rugosidade da superfície da

pá do rotor da bomba maior é X e a escala é 1:10, a rugosidade da superfície da páda bomba menor deverá ser X/10, ou seja, a bomba menor, dependendo da

situação, poderia ter superfícies internas polidas para que sua rugosidade reduzisse

nessa proporção. Nem sempre é possível construir a bomba menor com uma

rugosidade absoluta da parede da aleta atendendo a similaridade geométrica. Isto

implica em coeficientes de perdas ordinárias 1K distintos para as duas bombas. Do

diagrama de Moody, quanto maior a rugosidade relativa, para o mesmo número de

Reynolds, maior o coeficiente de perdas e maior a energia dissipada em perdashidráulicas ordinárias.

Outra hipótese forte assumida é dizer que as eficiências mecânicas de ambas

as bombas são iguais. Isso não corresponde inteiramente com a realidade, pois a

eficiência mecânica de equipamentos de pequeno porte é, em geral, menor que à de

maior tamanho. Essa hipótese, aliada à de que as eficiências hidráulicas de ambas

as bombas foram assumidas como iguais, leva a:

)m(t)p(t η η = (9.10)

onde tη representa a eficiência total da bomba. Isto implica na possibilidade de se

determinar uma relação de proporcionalidade entre as bombas. Da equação (9.2),

tira-se que:

m

5

2

3

p

52

3

m

"

e

p

"e

m

p

D

D

QHg

QHg

W

W

ω ρ

ω ρ

ρ

ρ ==

(9.11)

Note que, ao invés de se comparar duas bombas de tamanhos diferentes em

condições similares, for tomada uma mesma bomba, operando com o mesmo fluido

de trabalho, em condições de operação diferentes, a similaridade também se aplica.

Neste caso, considerando a mesma bomba operando em rotações diferentes, as

equações (9.6), (9.9) e (9.11) ficam reduzidas a:



131

m

p

m

p

Q

Q

ω

ω = (9.12)

2m

2p

")m(e

")p(e

H

H

ω

ω = (9.13)

3m

3p

m

p

W

W

ω

ω =

(9.14)

Foi admitido acima que o rendimento total não varia, conforme equação

(9.10). Entretanto, ensaios têm revelado que somente para determinados valores de

pressão e velocidade se consegue reduzir suficientemente as perdas por atrito, por

irregularidades no escoamento e por fugas, obtendo-se rendimento máximo.

Alterando-se a rotação para um valor diferente daquele para o qual foi projetada a

bomba, o rendimento tenderá a diminuir, assumindo um novo valor para o novo

estado de funcionamento. Na realidade, portanto, deve-se corrigir a equação (9.14)

da seguinte forma:

)p(t)m(t

3m

3

p

m

pWW

η η

ω ω =

(9.15)

Se a diferença de rotação for elevada, não se pode admitir os rendimentos

como sendo iguais. Estima-se, então, o novo rendimento através da seguinte

equação empírica1:

( )1,0

)p(t

)m(t)m(t)p(t 11

−−=

η

η η η (9.16)

Tal tipo de equação exige métodos iterativos para sua solução.

As figuras 9.2 e 9.3 ilustram a similaridade existente na operação da bomba

ETA 32-16 da KSB em duas rotações distintas. A figura 9.2 apresenta um gráfico

logxlog da altura de elevação manométrica versus a vazão volumétrica de operação.

Na figura 9.3, o gráfico é linear e são apresentadas duas parábolas que representam



132

estados de choques equivalentes para as duas rotações. Essas parábolas aparecem

como retas inclinadas na figura 9.2 devido ao gráfico ser logarítmico.

Figura 9.2 – Similaridade de operação de uma bomba centrífuga em duas rotações distintas.

Figura 9.3 – Similaridade de operação de uma bomba centrífuga, em duas rotações distintas;destaque para a parábola de similaridade onde se tem o mesmo estado de choque.



133

9.3. Semelhança dinâmica

Encontra-se, em certas fontes bibliográficas, que se pode admitir semelhança

dinâmica entre um protótipo e um modelo quando o número de Reynolds

(característica do escoamento) for o mesmo para ambos. Porém, deve-se ter muita

cautela sob esse aspecto quando se considerar o escoamento nos canais do rotor

de uma bomba centrífuga. Stepanoff 6 cita que o número de Reynolds não possui em

si a propriedade de ser um critério de escoamento em bombas. O mesmo número de

Reynolds não assegura o mesmo padrão de distribuição de velocidades ou de

regime de fluxo, laminar ou turbulento. A variação de um regime à outro pode se dar

em diferentes taxas de escoamento, em diferentes partes da máquina. Além disso,

muito pouco é conhecido sobre o significado do número de Reynolds em um fluxo

circular em canais convergentes ou divergentes em movimento de rotação. Ademais,

números de Reynolds idênticos podem ser obtidos com bombas de diferentes

configurações construtivas ou, até mesmo, com diferentes rotações específicas.

Coeficientes adimensionais de uso comum foram desenvolvidos para serem

aplicados ao projeto de máquinas de fluxo, procurando abranger as características

dinâmicas envolvidas, formando a base para o projeto de testes com protótipos e

para o transporte de resultados por escala de um modelo para o protótipo. Na

análise feita, o coeficiente de vazão é tratado como parâmetro independente. Se os

efeitos viscosos forem desprezados, os demais coeficientes podem ser tratados

como parâmetros dependentes múltiplos. Com estas hipóteses, a semelhança

dinâmica é alcançada quando o coeficiente de vazão do modelo iguala-se ao do

protótipo.2

Abaixo, apresenta-se os coeficientes acima mencionados, aplicados à

bombas centrífugas.

9.3.1. Coeficiente adimensional de vazão vΩ

É definido pela normalização da vazão volumétrica, usando a área de saída e

a velocidade tangencial na descarga do rotor.



134

2

2m

22v u

cuA

Q==Ω (9.17)

9.3.2. Coeficiente adimensional de carga cΩ

22

ec

u

gH=Ω (9.18)

9.3.3. Coeficiente adimensional de torque tΩ

22

22t ruA ρ

Τ

=Ω (9.19)

9.3.4. Coeficiente adimensional de potência wΩ

22

22

wQr

W

Qu

W

ρω ρ

==Ω (9.20)

Para bombas, a potência mecânica de entrada é superior à potência

hidráulica e a eficiência total é definida pela equação (3.43). Tem-se, então:

t

uu

tm

QgHW

1W

η

ρ

η ω ==Τ=

(9.21)

Introduzindo os coeficientes adimensionais das equações (9.17), (9.18) e

(9.19) na equação (9.21), obtém-se uma relação análoga entre os coeficientes

adimensionais, conforme segue:

t

vct

η ΩΩ=Ω (9.22)

9.4. Formulário de similaridade

Satisfeitos os requisitos de semelhança geométrica, cinemática e dinâmica

diz-se, então, que as duas bombas, protótipo e modelo, são mecanicamente

semelhantes. Nestas circunstâncias, é viável, a partir do funcionamento do modelo,

aferir o comportamento do protótipo, já que:



135

• o comportamento é idêntico em idênticas situações;

• as perdas são proporcionais;

• os rendimentos são iguais;

• o coeficiente de cavitação é o mesmo.

Pode-se, então, resumir as equações em função de duas diferentes situações:

a) duas máquinas mecanicamente semelhantes:

Sendo mp DD=ε a razão de semelhança geométrica entre protótipo e

modelo e sendo estes mecanicamente semelhantes, existem as seguintes relações

entre as grandezas que caracterizam os comportamentos do protótipo e do modelo:

")m(e

")p(e

m

p

H

H1n

n

ε = (9.23)

"

)m(e

")p(e2

m

p

H

H

Q

Qε = (9.24)

23

")m(e

")p(e2

m

p

H

H

W

W

= ε

(9.25)

Se os fluidos forem diferentes, então, no caso da relação entre as potências:

23

")m(e

")p(e

m

p2

m

p

H

H

W

W

=

γ

γ ε

(9.26)

b) as máquinas são as mesmas funcionando em condições de rotação diferentes:

Se o protótipo e o modelo forem iguais, trabalhando em situações diferentes,

ou a mesma bomba trabalhando em situações diferentes, temos 1=ε e as fórmulas

fundamentais da semelhança mecânica são então chamadas de equações de

Rateaux.



136

A bomba anteriormente funcionava com rotação nm e vazão Qm. Passa agora,

a funcionar com rotação np e vazão Qp, com o mesmo fluido. Então:

m

p

m

p

nn

QQ

= (9.27)

2m

2p

")m(e

")p(e

n

n

H

H= (9.28)

3m

3p

m

p

n

n

W

W=

(9.29)

Com fluidos diferentes, deve-se levar em consideração o peso específico γ ,

de cada fluído considerado:

3m

3p

m

p

m

p

n

n

W

W

γ

γ =

(9.30)



137

10 Cavitação em bombas centrífugas

10.1. Definição geral

A cavitação é um fenômeno que pode ocorrer em bombas centrífugas,

caracterizando-se pela vaporização do fluido de trabalho nas regiões da máquina

onde a pressão estática atinge a pressão de vapor do líquido na temperatura

considerada. Ao ser atingida esta pressão, o líquido se vaporiza formando pequenas

bolsas, bolhas ou cavidades, razão do nome cavitação. Essas bolhas, devido à

inércia do escoamento, são levadas pela corrente líquida para regiões onde a

pressão é maior do que a pressão de vaporização do fluido. Isto faz com que haja o

colapso das mesmas e retorno imediato ao estado líquido da região anteriormente

ocupada por estas. Quando a condensação ocorre, a energia liberada é transferida

para as moléculas de líquido que circundavam as bolhas. Estas moléculas se

aceleram até velocidades muito elevadas, da ordem de uma centena de metros por

segundo, atingindo as superfícies dos componentes da bomba com energia tal

capaz de superar a resistência superficial do material envolvido, causando erosão

por fadiga superficial. O processo de erosão resulta, portanto, do choque inelásticodos micro-jatos de líquido com as superfícies dos componentes internos à bomba. A

esta erosão, comumente, dá-se o nome de “pitting ”. A figura 10.1 mostra uma hélice

de barco erosionada pelo processo da cavitação.

Figura 10.1 – Cavitação em uma hélice de barco.



138

A redução da pressão absoluta à pressão de vaporização na temperatura

considerada pode ocorrer em caráter generalizado ou em caráter localizado. Este

útimo pode acontecer sem uma mudança na pressão média. Uma queda de pressãoem caráter generalizado pode ser produzida por:

• um aumento na altura estática da bomba (posição geométrica);

• uma diminuição na pressão atmosférica com elevação da altitude;

• uma diminuição na pressão absoluta do sistema, por exemplo, reservatório

sob vácuo;

• um aumento na temperatura do líquido bombeado, o qual tem o mesmo efeitode uma diminuição da pressão absoluta do sistema.

A queda de pressão em caráter localizado pode ser produzida por um dos

seguintes meios dinâmicos:

• um aumento na velocidade devido a um aumento na velocidade de rotação da

bomba;

• separação e contração no escoamento;• desvio das linhas de corrente de sua trajetória normal que ocorre, por

exemplo, em locais de obstrução ao fluxo.

A liberação de ar, vapor ou gás ou a formação de bolhas preenchidas com

estes , entretanto, não é condição suficiente para produzir cavitação, uma vez que o

efeito destas bolhas no desempenho e no comportamento das bombas podem

produzir diferentes resultados, inclusive com algum benefício específico almejado.

A cavitação, portanto, provoca erosão na superfície do material dos

componentes da bomba, tais como rotores e difusores, além de induzir vibrações e

ruídos característicos. Com o surgimento da cavitação, a operação da bomba se

torna instável, com oscilações de vazão e, consequentemente, de pressão. A

eficiência e potência útil se reduzem sensivelmente. Em casos extremos, há a

erosão total de componentes da máquina.



139

Quando o fluido atinge a pressão de vaporização correspondente à

temperatura do líquido, há formação de bolhas de vapor de líquido, conforme já

visto. Assim, bombear líquido quente é diferente de bombear líquido frio, se acavitação é um fenômeno a ser considerado, uma vez que a pressão de vaporização

dos líquidos aumenta com o aumento da temperatura. Desta forma, o líquido, em

temperaturas mais elevadas, cavita precocemente se comparado ao líquido

operando em temperaturas mais baixas.

10.2. Sinais de cavitação

A cavitação pode se manifestar por um ou vários sinais, todos afetandonegativamente o desempenho da bomba e causando severos danos aos seus

componentes.

10.2.1. Vibração e ruído

São causados pelo colapso repentino das bolhas de vapor tão logo estas

alcancem zonas de pressão mais elevadas dentro da bomba. Quanto maior a

bomba, maior o ruído e vibração decorrentes da cavitação. Entretanto, deve-seconsiderar que tais sinais podem estar presentes, em graus variados, em qualquer

bomba operando em pontos afastados do ponto de melhor eficiência, devido a um

desvio significativo do ângulo 0 β do escoamento em relação ao ângulo de entrada

1 β das pás.

10.2.2. Queda na capacidade de carga e eficiência

Pode aparecer em vários graus com bombas de diferentes rotações

específicas. Com bombas de baixa rotação específica, as curvas de capacidade de

carga, eficiência e potência apresentam uma queda repentina quando a vazão é

aumentada até o ponto onde a cavitação aparece. Tal é mostrado na figura 10.2. A

figura 10.2a mostra a queda na capacidade de carga e eficiência para rotores de

diferentes diãmetros; a figura 10.2b mostra a queda na capacidade de carga e

eficiência para um rotor operando em diferentes rotações, com diferentes alturas de

sucção.



140

(a) diferentes diâmetros de rotor (b) diferentes rotações e alturas de sucção

Figura 10.2 – Queda de capacidade de carga e eficiência em bombas de baixa rotação específica.Fonte: Stepanoff 6

Com bombas de rotação específica mais elevada, entretanto, a capacidade

de carga e a eficiência começam a cair gradualmente ao longo de toda a faixa de

operação antes do ponto de cavitação ser repentinamente atingido, conforme mostra

a figura 10.3. O grau de queda na capacidade de carga e na eficiência depende da

pressão de sucção e rotação específica, aumentando para altas rotações

específicas e baixas pressões de sucção.

Figura 10.3 – Queda de capacidade decarga e eficiência em bombas de altarotação específica.Fonte: Stepanoff 6

Figura 10.4 – Queda de capacidade decarga e eficiência em bombas tipopropeller , de rotação específica muitoelevada.Fonte: Stepanoff 6



141

Em bombas com rotação específica muito elevada, do tipo propeller , não há

um ponto de corte definido nas curvas; ao invés disto, há uma queda gradual nacapacidade de carga e na eficiência ao longo de toda a faixa de operação. Neste

tipo de bomba, a queda na eficiência aparece antes de existir uma queda perceptível

na capacidade de carga. Portanto, uma queda na eficiência é um critério mais

confiável para se analisar as condições de cavitação. Até mesmo o indesejável ruído

pode não aparecer até que a cavitação tenha progredido além do ponto onde a

eficiência se torne comercialmente inaceitável. A figura 10.4 ilustra as curvas para

este tipo de bomba.

A diferença no comportamento das bombas de diferentes rotações

específicas resulta da diferença no projeto dos rotores. As pás de rotores de baixa

rotação específica formam um canal definido cujo comprimento depende dos

ângulos de entrada e saída das pás, do número de pás e da razão entre os

diâmetros D1 na entrada do rotor e D2 na sua saída, conforme mostra a figura 10.5a.

(a) (b) (c)

Figura 10.5 – Zonas de baixa pressão no dorso das pás do rotor.Fonte: Stepanoff 6

Quando a pressão na entrada do rotor alcança a pressão de vapor,normalmente no dorso das pás em sua entrada, ela se estende rapidamente em uma

direção cruzada A-B em toda a largura do canal, conforme mostrado na figura 10.5a,

com um pequeno aumento na vazão e diminuição na capacidade de carga. Uma

queda posterior na pressão de descarga não produzirá mais um aumento na vazão

porque a pressão diferencial que faz o líquido escoar à entrada do rotor não pode

mais ser aumentada. Esta pressão diferencial é fixada pela pressão de sucção fora

da bomba e a pressão de vapor através do canal entre duas pás na entrada do rotor.



142

A figura 10.6 mostra o fenômeno da cavitação ocorrendo na região de entrada do

rotor, no dorso da pá, em uma bomba centrífuga radial.

Figura 10.6 – Cavitação em rotores de baixa rotação específica.Fonte: Instituto Pfleiderer (http://www.pfi.ing.tu-bs.de/)

Com rotores de alta rotação específica, o canal entre duas pás é mais largo e

mais curto., conforme mostra a figura 10.5b. Maior queda na capacidade de carga e

um maior aumento na vazão são requeridos para estender a zona de pressão de

vapor através de todo o canal. Portanto, a queda na capacidade de carga se

estende através de uma faixa mais ampla antes que a queda repentina ocorra

devido à cavitação.

Com rotores de rotação específica muito elevada, tipo propeller , as pás não

se sobrepõem, conforme mostra a figura 10.5c. Assim, embora a zona de baixa

pressão se estenda enquanto a altura de elevação da bomba é reduzida, sempre

haverão partes do canal que permanecerão sob pressões mais elevadas do que a

pressão de vapor e o fluxo através do rotor aumentará uniformemente, muito embora

a cavitação já esteja presente.

10.2.3. Erosão nas paredes do rotor - pitting

Se a bomba é operada sob cavitação por um período suficientemente

prolongado, ocorre a erosão das superfícies do rotor nas regiões afetadas pela

cavitação, também conhecido como “pitting ”. O montante de material perdido

depende do material do rotor e do grau de cavitação. Análises conclusivas

realizadas por Foettinger mostraram que o pitting é causado somente por ação



143

mecânica devido ao colapso das bolhas. Ação química ou eletrolítica são totalmente

insignificantes neste processo. Ademais, estas, se ocorrerem, atacam o material

como um todo e não somente regiões localizadas, como é o caso da erosão porcavitação, onde tais regiões estão sempre além dos pontos de baixa pressão onde

as bolhas são formadas.6

Stepanoff 6 cita o experimento de Pouter, o qual mostrou que, além da

destruição do metal causado pela fadiga da superfície como resultado dos repetidos

golpes oriundos do colapso das bolhas, partículas de metal podem ser arrancadas e

carregadas pela ação do líquido penetrando e saíndo dos poros formados pela

erosão, sob sucessivas ondas de pressão. O grau de destruição, neste caso,depende do período de tempo em que o material está sob pressão e o tempo entre

duas ondas de pressão sucessivas.

Os estudos realizados até o momento indicam não haver qualquer correlação

entre a dureza do material e o grau de erosão por cavitação, ou seja, formação de

pitting. Porém, aparentemente, o tamanho das moléculas e a viscosidade do fluído

desempenham um importante papel no processo.

A erosão por cavitação deve ser diferenciada dos fenômenos de corrosão e

erosão por abrasão. A corrosão é causada exclusivamente por ação química e

eletrolítica do fluído sobre o material dos componentes internos da bomba. A erosão

por abrasão é o desgaste da superfície do material devido à ação de corpos

carregados com o fluído no escoamento, tais como areia, carvão, coque e diversos

outros elementos abrasivos. Não há dificuldade de ordem prática em se distinguir

entre os três casos de pitting , uma vez que a aparência da superfície afetada e sua

localização dentro da bomba revelam com facilidade sua natureza.

10.3. Nucleação de bolhas

O fenômeno da cavitação ocorre em locais preferenciais que são

denominados de “pontos de nucleação de cavitação ”. Microcavidades nas

superfícies do material ou em partículas sólidas suspensas escoando com o líquido,

de modo geral, acomodam ar e são os pontos preferenciais de nucleação. A título de



144

observação, pode-se inferir que o bombeamento de água com particulados favorece

a cavitação. O processo de condensação tem, também, suas particularidades. Uma

bolha de vapor pequena possui formato esférico, enquanto bolhas maioresapresentam formatos elipsóides truncados. Ambas, ao longo do processo,

transformam-se em uma bolha de geometria toroidal, formando em seu interior um

micro-jato de líquido que atravessa o núcleo. Tais geometrias são apresentadas na

figura 10.7.

(a) (b) (c)

Figura 10.7 – Tipos de bolhas em cavitação.(a) bolhas esféricas, (b) bolhas elipsóides, (c) bolhas em formato toroidal.

10.4. Medição da cavitação

A medição dos processos característicos de cavitação normalmente exige

técnicas complexas. Sensores piezoelétricos são utilizados na medição das ondas

de choque provocadas pela cavitação, câmaras de filmagem de alta velocidade (até

40.000 quadros por segundo) registram o processo de formação e colapso das

bolhas, etc. Os processos de medição variarão de acordo com o grau de exatidão

que se quer avaliar o fenômeno.

A visualização do fenômeno pode ser feita também de uma maneira bastante

simples, com o auxílio de um Venturi de parede lateral transparente. Bombeia-se o

líquido através do Venturi com uma velocidade tal que a pressão na região de menor

área de secção transversal atinja o valor da pressão de vaporização à temperatura

local do líquido. Pode-se então fotografar o escoamento com uma câmera que tenha

velocidade de obturador elevada, 1/6000s, por exemplo, e iluminação adequada.

Também se pode utilizar uma lâmpada estroboscópica e visualizar diretamente o



145

surgimento e a evolução das bolhas de vapor de maior tamanho. A figura 10.8

mostra o fenômeno da cavitação em um Venturi.

Figura 10.8 – Cavitação em tubo tipo Venturi.Fonte: ENLP, França

As figuras 10.9 e 10.10, do Institut de Machine Hydraulique et de Méchanique des Fluides , juntamente com a figura 10.11, do Naval Architecture and Ocean

Engineering da University of Tokyo , ilustram diversos exemplos de situações de

cavitação

Figura 10.9 – Cavitação em perfil 2D NACA.Fonte: IMHMF, França

Figura 10.10 – Cavitação em um rotor de uma bomba com destaque para a região erodida.

Fonte: IMHMF, França

Figura 10.11 – Cavitação em nuvem (“cloud cavitation” ) em um perfil hidrodinâmico.Fonte: NAOE, Universidade de Tóquio, Japão



146

A figura 10.12 mostra a instalação das janelas de visualização construídas no

difusor e no rotor de uma bomba para permitir a filmagem em alta velocidade do

fenômeno.

Figura 10.12 – Janelas de visualização de cavitação no difusor e rotor de uma bomba radial.Fonte: Instituto Pfleiderer (http://www.pfi.ing.tu-bs.de/)

10.5. Máxima altura de sucção e formação da altura de pressão crítica

Considera-se o escoamento na tubulação de sucção de uma bombacentrífuga como mostrado na figura 10.13. A equação de Bernoulli será aplicada ao

escoamento que ocorre do reservatório de sucção até a entrada do rotor, ou seja, no

lado de sucção da bomba. Deve-se lembrar que, neste trecho, não há transferência

de energia mecânica para o fluido de trabalho. A altura estática de sucção sh ,

conforme já visto, representa a diferença de pressão entre a superfície livre do

reservatório, do qual se succiona o fluido, e a entrada da bomba, localizada no eixo

de rotação do rotor, expressa em altura de coluna líquida. Para aplicação daequação de Bernoulli ao escoamento entre os pontos 1 e 2, admite-se a velocidade

do fluido na superfície do reservatório (ponto 1) como desprezível. Desta forma, tem-

se:

s2

222

1

211 Jz

g2vp

zg2

vp+++=++

γ γ (10.1)

Admitindo-se que:



147

1p = pressão na superfície do reservatório e, doravante, r1 pp = ;

1v = velocidade na superfície do reservatório e, doravante, 0v1 = ;

12s zzh −=

2p = pressão de sucção na entrada da bomba e, doravante, s2 pp = ;

2v = velocidade de sucção na entrada da bomba e, doravante, s2 vv = ;

sJ = somatório das perdas de carga na linha de sucção.

A equação (10.1) fica:

ss

2ssr Jhg2

vpp++=

−

γ (10.2)

Logo, a altura de sucção Hs é dada por:

ss

2ssr

s Jhg2

vppH ++=

−=

γ (10.3)

Figura 10.13 - Esquema do sistema de bombeamento na sucção da bomba.

A altura estática de sucção também pode ser considerada como 1'2s zzh −= ,

tomando '2z no ponto mais alto da aresta de sucção das pás, nas bombas de eixo

horizontal. Nas bombas de eixo vertical, '2z deve ser tomado no ponto mais interno

da aresta de sucção. Porém, isto só tem sentido em bombas de grande porte, nas



148

quais o diâmetro do rotor representa um valor considerável quando comparado com

a altura estática de sucção sh .

Conforme já visto, para se evitar a cavitação, a pressão estática no fluído não

pode alcançar a pressão de vapor do líquido, na temperatura considerada. Assim, a

capacidade de trabalho específica do líquido na extremidade de sucção não pode

ser totalmente utilizada, ou seja, não pode ser completamente transformada em

energia de velocidade. Ao definir γ vv ph = como a pressão de vaporização do

líquido na temperatura considerada, expresso em altura de coluna líquida, a máxima

altura de sucção deverá ser igual a:

vsdisps hHH −= (10.4)

A magnitude de dispsH somente pode ser determinada a partir de dados

relacionados com o bocal de instalação, não dependendo unicamente da prórpia

bomba.

Desejando-se evitar a cavitação, a altura de sucção disponível dispsH na

extremidade de sucção da bomba deve ser no mínimo igual à altura de pressão crítica ch , ou energia de segurança à cavitação . A altura de pressão crítica ch é

necessária para compensar as perdas de atrito na boca de sucção e para levar o

líquido à velocidade do fluxo existente nos canais das pás, sendo determinada pela

bomba, que apresenta boa capacidade de sucção quando ch é pequena. Seu valor

depende também da rotação, do fluxo e da qualidade de fabricação. Pfleiderer 3

sugere que:

2c

2w

h2

02

20

1c λ λ += (10.5)

onde:

0w e 0c - velocidades relativa e absoluta do fluxo imediatamente antes da aresta de

sucção das pás;

1λ e 2λ - coeficientes empíricos para a altura de pressão crítica.



149

Em uma bomba ideal, do ponto de vista da capacidade de sucção, na qual

não há perdas, as pás são infinitamente finas e a velociade se distribui de maneira

perfeitamente regular, os coeficientes empíricos valeriam 01 =λ e 12 =λ . Nestabomba ideal, ch seria igual à energia de velocidade de 0c . Nas bombas reais

ocorrem perdas de atrito e de transformação sendo 0c , na equação (10.5), um valor

médio. Na realidade, em certos lugares podem ocorrer velocidades maiores. Por

estas razões, 2λ é sempre maior do que 1 em bombas, por exemplo, 1,2. As

velocidades que ocorrem nos canais das pás, superiores à velocidade 0w ,

causadas, por exemplo, pelo estreitamento da secção e pela distribuição irregular

das velocidades devido à pressão nas pás, são levadas em consideração por 1λ que

é sempre maior do que zero, por exemplo, 0,3.

A equação (10.5) admite um fluxo estacionário no tubo de sucção. No caso

em que a potência da máquina oscile, aparecem pressões adicionais no tbo de

sucção causadas pela massa líquida, as quais podem assumir grandes valores.

A formação da altura de pressão crítica ch resulta da superposição de

diversos fatores ao longo do escoamento no interior da bomba. Tais fatores, entre

tantos outros, podem ser:

• os desvios na trajetória do escoamento não são circunferencialmente uniformes;

• a diferença de pressão entre o dorso e a parte frontal da pá;

• a influência do coeficiente de contração devido à espessura das pás

• a perda de carga intrínseca ao escoamento entre a entrada da bomba e a

entrada do rotor;

• o acabamento das superfícies internas da bomba (superfície mais rugosa, maior

perda de carga).

Em rotores de aletas bem finas e com a ausência de choque na entrada, o

efeito inercial, isto é, o efeito da contração ou expansão dos tubos de corrente, é a

principal causa de formação da altura de pressão crítica ch (depressão). Em



150

escoamentos onde se sobrepõem outros fenômenos, as contribuições individuais na

formação da altura crítica são impossíveis de serem determinadas a partir de

considerações teóricas.Sabendo que, para se evitar a cavitação, deve-se considerar a altura de

sucção disponível superior à altura de pressão crítica, tem-se que:

cdispsmaxs hHH −= (10.6)

No cálculo da altura de sucção deve-se adotar sempre o maior valor de ch

possível. Para um rotor com aresta de sucção inclinada, conforme figura 10.14, a

velocidade relativa 0w no ponto externo 1a é a maior possível, enquanto que 0c

praticamente não se altera ao longo da aresta de sucção. Assim, para arestas de

sucção inclinadas, o cálculo de ch deve ser feito para o ponto 1a . Os valores assim

calculados serão denotados com um índice “a” adicional.

A figura 10.14 mostra, esquematicamente, um rotor radial com aresta de

sucção inclinada a1i1. Para comparação, é indicada a forma de um rotor radial lento

através de linhas tracejadas, para o qual, em certos casos na prática, a aresta de

sucção também é estendida até a1i1.

Figura 10.14 – Rotor radial com aresta de sucção inclinada a1i1.Fonte: Pfleiderer 3



151

A altura de pressão crítica depende também do ângulo relativo a0 β do fluxo

na entrada, de maneira que, para se conseguir o menor valor possível de ch , deve-

se procurar o valor ótimo deste ângulo. Considere, inicialmente, um fluxo livre de

pré-rotação na entrada de sucção, ou seja, º90a00 == α α . Faz-se, então:

a0

s

a0

a1a0 cos

nDcos

uw

β

π

β == (10.7)

a0sa0a10 ntgDtguc β π β == (10.8)

onde 1aD é diâmetro da aresta de sucção medida no ponto a1 e a0 β , o ângulo

relativo do fluxo na entrada do rotor. Ambos são relacionados à vazão Q por razões

de continuidade. Assim:

a01a2

1a0a0 ntgDD4

cAQ β π π

κ == (10.9)

sendo:

21a

2c

D

D

1−=

κ (10.10)

onde κ é um fator de estreitamento de secção que leva em conta o cubo do rotor.

Da equação (10.9), vem:

3

a021a

tgn

Q4D

β κ π = (10.11)

que também pode ser escrita na forma:

3

a02

1a1a

tg

Q2

Dr

β ω κ π == (10.12)

Substituindo a equação (10.11) nas equações (10.7) e (10.8) e combinando o

resultado com a equação (10.5), obtém-se:



152

( )

+

= 3

a0a023 2

a0a0

2

13

22

c tgtgsencos

Qn4h2 β β λ

β β

λ

κ

π (10.13)

Sendo conhecidos os valores de 1λ , 2λ , n, Q e κ , resta somente determinar

o valor do ângulo a0 β . Como já visto, deve-se procurar um valor de ch o menor

possível. Para tanto, deriva-se o termo entre colchetes na equação (10.13) e iguala-

se o resultado a zero, obtendo-se o valor ótimo procurado para a0 β , que

corresponde ao mínimo de ch . Assim:

( )

+

=

1

2ideala0

12

1tg

λ

λ β (10.14)

Desta forma, o ângulo ( )ideala0tg β depende somente da relação 12 λ λ . Como

uma bomba ideal tem 01 ≈λ e 12 ≈λ , bombas com ótima capacidade de sucção

terão valores muito pequenos de a0 β . A título de exemplo, tomando-se os valores

3,01 ≈λ e 2,12 ≈λ mencionados anteriormente, e substituindo na equação (10.14),obter-se-á ( ) '32º17tg ideala0 = β , sendo 4)( 12 =λ λ . Se for tomado 7)( 12 =λ λ , obter-

se-á ( ) º14tg ideala0 = β . Portanto, pode-se notar que é necessário usar pequenos

ângulos do fluxo na entrada para evitar a cavitação. Pesquisas experimentais

mostram, entretanto, que o ângulo de entrada nas pás 1 β não deve ser tomado

menor do que 15º e, em pequenas bombas, deve até ter valores superiores a 18º,

por razões ligadas à obtenção de um bom rendimento.3

Até aqui, todo o desenvolvimento foi feito considerando um escoamento sem

pré-rotação na entrada da bomba, ou seja, º900 =α . Se o fluxo no tubo de sucção

estiver sujeito a pré-rotação, será necessário introduzir grandezas adicionais no

cálculo. Pfleiderer 3 apresenta a equação:



153

( )( )21

2

r21

ideala0

2

11

tgλ λ

δ λ λ

β +

−+

= (10.15)

onde a vorticidade 0ucr existente na boca de sucção é dada pelo coeficiente de

vorticidade relativa rδ através da equação:

a1

0u

a1

0ur u

wuc

1 ≡−≡δ (10.16)

Desta forma, se tomada a equação (10.15), a presença de pré-rotação, ou

vorticidade, na entrada, conduz a um aumento do ângulo a0 β da aresta de sucção.

Tal aumento não é dependente da direção do vórtice.

Se for considerado 1r =δ , pode-se obter uma grandeza adimensional

chamada coeficiente de sucção aΙ , também conhecido como índice de aspiração , a

partir da equação (10.13):

( )

4

3

3a0a02

3 2a0a0

2

13cc

atgtg

sencos

24hh

Qn

+

==Ι

β β λ

β β

λ π

κ (10.17)

No termo à direita da igualdade na equação (10.17), κ varia entre limites

muito estreitos e pode ser considerado constante. Logo, o termo depende somente

de a0 β , 1λ e 2λ , o que leva a concluir que o índice de aspiração aΙ varia com a

variação destes. Neste caso, pode-se dizer que o valor de Sq calculado através do

termo à esquerda do sinal de igualdade é também um valor que caracteriza o

sucesso das medidas tomadas pelo fabricante para melhorar a máquina,

independendo da forma do rotor, no seu ponto de melhor rendimento. As bombas

rotativas com boa capacidade de sucção atingem, para operação no ponto de

melhor rendimento, coeficientes de sucção da ordem de 0,40 a 0,45.



154

O coeficiente de cavitação de Thoma tσ , introduzido por D. Thoma, era

utilizado antigamente para caracterizar a qualidade de sucção de uma máquina de

fluxo e era dado por:

e

ct

hζ

σ = (10.19)

Tal coeficiente tem a desvantagem de que ch depende das condições no lado

de sucção da máquina, mas eζ depende das condições do fluxo no lado de pressão

do rotor. Assim, tal coeficiente depende:

1. das providências tomadas para se obter uma boa capacidade de sucção namáquina;

2. da forma do rotor, ou seja, da rotação específica.

O coeficiente de sucção de Thoma tσ foi substituido pelo índice de aspiração

aΙ , pois este último caracteriza somente o sucesso das providências tomadas pelo

fabricante para obter uma boa capacidade de sucção na bomba, sem levar em

consideração o tipo de rotor utilizado. Entretanto, para facilitar o uso do índice deaspiração, na prática, pode-se deduzir, a partir das equações (8.9), (10.17) e (10.19),

equações para a altura de pressão crítica ch e para um coeficiente de cavitação tσ ,

conforme segue:

34

ac

Qnh

Ι= (10.20)

34

a

st 333

n

Ι=σ (10.21)

Adotando 3,01 ≈λ e 2,12 ≈λ e substituindo na equação (10.17), pode-se

avaliar a dependência de aΙ com relação a a0 β , conforme mostra a figura 10.15.



155

Figura 10.15 – Relação entre o ângulo na entrada do fluxo no rotor a0 β x índice de aspiração aΙ .

Pode-se notar que o melhor ângulo de entrada, conforme já mencionado

anteriormente, se situa entre 15º e 20º, para valores do índice de aspiração da

ordem de 2, onde se obtém uma altura de pressão crítica mínima.

Do ponto de vista do instalador da bomba, toda esta discussão não auxilia no

processo de seleção do equipamento. Normalmente, o instalador não tem toda a

informação necessária para calcular o índice de aspiração, pois as dimensões do

rotor, fornecidas no catálogo do fabricante, geralmente se limitam ao diâmetro de

saída, número de passos, dimensão do furo do eixo, etc. O que o fabricante faz é

incluir, na curva característica da bomba, valores de maxsH obtidos

experimentalmente em um ensaio padronizado utilizando a água como fluido de

teste. Neste ensaio padronizado, a pressão do reservatório é a pressão atmosférica

ao nível do mar e a pressão de vaporização da água corresponde à temperatura de

20°C.

A tabela 10.1 e a tabela 10.2, oferecidas pela KSB, auxiliam na determinação

das condições operacionais relativas à cavitação em bombas centrífugas,

fornecendo os valores das pressões de vapor da água e de outros líquidos, em

várias temperaturas.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

a0 β

aΙ



156

Tabela 10.1 – Densidade e pressão de vapor da água a várias temperaturas.Fonte: KSB 7



157

Tabela 10.2 – Pressão de vapor parra líquidos em várias temperaturas.Fonte: KSB 7



158

10.6. O parâmetro NPSH – net positive suction head

O índice de aspiração aΙ

e a altura de sucção máxima maxsH são conceitosutilizados para caracterizar a possibilidade de ocorrência de cavitação em máquinas

de fluxo. São oriundos da academia européia, em especial da alemã, que teve

Pfleiderer como seu grande mestre. No Brasil, até há poucos anos, alguns dos

fabricantes de bombas, de origem européia ou associados a fabricantes europeus,

divulgavam a dependência do índice de aspiração com a vazão de bombas, na

forma de curva ou tabela, anexa à curva característica. Porém, o conceito mais

utilizado atualmente é o NPSH – net positive suction head, cuja tradução pode ser“energia específica positiva líquida de sucção”. Em outras palavras, NPSH é a

energia específica mínima que escoamento deve ter na entrada da bomba para que

não ocorra o fenômeno da cavitação. NPSH é um conceito oriundo da escola

americana, que predominou entre os fabricantes instalados no país e na norma da

ABNT, que trata de ensaios de cavitação em bombas.

Aplicando a equação da energia ao escoamento na tubulação de sucção,

desde a superfície do reservatório até a entrada da bomba, obtém-se o NPSHdisponível, o qual define a energia específica, que o escoamento tem na entrada da

bomba, acima da pressão de vaporização do líquido na temperatura considerada.

Para que não haja cavitação, uam das seguintes desigualdades deve ser satisfeita:

v

2ss

disp hg2

vpNPSH −

+>

γ (10.22)

( )vssrdisp hJhhNPSH++±−>

(10.23)

v

2s

srdisp hg2

vHhNPSH −+−> (10.24)

onde rh é a pressão atuante no reservatório de sucção, expressa em altura de

coluna líquida. Em muito casos, pode-se fazer atmr Hh = .

Na equação (10.23), por convenção, assume-se que:



159

sh → ( - ) → nível do reservatório abaixo do eixo da bomba (bomba afogada )

sh → ( + ) →nível do reservatório acima do eixo da bomba

A grande maioria dos fabricantes divulga em seus catálogos o NPSH

requerido por suas bombas, através da curva de NPSH requerido x Q, obtida em

experimentos de laboratório. Como exigido por norma, o valor do NPSH requerido

deve ser padronizado. Os dados publicados geralmente se referem à água cuja

pressão de vaporização deve ser 0,2 mca (metros de coluna d’água),

correspondente à pressão de vaporização da água destilada a 20°C. Evidentemente,

para que a bomba opere sem cavitar, o instalador deve garantir que o NPSHdisponível > NPSH requerido. Cabe, portanto ao instalador se assegurar de que,

dadas a pressão da superfície livre do reservatório de sucção e a pressão de

vaporização do fluido à temperatura local, a inequação que define NPSH disponível

se verifique. O instalador pode atuar para alterar a cota de instalação da bomba, a

perda de carga na tubulação de sucção e a energia cinética do escoamento na

entrada da bomba. Em casos extremos, pode-se modificar a pressão no reservatório

(caso de reservatórios fechados) e a pressão de vaporização, através da

refrigeração do fluido, por exemplo. A igualdade entre o NPSH disponível e o NPSH

requerido já indica uma situação limite, com início de cavitação. A experiência

mostra que o NPSH rquerido depende da rotação específica que, por sua vez,

depende da vazão e do número de rotações da bomba. Mostra também, que seu

valor diminui quando a temperatura do líquido aumenta.

A equação (10.5) mostra de a altura de pressão crítica ch é uma energia

inevitavelmente perdida e que deve ser considerada na instalação da bomba, umavez que esta perda se processa em uma região em que o rotor ainda não fornece

energia ao líquido. Essa parcela de energia, obtida a custa de energia de pressão, é,

portanto, “requerida” pela bomba. Por outro lado, a parcela g2v 2s das equações

(10.22) e (10.24) é necessária para que o líquido penetre na bomba e atinja o rotor.

Portanto, pode-se dizer que o NPSH requerido é dado por:



160

g2v

hNPSH2

screq += (10.25)

Como o termo g2v 2s é, normalmente, de valor reduzido, alguns autores

costumam considerar o NPSH requerido como sendo a própria altura de pressão

crítica ch .

Há, portanto, uma reserva R necessária entre o NPSH disponível e o NPSH

requerido para que se garanta a não ocorrência da cavitação.

RNPSHNPSH reqdisp =− (10.26)

Com a reserva R, pode-se colocar, por exemplo, a equação (10.23) na

condição de igualdade:

( ) RhJhhNPSH vssrdisp +++±−= (10.27)

Os autores e fabricantes divergem quanto ao valor da reserva R, uma vez que

esta está sujeita a diversos fatores, sobretudo quanto às condições das instalações

e, inclusive, quanto ao envelhecimento da bomba. De maneira geral, recomenda-se

que a reserva se situe em torno de 0,3 mca ou 5% do NPSH requerido, o que for

maior. No caso de bombas de grande porte, deve-se adicionar o raio maior da pá na

entrada do rotor, ou seja:

( )2

DRhJhhNPSH 1a

vssrdisp ++++±−= (10.28)

O NPSH requerido também pode ser calculado através da seguinte

expressão:HNPSH cavR ⋅= σ

A grandeza cavσ é chamada de coeficiente de cavitação e é dada por:

3 4scavcav nf ⋅=σ

onde fcav é o fator de cavitação, com os seguintes valores empíricos:

para bombas radiais: fcav = 0,0011



161

para bombas diagonais: fcav = 0,0013

para bombas axiais: fcav = 0,00145

Para evitar que aconteça cavitação nas instalações de bombeamento, alguns

procedimentos são elementares, tanto na fase de projetos como na de operação, a

saber:

1. tubulação de sucção a mais curta possível;

2. escorvamento completo;

3. NPSHdisp = NPSHreq + 5% (ou 0,30 mca, o que for maior);

4. medidas anti-vórtice;

5. limitação da velocidade máxima de aspiração em função do diâmetro da

tubulação;

6. indicação clara da posição de abertura e fechamento das peças especiais;

7. ligeira inclinação ascendente em direção à entrada da bomba nos trecho

horizontalizados, para facilitar o deslocamento das bolhas de ar na fase de

escorvamento;

8. conexão da sucção com a entrada da bomba através de uma redução excêntrica,

também para facilitar o escorvamento;

9. não projetar registros nas sucções positivas;

10. emprego de crivos ou telas na entrada da sucção;

11. emprego de válvula de retenção nas sucções positivas.

10.7. Comparação do NPSH teórico com valores reais

Para concluir a análise das condições de cavitação em bombas centrífugas e

avaliar a qualidad” da abordagem empregada, falta ainda, a comparação com dados

de operação para bombas comerciais. A figura 10.16 mostra a variação do maxsH

com a vazão Q para dois modelos de bombas centrífugas comerciais, de acordo

com dados de catálogo da KSB. Segundo a abordagem utilizada, o NPSH requerido



162

de uma bomba centrífuga deve variar com a vazão a uma potência de 2/3: esta

dependência está representada pela reta do gráfico, em escala logaritimica. As

condições reais obtidas do catálogo da KSB são discriminadas por círculos azuis equadrados vermelhos, e se aplicam a modelos bem distintos da linha de produção

do fabricante. Observa-se, em ambos os casos, que a curva teórica representa, em

média, os pontos reais, embora os desvios sejam consideráveis nos extremos da

faixa de operação de cada uma das bombas (extremo superior da ETA 32-16 e

inferior da WKL 125), chegando a até 30%. Em suma, a abordagem utilizada para

caracterizar a cavitação em bombas centrífugas ainda deixa a desejar, o que justifica

o esforço que os centros de pesquisa e grupos de trabalho em universidadesrealizam sobre este assunto.

10.00 100.00Q ( m3/h)

1.00

10.00

N P S H ( m )

PARAMETRIZAÇÃO DE CURVA DE BOMBA(VAZÃO x NPSH)

Símbolos representam pontos operacionais

KSB ETA 32-16n =3500 RPM

KSB WKL 125n = 3500 RPM

NPSH = 0.4 * Q ** (2/3)

Figura 10.16– Comparação entre NPSH requerido teórico e prático.



163

11 Sistemas de Bombeamento

Neste capítulo será discutido o procedimento para a seleção e instalação debombas a partir da curva característica de um sistema de bombeamento. O foco da

análise está voltado para a hidráulica do escoamento, não sendo abordadas

questões referentes, por exemplo, a compatibilidade do material da bomba com os

vários fluidos de trabalho ou da forma do rotor com particularidades do fluido tais

como material em suspensão, temperatura e presença de gás dissolvido.

Para seleção e instalação de bombas, existem várias formas de

representação gráfica das curvas características, sendo as mais importantes: curvascom campos de aplicação, curvas de isoeficiência, curvas integradas de pressão,

potência, rendimento e NPSH em função da vazão. Esta última, utilizada em

conjunto com a curva característica da instalação, fornece o ponto de trabalho da

bomba para o qual a mesma foi projetada, satisfazendo a 1a Lei da Termodinâmica.

Por definição, a altura de elevação de uma bomba é a energia específica

transferida ao fluido pelo rotor, descontadas as perdas. Portanto, o cálculo das

curvas características de sistemas de bombeamento será abordado considerando-sea sistemática de determinação da perda de carga e o fato destas curvas serem,

geralmente, equações do segundo grau no gráfico pressão versus vazão, ainda que

determinados tipos de bomba possam apresentar curvas diferenciadas, como

também será visto em caráter mais geral.

Para fins de simplificação, a altura manométrica manH será tratada,

doravante, simplesmente por H.

11.1. Variação das grandezas em função da rotação com H constante

Em determinadas aplicações práticas, deseja-se manter constante a altura

manométrica H ao se variar a rotação n da bomba. Neste caso, perde-se a

proporcionalidade entre a vazão Q e a rotação n. Logo, o aumento da vazão Q

devido a um aumento na rotação n será consideravelmente maior quando

comparado ao caso em que a altura manométrica H não fosse constante. Se a



164

rotação baixar a certo valor, não haverá vazão e o rotor gira “em vazio”, gerando

pressão insuficiente para o bombeamento do líquido para fora da bomba. O líquido

assim bombeado fica em circulação interna produzindo certo aquecimento, razãopela qual não se deve operar o equipamento sob tais condições por tempo

prolongado. Ao se aumentar novamente a rotação acima deste valor crítico, a bomba

volta a elevar o líquido. A figura 11.1 ilustra referida situação.

Figura 11.1 – Curvas para uma bomba centrífuga com H = 30 m constante.Fonte: Macintyre 1

11.2. Variação da altura com a vazão

A vazão é a grandeza que mais facilmente pode ser alterada em uma bomba

instalada. A variação da altura H em função da vazão adquire grande importânciasob o ponto de vista de aplicação. Para um valor constante do número de rotações

n, chama-se curva característica principal da bomba à curva HxQ, ou H = f(Q).

Para a determinação desta curva H = f(Q), três diferentes etapas são

necessárias, a saber:

a. levantamento da curva teórica idealizada para um rotor com número infinito de

pás infinitamente delgadas; tal situação já foi analisada, conforme figura 4.8.



165

b. levantamento da curva teórica corrigida, considerando número finito de pás, com

espessura definida, e existência de perdas hidráulicas; tal situação já foi

analisada, conforme figura 5.17. Normalmente feito através da teoria dasimilaridade, baseado em bomba ensaiada em laboratório.

c. levantamento da curva real, obtida diretamente da bomba através de ensaios de

laboratório.

O estudo da curva H = f(Q), em relação ao item b, merece uma análise mais

detalhada para um melhor entendimento de sua construção. Pfleiderer 3 estabelece

que para as condições reais, ou seja, condições teóricas corrigidas, a função (H,Q,n)

é uma superfície parabolóide hiperbólica, conhecida como superfície característica,

cujo eixo principal coincide com o da altura H e cujo vértice, teoricamente, estaria na

origem das coordenadas. Sua equação é da forma:

EDQCQBnQAnH 22−−−−= (11.1)

onde A, B, C, D e E são constantes.

Em função da equação (11.1), pode-se obter três curvas distintas:

1) para n constante, conforme figura 11.2a;

2) para Q constante, conforme figura 11.2b;

3) para H constante, conforme figura 11.2c.

(a) (b) (c)

Figura 11.2 – Diversas curvas características corrigidas.



166

Para explicar a divergência entre as curvas corrigidas e as retas obtidas

através das hipóteses simplificadoras (idealizado), Pfleiderer considerou, como já

visto, várias causas capazes de alterar a forma da curva que exprime a funçãoH = f(Q), objeto do presente estudo. Passa-se, então, a construir a curva da referida

função passo-a-passo, conforme mostra a figura 11.3.

(a) (b) (c)

Figura 11.3 – Obtenção da curva HxQ teórica corrigida.

1) Considerando número finito de pás com espessura definida, a reta teórica

idealizada A, para º902 < β , desloca-se conforme representado na figura 11.3a,

originando a reta B; a área do triângulo a-b-c corresponde à perda oriunda da

consideração do número finito de pás com espessura definida;

2) Considerando, sobre o caso anterior, as perdas devidas ao atrito e turbulência no

rotor, mudanças de direção e transformação da energia de velocidade em

energia de pressão. Tais perdas são proporcionais ao quadrado de velocidade e,

portanto, da vazão. São representadas pela curva C na figura 11.3b; a reta B

passa a ter a forma da curva D; a área formada pelos pontos a-b-c representa

tais perdas;

3) Considerando, sobre o caso anterior, as perdas por choque na entrada do rotor e

difusor, devidas à não concordância das velocidades relativas com as pás,

conforme a figura 11.3c. Essas perdas verificam-se, principalmente, quando a

bomba, trabalhando a uma velocidade constante, fornece uma vazão diferente

daquela para a qual foi projetada, ou seja, condição de rendimento máximo. O



167

valor destas perdas é muito pequeno na condição de descarga normal,

aumentando significativamente para valores diferentes desta. A curva das perdas

relativas ao choque é representada por E. Subtraindo-se as ordenadas da curvaE na curva D, obtém-se a curva F, que é a curva teórica corrigida para a função

H = f(Q) de uma bomba com rotor º902 < β . A área formada pelos pontos a-b-c-d

representa tais perdas.

Existem estudos que permitem calcular, com razoável aproximação, os

valores para o traçado destas curvas para uma previsão do comportamento de uma

bomba que está sendo projetada. Porém, o traçado definitivo é feito ensaiando-se o

protótipo da bomba ou seu modelo reduzido em laboratório, ou após sua instalação,nos casos de elevada potência e dimensões.

Se as ordenadas da curva F e da curva A forem relacionadas, obtém-se os

valores do rendimento hidráulico da bomba, conforme mostra a curva G da figura

11.3c.

Existem alguns tipos de curvas H = f(Q) que podem ser obtidas. Utilizando-se

da terminologia americana, conforme figura 11.4, tem-se:

Figura 11.4 – Tipos de curva conforme terminologia americana.

rising - altura decrescendo continuamente com o crescimento da vazão.

steep - grande diferença entre alturas na vazão de projeto e na vazão zero (ponto de

shut off );

flat - altura manométrica variando muito pouco com a variação de vazão;

drooping - para uma mesma altura manométrica podemos ter vazões diferentes;



168

11.3. Congruência das curvas HxQ

Seja uma bomba operando com o mesmo fluído nas condições similares (a1)e (a2). Da teoria de similaridade vista, pode-se escrever:

)2a(

)1a(

)2a(

)1a(

n

n

Q

Q= (11.2)

2)2a(

2)1a(

)2a(

)1a(

n

n

H

H= (11.3)

Um dos postulados básicos da operação similar é a invariabilidade daeficiência da máquina de fluxo. Combinando adequadamente as relações acima

para a vazão e a altura de elevação, obtém-se:

2)2a(

)2a(2

)1a(

)1a(

Q

H

Q

H= (11.4)

Daí, pode-se inferir que para “n” pontos similares, tem-se:

CQH.....

QH

QH

QH

2)an(

)an(2

)3a(

)3a(2

)2a(

)2a(2

)1a(

)1a(===== (11.5)

onde C = constante em ambas as equações.

Das equação (11.5), pode-se notar que os pontos de operação similares

estão sobre uma mesma parábola do tipo geral 2CQH = , conhecida como “parábola

de mesmo estado de choque ”. Como consequência da invariabilidade da eficiência

nos pontos de operação similares, conclui-se que sobre estas parábolas estão ospontos de isoeficiência de uma bomba operando em diversas rotações, conforme

mostra o gráfico da figura 11.5.



169

Figura 11.5 – Curva de bomba operando em diversas rotações.

Conhecendo-se a curva HxQ de uma bomba, pode-se estimar o

comportamento de bombas similares, ou da mesma bomba, operando em diferentes

rotações. A curva de mesmo estado de choque é construída com base no parâmetro

C obtido a partir da teoria da similaridade. A partir daí, desloca-se a curva

característica sobre a curva de mesmo estado de choque, obtendo o comportamento

HxQ para a nova rotação. Assim, pode-se determinar os funcionamentos possíveis

de uma bomba para várias rotações quando se conhece o comportamento de uma

bomba em uma determinada rotação. Os pontos a1 e a2 representam os valores de

H e Q para a máxima eficiência nas rotações n1 e n2, respectivamente.

A invariabilidade do rendimento ao longo de uma parábola, denominada

“parábola de mesmo estado de choque ”, não se cumpre se a variação da rotação é

acentuada (por exemplo: de 300 rpm a 3500 rpm). Como foi visto, a eficiência total

de uma bomba é uma combinação das eficiências hidráulica, volumétrica e

mecânica, com a primeira sendo amplamente dominante. Assim, para garantir uma

eficiência total constante com a alteração da rotação, é necessário que os valores do

número de Reynolds estejam restritos àquela faixa onde o fator de atrito é constante

(diagrama de Moody, por exemplo). Uma variação de rotação desta magnitude não

é, entretanto, usual na operação de bombas.



170

11.4. Curvas de igual rendimento

Ensaiando-se uma bomba e determinando-se os valores do rendimento paraum número bastante grande de valores de H e Q, para um dado valor de rotação n,

podem-se traçar curvas que representem valores constantes do rendimento η . As

curvas têm aspecto de elipses e o rendimento máximo será um ponto no interior

destas curvas, correspondendo aos valores normais de H e Q. Cada curva indicará

os pares de valores HxQ com os quais a bomba proporciona um mesmo rendimento.

A figura 11.6 mostra um gráfico com curvas de igual rendimento para uma bomba

KSB modelo 80-200 operando com rotores nos diâmetros externos indicados(dimensões em milímetros).

Figura 11.6 – Curvas de igual rendimento de uma bomba centrífuga KSB 80-200.

A título de exemplo, para saber com qual eficiência operará uma bomba KSB

modelo 80-200, D2=198 mm, na vazão de Q=160 m³/h, basta levantar uma reta

vertical no ponto da vazão considerada até alcançar a curva para o rotor em

questão. Pode-se verificar que, para uma altura de elevação em torno de 84 m, a

eficiência será de 75,5%.



171

11.5. Variação da potência com a vazão

Combinando as equações (3.35), (3.36), (3.39) e (4.43), chegamos a seguinteequação:

2

222

h2

2h2

2u Q

gtgbru

Qg

uW

β π

η γ η γ −=

(11.6)

Assim, pode-se escrever que:

221u QCQCW −=

(11.7)

onde C1 e C2 são constantes.

A partir da equação (11.7), pode-se construir a curva da potência útil em

função da vazão, conforme mostra a figura 11.7a.

(a) (b)

Figura 11.7 – Curvas de potência em função da vazão.

Na prática, representa-se a potência motriz do motor que aciona a bomba, ao

invés da potência útil. As parábolas que se obtém não passam pela origem 0, uma

vez que, mesmo trabalhando “em vazio”, ou seja, descarga nula, é necessário o

fornecimento de certa potência pelo motor para vencer as perdas no interior da

bomba. As curvas obtidas têm o aspecto indicado na figura 11.7b.



172

11.6. As curvas reais

As figuras a seguir representam as diversas curvas obtidas em ensaios reaiscom os vários tipos de bombas para um dado número de rotações n. Para não

alterar as figuras apresentadas em relação à sua fonte, considere-se a potência

motriz mW , referida neste texto, como sendo indicada por N.

Figura 11.8 – Curva do tipo drooping ,instável e 2 β > 90º.Fonte: Macintyre 1

Figura 11.9 – Curva do tipo rising , com

2 β < 90º.Fonte: Macintyre 1

Figura 11.10 – Bomba hélico-centrífuga.Fonte: Macintyre 1

Figura 11.11 – Bomba axial.Fonte: Macintyre 1



173

A figura 11.12 mostra, reunidas em um único gráfico, as curvas H=f(Q) para

os vários tipos de bombas. É comum, em catálogos de fabricantes, representar as

curvas dos pontos de mesma potência, conforme mostra a figura 11.13. Também écomum reunir diversas curvas num mesmo gráfico, ao invés de apresentá-las em

gráficos separados, de forma a se obter uma maior facilidade de exposição de

dados, conforme mostra a figura 11.14.

Figura 11.12 – Variação de H em função da

porcentagem de vazão para vários tipos derotores.Fonte: Macintyre 1

Figura 11.13 – Curvas H=f(Q)

para igual potência.Fonte: Macintyre 1

Figura 11.14 – Conjunto das curvas emum só gráfico.Fonte: Macintyre 1



174

Para uma rápida escolha de uma bomba, em geral, os fabricantes

apresentam gráficos nos quais, entrando-se com os valores de H e Q, pode-se achar

o tipo de bomba, que é indicado na quadrícula que corresponde a esses valores.Cada quadrícula contém a designação comercial da bomba, seu diâmetro da boca

de recalque e, às vezes, a potência do motor recomendada. Cada gráfico se refere a

certo número de rotações n ou, então, o fabricante informa a rotação na própria

quadrícula. A figura 11.15 mostra este tipo de gráfico para uma bomba Worthington

série D-1000. Os números indicados em cada quadrícula se referem ao diâmetro da

boca de aspiração, diâmetro da boca de recalque e o diâmetro externo do rotor, em

polegadas, nesta ordem. A potência está indicada com linhas tracejadas.

Figura 11.15 – Gráfico de aplicação e seleção de bomba Worthington série D-1000.Fonte: Macintyre 1

A figura 11.16 mostra como variam as curvas H-f(Q) para rotores de bombas

centrífugas em função de sua largura, número de pás e ângulo de saída 2 β . As



175

curvas achatadas são, na terminologia americana, as do tipo flat . As curvas

fortemente descendentes são conhecidas como steep .

Figura 11.16 – Curvas correspondentes a rotores largos e estreitos.Fonte: Macintyre 1

11.7. Fatores que afetam as curvas características

As curvas estudadas representam funções que ligam as grandezas

características do funcionamento das bombas, considerando fatores inerentes às

mesmas. Porém, certos fatores, chamados de “acidentais ”, podem afetar

significativamente o comportamento das curvas. Ditos fatores podem estar

relacionados ao fluído, tais como peso específico, viscosidade e temperatura, e à

bomba em si, tais como o tempo de uso e condições de operação e manutenção.

11.7.1. Influência do peso específico γ

Considere-se duas bombas iguais, operando na mesma rotação, porém,

bombeando líquidos com diferentes pesos específicos γ . Se a viscosidade em

ambos os casos for a mesma, a experiência mostra que:

a. o rendimento se mantém praticamente o mesmo nos dois casos;



176

b. as alturas totais de elevação eH geradas pelo rotor são as mesmas, uma vez que

as velocidades, tanto do rotor quanto do líquido, não mudam; ver equação (4.37);

c. as alturas representativas das pressões variam, pois a pressão é proporcional ao

peso específico do líquido ( Hp γ = ). Deve-se, portanto, fazer a análise para o

diferencial de pressão desenvolvido pelo rotor. Este diferencial é dado pelo

seguinte termo:

γ 12 pp −

(11.8)

sendo:=1p pressão na entrada do rotor

=2p pressão na saída do rotor

Quando o peso específico γ aumenta para 'γ , a altura de elevação eH

continua a mesma, conforme visto no item b acima. Para que o termo (11.8) não

mude, de forma a não mudar eH , o numerador deverá aumentar na mesma

proporção em que aumenta o peso específico. Assim:

''p'ppp 1212

γ γ

−=

−(11.9)

Reescrevendo:

''p'ppp

12

12

γ

γ =

−

−(11.10)

Sob uma forma mais geral, pode-se escrever:

''n

n''p'p

pp

h

h2

2

12

12

η

η

γ

γ ⋅⋅=

−

−(11.11)

Portanto, a variação de pressão entre a entrada e saída do rotor será tanto

maior quanto maior o peso específico do líquido bombeado, ainda que continue a

elevá-lo à mesma altura.

d. a potência motriz variará diretamente com o peso específico; ver equação (3.37).



177

A figura 11.17 mostra a variação das grandezas com a vazão para os casos

de bombeamento de água e gasolina pela mesma bomba.

Figura 11.17 – Variação das grandezas com o peso específico do líquido.Fonte: Macintyre 1

11.7.2. Influência da viscosidade

Se a viscosidade variar, mesmo sendo por variação de temperatura, as

perdas por atrito e turbilhonamentos, principalmente no rotor e entre o rotor e a

caixa, também variarão. Consequentemente, a sujeição do líquido às trajetórias

impostas pelas pás do rotor também sofrerá alteração. Haverá, portanto, valoresdiversos para as grandezas características conforme o valor da viscosidade.

Para os mesmos valores de vazão e rotação, quanto maior a viscosidade,

menores serão os valores da altura de elevação e da eficiência e maior a potência

consumida. Em outras palavras, uma bomba que passe a operar com líquido de

maior viscosidade, só conseguirá fornecer a mesma vazão a custa de altura

manométrica menor e maior consumo de potência, devido as maiores perdas

internas.



178

As curvas da figura 11.18 representam as variações das grandezas

características da bomba, para diferentes viscosidades, comparadas com a água.

(a) (b) (c)

Figura 11.18 – Curvas de uma bomba centrífuga para vários valores de viscosidade.Fonte: Macintyre 1

As curvas da figura 11.19 representam as variações das grandezas

características da bomba em função da viscosidade, em stokes, para uma vazão

constante de 1500 gpm.

(a) (b) (c)

Figura 11.19 – Variação das grandezas com a viscosidade, em stokes, vazão constante 1500 gpm.Fonte: Macintyre 1



179

11.7.3. Influência do tamanho da bomba

Teoricamente, bombas geometricamente semelhantes terão as grandezasvariando proporcionalmente entre si, conforme já visto, apresentando curvas

características também semelhantes. Porém, na realidade, as bombas de menor

dimensão têm rendimento mais baixo quando comparadas àquelas de maior

dimensão. Isto é devido ao fato de que a espessura das pás, as folgas, a rugosidade

relativa e as imperfeições tendem a ser maiores quanto menor for o tamanho da

bomba.

O efeito da viscosidade acentua-se no caso de bombas de menor dimensão.Assim, é de se esperar que quanto maior a viscosidade, maior deverá ser o tamanho

da bomba, de forma a não diminuir excessivamente o rendimento, quando

comparado à água. Como exemplo, uma bomba com rotor de diâmetro externo

20 cm operando com líquido de viscosidade 1 St apresenta um rendimento da ordem

de 55% do rendimento que teria, caso operasse com água. Para aumentar este

rendimento à ordem de 78%, será necessário aumentar o diâmetro externo do rotor

para 30 cm. Analisando o mesmo exemplo por outro ângulo, a bomba com rotor de20 cm conseguirá bombear óleo com viscosidade 1 St a uma altura manométrica em

torno de 82% da altura que conseguiria, caso bombeasse água. Se for alterado o

diâmetro externo do rotor para 30 cm, a bomba conseguirá atingir um patamar de

90% da altura.

Pode-se resumir as várias interdependências da seguinte forma:

v

'v

22

2'2

n

'n

d

d

Q'Q η

η

⋅⋅⋅= (11.12)

h

'h

22

2'2

e'e n

'n

d

dHH

η

η ⋅⋅⋅= (11.13)

t

't

22

2'2'

n'n

d

d'WW

η

η

γ

γ ⋅⋅⋅⋅= (11.14)



180

11.7.4. Influência do tempo de uso da bomba

Com o decorrer do tempo, o desgaste normal e a manutenção deficienteacabam por alterar as curvas características da bomba. O rendimento volumétrico

diminui devido ao aumento das fugas internas de líquido ocasionadas pelo desgaste

dos componentes internos, tais como anéis separadores, gaxetas e mancais. A

figura 11.20 compara as curvas características de uma mesma bomba operando

quando nova e após uso prolongado.

Figura 11.20 – Efeito do tempo de uso sobre as curvas características.Fonte: Macintyre 1

Para um mesmo valor de vazão, pode-se verificar que a bomba usada

fornece valores menores de altura de elevação e rendimento, requerendo umapotência maior. Em vista disso, para bombas com uso prolongado, não se deve

aplicar as curvas fornecidas pelo fabricante para bombas novas, ou seja, curvas de

catálogo. Primeiro, deve-se certificar das reais condições de conservação da bomba

e, somente após isso, aplicar as devidas correções.



181

11.7.5. Influência dos materiais em suspensão no líquido

Quando o líquido possui elementos sólidos ou pastosos em suspensão, amistura se comporta como um novo líquido com características de densidade e

viscosidade bem diferentes. Como tais misturas apresentam natureza diversa e

muito variada, não é possível se estabelecer regras gerais para o tratamento desta

questão. Porém, a título de exemplo, a água, com 5% de polpa de papel, reduz o

rendimento da bomba em 50%, com descarga abaixo daquela especificada pelo

projeto. Por outro lado, dependendo da mistura, tipos especiais de rotores serão

exigidos.

11.7.6. Influência da variação da temperatura

As condições de operação de uma bomba são afetadas quando ocorre

variação na temperatura do líquido bombeado.

A elevação da temperatura provoca uma redução no peso específico e,

portanto, da potência motriz. O rendimento não varia, conforme mostra a figura

11.20. Porém, a viscosidade, variando com a temperatura, irá provocar umaalteração no rendimento devido à variação nas perdas internas por fugas, nas

perdas por atrito no rotor e nas perdas hidráulicas internas à bomba.

O Hydraulic Institute propõe uma fórmula empírica que permite determinar o

rendimento total de uma bomba operando em uma determinada temperatura, com

base em ensaio realizado em temperatura diversa, com rendimento diverso:

n

tt

')1(1'

−−= ν

ν η η (11.15)

onde:

='tη rendimento total na temperatura desejada;

=tη rendimento total na temperatura de ensaio;

='ν viscosidade cinemática na temperatura desejada;



182

=ν viscosidade cinemática na temperatura de ensaio;

=n valor empírico fornecido pelo fabricante; está compreendido entre 0,05 e 0,1.

11.8. Curva característica do sistema de bombeamento

Um sistema de bombeamento é constituído pela tubulação e por todo

equipamento, conexões e dispositivos auxiliares através do qual o fluido escoa. O

sistema pode admitir uma ou mais bombas, acopladas em série ou em paralelo.

Pode, também, escoar aproveitando a energia potencial gravitacional disponível.

Neste caso, não há bomba acoplada ao sistema.

O cálculo de um sistema de bombeamento pressupõe o conhecimento das

características físicas da tubulação, acessórios e equipamentos, bem como das

propriedades físicas do fluido de trabalho. O sistema de bombeamento dissipa

energia enquanto o fluido escoa (dissipação viscosa). A determinação da perda de

carga, portanto, passa a ser o aspecto mais sensível nos cálculos, o que será

discutido a seguir.

11.8.1. O número de Reynolds Re

O coeficiente, número ou módulo de Reynolds, simbolizado por Re, é um

número adimensional usado em mecânica dos fluidos para o cálculo do regime de

escoamento de determinado fluido sobre uma superfície. O seu significado físico é

um quociente de forças: forças de inércia v ρ com forças de viscosidade D µ . Pode

ser expresso pelas equações:

DQ4vDvDRe µ π ρ

ν µ ρ === (11.16)

sendo:

v = velocidade média do fluido

D = diâmetro interno da tubulação

= µ viscosidade dinâmica, ou absoluta, do fluido



183

= ρ massa específica do fluido

=ν viscosidade cinemática do fluído

A significância fundamental do número de Reynolds é que o mesmo permite

avaliar o tipo do escoamento (a estabilidade do fluxo) e pode indicar se o mesmo flui

de forma laminar ou turbulenta. Para o caso de um fluxo de água num tubo cilíndrico,

admite-se os valores de 2.000 e 2.400 como limites. Desta forma, para valores

menores que 2.000 o fluxo será laminar, e para valores maiores que 2.400 o fluxo

será turbulento. Entre estes dois valores o fluxo é considerado como transitório.

Tipicamente, por valores experimentais, costuma-se caracterizar um fluido com

escoamento laminar com Re < 2100 e escoamento turbulento com Re > 4000.

O número de Reynolds constitui a base do comportamento de sistemas reais,

pelo uso de modelos físicos reduzidos.

11.8.2. O fator de atrito f

O fator de atrito f é um número adimensional usado em cálculos de fluxos de

fluidos, relacionado à tensão de cisalhamento. É função do número de Reynolds eda rugosidade relativa, ou seja:

)D(Re,Ff ε = (11.17)

A rugosidade relativa Dε é o quociente entre o diâmetro interno D da

tubulação e a rugosidade absoluta ε . A tabela 11.1 mostra valores da rugosidade

absoluta ε para diversos materiais, onde “e” representa ε .

Tabela 11.1 – Valores da rugosidade absoluta para diversos tipos de materiais.Fonte: Fox 2



184

O valor de f é obtido através de processos experimentais, porém existem

algumas curvas ou diagramas que se aproximam dos métodos experimentais.

Os principais fatores de atrito são descritos a seguir.

1) fator de atrito de Colebrook: o fator de atrito é obtido iterativamente da equação:

+−=

5,05,0 )f(Re

51,27,3D

elog2

f

1(11.18)

2) fator de atrito de Miller: serve como primeira aproximação para o cálculo da fator

de atrito pela equação de Colebrook, com um erro aproximado de 1%; é

determinado através da equação:

+=

9,00Re

74,57,3D

elog25,0f (11.19)

3) fator de atrito de Blasius: para escoamento turbulento em tubos lisos, a

correlação de Blasius é válida para Re ≤105.

25,0Re316,0f = (11.20)

4) fórmula de Flamant: essa fórmula pode ser aplicada para tubos de pequeno

diâmetro e relaciona diretamente a perda de carga com as características da

tubulação.

47

t

Dv

bL4DJ

= (11.21)

onde b é coeficiente que depende do material das paredes do tubo, conforme mostra

a tabela 11.2.



185

Material b ( )5,075,1 ms

Ferro e Aço 0,000230

Cobre 0,000185

Chumbo 0,000140

PVC 0,000135

Tabela 11.2 – Valores da rugosidade absoluta para diversos tipos de materiais.

5) fator de atrito de Fanning: é relacionado à tensão de cisalhamento na parede

através da equação:

2vf 2 ρ

τ = (11.22)

onde:

=τ tensão de cisalhamento na parede

A tensão de cisalhamento na parede é relacionada à perda de carga na tubulação

da seguinte forma:

gDLvf2

J2

t = (11.23)

onde g é a aceleração da gravidade local.

6) equação de Hazen-Williams: relaciona diretamente a perda de carga, sem

determinar um fator de atrito para o cálculo.

852,1

63,2tCD355,0

Q4J

=

π (11.24)

onde C é um coeficiente que depende do material da tubulação, conforme mostra a

tabela 11.3.

7) fator de atrito de Darcy-Weisbach: atualmente, é a expressão mais precisa e

utilizada para análise de escoamento em tubos. O fator de atrito depende



186

diretamente do tipo de escoamento e, em alguns casos, da rugosidade relativa,

ou de ambos.

a) para regime laminar (Re < 2000): o fator de atrito é calculado unicamente emfunção do número de Reynolds.

Re64

f = (11.25)

b) para regime turbulento (Re > 4000): o fator de atrito é calculado em função do

tipo de regime:

b1) regime turbulento liso: utiliza-se a 1ª equação de Karmann-Prandtl:

−=

fRe

51,2log2

f

1(11.26)

b2) regime turbulento intermediário: utiliza-se a equação de Colebrook modificada:

+−=

11,1

7,3Re9,6

log8,1f

1 ε (11.27)

b3) regime turbulento rugoso: utiliza-se a 2ª equação de Karmann-Prandtl:

−=

7,3log2

f

1 ε (11.28)

Uma vez conhecido o coeficiente de atrito pode-se calcular a perda de carga

em uma tubulação, devida ao atrito, mediante a equação de Darcy-Weisbach :

g2

v

D

LfJ

2

t = (11.29)



187

Tabela 11.3 – Valores de C para diversos tipos de materiais.

O coeficiente de atrito também pode ser determinado de forma gráfica

mediante o diagrama de Moody, apresentado na figura 11.21, tanto entrando-se com

o número de Reynolds, em regime laminar, quanto com o número de Reynolds e a

rugosidade relativa, em regime turbulento.

Conforme já mencionado, a equação de Darcy-Weisbach é, atualmente, a

expressão mais precisa e utilizada para análise de escoamento em tubos. Sendo

assim, todo o estudo, doravante realizado, será feito com base nesta equação e,

onde necessário, com base no diagrama de Moody, também largamente empregado

nas situações práticas por ser mais acessível.



188

Figura 11.21 – Diagrama de Moody.

11.8.3. A determinação da perda de carga da instalação

A perda de carga distribuída é aquela que ocorre, em caráter restrito, nos

trechos retos da tubulação e pode ser calculada, como já visto, através da equação

(11.29) de Darcy-Weisbach, ou por intermédio do diagrama de Moody.

A perda de carga em elementos de união e acessórios, conhecida como

perda de carga acessória, pode ser calculada através da seguinte relação:

g2v

KJ2

a = (11.30)

onde o coeficiente de proporcionalidade K é determinado experimentalmente para

cada acessório. Esta perda da carga localizada pode ser também determinada

utilizando o conceito de comprimento equivalente. Esse conceito tem como objetivo,

determinar qual é o comprimento de tubulação reta que causaria a mesma perda de



189

carga do acessório considerado. Com isso, pode-se reescrever a equação (11.30)

como sendo:

g2v

DLfJ

2eqa = (11.31)

onde eqL é o comprimento equivalente do acessório. Da equação (11.31), tem-se

que:

KDf

Leq = (11.32)

Dessa forma, conhecendo-se o coeficiente K do acessório, o comprimentoequivalente eqL é facilmente obtido. Os valores de eqL para vários tipos de

acessórios podem ser encontrados sob a forma de tabelas ou ábacos para vários

diâmetros diferentes de tubulações, em catálogos de fabricantes desse tipo de

equipamento, ou em livros de mecânica dos fluidos. Com isso, o cálculo da perda de

carga total do sistema de bombeamento é, então, escrita:

acess

2eq

distr

2

ats g2v

D

Lfg2

vDL

fJJJ +=+= ∑ (11.33)

ou ainda:

( )∑∑ += eq

2

s LLgD2v

fJ (11.34)

Observe que um sistema de bombeamento pode ter tubulações de diâmetros

variados, que resultam em escoamentos com velocidades diferenciadas. Quando

este for o caso, a perda de carga total será calculada para cada trecho da tubulação

de mesmo diâmetro com seus respectivos acessórios.

11.8.4. Cálculo do sistema de bombeamento e ponto de operação da bomba

A melhor forma de discutir este assunto é fazê-lo por intermédio de um

exemplo prático de cálculo, baseado em uma bomba conhecida e demais

parâmetros de cálculo previamente definidos, hipotéticamente verdadeiros. Em



190

casos reais de engenharia, muitas vezes, isso não acontece devido a diversos

fatores como, por exemplo, quando se deseja minimizar os custos de operação,

manutenção e investimento, onde se tem como opções certo número deequipamentos que serão comparados entre si para a determinação da ótima relação

custo-benefício para a aplicação desejada.

Seja, então, a instalação de bombeamento esquematizada na figura

11.22Figura , na qual está instalada uma bomba, cuja especificação geral obtida do

catálogo do fabricante é:

Fabricante: KSB

Modelo: ETA 32-16

Diâmetro do rotor: D2 = 159 mm

Rotação: n = 3500 rpm

Figura 11.22 – Esquema de instalação de bombeamento. Fonte: KSB 7



191

Os dados que foram considerados para levantamento das curvas são:

Dados da linha de sucção:

• tubo de ferro galvanizado;

• hs = 1,0m (desnível de sucção);

• tubo de diâmetro 2” (50,8 mm, nominal interno);

• Dε = 0,003 (rugosidade relativa);

• L = 5 m (horizontal) + 2 m (vertical) = 7m;

• válvula de pé → 6 m (comprimento equivalente do acessório);

• registro gaveta → 0,28 m (comprimento equivalente do acessório).

Dados da linha de recalque:

• tubo de ferro galvanizado;

• hd = 13 m (desnível de recalque);

• tubo de diâmetro 1 1/2” (38,1 mm, nominal interno);

• Dε = 0,004 (rugosidade relativa);

• L = 22 m (horizontal) + 13 m (vertical) = 35 m;

• válvula de retenção → 2,5m (comprimento equivalente do acessório);

• registro gaveta → 0,28m (comprimento equivalente do acessório).

Salienta-se que esse exemplo é simplificado, pois não estão sendo

consideradas as demais perdas acessórias que possam existir no sistema, tais como

joelhos e curvas; além disso, o valor dos comprimentos equivalentes dos acessórios

não são aqueles fornecidos pelos fabricantes e sim, dados representativos da

literatura.

Nesta etapa, o interesse é levantar a curva característica do sistema, ou seja,

qual é a demanda de energia do sistema em relação à vazão imposta. Por esta

razão, a velocidade média na tubulação será tomada como variável independente na



192

análise pois, além de ter uma relação direta com a vazão imposta, é possível a ela

relacionar os outros parâmetros do sistema, tais como número de Reynolds, fator de

atrito, etc. Uma sequência lógica simplificada de cálculo para avaliação das perdasde carga na sucção e recalque pode ser:

1. escolhe-se uma velocidade na tubulação de sucção;

2. calcula-se o número de Reynolds a partir da velocidade escolhida e da geometria

da tubulação;

3. determina-se o fator de atrito através do diagrama de Moody, uma vez

conhecendo o número de Reynolds e a rugosidade relativa do tubo;

4. calcula-se a perda de carga no trecho considerado através da equação (11.34).

De maneira geral, os cálculos intermediários não serão apresentados por

serem simples e fugirem ao interesse deste estudo. Torna-se interessante construir

uma tabela iterativa para facilitar os cálculos e determinação das perdas de carga

para os vários valores de velocidades escolhidas.

Na figura 11.23 é apresentado o comportamento da perda de carga na

tubulação de sucção em função da vazão.

Figura 11.23 – Perda de carga na sucção do sistema de bombeamento em função da vazão imposta.



193

De maneira análoga ao que foi feito na sucção, a figura 11.24 apresenta a

curva do sistema para a tubulação de recalque.

Figura 11.24 - Perda de carga no recalque do sistema de bombeamento em função da vazãoimposta.

A soma das perdas de sucção e de recalque (Js + Jd) caracteriza a energia

total necessária ao sistema para vencer as irreversibilidades presentes no

bombeamento, tais como atrito com as paredes do tubo, expansões com que o fluido

se depara ao longo do escoamento, etc. À esse valor é atribuído o nome de altura

de elevação dinâmica, ou seja, ocorre somente quando há movimento de fluido.

Entretanto, não basta fornecer ao fluido uma energia da magnitude da altura de

elevação dinâmica para que ocorra o escoamento. É necessário, também, vencer a

diferença de cotas entre os reservatórios, conhecida como altura geométrica da

instalação, resultado da soma das alturas estáticas de sucção e recalque. Dessa

forma, -se que:

dsdsdsdssist JJ14JJ131JJhhH ++=+++=+++= (11.35)

Com o auxílio das equações apresentadas nas figuras 11.23 e 11.24, é

possível escrever a altura de elevação total necessária ao sistema como sendo uma

função da vazão. As equações apresentadas são um ajuste polinomial de grau 2 dos

pontos discretos utilizados para o cálculo das perdas. Assim, combinando tais

equações com a equação (11.35), tem-se que:



194

2sist Q08367,0Q01864,022,14H ++= (11.36)

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

0.0 3.0 6.0 9.0 12.0 15.0 18.0 21.0 24.0 27.0 30.0

Q [m3/h]

H [ m ]

Curva do fabricante da bomba Curva do Sistema

Figura 11.25 – Representação simultânea das curvas do fabricante da bomba e do sistema; destaquepara o ponto de operação ótimo onde as curvas se interceptam.

Com a equação (11.36) e com a curva de operação do fabricante da bomba,

pode-se calcular o ponto de operação do sistema de bombeamento em questão. Afigura 11.25 mostra a sobreposição destas curvas.

Para a configuração ótima de trabalho, o sistema deve operar com uma vazão

de 17,52m3 /h, obtida do ponto de intersecção da curva característica da bomba com

a curva característica do sistema, levantada com a equação (11.36). Para essa

vazão, o catálogo do fabricante da bomba apresenta uma eficiência da ordem de

54,34%.

Com a vazão obtida para o ponto ótimo de trabalho, no rendimentoconsiderado, a bomba pode elevar o líquido a uma altura de 40,24 m. Assim, a

potência motriz necessária pode ser determinada através da equação (3.38),

conforme segue:

cv8,4)5434,0)(75(

)24,40(3600

52,17)1000(

75QH1000

Wt

man)cv(m =

==η



195

Também é necessário avaliar se a bomba não está cavitando. Para tanto,

calcula-se o desnível máximo de sucção e verifica-se a condição para cavitação.

s

2s

maxsmaxs Jg2

vhH ++= (válido para água destilada a 200C, hv = 0,2 mca)

m18,3)81,9)(2(

)4,2(5,5J

g2v

Hh2

s

2s

maxsmaxs =−=−−=

Desta forma, verifica-se que smaxs hh >> ; logo, a bomba não cavitará. O valor

de maxsH foi obtido da curva característica da bomba fornecida pelo fabricante.

Se a temperatura da água é mais elevada, 600C por exemplo, a pressão de

vaporização aumenta para hv = 2,0 mca. Neste caso a altura de sucção máxima será

de (5,5m – 2,0m) = 3,5m. O desnível máximo será de 1,18 m, ainda maior que o

instalado. A bomba não tem ainda condição para cavitar.

Alguns casos particulares serão, a seguir, levados em consideração. A

variação da abertura de uma ou mais válvulas instaladas na tubulação implica na

alteração da curva característica do sistema, o que, consequentemente, desloca oponto de operação do conjunto bomba/sistema, como está sendo mostrado na figura

11.26. Este é, inclusive, o procedimento utilizado por fabricantes de bombas para

determinar a curva de operação da bomba: altera-se progressivamente o ponto de

operação da bomba/sistema através da alteração da perda de carga localizada da

válvula, aplica-se a equação da energia a um volume de controle envolvendo a

bomba e mede-se as condições operacionais na sucção e descarga da bomba

(pressão e vazão). Esta técnica experimental é definida em norma técnica pela

ABNT.



196

0.00 10.00 20.00 30.00Vazão (m3/h)

0.00

10.00

20.00

30.00

A l t u r a M a n .

H ( m )

40

44

48

52

56

η

( − )

8.5 8.2 8.0 7 .0 6 .0 3.0

Hsmáx (m)

0.00 10.00 20.00 30.00Vazão (m3/h)

0.00

10.00

20.00

30.00

A l t u r a M a n . H ( m )

40

44

48

52

56

η (

− )

8.5 8.2 8.0 7 .0 6 .0 3.0

Hsmáx (m)

Sistema:H = 10 + 0.01 Q^2

Sistema:H = 20,5 + 0.01 Q^2

Figura 11.26 – Variação da curvacaracterística do sistema.

Figura 11.27 – Sistema com altura estáticade elevação variável.

O caso seguinte apresenta uma condição variável da altura estática de

elevação. É como se o sistema estivesse operando para encher o reservatório de

descarga e esvaziar o reservatório de sucção, ou se a diferença de pressão entre

ambos estivesse variando com a transferência de fluido (processos usuais naindústria). A vazão variará entre valores-limite. Recursos adicionais devem ser

utilizados caso a vazão deva permanecer constante ao longo do processo, por

exemplo, variar a rotação do motor para deslocar a curva característica da bomba.

Quando a diferença de altura de sucção não for tão grande, há casos em que pode-

se atuar sobre uma válvula: havendo uma válvula semi-fechada no sistema de

bombeamento, a atuação na válvula pode reduzir a perda de carga localizada para

compensar a variação da altura estática de elevação. Tal é mostrado na figura

11.27.

Em sistemas com grande altura de elevação, por exemplo, poços artesianos,

onde a diferença de cota entre sucção e descarga pode ser da ordem de 200m ou

mais, ou sistemas que requerem pressão de descarga elevada, pode-se instalar

bombas em série. A figura 11.28 representa a instalação de duas bombas em série

para suprir energia a um sistema cuja altura estática de elevação é superior à altura

de elevação máxima de uma bomba isolada. Note que a curva característica que



197

representa a operação das bombas em série é obtida somando-se, para cada valor

de vazão, a altura de elevação de cada uma das bombas. As bombas devem

necessariamente serem iguais.Quando se deseja projetar sistemas de bombeamento para grandes vazões

ou atender um sistema que opera com uma ampla faixa de vazão, é comum a

utilização de bombas em paralelo, conforme mostra a figura 11.29. Quando somente

uma das bombas operar, é possível sua utilização no ponto de eficiência máxima,

requisito que não é cumprido quando se inicia a operação da segunda ou outras

bombas. Observe que o ponto de operação para as bombas em paralelo não

corresponde à soma das vazões Q1 e Q2 das bombas em operação individual.

2 3 4

10

Vazão (m3/h)

10

100

A l t u r a M a n .

( m )

1 bomba

2 bombas

Associação de bombas em série

Sistema

2 3 4 5 6 7 8

10

Vazão (m3/h)

10

A l t u r a M a n .

( m )

1 bomba 2 bombas

Associação de bombas em paralelo

Sistema

Figura 11.28 – Associação de bombasem série.

Figura 29 – Associação de bombas emparalelo.

Em alguns sistemas, o fluido, ao deixar a bomba, divide-se por ramificações

da tubulação. A figura 11.30 ilustra, como exemplo, três ramificações em paralelo em

um circuito fechado. O fluxo através da bomba e de cada uma das ramificações A, B,

e C pode ser calculado na medida que:

• o fluxo total deve ser igual à soma do fluxo em cada uma das ramificações;



198

• a perda de carga é a mesma em cada uma das ramificações, pois o fluxo se

divide para produzir uma perda de carga idêntica.

A curva característica de cada uma das ramificações deve ser obtida paravárias vazões. A perda de carga total na ramificação pode ser traçada adicionando-

se as vazões parciais (Qtrocador 2, Qtrocador 3 e Qtrocador 4) para cada H. O ponto de

operação da bomba é evidentemente encontrado no cruzamento das curvas

características de toda a tubulação (curva do sistema) e da bomba.

Bomba

Trocador 1

Trocador 2

Trocador 3

Trocador 4

Trocador5

Linha recalque

Linha sucção

Figura 11.30 – Sistema fechado com ramificações em paralelo.

As curvas das figuras (11.31) a (11.32) mostram o comportamento do sistema

contendo ramificações de tubulação e bombas em série e paralelo.



199

Figura 11.31 – Perdas de carga deelementos de um sistema em um circuitofechado série-paralelo.

Figura 11.32 – Curva total do sistema(composição de todas as perdas de cargasdo circuito série-paralelo da figura 11.31).

Figura 11.33 – Ponto de operação - circuito fechado série-paralelo.



200

12 Parametrização das curvas de bombas

Apesar da simplicidade da formulação apresentada, a equação característicareal de bombas consegue expressar adequadamente os processos que ocorrem no

interior das mesmas. Será visto que a aplicação da equação característica permitirá

recuperar parâmetros de projeto de equipamentos existentes, desde que se

conheçam suas características operacionais, através dos dados do fabricante. Antes

ser apresentada a técnica utilizada para se determinar as constantes 1K , 2K , Q e

µ , vistas no capítulo 5, é conveniente adimensionalisar a equação (5.25). O

resultado dessa adimensionalização é dado por:

( ) ( )2

222

t2

222

2

2221

222

222

22

2 bruQQ

Kbrgbru

QKbrg

bruQ

2gcot

1u

gH

−−

−

−=

π

β µ (12.1)

Da equação (12.1), pode-se definir dois parâmetros adimensionais dados por:

22

*

u

gHH = (12.2)

222

*

bruQ

Q = (12.4)

Substituindo as equações (12.2) e (12.3) na equação (12.1), tem-se:

( )2*t

*2

222

2*1

222

*2 QQK)br(gQK)br(gQ2gcot

1*H −−−

−=

π

β µ (12.5)

O parâmetro *H é a altura de elevação adimensionalizada ou “coeficiente

adimensional de carga ”. Os parâmetros *Q e *tQ são as vazões adimensionalizadas

de operação e teórico de projeto, respectivamente, chamados de “coeficientes

adimensionais de vazão ”. Pode-se notar que os produtos ( ) 12

22 Kbrg e ( ) 22

22 Kbrg

são adimensionais, o que implica que as constantes 1K e 2K têm dimensão [s2 /m5].

Rearranjando a equação (12.5), tem-se que:



201

( ) ( ) ( ) ( )

−+

−++−=

2*t2

222

*2*t2

222

2*21

222

* QKbrgQ2gcot

QKbrg2QKKbrgH µ π

β µ qu

e passa a ser numerada como equação: (12.6)Aparentemente, a equação adimensionalizada (12.6) não apresenta

vantagens em relação à (5.25). Entretanto, o exemplo prático, mostrado a seguir,

ilustrará a praticidade da equação (12.6) na determinação dos parâmetros de projeto

de uma bomba centrífuga. Para o exemplo em questão, adota-se uma bomba

comercial KSB modelo ETANORM 32-125, operando com um rotor de diâmetro

mm139D2 = . As condições operacionais para uma rotação de 3500 rpm são

apresentadas na tabela 12.1.

Q (m3 /h) H (m) η (%)

7,5 40,0 40,022,0 37,5 64,028,7 35,0 67,034,0 32,5 67,038,0 30,0 65,5

Tabela 12.1 – Condições operacionais da bomba modelo ETANORM 32-125.

O rotor tem largura na aresta de saída b2 = 10 mm e o ângulo de saída da pá

é º302 = β . O primeiro passo é adimensionalisar os dados da tabela 12.1. Feito isso,

obtém-se as condições adimensionalizadas da tabela 12.2.

vΩ cΩ (%)tη

0,118 0,605 40,00,345 0,567 64,00,450 0,529 67,00,533 0,491 67,00,596 0,454 65,5

Tabela 12.2 – Condições operacionais adimensionalizadas da bomba modelo ETANORM 32-125.



202

Com os dados adimensionalizados da tabela 12.2, constroem-se os pares

ordenados ( *Q , *H ) em um gráfico. Com esses pares ordenados, faz-se um ajuste

de curvas utilizando um polinômio do segundo grau, como mostrado na figura 12.1.A curva apresentada tem a vantagem de representar os pontos operacionais da

bomba independentemente da rotação.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60

Q*

H *

Dados do Fabricante Polinômio do 2°Grau

Polinônimo do 2°grau:

H* = -0.5993(Q*)^2 + 0.1142(Q*) + 0.5995

Figura 12.1 – Curva adimensional da altura de elevação de uma bomba modelo ETANORM 32-125.

Do ajuste de curvas com o polinômio de segundo grau, podem-se combinar

os coeficientes da equação mostrada na figura 12.1 com os respectivos termos da

equação (12.6) da seguinte forma:

[ ] ( )

[ ]

[ ]

=Ω−

=−Ω

−=+−

5995,0)(K)br(g3

1142,02gcotK)br(g22

5993,0KK)br(g1

2vt2

222

2vt2222

212

22

µ

π β µ (12.7)

Observando o sistema de equações apresentado em (12.7), pode-se notar

que há 4 incógnitas, 1K , 2K , *tQ e µ , e apenas 3 equações. A princípio, tal

problema não teria solução. Porém, recordando da definição de µ , sabe-se que o

valor do coeficiente do número de pás deve estar entre 0 e 1. Analisando a parcela



203

[3] da equação (12.7), conclui-se que µ deve ser maior que 0,5995 para que a

equação seja matematicamente consistente. Dessa maneira, é sensato fixar o valor

do coeficiente do número de pás e resolver o sistema para as outras incógnitas 1K ,

2K e *tQ através de sucessivas iterações, até se atingir o parâmetro de aceitação

estabelecido.

Substituindo, inicialmente, nas equações do sistema, os valores dos

parâmetros conhecidos 2s / m81316,9g = , mm5,69r2 = , mm10b2 = e º302 = β ,

com os devidos ajustes nas unidades, tem-se:

( )

( )

=−−

=−−−

−=+−−

5995,0QK06E74,4]3[

1142,0)02E82,8(QK)06E48,9(]2[

5993,0KK)06E74,4(]1[

2*t2

*t2

21

µ

µ (12.8)

Adotando para a primeira iteração um coeficiente de redução de potência

8,0= µ e substituindo nas equações (12.8), obtém-se a primeira solução para o

sistema:

521 m / s04E70,9K = 52

2 m / s05E95,2K = 20,1Q*t =

O valor do coeficiente da vazão teórica de projeto *tQ implica em uma vazão

de projeto Qt, cerca de 76,35 m3 /h, muito superior à vazão correspondente à

eficiência máxima da bomba, conforme mostra figura 12.2.

Observando a figura 12.2, pode-se notar que a vazão de máxima eficiência da

bomba é aproximadamente 31,0m3 /h. Vale ressaltar que a curva apresentada

representa a eficiência total da bomba, e não somente a eficiência hidráulica.



204

η = -0,00049726Q2

+ 0,03087835Q + 0,197151130.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Q [m3/h]

η ηη η

Figura 12.2 – Curva de rendimento de uma bomba convencional, modelo ETANORM 32-125,produzida pela KSB; dados do fabricante fornecidos na tabela 12.1.

Na segunda tentativa, escolhe-se 68,0= µ . A solução do sistema é dada por:

521 m / s04E69,6K = 52

2 m / s04E96,85K = 5340,0Q*t =

Tais valores acima implicam em uma vazão de projeto de 34,04m3 /h. Este é

um valor razoável, um pouco superior àquela vazão correspondente à eficiênciamáxima da bomba, 31,0m3 /h, obtida na primeira iteração. Com isso, pode-se dizer

que o valor do coeficiente µ está muito próximo do valor real. Note também, que

com esse procedimento, os coeficientes de perdas, K1 e K2, estão determinados.

Pode-se perceber que a solução do sistema é bem sensível quanto à escolha do

valor do coeficiente µ , visto que ao reduzir seu valor em 15%, ou seja, de 0,80 para

0,68, o valor da vazão reduziu em mais de 50% do seu valor.

A equação característica real, com todos os parâmetros de projeto da bomba,

está determinada. A figura 12.3 mostra a composição desta curva real, a partir da

identificação dos termos de perda e desvio em relação à idealização inicial. Os

pontos sobre a curva real são aqueles apresentados na tabela 12.1 e foram obtidos

da curva que consta do catálogo do fabricante.



205

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Coeficiente de Vazão, Q*

C o e f i c i e n t e d e p r e s s ã o ,

H *

Dados do Fabricante Ht* H* calculado h1* h2*

Figura 12.3 – Curva característica real de uma bomba centrífuga modelo ETANORM 32-125produzida pela KSB.

Finalmente, a figura 12.4 abaixo mostra a curva característica real da bomba

ETANORM 32-125 da KSB, na forma como é apresentada no catálogo do fabricante,

com eixos de vazão e altura de elevação (coordenadas dimensionais). Novamente,

os pontos na curva representam valores tirados do catálogo do fabricante.

Figura 12.4 – Curva característica real da bomba ETANORM 32-125, da KSB.



206

Para fins ilustrativos, a figura 12.5 e a figura 12.6 mostram as curvas

características (parametrizadas ou com ajuste de curvas por polinômio de segundo

grau) da altura de elevação e eficiência da bomba ETA 32-16, também produzidapela KSB.

Figura 12.5 – Curva característicaparametrizada de vazão x altura deelevação manométrica.

Figura 12.6 – Curva de eficiência x vazão.



207

Referências Bibliográficas

1. MACINTYRE, A. J.. Bombas e instalações de bombeamento, 2ª edição, Rio deJaneiro, editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1997.

2. FOX, R. W. e MCDONALD, A. T. Introdução à mecânica dos fluidos, 5ª

edição, Rio de janeiro, editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 2001.

3. PFLEIDERER, C. e PETERMAN, H. Máquinas de Fluxo, 4ª edição, Rio de

Janeiro, editora LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1979.

4. MANESMANN REXROTH. Hidráulica, Princípios Básicos e Componentes daTecnologia de Fluídos, 2ª edição, RP 00290/11.94, 1991.

5. EH BOMBAS HIDRÁULICAS. Manual de Instalação, Operação e Manutenção

de Bombas Centrífugas, Belo Horizonte.

6. STEPANOFF, A. J.. Centrifugal and Axial Flow Pumps, Theory, Design and

Application, 2nd edition, New York, John Wiley & Sons, 1957.

7. KSB BOMBAS HIDRÁULICAS. Manual de Treinamento, Seleção e Aplicação

de Bombas Centrífugas, 5ª edição, 2003.

8. SEGALLA, W., Introdução às Máquinas de Fluxo, Bombas e Sistemas de

Bombeamento, Monografia de conclusão de curso, 2007.

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